Chuyên đề hình học

Gọi T là giao của ON và BC.. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và DE. Bài tập 2: Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đường tròn[r]

CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG CHUYÊN ĐỀ (O) : Đường trịn tâm O

(O; R) : Đường trịn tâm O, bán kính R

ABC : Tam giác ABC

SABC : Diện tích ABC

(ABC) : Đường tròn ngoại tiếp ABC

a, b, c : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC ha, hb, hc : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC

ma, mb, mc : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC la, lb, lc : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC R, r : Bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

ra, rb, rc : Bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC đpcm : Điều phải chứng minh

2p : Chu vi tam giác (p = a b c

 

nửa chu vi) n

k n

k=1

a = a + a + + a

 : Tổng n số hạng từ a1 đến an

n

k n k=1

a = a a a

 : Tích n số hạng từ a1 đến an TỔNG KẾT KIẾN THỨC 1 Đường thẳng:

Định nghĩa: Một đường thẳng hiểu đường dài (vô tận), mỏng (vô cùng) thẳng tuyệt đối

Tiên đề Ơ'Clit: Qua hai điểm ta ln xác định đường thẳng đường thẳng

Kí hiệu: Người ta thường dùng chữ in thường a, b, c, , m, n, p để đặt tên cho đường thẳng dùng hai chữ in hoa hay hai chữ in thường để đặt tên cho đường thẳng

Ví dụ: AB, xy,

y x

B A

Điểm không thuộc đường thẳng: Điểm A không nằm đường thẳng a, điểm A khơng thuộc đường thẳng a (hay nói cách khác đường thẳng a không qua điểm A)

Kí hiệu: A  a 2 Đoạn thẳng:

Định nghĩa: Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B B

A

Hai điểm A B gọi hai đầu mút (hay gọi hai mút) đoạn thẳng AB Lưu ý:

Điểm M nằm A B AM + MB = AB A, M, B thẳng hàng

M B

A 3 Tia:

O y x

Hai tia có chung góc O tạo thành đường thẳng gọi hai tia đối (hai tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối nhau)

4 Điểm:

Để kí hiệu điểm, người ta dùng chữ in hoa A, B, C, Bất hình tập hợp điểm

Trung điểm đoạn thẳng: Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm hai điểm A, B cách hai điểm A B

M B

A

Trung điểm M đoạn thẳng AB cịn gọi điểm đoạn thẳng AB Lưu ý:

Điểm hai điểm khác với điểm nằm hai điểm 5 Mặt phẳng:

Nửa mặt phẳng bờ a: Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a

a

Mặt phẳng hai nửa mặt phẳng hợp lại theo phương (phương vectơ) định

u d

Q P

6 Góc:

Góc nhọn Góc vng Góc tù

Góc bẹt

Góc phản Góc đầy Góc khối A B

A B

R

R Chia đơi góc compa thước

kẻ Góc đối đỉnh

Góc ngồi tam giác Góc tâm đường trịn

(1) Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 y

z x

O Góc xOy góc yOz hai góc phụ

(2) Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800

z y

x O

Góc xOy góc yOz hai góc bù

(3) Hai góc so le trong: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B c

b a

B A

2

1

Khi đó:

 

A1B1 A2 B2

(4) Hai góc đồng vị: Cho hai đường thẳng a //b đường thẳng c cắt a, b A, B Khi đó:

 

1

A = B , A2B2,

 

3

4

4 3

c

b a

B A

2

1

7 Tam giác: 7.1 Kí hiệu:

Tam giác ABC kí hiệu ABC

Một tam giác ABC có ba đỉnh (góc) A, B, C ba cạnh AB, BC, CA 7.2 Các đường tam giác:

Đường cao: Là đoạn thẳng nối đỉnh vng góc với cạnh đối diện đỉnh Một tam giác có ba đường cao Giao điểm ba đường cao gọi trực tâm tam giác

Trong ABC, có đường cao AH, BK, CF

F

K

H C

B

A

Đường trung tuyến: Là đường thẳng kẻ từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện với đỉnh Một tam giác có ba đường trung tuyến Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác

G N P M

C B

A

Trong ABC, có đường trung tuyến AP, BN, CM Độ dài đường trung tuyến:

BG AG CG

= = =

BN AP CM

GN GP GM

= = =

BN AP CM

GN GP GM

= = =

GB GA GC

d

B A

Đường thẳng (d) đường trung trực đoạn thẳng AB

O

C B

A

Điểm O giao điểm ba đường trung trực

Đường phân giác: Là đường thẳng chia góc thành hai góc có số đo Một tam giác có ba đường phân giác Giao điểm ba đường phân giác gọi tâm đường nội tiếp tiếp tam giác

Trong ABC có: OM = ON = ON

P

N

M C

B

A

Đường trung bình: Là đường thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Một tam giác có ba đường trung bình Tam giác tạo ba đường trung bình đồng dạng với tam giác cho

N M

A

B C

MN gọi đường trung bình tam giác Ta có: MN // BC MN 1BC



7.3 Phân loại tam giác:

A

B C

Tam giác đều: Là tam giác có ba cạnh ba góc

Trong tam giác đều, đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

C B

A

600

600

600

Tam giác cân: Là tam giác có hai cạnh hai góc đáy

B

A

C

Tam giác vng: Là tam giác có góc vng (bằng 900)

Trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc vng gọi cạnh huyền cạnh lớn Cho ABC, có 

A90 BC2 = AB2 + AC2 Đây hệ thức hệ thức Pitago B

A C

Định lý PITAGO: Định lý thuận:

Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng BC2 = AB2 + AC2

Định lý đảo:

Tam giác có tổng bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác vuông Nếu tam giác ABC thỏa mãn BC2

7.4 Tính chất cạnh góc tam giác: Tính chất 1: Cho tam giác ABC, tổng ba góc:

  

A B C 180   

Tính chất 2: Độ dài cạnh lớn hiệu độ dài hai cạnh nhỏ tổng độ dài chúng AB + BC > AC > |AB - BC|

Tính chất 3: Trong hai cạnh tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn

   BCACAB  A B C 7.5 Diện tích tam giác:

(1) Cơng thức tính diện tích tam giác: S 1b.h 

trong b độ dài cạnh h độ dài đường cao ứng với cạnh b (2) Công thức Heron: S p p apbpc

trong p 1a b c

   nửa chu vi tam giác 8 Đường tròn:

8.1 Khái niệm:

Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) hình gồm điểm cách điểm O cho trước khoảng không đổi R

Kí hiệu: (O; R), ta có kí hiệu (O) Lưu ý:

- Qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định đường trịn - Một đường trịn có tâm đối xứng tâm đường trịn

- Một đường trịn có vơ số trục đối xứng đường kính đường trịn

8.2 Đường kính dây cung:

Định lý 1: Trong dây đường tròn, dây lớn đường kính AB đường kính, CD dây cung AB > CD

Định lý 2: Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây

Nếu OH  AB H AH = HB

Định lý 3: Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây

8.3 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Định lý 1: Trong đường tròn:

Hai dây cách tâm Nếu AB = CD OM = ON Hai dây cách tâm

Nếu OM = ON AB = CD

Định lý 2: Trong hai dây đường tròn: Dây lớn dây gần tâm

Nếu AB > CD OM < ON Dây gần tâm dây lớn

Nếu OM < ON AB > CD

N M

C

D B A

O N

M C

D B A

O

H B

A

O

h b

b

h h

b

R O

D C

B A

8.4 Khoảng cách đường thẳng đường tròn:

Gọi R bán kính đường trịn d khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a Ta có:

H a

O

(d > R)

O

a

H

(d = R)

H a

O

(d < R) Đường thẳng đường tròn

khơng giao

Đường thẳng đường trịn tiếp xúc

Đường thẳng đường tròn cắt hai điểm (giao

nhau) Định lý 1:

Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính qua tiếp điểm

Nếu a tiếp tuyến với (O) H a  OH

Định lý 2:

Tiếp tuyến với đường tròn: Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm điểm cách hai tiếp điểm

AH = BH

Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến HO tia phân giác góc AHB 

Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm OH tia phân giác góc AOB 

8.5 Đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp: Đường tròn nội tiếp:

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác

- Tâm đường tròn nội tiếp giao điểm ba đường phân giác góc tam giác

Đường trịn ngoại tiếp:

- Đường trịn tiếp xúc ngồi với ba cạnh tam giác đường tròn ngoại tiếp tam giác

- Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm ba đường phân giác góc ngồi tam giác

8.6 Vị trí tương đối hai đường trịn: Nếu gọi bán kính (O) R (O') r ta có:

- Hai đường trịn có hai điểm chung gọi hai đường tròn cắt

Hai điểm chung A, B gọi giao điểm Đoạn thẳng AB nối hai điểm gọi dây chung

O a

H B

A

B A

O' O

(R - r < OO' < R + r)

A

O' O

(R + r = OO')

A O'

O

(R - r = OO') Hai đường cắt Hai đường tiếp xúc Hia đường tròn

nhau,

O' O

(OO' > R + r)

Hai đường 8.7 Góc với đường trịn:

Góc tâm:

Định nghĩa: Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung

  s AmB® AOB

Số đo cung lớn hiệu số 3600

số đo cung nhỏ

  

AmB1 0 AnB s® 360 s®

2

Số đo nửa đường tròn 1800 8.8 Liên hệ cung dây cung:

Định lý 1: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung căng hai dây

Hai dây căng hai cung

Định lý 2: Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau:

Cung lớn căng dây lớn Cung nhỏ căng dây nhỏ 8.9 Góc nội tiếp:

Định nghĩa: Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung dường trịn

Định lý:Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn

 

AOB AB

2

 s®

Hệ quả: Trong đường trịn:

n m

α B A

O

O

B A

- Các góc nội tiếp chắn cung

  

AOB ACB AB

2

  s®

- Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung

- Góc nội tiếp (nhỏ 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng 8.10 Góc tạo tiếp tuyến dây cung:

Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn

a

O

A

B

(sđABABa)

8.11 Góc có đỉnh bên đường trịn góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn

E

n m

O D

B C

A

 1  

BEC = s®BmC + s®AnD 2

Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

O C A

D B

M

O C B A

M

O

m n

B

A M

 1  

CMD = s®CD - s®AB

2 ;

 1  

BMC = s®BC - s®AB

2 ;

 1  

AMB = s®AmB - s®AnB

8.12 Độ dài đường tròn, cung tròn:

C

O

B A

- Cơng thức tính độ dài đường trịn: C = 2R = d

(R bán kính, d đường kính) - Cơng thức tính độ dài cung trịn:

Trên đường trịn bán kính R, độ dài l cung n0

tính sau: Rn

180

 

l

8.13 Diện tích hình trịn, hình quạt trịn: - Diện tích hình trịn:

S = R2

- Diện tích hình quạt trịn:

R n S

360



 hay S R

2

l

9 Hình học khơng gian:

Hình trụ - diện tích xung quanh hình trụ: - Diện tích xung quanh:

Sxq = 2Rh

(R bán kính đáy h chiều cao) - Diện tích tồn phần:

Stp = 2Rh + 2r2 = 2R(h + R) - Thể tích hình trụ:

V = Sh = R2h

(S diện tích đáy, h chiều cao) Hình nón - hình nón cụt:

* Hình nón:

- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Rl

(với l độ dài đường sinh, r bán kính đáy)

- Diện tích tồn phần hình nón (tổng diện tích xung quanh diện tích đáy) Stp = Rl + R2 = R(l + R)

(với l độ dài đường sinh, r bán kính đáy) - Thể tích hình nón:

2

V R h

3

 

(với l độ dài đường sinh, r bán kính đáy) * Hình nón cụt:

- Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt:

 

xq

S   r r l - Thể tích hình nón cụt:

 2 

1 2

V h r r r r

3

   

(h chiều cao) - Hình cầu:

h

R

l

r1

r2

h

l

l

n0 R O

l n0

R O

R

- Cơng thức tính diện tích mặt cầu: S = 4R2 hay S = d2

(Với R bán kính mặt cầu, d đường kính mặt cầu) - Thể tích hình cầu:

3

V R

3

 

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHỦ ĐỀ

NHAÄN BIẾT VÀ TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA MỘT HÌNH 1 Kiến thức bản:

1.1 Tam giác cân:

Các phương pháp chứng minh tam giác cân:

Phương pháp 1: Tam giác có hai cạnh tam giác cân Phương pháp 2: Tam giác có hai góc tam giác cân

Phương pháp 3: Tam giác có đường cao vừa đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác góc ngược lại tam giác tam giác cân

Lứu ý: Có thể chứng minh tam giác tam giác cân dựa vào biểu thức hệ thức chứng minh

1.2 Tam giác đều:

Các phương pháp chứng minh tam giác đều:

Phương pháp 1: Tam giác có ba cạnh tam giác Phương pháp 2: Tam giác có ba góc 600

tam giác Phương pháp 3: Tam giác cân có số đo góc đỉnh cân 600

tam giác

Phương pháp 4: Tam giác có đường cao vừa đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực ngược lại tam giác

1.3 Tam giác vuông:

Các phương pháp chứng minh tam giác vuông:

Phương pháp 1: Tam giác có góc vng tam giác vng

Phương pháp 2: Tam giác có hai cạnh nằm hai đường thẳng vng góc tam giác vng Phương pháp 3: Sử dụng định lý đảo đường trung tuyến tam giác vuông

Định lý: Trong tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền tam giác tam giác vuông

Phương pháp 4: Sử dụng định lý đảo định lý Pitago

Định lý: Nếu tam giác thỏa mãn bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác tam giác vng

Tức là, BC2

= AB2 + AC2 tam giác ABC vuông A

Phương pháp 5: Tam giác nội tiếp đường trịn có cạnh đường kính tam giác tam giác vng

1.4 Tam giác vuông cân:

Các phương pháp chứng minh tam giác vuông cân:

Phương pháp 1: Tam giác vng có hai cạnh góc vng tam giác vuông cân Phương pháp 2: Tam giác vng có góc nhọn 450

tam giác vuông cân Phương pháp 3: Tam giác cân có số đo góc đáy 450

tam giác vng cân 1.5 Hình thang, hình thang cân, hình thang vng:

Diện tích hình thang:

 

ABCD

S AB CD AH

2

 

Tính chất:

Định lý 1: Trong hìn thang cân, hai cạnh bên Định lý 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo

Định lý 3: Hình thang có hai đường chéo hình thang cân

N M

D C

B A

Định lý 1:

Đường thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai

Định lý 2:

Đường trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy

 

1

MN AB CD

2 

Phương pháp chứng minh hình thang:

Phương pháp 1: Hình thang tứ giác có hai cạnh đối song song Phương pháp chứng minh hình thang vng:

Phương pháp 1: Hình thang vng hình thang có góc vng Phương pháp chứng minh hình thang cân:

Phương pháp 1: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Phương pháp 2: Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy Phương pháp 3: Hình thang cân hình thang có hai đường chéo 1.6 Hình bình hành:

Định nghĩa: Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song

O

H

A B

D C

Diện tích hình bình hành:

ABCD

S AH.CDAH.AB

Các phương pháp chứng minh hình bình hành: Phương pháp 1: Tứ giác có cạnh đối song song Phương pháp 2: Tứ giác có cạnh đối

Phương pháp 3: Tứ giác có cạnh đối song song Phương pháp 4: Tứ giác có góc đối

Phương pháp 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường 1.7 Hình chữ nhật:

Định nghĩa: Hình chữ nhật tứ giác có bốn góc vng

A B

D C

Chu vi hình chữ nhật:

   

ABCD

Diện tích hình chữ nhật:

ABCD

S AB.CD

Các phương pháp chứng minh hình chữ nhật: Phương pháp 1: Tứ giác có ba góc vng

Phương pháp 2: Hình thang cân có góc vng Phương pháp 3: Hình bình hành có góc vng

Phương pháp 4: Hình bình hành có hai đường chéo 1.8 Hình thoi:

O A

B D

C Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh Tính chất:

Trong hình thoi: Hai đường chéo vng góc với

Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi Chu vi hình thoi:

ABCD

C 4AB4BC4CD4DA Diện tích hình thoi:

ABCD

S AC.BD BO.AC OD.AC

2

  

Các phương pháp chứng minh hình thoi:

Phương pháp 1: Tứ giác có bốn cạnh

Phương pháp 2: Hình bình hành có hai cạnh kề

Phương pháp 3: Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với

Phương pháp 4: Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc 1.9 Hình vng:

D C

A B

Định nghĩa: Hình vng tứ giác có bốn góc vng bốn cạnh Tính chất:

Hình vng có tất tính chất hình chữ nhật hình thoi Chu vi hình vng:

ABCD

C 4AB4BC4CD4AD Diện tích hình vng:

2 2

ABCD

S AB BC CD AD Phương pháp chứng minh hình vng:

Phương pháp 1: Hình chữ nhật có hai cạnh kề

Phương pháp 2: Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với

Phương pháp 4: Hình thoi có góc vng

Phương pháp 5: Hình thoi có hai đường chéo 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O Gọi H trực tâm ABC D điểm cung BC không chứa điểm A. Xác định vị trí điểm D để tứ giác BHCD hình bình hành

Giải

Giả sử tìm điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành

Khi đó: BD // HC CD // HB

Vì H trực tâm tam giác ABC nên CH  AB BH  AC

 BD AB CD  AC Do đó:  00

ABD90 ACD90

Vậy AD đường kính đường tròn tâm O

Ngược lại D đầu đường kính AD đường trịn tâm O tứ giác BHCD hình bình hành

Bài tập 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB = 2R C điểm thuộc đường tròn

(CA; CB) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C Kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O),

gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N Chứng minh BAN MCN cân

Giải

Xét ABM NBM, ta có: AB đường kính

Nên AMB NMB900

M điểm cung nhỏ AC nên

 MBN  

ABM BAMBNM

BAN cân đỉnh B Xét tứ giác AMCB nội tiếp:

 BAM MCN (cùng bù với MCB ) 

 MCN MNC (cùng BAM ) 

MCN cân đỉnh M

Bài tập 3: Cho ABC cân A, (AB > BC) Điểm D di động cạnh AB, (D không trùng với A, B) Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp BCD Tiếp tuyến (O) C D cắt K

a) Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp? b) Tứ giác ABCK hình gì? Vì sao?

c) Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCK hình bình hành? Giải

c) Theo câu b, tứ giác ABCK hình thang Do đó, tứ giác ABCK hình bình hành

 AB // CK

 BAC = ACK   Mà ACK =

2sđ  EC =

2sđ 

BD = DCB  Nên BCD = BAC 

Dựng tia Cy cho BCy = BAC   Khi đó, D giao điểm AB Cy 

D H

O

C B

A

N Q

M x

C

B A

O

K

D

C B

Với giả thiết AB >  BC  BCA >  BAC >  BDC 

 D  AB

Vậy điểm D xác định điểm cần tìm 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O D E điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L

a) Chứng minh DI = IL = LE

b) Chứng minh tứ giác BCED hình chữ nhật

c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình

Bài tập 2:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có đường chéo vng góc với I a) Chứng minh từ I ta hạ đường vng góc xuống cạnh tứ giác đường vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh

b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật

c) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đường vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác

Bài tập 3:Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đường cao Hai đường trịn đường kính AB AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đường tròn (O1) (O2) M N

a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình gì?

c) Gọi F, E, G trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E, G, A, H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đường nào?

Bài tập 4:Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M

a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH

d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân

đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB

Bài tập 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM N Chứng minh tam giác AMN tam giác

Bài tập 6: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đường tròn điểm N Tia AN cắt đường tròn điểm D

a) Chứng minh MB2

= MC MN b) Chứng minh AB// CD

c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi đĩ CHỦ ĐỀ

CHỨNG MINH SONG SONG 1 Kiến thức bản:

Các phương pháp chứng minh:

Phương pháp 2: Dựng mối quan hệ góc: So le nhau, đồng vị nhau, phía nhau, …

Phương pháp 3: Sử dụng định lý đảo định lý Talét

Định lý: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tỷ lệ hai đường thẳng song song với cạnh lại tam giác

Phương pháp 4: Áp dụng tính chất tứ giác đặc biệt, đường trung bình tam giác Phương pháp 5: Áp dụng tính chất hai dây chắn hai cung băng đường tròn 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D Đường  phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh rằng: ED // BC 

Giải

Trong ABM có MD phân giác AMB nên, ta có: 

AD

DB=

MA

MB (1) (định lý)

Trong AMC có ME phân giác AMC nên, ta có: 

AE EC=

MA

MC (2) (định lý)

Vì MB = MC (giả thiết) Nên từ (1) (2)

Suy ra: AD

DB=

AE EC

Trong ABC có DE định cạnh AB, AC đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD Gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh KL // AD

Giải

Gọi M trung điểm BC Vì K trọng tâm ABC nên MK=

3MA (tính chất trọng tâm tam giác) hay MK

MA=

1

3 (1)

Và L trọng tâm BCD nên ML =1

3MD hay ML

MD =

1

3 (2)

Từ (1) (2) suy MK = ML

MA MD nên KL //AD (định lý Talét đảo)

Do AMD có KL định cạnh MA, MD đoạn thẳng tỷ lệ nên KL // AD (định lý Talét đảo)

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BD K giao điểm BM AC Chứng minh rằng: IK //AB

Giải Ta có:

IM MD

=

IA AB (do AB // MD hay AIB ∽MID)

và (Do AB // MC) Mà MD = MC (giả thiết)

M L

K

D C

B A

K I

M

D C

B A

E D

C B

A

Nên: IM = KM

IA KB

Suy IK // AB (Điều phải chứng minh)

Vì AMB có IK định cạnh MA, MB đoạn thẳng tỷ lệ nên IK // AB (định lý Talét đảo)

3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) Kẻ AK // BC, AKBD = E; Kẻ BI //AD; BIAC = F (K, I  CD) Chứng minhn rằng: EF // AB

Bài tập 2: Cho tứ giác ABCD Qua B, vẽ Bx // CD cắt AC E Qua C vẽ Cy // BA cắt BD F Chứng minh rằng: EF // AD

Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác góc BAD cắt BD M, đường phân giác góc ADC cắt AC N Chứng minh rằng: MN //AD

Bài tập 4: Cho ABC Lấy điểm M tùy ý cạnh BC Lấy N tùy ý cạnh AM Đường thẳng DE // BC (D  AB, E  AC) Gọi P giao điểm DM BN Q giao điểm CN EM Chứng minh rằng: PQ // BC

Bài tập 5: Tam giác cân ABC có BA = BC = a, AC = b Đường phân giác góc A cắt BC M, đường phân giác góc C cắt BA N Chứng minh rằng: MN // AC

Bài tập 6: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N tiếp điểm) Vẽ đường kính NOC Chứng minh AO // MN

CHỦ ĐỀ

CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1 Kiến thức bản:

Phương pháp chứng minh đường thẳng a đường thẳng b vuông góc với nhau: Phương pháp 1: Chứng minh chúng song song với hai đường vng góc khác

Phương pháp 2: Đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng cịn lại

Phương pháp 3: Dựng tính chất ba đường cao cạnh đối diện tam giác Phương pháp 4: Đường kính qua trung điểm dây

Phương pháp 5: Phân giác hai góc kề bù Phương pháp 6: Sử dụng góc nối tiếp nửa đường trịn Phương pháp 7: Sử dụng tính chất đường trung trực

Phương pháp 8: Tính chất tiếp tuyến đường kính đường trịn 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho ABC, đường cao BD CE Gọi M, N chân đường vng góc kẻ từ B, C đến DE Gọi I trung điểm DE, K trung điểm BC Chứng minh rằng: KI  ED?

Chứng minh

Xét BDC có: DK đường trung tuyến DK = 1BC

 (1)

Xét BEC có: EK đường trung tuyến EK = 1BC

 (2)

Từ (1) (2), suy ra: DK = EK Suy ra: EKD cân K Mà I trung điểm DE

Do đó: KI đường cao EKD  KI  ED

Chứng minh

Ta có: AMB900 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)



ANB90 (t/c góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét SAB có AN, BM hai đường cao

Mà H giao điểm AN BM  H trực tâm SAB Suy ra: SH thuộc đường cao thứ ba SAB

Vậy SH  AB

Bài tập 3: Cho hình thang vng ABCD, A  D 900, có CD = 2AB Gọi H chân đường vng góc hạ từ D xuống AC M trung điểm HC Chứng minh đường thẳng qua DM vng góc với đường thẳng qua BM

Giải

E M H

D C

B A

Kẻ BE  CD (E  CD)

Vì CD = 2AB nên AB = DE = EC Hay E trung điểm CD

Xét DHC có EM đường trung bình

 EM // DH  EM  AC (Vì DH  AC) Xét tứ giác MADE có 

ADC90  AME90

Suy ra: Tứ giác MADE nội tiếp đường đường kính AE Tức bốn điểm M, A, D, E nằm

một đường tròn (1)

Xét tứ giác ABED có: 

ADE90 AB = DE

 Tứ giác ABCD hình chữ nhật

 Bốn điểm A, B, E, D nằm đường đường kính AE (2) Từ (1) (2), suy ra: M thuộc đường tròn đường kính AE

Ta có: Tứ giác ABMD nội tiếp

Mà 

BAD90 BMD900

 BM  DM

Bài tập 4: Cho tam giác cân ABC, gọi H trung điểm BC E hình chiếu H AC Gọi O trung điểm đoạn thẳng HE Chứng minh AO vng góc với BE

Chứng minh

Gọi K trung điểm EC

Ta có: HK đường trung bình BEC nên HK // EB (1) Trong EHC, ta có: OK đường trung bình nên OK // HC (2)

Mà AH  HC (giả thiết) (3)

Từ (2) (3), suy ra: OK  AH (*) Ta lại có: HE  AC (vì E hình chiếu H AC) (**) Từ (*) (**), suy ra: O trực tâm AHK

 AO  HK (4)

Bài tập 5: Cho AHC, có  0

H90 Đường cao HE Gọi O, Klần lượt trung điểm EH

EC Chứng minh AO vng góc với HK Chứng minh

Từ giả thiết có OK đường trung bình tam giác EHC

 OK // HC

Mặt khác: HC  AH

 OK  AH

Xét AHK có: HE  AC, OK  AH

 O trực tâm AHK

 AO  HK

Bài tập 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đồng thời ngoại tiếp đường trịn khác có tiếp điểm M, N, P, Q với cạnh AB, BC, CD, DA tứ giác cho Chứng minh MP vng góc với NQ

Chứng minh

k

l

n m I Q

N P

M D

C

B A

O O'

Gọi (O) đường tròn nội tiếp tứ giác (O’) đường tròn ngoại tiếp tứ giác Ta có:

 sđ MQPN -sđMnN 

B =

2 (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)

 sđ PNMQ-sđPkQ 

D =

2 (góc có đỉnh bên ngồi đường trịn)

 

D + B = 1800 (vì tứ giác ABCD nội tiếp (O’))

   

0

sđ PNMQ - sđPkQ sđ MQPN - sđMnN

+ =180

2 2



 2PIN+ 2MmQ =1800

2

 PlN + MmQ  = 1800

Mà  

 

0

PlN MnQ 180

MIQ PIN 90

2



 s® s®  

Bài tập 1: Cho ABC Gọi H trung điểm BC E hình chiếu H AC Gọi O trung điểm đoạn thẳng HE Chứng minh: AO  BE

Bài tập 2: Cho tam giác vuông cân ABC  0

A90 Gọi H trung điểm BC E hình chiếu H AC Gọi O trung điểm đoạn thẳng HE Chứng minh: AO  BE

Bài tập 3: Cho ABC cân A, đường cao AH Hạ HI  AC, M trung điểm HI Chứng minh BI  AM

Bài tập 4: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B AC I N trung điểm AD HC Chứng minh: BN  IN

Bài tập 5: Cho ABC cân A, đường cao AH Dựng hình chữ nhật AHCK, HI  AC Gọi M , N trung điểm IC AK Chứng minh: MN  BI

Bài tập 6: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B AC Gọi E, F, M trung điểm AB, DH, BH Chứng minh: AM  EF

Bài tập 7: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu B lên AC E, F, M, N trung điểm AB, DH, HC, AD Chứng minh: EF  MN

Bài tập 8: Cho ABC A900 H hình chiếu A BC I, K thứ tự hai điểm thuộc AH CK cho HK = HI

KC IA Chứng minh: BI  AK

Bài tập 9: Cho hình thang vng ABCD   0

A B 90 AC = m, BD = n Gọi H hình chiếu A BC Lấy điểm K  HC, cho KH= n

HC m Chứng minh: DK  AK

Bài tập 10: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi E giao điểm hai cạnh đối AD BC Gọi F giao điểm hai cạnh đối DC AB Chứng minh tia phân giác hai góc E F vng góc với

Bài tập 11: Cho hình chữ nhật ABCD Trên tia AD BC lấy hai điểm E F cho DF=CE=DC Trên tia DC lấy điểm H cho CH = CB Chứng minh: AE  FH

Bài tập 12: Cho hình vng ABCD T điểm cạnh AB (T khác A B) Tia DT cắt tia CB E Đường thẳng CT cắt AE M Chứng minh đường thẳng DE vng góc với đường thẳng DM

Bài tập 13: Cho hình vng ABCD cố định Lấy Điểm T cạnh AB (T khác A B) Tia DT cắt tia CB E Đường thẳng CT cắt đường thẳng AE M Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE F Tìm quỹ tích điểm F T chạy cạnh AB

