Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS.[r]
(1)PHẠM HỒNG PHONG Phân loại chi tiết Hệ thống ví dụ phong phú Bài tập có đáp số đầy đủ Trích dẫn tất các bài thi các năm 2002 - 2012 HÀ NỘI - 2012 Lop12.net (2) Bản quền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể download miễn phí violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, cuc tri cua ham so Lop12.net (3) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Mục lục Loại Kiến thức chung A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ C Bài tập D Đáp số Loại Cực trị hàm bậc ba .7 A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ C Bài tập 14 D Đáp số 16 Loại Cực trị hàm bậc bốn trùng phương 17 A Tóm tắt lý thuyết 17 B Một số ví dụ 18 C Bài tập 22 D Đáp số 23 Lop12.net (4) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Lop12.net (5) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Kiến thức chung A Tóm tắt lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số Cho f : D và x0 D +) x0 gọi là điểm cực đại f tồn khoảng a;b cho x0 a;b D f x f x x a;b \ x 0 +) x0 gọi là điểm cực tiểu f tồn khoảng a;b cho x0 a;b D f x f x0 x a;b \ x0 +) Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Bảng sau đây tóm tắt các thuật ngữ sử dụng phần này: f x0 x0 x0 ;f x0 Điểm cực đại f Giá trị cực đại f Điểm cực đại ĐTHS f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu f Điểm cực tiểu ĐTHS f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị ĐTHS f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: f có đạo hàm x0 , f đạt cực trị x0 f ' x0 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị * Quy tắc 1: +) f ' x đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 +) f ' x đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 f '(x0 ) f '(x0 ) * Quy tắc 2: f đạt cực đại x0 , f đạt cực tiểu x0 f "(x0 ) f "(x0 ) Lop12.net (6) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y x x 3x 3 Giải +) TXÑ +) y ' x 2x , y ' x 1 x +) Bảng biến thiên: x -1 -∞ + f '(x) _ +∞ + +∞ lim y , lim y x x f(x) -∞ +) Kết luận: 23 hàm số đạt cực đại x 1 , giá trị cực đại tương ứng là y 1 ; hàm số đạt cực tiểu x , giá trị cực tiểu tương ứng là y 23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y x x Giải +) TXÑ +) y x x y ' x x x x x2 x x ( x ) +) Bảng biến thiên: Lop12.net (7) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x -1 -∞ + y' 0 _ +∞ + +∞ lim f x , lim f x x x y -∞ +) Kết luận: hàm số đạt cực đại x 1 , giá trị cực đại tương ứng là y 1 ; hàm số đạt cực tiểu x , giá trị cực tiểu tương ứng là y Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y x x 3x 3 Giải +) TXÑ +) y ' x 2x , y ' x 1 x +) y" 2x , y " 1 4 hàm số đạt cực đại x 1 , giá trị cực đại tương ứng là y 1 , y " hàm số đạt cực tiểu x , giá trị cực tiểu tương ứng là y 23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y x sin 2x Giải +) TXÑ +) y ' 2cos 2x , y ' cos 2x 2x 2k x k ( k ) +) y" 4sin 2x , Lop12.net (8) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 -) y " k sin 2k hàm số đạt cực tiểu các điểm x k , giá 6 6 trị cực tiểu tương ứng là y k k -) y " k sin 2k 2 hàm số đạt cực đại các điểm x k , 6 giá trị cực tiểu tương ứng là y k k 6 Ví dụ [SGK] Tìm a , b , c cho hàm số y ax bx cx d đạt cực tiểu điểm x , y và đạt cực đại x , f 1 Giải +) Ta có y ' 3ax 2bx c y ' 0 c a 2 b y 0 d Từ giả thiết suy 3a 2b c c y ' a b c d d y 1 +) Khi đó y 2x 3x , y ' 6x 6x , y" 12x Ta có y " hàm số đạt cực tiểu x , y " 1 6 hàm số đạt cực đại x (thỏa mãn) Vậy a , b , c , d Lop12.net (9) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Tìm cực trị các hàm số 1) f x 2x 9x2 12x 2) f x 5x 3x 4x 3) f x 3x4 4x 24x 48x 4) f x x x2 5) f x x 28x 24 x 4 6) f x 2x x 4 7) f x x x 8) f x x x 9) f x