Đang tải... (xem toàn văn)
Nhận xét về phương pháp giải: bằng cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm của đường chép EG, ta tính được chu vi của tứ giác EFGH bằng hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, đ[r]
(1)Chuyên đề cực trị hình học CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC THCS Phương pháp 1: Vận dụng quan hệ đường xiên và đường vuông góc Ví dụ 1.1: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H cho AE= BF= CG= DH Xác định vị trí các điểm E, F, G, H cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ E A B Giải: HAE= EBF(c-g-c) HE= EF F Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi O AHE BEF HAE= EBF còn suy 0 AEH 90 nênBEF AEH 90 Ta lại có AHE H 900 Như hình thoi EFGH là hình vuông Do đó: HEF Gọi O là giao điểm AC và EG Tứ giác AECG có AE= CG, G C D AE// CG nên là hình bình hành, suy O là trung điểm AC và EG, đó O là tâm cà hai hình vuông ABCD và EFGH HOE vuông cân: HE 2.OE HE OE Chu vi EFGH= 4.HE= OE Do đó chu vi EFGH nhỏ OE nhỏ Kẻ OK AB Theo quan hệ đường vuông góc và đường xiên: OE OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK E K Do đó OE= OK Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ và E, F, G, H là trung điểm AB, BC, CD, DA Nhận xét phương pháp giải: cách giải trên có các biến đổi tương đương sau: Chu vi EFGH nhỏ HE nhỏ OE nhỏ Quan hệ OE OK (OK không đổi) cho phép ta xác định vị trí điểm E để OE có độ dài nhỏ Ví dụ 1.2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ phía AB các tia Ax và By vuông góc với AB Qua trung điểm M AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với và cắt Ax, By theo thứ tự C, D Xáx định vị trí các điểm C, D cho tam giác MCD có diện tích nhỏ y Giải: Gọi K là giao điểm CM và DB D MAC= MBK(g-c-g) MC= MK x DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, H MDB suy HDM Kẻ MH CD Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= C MB= a S MCD CD.MH Do CD AB= 2a và MH= a nên: S MCD A a M a B 2a.a a 2 450 S MCD a CD Ax Khi đó AMC 450 , BMD K Vậy S MCD a Các điểm C, D xác định trê Ax, By cho AC= BD= a (2) Chuyên đề cực trị hình học Ví dụ 1.3: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC Xác định vị trí điểm D cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn Giải: A Gọi S là diện tích ABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có: S ABD S ACD S Kẻ BE AD, CF AD ta có : nên BE+ CF = 1 AD.BE AD.CF S 2 2S AD E B H D Do đó BE + CF lớn AD nhỏ F Đường xiên AD nhỏ hình chiếu HD nhỏ Ta có HD HB ( ABD 900 ) và HD = HB và DB Như D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có giá trị lớn Ví dụ 1.4: Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình hành Gọi B’, C’, D’, là hình chiếu vuông góc các điểm B, C, D trên đường thẳng d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn Giải: Gọi O là giao điểm AC và BD B' O’ là hình chiếu vuông góc O trên d C' O' DD ' d , BB ' d DD '/ / BB ' DD’B’B là hình thang A Mà OO ' d , DD ' d OO '/ / DD ' và O là trung điểm BD D' (ABCD là hình bình hành) d O Do đó OO’ là đường trung bình hình thang DD’B’B BB ' DD ' BB ' DD ' 2.OO ' D OO ' d , CC ' d OO '/ /CC ' và O là trung điểm AC (ABCD là hình bình hành) CC ' Do đó OO’ là đường trung bình cùa ACC’ OO ' CC ' 2.OO ' A d , OO ' d nên OO’ OA Do đó BB’ + CC’ + DD’ = 4.OO’ 4.OA ( không đổi) Dấu “=” xảy O’ A d vuông góc AC A OO ' C B C Phương pháp 2: Quan hệ đoạn thẳng và đường gấp khúc Ví dụ 