Bài tập 14: Cho TBE  0

B90 Vẽ đường phân giác BD đường cao BF Từ D dựng DA

DC theo thứ tự vng góc với cạnh TB cạnh BE (A cạnh TB, C BE) Chứng minh đường thẳng TC, AE, BF cắt điểm

Bài tập 15: Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC Gọi M N hai tiếp điểm đường trịn với hai cạnh AB AC Tia MN cắt tia phân giác góc B P Chứng minh BP vng góc với CP

CHỦ ĐỀ

CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU 1 Kiến thức bản:

Phương pháp 3: Chứng minh đoạn thẳng cạnh tam giác, tứ giác đặc biệt (hình đặc biệt), tam giác

Ví dụ: Hai cạnh bên tam giác cân nhau, cạnh tam giác nhau, hai cạnh bên hình thang cân, cặp cạnh đối hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng

Phương pháp 4: Chứng minh tỉ số độ dài cặp cạnh cần chứng minh đạt giá trị Phương pháp 5: Sử dụng định nghĩa, tính chất của:

Trung điểm, trung trực đoạn thẳng

Đường trung tuyến, đường trung bình, đường trung trực, tam giác Đường chéo hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng, điểm, đoạn thẳng đối xứng qua điểm, trục

Phương pháp 6: Chứng minh hai tam giác có diện tích với đường cao, cạnh đáy tương ứng

Phương pháp 7: Sử dụng tính chất dây cung tiếp tuyến với đường tròn 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho đường (O) đường kính, dây CD khơng cắt đường kính AB Gọi H K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh rằng: CH = DK

Chứng minh

Theo giả thiết, ta có: AH  CD BK  CD nên AH // BK Suy ra: AHKB hình thang

Kẻ OM  CD M  MC = MD (t/c đường kính dây cung) (1)

Xét hình thang AHKB có OA = OB = R; OM // AH // BK (cùng vng góc với CD)

OM đường trung bình hình thang

 MH = MK (2) Từ (1) (2), ta có: CH = DK

Bài tập 2: Trong hình vng ABCD đường trịn đường kính AD vẽ cung AC mà tâm D Nối D với điểm P cung AC, DP cắt đường trịn đường kính AD K Chứng minh PK khoảng cách từ P đến AB

Chứng minh Kẻ PI  AB

Xét APK API:

APK vuông K

(Vì AKD = 90 góc nội tiếp chắn đường trịn đường kính AD)

ADP cân D

 AD = DP

 P2 DAP Mặt khác:

 

1

P DAP (So le AD // PI) Do đó: P1 P2

APK = API (có chung cạnh huyền cặp góc nhọn nhau)

 PK = PI

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD (AB// CD) có ACD = BDC Chứng minh rằng: AD = BC Chứng minh

Gọi E giao điểm AC vaø BD

O

K H

M D

C

B A

I

2

K

P

D C

Xét ECD có: D1C1 (do ACD BCD)

ECD tam giác cân

Suy ED = EC (1)

Do B1D1và A1C1 (so le trong) Mà D1C1

EAB tam giác cân

Suy ra: EA = EB (2)

Từ (1) (2), suy ra: AC = BD

Hình thang ABCD có hai đường chéo nên hình thang cân Suy ra: AD = BC

Bài tập 4: cho hình bình hành ABCD Gọi E, F trung điểm AD, BC Chứng minh rằng: BE = DF

Chứng minh Ta có: DE =

2AD; BF = 2

1

BC

Mà AD = BC (hai cạnh đối hình bình hành ABCD)

 DE = BF Mặt khác: DE // BF

 EBFD hình bình hành Vậy BE = DF

Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K trung điểm CD, AB Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự M, N Chứng minh rằng: DM = NB

Chứng minh

Tứ giác AICK có: AK // IC AK = IC

 Tứ giác AICK hình bình hành

 AI // CK

DCN có IC = ID IM // CN

Suy ra: DM = MN (1)

BAM có: BK = KA KN // AM Suy ra: MN = NB (2) Từ (1) (2), suy ra: DM = NB

Bài tập 6: Cho tam giác ABC cân A.Trên tia đối tia BC lấy điểm M, tia đối tia CB lấy điểm N cho BM= CN

a) Chứng minh: AM = AN

b) Kẻ BH AM (H AM), CKAN (K AN) Chứng minh: BH = CK c) Chứng minh: AH = AK

Chứng minh a) AMB cân

 ABC ACB

   

ABMACN 180 ABC

ABM  ACN có: AB = AC (giả thiết)

 

ABMACN (chứng minh trên) BM = CN (giả thiết)

ABM = ACN (c.g.c)

D C

B A

D E

F C

B A

I

K

D

M

N

C B A

H M

O

N K C B

 M N AMN cân A  AM = AN b) Xét HBM KNC có: M N(theo câu a) MB = CN

HMB = KNC (ch – gn)

 NK = CK

c) Theo câu a) ta có AM = AN (1) Theo chứng minh trên: HM = KN (2) Từ (1), (2)  HA = AK

3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho hình vng ABCD Kẻ AC cắt BD H Lấy hai điểm E, F thuộc AD, BC cho AE = CF, AF cắt HB I Gọi M trung điểm IB Chứng minh: AE= IM

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có AP phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ tia Px cho góc CPx góc BAC Tia cắt AC E Chứng minh rằng: PB = PE

Bài tập 3: Gọi P điểm nằm đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Hạ đường vng góc PA1, PB1, PC1 xuống cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh A1, B1, C1 thẳng hàng

b) Gọi H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng A1B1C1 cắt PH I Chứng minh IP = IH Bài tập 4: Dựng phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Vẽ hình bình hành EADF Chứng minh BCF tam giác

Bài tập 5: Cho điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Lấy AB BC cạnh dựng hai tam giác ABE BCF nằm phía bờ AC Gọi I J trung điểm AF CE Chứng minh rằng: IJ = EF

2

Bài tập 6: Cho tam giác ABC (I) đường tròn nội tiếp tam giác ABC Các tiếp điểm cạnh BC, CA, AB A1, B1, C1 Gọi E điểm đối xứng B qua CI, F điểm đối xứng B qua AI Chứng minh B1E = B1F

Bài tập 7: Cho đường trịn (O) đường thẳng d khơng cắt đường trịn (O) Gọi A hình chiếu (O) d Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) B C Hai tiếp tuyến (O) B C cắt d E F Chứng minh: AE = AF

Bài tập 8: Cho đường (O) đường kính AB, dây CD cắt đường kính AB G Gọi H K lần lượt hình chiếu A B CD Chứng minh rằng: CH = DK

Bài tập 9: Cho tứ giác ACBD nội tiếp đường tròn đường kính AB Chứng minh hình chiếu vng cạnh đối diện tứ giác đường chéo CD

CHỦ ĐỀ

CÁC GÓC BAÈNG NHAU 1 Kiến thức bản:

Các phương pháp chứng minh hai góc nhau:

Phương pháp 1: Hai góc có số đo

Phương pháp 2: Hai góc hai tam giác hai tam giác đồng dạng, hai góc tam giác cân, đều; hai góc đáy hình thang cân, hai góc đối hình bình hành, …

Phương pháp 3: Hai góc góc thứ

Phương pháp 4: Tia phân giác chia góc thành hai phần Phương pháp 5: Các góc so le trong, đồng vị, đối đỉnh,

Phương pháp 7: Tứ giác nội tiếp có góc ngồi góc đối Phương pháp 8: Sử dụng hàm số lượng giác: sin, cos, tan cot Phương pháp 9: Sử dụng tính chất phép tịnh tiến, đối xứng, quay 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính AC AD (O) (O’) Tia CA cắt đường tròn (O’) F, tia DA cắt đường tròn (O) E Chứng minh:

  EFCEDC

Chứng minh Ta có:



CED90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))



CFD90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’))

   0

CEDCFD 90

Hai đỉnh E, F nhịn cạnh CD góc 900

 Tứ giác CEFD nội tiếp

 EFC EDC (cùng chắn EC ) 

Bài tập 2: Cho hình vng ABCD cố định E điểm di động

trên cạnh CD (khác C D) Tia AE cắt đường thẳng BC F Tia Ax vng góc với AE A cắt đường thẳng DC K BD cắt KF I

a) Chứng minh: CAF CKF b) Chứng minh: IDF IEF

c) Chứng minh: KAF vuông cân Chứng minh

a) Ta có: KAF900 (AK  AF) KCF900 (ABCD hình vng)

Suy ra: KAF KCF900

Hai đỉnh A, C nhìn đoạn KF góc 900

 Tứ giác ACFK nội tiếp

 CAF CKF

b) Tứ giác ACKF nội tiếp nên ta có:  

AFKACK mà ACK45 , BDC0 450 (ABCD hình vng)

Suy ra: AFK BDC450

Do đó: Tứ giác IDEF nội tiếp (Vì góc ngồi góc đỉnh đối diện)

 IDF IEF

c) AKF vuông A (giả thiết), ta có:

 

AFK45 AKF45 KAF vuông cân A

Bài tập 3: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) Hai đường cao BE CF cắt H

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp nội tiếp đường tròn

b) Hai tia BE CF cắt đường tròn (O) M N Ax tiếp tuyến A Chứng minh  

xANANM

c) Chứng minh: MNC EFC

E

F

D

C B

A

O' O

M

I K

F E D

Chứng minh a) Tứ giác BFEC có:



BFC90 (CF đường cao)



BEC90 (BE đường cao)

Hai đỉnh F, E nhìn cạnh BC góc 900

 Tứ giác BFEC nội tiếp

b) Vì Ax tia tiếp tuyến (O) Suy ra: AO  Ax

Và xAN ACN (1) (góc tạo tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung)

Ta có: ANM ABM (cùng chắn AM )  Và ABM ACN (cùng chắn EF )  Suy ra: ANM ACN (2)

Từ (1) (2), suy ra: xAN ANM (điều phải chứng minh) c) Ta có: MNC MBC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Và EFC MBC (tứ giác BFEC nội tiếp)

Suy ra: MNC EFC (điều phải chứng minh)

Bài tập 4: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Vẽ MH  BC H, MI  AC I

Chứng minh: IHM ICM Chứng minh Xét tứ giác MIHC, có:



MIC90 (MI  AC)



MHC90 (MH  BC)

Hai đỉnh I, H nhìn đoạn MC góc 900

 Tứ giác MIHC nội tiếp

 IHM ICM (cùng chắn MI )  (điều phải chứng minh)

Bài tập 5: (Đề thi HSG 12 tỉnh Đồng Nai 2013 - 2014)

Cho ABC nội tiếp đường trịn (O) có AB < BC < AC ABC góc nhọn Đường tròn (I) nội tiếp  tam giác tiếp xúc với BC D M, N giao điểm hai đường thẳng AO, AI với (O) Biết A không trùng với M N Chứng minh: INDIMO

Chứng minh

Gọi T giao ON BC Dễ chứng minh được:

IN = BN =  a

BT 2 a

A A

cosNBC cos 2 cos

2

 

IN a a sin A A ID

sin

A A a A

AM IA

2.2R.cos cos cos

2 sin A

     

Mặt khác, ta có: DINIAMIMO

T D

O I

C B

M A

x

O N

M

H F

E

C B

M A

I O

H C

B

Suy ra: DIN ∽IAM

 INDIMO (điều phải chứng minh) 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho ABC, cạnh AB AC lấy hai điểm D E cho BD = CE Gọi M N trung điểm BC DE Đường thẳng qua M N cắt AB AC P Q Chứng minh rằng: MPB MQC

Bài tập 2: Cho D trung điểm đoạn thẳng AM Trên nửa mặt phẳng bờ AM ta vẽ nửa đường trịn đường kính AM nửa đường trịn đường kính AD Tiếp tuyến D đường tròn nhỏ cắt nửa đường tròn lớn C tiếp tuyến C A đường tròn lớn cắt B Nối P cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đường tròn nhỏ K Chứng minh rằng: AP phân giác BAK 

Bài tập 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a E điểm nằm A B, đường thẳng CE cắt dường thẳng AD K Qua C kẻ đường thẳng vng góc với CE, cắt AB I

a) Chứng minh rằng: Trung điểm IK di động đường thẳng cố định E di động đoạn AB

b) Cho BE = x Tính BK, CK, IK diện tích tứ giác ACKI theo a x

Bài tập 4: Cho tam giác ABC với A < 90 o, có AB < AC nội tiếp đường trịn tâm O Vẽ đường cao AH bán kính OA Chứng minh OAH = B - C   

Bài tập 5: Cho hai đường tròn (O1) (O2) cắt A B (O1 O2 thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O1) C, cắt đường tròn (O2) D Các tiếp tuyến hai đường tròn kẻ từ C D cắt I Chứng minh cát tuyến CAD thay đổi thì:

a) CBD khơng đổi  b) CID không đổi 

Bài tập 6: Cho hình bình hành ABCD, P hình bình hành cho PAB = PCB Chứng minh   rằng: PBA = PDA  

Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD, BC CD lấy điểm tương ứng M N cho BN=DM Gọi I giao điểm BN DM Chứng minh:AID = AIB  

Bài tập 8: Cho (O1) (O2) tiếp xúc với A Điểm C thuộc (O1) Kẻ tiếp tuyến (O1) C cắt (O2) B D Chứng minh:BAC = CAD  

Bài tập 9: Cho hình bình hành ABCD điểm P nằm ngồi hình bình cho PAB = PCB đồng   thời A C khác phía với đường thẳng PB Qua A vẽ đường thẳng Ax //DP, qua P vẽ đường thẳng Py // AD hai đường thẳng cắt Q

a) chứng minh tứ giác ABPQ nội tiếp b) Chứng minh: APB = DPC  

Bài tập 10: (NK 2006 – 2007 CD) cho ABC nhọn, có trực tâm H Các đường thẳng BH CH cắt AC, AB M, N Biết: 

NHM = 120 a) Chứng minh: AMN = ABC Tính:   MN

BC b) Tính: AH

BC

CHỦ ĐỀ

1 Kiến thức bản:

Hai tam giác thỏa mãn ba trường hợp sau:

Trường hợp1: Hai tam giác có ba cặp cạnh tương ứng (cạnh-cạnh-cạnh) A'

B' C'

C B

A

AB A ' B'

AC A 'C ' ABC A ' B'C '

BC B'C '

 



    



 

(cạnh-cạnh-cạnh)

Trường hợp 2: Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng cặp góc xen cạnh (cạnh-góc-cạnh)

A'

B' C'

C B

A

 

AC A 'C '

C C ' ABC A ' B 'C '

BC B 'C '

 



    



 

(cạnh-góc-cạnh)

Trường hợp 3: Hai tam giác có cặp cạnh hai cặp góc kề với cặp cạnh (góc-cạnh-góc)

A'

B' C'

C B

A

 

 

B B '

BC B 'C ' ABC A ' B 'C '

C C '

 



    



 

(góc-cạnh-góc)

Lưu ý trường hợp tam giác vuông:

Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng

Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng

Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng

2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho ABC có 

A90 Trên tia đối AB, lấy điểm D cho AB = AD Chứng minh:

ABC = ADC Chứng minh Xét ABC ADC có:

AB = AC (giả thiết)

 

CADCAB90 AC cạnh chung

ABC = ADC (cạnh - góc - cạnh) Bài tập 2: Cho ABC có 

A90 Đường thẳng AH  BC H Trên đường vng góc với BC B lấy điểm D không nửa mặt phẳng bờ BC với điểm A cho AH = BD

a) Chứng minh: AHB = DBH b) Chứng minh: AB // HD

Chứng minh

a) Xét AHB DBH, ta có: AH = BD (giả thiết)

 

A B 90 (giả thiết) BH cạnh chung

AHB = DBH (c – g – c)

b) Vì AHB = DBH ABH BHD (góc tương ứng) Mà ABH  BHD vị trí so le 

 AB // HD

Bài tập 3: Cho ABC vuông A Vẽ BD tia phân giác góc B Vẽ AE  BC E Chứng minh: ABD = EBD

Chứng minh Xét ABD = EBD, ta có:

 

BADBED90 (giả thiết) BD cạnh chung

 

1

B B (giả thiết)

ABD = EBD (cạnh huyền – góc nhọn) 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho ABC có AB =AC Gọi M trung điểm cạnh BC

a) Chứng minh: ABM = ACM b) Chứng minh: AM  BC

Bài tập 2: Cho ABC Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, qua C kẻ đường thẳng song song với AB hai đường thẳng cắt D

a) Chứng minh: ABC = ADC b) Chứng minh: ADB = CBD

c) Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh: ABO = COD

2

E

D C

B

A

D B

C

A

D

H

C B

Bài tập 3: Cho góc vng xAy Trên tia Ax lấy điểm B D, tia Ay lấy điểm C E cho AB = AC AD = AE

a) Chứng minh: ACD = ABE b) Chứng minh: BOD = COE

Bài tập 4: Cho góc xOy khác góc bẹt Trên tia Ox lấy điểm A D, tia Oy lấy điểm C E cho OD = OE OA = OB

a) Chứng minh: ODC = OBE

b) Gọi A giao điểm BE CD Chứng minh: AOB = AOC Bài tập 5: Cho ABC, có AB = AC Tia phân giác góc A cắt BC M a) Chứng minh: ∆AMB = ∆AMC

b) Chứng minh M trung điểm cạnh BC

c) K điểm đoạn thẳng AM, đường thẳng CK cắt cạnh AB I Vẽ IH vng góc với BC H Chứng minh góc BAC2BIH

Bài tập 6: Cho góc xOy khác góc bẹt Lấy điểm A, B thuộc tia Ox cho OA < OB Lấy điểm C, D thuộc tia Oy cho OC = OA, OB = OD Gọi M giao điểm AD BC Chứng minh rằng:

a) AD = BC

b) MAB = MCD

c) OM tia phân giác góc xOy

Bài tập 7: Cho ABC, (AB < AC) có AM phân giác góc A (M thuộc BC) Trên AC lấy D cho AD = AB

a) Chứng minh: BM = MD

b) Gọi K giao điểm AB DM Chứng minh: DAK = BAC

Bài tập 8: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH  BC Kẻ HP  AB kéo dài để có PE = PH Kẻ HQ  AC kéo dài để có QF = QH

a) Chứng minh: APE = APH, AQH = AQF

b) Chứng minh: E, A, F thẳng hàng A trung điểm EF

Bài tập 9: Cho ABC vng C, có A600 Tia phân giác góc BAC cắt BC E, kẻ EK  AB (K  AB), kẻ BD  AE (D  AE)

Chứng minh: a) AK = KB b) AD = BC

Bài tập 10: Cho ABC, AB = AC M trung điểm AC N trung điểm AB Gọi K giao điểm BM CN Chứng minh:

a) BNC = CMB b) BKC cân K

Bài tập 11: Cho đoạn thẳng BC Gọi I trung điểm BC Trên đường trung trực BC lấy điểm A (A  I)

a) Chứng minh: AIB = AIC

b) Kẻ IH  AB, kẻ IK  AC Chứng minh: AHK có cạnh c) Chứng minh: HK // BC

Bài tập 12: Cho ABC vng A, có BD phân giác Kẻ DE  BC (E  BC) Gọi F giao điểm AB DE Chứng minh rằng:

a) BD đường trung trực AE b) DF = DC

Bài tập 13: Cho biết 

AOB 120 Kẻ tia phân giác OC AOB Trên tia OC lấy điểm M  OAHM, OB MK

a) Tính số đo HMO  KMO  b) Chứng minh: MHO = MKO

CHỦ ĐỀ

CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 1 Kiến thức bản:

Phương pháp 1: Hai tam giác gọi đồng dạng với chúng có cặp cạnh tương ứng tỉ lệ góc tương ứng tỉ lệ

Xét ABC A'B'C', ta có:

Nếu AB AC BC

A ' B'A 'C 'B'C '

     

AA '; BB'; CC' ABC ∽ A'B'C'

Phương pháp 2: Định lý Talet: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định cạnh đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ

N M

C B

A

(MN // BC) Ta có: AM = AN

AB AC;

AM AN

=

MB NC

Phương pháp 3: Chứng minh điều kiện cần đủ để hai tam giác đồng dạng: Hai tam giác có cặp cạnh tương ứng tỷ lệ đồng dạng

Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng đồng dạng

Hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng tỷ lệ, hai góc xen hai cặp cạnh

Phương pháp 4: Chứng minh trường hợp thứ (cạnh-cạnh-cạnh): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng

ABC

 ∽ A ' B'C ' AB AC BC

A ' B' A 'C ' B'C '

   

Phương pháp 5: Chứng minh trường hợp thứ (cạnh-góc-cạnh): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng

ABC ∽A’B’C’

 

AB AC

A ' B ' A 'C ' A A '

 

  

  

Phương pháp 6: Chứng minh trường hợp thứ (góc-góc): Nếu góc tam giác góc tam giác hai tam giác đồng dạng

ABC ∽A’B’C’

    A A ' B B '

    





- Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng hai tam giác đồng dạng

- Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỷ lẹ với hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng

- Nếu cạnh huyền cạnh tam giác vuông tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác đồng dạng

Phương pháp 8:

Chứng minh tính chất tỉ số đồng dạng để suy hai tam giác đồng dạng:

- Tỉ số hai đường phân giác, hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai bán kính nội tiếp ngoại tiếp, hai chu vi tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng

- Tỉ số hai đường cao hai tam giác đồng dạng: Ta có: ΔABC∽A'B'C', BH B’H’ hai đường cao

Nếu a tỉ số đồng dạng hai tam giác ΔABC A'B'C' BH = a

B'H'

- Tỉ số hai đường phân giác hai tam giác đồng dạng:

Ta có: ΔABC∽A'B'C', BD B’D’ hai đường phân giác B  B '  Nếu a tỉ số đồng dạng hai tam giác ΔABC A'B'C' BD = a

B'D'

- Tỉ số hai đường trung tuyến hai tam giác đồng dạng:

Ta có: ΔABC∽A'B'C', BM B’M’ hai đường trung tuyến

Nếu a tỉ số đồng dạng hai tam giácΔABC A'B'C' BM = a

B'M'

- Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng: Ta có: ΔABC∽A'B'C'

Nếu a tỉ số đồng dạng hai tam giác ΔABC A'B'C' ΔABC

ΔA'B'C'

C AB + BC + CA

= = a

C A'B' + B'C' + C'A'

- Tỉ số bán kính đường tròn ngoại hai tam giác đồng dạng:

Ta có: ΔABC∽A'B'C' OM, ON, OP bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC, O’M’, O’N’, O’P’ bán kính đường trịn ngoại tiếp A'B'C'

Nế'u a tỉ số đồng dạng hai tam giác ΔABC A'B'C'

OM ON OP

= = = a

O'M' O'N' O'P'

- Tỉ số bán kính đường trịn ngoại hai tam giác đồng dạng:

Ta có: ΔABC∽A'B'C' OM, ON, OP bán kính đường trịn ngoại tiếp ΔABC, O’M’, O’N’, O’P’ bán kính đường trịn ngoại tiếp A'B'C'

Nế'u a tỉ số đồng dạng hai tam giác ΔABC A'B'C'

OM ON OP

= = = a

O'M' O'N' O'P'

- Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Nếu ΔABC∽A'B'C' tỉ số đồng dạng hai tam giác

2 ΔABC ΔA'B'C'

S

S

= a

2 Bài tập áp dụng:

a) Chứng minh rằng: BDM ∽CME b) Chứng minh: MDE ∽DBM c) Chứng minh: BD.CE không đổi?

Chứng minh

a) Ta có: DBM ECM (1) DBM DME (giả thiết) Mà

     

0

0

DBM BMD MDB 180

DME BMD CME 180

  

  

 MDB CME (2)

Từ (1) (2), suy ra: BDM ∽CME (g - g) b) Vì BDM ∽CME nên

BD DM

CM  ME BM = CM (giả thiết)

 BD DM

BM  ME

MDE ∽DBM c) Vì BDM ∽CME

 BD = BM

CM CE

 BD.CE = CM BM Mà CM = BM = BC

2 = a  BD CE = a

4 (không đổi)

Bài tập 2: Cho ABC, BD CE đường cao ABC DF EG đường cao ADE Chứng minh rằng: ADE ∽ABC đồng dạng

Chứng minh Xét ADB AEC, ta có:



A góc chung

 

AECADB90

ADB ∽AEC (g - g) Suy ra:

AD AB

AE AC

 AD AE

AB  AC Và A = 90

ADE ∽ABC (g - c - g)

Bài tập 3: Lấy điểm M đường chéo AC tứ giác ABCD có  

B D 90 Kẻ MN BC (N  BC) MP  AD (P AD) Chứng minh: MN MP

AB CD  Chứng minh

Vì AB  BC (giả thiết) MN  BC (giả thiết) Nên MN // AB

E D

M C

B

A

G F

E

D

C A

CNM ∽ CBA  MN MC AB  AC (1) Ta có: MP // CD nên AMP ∽ ACD

 MP AM

CD  AC (2)

Cộng vế với vế (1) (2) ta được:

MN MP MC AM AC

1

AB CD AC AC



   

Vậy MN MP AB CD 

Bài tập 4: Cho đoạn thẳng AB Gọi O trung điểm AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Lấy C Ax, D By cho góc COD = 900

a) Chứng minh rằng: ACO ∽BDO

b) Chứng minh rằng: CD = AC + BD

c) Kẻ OM  CD M, gọi N giao điểm AD với BC Chứng minh rằng: MN // AC Chứng minh

a) Ta có:

 

AOCBOE (1)

   

0

0

BOE BOD 90

BDO BOD 90

 

 

 BOE BDO (2)

Xét ACO BDO, có:

 

OACDBO90 (giả thiết)  

BOEBDO (theo (2))

ACO ∽BDO (g - g) b) Kẻ CO cắt DB E

Ta có: AOC = BOE (g - c - g)

 OC = OE

Xét COD EOD, có:

OC = OE (chứng minh trên)

 

CODEOD90 OD cạnh chung

COD = EOD (c - g - c)

 CD = ED (cạnh tương ứng)

Ta có: AC = BE  AC + BD = BE + BD = ED (Vì CD = ED) Vậy: AC + BD = CD

c) Ta có: ANC ∽DNB

 AN AC

ND  BD

 AN BE

ND  BD (Vì AC = BE) Vì CD = ED nên CDE cân D

 OD đường cao hạ từ đỉnh D Theo chứng minh câu b, ta có:

OB = OM (2 đường cao tương ứng)

P M

N

D B

C A

N M

E D C

O B

CM = BE (hình chiếu ứng với cạnh nhau) MD = BD (hình chiếu ứng với cạnh nhau)

 AN BE CM

ND  BD MD

 AN CM

ND  MD

Theo định lý Talet, ta có: MN // AC 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho hình bình hành ABCD với đường chéo AC > BD Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ C đến đường thẳng AB AD Gọi G chân đường vng góc kẻ từ B đến AC a) Chứng minh rằng: CBG ∽ ACF

b) Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2

Bài tập 2: Cho ABC, M trung điểm cạnh BC Từ điểm E cạnh BC, ta kẻ Ex // AM Ex cắt tia CA F tia BA G Chứng minh rằng: FE + EG = 2AM

Bài tập 3: Cho hình bình hành ABCD, đường chéo AC lấy I Tia DI cắt đường thẳng AB M, cắt đường thẳng BC N

a) Chứng minh rằng: AM DM CB AB  DN CN b) Chứng minh rằng: ID2

= IM.IN

Bài tập 4: Cho ABC, BD CE đường cao ABC DF EG đường cao ADE Chứng minh rằng:

a) ADE ∽ABC b) FG // BC

Bài tập 5: Cho ABC (AB < AC) Hai đường cao BD CE cắt H a) So sánh BAH CAH

b) So sánh đoạn thẳng BD CE c) Chứng minh: ADE ∽ ABC

Bài tập 6: Cho điểm A, E, F, B theo thứ tự đường thẳng Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hình vng ABCD; FGHE

a) Gọi O giao điểm AG BH Chứng minh: OHE ∽OBC b) Chứng minh rằng: Các đường thẳng CE FD qua O

Bài tập 7: Cho ABC có trung điểm BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Trên cạnh BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Gọi P giao điểm AM BE; Q giao điểm CF AN Chứng minh rằng:

a) F, P, D thẳng hàng D, Q, E thẳng hàng b) ABC ∽DQP

Bài tập 8: Cho ABC; H, G, O trực tâm, trọng tâm, giao điểm đường trung trực  Gọi E, D theo thứ tự trung điểm AB AC

Chứng minh : a) OED ∽HCB b) GOD ∽GBH

c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG

Bài tập 9: Cho ABC, AD phân giác A; AB < AC Trên tia đối DA lấy điểm I cho

 

Bài tập 10: Cho tam giác ABC có góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng:

a) AE.AC = AF.AB b) AFE ∽ACB c) FHE ∽BHC

d) BF.BA + CE.CA = BC2

CHỦ ĐỀ

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1 Kiến thức bản:

(1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC (2) AB.AC = AH.BC (3) AH2 = BH.HC (4) 2 12 12

AH  AB AC Kết quả:

Với tam giác cạnh a, ta c:

2

a a

h = ; S =

2

Tỉ số lượng giác áp dụng tam giác vuông: Đặt ACB ; ABC , đó:

AB AH

sin ;

BC HC

AC HC

cos ;

BC AC

  

  

AB AH

tan

AC HC

AC HC

cot

AB AH

  

  

b a sin B a cos C c tan B c cot C c a cos B a sin C b cot B b tan C

   

   

Kết suy ra:

