Chuyên đề nguyên hàm tích phân trích trường chuyên mức độ 1234

Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS CHUN ĐỀ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Trích đề thi thử THPT 2018 Sở GD Sở GD&ĐT Tỉnh Nghệ An Câu 1: Câu 2: Câu 3: ( ) Cho hàm số F ( x ) = ∫ x x + 1dx Biết F ( ) = , F 2 85 C 19 D 10 A B x Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = cos x x A F ( x ) = 2sin + C B F ( x ) = sin + C 2 x x D F ( x ) = − sin + C C F ( x ) = −2sin + C 2 Tìm nguyên hàm hàm số y = 1212x B ∫ 122x dx = 1212x ln12 + C A ∫ 122x dx = 1212− 4x ln12 + C C ∫ 122x dx = 1212x +C ln12 D ∫ 122x dx = 1212x −1 +C ln12 Sở GD&ĐT Hà Nội Câu 4: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x3 A x3 + + C B (4 + x ) 3 +C C (4 + x ) 3 +C (4 + x ) D D 199e 200 − 1) ( 3 +C 100 Câu 5: Tích phân ∫ x.e 2x dx A Câu 6: 199e 200 + 1) ( 199e 200 − 1) ( C 199e 200 + 1) ( Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x ( x3 − x ) Hàm số F ( x ) có điểm cực trị? A Câu 7: B B C Cho hàm số y = f ( x ) hàm lẻ liên tục [ −4; 4] biết D ∫ f ( − x ) dx = −2 ∫ f ( −2 x ) dx = 4 Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = 10 Sở GD&ĐT Tỉnh Bình Phước Câu 8: B I = −6 C I = D I = −10 π π Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin 2x F   = Tính F   4 6 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS π B F   = 6 π A F   = 6 Câu 9: Tính tích phân I = ∫ π C F   = 6 π D F   = 6 dx ta kết I = a ln + b ln Giá trị S = a + ab + 3b x 3x + A B C D Câu 10: Gọi S diện tích hình phẳng giưới hạn đồ thị hàm số ( H ) : y = Khi giá trị S A ln + 1( dvdt ) B ln + 1( dvdt ) C ln − 1( dvdt ) x −1 trục tọa độ x +1 D ln − 1( dvdt ) dx theo bước sau 1+ x2 Câu 11: Một học sinh làm tích phân I = ∫ ( ) Bước 1: Đặt x = tan t, suy dx = + tan t dt Bước 2: Đổi x = ⇒ t = π π ,x = ⇒ t = π π + tan t π π = 0− dt dt t = = =− ∫ + tan t 4 0 Bước 3: I = ∫ Các bước làm trên, bước bị sai A Bước C Không bước sai B Bước D Bước Câu 12: Cho hàm số f ( x ) liên tục  + thỏa mãn f ' ( x ) ≥ x + sau đúng? A f ( ) ≥ + ln 2 B f ( ) ≥ + ln 2 , ∀x ∈  + f (1) = Khẳng định x D f ( ) ≥ C f ( ) ≥ Câu 13: Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e 2018x 2018x e +C 2018 A ∫ f ( x ) = e 2018x ln 2018 + C B ∫ f ( x ) = C ∫ f ( x ) = 2018e 2018x + C D ∫ f ( x ) = e 2018x + C Câu 14: Cho số thực a > Gỉa sử hàm số f ( x ) liên tục dương đoạn [ 0;a ] thỏa mãn a dx 1+ f (x) f ( x ) f ( a − x ) = Tính tích phân I = ∫ A I = a B I = a Câu 15: Cho ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân −2 A −9 B −3 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT C I = a D I = 2a ∫ 2f ( x ) − 1 dx −2 C D Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS Câu 16: Tích phân ∫ ( x + 3) dx A 61 B 61 61 C D C 2sin2x + C D sin2x + C Câu 17: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2cos2x B −sin2x + C A −2sin 2x + C Câu 18: Cho ∫ 3x + A − x 9x − dx = a + b 2, với a, b số hữu tỉ Khi giá trị a 26 27 B 26 27 C − 27 26 D − Câu 19: Cho hàm số f ( x ) xác định  \ {−1;1} thỏa mãn: f ' ( x ) =  1 1 f  −  + f   = Tính giá trị biểu thức P = f ( ) + f ( )  2 2 3 A P = ln + B P = + ln C P = + ln 5 f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn Câu 20: Cho hàm số 25 27 ; f ( −3) + f ( 3) = x −1 D P = ln [0;1] thỏa f (1) = mãn e2 − ∫0 f ' ( x ) dx = ∫0 ( x + 1) e dx = Tính tích phân I = ∫0 f ( x ) dx 1 x A I = − e Câu 21: Cho hàm số B I = e − y = f (x) 0; +∞ ) liên tục [ C I = e D I = x2 ∫ f ( t ) dt = x sin x ( πx ) Tính e −1 f ( 4) π −1 Sở GD&ĐT Tỉnh Thanh Hóa A f ( ) = B f ( ) = π C f ( ) = π D f ( ) = Câu 22: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b ] Diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong y = f ( x ) , trục hoành đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) xác định công thức sau b A S = ∫ f ( x ) dx a a B S = ∫ f ( x ) dx b b b C S = ∫ f ( x ) dx D S = ∫ f ( x ) dx C x + cos2x + C D a a Câu 23: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − sin x A x2 + cos2x + C B x2 + cos2x + C 2 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng x2 − cos2x + C 2 Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS Câu 24: Cho hàm số f ( x ) liên tục  thỏa mãn π 16 ∫ cot x.f ( sin x ) dx = ∫ π f ( x ) dx = Tính tích x f ( π4x ) dx x 1 phân I = ∫ A I = 3 B I = D I = C I = π Câu 25: Biết ∫ sin 2x.ln ( tan x + 1) dx = aπ + b ln + c với a, b, c số hữu tỉ Tính T = A T = C T = B T = 1 + −c a b D T = −4 Câu 26: Mệnh đề sau sai A Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C B ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx (k số k ≠ 0) C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D ∫ f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 2 Sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Giang Câu 27: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x A e x + C B ex +C C e x + C e2 x +C D Câu 28: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;3] thỏa mãn f ( −1) = ; f ( 3) = Giá trị I = ∫ f ′ ( t )dt −1 A I = 20 C I = 10 B I = D I = 15 Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b ] Mệnh đề sai? A C a a a b ∫ f ( x )dx = −∫ f ( x )dx b b a a B ∫ A 24 c b a a c ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx, ∀c ∈ R a ∫ f ( x )dx = ∫ f ( t )dt Câu 30: Cho a D ∫ f ( x )dx = a f ( x )dx = 12 , giá trị x ∫ f  dx B 10 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT C D 14 Khóa 3000 tập chọn lọc Câu 31: Gọi (H ) Đăng kí Tài liệu KYS hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + x trục hoành Hai đường thẳng y = m y = n chia ( H ) thành phần có diện tích (tham khảo hình vẽ) Giá trị biểu thức T = ( − m ) + ( − n ) 320 512 C T = 15 B T = A T = 75 D T = 405 Câu 32: Cho hàm số f ( x ) liên tục R thoả mãn ∫ f ( x +1 x +1 )dx = ( x +1 + x+5 ) + C Nguyên hàm hàm số f ( x ) tập R + A x+3 +C ( x2 + 4) Câu 33: Biết B a+ b ∫ −x + 6x − a + b A Sở GD&ĐT Đà Nẵng x+3 +C x2 + dx = π C 2x + +C ( x + 1) D 2x + +C ( x + 1) , a, b số nguyên dương < a + b < Tổng B D C Câu 34: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong y = 3e − x + x , trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = ln Thể tích khối trịn xoay tạo thành cho (H) quay quanh trục hồnh tính cơng thức sau đây? A π ln ∫ ln ( 3e− x + x ) dx B ∫ 3e − x + x dx 0 2x e − + C x B ln ∫ ( 3e− x + x ) dx D π 2x e + + C x ln ∫ 3e − x + x dx 0 Câu 35: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x − A C π x2 C e x + + C x D e x − + C x Câu 36: Tích phân I = ∫ ( x + ) dx A I = 56 Câu 37: Cho B I = 60 C I = 240 1+ ln e ln D I = 120 ∫ f ( x ) dx = 2018 Tính I = ∫ x f ( ln x ) dx A I = 2018 B I = 4036 C I = 1009 D I = 1009 Câu 38: Diện tích S hình phẳng giới hạn đường ( P ) : y = x , parabol tiếp tuyến (P) M (1;2) trục Oy Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS B S = A S = 1 C S = D S = Câu 39: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 4;8] f ( x ) ≠ 0∀x ∈ [ 4;8] Biết  f ' ( x )  1 ∫4  f ( x ) dx = f ( ) = , f (8) = Tính f ( )   A B π Câu 40: Cho tích phân cos x dx = aπ + b ∫ π − cos x C D với a, b ∈ Q Tính P = − a − b A P = B P = −29 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT C P = −7 D P = −27 Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS ĐÁP ÁN CHI TIẾT 10 D A D B A C B D D D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B B B C B D B C B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B C B D B C D D B A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D D C B B D B D C Câu 1: Đáp án D 2 Có ∫ x x + 1dx = 2 ∫ x + 1d ( x + 1) = ( x + 1) 3 2 = ( ) ( ) 26 = F 2 − F ( ) ⇒ F 2 = 10 Câu 2: Đáp án A x x x x Ta có F ( x ) = ∫ cos dx = ∫ cos d   = 2sin + C 2 2 Câu 3: Đáp án D Ta có ∫ 1212x