sin x cos x 10) f x sin x cos 2x Bài Tìm a , b , c để hàm số f x x ax bx c đạt cực tiểu x , f 1 và đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Bài Tìm p , q cho hàm số f x x p q đạt cực đại điểm x 2 và x1 f 2 Lop12.net (10) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Đáp số Bài 1) Hàm số đạt cực đại điểm x , f 1 và đạt cực tiểu điểm x , f 2) Hàm số nghịch biến trên nên không có cực trị 3) Hàm số đạt cực tiểu x 2 , f 115 và x , f 13 , đạt cực đại điểm x , f 1 20 4) Hàm số đạt cực đại điểm x 1 , f 1 7 và đạt cực tiểu điểm x , f 5) Hàm số đạt cực tiểu điểm x , y 1 và đạt cực đại điểm x , y 6) Hàm số đạt cực tiểu điểm x 2 , y 2 và đạt cực đại điểm x , y 4 7) Hàm số đạt cực tiểu x ; f 1 , đạt cực đại điểm x ; f 8) Hàm số đạt cực tiểu x 2 ; f 2 , đạt cực đại điểm x ; f 4 9) Hàm số đạt cực tiểu các điểm x 2k , y 2k và x 2k , y 2k Hàm số đạt cực đại các điểm x 5 2k , y 5 2k 6 10) Hàm số đạt cực tiểu các điểm x 2k , y 2k và x 2k , 2 6 y 2k 3 Hàm số đạt cực đại các điểm x 2k , y 2k và x 56 2k , y 56 2k 23 Bài a , b 9 , c Bài p , q Lop12.net (11) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Cực trị hàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm f x ax3 bx cx d C ( a ), f ' x 3ax 2bx c là tam thức bậc hai có ' b 3ac * Điều kiện có cực trị +) f có cực trị f có hai cực trị C có các điểm cực đại cực tiểu f ' x có hai nghiệm phân biệt ' +) f không có cực trị ' * Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS Giả sử f có cực trị, thực phép chia đa thức f x cho f ' x để có: f x p x f ' x ax b Từ đây suy ra: +) x0 là điểm cực trị f f ' x0 f x ax0 b +) : y ax b là đường thẳng qua tất các điểm cực trị C Lop12.net (12) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Tìm m để hàm số y m x3 3x mx có cực đại, cực tiểu Giải Ta có y ' m x 6x m y có cực đại, cực tiểu thì trước hết 1 m m 2 Khi đó y ' là tam thức bậc hai có ' 3 m 2m y có cực đại, cực tiểu ' m 2m 3 m Kết hợp với 1 và 2 2 ta có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m 3; 2 2;1 Ví dụ [ĐHD12] Tìm m để hàm số y x mx 3m x có hai điểm cực trị x , 3 x cho x1x x1 x Giải Ta có y ' 2x2 2mx 3m x mx 3m t x t x là tam thức bậc hai có 13m y có hai điểm cực trị y ' có hai nghiệm phân biệt t x có hai nghiệm phân biệt 0 m 13 13 13 m 13 1 x1 x m x1 , x là các nghiệm t x nên theo định lý Vi-ét, ta có x1x2 3m Lop12.net (13) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Do đó x1x x1 x 3m 2m x1x x1 x 3m 2m 3m 2m m khoâng thoûa maõn 1 m thoûa maõn 1 Vậy m Ví dụ [ĐHB07] Tìm m để hàm số y x 3x2 m x 3m có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị ĐTHS cách gốc tọa độ O Giải y ' 3x2 6x m 3 x 2x m t x t x là tam thức bậc hai có ' m y có cực đại cực tiểu y ' có hai nghiệm phân biệt t x có hai nghiệm phân biệt ' 1 m tọa độ các điểm cực trị ĐTHS là Khi đó y ' có các nghiệm là: m A m; 2 2m và B m; 2 2m OA m; 2 2m OA m m 2 OB m; 2 2m OB m m A và B cách gốc tọa độ OA OB OA OB Lop12.net (14) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 1 m m 1 m m 2 2 2 1 m 1 m m m 4m 16m m khoâng thoûa maõn 1 m thoûa maõn 1 Vậy m Ví dụ [ĐHB12] Tìm m để ĐTHS y x3 3mx 3m có hai điểm cực trị A và B cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải Ta có x y ' 3x2 6mx 3x x 2m , y ' x 2m ĐTHS có hai điểm cực trị và 1 2m m Khi đó, các điểm cực trị ĐTHS là A 0;3m , B 2m; m +) OA 0;3m OA m +) Ta thấy A Oy OA Oy d B, OA d B,Oy m 2 3 Từ và suy SOAB OA.d B;OA 3m Do đó: SOAB 48 3m 48 m 2 (thỏa mãn 1 ) Ví dụ Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS f x x 3x 6x C Giải x x1 Ta có f ' x 3x 6x x 2x , f ' x t x x x t x 10 Lop12.net (15) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bảng biến thiên x -∞ + y' x2 x1 _ +∞ + +∞ fx1 y f x2 -∞ Từ bảng biến thiên ta