(1) sin cos ; cos  sin ; tan  cot ; cot  tan

sin cos

(2) sin 1; cos 1; tan ; cot

cos sin

 

         

 

2 2

2

1

(3) sin cos 1; tan cot 1; tan ; cot

cos sin

            

 

4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó:

2 2

ABC

a b c 2bc.cos A; S bc.sin A



   

2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết AH = 9cm, CH = 16cm a) Tính độ dài cạnh AB, AC

b) Tính chiều cao AH

H C

B

A

β α

H C

B

Giải

a) Ta có: BC = BH + HC = + 16 = 25 (cm)

ABC vuông A, AH  BC (giả thiết)

Sử dụng hệ thức góc vng hình chiếu lên cạnh huyền, ta có: AB2 = BH.HC = 9.25 = 225

 

AB 225 15 cm

  

AC2 = CH.CB = 16.25 = 400 Suy ra:

 

AC 400 20 cm

  

b) Theo hệ thức liên hệ đường cao thuộc cạnh huyền hình chiếu hai góc vng cạnh huyền, ta có:

AH2 = BH.HC = 9.16 = 144  AH = 12 (cm)

Bài tập 2: Cho ABC vuông A, AB = 30 (cm), tanB = 15 a) Tính AC, BC

b) Tính sinB, cosB, cotB Giải

a) Trong ABC vng A, ta có: tanB = AC

AB15 mà AB = 30 (cm) nên ta có:

AC 30.8

AC 16

AB15  15  (cm) Theo định lý Pitago, ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = 302 + 162 = 1156 Suy ra: BC = 34 (cm)

b) Theo định nghĩa, ta có tỉ số lượng giác góc là:

AC 16

sin B 0, 4706

BC 34

AB 30

cosB 0,8824

BC 34

AB 30

tan B 1,875

AC 16

  

  

  

Bài tập 3: Cho ABC, đường cao AH (H  BC), 

B42 AB = 12cm, BC = 22cm Tính cạnh góc cịn lại tam giác

Giải

Trong AHB vuông H, 

B42 nên  0

HAB90 42 48

Áp dụng hệ thức lượng liên hệ cạnh góc tam giác vng AHB, ta có: AH = AB.sinB = 12.sin 420 12.0,669  8,028 (cm)

BH = AB.cosB = 12.cos 420 12.0,743  8,916 (cm) Trong tam giác vuông AHB, ta có:

16

H C

B

A

30

C

 

0

0 0

AH 0, 028

tan C 0, 614

HC 13, 084

C 31 30 '

HAC 90 31 30 ' 58 30 '

  

 

   

Do đó:

 0

BAC 48 58 30 ' 106 30 ' AH AC.sin C

   



Suy ra:

 

0 AH 8, 028

AC 15,35 cm

sin C sin 31 30 '

  

3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho ABC vuông A, biết: a) a = 72cm, 

B58 b) b = 20cm, 

B48 c) b = 15cm, 

C30 d) b = 21cm, c = 18cm

Bài tập 2: Cho ABC vuông A, đường cao AH Biết HB = 25cm, HC = 64cm Tính B, C  Bài tập 3: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có hai cạnh a b, góc nhọn tạo hai đường thẳng c diện tích tam giác bằng: S 1ab.sin c

2



Bài tập 4: Cho ABC có, AB = 16cm  B60 a) Tính BC

b) Tính SABCD

Bài tập 5: Cho ABC vuông A Gọi H chân đường cao hạ từ A Biết AB = 7cm, AC = 9cm Tính BH, CH, AH

Bài tập 6: Cho ABC vuông cân A, đường cao AH Biết BC = a, AH = h Tính độ dài cạnh bên theo a, h

Bài tập 7: Cho ABC vuông A, đường cao AH, kẻ HM  AB M Chứng minh:

3

AB BM

BC 

Bài tập 8: Cho ABC có AB = 48cm, AC = 14cm, BC = 50cm Tính độ dài đường phân giác góc C

Bài tập 9: Cho ABC vng A có AB = 3cm; BC = 5cm AH đường cao Tính BH; CH; AC AH

Bài tập 10: Cho ABC cân A có BC = 16cm; AH = 6cm Một điểm D  BH cho BD = 3,5 cm Chứng minh: DAC vuông

Bài tập 11: Cho ABC vng A có AC = 10cm; AB = 8cm Tính: a) BC

b) Hình chiếu AB AC lên BC c) Đường cao AH

Bài tập 12: Cho đường trịn tâmO bán kính R = 10cm.Dây cung AB có trung điểm I a) Tính AB OI = 7cm

b) Tính OI AB = 14cm

H C

B

Bài tập 13: Cho đường trịn tâm O có đường kính AB = 26,5 cm Vẽ dây cung AC = 22,5cm H hình chiếu C AB, nối BC Tính BC; BH; CH OH

Bài tập 14: Hình thang ABCD cân; đáy lớn AB = 30cm, đáy nhỏ CD = 10cm góc A 600 a) Tính cạnh BC

b) Gọi M; N trung điểm AB CD Tính MN

Bài tập 15: Cho đa giác lồi ABCD có AB = AC = AD = 10cm, góc B 600

góc A 900 a) Tính đường chéo BD

b) Tính khoảng cách BH Điều kiện từ B D đến AC c) Tính HK

d) Vẽ BE  DC kéo dài Tính BE; CE DC

Bài tập 16: Cho đoạn thẳng AB=2a Từ trung điểm O AB vẽ Ox  AB O Trên Ox lấy D: OD = a

2 Từ B kẻ BC  AD kéo dài a) Tính AD; AC BC theo a

b) Kéo dài DO đoạn OE = a Chứng minh: Bốn điểm A, C, B E nằm đường trịn

b) Xác định tính chất CE với góc ACB

c) Vẽ đường vng góc với BC B cắt CE F Tính BF d) Gọi P giao điểm AB CE Tính AP BP Bài tập 17: Cho ABC nhọn, nội tiếp (O; R) có: 

AOB90  AOC 120 a) Chứng minh: O tam giác ABC

b) Tính góc tam giác ABC c) Tính đường cao AH BC theo R

Bài tập 18: Cho ABC có ba góc nhọn AB = c, AC = b, BC = a Chứng minh rằng:

a b c

sin A sin Bsin C

Bài tập 19: Cho ABC có ba góc nhọn AB = c, AC = b, BC = a Chứng minh rằng: b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB

Bài tập 20: Cho ABC vuông A,   0

Ca, a45 trung tuyến AM Đường cao AH Biết BC = a, AC = b, AH = h

a) Tính: sina, sin2a theo a, b, h

b) Chứng minh rằng: sin2a = 2sina.cosa

Bài tập 21: Cho ABC cân A Đường cao thuộc cạnh bên h, góc đáy a Chứng minh rằng:

2 ABC

h S

4sin a.cos a

 

Bài tập 22: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB = 20cm, cạnh bên AD = 8cm tạo với đáy lớn AB góc 650

a) Tính độ dài đường cao AH đáy nhỏ CD b) Tính số góc ABD đường chéo BD  Bài tập 23: Cho hình thang ABCD có  

A D 90 , AD = 30cm, CD = 18cm BC = 20cm a) Tính cách góc ABC, BCD 

b) Tính góc DAC, ADB dộ dài đường chéo AC, BD   Bài tập 24: Cho ABC Biết AB = 10cm, AC = 24cm, BC = 26cm a) Chứng minh rằng: ABC vuông A

b) Tính: sinB, sinC

CHỦ ĐỀ

CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC 1 Kiến thức bản:

- Dùng định lý Talet, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, hệ thức lượng tam giác vuông, …

Giả sử cần chứng minh: MA.MB = MC.MD

Lập sơ đồ: MA.MB = MC.MD MA MD MAD

MC MB

    ∽MCB MAC ∽MDB

Ngoài cần ý đến việc sử dụng hệ thức tam giác vng; phương tích điểm với đường tròn

2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho đường tròn (O; R), tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến Ax, lấy điểm F cho BF cắt đường tròn C Tia phân giác góc ABF cắt Ax E cắt đường tròn D

a) Chứng minh OD // BC

b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF Chứng minh

a) ΔBODcân O (vì OD = OB = R)  

OBD ODB

 

Mà OBD = CBD (gỉa thiết) nên   ODB = CBD   Do đó: OD // BC

b) Ta có:



ADB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

AD BE

 



ACB90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)

AC BF

 

EAB

 vuông A (do Ax tiếp tuyến ), có AD  BE nên AB2 = BD.BE (1) ΔFAB vuông A (do Ax tiếp tuyến), có AC  BF nên AB2 = BC.BF (2) Từ (1) (2) suy ra: BD.BE = BC.BF

Bài tập 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp

b) Chứng minh: AD.AC = AE.AB Chứng minh

a) Xét tứ giác BCDE, có:

 

0

0

BDC 90

BEC 90

 

Ta có hai đỉnh D, E nhìn cạnh BC với góc 900

 Tứ giác BCDE nội tiếp b) Xét ADB AEC, ta có:

 

ADBAEC90 (Vì BD, CE hai đường cao) 

A góc chung

ADB ∽AEC (g - g)

 AD AB

AE  AC

 AD.AC = AE.AB

H

C D

E

B

A D E

C

B F

x

Bài tập 3: Từ điểm A ngồi đường trịn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (B, C tiếp điểm) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) D E (D nằm A E, dây DE không qua tâm O) Gọi H trung điểm DE, AE cắt BC K

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn b) Chứng minh: HA tia phân giác BHC  c) Chứng minh: = +

AK AD AE Chứng minh

a) Ta có:  

ABO = ACO = 90 (tính chất tiếp tuyến) Trong tứ giác ABOC có  

ABO + ACO = 180 nên nội tiếp đường tròn b) Ta có: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: AB = AC   Do đó: AHB = AHC  

Vậy HA tia phân giác BHC  c) Chứng minh: = +

AK AD AE:

Xét ABD AEB, có: 

BAE góc chung

 

ABD = AEB (= 2sđ

 BD ) Suy ra: ABD ∽AEB

Do đó: AB AD

AB AD.AE

AE  AB  (1)

Xét ABK AHB, có: 

BAH góc chung  

ABK = AHB (do AB = AC ) 

 ABK ∽ AHB

Suy ra: AK AB AB2 AK.AH

AB AH  (2)

Từ (1) (2) suy ra: AE.AD = AK AH

1 AH

AK AE.AD

 

2 2AH

AK AE.AD

  =2 AD DH 

AE.AD



=2AD 2DH AE.AD



 AD AD ED

AE.AD

 

= AE + AD AE.AD =

1

+ AD AE (do AD + DE = AE DE = 2DH)

Vậy = +

AK AD AE (đpcm) 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho (O) có đường kính AB Qua A kẻ tiếp tuyến xy Lấy điểm M  Ax; nối BM cắt (O) C Chứng minh: MA2

= MB.MC

Bài tập 2: Cho ABC đều, nội tiếp đường tròn (O) D điểm cung BC (BC cung nhỏ) CD AB kéo dài cắt M; BD AC kéo dài cắt N Chứng minh: AB2 = BM.CN Bài tập 3: Cho ABC có AB < AC Từ M  AB vẽ MEF //BC cắt AC E đường thẳng song song AB vẽ từ C F AC cắt BF I Chứng minh: IC2

= IE.IA

H K D

E C

B

Bài tập 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 36mm; AD = 24mm Từ D nối đến trung điểm M AB cắt AC I CB kéo dài K Chứng minh: ID2

= IM.IK

Bài tập 5: Cho ABC vng A Vẽ phân giác AD góc A (D  BC) Gọi khoảng cách từ D đến AB d Biết AB = c, AC = b, BC = a Chứng minh: = 1+1

d b c

Bài tập 6: Cho (O; R) hai dây cung song song AD BE hai phía dây AB hợp với AB góc 450 Nối DE cắt AB M Chứng minh: MA2

+ MB2 + MD2 + ME2 = 4R2 Bài tập 7: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Chứng minh AM2

= AN2 = AB.AC

Bài tập 8: Trên cung nhỏ BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, lấy điểm P tuỳ ý Gọi giao điểm AP BC

a) Chứng minh: BC2 = AP AQ

b) Trên AP lấy điểm M cho PM = PB Chứng minh: BP + PC = AP c) Chứng minh: = +

PQ PB PC

Bài tập 9: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD) Vẽ CE AB FC  AD Chứng minh rằng: AB.AE + AD.AF = AC2

Bài tập 10: Cho tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Từ điểm E cạnh BC ta kẻ Ex // AM Ex cắt tia CA F tia BA G Chứng minh rằng: FE + EG = 2AM

Bài tập 11: Cho Cho hình bình hành ABCD, Đường chéo AC lấy I Tia DI cắt đường thẳng AB M, cắt đường thẳng BC N

a) Chứng minh rằng: AM DM CB AB  DN  CN b) Chứng minh rằng: ID2

= IM.IN

Bài tập 12: Lấy điểm O tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt BC, AC, AB P, Q, R Chứng minh rằng: OA OB OC

AP BQCR 

Bài tập 13: Cho tam giác ABC (AB = AC) có góc đỉnh 200; cạnh đáy a; cạnh bên b Chứng minh rằng: a3

+ b3 = 3ab2

Bài tập 14: Cho ABC có Â = 300 Dựng bên BCD Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2 Bài tập 15: Cho ABC cân A (

A90 ) Từ B kẻ BM  AC Chứng minh rằng:

2

AM AB

2

AC BC

 

   

 

CHỦ ĐỀ 10

TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN 1 Kiến thức bản:

Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp:

- Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm

- Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 1800 (bù nhau)

- Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng góc - Chứng minh tổng góc ngồi đỉnh với góc đối diện bù Hay diễn đạt là: “Góc ngồi góc đối trong”

- Nếu PA.PC = PB.PD tứ giác ABCD nội tiếp (Trong P= AC  BD) - Chứng minh tứ giác hình thang cân; hình chữ nhật; hình vng; …

Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm thuộc đường tròn ta chứng minh điểm lúc Song cần ý tính chất “Qua điểm khơng thẳng hàng xác định đường tròn”

2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho ABC, BD, CE hai đường cao Chứng minh: Tứ giác BCDE AEHD nội tiếp Chứng minh

Xét tứ giác BCDE, có:

 

BDCBEC90 (Vì BD, CE hai đường cao) 

A góc chung

 Hai đỉnh E, D nhìn cạnh BC với góc 900

 Tứ giác BCDE nội tiếp Xét tứ giác AEHD, có:



AEH90 (EC đường cao)



ADH90 (BD đường cao)

  

AEH ADH 180 

 Tứ giác AEHD nội tiếp

Bài tập 2: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn

Chứng minh Ta có:



EAC = 2sđ



AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE dây AC đường tròn (O))

Tương tự:



xDB = 2sđ



DB (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE)

Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên AC = BD   Do EAC = xDB  

Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn

Bài tập 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp

Chứng minh Ta có:



AMB = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính AB)

AM MB

 

Mà CD // BM (giả thiết) nên AM  CD

Vậy 

MKC = 90 Ta có:

 

AM = CM (giả thiết)

OM AC

 



MHC 90

 

H

C D

E

B

A

E M

O

A B

C D

H K D

M

C

Tứ giác CKMH có  

MKC + MHC = 180 nên nội tiếp đường tròn

Bài tập 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ hai MC (C tiếp điểm) Đường thẳng MB cắt nửa đường tròn (O) Q Gọi giao điểm MO AC I Chứng minh rằng: Tứ giác AMQI nội tiếp

Chứng minh Ta có:

MA = MC (tính chất hai tếp tuyến cắt nhau) OA = OC (bán kính đường trịn (O))

Do đó: MO  AC MIA900



AQB90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))



MQA 90

 

 Hai đỉnh I, Q nhìn cạnh AM với góc 900

 Tứ giác AMQI nội tiếp đường tròn Bài tập 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên tia

AB lấy điểm D nằm đoạn AB kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn (O) (C tiếp điểm) Gọi E chân đường vng góc hạ từ A xuống đường thẳng CD F chân đường vng góc hạ từ D xuống đường thẳng AC

Chứng minh: Tứ giác EFDA nội tiếp Chứng minh

Ta có:



AED = 90 (Vì AE  CD E)



AFD = 90 (Vì DF  AC F)

 Hai đỉnh E, F nhìn cạnh AD với góc 900

 Tứ giác EFDA nội tiếp

Bài tập 6: Sử dụng tính chất định lý Plôtêmê :

Định lý Ptolemy hay Đẳng thức Ptolemy đẳng thức hình học Euclid miêu tả quan hệ độ dài bốn cạnh

hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường tròn Định lý mang tên nhà toán học thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (Claudius Ptolemaeus)

AC

AD BD

CD BC AB

D

C B

A

Nếu A, B, C, D đỉnh tứ giác nội tiếp đường trịn thì:

AC BD = AB CD + BC + AD

(với dấu gạch ngang kí hiệu độ dài cạnh)

Định lý phát biểu thành định lý thuận đảo:

Định lý thuận: Nếu tứ giác nội tiếp đường trịn tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện

Định lý đảo: Nếu tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng tích cặp cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường tròn

Chứng minh

I

Q C

M x

B

A O

F E

C

O B D

A

B

C D

K A

B

C D

K K

D

C

B A

Gọi ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn Trên cung nhỏ BC, ta có góc nội tiếp:

 

BACBDC, cung AB, ADB ACB Lấy điểm K AC cho ABK CBD; Từ ABK CBK     ABCCBD ABD Suy ra: CBK ABD

Do tam giác △ABK ∽ △DBC, tương tự có △ABD ∽ △KBC Suy ra: AK = CD

AB BD,

CK DA

= BC BD;

Từ AK.BD = AB.CD, CK.BD = BC.DA;

Cộng vế đẳng thức trên: AK.BD + CK.BD = AB.CD + BC.DA; Hay: (AK+CK).BD = AB.CD + BC.DA;

Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB.CD + BC.DA (Điều phải chứng minh) 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB M điểm tiếp tuyến xBy AM cắt (O) C; lấy D  BM; nối AD cắt (O) I Chứng minh: Tứ giác CIDM nội tiếp

Bài tập 2: Cho ABC vng A có AB = 5cm AC = 3cm Đường cao AH (H  BC) Đường tròn (H; HA) cắt AB D AC E Chứng minh: Tứ giác CEBD nội tiếp

Bài tập 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB Từ A B vẽ Ax  AB By  BA Vẽ tiếp tuyến x’My’ (tiếp điểm M) cắt Ax C By D OC cắt AM I OD cắt BM K Chứng minh: Tứ giác CIKD nội tiếp

Bài tập 4: Cho đường trịn (O) đường kính AB, vẽ bán kính OC  AB Từ B vẽ tiếp tuyến Bx Gọi M trung điểm OC, AM kéo dài cắt đường tròn E Bx I Tiếp tuyến từ E cắt Bx D Chứng minh: Tứ giác MODE nội tiếp

Bài tập 5: Cho tam giác ABC (

BAC < 45 ) nội tiếp nửa đường trịn tâm O đường kính AB Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) C gọi H chân đường vng góc kẻ từ A đến tiếp tuyến AH cắt đường tròn (O) M (M  A) Đường vng góc với AC kẻ từ M cắt AC K Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp

Bài tập 6: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường trịn tâm O đường kính AH cắt cạnh AB, AC M N ( A  M N) Chứng minh:

a) AHN = ACB  

b) Tứ giác BMNC nội tiếp

Bài tập 8: Cho đường trịn (O; R), đường kính AB Trên tiếp tuyến kẻ từ A đường tròn lấy điểm C cho AC = AB Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD đường tròn (O; R), với D tiếp điểm Chứng minh tứ giác ACDO nội tiếp

Bài tập 9: Cho đường trịn (O) đường kính AB 6cm Gọi H làđiểm nằm A B Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB, đường thẳng cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB ( N thuộc thẳng AB) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp

CHỦ ĐỀ 11

CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 1 Kiến thức bản:

Phương pháp 1: Áp dụng tính chất đường đồng quy tam giác

Phương pháp 2: Chứng minh đường thẳng qua điểm: Ta hai đường thẳng cắt điểm chứng minh đường thẳng qua điểm

Phương pháp 3: Dùng định lý đảo định lý Talet Phương pháp 4:

Định lý Lyness mở rộng(Bổ đề Sawayama): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M  BC Một đường tròn (O') tiếp xúc với hai cạnh MA MC E F đồng thời tiếp xúc với đường trịn (O) K Khi ta có tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng EF Định lý Pascal: Cho điểm A, B, C, D, E, F thuộc đường tròn Khi giao điểm cặp cạnh AB DE, BC EF, CD FA thẳng hàng

Phương pháp 6:

Định lý CEVA: Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E F nằm cạnh BC, AC, AB

O

F E

D C

B

A

Định lý phát biểu đường thẳng AD, BE CF đường thẳng đồng quy khi:

AF BD CE

=

FB DC EA 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC thuộc miền tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) MC = NA = PB

b)      

AM.MC = MC, BP = BP, NA = 60

c) MC, NA, PB đồng quy Chứng minh

a) Xét ABN MBC, có: AB = MB;

 

ABN = MBC (cùng 60 + ABC ) 

ABN = MBC (c.g.c)

 AN = MC (*)

Tương tự: ABP = AMC (c.g.c) AB = AM;

BC = BN (các cạnh tam giác đều)  

BAP = MAC (cùng 60 + BAC ) 

 BP = MC (**)

Từ (*) (**) ta có: AN = MC = BP (đpcm) b)

Trong APC, có: A + C + P + P = 180 mà 1 2 1 2 P = C 1 1 Trong PCK, có: C + C + P1 2 2K = 1802

     

2 2

1

60  C P K 180 K 60 (1) Tương tự: ABN = MBC

 N = C mà 1 3  N + N = 601 2

  

2

N + C = 60 mà C = 60 4

NKC có N + C + C + K = 180    2 3 4 3

 

3

K = 60 (2)

Tương tự: ACN = PCB

 P = A mà 2 2 P + P = 60  1

 P + A = 60 mà  1 2 A = 60 1

 Trong AKP, có: K = 60 1 (3) Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh

c) Giả sử MC  BP = K, ta chứng minh cho A, K, N thẳng hàng

Theo chứng minh ta có:      

2 1

K 60 , K 60 , K 60 K K K 180

 A,K,N thẳng hàng

Vậy AN, MC, BP đồng quy (đpcm)

Bài tập 2: Cho hình bình hành ABCD Trên AB CD lấy điểm E F cho AE = CF Trên AD BC lấy H G cho DH = BG

a) Chứng minh: Tứ giác EGFH hình bình hành b) Chứng minh: AC, BD, EF, GH cắt điểm

Chứng minh

a) Xét DHF BGE, ta có: DH = BG

 

HDFGBE (Vì ABCD hình bình hành) DF = BE (Vì AE = CF)

DHF = BGE

 HF = EG (1) Mặt khác, ta có:

 

DHGBGH DHF BGEFCG EGH (2) Từ (1), (2) suy ra: Tứ giác EGFH hình bình hành b) (Theo câu a)

 Tứ giác EGFH hình bình hành

2

4 31

2

1

K

P

N M

C B

A

I G

H

F E

D C

Gọi I giao điểm đường chéo HG EF (của hình bình hành EGFH) Ta lại có: Tứ giác AGCH hình bình hành (AH // CG AH = CG)

 Giao đường chéo HG AC I (I trung điểm HG)

Tương tự, ta có: Hình bình hành HBGD có giao điểm đường chéo HG BD I (I trung điểm HG)

Suy ra: HG, EF, AC, BD cắt điểm I (cũng điểm nhất)

Bài tập 3: Cho hai đường thẳng d1 d2 cắt O Trên d1 lấy ba điểm phân biệt A, B, C khác O cho OA = AB = BC Trên d2 lấy ba điểm E, M, N khác O cho OE = OM = MN Chứng minh ba đường thẳng AE, BN CM đồng quy

Chứng minh

Gọi D giao điểm BN CM

Qua M kẻ đường thẳng song song với OC cắt BC F Qua O kẻ đường thẳng song song với BN cắt MF G Xét FBO OGF, ta có:

 

BOFGFO (so le trong) OF cạnh chung

 

BFOGOF(so le trong)

FBO = OGF (g-c-g)

 FG = BO (1)

Xét NFM OGM, ta có:  

GOMFNM MO=MN

 

OMGNMF (đối đỉnh)

NFM = OGM

 MF = MG (2)

Từ (1) (2), suy ra: MF = OA = AB = BC Sử dụng kết vừa tìm kết hợp:

 

DCBDMF (so le trong) DBC DFM (so le trong) Suy ra: DBC = DFM (g-c-g)

Do đó: DC = DM

hay D trung điểm CM (3) Xét CEM, ta có:

CO trung tuyến ứng với cạnh ME (do OE=OM) CA =

3CO

 A trọng tâm CEM

Suy ra: AE qua trung điểm cạnh CM (4) Từ (3) (4), ta suy ra: AE qua D

Vậy BN,CM AE đồng quy D

Bài tập 4: Cho ABC, đường cao AD, BE, CF tam giác đồng quy H Gọi I trung điểm HC

a) Chứng minh BCEF tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp DEF DIEF tứ giác nội tiếp đường trịn c) Về phía ngồi ABC dựng ABM CAN cho chúng tam giác vuông cân đỉnh B C tương ứng Chứng minh đường thẳng AD, BN, CM đồng quy

Chứng minh a) HS tự làm

b) Ta dễ dàng chứng minh tứ giác AEHF, AEDB nội tiếp đường tròn

E

G

N

M F

D

O A

Khi đó, ta có:  

FAHFEH (cùng chắn FH )  FAH BAD

 

BADBED (cùng chắn BD )  BED HED

 FEH HED

 HE tia phân giác FED  Tương tự, ta có:

HF tia phân giác EFD  HD tia phân giác EDF 

 H giao điểm đường phân giác DEF

Vậy H tâm đường nội tiếp DEF * Theo chứng minh trên, ta có:

 

FED2FAD FAD FCD (HS tự chứng minh tứ giác ACDF nội tiếp)

 

HID2FCD (góc ngồi tổng góc khơng kề)

 FED2FAD2FCD  HIDFID Hay FED FID

 Tứ giác EIDF nội tiếp

c) Trên tia đối tia AD, lấy T cho AT = BC

  

MBC90 ABCTAB

MBC = BAT (c - g - c)

 BTD BCM

 CM  TB

Tương tự, ta có: BN  TC Mà TD  BC

Vậy TD, CM, BN đồng quy (3 đường cao TBC)

Bài tập 5: Cho tứ giác ABCD, AD, BC không song song, nội tiếp đường tròn (O) P giao điểm AC BD Đường tròn (O1) tiếp xúc với đoạn PA, PB tiếp xúc với (O) E Đường tròn (O2) tiếp xúc với đoạn PC, PD tiếp xúc với (O) F Chứng minh AD, BC, EF đồng quy

Chứng minh

Giả sử (O2) tiếp xúc PB, PC X, Y tiếp xúc (O) F

Theo bổ đề Sawayama (định lí Lyness mở rộng) ta có XY qua H, K (với H,K tâm nội tiếp ADC,

BDC

Gọi Z, T giao điểm HK AD, BC Gọi M, N, P, Q trung điểm cung AD, BD, AC, BC (O) Vì (O2) tiếp xúc AC, BD nên F, X, N F, Y, P thẳng hàng

Ta chứng minh: M, Z, F thẳng hàng Thật vậy: Gọi Z′ giao FM AD

AN giao BM S Gọi R trung điểm cung CD

Theo định lí Pascan cho lục giác MFNADB ta có S, Z′, X thẳng hàng

T

N

M

A

H I

F

E

D C

B

K Z

H

S

Q

M

T

P N

Y

E

X O1

O2

P

D C

B A

Tiếp tục với lục giác NARBMC ta có H, K, S thẳng hàng

Mà H, K, X thẳng hàng, nên ta có Z′, X, H, K thẳng hàng hay Z′ trùng Z Tương tự, ta có: F, T, Q thẳng hàng

Gọi (O3) đường tròn tiếp xúc AD, BC tiếp xúc (O) cung nhỏ DC Ta chứng minh (O3) (ZFT)

Thật vậy, gọi Z", T" tiếp điểm AD, BC (O3) theo bổ đề Sawayama, ta có Z", T", H, K thẳng hàng hay Z", T" trùng Z, T

Mà MZ NT cắt F nên ta có ZFT (O3)

Từ đó, ta quy tốn phát biểu đơn giản sau: (O3) tiếp xúc AD, BC tiếp xúc cung nhỏ CD F

Tương tự có E

Khi AD, BC, EF đồng quy

Bài tập 6: Chứng minh dựa vào định lý CEVA

Định lý CEVA: Cho tam giác ABC Lấy điểm D, E F nằm cạnh BC, AC, AB

Định lý phát biểu đường thẳng AD, BE CF đường thẳng đồng quy khi:

AF BD CE

=

FB DC EA Chứng minh

Giả sử AD, BE CF đồng qui điểm O (trong hay ngồi tam giác) Do BOD COD có chung chiều cao (độ dài đường cao), ta có:

ΔBOD BD = ΔCOD DC

Tương tự,

ΔBAD BD = ΔCAD DC

Ta suy

ΔBAD ΔBOD ΔABO

BD

DC ΔCAD ΔCOD ΔCAO



 



Tương tự,

ΔBCO CE

,

EA  ΔABO

và

ΔCAO AF

FB ΔBCO

Nhân ba đẳng thức cho ta: AF BD CE

FB DC EA (điều phải chứng minh)

