Đang tải... (xem toàn văn)
Theå tích vaät theå Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñieåm caùc ñieåm a vaø b.. Sx là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳn[r]
(1)Nguyeân haøm – Tích phaân III ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Dieän tích hình phaúng Diện tích S hình phẳng giới hạn các đường: – Đồ thị (C) hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b S f ( x ) dx laø: (1) a Diện tích S hình phẳng giới hạn các đường: – Đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b] – Hai đường thẳng x = a, x = b b S f ( x ) g( x ) dx laø: (2) a Chuù yù: Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: b f ( x ) dx a b f ( x )dx a Trong các công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta có thể làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = trên đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b a c d b f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx a = c d c d b a c d f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx (vì trên các đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) Diện tích S hình phẳng giới hạn các đường: – Đồ thị x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S g( y ) h( y ) dy c Theå tích vaät theå Gọi B là phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox các ñieåm caùc ñieåm a vaø b S(x) là diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b] Theå tích cuûa B laø: b V S( x )dx a Theå tích cuûa khoái troøn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường: Trang 96 Lop12.net (2) Nguyeân haøm – Tích phaân (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh truïc Ox: b V f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường sau quay xung quanh truïc Oy: (C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d d V g2 ( y )dy laø: c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y x x 6, y 0, x 2, x c) y ln x , y 0, x 1, x e x ln x , y 0, x , x e x e b) y ln x d) y x , y 0, x e, x 1 e) y ln x , y 0, x , x e f) y x , y 0, x 2, x e x , y 0, x 0, x g) y h) y lg x , y 0, x , x 10 10 1 x4 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: 3 x , y 0, x a) y b) y x , y x , y x 1 c) y e x , y 2, x d) y x , x y 0, y e) y x , y x x 1, y f) y x x 5, y 2 x 4, y x 11 g) y x , y x2 27 ,y 27 x h) y x , y x x 4, y i) y x , x y 0, y k) y x x 5, y x x 3, y x 15 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y x , y , y 0, x e b) y sin x cos x , y 3, x 0, x x c) y 5x 2 , y 0, y x , x d) y x x , y x x 6, x 0, x e) y x , y 0, y x f) y x x 2, y x x 5, y g) y x , y x , y h) y a) y x , y x x b) y x x , y x 2 x , y e x , x e Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: c) y x , y x2 d) y 1 x2 Trang 97 Lop12.net ,y x2 (3) Nguyeân haøm – Tích phaân e) y x , y x f) y x x , y x x x2 g) y ,y x2 h) y x , y x i) y x x , y x k) y x 2, y x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y x , x y b) y x 0, x y c) y y x 0, x y d) y x 1, y x e) y x , y x , y 0, y f) y ( x 1)2 , x sin y g) y x , x y 16 h) y (4 x )3 , y x i) x y 0, x y k) x y 8, y x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y x.e x ; y 0; x 1; x b) y x.ln2 x; y 0; x 1; x e c) y e x ; y e x ; x d) y 5x 2 ; y 0; x 0; y x e) y ( x 1)5 ; y e x ; x 1 f) y ln x , y 0, x , x e e g) y sin x cos2 x , y 0, x 0, x h) y x sin x; y x; x 0; x 2 i) y x sin2 x; y ; x 0; x k) y sin2 x sin x 1, y 0, x 0, x Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) (C ) : y x , tieäm caän xieân cuûa (C), x = vaø x = 2x2 x2 2x , y , tieäm caän xieân cuûa (C), x = –1 vaø x = b) (C ) : y x2 c) (C ) : y x x x 3, y và tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x = d) (C ) : y x x 2, x 1 và tiếp tuyến cới (C) điểm có hoành độ x = –2 e) (C ) : y x x và các tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn các đường sau quay quanh truïc Ox: a) y sin x , y 0, x 0, x b) y x x , y 0, x 0, x c) y sin6 x cos6 x , y 0, x 0, x d) y x , x e) y x 1, y 0, x 1, x g) y f) y x , y x x2 x3 ,y h) y x x , y x i) y sin x , y cos x , x ,x k) ( x 2)2 y 9, y 2 l) y x x 6, y x x m) y ln x , y 0, x Trang 98 Lop12.net (4) Nguyeân haøm – Tích phaân Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn các đường sau quay quanh truïc Oy: a) x , y 1, y y b) y x , y c) y e x , x 0, y e d) y x , y 1, y Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn các đường sau quay quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy a) y ( x 2)2 , y c) y x 1 b) y x , y x , y d) y x x , y , y 0, x 0, x e) y x.ln x , y 0, x 1, x e f) y x ( x 0), y 3 x 10, y g) y x , y x h) x – y x2 y2 1 i) k) y x 1, y 2, y 0, x l) x y 0, y 2, x m) y x , y 0, x Trang 99 Lop12.net (5) Nguyeân haøm – Tích phaân IV OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN Baøi Tính caùc tích phaân sau: x a) b) x dx x 1 d) dx x 1 1 x3 x 1 x 2x c) dx x h) l) dx i) 2x 1 x dx 2x 2 5x x3 x2 x x2 xdx x dx f) dx 1 x ( x x )dx 3 xdx 1 e) ( x 1) k) x7 2 g) m) dx xdx ( x 1) Baøi Tính caùc tích phaân sau: x 1 x dx a) d) x5 x3 x 1 h) x54 i) 2 x 2 x x x ( x 1)2 3 m) 3 1 7/3 q) s) 10 x 3 x 1 x x 1 3x dx dx t) x x dx x x 1 x dx x dx x 1 dx 1 x 1x dx 0 p) x4 xdx f) 1 2dx l) x x dx x x 3dx o) x x dx 3 r) c) x x dx 1 e) dx g) x x dx x x dx k) b) Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) /4 /2 d) 2sin x dx sin x sin x sin x 3cos x /2 /2 sin x cos2 x 4sin2 x dx e) c) dx /4 cos x (sin x cos4 x )dx h) x tan x dx /2 sin x sin x sin x dx f) /2 0 k) /2 sin x cos x dx cos x g) b) l) /3 tan x /4 cos x /2 cos5 xdx cos x sin x dx cos x Trang 100 Lop12.net dx i) x sin x cos x m) /2 dx sin x dx 3cos x dx (6) Nguyeân haøm – Tích phaân o) /2 sin2004 x cos2004 x r) sin2004 x /2 dx cos3 x dx sin x p) /2 s) 4sin3 x dx cos x /2 q) sin xdx Baøi Tính caùc tích phaân sau: a) x ln( x 5)dx d) /2 (esin x cos x ) cos x dx g) k) o) e x 1 ln xdx x x 2e x ( x 2) /2 l) 1 (4 x p) e ln x x2 x ln x i) 2x x 1)e dx dx s) e 1 e m) x ln(1 x ) x2 dx q) x ln(1 x )dx dx ln x ln x dx x dx 0 r) dx ln x 2e x h) ( x 1)e x dx e3 x sin x dx e x f) x ln2 x dx sin x cos2 x e dx ln3 e x sin2 xdx /3 c) ( x 2)e2 x dx b) ln( x x)dx ln x t) 2sin2 x dx sin x e) sin2 x cos x cos2 /4 t) e3 ln2 x ln x x dx Bài Tính diện tích các hình phẳng giới hạn các đường sau: , y 0, x 2, x 2 x a) y x x 1, y 0, x 0, x 1 b) y c) y x x , y 4 1 , y 0, x 2, x e) y x x 1 d) y e x , y 2, x g) y 2x , y 0, x x 1 f) y x x , y x x h) y m) y x 3x , tieäm caän xieân, x 0, x x 1 n) y x2 x , y 0, tiếp tuyến vẽ từ gốc toạ độ x 1 x2 x , y0 x 1 o) y x x x , tiếp tuyến giao điểm (C) với trục tung x x , tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị có hoành độ x = Bài Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn các đường sau quanh trục: p) y a) y x , y 0, x 3; Ox b) y x ln x , y 0, x 1, x e; Ox c) y xe x , y 0, x 1; Ox d) y x , y x 2; Ox e) y x , x 0; Oy f) x ye y , x 0, y 1; Oy Trang 101 Lop12.net (7) Nguyeân haøm – Tích phaân Trang 102 Lop12.net (8)