c) Tìm vị trí của đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn nhất.. b) Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi B và C lần lượt là các điểm đối xứng của A qua[r]
(1)Phaàn 1:
Vận dụng quan hệ đường xiên – đường vng góc ; đường xiên – hình chiếu
và qui tắc điểm (bất đẳng thức tam giác)
-o0o -Bài (8): Cho tam giác ABC nhọn ,đường cao AH Điểm M di động cạnh BC
a) Chứng minh : AM AH.
b) Tìm vị trí điểm M để AM có độ dài ngắn
Bài (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB>AC),đường cao AH Điểm M di động cạnh BC
a) Chứng minh: AM AB .
b) Tìm vị trí điểm M để AM có độ dài lớn
Bài (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC),đường cao AH Điểm M di động cạnh BC
a) Tìm vị trí điểm M để AM có độ dài nhỏ b) Tìm vị trí điểm M để AM có độ dài lớn
Bài (8): Cho tam giác ABC có AB 6cm; AC 8cm; BC 10cm đường cao AH Điểm M di động cạnh BC, kẻ MEABtại E và
MFACtại F.
a) Chứng minh: ABC vng A tính AH.
b) Chứng minh: tứ giác AEMF hình chữ nhật EF AM . c) Chứng minh: EF AH
d) Tìm vị trí điểm M để EF có độ dài nhỏ
Bài (9): Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Điểm M di động nửa đường trịn, kẻ MH vng góc với AB H
a) Chứng minh: MH R.
b) Tìm vị trí điểm M để MH có độ dài lớn c) Tìm vị trí điểm M để SAMBđạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) điểm A cố định nằm ngồi đường trịn Một đường thẳng d qua A cắt (O) B C Gọi I trung điểm BC
(2)b) Tìm vị trí đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn Bài (9): Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB điểm M di động nửa đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) M cắt Ax D, cắt By E
a) Chứng minh: DE AD BE và DE AB .
b) Chứng minh: tam giác DOE vuông O AD.BE R 2.
c) Tìm vị trí điểm M để AD BE đạt giá trị nhỏ nhất. d) Tìm vị trí điểm M để SABED đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Tìm vị trí điểm M để SODE đạt giá trị nhỏ
f) Tìm vị trí điểm M để OD.OE đạt giá trị nhỏ Bài (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) đường cao AH
Điểm M di động cạnh BC Kẻ BI CK vuông góc với đường thẳng AM I K
a) Chứng minh: BI CK BC.
b) Tìm vị trí điểm M để BI CK đạt giá trị lớn Bài (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) đường cao AH
Điểm M di động cạnh BC
a) Chứng minh: AH AM AC.
b) Tìm vị trí điểm M để AM có độ dài nhỏ c) Tìm vị trí điểm M để AM có độ dài lớn
Bài (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có đường cao AH
BL Điểm M di động cạnh BC Kẻ BI CK vng góc với đường thẳng AM I K
a) Chứng minh:
ABC
2S BI CK
AM
b) Chứng minh: AH AM AC. c) Chứng minh: BL BI CK BC.
(3)Bài (8): Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có đường cao AH CK Điểm M di động cạnh BC Kẻ BD CE vng góc với đường thẳng AM D E
a) Chứng minh:
ABC
2S BD CE
AM
b) Chứng minh: AH AM AB.
c) Chứng minh: CK BD CE BC.
d) Tìm vị trí điểm M để BD CE đạt giá trị nhỏ nhất.
e) Tìm vị trí điểm M để BD CE đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng d quay quanh điểm A khơng cắt cạnh hình bình hành Kẻ BB ,CC ,DD ,OO1 1 1lần lượt vng góc
với đường thẳng d B ,C , D ,O 1 1
a) Chứng minh: BB1CC1DD14.OO
b) Tìm vị trí đường thẳng d để BB1CC1DD1đạt giá trị
lớn
Bài (8): Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo AC BD điểm I cố định nằm ngồi hình bình hành Đường thẳng d quay quanh điểm I không cắt cạnh hình bình hành Kẻ AA ,BB ,CC ,DD ,OO1 1 1lần lượt vng góc với đường thẳng
d A ,B ,C ,D ,O 1 1
a) Chứng minh: AA1BB1CC1DD14.OO
b) Tìm vị trí đường thẳng d để
1 1 1
AA BB CC DD OO đạt giá trị lớn nhất.