thấy f đạt cực đại x1 , đạt cực tiểu x Thực phép chia f x cho t x ta có: f x x 1 t x 6x Ta có +) f x1 x1 1 t x1 6x1 6x1 (vì f ' x1 t x1 ) f x1 f 6 tọa độ điểm cực đại: Tương tự : f x 6 tọa độ điểm cực tiểu: +) Ta thấy tọa độ các điểm cực trị C 1 1 3;6 3; 6 cùng thỏa mãn phương trình y 6x nên phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS là y 6x Nhận xét: Trong ví dụ trên thay vì chia f x cho f ' x , ta thực phép chia f x cho t x đơn giản mà đạt mục đích phương pháp Sở dĩ có thể làm là vì f ' x và t x có cùng tập nghiệm Ví dụ [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ĐTHS y x 3mx m x m m Giải 11 Lop12.net (16) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ta có f ' x 3x2 6mx m 3 x 2mx m t x t x có ' t x có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp x qua hai nghiệm này t x có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp x qua hai nghiệm này f có cực đại, cực tiểu Thực phép chia f x cho t x ta có: f x m x t x 2x m m x0 là điểm cực trị nào đó f f x0 m x0 t x0 2x0 m m 2x0 m m (vì f ' x0 t x0 ) f x 2x0 m m phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS là y 2x m m Ví dụ Tìm m để ĐTHS f x x m 1 x 2m 3m x m m 1 có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng y x góc 45o Giải * Ta có f ' x 3x2 m 1 x 2m 3m Ta thấy f ' x là tam thức bậc hai có m 3 ' m 3m f có cực đại, cực tiểu ' 3 m 1 * Thực phép chia f x cho f ' x ta có: f x x m 1 f ' x m 3m x m 4m 2m 3 Nếu x0 là điểm cực trị nào đó hàm số thì 12 Lop12.net (17) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 f x0 x0 m f ' x0 m 3m x0 m3 4m 2m 3 m 3m x0 m 4m 2m (do f ' x0 ) 3 : y m 3m x m 4m 2m là đường thẳng qua các điểm trị 3 ĐTHS * Đặt k m 3m tạo với y x góc 45 và k1 k 1 tan 45 k1 k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 1 k +) k m 3m 10m 30m 19 m 15 35 ( không thỏa 5 10 mãn 1 ) +) k m 3m 2m 6m m 15 (thỏa mãn 1 ) 3 Vậy m 15 13 Lop12.net (18) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Cho y mx 3mx m 1 x Tìm m để hàm số có cực trị các điểm âm Bài Cho y 2x mx2 12x 13 Cm 1) Chứng tỏ với m , Cm luôn có các điểm cực đại, cực tiểu Gọi x1 , x là hoành độ các điểm cực trị Cm , tìm GTNN biểu thức S x12 x 22 x1 1 x2 1 2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu Cm cách trục tung Bài Cho y x 3x2 m x 3m Cm 1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu 2) Tìm m để Cm có các điểm cực trị và khoảng cách chúng Bài Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS 1) f x x3 3x 2x 2) f x 2x x2 x 3) f x x 2x2 10x Bài Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS 1) f x x 3mx2 m x m 2) f x x m 1 x 2m 3m x m m 1 Bài Tìm m để ĐTHS 1) f x 2x m 1 x m x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y 4x 2) f x 2x m 1 x 6m 2m x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng y 4x 3) f x x mx2 7x có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y 3x 14 Lop12.net (19) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4) y x 3mx m x m m có các điểm cực đại cực tiểu cho các điểm cực đại cực tiểu và điểm M 1;0 thẳng hàng 5) f x x 3x m x m có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y 12 x 25 6) f x x3 m 1 x mx có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 72x 12y 35 15 Lop12.net (20) THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Đáp số Bài 1 m Bài 1) A 19 , đạt m 2) m Bài 1) m 1 m 2) m 1 Bài 1) y x 3 2) y x 89 18 3) y 68 x 29 9 Bài 1) Hàm số có cực đại, cực tiểu m , PTĐT qua các điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS là y 2x m 2) Hàm số có cực đại, cực tiểu m ; 32 2 ; , PTĐT qua các điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS là y m 2m x m m m Bài 1) m 4) m 1 m 3 3 3 2) m 3) m 10 5) m 6) vô nghiệm 16 Lop12.net (21)