10 bai tap chuyen de cưc tri hinh hoc

c Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất.. c Xác định vị trí của M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.. Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AE

BÀI TẬP CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm H di chuyển trên BC Gọi E, F lần lượt là

điểm đối xứng của H qua AB, AC

a) Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng

b) Tứ giác BECF là hình gì? Tìm vị trí của H để tứ giác BECF là hình bình hành? c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất

Bài 2 Cho hình vuông ABCD M là một điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF

vuông góc với AB và AD

a) Chứng minh DE CF và DECF

b) Chứng minh DE, BF và Cm đồng quy

c) Xác định vị trí của M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất

Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên cạnh AD và CD lần lượt lấy các điểm M và

N sao cho AE EF FA   2a

a) Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

b) Tìm vị trí của E và F sao cho diện tích CEF lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a cố định M là một điểm di động trên

đường chéo AC Gọi E và E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và BC Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích tam giác DEF nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó?

Bài 5 Cho đường tròn (O;R) cố định AC là một đường kính cố định Đường kính BD

thay đổi không trùng với AC

a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì Sao?

b) Xác định vị trí của BD để cho tứ giác ABCD có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất theo R?

c) Chứng minh rằng, lúc ABCD có diện tích lớn nhất thì chu vi của tứ giác ABCD cũng lớn nhất

Bài 6 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là

đường thẳng AB có chứa nửa đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến Ax và By M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, tiếp tuyến này cắt Ax và

By lần lượt tại D và E

a) Chứng minh tam giác DOE là tam giác vuông

b) Chứng minh: AD BE R2

c) Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 7 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 Lấy D bất kỳ trên BC Gọi r1, r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và tam giác ADC Xác định vị trí của D để tích r1r2 lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?

Bài 8 Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Qua A vẽ hai tia vuông góc

với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C Xác định vị trí của các tia đó để  ABC có diện tích lớn nhất

Bài 9 Cho đường tròn (O;R) đường kính BC, A là một điểm di động trên đường tròn Vẽ

tam giác đều ABM có A và M nằm cùng phía đối với BC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB Gọi D, E , F, G theo thứ tự là trung điểm của OC, CM, MH, OH Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất

Bài 10 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa

A và không trùng với B,C Gọi H, I, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC, AC, AB Đặt BC = a, AC = b, AB = c, DH = x, DI = y, DK = z

a) Chứng minh rằng :

b c a

y z x

b) Tìm vị trí của điểm D để tổng

a b c

x  y z nhỏ nhất

-HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1

M Q

P

F

D

E I

A

a) Ta có:

 

IAE IAH FAD DAH







 ( Vì AB là trung trực của HE, AC là trung trực của HF)

Dễ dàng suy ra: EAB BAC C   AF 180  0

Vậy 3 điểm E, A, F thẳng hàng

b) Ta có: EAH FCH  2(ABC ACB ) 180 0 nên FC//BE hay tứ giác BEFC là hình thang

Để BEFC là hình bình hành thì BE CF  BH HChay H là trung điểm của BC c) Giả sử H gần B hơn Ta có SEHF 2S AIHD(AIHD là hình chữ nhật)

Dựng hình chữ nhật HPQD bằng hình chữ nhật AIHD Khi đó: SEHF S AIPQ

  nên SEHF S ABMQ SABC

Tương tự với H gần C hơn

Vậy Khi H di chuyển ta có: SEHF SABC Tại vị trí H là trung điểm BC ta có

EHF ABC

S S Vậy khi H là trung điểm của Bc thì tam giác EHF có diện tích lớn nhất

Bài 2.

 Hình vẽ:

H N

F

A

M

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật: AE = MF Tam giác MFD vuông cân: FM=FD suy ra AE = FD

AED DFC

  nên DE=CF và ADE DCF  NDF NFD  900

Do đó:FND=90 0hay DECF

b) Chứng minh tương tự câu a ta có EC BF

Do BD là trung trực của AC nên MA = MC, có MA = EF do đó MC = EF

( )

  nên FED MCF Lại có FED EFC   900 vì thế

  90 0

MCF EFC  do đó nếu gọi H là giao điểm của CM với EF thì CHF  900 hay

CM EF DE, BF và CM là 3 đường cao trong tam giác CEF nên đồng quy

c) Chu vi tứ giác AEMF = 2a không đổi nên ME MF a  không đổi Do đó tích ME.MF (tức là S AEMF) lớn nhất khi và chỉ khi ME = MF, tức là MEAF là hình vuông, khi đó M trùng với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Bài 3

K B

A

C D

E

F

a) Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho DF = BK  CDFCBK suy ra

DCF BCK FCK 900

AE+EF+FA = 2a = AD+AB

Mà AD = AF+FD, AB = AE+EB

EF ( )

EF FD EB EB BK EK C CEK c c c CEF CEK

Vẽ CI EF   CIE= CBE   CI=CB=a Vậy EF luôn: tiếp xúc với (C;a)

b) Ta có:

ABCD CEF CDF CBE AEF CEF AEF CEF

S S S S S  S S  S   AE 

Do đó

2 EF

0

AF 0 2

C

AE a

M S   AE    

 hay E hoặc F trùng với A

Bài 4 Ta có hình vẽ:

F

A

M

Đặt AE = x, CF = y  MF = CF = y  x + y = a.

2

( )

D ABCD DAE DC

a

S S  S  S  S a    a  x y   

Ta có S DEF nhỏ nhất  xy lớn nhất

ax( )

xy     m xy 

a

x y

, khi đó M là trung điểm của AC

Và

m inS

2 2 4 8

DEF

Bài 5 Ta có hình vẽ:

D

C

O A

B

a) ABCD là hình chữ nhật

b)

2

ABCD

AB BC AC

Vậy M Sax ABCD 2R2khi AB = AC  AC BDkhi đó ABCD là hình vuông

c) Ta có: C ABCD 2(AB BC ) 2 2( AB2BC2) 2 2 AC2 4R 2 Vậy gtln của chu vi tứ giác ABCD là 4R 2khi AB = BC tức là ABCD là hình vuông

y E

D

B O

A

M

a) Theo tính chất OD là tia phân giác của AOM , OE là tia phân giác của BOM nên

 90 0

DOE 

b) Tam giác DOE vuông tại O có OM DE OM2 MD ME  R2 AD BE.

c)

.

.

DOE

Do đó S DOE nhỏ nhất  DE nhỏ nhất

Ta có DEABdo đó DEmin=2R khi DE//AB Lúc đó OM AB

Bài 7 Ta có hình vẽ:

1

x

E

A

Đặt BD=x ⇒CD=1−x Vẽ DE⊥ AB⇒ Δ BDE là nửa tam giác đều.

⇒BE= x

x√3

2 Xét Δ DEA vuông tại E

⇒AD 2=AE 2+DE2=(1−x

2)2+(x√23)2

⇒AD 2=x2−x+ 1 Ta có: S ABD=r1

AB+BD+DA

2 mà S ABD=

DE AB

x√3 4

⇒r1(1+x +√x2 −x +1)

x√3

4 ⇒r1 =√3

2 .

x 1+ x+√x2−x+1

Tương tự xét Δ ADC

⇒r2=√3

2 .

1−x 2−x+√x2−x+1

⇒r1r2= 3

4.

x (1−x )

(1+x+√x2

−x+1 )(2−x +√x2

−x +1)

r1r2=1

4.(1−√x2−x+1)=1

4.(1−√(x−1

2)

2+3

4)≤1

4.(1−√3

2 )

Vậy Max(r1r2)=

2−√3

8 khi D là trung điểm của BC.

Bài 8 Ta có hình vẽ:

α α

E D

B

C

Kẻ OD  AB ; O’E  AC ta có:

S ABC =

1

2 AB.AC =

1

2 2AD.2AE= 2.AD.AE Đặt OA =R ; O’A = r ;AOD O AE ' 

AD = R sin ; AE = r cos

S ABC = Rr 2sin cos

2sin Cos  sin 2 + cos 2 =1

 S ABC  Rr

Do đó :

max S ABC = Rr  sin = cos  sin = sin( 90 0

  )   = 90 0    = 45 0

Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc

OAB O AC 45  thì  ABC có diện tích lớn nhất

Bài 9 Ta có hình vẽ:

F

E

D H

M

C O

B

A

DEFG là hình bình hành.

Kẻ OI FH , ta có OI là đường trung bình của  BHC nên OI = ½ HC = GD

MO là đường trung trực của AB nên IMO 30  0  OI = ½ OM  GD = ½ OM

Mà ED = ½ OM  EG = GD

 DEFG là hình thoi

HFG HMO 30  EFG 60  0 EFG đều

 S DEFG =2S EFG = 2.

2

HC

3 2

2



2

BC

3 2

2

=

2

2

max S =

2

2  H ≡ B  MBC 90  0 ABC 30 0 AC = R.

Bài 10 Ta có hình vẽ:

H

I

K

O A

B

C

a) Lấy E trên BC sao cho CDE ADB 

CDE đồng dạng với  ADB

Tương tự BDE đồng dạng với  ADC







b)

x  y  z =

x  x =

2a

x Do đó S nhỏ nhất 

a

x nhỏ nhất  x lớn nhất  D≡M (M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)