Bài (8): Cho nửa đường trịn (O), đường kính AB=2R Điểm M di động nửa đường tròn, qua M vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn Gọi C D hình chiếu A B tiếp tuyến
a) Chứng minh: AC BD 2R.
(4)c) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị lớn
Bài (8): Cho đường tròn (O) dây cung AB không qua tâm O Điểm M di động cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn Gọi C D hình chiếu A B tiếp tuyến
a) Chứng minh: CD AB .
b) Tìm vị trí điểm M để CD có độ dài lớn c) Tìm vị trí điểm M để CD có độ dài nhỏ
Bài (8): Cho đường tròn (O) dây cung AB không qua tâm O Điểm M di động cung lớn AB, qua M vẽ tiếp tuyến với đường tròn Gọi I trung điểm AB.Kẻ AC,BD,IE vng góc với tiếp tuyến C,D,I
a) Chứng minh: CD AB .
b) Chứng minh: IE IM R OI.
c) Tìm vị trí điểm M để SACDBđạt giá trị lớn nhất.
d) Tìm vị trí điểm M để SACDBđạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) điểm A cố định nằm ngồi đường trịn Một đường thẳng d qua A cắt (O) B C Gọi I trung điểm BC
b) Chứng minh: AB AC 2.AI AI AO.
c) Tìm vị trí đường thẳng d để AB+AC đạt giá trị lớn -Qui tắc
điểm -Bài (8): Cho A B hai điểm cố định nằm hai nửa mặt phẳng khác có bờ đường thẳng d cố định Điểm M di động đường thẳng d
a) Chứng minh: MA MB AB.
b) Tìm vị trí điểm M để MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho A B hai điểm cố định nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d cố định Điểm M di động đường thẳng d.Gọi C điểm đối xứng điểm A qua đường thẳng d
(5)b) Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị nhỏ
Bài (8): Cho điểm A cố định nằm góc xOy cố định Gọi B C điểm đối xứng A qua tia Ox Oy Điểm M di động Ox, điểm N di động Oy.Kí hiệu: PMNlà chu vi tam giác
AMN
a) Chứng minh: PMN BM MN NC
b) Chứng minh: PMNBC
c) Tìm vị trí điểm M điểm N để chu vi tam giác AMN đạt giá trị nhỏ
Bài (9): Cho đường trịn (O;R) đường kính AB, C điểm cố định nằm A O Điểm M di động đường tròn (O)
a) Chứng minh: R OC CM R OC.
b) Tìm vị trí điểm M để CM có độ dài lớn c) Tìm vị trí điểm M để CM có độ dài nhỏ
Bài (9): Cho hai đường trịn (O;R) (O’;R’) ngồi Gọi P,Q,R,S giao điểm đường thẳng OO’ với (O) (O’) (theo thứ tự P,O,Q,R,O’,S) Điểm A di động (O), điểm B di động (O’)
a) Chứng minh: AB R OO' R suy AB PS. b) Chứng minh: AB OO' R R 'suy AB QR.
c) Tìm vị trí điểm A điểm B để AB có độ dài lớn d) Tìm vị trí điểm A điểm B để AB có độ dài nhỏ Bài (9): Cho đường trịn (O;R) dây cung AB khơng qua tâm Điểm M di động cung lớn AB, kẻ MH vng góc với AB H Gọi I trung điểm đoạn AB
a) Chứng minh: MH MI R OI.
b) Tìm vị trí điểm M để MH có độ dài lớn c) Tìm vị trí điểm M để SAMBđạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) dây cung AB không qua tâm Điểm M di động cung nhỏ AB, kẻ MH vng góc với AB H Gọi I trung điểm đoạn AB K giao điểm OM AB
a) Chứng minh: MH MK R OI.