dx = 1212x 1212x −1 12x 12x = + = = +C 12 d 12x C 12 dx ( ) ∫ 12 ∫ 12.ln12 ln12 Câu 4: Đáp án B Phương pháp: -Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân Cách làm: ∫ x + x dx = + x3 d ( x3 + ) ∫ 3 (4 + x ) = 3 +C = (4 + x ) 3 +C Câu 5: Đáp án A Phương pháp: -Sử dụng tích phân phần Cách làm: dx = du u = x  Ta đặt  x ⇒ 2x e dx = dv v = e  Khi 100 ∫ x.e x dx = x 100 x e − 2 100 ∫ e x dx = 2x x.e 100 − e2 x 100 1 1 = 100.e 200 − e 200 + = (199e 200 + 1) 4 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS Câu 6: Đáp án C Phương pháp: - Tìm nghiệm F ′ ( x ) = xét dấu F ′ ( x ) Cách giải: x = Ta có: F ′ ( x ) = f ( x ) = e x x3 − x = ⇔ x x − = ⇔   x = ±2 ( ) ( ) Ta thấy F ′ ( x ) đổi dấu qua ba nghiệm nên hàm số có điểm cực trị Câu 7: Đáp án B Phương pháp: b Sử dụng phương pháp đổi biến áp dụng công thức ∫ a c c b a f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx Cách giải: Xét tích phân: ∫ f ( − x ) dx −2  x = −2 ⇒ t = Đặt x = −t ⇔ dx = −dt Đổi cận  x = ⇒ t = 0 ⇒ ∫ −2 2 0 f ( − x ) dx = − ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx = 2 Xét tích phân: ∫ f ( −2 x ) dx = x = ⇒ t = Đặt x = t ⇔ 2dx = dt Đổi cận  x = ⇒ t = 4 4 ⇒ ∫ f ( −2 x ) dx = = ∫ f ( −t ) dt = ⇒ ∫ f ( − x ) dx = ⇒ − ∫ f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = −8 22 2 4 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = − = −6 Câu 8: Đáp án D π π 1 π π π ∫π sin 2xdx = cos2x π = = F   − F   ⇒ F   = − = 6 Câu 9: Đáp án D x = → t = Đặt t = 3x + ⇒ t = 3x + ⇒ 2tdt = 3dx,  x = → t = Suy Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT Khóa 3000 tập chọn lọc Đăng kí Tài liệu KYS a = dt  t −1  = ∫ − = ln − ln = ln − ln ⇒  ⇒S=5 I = 2∫ dt = ln t −1  t −1 t +1  t +1 b = −1 4 Câu 10: Đáp án D Phương trình hồnh độ giao điểm x −1 = ⇒ x =1 x +1 Suy diện tích cần tính S=∫ x −1 dx = ∫ − dx = ( x − ln ( x + 1) ) = ln − 1( dvdt ) x +1 x +1 Câu 11: Đáp án A π π π + tan t π π = dt dt t = = −0 = ∫ + tan t 4 0 I=∫ Câu 12: Đáp án B Ta có f ( x ) = ∫ x + dx = x − ln x + C x f (1) = ⇒ + C = ⇒ C = ⇒ f ( x ) = x − ln x ⇒ f ( ) = − ln Câu 13: Đáp án B Ta có ∫ f ( x ) = ∫ e 2018x dx = 2018x e +C 2018 Câu 14: Đáp án B f (a − x ) dx =∫ dx = ∫ dx f ( x ) f ( a − x ) = 1 1+ f ( x) 1+ f (a − x ) 0 1+ f (a − x ) a a Ta có I = ∫ a a f (a − x ) f (t) x = ⇒ t = a , Khi ∫ dx = ∫ dt Đặt t = a − x ⇔ dx = −dt  1+ f (a − x ) 1+ f (t ) x = a ⇒ t = 0 a a a a f (t) f (x) dx dx a dt = ∫ dx suy 2I = ∫ +∫ = ∫ dx ⇒ I = 1+ f (t ) 1+ f ( x) 1+ f ( x) 1+ f ( x) a a ⇒I=∫ Câu 15: Đáp án C −2 −2 Ta có I = ∫ f ( x ) dx − ∫ dx = 2.3 − (1 + ) = Câu 16: Đáp án B Ta có: ∫ ( x + 3) ( x + 3) dx = 3 = 61 Câu 17: Đáp án D ∫ 2cos2xdx = sin 2x + C Câu 18: Đáp án B Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng Khóa 3000 tập chọn lọc ∫ 3x + Ta có: x 9x − dx = ∫ Đăng kí Tài liệu KYS ( x 3x − 9x − 9x − 9x + ) dx = ) − x 9x − dx 1  = ∫ 3x dx − ∫ 9x − 1d ( 9x − 1) =  x − 18 18  1 ∫ ( 3x 1 26 16 − ( 9x − 1)  = 27 27 3 Suy a = 26 −16 ;b = 27 27 Câu 19: Đáp án C Ta có: f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ dx  1  x −1 = ∫ − +C  dx = ln x −1  x −1 x +1  x +1 1− x Với −1 < x < ⇒ f ( x ) = ln + C1 x +1 x > 1 x −1 ⇒ f ( x ) = ln + C2 Với  x +1  x < −1 1 1 ln + C2 + ln + C2 =  C = 2  1 1 2 Do f ( −3) + f ( 3) = f  −  + f   = ⇒  ⇔  2 2 C1 =  ln + C + ln + C = 1  2 3 Do P = f ( ) + f ( ) = + ln Câu 20: Đáp án B u = f ( x ) du = f ' ( x ) dx Đặt  , ⇔  x x  v = xe dv = ( x + 1) e dx 1 = e.f (1) − ∫ xe f ' ( x ) dx ⇔ ∫ xe f ' ( x ) dx = − ∫ ( x + 1) e x f ( x ) dx = 0 Xét tích phân − e2 1 0 x x 2 2x ∫ f ' ( x ) + k.xe  dx = ∫ f ' ( x ) dx + 2k.