chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 1 luyện thi đại học-đặng việt hùng

VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu giảng: 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt lí thuyết : Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax + 3bx + c Nếu a = , hàm suy biến thành bậc hai, ta có y′ = 3bx + c ⇒ y′ = ⇔ x = − c 3b Trong trường hợp hàm số có cực trị Nếu a ≠ dấu y’ phụ thuộc vào dấu biệt thức ∆ + Hàm số khơng có cực trị y′ khơng đổi dấu, tức phương trình y′ = vơ nghiệm có nghiệm kép, tức ∆ ≤ + Hàm số có điểm cực trị y′ đổi dấu hai lần, tức phương trình y′ = có hai nghiêm phân biệt Từ ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị ∆ > Vậy, với hàm bậc ba hàm số có hai cực trị khơng có cực trị Ví dụ 1: Biện luận số cực trị hàm số y = x3 + ( m + 1) x + 2mx − + m tùy theo giá trị tham số m Ví dụ 2: Biện luận số cực trị hàm số y = − (m + 1) x3 + ( 2m − 1) x + mx + 3m − tùy theo giá trị tham số m II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn cực đại, cực tiểu + Giải điều kiện tính chất K mà đề yêu cầu + Kết hợp nghiệm, kết luận giá trị tham số cần tìm Dạng Hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ x = x0 cho trước Phương pháp 1: (Sử dụng y’’)  y ′ ( x0 ) =  + Hàm số đạt cực đại x = x0 ⇔   y ′′ ( x0 ) <   y ′ ( x0 ) =  + Hàm số đạt cực tiểu x = x0 ⇔   y ′′ ( x0 ) >   y ′ ( x0 ) =  Chú ý: Hàm số đạt cực trị x = x0 ⇔   y ′′ ( x0 ) ≠  Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần đủ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng → + Hàm số đạt cực đại cực tiểu x = x0 ⇔ y′ ( x0 ) =  m + Với m tìm được, thay vào hàm số khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu điểm x0 hay khơng Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + (m − 2) x + (m + 1) x + − m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực đại x = –1 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Dạng Một số dạng câu hỏi hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x1 − x2 = k Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho ax1 + bx2 = c x1 < x2 < α Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho β < x1 < x2 x1 < γ < x2 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + x − m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x1 − x2 ≤ Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 + 9mx + 12m x + Tìm m để hàm số có cực đại x1, cực tiểu x2 cho x12 = x2 x − (m − 1) x + 3(m − 2) x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x1 + x2 = Ví dụ 6: Cho hàm số y = Đ/s : m = −4 ± 34 m x + (m − 2) x + (m − 1) x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x1 < x2 < Ví dụ 7: Cho hàm số y = Đ/s : Ví dụ 11: Cho hàm số y = m > Đ/s :   −1 < m < Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu giảng: 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P3 Thầy Đặng Việt Hùng II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn cực đại, cực tiểu + Giải điều kiện tính chất K mà đề yêu cầu + Kết hợp nghiệm, kết luận giá trị tham số cần tìm Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Phương pháp: Thực phép chia đa thức y cho y’ ta y = y '.h( x) + r ( x) r(x) phần dư phép chia Khi y = r(x) gọi phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy tọa độ điêm cực đại, cực tiểu, tốn xử lí có liên quan đến tung độ cực đại cực tiểu Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số y = x3 − x + hai cách Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số y = x3 − x + m Dạng Bài tốn tính đối xứng điểm cực trị Phương pháp: Gọi hai điểm cực trị hàm số A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) Ta có số kết sau : + A, B nằm hai phía trục Oy x1 x2 < + A, B nằm phía với trục Oy x1 x2 > + A, B nằm hai phía trục Ox y1 y2 < + A, B nằm phía với trục Ox y1 y2 >  AB ⊥ d + A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d  , với I trung điểm AB I ∈ d + A, B cách đường thẳng d AB // d trung điểm I AB thuộc đường thẳng d Chú ý : Trong số tốn có đặc thù riêng (nếu phương trình y = nhẩm nghiệm) với yêu cầu tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta sử dụng điều kiện phương trình y = có ba nghiệm phân biệt Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + x + mx + m − a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm nằm phía với Oy c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm nằm phía với Ox d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm nằm khác phía với Oy Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 + 3mx + 2m3 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm A, B cho A, B đối xứng qua đường thẳng d : x – 2y + = BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số y = − x3 + x + x + hai cách Bài 2: Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu hàm số a) y = x3 + (m + 1) x + x − m b) y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m3 − m Bài 3: Cho hàm số y = − x + (2m + 1) x − (m2 − 3m + 2) x − a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm nằm khác phía với Oy Bài 4: Cho hàm số y = x3 − x + m x + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm đối xứng qua đường thẳng d : y = x− 2 Đ/s : m = Bài 5: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm đối xứng qua đường thẳng d : y = x Đ/s : m = ± Bài 6: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + x + m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm đối xứng qua đường thẳng d : y = x Đ/s : m = Bài 7: Cho hàm số y = x − x + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm đối xứng qua đường thẳng d : x − y − = Đ/s : m = Bài 8: Cho hàm số y = x3 − 3mx + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi chứng minh điểm nằm hai phía trục Oy Bài 9: Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cách đường