(6)c) Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn
Bài (8): Cho hình vng ABCD M,N,P,Q bốn đỉnh tứ giác MNPQ điểm di động cạnh AB,BC,CD,DA Gọi H,I,K trung điểm đoạn QM,MP,PN
a) Chứng minh:QM MN NP PQ AH HI IK KC b) Chứng minh: QM MN NP PQ 2AC.
c) Tìm điều kiện tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ
Bài (8): Cho hình vng ABCD cạnh a M,N,P,Q bốn đỉnh tứ giác MNPQ điểm di động cạnh AB,BC,CD,DA
a) Chứng minh: QM MN NP PQ 2.a.
b) Tìm điều kiện tứ giác MNPQ để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ
Bài (8): Cho hình chữ nhật ABCD D,E,G,H bốn đỉnh tứ giác DEGH di động cạnh AB,BC,CD,DA
a) Chứng minh: DE EG GH HD 2.AC.
b) Tìm điều kiện tứ giác DEGH để tứ giác DEGH có chu vi nhỏ
Bài (8): Cho tam giác ABC có
A 1200
điểm M nằm tam giác.Trên nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ đường thẳng AM dựng tam giác AMD nửa mặt phẳng khơng chứa B có bờ đường thẳng AC dựng tam giác ACE
a) Chứng minh: MC DE.
b) Chứng minh: MA MB MC BE.
c) Tìm vị trí điểm M để MA MB MC đạt giá trị nhỏ
nhất
(7)-o0o -Vận dụng bất đẳng thức trong đường tròn.
***
Bài (9): Cho đường trịn tâm O đường kính AB điểm M di động trên đường trịn Tìm vị trí điểm M để độ dài AM đạt giá trị lớn Bài (9): Cho đường tròn tâm O đường kính AB dây cung CD vng góc với AB Tìm điều kiện dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn tâm O dây cung AB cố định CD dây cung di động ln vng góc với AB Tìm điều kiện dây cung CD để diện tích tứ giác ACBD đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn tâm O dây cung AC cố định Điểm B di động cung lớn AB, điểm D di động cung nhỏ AB Tìm vị trí điểm B D để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) hai dây cung AC BD vng góc với Tìm điều kiện hai dây cung AB CD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn tâm (O;R) tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Tìm điều kiện tứ giác ABCD để diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Điểm M di động cung nhỏ BC Trên đoạn AM lấy điểm D cho MD MB. a) Chứng minh: BMD tam giác MB MC MA.
b) Tìm vị trí điểm M để MA MB MC đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB điểm C di động nửa đường tròn Gọi D điểm tia đối tia CA cho
CD CB.
a) Tính ADB chứng minh: điểm D di động cung tròn cố định
(8)c) Tìm vị trí điểm C nửa đường tròn để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) dây cung AB R 3 cố định Điểm C di động cung lớn AB Gọi D điểm tia đối tia CA cho
CD CB.
a) Tính ACB ADB
b) Chứng minh: điểm D di động cung trịn cố định c) Tìm vị trí điểm C cung lớn AB để AD đạt giá trị
lớn
d) Tìm vị trí điểm C cung lớn AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) dây cung AB R 3 cố định Điểm C di động cung nhỏ AB Gọi D điểm tia đối tia CA cho
CD CB.
