Chuyên đề Cực trị của hàm số (ôn thi vào Đại học)

Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS.[r]

PHẠM HỒNG PHONG  Phân loại chi tiết  Hệ thống ví dụ phong phú  Bài tập có đáp số đầy đủ  Trích dẫn tất các bài thi các năm 2002 - 2012 HÀ NỘI - 2012 Lop12.net Bản quền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể download miễn phí violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, cuc tri cua ham so Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Mục lục Loại Kiến thức chung A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ C Bài tập D Đáp số Loại Cực trị hàm bậc ba .7 A Tóm tắt lý thuyết B Một số ví dụ C Bài tập 14 D Đáp số 16 Loại Cực trị hàm bậc bốn trùng phương 17 A Tóm tắt lý thuyết 17 B Một số ví dụ 18 C Bài tập 22 D Đáp số 23 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Kiến thức chung A Tóm tắt lý thuyết Khái niệm cực trị hàm số Cho f : D   và x0  D +) x0 gọi là điểm cực đại f tồn khoảng  a;b  cho  x0   a;b   D  f x  f x  x  a;b \ x          0 +) x0 gọi là điểm cực tiểu f tồn khoảng  a;b  cho  x0   a;b   D  f  x   f  x0  x   a;b  \  x0  +) Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Bảng sau đây tóm tắt các thuật ngữ sử dụng phần này: f  x0  x0  x0 ;f  x0   Điểm cực đại f Giá trị cực đại f Điểm cực đại ĐTHS f Điểm cực tiểu f Giá trị cực tiểu f Điểm cực tiểu ĐTHS f Điểm cực trị f Cực trị f Điểm cực trị ĐTHS f Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: f có đạo hàm x0 , f đạt cực trị x0  f '  x0   Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị * Quy tắc 1: +) f '  x  đổi dấu từ âm sang dương x qua x0  f đạt cực tiểu x0 +) f '  x  đổi dấu từ dương sang âm x qua x0  f đạt cực đại x0 f '(x0 )  f '(x0 )  * Quy tắc 2:   f đạt cực đại x0 ,   f đạt cực tiểu x0 f "(x0 )  f "(x0 )  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  x  3x  3 Giải +) TXÑ   +) y '  x  2x  , y '   x  1 x  +) Bảng biến thiên: x -1 -∞ + f '(x) _ +∞ + +∞ lim y   , lim y   x  x  f(x) -∞ +) Kết luận: 23 hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng là y  1  ; hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng là y     23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  x   Giải +) TXÑ   +) y  x  x    y '  x  x    x  x  x2  x x  ( x  ) +) Bảng biến thiên: Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 x -1 -∞ + y' 0 _ +∞ + +∞ lim f  x    , lim f  x    x  x  y -∞ +) Kết luận: hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng là y  1  ; hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng là y    Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  x  3x  3 Giải +) TXÑ   +) y '  x  2x  , y '   x  1 x  +) y"  2x  , y "  1  4   hàm số đạt cực đại x  1 , giá trị cực đại tương ứng là y  1  , y "      hàm số đạt cực tiểu x  , giá trị cực tiểu tương ứng là y     23 Ví dụ [SGKNC] Sử dụng quy tắc tìm cực trị hàm số y  x  sin 2x  Giải +) TXÑ   +) y '   2cos 2x , y '   cos 2x   2x     2k  x     k ( k   ) +) y"  4sin 2x , Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 -) y "   k  sin   2k    hàm số đạt cực tiểu các điểm x    k , giá 6     6  trị cực tiểu tương ứng là y   k    k       -) y "    k  sin    2k  2   hàm số đạt cực đại các điểm x    k , 6   giá trị cực tiểu tương ứng là y    k     k   6 Ví dụ [SGK] Tìm a , b , c cho hàm số y  ax  bx  cx  d đạt cực tiểu điểm x  , y    và đạt cực đại x  , f  1  Giải +) Ta có y '  3ax  2bx  c y '  0  c   a  2   b  y  0  d   Từ giả thiết suy      3a  2b  c  c  y '        a  b  c  d  d   y  1  +) Khi đó y  2x  3x , y '  6x  6x , y"  12x  Ta có y "      hàm số đạt cực tiểu x  , y "  1  6   hàm số đạt cực đại x  (thỏa mãn) Vậy a   , b  , c  , d  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Tìm cực trị các hàm số 1) f  x   2x  9x2  12x  2) f  x   5x  3x  4x  3) f  x   3x4  4x  24x  48x  4) f  x   x   x2 5) f  x   x 28x  24 x 4 6) f  x   2x x 4 7) f  x   x  x 8) f  x   x  x  9) f  x   sin x  cos x 10) f  x   sin x  cos 2x Bài Tìm a , b , c để hàm số f  x   x  ax  bx  c đạt cực tiểu x  , f  1   và đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ Bài Tìm p , q cho hàm số f  x   x  p  q đạt cực đại điểm x  2 và x1 f     2 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Đáp số Bài 1) Hàm số đạt cực đại điểm x  , f  1  và đạt cực tiểu điểm x  , f    2) Hàm số nghịch biến trên  nên không có cực trị 3) Hàm số đạt cực tiểu x  2 , f     115 và x  , f    13 , đạt cực đại điểm x  , f  1  20 4) Hàm số đạt cực đại điểm x  1 , f   1  7 và đạt cực tiểu điểm x  , f    5) Hàm số đạt cực tiểu điểm x  , y  1  và đạt cực đại điểm x  , y    6) Hàm số đạt cực tiểu điểm x  2 , y  2    và đạt cực đại điểm x  , y    4 7) Hàm số đạt cực tiểu x  ; f  1  , đạt cực đại điểm x  ; f    8) Hàm số đạt cực tiểu x  2 ; f  2    , đạt cực đại điểm x  ; f    4 9) Hàm số đạt cực tiểu các điểm x  2k , y  2k    và x    2k ,   y    2k    Hàm số đạt cực đại các điểm x   5  2k , y  5  2k   6   10) Hàm số đạt cực tiểu các điểm x    2k , y   2k  và x     2k , 2   6  y    2k  3 Hàm số đạt cực đại các điểm x    2k , y   2k  và   x  56  2k , y 56  2k  23 Bài a  , b  9 , c  Bài p  , q  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Cực trị hàm bậc ba A Tóm tắt lý thuyết Xét hàm f  x   ax3  bx  cx  d  C ( a  ), f '  x   3ax  2bx  c là tam thức bậc hai có  '  b  3ac * Điều kiện có cực trị +) f có cực trị  f có hai cực trị   C  có các điểm cực đại cực tiểu  f '  x  có hai nghiệm phân biệt  '  +) f không có cực trị   '  * Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS Giả sử f có cực trị, thực phép chia đa thức f  x  cho f '  x  để có: f  x   p  x  f '  x   ax  b Từ đây suy ra: +) x0 là điểm cực trị f  f '  x0    f  x   ax0  b +)  : y  ax  b là đường thẳng qua tất các điểm cực trị  C  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Tìm m để hàm số y   m   x3  3x  mx  có cực đại, cực tiểu Giải Ta có y '   m   x  6x  m y có cực đại, cực tiểu thì trước hết  1 m    m  2   Khi đó y ' là tam thức bậc hai có  '  3 m  2m  y có cực đại, cực tiểu   '   m  2m    3  m  Kết hợp với  1 và  2  2 ta có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m   3; 2    2;1   Ví dụ [ĐHD12] Tìm m để hàm số y  x  mx  3m  x  có hai điểm cực trị x , 3 x cho x1x   x1  x   Giải     Ta có y '  2x2  2mx  3m   x  mx  3m   t x t  x  là tam thức bậc hai có   13m  y có hai điểm cực trị  y ' có hai nghiệm phân biệt  t  x  có hai nghiệm phân biệt  0  m  13  13   13 m    13  1  x1  x  m x1 , x là các nghiệm t  x  nên theo định lý Vi-ét, ta có   x1x2  3m  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Do đó x1x  x1  x  3m  2m    x1x   x1  x    3m  2m    3m  2m   m   khoâng thoûa maõn  1     m   thoûa maõn  1   Vậy m    Ví dụ [ĐHB07] Tìm m để hàm số y   x  3x2  m  x  3m  có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị ĐTHS cách gốc tọa độ O Giải     y '  3x2  6x  m   3 x  2x  m     t x t  x  là tam thức bậc hai có  '  m y có cực đại cực tiểu  y ' có hai nghiệm phân biệt  t  x  có hai nghiệm phân biệt  '   1  m   tọa độ các điểm cực trị ĐTHS là Khi đó y ' có các nghiệm là:  m     A  m; 2  2m và B  m; 2  2m  OA  m; 2  2m     OA    m    m   2 OB  m; 2  2m  OB    m    m     A và B cách gốc tọa độ  OA  OB  OA  OB Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2   1  m    m    1  m    m  2 2  2  1  m   1  m      m   m            4m  16m   m   khoâng thoûa maõn  1     m    thoûa maõn  1   Vậy m   Ví dụ [ĐHB12] Tìm m để ĐTHS y  x3  3mx  3m có hai điểm cực trị A và B cho tam giác OAB có diện tích 48 Giải Ta có x  y '  3x2  6mx  3x  x  2m  , y '     x  2m ĐTHS có hai điểm cực trị và  1 2m   m      Khi đó, các điểm cực trị ĐTHS là A 0;3m , B 2m; m  +) OA 0;3m    OA  m +) Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d  B, OA   d  B,Oy   m  2  3 Từ   và   suy SOAB  OA.d  B;OA   3m Do đó: SOAB  48  3m  48  m  2 (thỏa mãn  1 ) Ví dụ Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS f  x   x  3x  6x  C Giải  x  x1   Ta có f '  x   3x  6x   x  2x  , f '  x    t  x      x  x        t x 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bảng biến thiên x -∞ + y' x2 x1 _ +∞ + +∞ fx1 y f x2 -∞ Từ bảng biến thiên ta thấy f đạt cực đại x1 , đạt cực tiểu x Thực phép