thẳng d : x − y − = Đ/s : m = Hướng dẫn : m  2m  + Phương trình đường thẳng qua CĐ, CT y =  − 2 x + +   + A, B cách d nên xét hai trường hợp : AB // d trung điểm I AB thuộc d Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu giảng: 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P4 Thầy Đặng Việt Hùng II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn cực đại, cực tiểu + Giải điều kiện tính chất K mà đề yêu cầu + Kết hợp nghiệm, kết luận giá trị tham số cần tìm Dạng Một số ứng dụng phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu Phương pháp: + Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu + Viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh) Giả sử đường thẳng viết có dạng ∆ : y = ax + b Ta có số trường hợp thường gặp a = A ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B  b ≠ B ∆ vng góc với đường thẳng d : y = Ax + B a A = −1 ∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B góc φ cos φ = nd n∆ nd n∆ = aA + bB a + b A2 + B Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn cực đại, cực tiểu ta giá trị cần tìm tham số m x3 Ví dụ 1: Cho hàm số y = − mx + (5m − 4) x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d : x + y + = Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + mx + x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng d : x + y + = Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : x + y − = góc 450 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d : x + y − = Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Đ/s : m = Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx + x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng d : x − y − = Đ/s : m = ± 10 Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3(m − 1) x + (2m − 3m + 2) x − m + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : x + y − 20 = góc 450 Đ/s : m = ± 15 Bài 4: Cho hàm số y = x3 − x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn (C ) : ( x − m) + ( y − m − 1) = Đ/s : m = 2; m = − Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 2(m − 1) x + (m − 4m + 1) x − 2(m + 1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng d:y= x + Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu giảng: 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P5 Thầy Đặng Việt Hùng II MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn cực đại, cực tiểu + Giải điều kiện tính chất K mà đề u cầu + Kết hợp nghiệm, kết luận giá trị tham số cần tìm Dạng Tổng hợp, nâng cao cực trị hàm bậc ba Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 6mx + x + 2m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng qua cực đại, cực tiểu Đ/s : m = ±1 x − mx − x + m + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm nhỏ Ví dụ 2: Cho hàm số y = Đ/s : m = 0; ABmin = 13 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cắt trục tọa độ tạo thành tam giác cân Đ/s : m = − Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − mx − 4mx − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho biểu thức A = m2 x + 5mx1 + 12m + đạt x12 + 5mx2 + 12m m2 giá trị nhỏ Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − x + mx + 1, với m tham số thực  11  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách từ điểm I  ;  đến đường thẳng qua hai điểm 2  cực đại cực tiểu lớn Hướng dẫn giải: Ta có y = x3 − x + mx + ⇒ y ' = x − x + m + Hàm số có cực trị m < Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng m m  x 1  2m   2m  + Chia y cho y ' ta y =  −  y '+  −  x + +1 ⇒ y =  −  x + + phương trình đường 3  3     thẳng qua điểm cực trị m  2m  Đặt ∆ : y =  −  x + +1   Ta có d ( I ; ∆ ) = Đặt u = t − Đặt  2m  11 m −  − + +1  2   2m  −  +1    = 2m 11 −  2m  −  +1    =  2m  − 2 −     2m  −  +1    t− = t2 +1 u ⇒d = = 25 3  1+ +  u +  +1 2u 16u 4  =a⇒d = u 1+ 3a 25a + 16 Dâu xảy a = − = 1+ 3a 25a + 16 =  5a  16  +  +   25 ≤ 5 ⇒ d max = 4 12 25 2m ⇔u=− ⇔t =u+ =− ⇔ − = − ⇔ m = 25 12 3 Vậy m = giá trị cần tìm Bài cịn cách giải khác hay độc đáo, sử dụng điểm cố định Các em tìm hiểu thêm nhé! BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1 Bài 1: Cho hàm số y = x − mx + (m − 3) x + Tìm m để hàm số đạt cực đại x1, cực tiểu x2 đồng thời x1 ;x2 hai cạnh góc vng tam giác có độ dài cạnh huyền Đ/s : m = 10 14 , em lưu ý tìm đk cho x1 ; x2 dương ! Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 3(m + 6) x + Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu Đ/s : m = m x + mx + x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm nằm phía với đường thẳng d : 2x + y = Bài 3: Cho hàm số y =  m >1  Đ/s :   m ≠ ±2  Bài 4: Cho hàm số y = x + x + mx + m Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách hai điểm 15 Đ/s : m = –2 Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 3(m − 1) x + 6m(1 − 2m) x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm nằm đường thẳng d : 4x + y = x − x + 3x Gọi A, B hai điểm cực trị hàm số Tìm điểm M Ox cho tam giác ABM có diện tích Bài 6: Cho hàm số y = Đ/s : M(1 ; 0) M(5 ; 0) Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM ... nhỏ 2 d) hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x12 + x2 = 13 x2 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − (2m + 1) + (m + m) x − m + Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số có cực đại x1 , cực tiểu... α Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho β < x1 < x2 x1 < γ < x2 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3( m + 1) x + x − m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x1 − x2 ≤ Ví dụ 5: Cho hàm số. .. = x2 Ví dụ 1: Cho hàm số y = x + (m − 2) + (1 − m) x + 2m + Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu 3 b) hàm số có cực đại, cực tiểu x1 ; x2 cho x1 + x2 < c) hàm số có cực đại, cực tiểu điểm