Ngược lại, giả sử ta có điểm D, E F thỏa mãn đẳng thức Gọi giao điểm AD BE O, gọi giao điểm CO AB F' Theo chứng minh trên,

AF' BD CE

F'B DC EA

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

O

F E

D C

B

AF' AF F'B FB

Thêm vào vế ý AF'' + F''B = AF + FB = AB, ta có:

AB AB

F'B FB

Do F''B = FB, F F'' trùng Vì AD, BE CF = CF'' đồng qui O, định lí chứng minh (là theo hai chiều)

3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC thuộc miền tam giác ABC Chứng minh MC, NA, PB đồng quy

Bài tập 2: Cho tam giác ABC dựng tam giác MAB, NBC, PAC có tâm O1, O2, O3 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác đồng quy điểm

Bài tập 3: Gọi A', B', C' tiếp điểm đường tròn nội tiếp ABC với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: AA', BB', CC' đồng quy

Hướng dẫn

Chứng minh A'B B'C C'A =

A'C B'A C'B  AA', BB', CC' đồng quy

Bài tập 4: Cho hình thang ABCD (AB > CD) Gọi E giao điểm hai cạnh bên AD BC; F trung điểm AB Chứng minh rằng: AC, BD, CF đồng quy

Bài tập 5: Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AH, BK, CL cắt I Gọi D, E, F trung điểm BC, CA, AB Gọi P, Q, R trung điểm IA, IB, IC Chứng minh PD, QE, RF đồng quy Gọi J điểm đồng quy, chứng minh I trung điểm đường

Hướng dẫn

Chứng minh PEDQ, PRDF hình chữ nhật

 PD, QE, RF đường chéo hình chữ nhật

 Điều phải chứng minh

Bài tập 6: Cho ABC nội tiếp đường trịn (O) có H trực tâm Gọi A', B', C' điểm đối xứng H qua BC, CA, AB Qua H, vẽ đường thẳng d Chứng minh rằng: Các đường thẳng đối xứng d qua cạnh ABC đồng quy điểm (O)

Hướng dẫn

Gọi d1, d2, d3 đường thẳng đối xứng d qua cạnh ABC Gọi I giao d1 d2

Chứng minh tứ giác A'B'C'I tứ giác nội tiếp Suy A'B'C'I nội tiếp (O) Chứng minh I thuộc d3

CHỦ ĐỀ 12

BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1 Kiến thức bản:

Phương pháp 1:

Tiên đề Ơ’clit: Qua điểm A nằm đường thẳng a kẻ đường thẳng song song với a

Hệ quả: Qua điểm A nằm đường thẳng a kẻ đường thẳng vng góc với a

Phương pháp 2: Chứng minh qua điểm có hai đường thẳng vng góc với đường thẳng cho trước điểm

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đồng quy ba đường cao, phân giác, trung trực, trung tuyến Phương pháp 5: Chứng minh điểm AM + MB = AB A thuộc đoạn thẳng BC Suy A, B, C thẳng hàng

Phương pháp 7: Dùng tính chất đường trung trực: Chứng minh điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng cho trước nằm đường thẳng

Phương pháp 8: Dùng tính chất tia phân giác: Chứng minh điểm cách hai cạnh góc

Phương pháp 9: Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt Phương pháp 10: Sử dụng tính chất đường kính dây cung đường trịn Phương pháp 11: Sử dụng tính chất hai đường tròn tiếp xúc

Đoạn thẳng nối hai tâm hai đường tiếp tuyến chung vng góc với 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho ABC với hai trung tuyến BD CE Gọi M N theo thứ tự thuộc tia đối tia EC DB cho EC = EM DB = DN Chứng minh A, M, N thẳng hàng

Giải

Tứ giác AMBC có: EA = EB, EM = EC (gt)

Nên hình bình hành

Suy ra: AM // BC (1) Chứng minh tương tự, ta có:

AN // BC (2)

Từ (1) (2) suy ba điểm A, M, N thẳng hàng (tiên đề Ơcơlit)

Bài tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD), có O giao điểm hai đường chéo Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE = CD Gọi F hình chiếu của D BE; I giao điểm AB CF; K giao điểm AF BC Chứng minh ba điểm O, K, I thẳng hàng

Giải

ABCD hình chữ nhật nên:

AB = CD, AC = BD OA = OB = OC = OD Ta có CB  AI (vì ABCD hình chữ nhật)

 CB đường cao CAI (1)

FBD vuông F (vì F hình chiếu D lên BE) có: FO trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên OF =

2BD

 OF = 2AC

FAC có FO đường trung tuyến ứng với cạnh AC Mà FO =

2AC nên FAC vuông F

Suy AF  CI hay AF đường cao CAI (2)

K giao điểm AF CB nên từ (1) (2), suy K trực tâm CAI

Do IK  AC (3)

Mặt khác, tứ giác ABEC có:

AB = CE (cùng CD) AB // CE (vì AB // CD) nên hình bình hành

 BE // AC  BF //AC  ABFC hình thang

Lại có FDE vng F, FC trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên CF = CD  CF = AB (vì AB = CD)

N M

E

D

C A

B

K

I

F

E O

D

C B

Suy BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc vng)

 AF = BC

Hình thang ABFC có hai đường chéo AF BC nên hình thang cân Suy ra: IAC ICA IAC cân I

 IO trung tuyến đồng thời đường cao

Hay IO  AC (4)

Từ (3) (4) suy I, K, O thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M, I N theo thứ tự trung điểm AB, AC CD Chứng minh MN AD BC

2



 M, I, N thẳng hàng ABCD trở thành hình thang Giải

Giả sử: MN AD BC



 (1)

Vì MA = MB, IA = IC nên MI đường trung bình tam giác ABC

Suy ra: MI // BC MI = 2BC

Chứng minh tương tự ta có: IN // AD IN = 2AD

Mà MN AD BC 1BC 1AD

2 2



   hay MN = MI + IN

Từ suy I nằm M N, hay M, I, N thẳng hàng Lúc đó, ta có: BC // AD song song với MN Do ABCD trở thành hình thang

Vậy MN AD BC



 M, I, N thẳng hàng ABCD trở thành hình thang

Bài tập 4: Đường tròn tâm O đường tròn tâm O’ cắt A B Gọi C, D đối xứng với B qua O O’ Chứng minh C, A, D thẳng hàng

Giải

Vì C đối xứng với B qua O nên O trung điểm BC Suy BC đường kính (O)

Ta có OA = OB = OC =

2BC nên tam giác ABC vuông A

 

BAC90

Chứng minh tương tự ta có:  BAD90

Do :   

CADBAC BAD 180 

 C, A, D thẳng hàng

Bài tập 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo; E điểm đối xứng A qua B; F giao điểm BC ED; G giao điểm BC OE; H giao điểm EC OF Chứng minh A, G, H thẳng hàng

Giải

N I M

D C

B

A

D C

B A

H G

F

E O

D C

B A

Vì O giao điểm hai đường chéo AC BD nên OA = OC suy EO trung tuyến EAC

E đối xứng với A qua B nên B trung điểm EA Suy CB trung tuyến EAC

G giao điểm CB EO nên G trọng tâm EAC (1) Mặt khác, ABCD hình bình hành nên CD // AB, CD = AB,

Mà B trung điểm AE nên suy CD // BE, CD = BE Do tứ giác BECD hình bình hành

Từ F trung điểm hai đường chéo ED BC hình bình hành BECD Ta có OF đường trung bình CAB nên OF // AB  OH // AE  HE = HC Do AH trung tuyến EAC (2) Từ (1) (2) suy A, G, H thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 6: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy hai điểm E F cho BE = DF Kẻ EH  AB, FK  CD (H  AB, K  CD) Gọi O trung điểm EF Chứng minh ba điểm H, O, K thẳng hàng

Giải

Vì EH  AB, FK  CD AB // CD nên EH // FK (1) Xét HBE KDF có BE = DF,

   

KDFHBE, DKFBHE90

 HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn)

 HE = KF (2)

Từ (1) (2) suy HEKF hình bình hành

 Trung điểm EF trung điểm HK Vậy E, H, K thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 7: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB CD cắt M, đường thẳng AD BC cắt N Gọi I, J, K theo thứ tự trung điểm BD, AC, MN Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Giải

Gọi K’ giao điểm IJ với MN

Gọi E, F chân đường vng góc kẻ từ N, M tới đường thẳng IJ

Dễ thấy M, N nằm hai phía IJ Ta có :

NIJ NDC NDI NJC NCI CID S S S S S S

NIJ NDC NBD NAC AIC CBD

1 1

S S S S S S

2 2

    

 

NIJ NDC NAB ABD ABC ADC ADIC CBD

1 1

S S S S S S S S

2 2

      

   

NIJ ABCD ABD BCD ABCD ABC ADC ABCD

1 1

S S S S S S S S

2 4

      

O

K

H

F E

D C

B A

K J

I

N M

D C

A

Chứng minh tương tự ta có: SMIJ 1SABCD



Do SNIJ = SMIJ hay NKJ MKJ

1

NF.IJ= ME.IJ ME NF S S

2    

Hai NKJ MKJ có chung chiều cao hạ từ J Suy ra: NK’ = MK’

Mà MK = NK (gt) nên K  K’ Vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng

Bài tập 8: Ba điểm A, B, C thuộc đường thẳng a, điểm O không thuộc a Chứng minh ba điểm M, N, P thỏa mãn hệ thức OM ON OP

OA  OB OC M, N, P thẳng hàng Giải

Thật vậy, theo định lí Talet đảo từ OM ON OA  OB Suy ra: MN // AB

Tương tự MP // AC

Nhưng A, B, C thẳng hàng nên M, N, P thẳng hàng (tiên đề Ơ'clit)

Bài tập (Bổ đề hình thang): Trong hình thang có hai đáy khơng Chứng minh giao điểm hai đường thẳng chứa hai cạnh bên, giao điểm hai đường chéo trung điểm hai đáy nằm đường thẳng

Giải

Giả sử hình thang cho ABCD (AB // CD, AB < CD) có I, J tương ứng giao điểm hai đường thẳng chứa hai cạnh hai đường chéo

Gọi M N giao điểm IJ với AB CD Do AB // CD nên áp dụng hệ định lí Talet ta có:

AM BM IM

DN CN IN

 

  

 

AM BM JM

CN DN JN

 

  

  hay

AM BM IM

DN CN IN

 

  

 

Bài tập 10: Trên mặt phẳng cho n điểm (n > 3) đường thẳng qua hai điểm chứa điểm cho Chứng minh tất điểm cho nằm đường thẳng

Giải

Giả sử tất điểm không nằm đường thẳng Qua cặp điểm cho vẽ đường thẳng (có số hữu hạn đường này) chọn khoảng cách khác từ điểm đường thẳng

Giả sử khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC, A, B, C điểm cho khoảng cách nhỏ

Trên đường thẳng BC cịn có điểm D Từ A kẻ AQ vng góc với BC Q

Hai điểm B, C, D nằm phía điểm Q, chẳng hạn C D hình vẽ, ta có CQ < DQ

Hạ CH vng góc với AD H

Dễ thấy CH < AQ Điều mâu thuẫn với việc chọn điểm A đường thẳng BC

a P

N M

O

C B

A

N M

J I

D C

B A

H

Q D

A

Từ ta có điều phải chứng minh

Bài tập 11 (Định lý MENELAUS): Là định lý tam giác hình học phẳng

H F

G C

B A

Cho tam giác ABC Các điểm H, F, G nằm AB, BC, CA Khi đó: G, H, F thẳng hàng và chỉ :

AH BF CG = -1 HB FC GA Chứng minh Phần thuâ ̣n:

Sử du ̣ng định lý sin các tam giác AGH , BFH, CGF, ta được:

 

 

 

AH sinAGH BF sinBHF CG sinGFC

= ; = ; =

GA sinAHG HB sinHFB FC sinCGF

(vớ i lưu ý rằng sinAGH = sinCGF; sinAHG = sinBHF; sinHFB = sinGFC     ) Nhân từng vế ta được điều phải chứng minh

Phần đảo:

Gọi F' = GHBC Hồn tồn tương tự ta có được:

 

AH BF' CG AH BF CG

= = -1

HB F'C GA HB FC GA Hay

BF' BF =

F'C FC, suy FF' 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho ∆ABC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng hình vng ABDE ; nửa mặt phẳng bờ AC khơng chứa điểm B dựng hình vng ACMN Dựng hình bình hành AEIG Gọi K giao điểm CD BM Chứng minh bốn điểm I, A, K, H thẳng hàng

Bài tập 2: Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vuông ABCD ta lấy điểm M, N, P, Q cho AM = BN = CP = DQ Gọi O giao điểm hai đường chéo Chứng minh M, O, P thẳng hàng

Bài tập 3: Cho góc vng xAy Một điểm B cố định Ax, điểm C chuyển động Ay Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB AC M N Chứng minh MN qua điểm cố định điểm C chuyển động Ay

Bài tập 4: Trong hình vng ABCD lấy điểm E cho  

EBCECB 15 Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa điểm E vẽ tam giác CDF Chứng minh B, E, F thẳng hàng

Bài tập 5: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB Đường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD AB E F Đường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC AB P Q Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng

Bài tập 6:Trên đường thẳng lấy bốn điểm theo thứ tự A, E, F, B Dựng hình vng ABCD, EFGH cho chúng nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng cho Gọi O giao điểm AG BH Chứng minh :

Bài tập 7: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E Lấy điểm F điểm đối xứng với C qua E Từ điểm F kẻ Fx Fy song song với AD AB Gọi I giao điểm Fx AB ; K giao điểm FI AD Chứng minh I, K, E thẳng hàng

Bài tập 8: Cho ∆ABC vuông A, cạnh huyền BC = 2AB Trên cạnh AC lấy điểm D cho

 1

ABD ABC

3

 ; cạnh AB lấy điểm E cho ACE 1ACB

 Gọi F giao điểm BD CE; G H theo thứ tự điểm đối xứng F qua cạnh BC AC Chứng minh rằng: a) Ba điểm H, D, G thẳng hàng

b) Tam giác EDF cân

Bài tập 9: Cho góc vng xOy tam giác M thuộc Ox; A, B thuộc Oy Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng qua B vng góc với BM P Gọi H giao điểm AP với MB; K giao điểm AM với BP; I, K, E trung điểm MP, AB KH Chứng minh I, E, N thẳng hàng

Bài tập 10: Cho hình vng EFGH Một góc vng xEy quay quanh đỉnh E có cạnh Ex cắt FG GH theo thứ tự M N, cạnh Ey cắt đường FG GH theo thứ tự tạ P Q Gọi I K theo thứ tự trung điểm PN QM Chứng minh bốn điểm F, H, K, I thẳng hàng

Bài tập 11: Cho tứ giác ABCD điểm O nằm bên tứ giác cho tam giác ABO, BCO, CDO, DAO có diện tích Chứng minh ba điểm A, O, C thẳng hàng, ba điểm B, O, D thẳng hàng

Bài tập 12: Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao BD CE Gọi I điểm thuộc đoạn BC; H giao điểm BD CE; N thuộc đoạn AH ; M thuộc đoạn DE Chứng minh M, I, N thẳng hàng

Bài tập 13: Cho hình vng EFGH Một góc vuông Exy quay quanh đỉnh E Cạnh Ex cắt đường thẳng FG GH theo thứ tự M N; cạnh Ey cắt đường thẳng FG GH theo thứ tự P Q Gọi I K theo thứ tự trung điểm PN QM Chứng minh điểm F, H, K, I thẳng hàng

Bài tập 14: Cho xOy900 Lấy điểm M thuộc Ox, A B thuộc Oy Đường thẳng qua A vng góc với AM cắt đường thẳng qua B vng góc với BM P Gọi H giao điểm AP MB; K giao điểm AM BP; I, E, N trung điểm MP, AB KH Chứng minh I, E, N thẳng hàng

CHỦ ĐỀ 13

ĐẲNG THỨC VAØ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC 1 Kiến thức bản:

Trong hình học THCS, hay gặp toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức liên quan đến ba cạnh của, chu vi tam giác, bán kính đường trịn nội tiếp “r”, bán kính đường trịn ngoại tiếp “R”, … số yếu tố đường tròn

Phương pháp:

- Vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng tỏ được: Với vị trí hình H miền D f ≤ m (m số)

 Xác định vị trí hình H miền D cho f = m

- Vị trí hình H miền D cho biểu thức f có giá trị nhỏ ta phải chứng tỏ được: Với vị trí hình H miền D f ≥ m (m số)

 Xác định vị trí hình H miền D để f = m Các hệ thức thường gặp:

(1) Diện tích tam giác:

Với a, b, c độ dài cạnh tam giác p = a b c

 

     

a b c

a

1 1

S = a.h = b.h = c.h = bcsinA

2 2

1 abc

= acsinB = absinC = = p - a r = p p - a p - b p - c

2 4R

(2) Độ dài đường trung tuyến:

2 2

2 2b + 2c - a

m =

4 a

(3) Độ dài đường phân giác: A 2bc.cos

2 =

b + c

a

l

 2  

4bc

= p p - a

b + c a

l

(4) Độ dài đường cao:

a b c

1 1

+ + =

h h h r

(5) Tính diện tích tứ giác:

(a) Tính diện tích hình bình hành:

S = a.ha

(a độ dài đường chéo, đường cao ứng với đường chéo a) (b) Tính diện tích hình chữ nhật:

S = a.b

(Với a b độ dài hai cạnh) (c) Tính diện tích hình thoi :

S = a.b

(với a b độ dài hai đường chéo) (d) Tính diện tích hình vng:

S = a2

(với a độ dài cạnh) (6) Định lí hàm số sin: a = b = c = 2R

sinA sinB sinC (7) Bán kính đường trịn nội tiếp, bàng tiếp:

  a

A A

r = p - a tan ; r = ptan

2

(8) Cơng thức tính độ dài trung tuyến:

 2 2

a

2 b + c - a m =

4 Một số định lý hỗ trợ:

Định lí 1: Gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp đường trịn ngoại tiếp ABC, d khoảng cách tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Khi đó, ta ln có:

2Rr = R2 – d2

Định lí 2: Cho ABC Nếu ABC > ACB AC > AB ngược lại  

Định lí 4: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N dường thẳng d cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài

Định lí 5: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N mặt phẳng (P) cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài

Định lí 6: ABC A’B’C’ vng, có A = A' = 90 AB = A’B’   Nếu ABC A ' B'C' AC ≥ A’C’

Định lí 7: Bán kính hai đường trịn R, r (R ≥ r), khoảng cách tâm chúng d Điều kiện cần đủ để hai đường tròn cắt là:

R – r  d  R + r

Định lí 8: Các số dương a, b, c độ dài cạnh tam giác khi: a + b > c, b + c > a c + a > b

Định lí 9: Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Khi ta ln có:

MB + MC < AB + AC

Định lí 10: Trong tam giác ABC ứng với cạnh dài đường cao, đường trung tuyến,đường phân giác ngắn

Định lí 11: Trong tam giác ABC kí hiệu độ dài đường cao, la độ dài đường phân giác, ma độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ta có bất đẳng thức:

ma ≥ la ≥

Định lí 12: Đường trung tuyến AM tam giác ABC nhỏ nửa tổng cạnh AB AC xuất phát từ đỉnh A

Định lí 13: Hình trịn nội tiếp hình trịn lớn chứa nột tam giác

Định lí 14: Một tứ giác lồi bị chứa tứ giác khác ( khơng thiết lồi ) chu vi tứ giác bị chứa nhỏ chu vi tứ giác chứa bên

Định lí 15: Trong nửa mặt phẳng bị chia đường thẳng qua điểm A B có đường gấp khúc AC1C2…CkB AD1D2…DpB cho đa giác AC1C2…CkB AD1D2…DpB đa giác lồi Nếu đa giác AC1C2…CkB chứa đa giác AD1D2…DpB bên đường gấp khúc AC1C2…CkB dài đường gấp khúc AD1D2…DpB

Định lí 16: Một đa giác có chu vi không nhỏ chu vi đa giác tạo bao lồi Định lí 17: Nếu đa giác lồi chứa đa giác lồi khác chu vi đa giác lớn chu vi đa giác nằm

Định lí 18: Độ dài đoạn thẳng nằm đa giác lồi không lớn khoảng cách lớn nối đỉnh

Định lí 19: Cho (O; r) điểm M Khi ta có:

R – d ≤ MN ≤ R + d

Với N điểm đường tròn d khoảng cách từ M tới tâm đường trịn Định lí 20: Cho (O; r) điểm M ngồi đường trịn Khi ta có:

d – R ≤ MN ≤ d + R

Định lí 21: Cho trước điểm M hình trịn tâm O Trong dây cung qua M, dây cung vng góc với MO có độ dài nhỏ

Định lí 22: Gọi P giao điểm đường tròn (O1) (O2)

Khi đó, ta có bất đẳng thức MN ≤ 2O1O2 cho dây cung qua P Dấu "=" xảy

 MN // O1O2 Định lí 23: Diện tích tam giác ABC không lớn AB.BC

2

Định lí 24: Diện tích tứ giác ABCD khơng vượt AB.BC AD.DC

2 

Nguyên lí đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB đường ngắn nối hai điểm A B cho trước mặt phẳng

 Ta có hệ sau:

(1) Tổng hai cạnh tam giác ln lớn cạnh thứ ba

(2) Đường gấp khúc nối hai điểm A B cho trước ln có độ dài lớn độ dài đoạn thẳng AB

(3) Độ dài cung AB đường tròn cho trước qua A B lớn độ dài đoạn thẳng AB

Ngun lí đường vng góc ngắn đường xiên: Đoạn vng góc ngắn đường xiên

Định lí cạnh góc tam giác: Trong tam giác ứng với góc lớn cạnh lớn ngược lại

Một số bất đẳng thức cần dùng: (1) Bất đẳng thức Cauchy:

Với n ≥ số dương tùy ý x1, x2, …, xn ta có trung bình cộng chúng khơng nhỏ trung bình nhân chúng

n

1 n n

x x   x  x x x (2) Bất đẳng thức BCS:

Cho trước n ≥ số thực tùy ý x1, x2, …, xn y1, y2, …, yn ta có bất đẳng thức:

 2  2 2 2 2 2 2

1 2 n n n n

x y + x y + + x y  x + x + + x y + y + + y (3) Bất đẳng thức Minkowski:

  2  2 2

2 2 2 2 2

1 1 2 n n n n n n

a b c  a b c   a b c  a a   a  b b   b  c   c c

(4) Bất đẳng thức Ploteme:

Cho điểm A, B, C, D mặt phẳng ta ln có: AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD Dấu “=” xảy  Tứ giác ABCD nội tiếp

2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường trịn( P khơng trùng với O).Xác định vị trí dây qua điểm P cho dây có độ dài nhỏ

Giải

Xét dây AB qua P Kẻ OH  AB Theo liên hệ dây khoảng cách đến tâm: AB nhỏ  OH lớn

Ta lại có OH ≤ OP OH = OP  H ≡ P Do maxOH = OP

Khi dây AB vng góc với OP P

Bài tập 2: Trong hình bình hành có hai đường chéo cm cm Hình có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn

Giải

Xét hình bình hành ABCD có: AC = cm; BD = cm Gọi O giao điểm hai đường chéo

Kẻ BH  AC

Ta có: SABCD = 2SABC = AC.BH Ta có AC = 8cm, BH ≤ BO = 3cm Do đó:

SABCD ≤ 8.3 = 24 (cm2) SABCD = 24 cm2

 BH ≡ BO

H

B A

P O

H O

C

D A

 H ≡ O

 BD AC

Vậy max SABCD = 24 cm2

Khi hình bình hành ABCD hình thoi có diện tích 24cm2

Bài tập 3: Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí điểm E, F, G, H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ

Giải

HAE = EBF = FCG = GHD

 HE = EF = FG = GH

 EFGH hình thoi Ta có: AHE BEF

 

AHEAEH90

  

BEF AEH 90

 

HEF90

 EFGH hình vng

Gọi O giao điểm AC EG

Tứ giác AECG có AE = CG, AE // CG nên hình bình hành suy O trung điểm AC EG, O tâm hai hình vng ABCD EFGH

HOE vuông cân: HE2 = 2OE2 HE = OE

Chu vi EFGH = 4HE = 2OE

Do chu vi EFGH nhỏ  OE nhỏ Kẻ OK AB  OE ≥ OK (OK không đổi) OE = OK  E ≡ K

Do đó: minOE = OK

Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA

Bài tập 4: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C, D cho MCD có diện tích nhỏ Tính diện tích tam giác đó?

Giải

Gọi K giao điểm CM DB MA = MB; A  B 900, AMC BMK

MAC = MBK

 MC = MK

Mặt khác DM  CK

DCK cân

 D1D2 Kẻ MH  CD

MHD = MBD  MH = MB = a

 SMCD =

2CD.MH ≥

2AB.MH =

22a.a= a

SMCD = a2 CD  Ax

Khi đó: AMC = 450; BMD =450

Vậy SMCD = a2 Các điểm C, D xác định Ax; By cho AC = BC = a

H

G F K

E

O

C

D A

B

K H

y

x

M

D

C

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có B góc tù Điểm D di chuyển cạnh BC Xác định vị trí điểm D cho tổng khoảng cách từ B C đến đường thẳng AD có giá trị lớn

Giải

Gọi S diện tích ABC

Khi D di chuyển cạnh BC ta có: SABD + SACD = S

Kẻ BE AD, CF  AD

1

2AD.BE +

2AD.CF = S

 BE +CF = 2S AD

Do BE + CF lớn  AD nhỏ  hình chiếu HD nhỏ Do HD ≥ HB (do ABD > 90 0) HD = HB  D ≡ B

Vậy Khi D ≡ B tổng khoảng cách từ B C đến AD có giá trị lớn

Bài tập 6: Cho gócxOy điểm A nằm góc Xác định điểm B  Ox, điểm C  Oy cho OB = OC tổng AB + AC nhỏ

Giải

Kẻ tia Om nằm ngồi góc xOy cho yOm xOA Trên tia Om lấy điểm D cho OD = OA Các điểm D A cố định

OD = OA, OC = OB ,COD BOA

DOC = AOB  CD = AB Do đó: AC +AB = AC + CD Mà AC +CD ≥ AD

AC + AB ≥ AD

Xảy đẳng thức C  AD

Vậy min(AC+AB) =AD Khi C giao điểm AD Oy, B thuộc tia Ox cho OB = OC Bài tập 7: Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí điểm F thuộc cạnh AB, G  BC, H  CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ

Giải

M K I

H

G F

E

D C

B A

A B

C D

E

F

G H

I K M

Gọi I, K, L theo thứ tự trung điểm EF, EG, EH

AEF vng A có AI trung tuyến  AI = 2EF

CGH vng C có CM trung tuyến  CM = 2GH IK đường trung bình EFG  IK =

2FG

H

E

F

D C

A

B

m

C D

B

A x O

KM đường trung bình EGH  KM = 2EH

Do đó: chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH = 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy ra: Chu vi EFGH ≥ 2AC (độ dài AC không đổi)

Chu vi EFGH nhỏ 2AC  A, I, K, M, C thẳng hàng Khi đó, ta có: EH // AC, FG // AC, AEI  EAIADB nên EF // DB Tương tự, ta có: GH // DB

Suy ra: Tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh song song với đường chéo hình chữ nhật ABCD

Bài tập 8: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Một cát tuyến chung CBD (B nằm C D) cắt đường tròn (O) (O’) C D Xác định vị trí cát tuyến CBD để

ACD có chu vi lớn Giải

sđC = 1

2sđ



AmB;

sđD =1

2sđ



AnB

 Số đo góc ACD khơng đổi

ACD có chu vi lớn cạnh lớn nhất, chẳng hạn AC lớn

AC dây đường trịn (O), AC lớn AC đường kính đường trịn (O) Khi đó: AD đường kính đường trịn (O’)

Cát tuyến CBD vị trí C’BD’ vng góc với dây chung AB

Bài tập 9: Cho đường tròn (O) điểm P nằm đường tròn Xác định dây AB qua P cho OAB có giá trị lớn 

Giải

Xét OAB cân, góc đáy OAB lớn góc đỉnh AOB nhỏ



AOB

 sđAB

Góc AOB nhỏ  Cung AB nhỏ  dây AB nhỏ  Khoảng cách đến tâm OH lớn

Ta có OH ≤ OP

OH = OP  H ≡ P nên maxOH = OP  AB  OP Suy ra: Dây AB phải xác định dây A’B’  OP P

Bài tập 10: Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lấy theo thứ tự điểm E, F, G, H cho AE = BF = CG = D Tính độ dài AE cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ

Giải

AHE = BEF = CFG = DGH

 HE = EF = FG = GH, HEF = 900

 HEFG hình vng nên chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ Đặt AE = x HA = EB = - x

HAE vuông A nên :

D

C

C' D'

m n

B A

O' O

B'

A'

H B

A

HE = AE2 + AE2 = x2 + (4  x)2 = 2x2 8x +16 = 2(x  2)2 +8 ≥ HE = =2  x =

Chu vi tứ giác EFGH nhỏ 2cm , AE = cm

Bài tập 11: Cho tam giác vng ABC có độ dài cạnh góc vng AB = 6cm, AC = 8cm M điểm di chuyển cạnh huyền BC Gọi D E chân đường vng góc kẻ từ M đến AB AC Tính diện tích lớn tứ giác ADME

Giải

ADME hình chữ nhật Đặt AD = x ME = x

ME //AB  EM CE x CE CE 4x

AB  CA 6  3

 AE = 4 3x Ta có:

SADME = AD.AE = x

4 x

3

  

 

  = 8x  3x

2 = 4

3(x  3)

+12 ≤ 12 SADME = 12cm2 x = cm

Diện tích lớn tứ giác ADME 12 cm2 Khi D trung điểm AB, M trung điểm BC E trung điểm AC

Bài tập 12: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn thẳng Vẽ đường trịn có đường kính MA MB Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ

Giải

Đặt MA = x , MB = y

Ta có: x + y = AB, (0 < x, y < AB)

Gọi S S’ theo thứ tự diện tích hai hình trịn có đường kính MA MB Ta có:

S + S’ =

2 x y 2              =  2 x y 

Ta có bất đẳng thức:

 

2

2 x y

x y

2



 

 S + S’   x y    = AB 

Dấu đẳng thức xảy x = y Do đó: (S + S’) =

2 AB

8



Khi M trung điểm AB

Bài tập 13: Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax By vng góc với AB Qua M có hai đường thẳng thay đổi ln vng góc với cắt Ax, By theo thứ tự C D Xác định vị trí điểm C, D cho MCD có diện tích nhỏ

Giải Ta có: SMCD =

2MC.MD

x -4

3 x E D M C B A B M

A O O'

Đặt MA = a, MB = b, AMC BDM MC = a

cos , MD = b sin SMCD =

1

ab cos sin 

Do a, b số nên SMCD nhỏ  2sin.cos lớn Theo bất đẳng thức 2xy  x2 +y2 ta có :

2sin.cos  sin2 +cos2 = nên SMCD ≥ ab

SMCD = ab  sin = cos sin = sin(900)  = 900 = 450

AMC BMD vuông cân Vậy SMCD = ab

Khi điểm C, D xác định tia Ax; By cho AC = AM, BD = BM

Bài tập 14: Cho ABC, điểm M di động cạnh BC Qua M kẻ đường thẳng song song với AC với AB, chúng cắt AB AC theo thứ tự D E Xác định vị trí điểm M cho hình bình hành ADME có diện tích lớn

Giải

SADME lớn  ADME ABC S

S lớn Kẻ BK  AC cắt MD H

SADME = MD HK SABC =

1

2AC BK ADME

ABC

S MD HK

2

S  AC BK

Đặt MB = x , MC = y , MD//AC ta có:

MD BM x

AC  BC  xy;

HK MC y

BK  BC xy Theo bất đẳng thức:

 2

xy

4

xy    

ADME

2 ABC

S 2xy

S  xy 

Dấu đẳng thức xảy x = y Vậy maxSADME =

2SABC Khi M trung điểm BC

Bài tập 15: Cho  ABC vng cân có cạnh huyền BC = a Gọi D trung điểm AB Điểm E di chuyển cạnh AC Gọi H, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D, E đến BC Tính diện tích lớn hình thang DEKH Khi hình thang trở thành hình gì?