∫ xe f ' ( x ) dx + k ∫ x e dx = ⇔ x x x x ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = xe f ( x ) − ∫ xe f ' ( x ) dx x e2 − 1 − e2 e2 − + 2k + k2 = ⇒ k − 2k + = ⇔ k = ⇒ f ' ( x ) = − x.e x 4 Do f ( x ) = ∫ f ' ( x )dx = − ∫ x.e x dx = (1 − x ) e x + C mà f (1) = ⇒ C = 1 0 Casio →I = e − Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ (1 − x ) e x dx  Câu 21: Đáp án B Lấy đạo hàm vế biểu thức x2 ∫ f ( t ) dt = x sin ( πx ) , ta 2x.f ( x ) =  x.sin ( πx )  ' → 2.2.f ( ) = d π x.sin ( πx ) ) ⇒ f ( ) = ( dx x −2 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 10 − π Nên J = − ∫ π  sin 2018  − u  cos 2018 x   dx du = ∫ 2018 x + cos 2018 x   2018  π 2018  π π sin sin  − u  + cos  − u  − 2  2  Vì hàm số f ( x ) = ∫π − cos 2018 x hàm số chẵn nên: sin 2018 x + cos 2018 x π 2018 cos x cos 2018 x d x = ∫0 sin 2018 x + cos2018 x d x sin 2018 x + cos 2018 x Từ ta có:  π2  π sin x π π sin 2018 x sin 2018 x  d x =  ∫ 2018 I = ∫ 2018 d x + ∫ 2018 d x 2018 2018 2018 sin x + cos x  sin x + cos x x + cos x π sin    π 2018 π  π2  2018 π sin x cos 2018 x  =  ∫ 2018 d x + ∫ 2018 d x 2018 2018 x + cos x x + cos x   sin sin   π π π sin π π2 x + cos x d x = ∫d x = = ∫ 2018 sin 20 x + cos 2018 x 2018 2018 Như a = , b = Do P = 2a + b = 2.2 + = Câu 17: Chọn A Ta có: T = f (1) − f ( ) = ∫ f ′ ( x ) dx  ′ Lại có:  f ′ ( x )  = f ′′ ( x ) ⇔ −1 = − ⇔ −1 =    f ′ ( x )   f ′( x)  f ′′ ( x ) ⇔ −x + c = 1 ⇔ f ′( x) = −x + c f ′( x) Mà f ′ ( ) = −1 nên c = −1 1 1 dx = − ln − x − = − ln −x −1 Vậy T = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ Câu 18: Chọn B Ta có: ∫  f ′ ( x ) dx = (1) - Tính ∫ x f ( x ) dx = du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )   ⇒ Đặt  x4  v = dv = x dx  Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 20  x4  1 1 ⇒ = ∫ x f ( x ) dx =  f ( x )  − ∫ x f ′ ( x ) d x = − ∫ x f ′ ( x ) d x 40  0 1 0 1 ⇒ ∫ x f ′ ( x ) dx = −1 ⇒ 18∫ x f ′ ( x ) dx = −18 ( ) x9 - Lại có: ∫ x dx = 1 = ⇒ 81∫ x8dx = ( 3) - Cộng vế với vế đẳng thức (1) , ( ) ( 3) ta được: 1 4 ∫0   f ′ ( x ) + 18 x f ′ ( x ) + 81x  dx = ⇔ ∫0  f ′ ( x ) + x  dx = ⇔ π ∫0  f ′ ( x ) + x  dx = Hay thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) + x , trục hoành Ox , đường thẳng x = , x = quay quanh Ox ⇒ f ′ ( x ) + x = ⇒ f ′ ( x ) = −9 x ⇒ f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = − x + C Lại f (1) = ⇒ C = 14 14 ⇒ f ( x ) = − x5 + 5 14  14  ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫  − x5 +  dx =  − x + x  = 5 0  10 0 1 Câu 19: Chọn A Cách 1: Ta có f ( x ) + g ( x ) = − x  f ′ ( x ) + g ′ ( x )  ⇔ ⇔∫ f ( x) + g ( x) =− f ′ ( x) + g′ ( x) x f ( x) + g ( x) dx = − ∫ dx ⇒ ln f ( x ) + g ( x ) = − ln x + C f ′ ( x) + g′ ( x) x Theo giả thiết ta có C − ln = ln f (1) + g (1) ⇒ C = ln   f ( x) + g ( x) = x Suy  , f (1) + g (1) = nên f ( x ) + g ( x ) = x  f ( x) + g ( x) = −  x ⇒ I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 8ln Cách 2: Ta có f ( x ) + g ( x ) = − x  f ′ ( x ) + g ′ ( x )  ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = − ∫ x  f ′ ( x ) + g ′ ( x )  dx ⇒ ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = − x  f ( x ) + g ( x )  + ∫  f ( x ) + g ( x )  dx ⇒ − x  f ( x ) + g ( x )  = C ⇒ f ( x ) + g ( x ) = − C Vì f (1) + g (1) = −C ⇒ C = −4 x 4 Do f ( x ) + g ( x ) = Vậy I = ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 8ln x Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 21 Câu 20: Chọn D Ta có: ( f ′ ( x ) ) + f ( x ) f ′′ ( x ) = 15 x + 12 x , ∀x ∈  ⇔  f ′ ( x ) f ( x ) ′ = 15 x + 12 x , ∀x ∈  ⇔ f ′ ( x ) f ( x ) = x5 + x + C1 Do f ( ) = f ′ ( ) = nên ta có C1 = Do đó: f ′ ( x ) f ( x ) = x5 + x + 1 ′ ⇔  f ( x )  = x + x + ⇔ f ( x ) = x + x + x + C2 2  Mà f ( ) = nên ta có C2 = Do f ( x ) = x + x3 + x + Vậy f (1) = Câu 21: Chọn C du = −π sin (π x ) dx u = cos (π x ) Đặt  ⇒ dv = f ′ ( x ) dx v = f ( x ) Khi đó: ∫ f ′ ( x ) cos (π x ) dx = cos (π x ) f ( x ) + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx 1 0 = − ( f (1) + f ( ) ) + π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = π ∫ f ( x ) sin (π x ) dx ⇒ ∫ f ( x ) sin (π x ) dx = Cách 1: Ta có Tìm k cho ∫  f ( x ) − k sin (π x ) dx = 0 Ta có: ∫  f ( x ) − k sin (π x ) = dx = ∫ f ( x ) dx − 2k ∫ f ( x ) sin (π x ) dx + k ∫ sin (π x ) dx 0 k2 − k + = ⇔ k = 2 Do ∫  f ( x ) − sin (π x ) dx = ⇒ f ( x ) = sin (π x ) (do  f ( x ) − sin (π x )  ≥ ∀x ∈  ) Vậy ∫ f ( x ) dx = ∫ sin (π x ) dx = π Cách 2: Sử dụng BĐT Holder b b b  f x g x d x ≤ f x d x g ( x ) dx ( ) ( ) ( ) ∫  ∫ ∫ a a a  Dấu “ = ” xảy ⇔ f ( x ) = k g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] 1   Áp dụng vào ta có =  ∫ f ( x ) sin (π x ) dx  ≤ ∫ f ( x ) dx.∫ sin (π x ) dx = , 0 0  Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 22 suy f ( x ) = k sin (π x ) , k ∈  Mà ∫ Vậy ∫ 1 f ( x ) sin (π x ) dx = ⇔ k ∫ sin (π x ) dx = ⇔ k = ⇒ f ( x ) = sin (π x ) 2 f ( x ) dx = ∫ sin (π x ) dx = π Câu 22: Chọn B u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx Xét A = ∫ ( x + 1) e x f ( x ) dx Đặt  ⇒ x x v = xe dv = ( x + 1) e dx 1 1 0 Suy A = xe x f ( x ) − ∫ xe x f ′ ( x ) dx = − ∫ xe x f ′ ( x ) dx ⇒ ∫ xe x f ′ ( x ) dx = 1 − e2 1 1 e2 − 1 Xét ∫ x e dx = e  x − x +  = 40 2 2x 2x 1 0 Ta có ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ xe x f ′ ( x ) dx + ∫ x e x dx = ⇔ ∫ ( f ′ ( x ) + xe x ) dx = 2 Suy f ′ ( x ) + xe x = ∀x ∈ [ 0;1] (do ( f ′ ( x ) + xe ) x ≥ ∀x ∈ [ 0;1] ) ⇒ f ′ ( x ) = − xe x ⇒ f ( x ) = (1 − x ) e x + C Do f (1) = nên f ( x ) = (1 − x ) e x 1 0 Vậy I = ∫ f ( x ) dx = ∫ (1 − x ) e x dx = ( − x ) e x = e − Câu 23: Chọn D Bằng công thức tích phân phần ta có π π π π π π π ∫ cos xf ( x ) dx = sin xf ( x ) π − ∫ sin xf ′ ( x ) dx Suy ∫ sin xf ′ ( x ) dx = − π 2 π π π 2 π − cos x  x − sin x  Hơn ta tính ∫ sin xdx = ∫ = dx =    π π π 2 π π π π 2 2 0 Do đó: ∫  f ′ ( x )  dx + ∫ sin xf ′ ( x ) dx + ∫ sin xdx = ⇔ ∫  f ′ ( x ) + sin x  dx = 2 π  Suy f ′ ( x ) = − sin x Do f ( x ) = cos x + C Vì f   = nên C = 2 Ta f ( x ) = cos x ⇒ f ( 2018π ) = cos ( 2018π ) = Câu 24:Chọn C 2 0 Ta có I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 23  ∫  ∫ 1 1 0 2 1 f ( x ) dx = ( x − 1) f ( x ) − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = + ∫ (1 − x ) f ′ ( x ) dx ≥ − ∫ (1 − x ) dx = f ( x ) dx = ( x − 1) f ( x ) − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx = − ∫ ( x − 1) f ′ ( x ) dx ≥ − ∫ (1 − x ) dx = Từ (1) ( ) suy I ≥ (1) 2 ( 2) 1 + =1 2 Câu 25: Chọn A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ y B x A′ O A B′ Theo đề ta có phương trình Elip x2 y + = 1 4 25 Gọi M , N giao điểm dầu với elip Gọi S1 diện tích Elip ta có S1 = π ab = π π = 5 Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn Elip đường thẳng MN Theo đề chiều cao dầu có thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 0,6m nên ta có phương trình đường thẳng MN y = x2 y + = ta có y = Mặt khác từ phương trình − x2 4 25 Do đường thẳng y = 3 nên cắt Elip hai điểm M , N có hồnh độ − 4 4 4 1 4 S = ∫  − x −  dx = ∫ − x dx − 5 10  3 − − ∫ Tính I = − 1 − x dx Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt 2 Đổi cận: Khi x = − π π t = t = − ; Khi x = 4 3 Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 24 π Khi I = ∫π − Vậy S = π 1 cos tdt = 2 3 ∫ (1 + cos 2t ) dt = − π  2π 3 +   8   2π 3 π + = −   − 8  10 15 20 π π 3 Thể tích dầu thùng V =  − +  15 20  = 1,52   Câu 26: Chọn C x − x3 + ( x − 1) + ′ = f ( x) ≥ x + − 2x = > , ∀x > x2 x x2 ⇒ y = f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) ⇒ f ( x ) = có nhiều nghiệm khoảng ( 0; +∞ ) (1) Mặt khác ta có: 21   f ′ ( x ) ≥ x + − x > , ∀x > ⇒ ∫ f ′ ( x ) dx ≥ ∫  x + − x  dx = x x  1 2 ⇒ f ( ) − f (1) ≥ 17 21 ⇒ f ( 2) ≥ 5 Kết hợp giả thiết ta có y = f ( x ) liên tục [1; 2] f ( ) f (1) < ( ) Từ (1) ( ) suy phương trình f ( x ) = có nghiệm khoảng (1; ) Câu 27: Chọn D Ta có ∫ −1 f ( 2x) f ( x) dx = ⇔ ∫ dx = 16 x x 1+ −2 + Đặt t = − x ⇒ dt = −dx , 16 = I = f ( x) ∫ 1+ −2 Suy I = f ( x) −2 ∫ 1+ f ( x) x −2 x dx + ∫ 1+ x dx = f ( −t ) −2 x dx = − ∫ 1+ 2 −2 −t −2 dt = ∫ 2 f (t ) t 1+ t dt ∫ f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx Vậy ∫ f ( x ) dx = 16 Câu 28: Chọn D du = f ′ ( x ) dx u = f ( x )   πx πx ⇒ Đặt  = v sin = d cos d v x   π 2 π Do ∫ cos  2 π f ( x ) − ∫ sin  ⇔ sin π π 2 2 πx  x  f ( x ) dx =  1 π  x  f ′ ( x ) dx = ⇔ ∫ sin  2  Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng π  x  f ′ ( x ) dx = −  25 π Lại có: ∫ sin  2  x  dx =     2 π ⇒ I = ∫  − f ′ ( x )  dx −  −  ∫ sin  π   π 0 2 0 1  π x  f ′ ( x ) dx + ∫ sin   2  π = ∫  − f ′ ( x ) − sin  π 2 0 π2 π  − + =0 x   dx = π π 2   π Vì  − f ′ ( x ) − sin  2  π  x   ≥ đoạn [ 0;1] nên   x  dx  2 π  π  π   π  ∫0  − π f ′ ( x ) − sin  x   dx = ⇔ − π f ′ ( x ) =sin  x  ⇔ f ′ ( x ) = − sin  x  π Suy f ( x ) =cos  2 Vậy 1 0 π  x  + C mà f (1) = f ( x ) =cos  2  π   x  ∫ f ( x ) dx = ∫ cos  x  dx = π Câu 29: Chọn C 1 0 Với a ∈ [ 0;1] , ta có = ∫ xf ( x ) dx = a ∫ xf ( x ) dx = ∫ axf ( x ) dx ( ) Kí hiệu I ( a ) = ∫ e x − ax dx Khi đó, với a ∈ [ 0;1] ta có 1 1 0 x x ∫ e f ( x ) dx = ∫ e f ( x ) dx − ∫ axf ( x ) dx = 0 ∫ (e x − ax ) f ( x ) dx ≤ ∫ e x − ax f ( x ) dx ≤ ∫ e x − ax max f ( x ) dx = ∫ e x − ax dx = I ( a ) x∈[ 0;1] Suy I (a) ∫ e f ( x ) dx ≤ [ ] x a∈ 0;1 Mặt khác 1 Với a ∈ [ 0;1] ta có I ( a ) = ∫ e − ax dx = ∫ x I ( a ) = e − a∈[ 0;1] ( ) a a e − ax dx =  e x − x  = e − − 2 0  x 3 ⇒ ∫ e x f ( x ) dx ≤ e − ≈ 1, 22 2  3 Vậy I ∈  − ;   2 Câu 30: Chọn D π Tính π sin x = u 2 cos xdx = du ∫ f ′ ( x ) sin 2xdx = − Đặt  f ′ ( x ) dx = dv ⇒  f ( x ) = v , Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 26 Khi π ∫ π π π f ′ ( x ) sin 2xdx = sin 2x f ( x ) 04 − ∫ f ( x ) cos2xdx = sin π π  f   − sin f ( ) − ∫ f ( x ) cos2xdx 4 π = −2 ∫ f ( x ) cos2xdx π π ∫ Theo đề ta có f ′ ( x ) sin 2xdx = − π π ∫ f ( x ) cos2xdx = ⇒ π Mặt khác ta lại có ∫ cos 2 xdx = π π π π π 2 ∫0  f ( x ) − cos2x  dx = ∫0  f ( x ) − 2f ( x ) cos2x + cos x  dx =  − +  = nên f ( x ) = cos x Do π π π 8 1 Ta có I = ∫ cos xdx = sin x = 4 0 Câu 31: Chọn A Đặt x = tan t ⇒ dx = dt = (1 + tan t ) dt cos t Đổi cận x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = Khi ∫ x f ( x) x2 + π dx = ∫ π tan t f ( tan t ) tan t + π π 4 π ( tan t + 1) dt = ∫ tan t f ( tan t ) dt π f ( tan t )   = ∫ − = − f tan t d t d t ( )  ∫0 cos2t ∫0 f ( tan t ) dt   cos t π Suy ∫ f ( tan t ) cos 2t dt = Đặt x = tan t ⇒ dx = dt cos t Đổi cận t = ⇒ x = ; t = π ∫ f ( tan t ) cos 2t π dt = ∫ f ( x ) dx Vậy ⇒ x =1 ∫ f ( x ) dx = Câu 32:Chọn A Hàm số y = f ( x ) đồng biến ( 0; +∞ ) nên suy f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 27 Mặt khác y = f ( x ) liên tục, nhận giá trị dương ( 0; +∞ ) nên ( x + 1) f ( x ) , ∀x ∈ ( 0; +∞ )  f ′ ( x )  = ( x + 1) f ( x ) ⇒ f ′ ( x ) = ⇒ f ′( x) f ( x) = f ′( x) ⇒∫ f ( x) Từ f ( 3) = ( x + 1) , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ; ( x + 1)dx dx = ∫ ⇒ f ( x) = ( x + 1) +C ; suy C = − 3 1 Như f ( x ) =  3 8 ( x + 1) + −  3 Bởi thế: 1 f ( ) =  3  8  8 8 (8 + 1) + −  =  + −  ⇒ f (8) =  + −  ≈ 2613, 26 3  3 3  Câu 33: Chọn D Giả sử A(a; a ) ; B(b; b ) (b > a) cho AB = 2018 Phương trình đường thẳng d là: y = (a + b) x − ab Khi b b a a S = ∫ (a + b) x − ab − x dx = ∫ ( ( a + b ) x − ab − x ) dx = (b − a ) ( Vì AB = 2018 ⇔ ( b − a ) + ( b − a ) = 20182 ⇔ ( b − a ) + ( b + a ) 2 ⇒ (b − a ) 2 ) = 2018 20183 20183 ≤ 2018 ⇒ b − a = b − a ≤ 2018 ⇒ S ≤ a = −1009 b = 1009 Vậy S max = 6 Câu 34: Chọn C Ta có f ′ ( x ) e f Suy e Do e Vậy ∫ f ( x) = ex f ( x) = ex ( x ) − x −1 + C Mặt khác, f ( ) = nên C = +1 ⇔ f ( x ) = x2 + ⇔ f ( x ) = x2 + x f ( x ) dx = +1 2 2x f ( x) = x.e x +1 = ⇔ f ( x ) f ′ ( x ) e f ( x) − ∫ x x + dx = ∫ ( ) x + d ( x + 1) =  x + 8 45 x2 + 1 = 0 Câu 35: Chọn C Theo giả