a) Tính ACB ADB
b) Chứng minh: điểm D di động cung trịn cố định c) Tìm vị trí điểm C cung nhỏ AB để AD đạt giá trị
lớn
d) Tìm vị trí điểm C cung nhỏ AB để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) dây cung AB cố định Gọi C điểm cung nhỏ AB Điểm M di động cung lớn AB
a) Chứng minh: MA.CB MB.CA MC.AB (đẳng thức Ptolémée)
b) Tìm vị trí điểm M để MA MB đạt giá trị lớn nhất. c) Tìm vị trí điểm M để MA MB MC đạt giá trị lớn
nhất
Bài (9): Cho đường tròn (O;R) tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
a) Chứng minh: AB.CD AD.BC AC.BD. (đẳng thức Ptolémée)
b) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để AB.CD AD.BC đạt
(9)Bài (9): Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) cắt A B Kẻ đường kính BC (O) đường kính BD (O’) Một đường thẳng quay quanh A cắt (O) M cắt (O’) N
a) Chứng minh: A,C,D thẳng hàng
b) Chứng Vminh: hai tam giác BMN BCD đồng dạng c) Tìm vị trí đường thẳng d để chu vi tam giác BMN đạt
giá trị lớn
Vận dụng bất đẳng thức đại số
***
Bài (*): Chứng minh bất đẳng thức đại số sau tìm dấu xảy ra:
a)
2
2
2 a b a b 4ab
với a,b b) x y xy với x 0; y 0.
c)
2
a b a b a b
với a,b d)
x y
y x với x.y 0. e)
x y z
y z x với x, y,z 0. f)
1
xyx y với x 0, y 0. g)
1 1
xy z x y z với x, y,z 0. h) x y z x.y.z với x, y,z 0.
Bài (8): Cho đoạn thẳng AB 20 và điểm M di động đoạn AB. a) Chứng minh: MA.MB 100.
(10)c) Chứng minh: 200 MA 2MB2400.
d) Tìm vị trí điểm M để MA2MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. e) Tìm vị trí điểm M để MA2MB2 đạt giá trị lớn nhất. Bài (8): Cho đoạn thẳng AB 2 và điểm M di động đoạn AB
M A;M B
a) Chứng minh:
1
MA MB AB. b) Tìm vị trí điểm M để
1
MA MB đạt giá trị giá trị nhỏ
Bài (8): Cho đoạn thẳng AB điểm M di động đoạn AB
M A;M B
a) Chứng minh:
MA MB MB MA . b) Tìm vị trí điểm M để
MA MB
MB MA đạt giá trị giá trị nhỏ
Bài (9): Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Điểm M di động nửa đường tròn
a) Chứng minh: MA2MB2 4R
b) Chứng minh: MA MB 2.R
c) Tìm vị trí điểm M để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn
Bài (9): Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB Điểm M di động nửa đường tròn
a) Chứng minh: MA2MB2 4R
b) Chứng minh: MA 3.MB 4R .
(11)Bài (9): Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB điểm M di động nửa đường tròn Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By nửa đường tròn tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) M cắt Ax D, cắt By E
a) Chứng minh:AD.BE R 2.
b) Chứng minh:AD BE 2R.
c) Tìm vị trí điểm M để AD BE đạt giá trị nhỏ nhất. Bài (8): Cho góc xOy 90 0.Trên tia Ox lấy điểm A, tia Oy lấy điểm B cho OA OB 2a (không đổi).