chia f  x  cho t  x  ta có: f  x    x  1 t  x   6x  Ta có +) f  x1    x1  1 t  x1   6x1   6x1  (vì f '  x1    t  x1   )      f  x1   f   6     tọa độ điểm cực đại: Tương tự : f  x   6  tọa độ điểm cực tiểu: +) Ta thấy tọa độ các điểm cực trị  C 1  1   3;6  3; 6 cùng thỏa mãn phương trình y  6x  nên phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS là y  6x  Nhận xét: Trong ví dụ trên thay vì chia f  x  cho f '  x  , ta thực phép chia f  x  cho t  x  đơn giản mà đạt mục đích phương pháp Sở dĩ có thể làm là vì f '  x  và t  x  có cùng tập nghiệm Ví dụ [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị ĐTHS   y   x  3mx   m x  m  m Giải 11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44     Ta có f '  x   3x2  6mx   m  3 x  2mx  m   t x  t  x  có  '    t  x  có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp x qua hai nghiệm này  t  x  có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp x qua hai nghiệm này  f có cực đại, cực tiểu Thực phép chia f  x  cho t  x  ta có: f  x    m  x  t  x   2x  m  m x0 là điểm cực trị nào đó f  f  x0    m  x0  t  x0   2x0  m  m  2x0  m  m (vì f '  x0    t  x0   )  f  x   2x0  m  m  phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị ĐTHS là y  2x  m  m   Ví dụ Tìm m để ĐTHS f  x   x   m  1 x  2m  3m  x  m  m  1 có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng y   x góc 45o Giải * Ta có f '  x   3x2   m  1 x  2m  3m  Ta thấy f '  x  là tam thức bậc hai có m  3   '  m  3m  f có cực đại, cực tiểu   '    3  m     1 * Thực phép chia f  x  cho f '  x  ta có:     f  x    x  m  1 f '  x   m  3m  x  m  4m  2m  3 Nếu x0 là điểm cực trị nào đó hàm số thì 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 f x0  x0  m  f ' x0  m  3m  x0  m3  4m  2m  3                   m  3m  x0  m  4m  2m  (do f '  x0   ) 3     : y   m  3m  x  m  4m  2m  là đường thẳng qua các điểm trị 3 ĐTHS * Đặt k   m  3m   tạo với y   x góc 45 và   k1 k 1    tan 45  k1 k 1 k  1 k   1 k 1      k k      1  1 k   +) k    m  3m    10m  30m  19   m  15  35 ( không thỏa 5 10 mãn  1 )   +) k     m  3m     2m  6m    m   15 (thỏa mãn  1 ) 3 Vậy m   15 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Cho y  mx  3mx   m  1 x  Tìm m để hàm số có cực trị các điểm âm Bài Cho y  2x  mx2  12x  13  Cm  1) Chứng tỏ với m ,  Cm  luôn có các điểm cực đại, cực tiểu Gọi x1 , x là hoành độ các điểm cực trị  Cm  , tìm GTNN biểu thức S  x12  x 22   x1  1 x2  1 2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu  Cm  cách trục tung   Bài Cho y   x  3x2  m  x  3m   Cm  1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu 2) Tìm m để  Cm  có các điểm cực trị và khoảng cách chúng Bài Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS 1) f  x    x3  3x  2x  2) f  x   2x  x2  x  3) f  x   x  2x2  10x   Bài Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS   1) f  x   x  3mx2  m  x  m   2) f  x   x   m  1 x  2m  3m  x  m  m  1 Bài Tìm m để ĐTHS 1) f  x   2x   m  1 x   m   x  có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  4x  2) f  x   2x   m  1 x  6m   2m  x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng y  4x 3) f  x   x  mx2  7x  có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y  3x  14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44   4) y   x  3mx   m x  m  m có các điểm cực đại cực tiểu cho các điểm cực đại cực tiểu và điểm M  1;0  thẳng hàng 5) f  x   x  3x  m x  m có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y  12 x  25 6) f  x   x3   m  1 x  mx có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng 72x  12y  35  15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 D Đáp số Bài 1  m  Bài 1) A  19 , đạt  m   2) m  Bài 1) m  1 m  2) m  1 Bài 1) y  x  3 2) y   x  89 18 3) y   68 x   29 9 Bài 1) Hàm số có cực đại, cực tiểu m , PTĐT qua các điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS là y  2x  m 2) Hàm số có cực đại, cực tiểu  m   ; 32    2 ;   , PTĐT qua các       điểm cực đại, cực tiểu ĐTHS là y   m  2m  x  m  m  m  Bài 1) m  4) m  1 m  3 3 3 2) m  3) m   10 5) m  6) vô nghiệm 16 Lop12.net