Giải Ta có:

2SDEKH = (DH + EK).HK = (BH + KC).HK Mà (BH + KC) + HK = BC = a không đổi

y x

K H

E

M D

C B

Nên (BH + KC).HK lớn BH + KC) = HK = a Do đó:

max SDEKH =

2 a a a

2 2 Khi đó: Đường cao HK = a

2

Suy ra: KC = BC  BH – HK = a  a 

a =

a Do đó: DH = HB = a

4, EK = KC = a

Hình thang DEKH hình chữ nhật, E trung điểm AC

Bài tập 16: Cho hình vng ABCD Hãy xác định đường thẳng d qua tâm hình vng cho tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến đường thẳng là:

a) Lớn b) Nhỏ

Giải

Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC AD

Gọi m tổng khoảng cách từ bốn đỉnh hình vng đến D m = 2(AA’ + BB’)

Gọi M, N trung điểm AB A’B’ Suy ra: m = 4MN Do đó:

m lớn  MN lớn m nhỏ  MN nhỏ

a) MN  MO  m lớn  M ≡ O  d // AB b) Kẻ MH  OB

Chứng minh: MN ≥ MH

 MN nhỏ  N ≡ H  d ≡ BD d ≡ AC

Bài tập 17: Cho ABC vuông cân A điểm D, E theo thứ tự

di chuyển cạnh AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho: a) DE có độ dài nhỏ

b) Tứ giác BDEC có diện tích lớn Giải

a) Gọi M trung điểm BC

BDM = AEM BMD = AME 

      

DME = DMA + AME = DMA + BMD = BMA = 90 Gọi I trung điểm DE

DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM

Min DE = AM  I trung điểm AM

 D trung điểm AB E trung điểm AC b)Đặt AE = x, AB =AC =a AD = a  x, SADE =

x(a - x) SBDEC nhỏ  SADE lớn  x(a  x) lớn

Do x + (a  x) = a không đổi nên x(a  x) lớn  x = a  x  x = a Khi D trung điểm AB E trung điểm AC

E

K H

D

C A

B

d

N H

D' C' M

A'

F B'

O

C

D A

B

I

E M D

C A

Bài tập 18: Cho ABC vng A, có BC = a, diện tích S Gọi m trung điểm BC Hai đường thẳng thay đổi qua M vng góc với cắt cạnh AB, AC D, E Tìm:

a) Giá trị nhỏ đoạn thẳng DE b) Giá trị nhỏ diện tích MDE

Giải

a) Gọi O trung điểm DE Ta có OA = OD = OE = OM

 DE = OA + OM ≥ AM = a minDE = a

2  O trung điểm AM

 D trung điểm AB E trung điểm AC b) Kẻ MH  AB, MK  AC

ME ≥ MK, MD ≥ MH

2SMDE = MD.ME ≥ MH.MK = AC

2 AB

2 = S minSMDE = S

4 D ≡ H E ≡ K

Bài tập 19: Cho điểm m di chuyển đoạn thẳng AB Vẽ tam giác AMC BMD phía AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác nhỏ

Giải

Gọi K giao điểm AC BD

Các tam giác AMC, BMD đồng dạng với AKB Đặt AM = x , BM = y, AB = a, ta có:

2 S x = S a       ; 2 S y = S a         

2 2

1

2 2

x y

S S x y a

S a 2a 2a



 

   

Dấu đẳng thức xảy x = y Do đó: (S1 +S2) =1

2  M trung điểm AB

Bài tập 20: Cho tam giác nhọn ABC có cạnh a, b, c tương ứng đường cao AH = h Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC cho có diện tích lớn Biết M AB; N

 AC; P, Q  BC Giải

Gọi I giao điểm AH MN Đặt NP = x ; MN = y; AI = h  x

AMN ∽ ABC

 MN AI y h x y a.h x

BC AH a h h

 

    

 SMNPQ = xy = a

h.x(h  x)

 SMNPQ lớn  x(h  x) lớn x + (h  x) = h không đổi nên x(h  x) lớn

 x = h  x  x = h/2

Khi MN đường trung bình ABC

Bài tập 21: Cho ABC vuông A Từ điểm I nằm tam giác, kẻ IM  BC, IN  AC, IKAB Tìm vị trí I cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ

Giải

Kẻ AH  BC, IE  AH

ANIK, IMHE hình chữ nhật IK2 + IN2 = IK2 + AK2 = AI2 ≥ AE2 IM = EH

nên IK2 + IN2 + IM2 = AI2 + EH2 ≥ AE2 + EH2 Đặt AE = x, EH = y ta có:  

2 2

2 x y AH

x y

2



  

 IK2 + IN2 + IM2 ≥ AH

2

Dấu “=” xảy I trung điểm đường cao AH

Bài tập 22: Cho ABC nhọn Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM  BC, IN  AC, IKAB Đặt AK = x; BM = y; CN = z Tìm vị trí I cho tổng x2

+ y2 + z2 nhỏ Giải

Đặt:

BK = k, CM = m, AN = n, BC = a, AC = b, AB = c x2 + y2 + z2 = (IA2 IK2) + (IB2 IM2) + (IC2 IN2)

= (IA2 IN2) + (IB2 IK2) + (IC2 IM2) = n2 + k2 + m2

 2(x2 + y2 + z2 ) = x2 + y2 + z2 + n2 + k2 + m2 = ( x2 + k2) + (y2 + m2) + ( z2 + n2)

x2 + k2 ≥  

2 2 2

x + k AB c

= =

2 2

y2 + m2 ≥ 

2 2 2

y + m BC a

= =

2 2

z2 + n2 ≥ 

2 2 2

z + n AC b

= =

2 2

 x2 + y2 + z2 ≥

2 2

a + b + c

4

min(x2 + y2 + z2 ) =

2 2

a + b + c

4  x = k, y = m, z = n

 I giao điểm đường trung trực ABC

Bài tập 23: Cho nửa đường trịn có đường kính AB = 10 cm Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển nửa đường tròn Gọi E F theo thứ tự hình chiếu A B CD Tính diện tích lớn tứ giác ABFE

Giải

Kẻ OH  CD, ta tính được: OH = 4cm SABFE =

2(AE + BF).EF = OH.EF  OH.AB = 4.10 = 40 max SABEF = 40cm2

 EF // AB Khi đó: OH  AB

E H K

N M I

C B

A

n

m

k z

y x

N

M K

I

C B

A

F H

E

D C

B

Bài tập 24: Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm hình vng) Một tiếp tuyến với cung cắt BC, CD theo thứ tự M N Tính độ dài nhỏ MN

Giải Đặt:

CM = m, CN = n, MN = x

m + n + x = 2CD = 2a m2 + n2 = x2 Do : x2

= m2 +n2 ≥   m + n

2

 2x2 ≥ (2a  x)2 x ≥ 2a  x

 x ≥ 2a 2a( 1) 1   MN = 2a -1   m = n

Khi đó: Tiếp tuyến MN // BD, AM tia phân giác BAC , AN phân giác  DAC 

Bài tập 25: Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Qua A vẽ hai tia vng góc với nhau, chúng cắt đường tròn (O), (O’) B C Xác định vị trí tia để 

ABC có diện tích lớn Giải

Kẻ OD  AB; O’E  AC ta có: SABC =

2AB.AC =

2.2AD.2AE = 2.AD.AE Đặt: OA = R; O’A = r; AOD = O'AE = α   AD = R sin; AE = r cos

 SABC = Rr.2sin.cos 2sin.cos sin2 + cos2 =

 SABC  Rr Do đó:

max SABC = Rr  sin = cos sin = sin(900)  = 900 = 450

Vậy ta vẽ tia AB, AC tạo với tia AO, AO’ thành góc   OAB = O'AC = 45

ABC có diện tích lớn

Bài tập 26: Cho đường trịn (O; R) đường kính BC, A điểm di động đường tròn Vẽ tam giác ABM có A M nằm phía BC Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E, F, G theo thứ tự trung điểm OC, CM, MH, OH Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn

Giải

DEFG hình bình hành

Kẻ OI  FH, ta có OI đường trung bình  BHC nên OI =

2HC = GD

MO đường trung trực AB nên  IMO = 30

 OI =

2OM  GD = 2OM Mà ED =

2OM  EG = GD

 DEFG hình thoi

H n

m

N M

A D

C B

α α

r R

E D

C B

O O'

I G

F E

D

H

M A

C

 

HFG = HMO = 30 EFG = 60 0EFG

 SDEFG = 2SEFG =

2

EF EF

=

4 =

2 HC 2        BC 2    

  =

R

2 maxS =

2

R

2  H ≡ B 



MBC = 90  ABC = 30   AC = R

Bài tập 27: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) D điểm thuộc cung BC không chứa A không trùng với B, C Gọi H, I, K theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ D đến đường thẳng BC, AC, AB Đặt BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y, DK = z

a) Chứng minh rằng: b c a

y  z x

b) Tìm vị trí điểm D để tổng a b c

x  y z nhỏ Giải

a) Lấy E BC cho CDE = ADB  CDE đồng dạng với  ADB

 DH CE x CE c CE

DK AB z c  z x Tương tự BDE đồng dạng với  ADC

DH BE x BE b BE

DI AC y b  y x

b c BE CE a

y z x x



  

b) a b c

x  y z =

a a

+ x x =

2a x Do S nhỏ  a

x nhỏ  x lớn  D ≡ M (M điểm cung BC khơng chứa A)

Bài tập 28: Cho ABC nhọn, điểm M di chuyển cạnh BC Gọi P, Q hình chiếu M AB, AC Xác định vị trí điểm M để PQ có độ dài nhỏ

Giải

Tứ giác APMQ tứ giác nội tiếp Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ

Kẻ OH  PQ Đặt BAC =  POH =  PQ = 2PH = 2.OP.sin = AM.sin

Do  không dổi nên

PQ nhỏ  AM nhỏ  AM  BC

Bài tập 29: Cho đoạn thẳng AB điểm C AB Vẽ nửa mặt phẳng bờ AB nửa đường tròn có đường kính AB, AC, BC Xác định vị trí điểm C đoạn AB để diện tích phần giới hạn ba nửa đường trịn dạt giá trị lớn

Gọi (O1; r1); (O2; r2); (O3; r3) đường trịn có đường kính AB, AC, BC

Đặt: AB = 2a, AC = 2x r1 = a, r2 = x Suy ra: BC = 2a  2x r3 = a  x

Gọi S diện tích giới hạn ba đường trịn Ta có :

2

2

3

1 πr

πr πr

S = - +

2 2

 

 

 =

 2  

2 π a - x πa πx

- - = πx a - x

2 2

S lớn  x(a  x) lớn

Mặt khác x + (a  x) = a không đổi nên x(a  x) lớn  x = a  x  x = a

2  C ≡ O1 Lúc ta có S =

2 πa

4

Bài tập 30: Cho đường tròn (O; R) Trong đường tròn (O) vẽ hai đường trịn (O1) (O2) tiếp xúc ngồi tiếp xúc với (O) bán kính đường trịn (O2) gấp đơi bán kính đường trịn (O1) Tìm giá trị nhỏ diện tích phần hình trịn (O) nằm ngồi hình trịn (O1) và(O2)

Giải

Gọi x bán kính đường trịn (O1) Khi 2x bán kính đường trịn (O2) Xét OO1O2, ta có: O1O2  O O1 + OO2

 3x  (R  x) + (R  2x)  6x  2R  x  R

Gọi S phần diện tích hình trịn (O) nằm ngồi đường trịn (O1) (O2 ), ta có:

S = πR - πx - π4x = π R -5x 2  2 Do x  R

3 nên x 2

2 R

9  S ≥ 4πR

9 ; minS =

2 4πR

9  x = R

3

Khi đó: O1, O, O2 thẳng hàng bán kính đường trịn (O1) (O2 )

R

2R

Bài tập 31: Cho hình vng ABCD có cạnh 1, điểm M nằm đường chéo BD

a) Nếu cách dựng đường tròn (I) qua M tiếp xúc với hai cạnh AD CD Nêu cách dựng đường tròn (K) qua M tiếp xúc với hai cạnh AB, BC

b) Chứng minh điểm M di chuyển đường chéo BD tổng chu vi hai đường trịn khơng đổi

c) Xác định vị trí điểm M BD để tổng diện tích hai hình trịn đạt giá trị nhỏ Giải

a) Qua M kẻ đường vng góc với BD cắt AB, BC, CD, DA P, Q, F, E Do AB, BC tiếp xúc với (K) nên K  MB

PQ  KM nên PQ tiếp tuyến (K) Vậy (K) đường tròn nội tiếp PBQ

O3

O2 C O1 B

A

O2

O1

O

O2

Tương tự (I) đường tròn nội tiếp EDF b) Tổng chu vi hai đường tròn (I) (K) bằng: 2.IM + 2.MK = 2 IK

MD = ID +IM = 2.IJ + IM = 2.IM + IM = ( +1).IM

MB = KB +MK =

2.KH + KM = 2.KM + KM = ( +1).KM



 BD = MD + MB =  +1 IM + MK =    +1 IK 

 IK = BD = BD -1

2 +1

Do BD = AB =

 IK = (  1) = 

Vậy tổng chu vi hai đường tròn 2(2  ) c) Gọi x y bán kính đường trịn (I) (K) Ta có: x + y = 

Gọi S1, S2 diện tích hình trịn S1 + S2 = x2 +y2 = (x2 + y2 ) ≥

 2 2 - 22 x + y

π = π

2

S1 + S2 nhỏ  x = y  M trung điểm BD

Bài tập 32: Cho đường tròn (O; R), A B hai điểm cố định nằm ngồi đường trịn M điểm cố định đường trịn (O).Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MAB có giá trị:

a) Lớn b) nhỏ Giải

Vẽ đường thẳng d qua O vng góc AB K d cắt đường tròn (O) C D

Hạ AH  AB

 SMAB = MH.AB a) Ta có: MH ≤ MK

Xét điểm M, O, K, ta có: MK ≤ OM + OK

 MK ≤ OC + OK

 MH ≤ CK

 SMAB ≤ CK.AB

2 (không đổi) Dấu “ = “ xảy  H  K  M  C

b) Xét điểm M, O, H, ta có: MH ≥ OH OM

Mà OK ≤ OH OK - OM = OK - OD = DK  MH ≥ DK

 SMAB ≥ DK.AB

2 (không đổi) Dấu "=" xảy  M

 [OH]

Và M  K  M  D

Bài tập 33: Cho đường tròn (O; R); A điểm cố định đường tròn (A  O) Xác định vị trí điểm B đường trịn O cho góc OBA lớn

Giải

Giả sử có B  (O)

F E

Q P

H

J I

K M

D C

B A

H M

D K C

B A

Vẽ dây BC đường tròn (O) qua A ta có OB = OC = R

OBC cân O  OBC = 

180 COB

2



Nên OBA max   COB 

Trong COB, có: CO = OB = R không đổi

 COB   BCmin = OHmax

Mà OH  OA nên OHmax  H  A  BC  OA A Vậy OBA max   B  (O) cho BC  OA A

Bài tập 34: Cho tứ giác lồi ABCD Tìm điểm M tứ giác cho AM + MB + MC + MD đạt cực trị nhỏ

Giải

Với điểm M, A, C, ta có: MA + MC  AC Ta có: MB + MD  BD

AM + MB + MC + MD ≥ AC + BD (không đổi) Dấu "=" xảy  M AC M O

M BD

  

   

Vậy min(AM + MB + MC + MD) = AC + BD  M  O Bài tập 35: Cho ABC (A 900) M điểm chuyển động cạnh BC Vẽ MD  AB; ME  AC (D  AB, E  AC) Xác định vị trí M để DE có độ dài nhỏ

Giải

Vẽ AH  BC (H  BC), H cố định AH khơng đổi, tứ giác AEMD có A   E D 900

 AEMD hình chữ nhật

 DE = AM mà AM  AH (khơng đổi)

(Theo tính chất đường xiên đường vng góc) Dấu "=" xảy  M  H

Vậy M  H DE nhỏ

Bài tập 36: Cho đường thẳng d đường trịn (O; R) có khoảng cách từ tâm đến d OH  R Lấy hai điểm A  d; B  (O; R) Hãy vị trí A B cho độ dài AB ngắn nhất? Chứng minh điều

Giải

Từ tâm (O) kẻ OH  d, OH cắt đường tròn (O) K Xét ba điểm A, B, O, ta có:

AB + OB  OA mà OA  OH (quan hệ đường xiên đường vng góc)

 AB  OH - OB = HK không đổi Vậy AB = KH  A H

B K

    

Bài tập 37: Cho đường tròn (O) điểm M nằm đường trịn (M  O) Xác định vị trí dây cung AB đường tròn (O) qua M cho độ dài AB ngắn

Giải

Ta có dây AB  OM M dây cung có độ dài nhỏ

A H

B

C

O

M

O D

C

B A

H D

E

M C

B

A

d B

A

K H

O

A

A' B'

B O

Thật vậy:

Qua M vẽ dây A'B' (O), A'B' khơng vng góc với OM Vẽ OM'  A'B' M'  A'B'; M'  M

 OM'  MM'

 OM > OM'

 AB < A'B' (theo định lý khoảng cách từ tâm đến dây)

Bài tập 38: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) M điểm di động đường tròn (O) Xác định vị trí M để MA + MB + MC đạt giá trị lớn

Giải

Ta xét M  cung BC Trên MA lấy D cho MB = MD Ta chứng minh được: BMD tam giác

 B2B3 = 600

Mà B1B2 = 600 B1B3= 600 Chứng minh cho BAD = BCM (g-c-g)

 AD = MC

 MA + MB + MC = MA + MD + DA = 2MA

Mà MA dây cung đường tròn (O; R)  MA = 2R

 max (MA + MB + MC) = 2.2R = 4R

 MA đường kính đường trịn (O)  M điểm cung BC

Tương tự ta xét M thuộc cung AB M thuộc cung AC

 M điểm cung AB cung AC MA + MB + MC đạt giá trị lớn

Bài tập 39: Cho đường trịn (0; R), đường kính AB, M điểm chuyển động đường tròn Xác định vị trí M đường trịn, để MA + MB đạt giá trị lớn

Giải

Ta có: AMB900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)

 MAB, có: M 900 Theo định lý Pitago ta có: MA2 + MB2 = AB2 = 4R2

Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:

MA + MB ≤ (1 3)(MA 2MB )2  4.4R2 = 4R MA + MB ≤ 4R

Dấu "=" xảy  MB MA MB MA 

 tanA = MB

MA  = tg60

 

MAB60 nên max(MA + MB) = 4R

 

MAB60

Bài tập 40: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển đoạn Vẽ đường trịn đường kính MA, MB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai hình trịn có giá trị nhỏ

Giải

Đặt MA = x, MB = y

Ta có: x + y = AB ( < x < y < AB )

Gọi S S’thứ tự diện tích hình trịn có đường kính MA MB

D O

M

C B

A

M

O

A B

O2

O1

M B

Ta có: S + S’ =

2 2 2

x y x y

2



   

      

   

Áp dụng BĐT: x2

+ y2 ≥   x y

2



 S + S’ ≥    x y  = AB 

Dấu "=" xảy  x = y Vậy Min(S + S’ ) =

2 AB

8

  M trung điểm AB

Bài tập 41: Cho ABC có BC = a, AC = b, AB = c Tìm điểm M nằm bên tam giác ABC cho a b c

x y z có giá trị nhỏ Trong x, y, z khoảng cách từ M đến BC, AC, AB Giải

Gọi diện tích  ABC S

Ta có ax + by + cz = 2S (khơng đổi) Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có: (ax + by + cz) a b c

x y z

 

 

 

  ≥

2

a b c

ax by cz

x y z

 

 

 

 

 

 (ax + by + cz) a b c

x y z

 

 

 

  ≥ (a + b + c)

2

 a b c

x y z

   

 

  ≥

 2

a b c 2S

 

Vậy a b c

x y z đạt giá trị nhỏ

 a b c

x y z

   

 

  =

 2

a b c 2S

 

 ax by cz

a b c

x y z

   x = y = z ABC tam giác

Bài tập 42: Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định Tìm vị trí A cung lớn BC để tam giác ABC có chu vi lớn

Giải

BC cố định nên CAB không đổi, độ dài BC không đổi  Chu vi ABC phụ thuộc vào AB + AC

Trên tia đối tia AB lấy D cho AC = AD Vậy chu vi ABC phụ thuộc vào độ dài BD Ta có:



CDB không đổi hay BD dây cung chứa góc 1A dựng BC

Vậy BD lớn đường kính cung chứa góc 1A Dựng BC  A điểm cung lớn BC Bài tập 43: Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định

cho khoảng cách từ O tới AB

R Gọi H trung điểm AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) C Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý (khác A, B) Đường thẳng qua A song song với MB cắt CM I Dây CM cắt dây AB K

a) So sánh góc AIM với góc ACB

b) Chứng minh:

M K M B

1 M A

1  

c) Gọi R1, R2 bán kính đường trịn ngoại tiếp MAK MBK Hãy xác định vị trí điểm M cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn

Giải

a) Xét AOH có cosO = OH =1 AOH = 60

OA 2

  

AOB 120 sđAB 120 ACB 60

     

ABC có đường cao CH đồng thời trung tuyến Vậy tam giác ABC  

ACB60 AI // MB  AIM  CMBCAB600 Vậy AIM ACB

b) AIM (có hai góc 600)  AM = MI MB CI c) -g -(c AMB

AIC  



MKA ∽MBC nên

M C M B M A

M K

 MKB ∽MAC nênMK MA

MB  MC

Vậy MK MK MB MA MB MA

MA MB MC MC MC



    

hay

M K M B

1 M A

1  

c)

Trong AKM:

3 AK 60 sin AK M sin AK

R1  0 

Trong BKM:

3 BK 60 sin BK M sin BK

R2   0 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số khơng âm R1, R2 có:

1

1

R R AK BK 3R R

R R const

2 3

 

    

dấu "=" xay R1 = R2  AK = BK  M điểm cung AB Vậy R1R2 max =

2 R

4 M điểm cung AB

Bài tập 44: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Lấy điểm C trung điểm AO Kẻ hai tia Ax By vng góc với AB phía với nửa đường tròn Điểm M di động nửa đường trịn (M ≠ A, B) Một đường thẳng vng góc với CM M cắt Ax P, cắt By Q Tìm vị trí điểm M nửa đường trịn để tứ giác APQB có diện tích nhỏ Tìm giá trị diện tích nhỏ

Tứ giác APMC nội tiếp   PCAPMA Có AMB900  PMA BMQ900

Tứ giác BQMC nội tiếp

 BMQ BCQ

Có CAQ900  BCQ BQC  900 Vậy  PCABQC

Do đó: APC ∽ BCQ:

BC AC BQ AP BQ

BC AC

AP   



2

R 3R 3R

const

2

  

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

R

3

R BQ AP

BQ

AP   

dấu "=" xảy AP = BQ

 CM  AB

Hay ABQP  min 2R 3R 3R2

1 BQ

AP AB

S     sđ AM = 60

Bài tập 45: Cho tam giác ABC, E điểm cạnh AC (E ≠ A), K trung điểm đoạn AE Đường thẳng EF qua E vng góc với đường thẳng AB (F  AB) cắt đường thẳng qua C vng góc với đường thẳng BC D Xác định vị trí E cho đoạn KD có độ dài nhỏ

Giải

AEF vuông F, 

A60 , FK trung tuyến ứng với cạnh huyền

AKF  

FKC 120 Vậy tứ giác BCKF nội tiếp Tứ giác BCDF có  

F C 90

Vậy tứ giác BCDF nội tiếp hay điểm B, C, D, K, F thuộc đường trịn đường kính BD

sđDK = 2 DFK = 60

 KD =

DB 1CB

 dấu "=" xảy E  C Vậy KD = 1CB

2 E C

Bài tập 46: Cho ABC cân B có ABC , O trung điểm cạnh AC, K chân đường vuông góc hạ từ O xuống cạnh AB, (ω) đường trịn tâm O bán kính OK E điểm thay đổi cạnh BA cho góc AOE α (200 < α < 900) F điểm cạnh BC cho EF tiếp xúc với (ω) Tìm α để AE + CF nhỏ

Giải Trong OEF:

   1 1

EOF 180 OEF OFE 180 AEF CFE

2

     

Trong tứ giác AEFC:

     

AEF AFE 360  A C 360  180  180 

Q P

M

C O

A B

K D

F E

B A

Vậy: EOF = 90 - β

ABC cân  A C 11800  900

2

     

Vậy EOF  A C

AEO ∽OEF OEF ∽COF Vậy AEO ∽COF

AE CO

AE.CF AO.CO const

AO CF

    

Áp dụng bất đẳng thức Côsi:

AE CF 2 AE.AF2 AO.COconst Dấu "=" xảy AE = CF

OEF cân O

AEO cân A

  1 1

AOE 90 A 90 90 45

2 2

 

         

  AE + CF nhỏ

Bài tập 47: Cho hai đường tròn(O1; r1) (O2; r2) cắt hai điểm A B Biết r1 = 1cm; r2 = 2cm; AB = 1cm hai điểm O1, O2 hai phía đường thẳng AB Xét đường thẳng (d) qua A, cắt (O1; r1) (O2; r2) lầm lượt điểm M N cho A nằm đoạn MN Tiếp tuyến (O1; r1) M tiếp tuyến (O2; r2) N cắt điểm E

a) Chứng minh tứ giác EMBN tứ giác nội tiếp b) Tính O1O2

b) Tìm giá trị lớn 2EM + EN Giải

a) ABN   ANE; ABMAME

    

MBNEMN ENM 180  MEN

Vậy  

MBN MEN 180  nên tứ giác EMBN nội tiếp b) O1O2 = 1( 15

2  )

c)O O A1 2 ∽ MNB



AO AO BM BN

1 

 (vì R1 = 1cm, R2 = 2cm)

BN 2BM

 

EMB ∽ NAB

AN MB EM AB

AN MB

EM   

 (vì AB = 1cm)

Tương tự, ta ra: EN = NB.AM Vậy

2.EM + EN = 2.MB.AN + NB.AM = MB.AN + 2.MB.AM = 2.MB.(AM + AN) = 2MB.MN

Lại có MBN ∽ O1AO2 đồng dạng theo tỉ số

1

MN MB

2 O O  r 

E

N

M B

A

O2 O1

F E

K

C B

Vậy 2MB.MN2.2r1.2O1O2= ( 15) 4 15

1

8    dấu "=" xảy MB = 2r1 hay M đối xứng với B qua O1

Bài tập 48: Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường trịn (O) M điểm nằm cung BC không chứa điểm A Gọi N, H, K hình chiếu M AB, BC, CA Tìm giá trị nhỏ nhẩt BC AB AC