thuyết ta có x ∫ 3 f ( x ) + f ( − x ) dx = ∫ 2 ( x − 1) e Ta tính 2 0 − x +1 +  dx ( * )  ∫ f ( − x ) dx = −∫ f ( − x ) d ( − x ) = ∫ f ( x ) dx Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 28 2 0 Vì ∫ 3 f ( x ) + f ( − x )  dx = ∫ f ( x ) dx Hơn ∫ ( x − 1) e x 2 dx = ∫ e x − x +1 d ( x − x + 1) = e x − x +1 2 0 − x +1 2 = ∫ 4dx = Suy ∫ f ( x ) dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = Câu 36: Chọn B Từ giả thiết, ta có x ( x + 1) f ′ ( x ) + f ( x ) = x + x ⇔ x x f ′( x) + f ( x) = x +1 x +1 ( x + 1) x  x ′ , với ∀x ∈  \ {0; − 1} ⇔ f ( x ) =  x +1  x +1 Suy x x x f ( x ) = x − ln x + + C dx hay f ( x) = ∫ x +1 x +1 x +1 Mặt khác, ta có f (1) = −2 ln nên C = −1 Do x f ( x ) = x − ln x + − x +1 Với x = 3 3 f ( ) = − ln ⇔ f ( ) = − ln Suy a = b = − 2 2 Vậy a + b = Câu 37: Chọn B Ta có ∀x ∈  , 1 0 ′ ′ f ( x ) + f ′ ( x ) ≤ ⇔ e x f ( x ) + e x f ′ ( x ) ≤ e x ⇔ e x f ( x ) ′ ≤ e x ′ ⇔ ∫ e x f ( x )  dx ≤ ∫ e x dx ( ) ( ) 1 e −1 ⇔ e x f ( x )  ≤ e x ⇔ e f (1) ≤ e − ⇔ f (1) ≤ 0 e Do giá trị lớn f (1) e −1 e Câu 38: Ta có: ( x + ) f ( x ) = xf ′ ( x ) − x3  e − x f ( x ) ′ xf ′ ( x ) − ( x + ) f ( x ) −x ⇔ =1 ⇔   =e x  x   e − x f ( x ) ′ −x d x = ∫1  x  ∫1 e dx Suy ⇔ e −2 f ( ) e −1 f (1) − = − e −2 − e −1  22 12 e −2 f ( ) e −1 f (1) ⇔ − = e −1 − e −2 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 29 ⇔ f ( ) = ef (1) + e − 1 = 4e + 4e − Câu 39: Chọn C ∫ Ta có = cos = πx πx f ′ ( x ) cos dx = ∫ cos d ( f ( x )) 2 πx 1 f ( x) + ∫ 0 π sin πx f ( x ) dx π πx sin f ( x ) dx ∫0 Suy ∫ sin πx f ( x ) dx = 2 1  πx Mặt khác ∫  sin  dx = ∫ (1- cos π x ) dx =  20 0 Do ∫ πx π x  f ( x ) dx − ∫ 3sin f ( x ) dx + ∫ 3sin dx = 2  0  πx π x  ∫0  f ( x ) − 3sin  dx = suy f ( x ) = 3sin hay Vậy 1 ∫ f ( x ) dx = ∫ 3sin πx dx = − π cos πx = π Câu 40:Chọn D ∀x ∈ ( 0;1) ta có: x + xf ′ ( x ) = f ( x ) − ⇔ x + = f ( x ) − xf ′ ( x ) ⇒ x + x = xf ( x ) − x f ′ ( x ) ′ x + x xf ( x ) − x f ′ ( x ) x2 + x  x2  ⇔ = ⇔ =  f ( x) f ( x) f ( x )  f ( x )  π Tính I = ∫ π π sin x.cos x + 2sin x sin x.cos x + 4sin x.cos x x = d dx ∫ f ( sin x ) f ( sin x ) π Đặt t = sin x ⇒ dt = cos xdx , đổi cận x = π Ta có I = ∫ t t + 4t dt = f (t ) f (t ) 2 π , x= ⇒t = 2 ⇒t =  3     = −  3 f    1     = − = 3a − b 4ab   4b 4a f    Câu 41:Chọn D Ta có f ( x ) f ′ ( x ) = x ( f ( x )) +1 ⇔ f ( x) f ′( x) ( f ( x )) Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT +1 = 2x 30 ( f ( x )) Lấy nguyên hàm hai vế ta có + = x + C , f ( ) = nên C = Vậy f ( x ) = x + x = x x + đoạn [1;3] Ta có f ′ ( x ) = x + + x2 x2 + > với x ∈ [1;3] nên f ( x ) đồng biến [1;3] Vậy M = f ( 3) = 11 ; m = f (1) = Câu 42: Chọn D π  Theo giả thiết, f ( ) = f ( x ) + f  − x  = sin x.cos x nên 2  π π f ( 0) + f   = ⇔ f   = 2 2 Ta có: π π 0 π π I = ∫ x f ′ ( x ) dx = ∫ xd  f ( x )  =  xf ( x )  − ∫ f ( x ) dx π Suy ra: I = − ∫ f ( x ) dx Mặt khác, ta có: π  f ( x ) + f  − x  = sin x.cos x ⇒ 2  Suy ra: ∫ π ∫ π π π π  f ( x ) dx + ∫ f  − x  dx = ∫ sin x.cos x dx = 0 2  π 1 π  f ( x ) dx − ∫π f  − x  dx = ⇔ ∫ f ( x ) dx = 2  2 π Vậy I = − ∫ f ( x ) dx = − Câu 43: Chọn C 1 1 Xét ∫  f ( x ) + ( ax + b )  dx = ∫  f ( x )  dx + ∫  f ( x ) ( ax + b )  dx + ∫ ( ax + b ) dx 2 0 1 a = + 2a ∫ xf ( x ) dx + 2b ∫ f ( x ) dx + ( ax + b ) = + ( a + b ) + + ab + b 3a 0 Cần xác định a, b để a2 + ( + b ) a + b + 2b + = − (b − 2) Ta có: ∆ = b + 4b + − ( b + 2b + ) = ≤ ⇒ b = ⇒ a = −6 3 2 ∫  f ( x ) + ( −6 x + ) Khi đó: dx = ⇒ f ( x ) = x − 1 1 Suy ∫  f ( x )  dx = ∫ ( x − ) dx = ( x − ) = 10 24 0 3 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 31 Câu 44: Chọn A +) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  f ′ ( x )   f ′ ( x )  x x f ′( x) x2 x2  + + ≥ = x4 x4 125 125 125 125 25 3 2  f ′ ( x ) f ′( x) x2 Lấy tích phân hai vế BĐT ta có: ∫   dx + ∫ dx ≥ ∫ dx x 125 25 1 2  f ′ ( x )  f ′ ( x ) 