a) Chứng minh: AB 2.a
b) Tìm vị trí điểm A điểm B để chu vi tam giác AOB đạt giá trị nhỏ
Bài (9): Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Điểm M di động cung lớn AB Gọi H trực tâm K chân đường cao vẽ từ đỉnh M tam giác AMB
a) Chứng minh: MK.HK KA.KB. b) Chứng minh:
2
AB KA.KB
4
c) Tìm vị trí điểm M để MK.HK đạt giá trị lớn Bài (8): Cho tam giác ABC có ba góc nhọn điểm M thuộc miền tam giác Kẻ MD,ME,MF vng góc với BC,CA,AB D,E,F
a) Chứng minh: BD2CE2AF2 CD2AE2BF2
AM2 BM2 CM2 MD2 ME2 MF2
b) Chứng minh:
2
2 BC
BD CD
c) Chứng minh:
2 2 2
BD CE AF AB BC CA
d) Tìm vị trí điểm M để BD2CE2AF2 đạt giá trị nhỏ
(12)Bài (8): Cho tam giác nhọn ABC điểm O nằm tam giác Các đường thẳng AO,BO,CO cắt cạnh BC,CA,AB D,E,F Đặt SBOCS ,S1 COA S ,S2 AOBS ,S3 ABCS
a) Chứng minh:
1
2
OD S AO S S OD S
; ;
AD S AD S AO S S
b) Chứng minh:
OD OE OF AD BE CF
AO BO CO AD BE CF . c) Chứng minh:
AO BO CO
OD OE OF Dấu “=” xảy nào? d) Chứng minh:
AD BE CF
OD OE OF Dấu “=” xảy nào? e) Chứng minh:
AO BO CO
OD OE OF Dấu “=” xảy nào? f) Chứng minh:
AD BE CF 27
OD OE OF Dấu “=” xảy nào? g) Chứng minh:
AD BE CF
AO BO CO 2 Dấu “=” xảy nào? h) Chứng minh:
OD OE OF
AO BO CO 2 Dấu “=” xảy nào? Bài (9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Điểm M di động cung nhỏ BC
a) Chứng minh: MA MB MC . b) Chứng minh:
1
MB MC MA . c) Tìm vị trí điểm M để tổng
1 1
S
MA MB MC
đạt giá trị nhỏ
Bài (9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) điểm M di động đường trịn.Tìm vị trí điểm M để:
(13)b)
1 1
MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (9): Cho tam giác ABC có diện tích S, nửa chu vi p I tâm đường tròn nội tiếp.Gọi D,E,F chân đường vng góc hạ từ I xuống BC,CA,AB A ,B ,C1 1 giao điểm đường
thẳng AI,BI,CI với BC,CA,AB Đặt SBIC S ;S1 CIA S ;S2 AIBS
a) Chứng minh:
2
1
AI S S ID S
AI S S r S
b) Chứng minh:
AI BI CI
r r r Dấu “=” xảy nào? c) Chứng minh: IA IB IC p 6S. Dấu “=” xảy nào? Bài (9): Cho tam giác ABC nhọn có BC a;AC b;AB c;
ABC
AB BC CA
p;S S
2
r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
a) Chứng minh: S pr p p a p b p c
b) Chứng minh:
3
p p a p b p c
27
.Dấu “=” xảy nào?
c) Chứng minh: p 3.r Dấu “=” xảy nào? d) Chứng minh: S 3.r Dấu “=” xảy nào? e) Chứng minh:
2
3.p S
9
Dấu “=” xảy nào? Bài (9): Cho đường tròn cố định (O) bán kính 2006.Tam giác ABC ln thay đổi ln ngoại tiếp đường trịn (O)
a) Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác ABC b) Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác ABC
(14)a) Chứng minh:
2
2 AB
MA MB
b) Chứng minh: MN2NP2PQ2QM2AC
c) Tìm điều kiện tứ giác MNPQ để tổng bình phương cạnh đạt giá trị nhỏ
Bài (9): Cho tam giác ABC vuông A Ta dựng hai nửa đường trịn đường kính AB AC bên tam giác Một đường thẳng d qua A cắt nửa đường tròn D E
a) Chứng minh: AD BD 2.AB.Dấu “=” xảy nào?
b) Chứng minh: AE CE 2.AC.Dấu “=” xảy nào?
c) Tìm vị trí đường thẳng d để chu vi tứ giác BDEC đạt giá trị lớn
Bài (8): Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm M,N cho chu vi tam giác AMN 2a Đặt
AM x;AN y.
a) Chứng minh: x y x2y2 2a
b) Chứng minh:
2
xy a 2
c) Tìm vị trí điểm M N để diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn
Bài (8): Cho tam giác ABC có BC a,CA b,AB c. Điểm M nằm tam giác Kẻ MD,ME,MF vng góc với BC,CA,AB D,E,F Đặt MD x, ME y,MF z.
a) Chứng minh: xa by cz 2S ABC
b) Chứng minh:
2
a b c
ax by cz a b c x y z
Dấu
“=” xảy nào? c) Tìm vị trí điểm M để
a b c
(15)(16)