Chuyên đề Nguyên hàm Tích phân - Chủ đề: Diện tích hình phẳng

Vậy thì dễ thấy cận của tích phân cần tính là nghiệm của phương trình: f x = g x 2- Trong một số trường hợp tính diện tích hình phẳng bằng tích phân theo biến y ta có lời giải ngắn gọn[r]

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Chủ đề: I- LÝ THUYẾT: Dạng 1: Hình H giới hạn bởi: ì y = f ( x) ( C ) ï ïx = a í ïx = b ïîTrôc Ox y Dạng 2: Hình H giới hạn bởi: ì x = f ( y) ( C / ) ï ïy = a í ïy = b ïTrôc Oy î y f(y) b f(x) (H) (H) x O a a b x O Diện tích hình phẳng H tính bởi: Diện tích hình phẳng H tính bởi: b S H = ò f ( x) dx b S H = ò f ( y ) dy a a * Dạng thường gặp: x f(x) Diện tích hình phẳng H tính bởi: b y c c b a c O a S H = ò f ( x)dx + ò [ - f ( x)] dx (H) Dạng 3: Hình phẳng giới hạn bởi: y = f ( x) , y = g ( x) và đường thẳng x = a, x = b y y f(x) f(x) (H) (H) g(x) g(x) x O a x b Diện tích hình phẳng H tính bởi: O a c b Diện tích hình phẳng H tính bởi: b S H = ò [ f ( x) - g ( x)] dx c b a c S H = ò [ f ( x) - g ( x)] dx + ò [ g ( x) - f ( x)] dx a Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net Luyện thi Đại học 2010 Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Lưu ý: 1- Trong nhiều bài toán, giả thiết ban đầu không có các cận Vậy thì dễ thấy cận tích phân cần tính là nghiệm phương trình: f ( x) = g ( x) 2- Trong số trường hợp tính diện tích hình phẳng tích phân theo biến y ta có lời giải ngắn gọn, dể hiểu nhiều so với tính tích phân theo biến x Nhận xét: a) Dễ nhận thấy, công thức (*) là trường hợp đặc biệt công thức (**) g ( x) º b) Như vậy, việc tính diện tích hình phẳng lại quy việc tính tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Ta làm rõ kỹ này y Phương pháp 1: Tìm cận trung gian và lập bảng xét dấu ĐỐI VỚI DẠNG 2: y = f(x ) Phương pháp 2: Dùng hình vẽ, với nhận xét: b S H = ò f ( x ) - g ( x ) dx a a c b a c cO = ò f ( x ) - g ( x ) dx + ò f ( x ) - g ( x ) dx c b a c b x y = g (x ) = ò [ f ( x ) - g ( x ) ] dx + ò [ g ( x ) - f ( x ) ] dx b Phương pháp 2: THUẬT TOÁN TÍNH: S H = ò f ( x) - g ( x) dx a Bước 1: Giải phương trình f ( x) = g ( x) Giả sử có hai nghiệm x1 , x2 ( a < x1 < x2 < b ) Bước 2: Như trên các đoạn [ a; x1 ] , [ x1 ; x2 ] , [ x2 ; b ] thì f ( x) - g ( x) không đổi dấu: Tức là: b x1 x2 b a a x1 x2 S H = ò f ( x) - g ( x) dx = ò f ( x) - g ( x) dx + ò f ( x) - g ( x) dx + ò f ( x) - g ( x) dx = x1 x2 a x1 ò [ f ( x) - g ( x)] dx + ò [ f ( x ) - g ( x ) ] dx + b ò [ f ( x ) - g ( x ) ] dx x2 II- VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: (Khối A- 2002) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường sau: y = x2 - 4x + , y = x + Gợi ý: Gọi (C): y = x - x + và (d): y = x + Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) : (*) ì x ³ -3 ì x ³ -3 ï ï x2 - x + = x + Û íé x2 - x + = x + Û íé x2 - 5x = (1) ê ê ï ï î ë x - x + = - x - î ë x - x + = v« nghiÖm Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN é x = Tháa (*) Ta có : x - x = Û ê ë x = Tháa (*) Luyện thi Đại học 2010 Cách 1: Dùng đ thị Dựa vào hình vẽ, ta thấy: x - x + £ x + "x Î [ 0;5] y (C) Lúc đó: ( ) S H = ò x + - x - x + dx = ò ( x + - x + x - ) dx + ò ( x + + x - x + ) dx + ò ( x + - x + x - ) dx = ò ( - x + x ) dx + ò ( x - x + ) dx + ò ( - x + x ) dx d O æ 2ö1 æ1 3 ö æ ö 109 = ç - x + x ÷ + ç x - x + 6x ÷ + ç - x + x ÷ = (®.v.d.t) -1 ø è3 2 ø3 è ø1 è Cách 2: Sử dụng chia khoảng x + 0 x - 4x + Ta có: S H = ò x + - x - x + dx = ò( x + 3- x = ) ( 5 + ) - x + dx ) 3 ( ) 2 ò ( x + - x + x - 3) dx + ò ( x + + x - x + 3) dx + ò ( x + - x + x - 3) dx 1 = ò( x + 3- x - x + dx + ò x + - x - x + dx + ò x + - x - x + dx = x ò ( -x 3 + x ) dx + ò ( x - x + ) dx + ò ( - x + x ) dx = 109 (®.v.d.t) Nhận xét: Cách giải 1, tỏ hiệu cách giải Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường sau: y + x - = 0, x + y - = Gợi ý: Gọi (C): x = - y và (d): x = - y Cách 1: Tính tích phân theo biến y Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) : y (C) é y = -1 (C): - y = - y Û y - y - = Û ê ëy = Dựa vào hình vẽ ta có: d x O -1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 æ y ö2 y + y + ) dy = ç - + + 2y÷ è ø -1 -1 -1 æ ö æ 1 ö -7 17 37 = ç - + + 4÷ - ç - + - 2÷ = + = (®.v.d.t) è ø è ø Cách 2: Tính tích phân theo biến x Xét phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d) : é y = -1 Þ x = (C): - y = - y Û y - y - = Û ê ëy = Þ x =1 S H = ò éë5 - y - ( - y ) ùû dy = ò (-y éy = - x Ta có: y + x - = Û ê êë y = - - x Lúc đó: ( y (C) d x O (PhÇn (C) phÝa trªn Ox) -1 (Phần (C) phía Ox) ) 37 (®.v.d.t) Ví dụ 3:(Khối B 2002) Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn các đường sau: SH = ò éë - x - ( - x ) ùûdx + ò y = 4- - x + - x dx = = x2 x2 ,y = 4 x2 x2 và (P): y = Gợi ý: Gọi (E): y = 4 Xét phương trình hoành độ giao điểm (E) và (P): éx = 2 x2 x2 x4 x2 4= Û + - = Û x2 = Û ê 4 32 ëê x = -2 y 2 (E) x -4 O -2 x2 x2 Trên é -2 2;2 ù thì ³ và hình đối xứng qua trục tung nên: ë û 4 2 2æ 2 2 x2 x2 ö = SH = ò ç d x 16 x d x x dx = S1 - S2 ÷ ò ò ç ÷ 4 2ø 2 0 è 2 * Tính S1 = ò 16 - x dx Đặt x = 4sin t Þ dx = cos tdt p p p 0 (P) æ é p p ùö ç t Î ê- ; ú ÷ è ë 2 ûø Þ 2 p t =0 x=2 2: t= x =0: Þ S1 = ò 16 - sin t cos tdt = 16 ò cos2 tdt = ò (1 + cos2t ) dt = 2p + * Tính S2 = 2 2 ò x dx = Vậy SH = S1 - S2 = 2p + x 2 = 2 (®.v.d.t) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn ( P ) : y = x - x + và