MHMNMK Giải

Nhận thấy: Nếu K nằm ngồi AC N nằm AB

AB BN AN

MN MN MN

AC AK CK

MK MK MK

 

 

MCK ∽MBN  BN CK

MN  MK

MAK ∽MBH AK BH

MK MH

 

MAN ∽MCH AN CH

MN HM

 

Vậy BC AB AC BC CH BH BC

MHMNMK  MHMHMH  MH

Vậy BC AB AC

MHMNMK nhỏ  MH lớn  MH = R  M điểm cung BC

Bài tập 49: Trên mặt phẳng cho trước tam giác ABC điểm M Chứng minh rằng:

MA + MB ≥ MC Chứng minh

Sử dụng bất đẳng thức Plotemy vào tứ giác MABC ta có: MA.BC + MB.AC ≥ MC.AB

Nên MA + MB ≥ MC (đpcm)

Bài tập 50: Chứng minh điểm B nằm đường tròn đường kính AC ta có



ABC > 90

Chứng minh

Cần đủ để điểm B nằm hình trịn đường kính AC AC

BM <

Gọi A’ điểm đối xứng với B qua trung điểm M cạnh AC Theo định lí 3, ta có BC > AA’ BAC > ABA'   Do BAC > ABA' bù nên   BAC > ABA'  



ABC góc tù 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho góc vng xOy; điểm A thuộc miền góc Các diểm M, N theo thứ tự chuyển động tia Ox, Oy cho 

MAB90 Xác định vị trí M, N để MN có độ dài nhỏ

K

H N

M

O C

B

A

M

C B

A

A' M B

Bài tập 2: Cho đường trịn ngồi (O; R) (O'; R') A nằm (O), B nằm (O') Xác định vị trí điểm A, B để đoạn thẳng AB có độ dài lớn

Bài tập 3: Chứng minh bán kính đường trịn nội tiếp tam giác vng ABC khơng vượt q

 

AD -1 , với AD độ dài đường phân giác góc vng A

Bài tập 4: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tương ứng hai điểm M N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn

Bài tập 5: Cho nửa đường tron (O; R) đường kính AB M điểm nửa đường trịn, kẻ MHHB Xác định vị trí M để:

a) SABC lớn

b) Chu vi MAB lớn

Bài tập 6: Trên cạnh BC, AC tam giác ABC lấy tương ứng hai điểm M N cho BM = CN Tìm vị trí M để MN có giá trị lớn

Bài tập 7: Cho tứ gác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) cho trước Tìm tứ giác có tổng AB.CD + AD.BC đạt giá trị lớn

Bài tập 8: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên hai cạnh AB AD lấy điểm M, N cho chu AMN = 2a Tìm vị trí M N để SAMN lớn

Bài tập 9: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O; R) Kẻ tiếp tuyến đường tròn (O; R) song song với cạnh tam giác Các tiếp tuyến tạo với cạnh tam giác thành tam giác nhỏ có diện tích S1, S2, S3 Gọi S diện tích ABC Tìm giá trị nhỏ tỷ số

1

S S S

S

 

Bài tập 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O D điểm nằm cung BC khơng chứa điểm A Xác định vị trí D cho DA + DB + DC lớn

Bài tập 11: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B cho hai tâm O O' nằm hai phía khác đường thẳng AB Đường thẳng (d) quay quanh B cắt đường tròn (O) (O') C D (C ≠ A, B D ≠ A, B) Xác định vị trí (d) cho đọan thẳng CD có độ dài lớn

Bài tập 12: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, điểm M di động đường trịn cho MAMB Trong tam giác AMB kẻ đường cao MH Gọi r1, r2, r3 theo thứ tự bán kính đường trịn nội tiếp tam giác AMB, AMH BMH Hãy xác định vị trí M để tổng: r1+ r2 + r3 đạt giá trị lớn

Bài tập 13: Cho ABC có A 300, AB = c, AC = b, M trung điểm BC Một đường thẳng (d) quay xung quanh trọng tâm G tam giác ABC cho (d) cắt đoạn AB P (d) cắt đoạn AC Q

a) Đặt AP = x, tìm tập hợp giá trị x b) Tính giá trị biểu thức AB AC

AP AQ

c) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn diện tích tam giác APQ theo b, c

Bài tập 14: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R M điểm thuộc nửa đường tròn ( khác A B) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B đường tròn (O) điểm C D Tính giá trị nhỏ tổng diện tích hai ACM BDM

Bài tập 15: Cho đường tròn (O) dây BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn (O), (A khác B C) Tia phân giác ACB cắt đường tròn (O) D khác C, lấy I  thuộc đoạn CD cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn (O) điểm K khác B

a) Chứng minh: KAC cân

Bài tập 16: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O; R) Điểm M lưu động cung nhỏ BC Từ M kẻ đường thẳng MH, MK vng góc với AB, AC (H  AB,  AC) Tìm vị trí M để độ dài đoạn HK lớn

Bài tập 17: Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2; R2) tiếp xúc với A Đường thẳng (d) qua A cắt đường tròn (O1, R1) M cắt đường tròn (O2; R2) N (các điểm M, N khác A) Xác định vị trí đường thẳng (d) để độ dài đoạn thẳng MN lớn

Bài tập 18: Đường trịn tâm O có dây AB cố định I điểm cung lớn AB Lấy điểm M cung lớn AB, dựng tia Ax  MI H cắt BM C

a) Chứng minh: AIB AMC cân

b) Khi M di động cung lớn AB Chứng minh điểm C di động cung tròn cố định c) Xác định vị trí điểm M để chu vi AMC đạt giá trị lớn

Bài tập 19: Cho ABC nhọn Điểm D di động cạnh BC Gọi O1, O2 tâm đường tròn ngoại tiếp ABD, ACD tương ứng

a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp AO1O2 ln qua điểm cố định khác A

b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC I tâm đường tròn ngoại tiếp AO1O2 Hãy xác định vị trí D BC cho IO nhỏ

Bài tập 20: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Gọi C điểm tùy ý nửa đường trịn, D hình chiếu vng góc C AB Tia phân giác ACD cắt đường trịn đường kính AC  điểm thứ hai E, cắt tia phân giác ABC H 

a) Chứng minh: AE // BH

b) Tia phân giác CAB cắt đường tròn đường kính AC điểm thứ hai F, cắt CE I Tính diện  tích FID trường hợp tam giác

c) Trên đoạn BH lấy K cho HK = HD, gọi J giao AF BH Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn

Bài tập 21: Cho đường tròn tâm O, bán kính R dây BC < 2R, tiếp tuyến đường tròn B C cắt A M điểm cung nhỏ BC không trùng với B, C Gọi H, I, K hình chiếu M BC, CA, AB BM cắt HK P, CM cắt HI Q

a) Chứng minh: PQ // BC

b) Xác định vị trí M để tích MH.MI.MK đạt giá trị lớn CHỦ ĐỀ 14

QUỸ TÍCH - TẬP HỢP ĐIỂM 1 Kiến thức bản:

1.1 Để giải tốn quỹ tích, ta thực bước sau:

Phần thuận: Phân tích yếu tố cố định thay đổi để tập hợp mà điểm cần tìm quỹ tích phải thuộc vào (thường đường tròn, đường thẳng) Ta sử dụng quỹ tích (như cung chứa góc, trung trực, đường trịn Appolonius …) để xác định chứng minh quỹ tích Để dự đốn quỹ tích, phải vẽ số vị trí (trong có vị trí đặc biệt) cấu hình

Phần đảo: Sau làm phần thuận, tức xác định tập hợp M điểm mà quỹ tích thuộc vào, ta cần xem xét xem với điểm P thuộc M tồn cấu hình có vị trí điểm cần tìm quỹ tích trùng với P Bước loại bỏ điểm khơng tương ứng với cấu hình

Giới hạn: Sau thực phần đảo, ta thấy phần M thuộc quỹ tích Bước mơ tả rõ phần Ví dụ điểm P thuộc đường trịn (C) quỹ tích cung (C)

(1) Quỹ tích điểm cách hai điểm A B đường trung trực đoạn thẳng đó, tức đường thẳng qua trung điểm M AB vng góc với AB

(2) Quỹ tích điểm A cách điểm I cố định đoạn AI = R khơng đổi đường trịn tâm I bán kính R

(3) Quỹ tích điểm cách hai đường thẳng cắt a b hai đường phân giác góc tạo hai đường thẳng

(4) Quỹ tích điểm cách đường thẳng a cho trước đoạn d không đổi hai đường thẳng song song với a cách a khoảng cách d

(5) Quỹ tích điểm nhìn đoạn AB cố định góc α cố định hai cung chứa góc α nhận AB làm dây cung Đặc biệt, α = 900

quỹ tích đường trịn đường kính AB

(6) Cho hai điểm A, B số thực k Quỹ tích điểm M cho MA2 – MB2 = k đường thẳng vng góc với AB H, H xác định hệ thức:

(HA HB)BA k

(7) Cho hai điểm A, B với AB = 2a số thực dương k Quỹ tích điểm M cho MA2

+ MB2 = 2k2 tập rỗng k2 < a2 đường trịn tâm I, bán kính R k2a2

(8) Cho hai điểm A, B số thực dương k ≠ Quỹ tích điểm M cho MA k

MB  đường trịn đường kính EF, E F điểm thuộc đường thẳng AB cho

EA k EB 

FA k FB   (Đường tròn Appolonius)

Lưu ý: Ta phải rèn cách giải tốn quỹ tích: - Các quỹ tích

- Đốn quỹ tích

- Chứng minh quỹ tích đốn nhận

Phương pháp 1: Chứng minh quỹ tích (tập hợp điểm) dựa vào tính chất trục đối xứng, đối xứng tâm, phép tịnh tiến, phép quay, phép vị tự

Phương pháp 2: Chứng minh quỹ tích nhanh xác học sinh cần phải luyện : - Xác định yếu tố cố định

- Xác định yếu không đổi - Xác định yếu tố thay đổi Lưu ý: Phải rèn phán đốn quỹ tích Các dạng quỹ tích thường gặp:

(1) Quỹ tích điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng

(2) Quỹ tích điểm cách hai cạnh góc đường phân giác góc

(3) Tập hợp điểm cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R đường trịn (O; R) (4) Quỹ tích điểm cách đường thẳng cố định khoảng h hai đường thẳng song song với đường thẳng cách đường thẳng khoảng h

(5) Quỹ tích điểm nhìn cạnh góc 900 đường trịn có tâm trung điểm cạnh đường kính độ dài cạnh cho

(6) Quỹ tích điểm nhìn đoạn AB góc khơng đổi hai cung chứa góc qua A, B đối xứng với qua AB

2 Bài tập áp dụng:

a) Chứng minh MA tia phân giác của góc BMx

b) Gọi K giao thứ hai đường thẳng DC với đường tròn (O) Tứ giác MIKD hình gì? sao? c) Gọi G trọng tâm tam giác MDK Chứng minh M di động cung nhỏ AC G ln nằm đường trịn cố định

d) Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn (O) P giao điểm thứ hai phân giác góc IBM với đường trịn (O) Chứng minh rằng, đường thẳng DP qua điểm cố định M di động cung nhỏ AC

Hướngdẫn a) AMB

2

 sđAB (góc nội tiếp (O) chắn  AB ) 

 

AMx 180 AMC 180

2

    sđABC = 

2sđ  AC =

2sđ  AB

Vậy: AMB AMx hay MA tia phân giác BMx  b) MCD cân  MCD MDC = 1BMC

2 (góc ngồi tam giác)

Ta lại có: ABC cân  I điểm cung BC

Suy ra: IMC IMB 1BMC

 

Vậy  MCDIMC, suy ra: IM // CD   

MCDMDCBMI  BI = MK  MIK IMB Suy ra: IK // MD

Vậy MIKD hình bình hành c) D thuộc đường tròn (A; AC)

Gọi N điểm AI cho NA = 3AI

 NG =2 3AD =

2

3AC = const

 G thuộc đường tròn N; 2AC

 

 

 

Bài tập 2: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi D điểm cung BC khơng chứa A Vẽ đường trịn qua D tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn qua D tiếp xúc với AC C Gọi E giao điểm thứ hai hai đường tròn

a) Chứng minh điểm B, C, E thẳng hàng

b) Một đường tròn tâm K di động qua A D, cắt AB, AC theo thứ tự M N Chứng minh BM = CN

c) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN Hướngdẫn

a) BED  DBxACB, CED  DCyABD

P N

G

K

D x

M

I

C A

B

O

N M

y x

E

D I

C B

Suy ra: BEC  ABD ACD 180  Suy ra: B, E, C thẳng hàng

b) BDDC  BAD CAD  DNDM  DM = DN

 

BDDC  DB = DC  

DCNDBM

BMD = CND  BM = CN c) Tính DI = 2KD sin2A

2 

2

DI A

2sin const

DK  

K thuộc trung trực AD  I thuộc đường thẳng vng góc với AD cắt AD P cho DP A

sin

DA 

Bài tập 3: Cho ABC cân A Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động cạnh AB, AC cho AM = CN

a) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp AMN ln qua điểm cố định khác A

b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp AMN Giải

a) Đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN P

AMP = CNP

 PA = PC

 P tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

 P cố định

b) Tâm I đường tròn ngoại tiếp AMN nằm đường trung trực AP

Bài tập 4: Tìm quỹ tích đỉnh C ABC có AB cố định, đường cao BH cạnh AC

Hướngdẫn

Kẻ đường thẳng vng góc với AB A, lấy E cho AE = AB

ACE = BHA

 

ACE90  C thuộc cung chứa góc 90 độ dựng AE

Bài tập 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, góc A450, B D 900

a) Chứng minh BD cố độ dài không đổi b) Gọi E giao BC AD, F giao DC AB Chứng minh EF có độ dài khơng đổi?

c) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp

AEF

Hướngdẫn

a) B  D 900 B, D thuộc đường trịn đường kính AC

I

P

H

N M

C B

A

H E

C

B A

H

I

J

F

E D A



A45  BD = R = const b) CDE vuông cân  CD = ED ADF vuông cân  DA = DF

ACD = FED

 EF = AC = const

c) Trung trực AF cắt trung trực AE J, cắt (O) H Trung trực AE cắt (O) I

 H, I điểm hai cung AC  H, I cố định

 

HJIBCD 135

 J thuộc cung chứa góc 135 độ dựng HI

Bài tập 6: Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R') cắt A D có đường kính AOB AO'C vng góc với A Một đường thẳng d qua A cắt nửa đường trịn khơng chứa điểm D (O), (O') tương ứng điểm M, N khác A

a) Chứng minh: ABM ∽CAN

b) Tìm quỹ tích giao điểm P OM O'N d di động

c) Tiếp tuyến M (O) cắt AD I Chứng minh rằng: IM2 = IA ID

d) Tìm vị trí cát tuyến d tiếp tuyến M (O) tiếp tuyến N (O') cắt điểm thuộc đường thẳng AD

e) Xác định vị trí d cho tứ giác MNCB có diện tích lớn Tìm giá trị lớn theo R R'

Hướngdẫn a) AMB ∽CAN

b) PMA   PNAOAM O' AN 900

 

OPO '90  P thuộc đường trịn đường kính OO'

c) IMA ∽IDM  IM2 = IA.ID

d) Tương tự câu c giả sử tiếp tuyến N (O') cắt AD I'  I'M2 = I'A.I'D

Vậy I trùng I'  IM = I'N  I thuộc trung trực NM

Vậy I giao AD trung trực MN tiếp tuyến M (O) tiếp tuyến N (O') cắt điểm thuộc đường thẳng AD

e) Diện tích tứ giác BMNC lớn  (SBMA + SANC)min  (SBMA)min  (BM.AM)min Ta lại có: BM2

+ AM2 = R2 Vậy: BM.AM

2 R2

 dấu BM = AM  d tạo với AB góc 450 Khi diện tích tứ giác BMNC là: 1 2

R.R' + R + R'

2

Bài tập 7: Một điểm A động nửa đường trịn đường kính BC cố định Đường thẳng qua C song song với BA cắt đường phân giác ngồi góc BAC tam giác ABC D Tìm quỹ tích D

Hướngdẫn

AD cắt (O) E  E cố định Ta lại có: 

CDE45

Vậy D thuộc cung chứa góc 450

dựng CE

I' I

P

N M

C B

D

A

O' O

E

O

D

A

Bài tập 8: Cho đường tròn (O; R) cố định đường thẳng d cắt (O; R) hai điểm A, B cố định Một điểm M di động d bên đoạn AB Vẽ tiếp tuyến MP MN với (O; R) Gọi N, P hai tiếp điểm

a) Chứng minh M di động, đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP ln qua hai điểm cố định

b) Tìm quỹ tích tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP c) Trình bày cách dựng điểm M cho tam giác MNP

là tam giác Hướngdẫn

a) Giả sử (I) cắt AB H khác M OHM900

 HA = HB hay H cố định Vậy (I) qua O H cố định

b) IO = IH  I thuộc trung trực OH c) Tam giác MNP  OMN300

 OM = 2ON = 2R

Vậy M thuộc đường tròn (O; 2R)

Bài tập 9: Cho hình vng ABCD cố định Một điểm I di động cạnh AB (I khác A B) Tia DI cắt tia CB E Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE M Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE F Tìm quỹ tích điểm F

Hướngdẫn

Trên BC lấy G cho AI = BG  AI  EG

Áp dụng định lí Menelauyt tam giác AEB với điểm thẳng hàng C, I, M, ta có:

CB IA ME

CE IB MA  (1)

Lại có

BE IB CE CD CE

CB  

Thay vào (1) 

BG BE IA BE MA ME





 MB // AG hay  DFB90

Vậy F thuộc đường trịn đường kính BD (cung nhỏ AB) Bài tập 10: Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định

trên đường tròn Điểm M động tiếp tuyến xy A (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R) Gọi tiếp điểm B

a) Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp

AMB

b) Tìm quỹ tích trực tâm H AMB Hướngdẫn

a) Đường tròn ngoại tiếp AMB đường trịn tâm E, đường kính OM

 E thuộc trung trực OA b) Tứ giác AOBH hình thoi

 AH = R

Vậy H thuộc đường tròn (A; R) (thuộc nửa mặt phẳng bờ xy chứa B)

H

I

N

P

M B

A

d O

G F

M E

I

C B

D A

H E

B

M y

x A

Bài tập 11: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Đường phân giác góc A cắt đường tròn điểm D Một đường tròn (L) thay đổi qua hai điểm A D (L) cắt hai đường thẳng AB, AC giao điểm thứ hai M, N (có thể trùng với A) a) Chứng minh rằng: BM = CN

b) Tìm quỹ tích trung điểm K MN Hướngdẫn

a) BAD DAC

 DB = DC; DM = DN

Ta lại có: MBD NCD; BMD NCD

 BDM CDN

Vậy BDM = CDN  BM = CN b) Tương tự câu c b)

Bài tập 12: Cho góc vng xOy Một êke ABC trượt mặt phẳng góc xOy cho đỉnh B di chuyển cạnh Ox, đỉnh C di chuyển cạnh Oy đỉnh góc vng A di chuyển góc xOy Tìm quỹ tích điểm A

Hướngdẫn

Tứ giác OBAC nội tiếp  yOA CBA 

Vậy A thuộc tia tạo với tia Oy góc  (phần nằm góc xOy)

Bài tập 13: Cho đường trịn tâm O bán kính R điểm P cố định ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến PA cát tuyến PBC (A, B, C (O; R)) Gọi H trực tâm tam giác ABC Khi cát tuyến PBC quay quanh P

a) Tìm quỹ tích điểm đối xứng O qua BC b) Tìm quỹ tích điểm H

Hướngdẫn

a) Ta có: PO' = PO = const; P cố định

 O' thuộc đường tròn (P; PO)

b) Tứ giác OO'HA hình bình hành Vẽ hình bình hành AOPK

 K cố định  HO'PK hình bình hành

 HK = O'P = OP = const Vậy H thuộc đường tròn (K; OP)

Bài tập 14: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường trịn (O; R) có AB = AC = R a) Tính độ dài BC theo R

b) M điểm di động cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC D Chứng minh rằng: AM.AD luôn số

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động đường cố định M di động cung nhỏ AC

Hướngdẫn

a) BC đường kính (O)

b) Tam giác AMC đồng dạng với tam giác ACD

 AM.AD = AC2 = R

N

M D

C B

A

O

A

C B

y x

O

K

O' H

C

B A

P O

O D

M C B

c) ACM MDC

  sđCM   AC tiếp tuyến (I)

 IC vng góc với AC cố định

 I thuộc đường thẳng qua C vng góc với CA 3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho tam giác ABC cân A Một điểm P di động cạnh BC Vẽ PQ song song với AC (Q thuộc AB), vẽ PR song song với AB (R thuộc AC) Tìm quỹ tích điểm D đối xứng với P qua QR

Bài tập 2: Cho góc vng xOy Các điểm A B tương ứng thuộc tia Ox, Oy cho OA = OB Một đường thẳng d qua A cắt OB M nằm O B Từ B hạ đường thẳng vng góc với AM cắt AM H cắt đường thẳng OA I

a) Chứng minh OI = OM tứ giác OMHI nội tiếp

b) Gọi K hình chiếu O lên BI Chứng minh OK = HK c) Tìm quỹ tích điểm K M di động đoạn OB

Bài tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M di động cung BC a) Trên tia đối tia CM, lấy đoạn CE = MB Tìm tập hợp điểm E M di động b) Trên tia đối tia MC, lấy đoạn MF = MB Tìm tập hợp điểm F M di động

Bài tập 3: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Một cát tuyến (d) qua B cắt (O0 C (O') C' Tìm tập hợp trung điểm I đoạn CC' d quay quanh B

Bài tập 4: Cho hai đường thẳng xx' yy' vng góc với O điểm P cố định Một góc vng đỉnh P quay quanh P cạnh góc vuông cắt xx' A yy' B Tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB

Bài tập 5: Trên bán kính OM đường tròn (O) lấy đoạn OI khoảng cách từ M đến đường kính cố định AB Tìm tập hợp điểm I

Bài tập 6: Cho đường tròn (O) cố định dây AB cố định Trên cung nhỏ AB, ta lấy điểm C di động Tìm tập hợp tâm I đường trịn nội tiếp tam giác ABC

Bài tập 7: Cho đường tròn (O) dây AB cố định Kể dây AC Trên đường thẳng AC lấy hai điểm M, M' cho CM = CM' = CB, M nằm ngồi đường trịn Tìm tập hợp điểm M M' C vạch cung AB

Bài tập 8: Cho đường tròn (O; R), điểm B, C cố định (O) điểm A di động (O) Tìm tập hợp trực tâm H tam giác ABC

Bài tập 9: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M mặt phẳng cho hình chiếu M ba cạnh tam giác ba điểm thẳng hàng

Bài tập 10: Cho đoạn thẳng AB M điểm tuỳ ý đoạn AB Dựng nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AB hình vng ANCD BMEF Các đường trịn ngoại tiếp chúng tâm P Q cắt M N

a) Chứng minh rằng: AE, BC qua N

b) Chứng minh rằng: MN qua điểm cố định M di động c) Tìm tập hợp trung điểm I PQ M di động

Bài tập 11: Cho đường tròn (O; R) điểm P cố định đường trịn khơng trùng với O Qua P dựng dây cung APB, tiếp tuyến (O) A B cắt M Tìm tập hợp điểm M dây AB quay quanh P

Bài tập 12: Hai đường tròn (O) (O') giao A B Một cát tuyến di động qua A cắt (O) C (O') D Tìm tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác BCD

Bài tập 13: Cho hình vng ABCD có tâm O Vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD, BC E, F Từ E, F vẽ đường thẳng song song với DB, AC chúng cắt I

a) Chứng minh I thuộc đường thẳng cố định

Bài tập 14: Cho tam giác ABC có BC cố định cịn A di động cho góc BAC 600 Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác ABC

Bài tập 15: Cho đường tròn (C) tâm O P điểm cố định nằm (C) không trùng với O Một đường thẳng (d) thay đổi qua P cắt (C) A B Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn BC (d) quay quanh P

Bài tập 16: Cho hai điểm A, B cố định C điểm thay đổi đoạn AB, C khác A B Dựng hình vng ACDE BCFG nằm phía đường thẳng AB Tìm quỹ tích trung điểm I EG

Bài tập 17: Cho góc nhọn Oxy điểm M nằm góc Từ M ta kẻ đường vng góc MH xuống cạnh Ox MK xuống cạnh Oy Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện MH + MK = a, a độ dài cho trước

Bài tập 18: Cho tam giác ABC điểm P nằm tam giác Hạ PA1, PB1, PC1 vng góc với BC, CA, AB tương ứng Tìm tập hợp điểm P cho A1B1C1 tam giác cân

Bài tập 19: Cho tam giác ABC P điểm nằm tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ P đến cạnh BC, CA, AB tương ứng

a) Biết x = 1, y = 2, z = Hãy tính diện tích tam giác ABC

b) Tìm quỹ tích điểm P tam giác cho x + y = z Từ suy tập hợp điểm P tam giác cho x, y, z lập thành cạnh tam giác

Bài tập 20: Cho hai đường tròn (C1) (C2) cắt A B Một đường thẳng (d) thay đổi qua A cắt (C1), (C2) điểm thứ hai C D tương ứng Tìm quỹ tích trung điểm M CD (d) quay quanh A

Bài tập 21: Cho đường tròn (C) tâm O bán kính R Đường trịn (C1) có bán kính R/2 tiếp xúc với (C) A Bây ta cố định vị trí điểm A đường trịn (C1) cho (C1) lăn ln tiếp xúc với (C) Hãy tìm quỹ tích điểm A

Bài tập 22 (*): Cho hai điểm A, B cố định, AB = 2a

Tìm quỹ tích điểm M cho MA + MB = 2c không đổi, với c > a

Bài tập 23: Cho hình vng ABCD M điểm di động cạnh CD AM BM kéo dài cắt BC AD kéo dài P Q DP cắt CQ N Tìm quỹ tích điểm N M di động cạnh BC Bài tập 24: Cho tam giác ABC Trên AB kéo dài phía B lấy điểm M AC kéo dài phía C lấy điểm N cho BM = CN Tìm quỹ tích trung điểm I MN

Bài tập 25: Cho hai điểm A, B cố định C điểm thay đổi đoạn AB, C khác A B Dựng hình vng ACDE BCFG nằm phía đường thẳng AB Gọi I, J tâm hình vng ACDE BCFG Tìm quỹ tích trung điểm K IJ

Bài tập 26: Tìm quỹ tích điểm cách điểm cho đường thẳng cho Hướng dẫn

Bài tốn tưởng đơn giản khơng thể giải phương pháp hình học túy Ta dựng số vị trí để thấy quỹ tích đường thẳng Một đặc điểm đáng ý đường thẳng vng góc với đường thẳng cho tìm điểm thỏa mãn tính chất

Bài giải dễ dàng phương pháp tọa độ Gọi điểm cho P đường thẳng cho P Xét hệ trục tọa độ có Ox đường thẳng d Oy đường thẳng qua điểm P vng góc với d Giả sử P có tung độ p >

Xét điểm M(x, y) nằm quỹ tích Dễ thấy y > Khi khoảng cách từ M đến d y từ

M đến P 2

x  (y p) Từ ta có

2

2 2 2 x p

y x (y p) y x y 2py p y

2p

          

CHỦ ĐỀ 15 DỰNG HÌNH 1 Kiến thức bản:

Dựng hình thước com-pa dạng tốn khó địi hỏi người giải phải nắm vững kiến thức bản, kỹ sáng tạo việc kẻ thêm yếu tố phụ để kết nối kiện Vì nắm vững kỹ dựng hình có ý nghĩa quan trọng việc giải tốn hình học nói chung Bài tốn dựng hình thước compa có ý nghĩa tốn học sâu sắc nội dung nhiều lúc vượt khỏi lĩnh vực hình học Ơng Vua nhà Tốn học Carl Friederich Gauss tự hào với kết tìm cách dựng đa giác 17 cạnh Kết có nhờ vào lượng giác, cụ thể Gauss tính

17 360 cos

0

chỉ thơng qua phép tính số học phép khai bậc Để giải tốn dựng hình, ta theo bước sau:

Phân tích: Giả sử hình dựng được, tìm cách kết nối đối tượng biết với đối tượng cần dựng cầu nối để tìm quy trình dựng: Bắt đầu từ thành phần dựng được, tiếp tục dựng thành phần khác hoàn thành yêu cầu Ví dụ phép dựng tam giác hồn thành ta dựng đỉnh

Cách dựng: Nêu bước để dựng cấu hình thỏa mãn u cầu tốn Mỗi bước dựng phải động tác thực thước compa (kẻ đường thẳng nối hai điểm, vẽ đường trịn có tâm bán kính xác định, tìm giao điểm hau đường thẳng, hai đường tròn …)

Chứng minh: Chứng minh cách dựng vừa nêu phần cho ta cấu hình cần dựng

Biện luận: Biện luận số nghiệm toán theo điều kiện ban đầu cho Khi vơ nghiệm, nghiệm nhất, có nghiệm hình …

Kết luận: Tổng kết lại bước để đưa kết luận

Ta biết vẽ hình nhiều dụng cụ: thước (thước thẳng), compa, êke, thước đo góc, …

Ta xét tốn vẽ hình mà sử dụng hai dụng cụ thước compa, chúng gọi tốn dựng hình

Với thước, ta có thể:

- Vẽ đường thẳng biết hai điểm - Vẽ đoạn thẳng biết hai đầu mút - Vẽ tia biết góc điểm tia

- Với compa, ta vẽ đường trịn biết tâm bán kính

Ở hình học lớp hình học lớp 7, với thước compa, ta biết cách giải tốn dựng hình sau :

(1) Dựng trung trực đoạn thẳng Dựng trung điểm đoạn thẳng

Dựng đường thẳng qua điểm cho vng góc với điểm cho (2) Dựng đường thẳng qua điểm cho song song với điểm cho (3) Dựng đoạn thẳng n lần đoạn thẳng cho

Dựng đoạn thẳng 1/n đoạn thẳng cho (4) Dựng góc góc cho Chia đơi góc Dựng tổng hiệu hai góc

(5) Cho hai đoạn thẳng có độ dài a, b, dựng đoạn thẳng có độ dài ab (6) Dựng tiếp tuyến kẻ từ điểm đến đường tròn

(7) Dựng đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Dựng hình phương pháp đại số:

Giải tốn dựng hình phương pháp đại số thường quy dựng số đoạn thẳng Ta gọi độ dài đoạn thẳng phải tìm x, y, z Sau ta lập phương trình để biểu thị mối tương quan đoạn thẳng biết a, b, c Sau giải hệ phương trình để ẩn x, y, z

Một vài đoạn thẳng dựng biểu thị biểu thức đơn giản là: x = a  b ; x = a.b.c

e.f

x = na, n  N ; x = a2b2 c2 d2 (a2 + d2 > b2 + c2) x = a

n, n  N ; x =

2 a b x = na

m ; m, n  N ; x = ab x = ab

c ; x = a n ; n  N

Dựng hình phương pháp biến hình:

Dựng hình phương pháp biến hình áp dụng phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, đồng dạng Ta quy việc dựng hình việc dựng điểm M Dựng trực tiếp điểm M gặp khó khăn Trong trường hợp ta chọn phép biến hình song ánh f (để f có ánh xạ ngược) biến điểm M thành điểm M' mà điểm M' ta đựng cách dễ dàng Sau dựng điểm M' ta phép biến hình ngược: f-1(M') = M Ví dụ tịnh tiến

a 2 Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Dựng ABC biết cạnh BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến AM = m Giải

Phân tích

Giả sử ta dựng ABC thoả mãn: BC = a; AH = h; AM = m

Ta phải xác định đỉnh A thoả mãn điều kiện:

- A cách BC khoảng h, suy A  đường thẳng d// BC cách BC khoảng h

- A cách điểm M trung điểm BC khoảng m Cách dựng

- Dựng BC a

- Dựng đường thẳng d // BC cách BC khoảng h

- Dựng đường tròn tâm M bán kính m cắt d A

ABC tam giác cần dựng Chứng minh

ABC có BC = a (cách dựng) Đường cao AH = h (cách dựng) Trung tuyến AM = m (cách dựng)

ABC tam giác cần dựng Biện luận

* m > h  tốn có nghiệm (4 điểm A) * m = h  tốn có nghiệm (2 điểm A) * m < h  tốn vơ nghiệm (khơng có điểm A)

m h

C M

H B

A

d

m h

C M

H B

Bài tập 2: Cho đường thẳng m song song với đường thẳng n điểm A khơng thuộc đường thẳng Dựng điểm B  m, C  n cho ABC tam giác

Giải Phân tích

Giả sử dựng điểm B  m, điểm C  n để ABC Dựng hình chiếu vng góc A điểm M E

Dựng tam giác AEF Xét AEB AFC ta có: AE = AF (ABF đều)

  

CAFBAE 60 CAE

AB = AC (ABC đều)

AEB = AFC (c.g.c)

  

BEACFA90 (vì AE  BE) Cách dựng

Từ A hạ AE  m E - Dựng AEF

- Từ F dựng đường vng góc với AF cắt n C - Nối A với C, dựng đường trịn tâm A bán kính AC cắt m B

- Nối A với B, B với C ta ABC cần dựng Chứng minh

Xét  vuông ABE  vuông ACF có:

AB AC

AE AF

 



 (Cách dựng) ABF = ACF (c.g.c)  AE = AF

 BAE CAF

Mà CAF  EAF CAE 600CAE Và BAE  BAC CAE

 

BAC60

ABC có: AB = AC BAC600

ABC d) Biện luận

Bài tốn có nghiệm ta dựng 

Bài tập 3: Dựng ABC biết BC = a; AB + AC = d; ABC  Giải

a) Phân tích

Giả sử ta dựng ABC thoả mãn điều kiện đầu Kéo dài BA đường kéo dài lấy điểm D cho AD = AC Suy ra: BD = AB + AD = AB + AC = d

DAC cân  A = BD  đường trung trực CD b) Cách dựng

- Dựng đoạn BC = a

- Dựng tia Bx cho xBC  - Dựng điểm D Bx cho BD = d - Nối D với C

B

C

F E

A

n m

A

D

α

- Dựng điểm A giao BD đường trung trực CD - Nối A với C ta ABC cần dựng

c) Chứng minh ABC =  (cách dựng) BC = a (cách dựng)

A  đường trung trực DC  AD = AC A, D  Bx; BD = d (cách dựng)

 BD = AB + AD = AB + AC = d

ABC  cần dựng d) Biện luận

- d < a  tốn vơ nghiệm - d > a  Bài tốn có nghiệm

Bài tập 4: Dựng ABC biết BC = a, trung tuyến AM = m, đường cao CH = h Giải

Phân tích:

Giả sử dựng ABC thoả mãn điều kiện đầu

 A  đường tròn tâm M bán kính m H  đường trịn đường kính BC CH = h; B, H, A thẳng hàng Cách dựng:

- Dựng BC = a, trung điểm M BC - Dựng đường tròn (M, m)

- Dựng đường trịn đường kính BC

- Dựng điểm H  đường trịn đường kính BC cho HC = h - Dựng điểm A giao điểm BH (M, m)

Chứng minh: BC = a

CH = h (cách dựng)

 A  (M, m)  AM = m

ABC tam giác cần dựng Biện luận:

Bài tốn có nghiệm h < BC = a 2m > h

  

Bài tốn có hai nghiệm BH cắt (M, m) hai điểm A A'

Bài tập 5: Dựng ABC biết B =  < 900, đường cao BH đường cao AD Giải

Phân tích:

Giả sử ABC dựng

 vuông ABD dựng

 ta cần dựng điểm C

Muốn ta phải dựng điểm H: H  giao hai đường trịn đường kính AB đường trịn tâm B bán kính BH  C = AH  BD

Cách dựng:

- Dựng ABD vuông D cho ABD < 900 AD cho trước

- Dựng điểm H giao điểm

B'

m h A

H

M C

B

H

C D

B

hai đường trịn: (B, BH)

đường trịn đường kính AB (BH cho trước)

- Dựng điểm C giao BD AH ABC  ta cần dựng Chứng minh:

ABD =  < 900 (cách dựng)

AD đường cao có độ dài cho trước (cách dựng) BH đoạn cho trước (cách dựng)

ABC thoả mãn yêu cầu đề Biện luận:

Bài tốn ln có nghiệm Bài tốn có nghiệm

Bài tập 6: Dựng hình bình hành ABCD biết đỉnh đối diện A C đỉnh B D thuộc đường tròn (O, R) cho trước

Giải Phân tích:

Giả sử dựng hình bình hành thoả mãn điều kiện đề ABCD Nếu I giao điểm đường chéo ABCD thì: I  AC IA = IC, I  BD IB = ID; B, D  (O,R)  OI  BD Cách dựng:

- Dựng I trung điểm AC - Dựng đường thẳng qua I  OI cắt (O) B D

 ABCD hình bình hành cần dựng Chứng minh:

OI  BD  IB = ID

IA = IC (cách dựng); B, D  (O, R) (cách dựng)

AIB = DIC (c.g.c)  ABI = IDC  AB // CD

 ABCD hình bình hành thoả mãn đầu Biện luận:

Bài tốn có nghiệm điểm I đường trịn (O) tốn có nghiệm Bài tập 7: Cho đường trịn (O, R) điểm A  đường thẳng d

Dựng đường tròn tiếp xúc với C(O,R) tiếp xúc với d A Giải

Phân tích:

Giả sử dựng (O',R') tiếp xúc với (O, R) tiếp xúc với d A  O'  d' đường thẳng qua A  với d Dựng điểm E cho O'E = O'O (AE = R)

 O' nằm đường trung trực OE

 O' giao đường trung trực OE & p Cách dựng:

- Dựng đường thẳng d'  d A - Dựng điểm E  d' cho AE = R - Dựng đường trung trực OE m, m d'  O'

- Dựng đường tròn (O',O'A) Đó đường trịn cần dựng Chứng minh:

(O', O'A) tiếp xúc với d A (cách dựng) Nối O với O' Vì O'  đường trung trực OE

 OO' = O'E

C

A I

B

D

O

E O

O' A

Mà O'E = O'A + AE  OO' = OA + AE = O'A +R

 (O, R) & (O', O'A) tiếp xúc với

 (O') đường trịn cần dựng Biện luận:

Trên p lấy E1 đường tròn (O') cho AE1 = R Vậy tốn có nghiệm hình

Bài tập 8: Cho hình thang ABCD, AD // BC Dựng đường thẳng EF//BC chia đơi diện tích hình thang

Giải Phân tích:

Giả sử dựng EF//BC chia đơi diện tích hình thang kéo dài BC, CD cắt O Suy ra:

OBC ∽OEF ∽OAD Đặt OB = a, OA = b, OE = x Ta có:

2

OBC OAD

2

OEF OEF

S a S b

;

S x S x

 

 

 

 OBC OAD 2

2 OEF

S S a b

S x

 



 



Mà: S OBC + S OAD = S OEF + Shình thang EBCF + S OAD = S OEF + Shình thang AEFD + S OAD = 2SOEF

 a2 2b2

x

  

2x2 = a2 + b2

 a2 b2

x

2

 

Đặt

2

2

a b

y ; z x y z

2

    

z

y

x z

b

2 b

a

a

Cách dựng:

- Kéo dài BA, CD cắt O - Dựng đoạn trung bình nhân a, a

2 ta y - Dựng đoạn trung bình nhân b

2, b ta z - Dựng  vng có y, z cạnh góc vng  độ dài cạnh huyền  x

Chứng minh:

Gọi hình thang ADEF diện tích S1 hình thang EBCF có diện tích S2

Ta phải chứng minh S1 = S2

Ta có OAD ∽DEF (vì AD//EF)

 Tỉ số đồng dạng là: a x

 OAD

2

OEF

S a S

S x S S

 

 

 OEF ∽OBC 

2

OBC

2

OEF

S b S S S

S x S S

 

 

 



 2 2 2

2 2

0 1

2S S S 2S S S

a b a b

a b

x S S S S

2

   

    



 

0

0 1

0

2S S S

2 2S S S 2S 2S S S

S S

 

        



 Shình thang ADEF = Shình thang EBCF Biện luận:

Bài tốn ln có nghiệm hình

Bài tập 9: Cho hình bình hành ABCD Dựng hai đường thẳng qua đỉnh A chia hình bình hành thành phần có diện tích

Giải Phân tích:

Giả sử dựng đường thẳng qua A cắt BC E, cắt CD F thoả mãn: SABE = SBECF = SAFD =

3

SABCD

Gọi độ dài: BE = x, đường cao AH = h  S ABE =

h.x SABCD = AH.BC = h.BC Mà SABCD = S ABE

 h.BC =

hx <=> BC =

x  x =

BC Tương tự ta gọi: DF = y  y =

3

DC Cách dựng:

- Dựng đoạn BE =

BC - Dựng đoạn DF =

3

DC - Nối A với E, A với F ta được: S ABE = S AFD = SAECF =

3

SABCD Chứng minh:

Ta có: S ABE = hx = h BC = h.BC =

SABCD

Tương tự: SADF =

SABCD

 SAECF =

SABCD  Điều phải chứng minh Biện luận:

Bài toán có nghiệm hình

Bài tập 10: Cho điểm A, B nằm phía đường thẳng d Tìm điểm M  d cho AM + MB nhỏ

Giải Phân tích:

Giả sử dựng điểm M  d để (AM + MB) ngắn Ta lấy điểm A' đối xứng với A qua d

 IA = IA'; MA = MA'  (AM + MB) ngắn khi: A, M, B thẳng hàng

 M  giao đường thẳng nối điểm A', B đường thẳng d

Cách dựng:

- Dựng điểm A' đối xứng A qua d - Nối A' với B

- Dựng M = A'B  d Đó điểm M cần dựng Chứng minh:

- Lấy M'  d (M' tuỳ ý) ta chứng minh: M'A + M'B > MA + MB

Theo cách dựng A', M, B thẳng hàng AM = A'M

Xét A'BM' ta có: M'A + M'B > A'B (1) Mà theo cách dựng A'B = MA' + MB = MA + MB (2) Từ (1) (2), suy ra:

MA' + MB' > MA + MB  (MA + MB) (đpcm) Biện luận:

Bài tốn có nghiệm hình điểm A' dựng

Bài tập 11: Cho đường thẳng b // c, điểm A  b, c Dựng ABC cho B  b, Cc Giải

Phân tích:

Giả sử ta dựng ABC thoả mãn điều kiện toán B  b, C  c

Ta thực phép quay theo chiều kim đồng hồ ta có: r(A, 600)(B) = C;

r(A, 600)(b) = b' Mà B  b  C  b' Mặt khác: C  c

 c  b' = C Cách dựng:

- Dựng đường thẳng b' = r(A, 600)(b) - Dựng điểm C

giao điểm b' c - Dựng điểm B cách: r(A, 600)(C) = B

M' M

B

A' A

d

b' C' C

B' B

A

Chứng minh:

r(A, -600)(C) = B; r(A, -600)(b') = b Mà C  b'  B  b  (đpcm)

Biện luận:

Bài tốn có nghiệm hình

Bài tập 12: Cho ABC Dựng hình vng MNPQ cho M  AB; N,P  BC, Q  AC Giải

Phân tích:

Giả sử dựng hình vng MNPQ thoả mãn điều kiện toán Nối B với Q thực phép vị tự: V(B, k = BQ '

BQ ) (Q'  BQ): Q  Q'; M  M'; N  N'; P  P'

M 'Q ' N ' M ' N ' P ' P 'Q '

MQ  NM  NP  PQ

Mà MQ = MN = NP = PQ NMQ = 900

 M'Q' = M'N' = N'P' = P'Q'; N'M'Q' = 900

M'N'P'Q' hình vng Cách dựng:

- Lấy M'  AB, dựng M'N'  BC - Dựng hình vng M'N'P'Q' - Kẻ BQ' cắt AC Q - Thực phép vị tự: V(B; k = BQ '

BQ ) (Q') = Q; p'  p; M'  M; N'  N ta dựng hình vng MNPQ cần dựng

Chứng minh:

Theo cách dựng ta có: MQ NM NP PQ

M 'Q ' N ' M '  N ' P 'P 'Q ' tứ giác M'N'P'Q' hình vng;



N ' M ' P '90

 MN = NP = PQ = MQ & NMP = 900

MNPQ hình vng Biện luận:

Bài tốn có nghiệm hình

Bài tập 13: Dựng tam giác biết độ dài ba đường trung tuyến Giải

Phân tích:

Giả sử ABC dựng xong có trung tuyến: AM = ma, BN = mb, CP = mc

Nhìn vào hình vẽ ta chưa thấy có yếu tố dựng được, trừ đoạn thẳng AM, BN, CP cách riêng lẻ

Và dĩ nhiên, ta dựng, chẳng hạn AM xác định thêm G

Tuy nhiên, ta gọi E trung điểm AG

BG BN AG AM

PE ; EG

2 3

    PG CP

3

 (tính chất

đường trung tuyến tính chất đường trung bình) nên cạnh PEG hoàn toàn xác định Khi xác định PEG, ta dễ dàng xác định điểm C, A, M cuối B

Q'

Q

P P'

M' N' M'

M

C B

A

P

E

G

C N

B

Từ suy cách dựng Cách dựng:

- Dựng PEG có: mb mc ma

PE ; PG ; EG

3 3

  

- Nối dài PG phía G, dựng C cho GC = 2GP; - Nối dài GE phía E, dựng A cho EA = EG; - Nối dài EG phía G, dựng M cho GM = GE; - Nối AP MC cắt B

ABC tam giác cần dựng Chứng minh:

Theo cách dựng AM = ma CP = mc

Cũng theo cách dựng tính chất đường trung tuyến G trọng ABC Do BG đường trung tuyến

Vì PE đường trung bình tam giác ABG nên BG = 2PE = 2mb Suy đường trung tuyến kẻ từ B mb

Như ta có ABC có ba trung tuyến với ma, mb, mc Biện luận:

Bước dựng thứ dựng ma; mb; mc

3 3 độ dài cạnh tam giác Điều tương đương với ma, mb, mc độ dài cạnh tam giác

Các bước dựng thực cách

Suy độ dài đoạn thẳng cho độ dài cạnh tam giác tốn có nghiệm hình

Trong trường hợp ngược lại tốn vơ nghiệm

Ghi chú: Từ tốn dựng hình nói trên, ta suy kết thú vị sau: “Ba đường trung tuyến tam giác ABC độ dài cạnh tam giác có diện tích 3/4 diện tích tam giác ABC” Bài tập 14: Cho hai đường trịn (C1), (C2) có bán kính R1 < R2 cắt A B Hãy dựng tiếp tuyến chung hai đường tròn

Giải Phân tích:

Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc (C1) M (C2) N Nối dài NM cắt đường thẳng O1O2 P

Vì O1M O2N vng góc với MN nên chúng song song với

Theo định lý Talet ta có 1

2 2

PO O M R

PO  O N  R nên từ ta dựng điểm P

Vì PMO1 = 900 nên M nằm đường trịn đường kính PO1 Như M giao điểm đường trịn đường kính PO1 (C1) Cách dựng:

- Dựng điểm P O2 cho 1

2

PO R

PO R - Dựng đường trịn đường kính PO1;

- Đường trịn đường kính PO1 cắt (C1) M; - Nối PM, tiếp tuyến chung cần dựng Chứng minh:

Theo bước 2, PM vng góc với MO1

N M

O2 O1

Suy PM tiếp tuyến (C1)

Từ O2 kẻ O2N vng góc với PM O2N//O1M Áp dụng định lý Talet ta có: 1

2

PO O M

PO  O N Theo bước ta có: 1

2

PO R

PO  R

Từ hai đẳng thức cuối, với ý O1M = R1, ta có O2N = R2, tức điểm N nằm (C2) Suy PM tiếp xúc (C2) N, tức PM tiếp tuyến chung hai đường trịn Biện luận: Bài tốn ln có nghiệm hình (HS tự chứng minh)

3 Bài tập tự luyện:

Bài tập 1: Cho trước đoạn thẳng có độ dài 1, dựng đoạn thẳng có độ dài

a) 2; b)

2

; c)

3

; d)

; e) ; f) ; g) Bài tập 2: Dựng ABC có Â = 520, AB = 5cm, AC = cm

Bài tập 3: Dựng ABC có Â - 600, AB = 3cm, AC + BC = 7,5 cm

Bài tập 4: Dựng ABC có Â= 900, phân giác AD = 10 cm, đường cao AH = cm Bài tập 5: Dựng ABC có Â= 600, AB = 3cm, đường cao AH = 2cm

Bài tập 6: Dựng tam giác biết b, a + c C

Phân tích: Giả sử ABC dựng Nối dài CB phía B tới điểm D cho BD = BA Khi tam giác ACD có góc C cho, AC = b CD = a + c nên hoàn toàn xác định Đỉnh B đỉnh tam giác cân BDA, giao điểm trung trực đoạn AD với CD

Bài tập 7: Cho hai đường thẳng a // b điểm C Hãy dựng tam giác ABC có A nằm a B nằm b

Gợi ý: Hãy chọn số điểm A tùy ý A dựng tam giác ABC Chú ý xem B vạch đường gì?

Bài tập 8: Dựng tam giác ABC biết độ dài đường trung tuyến, đường phân giác đường cao kẻ từ đỉnh A

Câu hỏi gợi ý: Đường phân giác góc A đường trung trực cạnh BC cắt đâu? Bài tập 9: Cho tứ giác ABCD Từ A kẻ đường thẳng chia đơi diện tích tam giác Câu hỏi gợi ý: Nếu tứ giác ABCD suy biến thành tam giác ABC vẽ nào? Bài tập 10: Dựng tam giác biết a, b ma

Bài tập 11: Dựng tam giác có chu vi 2p, góc A đường cao

Bài tập 12: Dựng tứ giác biết độ dài cạnh liên tiếp đoạn nối trung điểm hai đường chéo Bài tập 13: Cho biết

4 ) 72

cos(    Hãy nêu cách dựng ngũ giác cạnh a cho trước Bài tập 14: Cho đường thẳng (d) hai điểm A, B nằm phía d Hãy dựng đường tròn qua A, B tiếp xúc với (d)

Bài tập 15: Nêu cách dựng trục đẳng phương hai đường tròn trường hợp sau a) Hai đường tròn cắt

b) Hai đường trịn ngồi c) Hai đường tròn chứa

Bài tập 16: Cho tam giác ABC Hãy nêu cách dựng đường thẳng chia tam giác thành phần có diện tích chu vi

Bài tập 17: Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2, R2) phương  Dựng đoạn AB = a song song với

 cho A  (O1, R1), B  (O2, R2)

Bài tập 18: Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2, R2) đường thẳng d Dựng hình vng ABCD cho A  (O1, R1), C  (O2, R2); B, D  d

Bài tập 20: Cho hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng d Dùng đường tròn qua A, B tiếp xúc với d

Bài tập 21: Cho hai điểm A, B  đường thẳng d cho trước Dựng đường tròn qua hai điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng d

Bài tập 22: Dựng hai đường thẳng qua A chia hình bình hành thành phần diện tích

Bài tập 23: Cho ABC, dựng đường thẳng song song với BC chia ABC thành hai phần có diện tích

Bài tập 24: Cho đường tròn (O, R) hai điểm A, B  (O, R) đoạn thẳng biết l Dựng hai dây cung song song qua A B cho tổng chúng l

Bài tập 25: Cho điểm A (O, R)

Dựng cát tuyến qua A cắt (O, R) B C cho AB = BC

Bài tập 26: Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định Dựng  MNP thoả mãn: M & P

 (O); N  AB MN  AB

Bài tập 27: Cho hình vng ABCD có giao điểm hai đường chéo dựng ảnh điểm A, B, C, D phép quay tâm O góc 450

ngược chiều kim đồng hồ

Bài tập 28: Dựng hình vng nội tiếp đường trịn bán kính R, dựng lục giác tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R

BÀI TẬP TỔNG HỢP KIẾN THỨC

Bài tập 1: Cho ABC có đường cao BD CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác hai điểm M N

a) Chứng minh: Tứ giác BEDC nội tiếp b) Chứng minh: DEA ACB

c) Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A đường tròn ngoại tiếp tam giác

d) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh: OA phân giác góc MAN e) Chứng tỏ: AM2 = AE.AB

Bài tập 2: Cho đường tròn (O), đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đường trịn (O’), đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Từ M vẽ dây cung DE  AB; DC cắt đường tròn (O’) I

a) Tứ giác ADBE hình gì?

b) Chứng minh: Tứ giác DMBI nội tiếp

c) Chứng minh: Ba điểm B; I; C thẳng hàng MI = MD d) Chứng minh: MC.DB = MI.DC

e) Chứng minh: MI tiếp tuyến đường tròn (O’)

Bài tập 3: Cho ABC có góc A = 900 Trên AC lấy điểm M cho AM < MC Vẽ đường trịn (O), đường kính CM Đường thẳng BM cắt (O) D Kéo dài AD cắt (O) S

a) Chứng minh: Tứ giác BADC nội tiếp

b) Kẻ BC cắt (O) E Chứng minh rằng: MR phân giác AED  c) Chứng minh: CA phân giác góc BCS 

Bài tập 4: Cho ABC có góc A = 900 Trên cạnh AC lấy điểm M cho AM>MC Dựng đường trịn (O) đường kính MC Đường tròn cắt BC E Đường thẳng BM cắt (O) D đường thẳng AD cắt (O) S

a) Chứng minh: Tứ giác ADCB nội tiếp b) Chứng minh: ME phân giác AED  c) Chứng minh: Góc ASM ACD

d) Chứng tỏ ME phân giác AED 

Bài tập 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Kẻ đường cao AD đường kính AA’ Gọi E; F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ B C xuống đường kính AA’

a) Chứng minh: Tứ giác AEDB nội tiếp b) Chứng minh: DB.A’A = AD.A’C c) Chứng minh: DE  AC

d) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MD = ME = MF

Bài tập 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ M đến BC AC Gọi P trung điểm AB; Q trung điểm FE

a) Chứng minh: Tứ giác MFEC nội tiếp b) Chứng minh: BM.EF = BA.EM c) Chứng minh: AMP ∽FMQ d) Chứng minh: 

PQM90

Bài tập 7: Cho (O) đường kính BC Lấy điểm A nằm cung BC Trên tia AC lấy điểm D cho AB = AD Dựng hình vng ABED; AE cắt (O) điểm thứ hai F Tiếp tuyến B cắt đường thẳng DE G

a) Chứng minh: Tứ giác BGDC nội tiếp Xác định tâm I đường trịn b) Chứng minh: BFC vng cân F tâm đường tròn ngoại tiếp BCD c) Chứng minh: Tứ giác GEFB nội tiếp

d) Chứng tỏ: C; F; G thẳng hàng G nằm đường trịn ngoại tiếp BCD Có nhận xét I F?

Bài tập 8: Cho ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt D Từ D kẻ đường thẳng song song với AB, đường cắt đường tròn E F, cắt AC I (E nằm cung nhỏ BC)

a) Chứng minh: Tứ giác BDCO nội tiếp b) Chứng minh: DC2 = DE.DF

c) Chứng minh: Tứ giác DOIC nội tiếp d) Chứng tỏ I trung điểm EF

Bài tập 9: Cho đường tròn (O), có dây cung AB Từ điểm M cung AB (M  A M  B) Kẻ dây cung MN  AB H Gọi MQ đường cao tam giác MAN

a) Chứng minh: điểm A; M; H; Q nằm đường tròn b) Chứng minh: NQ.NA = NH.NM

c) Chứng minh: MN phân giác góc BMQ

d) Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN Xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giá trị lớn

Hướng dẫn

d) Xác định vị trí M cung AB để MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất: Ta có:

MAN

MBN

MAN MBN

2S MQ.AN

2S MP.BN

2S 2S MQ.AN MP.BN

 

 

 

  

Ta lại có:

2SMAN + 2SMBN = 2(SMAN + SMBN) = 2SAMBN = 2.AB.MN AB.MN

2 

Vậy: MQ.AN + MP.BN = AB.MN

Bài tập 10: Cho đường trịn (O; R) (I; r) tiếp xúc ngồi A (R > r) Dựng tiếp tuyến chung BC (B nằm đường tròn (O) C nằm đường tròn (I)) Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến A hai đường tròn E

a) Chứng minh tam giác ABC vuông A b) Kẻ OE cắt AB N; IE cắt AC F

Chứng minh: N; E; F; A nằm đường tròn c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 4Rr

d) Tính diện tích tứ giác BCIO theo R; r Hướng dẫn

c) Chứng minh: BC2 = 4Rr

Ta có tứ giác FANE có góc vng (cmt)

 FANE hình vng

OEI vng E EA  OI (tính chất tiếp tuyến) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng có:

AH2 = OA.AI (bình phương đường cao tích hai hình chiếu) Mà AH = BC

2 OA = R; AI = r  BC

4  Rr  BC

= Rr d) SBCIO = ?