7 ⇔ ∫   dx + ≥  f ( ) − f (1)  ⇔ ∫   dx ≥ x 375 25 x 375 1 3 Kết hợp với giả thiết ta có dấu “ = ” BĐT xảy  f ′ ( x )  x2 x6 x2 x3 ′ ′ f x f x f x = ⇔ = ⇔ = ⇒ = +C   ( ) ) ( ) (   125 125 15 x4 Mà f (1) = ⇒ = +) Ta có I = ∫ x3 + 14 14 + C ⇒ C = ⇒ f (1) = 15 15 15 x3 + 14 71 dx = 15 60 Câu 45: Chọn A ⇒ t =1 Đặt t = x ⇒ dx = dt Đổi cận x= ⇒t =3 x= ∫1 Khi I = 2 f   dx t 5x 15 x 2 ⇔ f   = − − f ( 3x ) Mà f ( x ) + f   = −  x  x  5x 1  Nên I = ∫  − − f ( x )  dx = − ∫ x dx − ∫ f ( x ) dx = −5 − ∫ f ( x ) dx (*) 21 41 31 31  3 3 x =1 ⇒ u = Đặt u = x ⇒ dx = dx Đổi cận x = 3⇒ t = k 45 + k f ( t ) dt = −5 − = − ∫ 93 9 Khi I = −5 − Câu 46: Chọn A Ta có f ′ ( − x ) = Do −1 ∫ −2 (−x) + (−x) = = f ′ ( x ) nên f ′ ( x ) hàm chẵn x + x4 2 f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx Suy f ( −1) − f ( ) = f ( −1) − f ( −2 ) + f ( −2 ) − f (1) + f (1) − f ( ) Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ơn thi THPT 32 −1 = ∫ −2 f ′ ( x ) dx + b − a − ∫ f ′ ( x ) dx = b − a Câu 47: Chọn A π I = ∫ ( cos x + 3sin x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx π = ∫ ( cos x + 2sin x )( cos x − sin x ) ln ( cos x + 2sin x ) dx Đặt t = cos x + 2sin x ⇒ dt = ( − sin x + cos x ) dx Với x = t = Với x = π t = 2 Suy I = ∫ 2t ln tdt = ∫ ln td ( t ) = ( t ln t ) 2 1 t2 − ∫ tdt = ln − 2 = ln − a =  Vậy b = ⇒ T = a + b + c = c =  Câu 48: Chọn C Ta có f ′′ ( x ) +  f ′ ( x ) − x  = ⇒ ( f ′′ ( x ) − 1) = −  f ′ ( x ) − x  ⇒ − Lấy nguyên hàm hai vế − ∫ Do f ′ ( ) = nên C = f ′′ ( x ) −  f ′ ( x ) − x  = f ′′ ( x ) − 1 x dx = ∫ dx ⇒ = +C f ′( x) − x  f ' ( x ) − x  9 suy f ′ ( x ) − x = ⇒ f ′( x) = +x x +1 x +1  x2    + x  dx =  ln x + +  = ln + Vậy T = f (1) − f ( ) = ∫  x +1  2 0  0 Câu 49: Chọn B Cách 1: Theo giả thiết, ta có f ( x ) f ( − x ) = e x ln  f ( x ) f ( − x )  = ln e x +4 x −4 x f ( x ) nhận giá trị dương nên ⇔ ln f ( x ) + ln f ( − x ) = x − x Mặt khác, với x = , ta có f ( ) f ( ) = f ( ) = nên f ( ) = Xét I = ∫ (x − 3x ) f ′ ( x ) f ( x) ( f′ x ) f ((x )) dx dx , ta có I = ∫ x3 − x u = x3 − x 2   du = ( x − x ) dx Đặt  ⇒ f ′( x) dv = f x dx  v = ln f ( x ) ( )  Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 33 2 0 Suy I = ( x3 − x ) ln f ( x )  − ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx = − ∫ ( x − x ) ln f ( x ) dx (1) Đến đây, đổi biến x = − t ⇒ dx = −dt Khi x = → t = x = → t = ( ) Ta có I = − ∫ ( 3t − 6t ) ln f ( − t )( −dt ) = − ∫ 3t − 6t ln f ( − t ) dt 2 ( ) ( ) Vì tích phân không phụ thuộc vào biến nên I = − ∫ x − x ln f ( − x ) dx ( ) Từ (1) ( ) ta cộng vế theo vế, ta I = − ∫ x − x ln f ( x ) + ln f ( − x )  dx 16 Hay I = − ∫ ( x − x ) ( x − x ) dx = − 20 Cách (Trắc nghiệm) Chọn hàm số f ( x ) = e x I =∫ (x − x ) e x e −2 x ( x − 2) x2 − x 2 −2 x , đó: dx = ∫ ( x3 − x ) ( x − ) dx = −16 Câu 50: Chọn D Ta có xy + y′2 = yy′′ ⇔ f ′ ( x ) x2  y′ ′ y′ x y′′y − y′2 = +C = x ⇔   = x ⇔ = + C hay f ( x) y y2  y Lại có f ( ) = f ′ ( ) = ⇒ C = Ta có 1 f ′ ( x ) x2 f ′( x)  x2  7 = +1 ⇔ ∫ dx = ∫  + 1 dx ⇔ ln ( f ( x ) ) = ⇔ ln f (1) = f ( x) f ( x) 6  0 ⇒ < ln ( f (1) ) < Thi thử hàng tuần nhóm Kyser ôn thi THPT 34 ... KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 29 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN - MỨC ĐỘ Trích đề thi thử THPT 2018 trường Chuyên Câu 1: Trong hàm số sau, hàm số có nguyên hàm hàm số F ( x ) = ln x... liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng 15 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Trích đề thi thử THPT 2018 GV luyện thi online Thầy Nguyễn Thành Nam Câu 1: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x + cos... Câu 100: Cho A T = B T = −7 Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng C T = D T = −6 13 CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Trích đề thi thử THPT 2018 GV luyện thi online BẢNG ĐÁP ÁN 10 D