các tiếp tuyến (P) các điểm có hoành độ x = 1, x = y Gợi ý: B (d2) Ta có: y / = x - (P) ìy = * Tại điểm có x = Þ í / îk1 = y (1) = thì phương trình tiếp tuyến là : A ( d1 ) : y - = 4( x - 4) Û y = x - 11 2 ìy = * Tại điểm có x = Þ í / îk1 = y (1) = -2 thì phương trình tiếp tuyến là : ( d ) : y - = -2( x - 1) Û y = -2 x + (d1) x O æ 15 ö Ta có: ( d1 ) Ç ( d ) = C ç ; -1 ÷ è6 ø Dựa vào đồ thị ta có: 15 ( 15 -1 ) ( C ) SH = ò éë x - x + - ( -2 x + ) ùû dx + ò éë x - x + - ( x - 11) ùû dx 15 = 15 ò(x ) - x + dx + ò 15 ( 15 æ x3 ö æ x3 ö 2 x - x + 16 dx = ç - x + x ÷ + ç - x + 16 x ÷ 15 = (®.v.d.t) è ø1 è ø ) Ví dụ 5: Parabol (P): y = x chia hình tròn (C) tâm O, bán kính 2 theo tỉ số nào? Gợi ý: * Phương trình hoành độ giao điểm (P): y = x ( ³ ) và (C): x + y = é éy = êx = Þ ê x + x = ( x ³ 0) Û x + x - = Û ê ë y = -2 êë x = -4 lo¹i 2 ị Tọa độ giao điểm là: B ( 2;2 ) và C ( 2; -2 ) y (C') 2 * Ta tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng OAB: S1 = SOAB = ò x dx + 2 ò (P) 8 - x dx = + I 2 2 x O Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 2 ò TÝnh I = - x dx §Æt x = 2 sin t Þ dx = 2 cos tdt x=2 2: Þ x =2: p p t= t= p p p p p p Þ I = ò 2 cos t.2 cos tdt = ò cos2 tdt = ò (1 + cos2t ) dt = p - * Do đó, S1 = +p -2 =p + 3 (®.v.d.t) Gäi S lµ diÖn tÝch h×nh trßn (C) Þ S = p R = 8p (®.v.d.t) * Do tính đối xứng qua Ox nên: SOABC = SOAB = 2p + 4ö æ Gäi S2 lµ phÇn diÖn tÝch h×nh trßn cßn l¹i Þ S2 = S - S1 = 8p - ç 2p + ÷ = 6p - (®.v.d.t) 3ø è S1 2p + 3p + = = KÕt luËn: VËy parabol chia ®­êng trßn thµnh hai phÇn cã tû sè S2 6p - 9p - Ví dụ 6: Chứng minh với m thì đường thẳng ( d ) : y = mx + luôn cắt (P): y = x + điểm phân biệt Hãy xác định m để phần diện tích giới hạn đường thẳng (d) và (P) có diện tích nhỏ Gợi ý: * Xét phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d): x + = mx + Û x - mx - = (1) Ta cã: D = m + > "m VËy (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt Gọi hai giao điểm A, B có hoành độ x1 , x2 : nghiệm pt(1) * DiÖn tÝch h×nh ph¼ng (H) cÇn t×m lµ: æ x mx öx mx + x d x = + x÷ ç- + òx è ø x1 m 1 = - x23 - x13 + x2 - x12 + (x2 - x1 ) = - (x2 - x1 )éë2 x22 + x1 x2 + x12 - 3m (x1 + x2 ) - ùû 1 =m + éë2 m + - 3m - ùû = m2 + ³ "m 6 VËy S = m = (y.c.b.t ) SH = x2 ) ( ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN : 1) (TK-2006): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường: 2) (D-2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường: Luyện thi Đại học 2010 y = x - x + 3, y = x + -3x - y= và Ox, Oy x -1 3) (TK-2002): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3 - x + x và Ox 4) (A- 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = ( e + 1) x, y = (1 + e x ) x 5) (TK-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y = 0, y = x (1 - x ) x2 + 6) (TK-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường: y = x , y = - x æ 5ö 7) (TK 2002) Tìm m Î ç 0; ÷ cho hình phẳng giới hạn đồ thị : è 6ø 1 y = x + mx - x - m - và các đường thẳng x = 0, x = 2, y = có diện tích 3 x + 3x + 7) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (c) : y = , tiệm cận xiên đồ thị hàm số và x +1 x = và x = 8) Tính diện tích hình (H) các trường hợp sau: ïìy = x îïx = -y 1) (H4): í ìïy = x ïîy = - x 2) (H5): í ln x ì y = ï x ïï 3) (H7): íy = ïx = e ï ïîx = ìïy = x - 2x 4) (H8) : í îïy = -x + 4x 3 ì ïy = x + x 2 5) (H9): í ïy = x î ìy - 2y + x = 6) (H10): í îx + y = ì(C ) : y = x ï 7) í(d ) : y = - x ï(Ox ) î ì(C ) : y = e x ï 8) í(d ) : y = ï(D) : x = î ì y = 2x + îy = x -1 9) í ìï y = - - x 10) í ïî x + y = ìy = x ï 11) í x + y - = ïy = î ì x2 y = ïï 12) í ïy = ïî 1+ x ì y = 2x 13) í î y = x , y = 0, y = ì y = ln x , y = ï 14) í ïî x = e , x = e Giáo viên: LÊ BÁ BẢO 1 ì ïï y = sin x ; y = cos x 15) í ïx = p ; x = p ïî 16) y = x - x ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6) ì y = - x + 6x - ï 17)*** í y = - x + x - ï y = x - 15 î ìy = x ï ïï y = 18) í x ïy = ï ïî x = e ïì y = x - 19) í îï y = x + ìï y = x 20) í ïî y = x Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN ìï y = x - x + ìï y = -3 x - x + 21) í 34) í ïî y = ïî y = - x ìy = x + 2 22) í ïì y = x - x + 35) í îy = - x ïî y = ì y = x - 2x + ï 23) í y = x + x + ïy = î ìï y = x - 24) í ïî y = - x + ìy = x ï 25) í y = ï x = -2; x = î ì y = sin x - cos x ï 26) í y = ï x = 0; x = p î ì ïy 27) í ïî y ìy 28) í îy = x +3+ x =0 = x + 2x = x +2 ì y = 2x - 2x ï 29) í y = x + 3x - ï x = 0; x = î ìï y = x - x + 30) í ïî y = ì y = 2x ï 31) í y = x - x - ïy = î ïì y = x - x + 32) í îï y = ìï y = x - x + 33) í îï y = x + ì x2 = y ï 36) í x2 -x6 ï x = 0; x = î ïì y = sin x 37) í ïî y = x - p ì y = 2x ï 38) í y = x - x - ïy = î ì y = 2x ï 39) í2 x + y + = ïy = î ì y = ( x + 1) î x = sin p y 40) í ïì y = x - 41) í îï x = 2 ïì x = y - 42) í ïî x = ì x = ( y + 1) ï 43) í y = sin x ïx = î ì x2 ïy = ï 44) í ïy = x ïî Luyện thi Đại học 2010 ì ï ï x = 0; ï 45) í x = ï ï x ;y =0 ïy = 1- x î ì y = x -2 ï 46) í y = ï x = 0; y = - x î ïì y = x 47) í ïî x + y = 16 ì ïy = x ï x2 ï 48) í y = 27 ï 27 ï ïî y = x ïì y = (4 - x ) 49) í ïî y = x ì ï y = log x ï 50) í y = ï ï x = , x = 10 10 î ìïax = y (a > 0) îïay = x 51) í ìy = x ï 52) í y = sin x + x ï0 £ x £ p î ìï y = x ïî27 y = 8( x - 1) 53) í 54) x y2 + = vµ hai 25 tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4) Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền Lop12.net