Ta có BCIO hình thang vuông

 SBCIO =

OB IC BC

  S = (r R) rR

2



Bài tập 11: Trên hai cạnh góc vng xOy lấy hai điểm A B cho OA = OB Một đường thẳng qua A cắt OB M (M nằm đoạn OB) Từ B hạ đường vng góc với AM H, cắt AO kéo dài I

a) Chứng minh: Tứ giác OMHI nội tiếp b) Tính OMI 

c) Từ O vẽ đường vng góc với BI K Chứng minh: OK = KH d) Tìm tập hợp điểm K M thay đổi OB

Hướng dẫn d) Tập hợp điểm K: Do OK  KB

Suy ra: OKB = 90

OB không đổi M di động  K nằm đường trịn đường kính OB Khi M ≡ O K ≡ O

Khi M ≡ B K điểm cung AB Vậy quỹ tích điểm K

4đường trịn đường kính OB

Bài tập 12: Cho đường trịn (O) đường kính AB dây CD vng góc với AB F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt CD E

a) Chứng minh: AM phân giác góc CMD b) Chứng minh: Tứ giác EFBM nội tiếp

c) Chứng tỏ: AC2 = AE.AM

d) Gọi giao điểm CB với AM N; MD với AB I Chứng minh: NI // CD e) Chứng minh: N tâm đường tròn nội tiếp CIM

Hướng dẫn

Ta phải chứng minh N giao điểm đường phân giác CIM Theo chứng minh, ta có MN phân giác CMI 

Do MNIB nội tiếp (cmt)  NIM NBM (cùng chắn cung MN) Góc MBC MAC (cùng chắn cung CM)

Ta lại có:



CAN90 (góc nội tiếp ACB900);



NIA90 (vì NIB 90 0) Suy ra: ACNI nội tiếp

 CAN CIN (cùng chắn cung CN)

 CIN NIM

 IN phân giác CIM 

Vậy N tâm đường tròn nội tiếp ICM

Bài tập 13: Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB;AC cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE

a) Chứng minh: A; B; H; O; C nằm đường tròn b) Chứng minh: HA phân giác góc BHC 

c) Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh: AB2 = AI.AH d) Kẻ BH cắt (O) K Chứng minh: AE//CK

Bài tập 14: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; xy tiếp tuyến với (O) B CD đường kính Gọi giao điểm AC; AD với xy theo thứ tự M; N

a) Chứng minh: Tứ giác MCDN nội tiếp b) Chứng tỏ: AC.AM = AD.AN

c) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN H trung điểm MN Chứng minh: AOIH hình bình hành

d) Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O I di động đường nào? Hướng dẫn

d) Quỹ tích điểm I:

Do AOIH hình bình hành Suy ra: IH = AO = R không đổi

 CD quay xung quanh O I nằm đường thẳng song song với xy cách xy khoảng R

Bài tập 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D điểm cung nhỏ BC Kẻ DE; DF; DG vng góc với cạnh AB; BC; AC Gọi H hình chiếu D lên tiếp tuyến Ax (O)

a) Chứng minh: Tứ giác AHED nội tiếp

b) Gọi giao điểm AH với HB với (O) P Q; ED cắt (O) M Chứng minh: HA.DP = PA.DE

c) Chứng minh: QM = AB

d) Chứng minh: DE.DG = DF.DH

e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng (đường thẳng Sim sơn) Hướng dẫn

e) Chứng minh: E; F; G thẳng hàng:

Ta có: BFE BDE (cmt) GFC CDG (cmt) Do ABCD nội tiếp

Suy ra: BAC BMC 180 Do GDEA nội tiếp

 EDG BDC

Mà EDG  EDB BDG   BCDBDG CDG

 EDB CDG

 GFC BEF

Vậy E; F; G thẳng hàng

Bài tập 16: Cho tam giác ABC có A = 900; AB < AC Gọi I trung điểm BC Qua I kẻ IK

BC (K nằm BC) Trên tia đối tia AC lấy điểm M cho MA = AK

a) Chứng minh: Tứ giác ABIK nội tiếp đường tròn (O) b) Chứng minh: BMC2ACB

c) Chứng tỏ rằng: BC2 = 2AC.KC

d) Kéo dài AI cắt đường thẳng BM N Chứng minh AC = BN e) Chứng minh: Tứ giác NMIC nội tiếp

Bài tập 17: Cho (O) đường kính AB cố định Điểm C di động nửa đường tròn Tia phân giác ACB cắt (O) tai M Gọi H; K hình chiếu M lên AC AB 

a) Chứng minh: Tứ giác MOBK nội tiếp b) Chứng minh: Tứ giác CKMH hình vuông c) Chứng minh: Ba điểm H; O; K thẳng hàng

d) Gọi giao điểm HK CM I Khi C di động nửa đường trịn I chạy đường nào? Hướng dẫn

c) Chứng minh: Ba điểm H, O, K thẳng hàng Gọi I giao điểm HK MC

Do MHCK hình vng

 HK  MC trung điểm I MC Do I trung điểm MC

 OI  MC (t/c đường kính dây cung) Vậy HI  MC; OI  MC KI  MC Suy ra: H; O;I thẳng hàng

d) Do OIM900; OM cố định

Suy ra: I nằm đường trịn đường kính OM Giới hạn:

Khi C  B I  Q; Khi C  A I  P

Vậy C di động nửa đường trịn (O) I chạy cung trịn PHQ đường trịn đường kính OM

Bài tập 18: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều rộng BC = a Kẻ tia phân giác ACD Từ A hạ AH vng góc với đường phân giác nói 

a) Chứng minh: Tứ giác AHDC nội tiếp đường trịn (O) Khi xác định tâm bán kính đường tròn theo a

b) Kẻ HB cắt AD I cắt AC M; HC cắt DB N Chứng tỏ rằng: HB = HC AB.AC = BH.BI

c) Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến H (O)

d) Từ D kẻ đường thẳng song song với BH; đường cắt HC K cắt (O) J Chứng minh: Tứ giác HOKD nội tiếp

Bài tập 19: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, bán kính OC  AB Gọi M điểm cung BC Kẻ đường cao CH ACM

a) Chứng minh: Tứ giác AOHC nội tiếp

c) Gọi giao điểm OH với BC I MI cắt (O) D Chứng minh rằng: Tứ giác CDBM hình thang cân

d) Kẻ BM cắt OH N Chứng minh: BNI ∽AMC Từ suy ra: BN.MC = IN.MA

Bài tập 20: Cho ABC nội tiếp (O; R) Trên cạnh AB AC lấy hai điểm M; N cho BM = AN

a) Chứng tỏ rằng: OMN cân

b) Chứng minh: Tứ giác OMAN nội tiếp

c) Kéo dài BO cắt AC D cắt (O) E Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2

d) Đường thẳng CE AB cắt F Tiếp tuyến A (O) cắt FC I; AO kéo dài cắt BC J Chứng minh: BI qua trung điểm AJ

Hướng dẫn

c) Chứng minh: BC2 + DC2 = 3R2 Do BO phân giác 

 BO  AC hay BOD vuông D Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có:

BC2 = DB2 + CD2 = (BO + OD)2 + CD2= BO2 + 2.OB.OD + OD2 + CD2 (1) Mà OB = R

AOC cân O có  OAC30

 

AOC 120  AOE600

AOE tam giác đều, có AD  OE  OD = ED = R Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có: OD2

= OC2 - CD2 = R2 - CD2 (2) Từ (1) (2), suy ra: BC2

= R2 + 2.R.R + CD

2

- CD2 = 3R2

Bài tập 21: Cho ABC, (A = 900) nội tiếp đường tròn (O) Gọi M trung điểm cạnh AC Đường trịn (I) đường kính MC cắt cạnh BC N cắt (O) D

a) Chứng minh: Tứ giác ABNM nội tiếp CN.AB = AC.MN b) Chứng tỏ rằng: B, M, D thẳng hàng OM tiếp tuyến (I)

c) Tia IO cắt đường thẳng AB E Chứng minh: Tứ giác BMOE hình bình hành d) Chứng minh: NM phân giác AND 

Bài tập 22: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi I điểm đường chéo AC Qua I kẻ đường thẳng song song với AB; BC Các đường cắt AB; BC; CD; DA P; Q; N; M

a) Chứng minh: Tứ giác INCQ hình vng b) Chứng tỏ rằng: NQ // DB

c) Kéo dài BI cắt MN E; MP cắt AC F Chứng minh: Tứ giác MFIN nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn

d) Chứng tỏ tứ giác MPQN nội tiếp Tính diện tích theo a e) Chứng minh: Tứ giác MFIE nội tiếp

Bài tập 23: Cho hình vng ABCD Gọi N trung điểm DC; Kẻ BN cắt AC F Vẽ đường tròn (O) đường kính BN (O) cắt AC E Kéo dài BE cắt AD M; MN cắt (O) I

a) Chứng minh: Tứ giác MDNE nội tiếp b) Chứng tỏ rằng: BEN vuông cân

c) Chứng minh: MF qua trực tâm H BMN d) Chứng minh: BI = BC IEF vuông

e) Chứng minh: FIE tam giác vuông

a) Chứng minh: Tứ giác AMHK nội tiếp b) Chứng minh: JA.JH = JK.JM

c) Từ C kẻ tia Cx  AC Cx cắt AH kéo dài D Vẽ HI  DB HN  DC Chứng minh rằng:  

HKMHCN

d) Chứng minh: M; N; I; K nằm đường tròn

Bài tập 25: Cho ABC (A = 900) Đường cao AH Đường trịn tâm H, bán kính HA cắt đường thẳng AB D cắt AC E; Trung tuyến AM ABC cắt DE I

a) Chứng minh: D; H; E thẳng hàng

b) Chứng minh: Tứ giác BDCE nội tiếp Xác định tâm O đường tròn c) Chứng minh: AM  DE

d) Chứng minh: Tứ giác AHOM hình bình hành

Bài tập 26: Cho ABC có góc nhọn Đường cao AH Gọi K điểm đối xứng H qua AB; I điểm đối xứng H qua AC Gọi E; F giao điểm KI với AB AC

a) Chứng minh: Tứ giác AICH nội tiếp b) Chứng minh: AI = AK

c) Chứng minh: Các điểm A; E; H; C; I nằm đường tròn d) Chứng minh: CE; BF đường cao ABC

e) Chứng tỏ giao điểm đường phân giác HFE trực tâm ABC

Bài tập 27: Cho ABC, (AB = AC) nội tiếp (O) Gọi M điểm cung nhỏ AC Trên tia BM lấy MK = MC tia BA lấy AD = AC

a) Chứng minh: BAC2BKC

b) Chứng minh: Tứ giác BCKD nội tiếp Xác định tâm đường tròn c) Gọi giao điểm DC với (O) I Chứng minh: B; O; I thẳng hàng d) Chứng minh: DI = BI

Bài tập 28: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O) Gọi I điểm cung AB (cung AB không chứa điểm C; D) IC ID cắt AB M; N

a) Chứng minh: D; M; N; C nằm đường tròn b) Chứng minh: NA.NB = NI.NC

c) Kéo dài DI cắt đường thẳng BC F; đường thẳng IC cắt đường thẳng AD E Chứng minh: EF // AB

d) Chứng minh: IA2 = IM.ID

Bài tập 29: Cho hình vng ABCD, cạh BC lấ để E Dựng tia Ax  AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI AEF Kéo dài AIcắt CD K Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI G

a) Chứng minh: Tứ giác AECF nội tiếp b) Chứng minh: AF2 = KF.CF

c) Chứng minh: Tứ giác EGFK hình thoi

d) Chứng minh rằng: Khi E di động BC EK = BE + DK chu vi CKE có giá trị khơng đổi

e) Gọi giao điểm EF với AD J Chứng minh: GJ  JK Hướng dẫn

d) Chứng minh: EK = BE + DK Xét ADF ABE có:

AD = AB;

AF = AE (AEF vuông cân)

ADF = ABE

 BE = DF

Mà FD + DK = FK FK = KE (t/c hình thoi)

Chứng minh chu vi CKE không đổi:

Gọi chu vi C = KC + EC + KE = KC + EC + BE + DK = (KC + DK) + (BE + EC) = 2BC không đổi

e) Chứng minh: IJ  JK Do JIKJDK900

 Tứ giác IJDK nội tiếp

 JIKIDK (cùng chắn cung IK),



IDK45 (t/c hình vuông)

 

JIK45 JIK vuông cân I

 JI = IK, mà IK = GI

 JI = IK = GI =

GK

GJK vuông J hay GJ  JK

Bài tập 30: Cho ABC Gọi H trực tâm tam giác Dựng hình bình hành BHCD Gọi I giao điểm HD BC

a) Chứng minh: Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn tâm O, nêu cách dựng (O) b) So sánh BAH  OAC 

c) Kẻ CH cắt OD E Chứng minh: AB.AE = AH.AC

d) Gọi giao điểm AI OH G Chứng minh: G trọng tâm ABC Bài tập 31: Cho đường tròn (O) 

AB90 C để tuỳ ý cung lớn AB Các đường cao AI; BK; CJ ABC cắt H Kẻ BK cắt (O) N; AH cắt (O) M BM AN gặp D

a) Chứng minh: B; K; C; J nằm đường tròn b) Chứng minh: BI.KC = HI.KB

c) Chứng minh: MN đường kính đường tròn (O) d) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình bình hành e) Chứng minh: OC // DH

Bài tập 32: Cho hình vng ABCD Gọi N để CD cho CN < ND; Vẽ đường trịn tâm O đường kính BN Đường tròn (O) cắt AC F; BF cắt AD M; BN cắt AC E

a) Chứng minh: BFN vuông cân b) Chứng minh: MEBA nội tiếp

c) Gọi giao điểm ME NF Q Kẻ MN cắt (O) P Chứng minh: B; Q; P thẳng hàng

d) Chứng tỏ: ME // PC BP = BC e) Chứng minh: FPE tam giác vuông

Bài tập 33: Trên đường tròn tâm O lấy bốn để A; B; C; D cho AB = DB.AB CD cắt ởc E Kẻ BC cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) Q; DB cắt AC K

a) Chứng minh: CB phân giác ACE  b) Chứng minh: Tứ giác AQEC nội tiếp c) Chứng minh: KA.KC = KB.KD d) Chứng minh: QE // AD

Bài tập 34: Cho (O) tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy hai để B C cho AB = BC Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn Kẻ CE CF cắt (O) M N Dựng hình bình hành AECD

e) Gọi giao điểm AF với MN I Chứng minh rằng: DF qua trung điểm NI

Bài tập 35: Cho (O; R) đường kính AB; CD vng góc với Gọi M điểm cung nhỏ CB

a) Chứng minh: Tứ giác ACBD hình vng

b) Kẻ AM cắt CD; CB P I Gọi J giao điểm DM AB Chứng minh: IB.IC = IA.IM

c) Chứng tỏ rằng: IJ // PD IJ phân giác CJM  d) Tính diện tích AID theo R

Hướng dẫn

d) Tính diện tích AID theo R:

 SIAD = SCAD Mà SACD =

2

SABCD

 SIAD =

2

SABCD.SABCD =

1 AB.CD (diện tích có đường chéo vng góc)

 SABCD =

2

2R.2R = 2R2

 SIAD = Rb)

Bài tập 36: Cho (O; R) Một cát tuyến xy cắt (O) E F Trên xy lấy điểm A nằm đoạn EF Vẽ tiếp tuyến AB AC với (O) Gọi H trung để EF

a) Chứng tỏ điểm: A; B; C; O; H nằm đường tròn

b) Đường thẳng BC cắt OA I cắt đường thẳng OH K Chứng minh: OI.OA = OH.OK = R2 c) Khi A di động xy I di động đường nào?

d) Chứng minh: KE KF hai tiếp tuyến (O)

Bài tập 37: Cho ABC (A = 900); AB = 15; AC = 20 (cùng đơn vị đo độ dài) Dựng đường tròn tâm O đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Hai đường tròn (O) (O’) cắt điểm thứ hai D

a) Chứng tỏ D nằm BC

b) Gọi M để cung nhỏ DC AM cắt DC E cắt (O) N Chứng minh: DE.AC = AE.MC

c) Chứng minh: AN = NE O; N; O’ thẳng hàng d) Gọi I trung để MN Chứng minh: OIO '900 e) Tính diện tích AMC

Hướng dẫn c) Chứng minh: AN = NE

Do BA  AO’(ABC vuông A)

 BA tiếp tuyến (O’)

 sđAE =

2

sđAM  SđED = sđ

2

1  

MC AD

Mà MCDM MC AD  AM

 AED BAC

BAE cân B, mà BM  AE

 NA = NE

Chứng minh: O; N; O’ thẳng hàng:

 ON // BE OO’ // BE

 O, N, O’ thẳng hàng

Bài tập 38: Cho ABC đều, có cạnh a Gọi D giao điểm hai đường phân giác góc A góc B ABC Từ D dựng tia Dx  DB Trên Dx lấy điểm E cho ED = DB (D E nằm hai phía đường thẳng AB) Từ E kẻ EF  BC Gọi O trung điểm EB

a) Chứng minh: Tứ giác AEBC EDFB nội tiếp Xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác theo a

b) Kéo dài FE phía F, cắt (D) M Kẻ EC cắt (O) N Chứng minh: Tứ giác EBMC thang cân Tính diện tích c) Chứng minh: EC phân giác DAC 

d) Chứng minh: FD đường trung trực MB e) Chứng tỏ A; D; N thẳng hàng

f) Tính diện tích phần mặt trăng tạo cung nhỏ EB hai đường tròn Hướng dẫn

e) Chứng minh: A; N; D thẳng hàng:

Ta có: BND BED450 (cùng chắn DB )  ENB = 90 o (cmt); ENA góc ngồi  ANC

   

ENANAC CAN 45

   

ENA ENB BND 180  

 A, N, D thẳng hàng

f) Gọi diện tích mặt trăng cần tính S Ta có: S = Snửa (O) - Sviên phân EDB

S(O) = .OE2 = 

2 a 6         = a     O a S 12  

Squạt EBD =

2 o o BD 90 360  = 2

a a

4 12

 

  

 

 

 

SEBD =

2

DB2 = a

6

Sviên phân = Squạt EBD - SEDB = a 12  -2 a = a ( 2)

12   S = a 12  -2 a ( 2)

12   = a

Bài tập 39: Cho hình vng ABCD, E điểm thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K

a) Chứng minh: Tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính CHK 

c) Chứng minh: KC.KD = KH.KB

d) Khi E di động BC H di động đường nào? Hướng dẫn

d) Do BHD900không đổi

Bài tập 40: Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Gọi C điểm thuộc đường trịn (C 

A B) Hai điểm M, N điểm cung nhỏ AC BC Các đường thẳng BN AC cắt I, dây cung AN BC cắt P

a) Chứng minh: Tứ giác ICPN nội tiếp Xác định tâm K đường tròn ngoại tiếp tứ giác b) Chứng minh: KN tiếp tuyến đường tròn (O; R)

c) Chứng minh C di động đường trịn (O; R) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định

Hướng dẫn

c) Chứng minh C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định:

Ta có AM = MC (gt) nên   AOM = MOC   Vậy OM phân giác AOC 

Tương tự ON phân giác COB , mà  AOC  COB kề bù nên  MON = 90  Vậy tam giác MON vuông cân O

Kẻ OH  MN, ta có OH = OM.sinM = R 2 =

R

2 không đổi

Vậy C di động đường trịn (O) đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định O; R

2

 

 

 

 

Bài tập 41: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Trên đường trịn (O; R) lấy điểm M cho



MAB = 60 Vẽ đường tròn (B; BM) cắt đường tròn (O; R) điểm thứ hai N a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM)

b) Kẻ đường kính MI đường trịn (O; R) MJ đường tròn (B; BM) Chứng minh N, I J thẳng hàng JI.JN = 6R2

c) Tính phần diện tích hình trịn (B; BM) nằm bên ngồi đường tròn (O; R) theo R Hướng dẫn

b) Chứng minh: N; I; J thẳng hàng JI.JN = 6R2

 

MNI = MNJ = 90 (các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn tâm O tâm B) Nên IN MN JN  MN

Vậy ba điểm N; I J thẳng hàng

MJI có BO đường trung bình nên IJ = 2BO = 2R

AMO cân O (vì OM = OA), 

MAO = 60 nên MAO

AB  MN H (tính chất dây chung hai đường trịn (O) (B) cắt nhau) Nên OH = 1OA =1R

2

Vậy HB = HO + OB = R + R =3R

2

3R NJ = = 3R

2



Vậy JI.JN = 2R.3R = 6R2

c) Tính diện tích phần hình trịn (B; BM) nằm ngồi đường tròn (O; R) theo R: Gọi S diện tích phần hình trịn nằm (B; BM) nằm bên ngồi hình trịn (O; R) S1 diện tích hình trịn tâm (B; BM)

S2 diện tích hình quạt MBN

Tính S1: MAB600MB 120 MB = R



Vậy: S1 = π R = 3πR  2 Tính S2:



MBN = 60  S2 =  

0

0 π R 60

360 =

2 πR

2 Tính S3: S3 = Squạt MOB – SMOB



MOB = 120  Squạt MOB =

2

0

πR 120 πR =

360

OA = OB  SMOB =

2SAMB = 1

.AM.MB

2 =

1

R.R

4 =

2

R

4 Vậy S3 =

2 πR

3

R

-4 = S4 (do tính chất đối xứng) Từ S = S1 - (S2 + 2S3) =

2 3πR –

2 2

πR 2πR R

+

-2

 

 

 

  =

2

11πR + 3R

6 (đvdt)

Bài tập 42: Cho ba điểm A, B, C nằm đường thẳng xy theo thứ tự Vẽ đường trịn (O) qua B C Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM AN Gọi E F trung điểm BC MN

a) Chứng minh AM2 = AN2 = AB AC

b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) I Chứng minh IN // AB

c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm đường thẳng cố định đường tròn (O) thay đổi

Bài tập 43: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R dây MN có độ dài bán kính (M thuộc cung AN) Các tia AM BN cắt I Các dây AN BM cắt K

a) Tính MIN  AKB 

b) Tìm quỹ tích điểm I quỹ tích điểm K dây MN thay đổi vị trí c) Chứng minh I trực tâm tam giác KAB

d) AB IK cắt H Chứng minh HA.HB = HI.HK

e) Với vị trí dây MN tam giác IAB có diện tích lớn nhất? Tính giá trị diện tích lớn theo R

Bài tập 44: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N

a) Chứng minh AC + BD = CD b) Chứng minh: COD900 c) Chứng minh: AC.BD =

2 AB

4 d) Chứng minh: OC // BM

e) Chứng minh: AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD f) Chứng minh: MN  AB

g) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn

g) Ta có:

Chu vi tứ giác: ACDB = AB + AC + CD + BD Mà AC + BD = CD

Mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ

Và CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB

Suy ra: M phải trung điểm cung AB

Bài tập 45: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP gọi K trung điểm NP Kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB

a) Chứng minh: Tứ giác AMBO nội tiếp

b) Chứng minh: Năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2

d) Chứng minh: Tứ giác OAHB hình thoi e) Chứng minh: Ba điểm O, H, M thẳng hàng

f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn

e) Theo OAHB hình thoi

Suy ra: OH  AB; theo OM  AB

Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi

Suy ra: AH = AO = R

Vậy M di động d H di động cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường trịn tâm A bán kính AH = R

Bài tập 46: Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N

a) Chứng minh: AC + BD = CD b) Chứng minh: COD900 c) Chứng minh: AC BD =

2 AB

4 d) Chứng minh: OC // BM

e) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD e) Chứng minh: MN  AB

f) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn

f) Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD Suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi

Chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ

Mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By, tức CD vuông góc với Ax By Khi CD // AB  M phải trung điểm cung AB

Bài tập 47: Cho đường tròn (O; R), từ điểm A (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường thẳng d lấy điểm M (M khác A) kẻ cát tuyến MNP Gọi K trung điểm NP, kẻ tiếp tuyến MB (B tiếp điểm) Kẻ AC  MB, BD  MA Gọi H giao điểm AC BD, I giao điểm OM AB

a) Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp

b) Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B nằm đường tròn c) Chứng minh: OI.OM = R2; OI IM = IA2

d) Chứng minh OAHB hình thoi

f) Tìm quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d Hướng dẫn

e) Theo OAHB hình thoi Suy ra: OH  AB; theo OM  AB Suy ra: O, H, M thẳng hàng (vì qua O có đường thẳng vng góc với AB) f) Theo OAHB hình thoi Suy ra: AH = AO = R

Vậy M di động d H di động ln cách A cố định khoảng R Do quỹ tích điểm H M di chuyển đường thẳng d nửa đường tròn tâm A bán kính AH = R

Bài tập 48: Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax lấy tiếp tuyến điểm P cho AP > R Từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với (O) M

a) Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp đường tròn b) Chứng minh BM // OP

c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt tia BM N Chứng minh tứ giác OBNP hình bình hành

d) Biết AN cắt OP K, PM cắt ON I; PN OM kéo dài cắt J Chứng minh I, J, K thẳng hàng

Hướng dẫn

d) Tứ giác OBNP hình bình hành Suy ra: PN // OB hay PJ // AB Mà ON  AB  ON  PJ

Ta có PM  OJ (PM tiếp tuyến )

Mà ON PM cắt I nên I trực tâm tam giác POJ Dễ thấy tứ giác AONP hình chữ nhật

Vì có   

PAOAONONP90

Suy ra: K trung điểm PO (tính chất đường chéo hình chữ nhật) (6) Ta có: AONP hình chữ nhật  APO NOP (so le) (7) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt thì:

PO tia phân giác góc APMAPO MPO (8) Từ (7) (8) IPO cân I có IK trung tuyến đông thời đường cao

Suy ra: IK  PO (9)

Từ (6) (9)  I, J, K thẳng hàng

Bài tập 49: Cho đường trịn (O) bán kính R có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (M khác O) CM cắt (O) N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn P Chứng minh :

a) Tứ giác OMNP nội tiếp

b) Tứ giác CMPO hình bình hành

c) CM CN khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

d) Khi M di chuyển đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định Hướng dẫn

d) Dễ thấy OMC = DPO (c.g.c) Suy ra: ODP900

Suy ra: P chạy đường thẳng cố định vng góc với CD D

Vì M chạy đoạn thẳng AB nên P chạy doạn thẳng A’B’ song song AB Bài tập 50: Cho ABC vuông A.và điểm D nằm A B Đường trịn đường kính BD cắt BC E Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn F, G

a) Chứng minh: ABC ∽ EBD

b) Chứng minh: Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp c) Chứng minh: AC // FG

Hướng dẫn

d) Dễ thấy CA, DE, BF ba đường cao DBC nên CA, DE, BF đồng quy S

Bài tập 51: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B); đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) C D Gọi I giao điểm AD BC

a) Chứng minh MCID tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy I

c) Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID Chứng minh KCOH tứ giác nội tiếp

Bài tập 52: Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường trịn phía hình vng Lấy AB làm đường kính, vẽ 1/2 đường trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC (không trùng với A C) H K hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đường tròn I M

a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH

d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang cân

e) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB

Bài tập 53: Cho đường tròn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đường kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đường tròn (O) C

a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp

b) Chứng minh tích MC MD có giá trị khơng đổi D di động dây AB

c) Gọi O' tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh rằng: MAB 1AO ' D



d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD

Bài tập 54: Cho tam giác vuông cân ABC (A = 90 0), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D tia AC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tương ứng M, N, P a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đường tròn

b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng

c) Gọi giao điểm tia BO với MN, NP H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao? d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC

Bài tập 55: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) (O') C C' Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) (O') D D'

a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp

c) Đường thẳng CD đường thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp

Bài tập 56: Từ điểm C ngồi đường trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đường kính vng góc với AB Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) M, N

a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D

b) Chứng minh tiếp tuyến đường tròn (O) M, N qua trung điểm E CD

Bài tập 57: Cho hai đường tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R > R' ) Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đường trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đường tròn (O') D

a) Tứ giác BEFC hình gi?

b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng

c) CF cắt đường tròn (O’) G Chứng minh ba đường EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’)

a) MAB tam giác gì?

b) Chứng minh: MC tiếp tuyến chung (O) (O’)

c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh: D, N, C thẳng hàng

d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trịn đường kính AB OO’ Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn I, K Chứng minh OI // AK

Bài tập 59: Cho đường tròn (O ; R) Đường thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K

a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD

c) Chứng minh IC phân giác tam giác AIB

d) A, B, C cố định, (O) thay đổi qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định

Bài tập 60:Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN

c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn

Bài tập 61: Cho (O; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C

a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K

b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh: MA.MB = MI.MN

d) Chứng minh: IM.IN = IA2

Bài tập 62: Cho nửa đường trịn đường kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN

a) So sánh AMC BCN b) CMN tam giác gì?

c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành

d) Đường thẳng d qua N vng góc với BM Chứng minh d qua điểm cố định

Bài tập 63: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD

a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đường tròn b) Gọi H trực tâm MAB, tứ giác OAHB hình gì?

c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua điểm cố định

d) Đường thẳng qua C vng góc với OA cắt AB, AD E K Chứng minh: EC = EK Bài tập 64: Cho ABC cân (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O) M điểm di động đường trịn Gọi D hình chiếu B AM P giao điểm BD với CM

a) Chứng minh BPM cân

b) Tìm quỹ tích điểm D M di chuyển đường tròn (O)

Bài tập 65: Đường tròn (O ; R) cắt đường thẳng d hai điểm A, B Từ điểm M d ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến MP, MQ

a) Chứng minh rằng: QMO QPO đường tròn ngoại tiếp MPQ qua hai điểm cố định M di động d

b) Xác định vị trí M để MQOP hình vng?

c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn nội tiếp MPQ M di động d

a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp

b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào?

c) Tìm vị trí d để PQB có chu vi lớn

Bài tập 67: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật

Bài tập 68: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ 25 cm2 Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phương

Bài tập 69: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm



A ' AC'60 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật

Bài tập 70: Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300

Bài tập 71: Cho ABC cạnh a Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G ABC Trên đường thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC

a) Chứng minh rằng: SA = SB = SC

b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a

Bài tập 72: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đường cao a 2 a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác

b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp

Bài tập 73: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp

b) Tính thể tích hình chóp

Bài tập 74: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15cm thể tích 1280cm3 a) Tính độ dài cạnh đáy

b) Tính diện tích xung quanh hình chóp

Bài tập 75: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt

Bài tập 76: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)

a) Tính thể tích hình chóp

b) Chứng minh bốn mặt bên tam giác vng c) Tính diện tích xung quanh hình chóp

Bài tập 77: Một hình trụ có đường cao đường kính đáy Biết thể tích hình trụ 128cm3, tính diện tích xung quanh

Bài tập 78: Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65cm2 Tính thể tích hình nón

Bài tập 79: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đường cao 12cm đường sinh 13 cm

a) Tính bán kính đáy nhỏ

b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt

Trường Athena aRafaeln g compa thước kẻ nhau diện tích hình học Euclid tứ giác nội tiếp đường tròn. Định lý nhà toán học thiên văn học Hy Lạp cổ đại Ptolemy góc nội tiếp: tam giác