2.1: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ Giải: A F Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm EF, EG và GH AEF vuông A có AI là trung tuyến AI= EF B I E K Tương tự MC= GH G IK là đường trung bình EFG IK= FG D H C Tương tự KM= EH Do đó: chu vi EFGH= MEF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC) Ta lại có: AI + IK + KM + MC AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc) Suy ra: chu vi EFGH 2AC ( không đổi) (3) Chuyên đề cực trị hình học Chu vi EFGH nhỏ 2AC A, I, K , M, C thẳng hàng Nhận xét phương pháp giải: cách vẽ trung điểm các cạnh EF, GH, và trung điểm đường chép EG, ta tính chu vi tứ giác EFGH hai lần độ dài đường gấp khúc AIKMC, độ dài đường gấp khúc trên nhỏ đường gấp khúc đó trở thành đoạn thẳng AC Ví dụ 2.2: Cho tam giác ABC nhọn Dựng tam giác có chu vi nhỏ nội tiếpABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh tam giác Giải: Cách 1: Xét tam giác MNP nội tiếp ABC cách tùy ý (M thuộc AB, N thuộc BC, P thuộc AC) Vẽ E, F cho AB là đường trung trực NE, AC là đường trung trực NF Chu vi MNP = NM + MP + PN = EM + MP + PF EF Ta cần xét nào thì EF nhỏ Ta có F A P M E N B 2 BAC EAF A1 A C EAF là tam giác cân có góc đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ và cạnh bên nhỏ EF nhỏ AE nhò AN nhỏ AN BC Như chu vi tam giác MNP nhỏ N là chân đường cao kẻ từ A, còn M và P là giao điểm cùa EF với AB, AC Ta có nhận xét N là chân đường cao kẻ từ A thì M và P là chân hai đường cao còn lại tam giác F CM: Xét HMP: AB là đường phân giác góc EMH, A P AC là đường phân giác ngoài góc FPH Ta có M AB, AC gặp A nên HA là tia phân giác góc MHP Vì AH HC nên HC là đường phân giác ngoài đỉnh H Theo trên AC là đường phân giàc ngoài đỉnh P, HC gặp AC C nên MC là tia phân E giác góc đỉnh M MB và MC là các tia phân giác các góc kề bù B H C nên MB MC Tương tự PC PB Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ M, N, P là chân ba đường cao tam giác ABC Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên tam giác Cách 2: Lấy M, N, P tùy ý trên AB, BC, CA và nối tâm O A đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với M, N, P x Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, S là diện tích tam giác SONCP OC NP SOPAM OA.PM P Khi đó: SOMBN OB.MN Do OA = OB = OC = R nên M B O N C S SOMBN SONCP SOPAM R.( MN NP PM ) 2S Do đó chu vi MNP R (4) Chuyên đề cực trị hình học Xảy đẳng thức và OA MP, OB MN, OC NP Ta CM đó thì AN, BP, CM là các đường cao tam giác ABC M ( cùng Thật vậy, giả sử OA MP, OB MN, OC NP Kẻ tiếp tuyến Ax Ta có C M Do đó M M suy M M Như MA là phân góc BAx) Chứng minh tương tự C 1 2 giác ngoài tam giác MNP Tương tự PA là đường phân giác ngoài tam giác MNP Suy NA là N nên NA BC đường phân giác góc MNP Ta lại có N Chứng minh tương tự BP AC , CM AB Tam giác MNP có chu vi nhò và N, P, M là chân các đường cao tam giác ABC Ví dụ 2.3: Cho tam giác ABC và trung điểm M AB Trước tiên An chọn điểm N trên BC, tiếp đó Bình chọn điểm P trên AC Mục tiêu An là muốn tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, còn Bình muốn tổng d nhỏ Hỏi hai có cách chọn tốt thì N và P là điểm nào? B Giải Vẽ các điểm D, E cho AC là đường trung trực MD, BC là đường trung trực ME Độ dài đường gấp khúc DPNE d Dễ thấy PN + NE < PB + BE PN + NE < PC + CE M nên độ dài đường gấp khúc DPNE không vượt quá độ dài đường gấp khúc DPBE độ dài đường gấp khúc N DPCE Vậy để d lớn thì An phải chọn N trùng B C Rõ ràng để tổng d nhỏ thì Bình phải chọn P là giao điểm ND và AC B trùng N A P Trong trường hợp An chọn N trùng B thì Bình chọn P là giao điểm BD và AC, đó d = d1 MB BP PM Còn M D trường hớp An chọn N trùng C thì Bình chọn P là giao điểm CD và AC, chính là C, đó d = C d MC CM MC A E C P B D M h B' A C trùng N trùng P D Bây ta so sánh d1 và d2 Đặt MC = h thì d2 = 2h (1) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt MP B’ Ta có BP = B’P nên : d1 = MB + Bp + PM = MB + B’P + PM = MB +B’M > BB’ = 2h (2) Từ (1) và (2) suy d1 d Do hai người chơi tối ưu nên An chọn N trùng B để có tổng d lớn nhất, sau đó Bình chọn P là giao điểm BD và AC (5) Chuyên đề cực trị hình học x Ví dụ 2.4: Cho hai điểm A và B nằm góc nhọn xOy A' Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên tia Oy cho đường gấp khúc AMNB có độ dài nhò M Giải: A Vẽ các điểm A’, B’ cho Ox là đường trung trực AA’, Oy là đường trung trực BB’ Độ dài đường gấp khúc AMNB AM + Mn + NB = A’M + MN + NB’ A’B’ Độ dài đường gấp khúc đó nhỏ trường hợp M, N nằm trên A’B’ B O N y B' Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức đường tròn tìm cực trị Ví dụ 3.1:Cho hai điểm A và B nằm nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d, hai điềm M,N thuộc d và dộ dài MN không đổi Xác định vị trí hai điềm M, N để dường gấp khúc AMNB đạt giá trị nhỏ B' Giải: Dựng hình bình hành BNMB’ BB’= MN = a (không đổi); NB =MB’, B’ cố định Gọi A’ là điểm đối xứng A qua đường thẳng d Ta có AM =A’M, A’ cố định Xét ba điểm A’, M, B’ ta có A’M + MB’≥ A’B’ Do đó AM + MN + NB =A’M+ MN +MB’ = (A’M+ MB’) + MN ≥ A’B’+ a (không đổi) Dấu xảy M [ A '; B '] Ví dụ 3.2: Nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M B A M d N A' là điểm di động trên nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, gọi D,C Lần lượt là hình chiếu A; B trên tiếp tuyến Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác C ABCD có giá trị lớn Giải: Ta có: AD DC (gt), BC DC (gt) AD// BC M ABCD là hình thang mà D = 90 nên ABCD là hình thang vuông, OM DC nên OM // AD và O là trung điểm AB nên D OM là đường trung bình hình thang ABCD AD BC OM A AD BC DC OM DC Do đó S ABCD Vẽ AE BC Tứ giác ADCE là hình chữ nhật ( ADC DCE AEC 900 ) DC = EA AEB = 900 E thuộc đường tròn đường kính AB, AE là dậy cung đường tròn (O) DC 2R (trong đường tròn đườn kính là dây lớn nhất) E O B (6) Chuyên đề cực trị hình học Do đó S ABCD R.2 R R (không đổi) Dấu xảy AE là đường kính cùa (O) OM AB M là trung điểm cung AB Ví dụ 3.3: Cho đường tròn (O;R) BC là dây cung cố định (BC 2R) A là diểm chuyển động trên cung lớn BC Xác định vị trí A để chu vi tam giác ABC lớn Giải: PABC = AB + AC + BC (BC không đổi) D Trên tia đối tia AB lấy D cho AD = AC 2 Ta có ABC cân A BAC ADC Mà ADC không đổi BAC không đổi không đổi, BC cố định D thuộc cung chứa góc Mặt khác BDC có số đo A sd BC (O) dựng trên đoạn thẳng BC PABC lớn (AB + DC) max BD max BD là đường O kính cung chứa góc nói trên Khi đó BCD = 900 Mà ABC BDC ACB ACD = 900 ACD (AC = AD) BDC B C ABC ACB AB AC A là trung điểm cung lớn BC Do đó Phương pháp 4: Áp dụng bất đẳng thức đại số tìm cực trị Ví dụ 4.1: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M là điểm chuyển động trên nửa đường tròn Xác định vị trí M để MA + 3MB đạt giá trị lớn M Giải: AMB 900 (góc nội tíếp chắn nửa đường tròn) Tam giác MAB có M 900 nên theo định lý Pitago ta có: 2 MA MB AB R Áp dụng bất đảng thức | ax by | (a b )( x y ) A B O Ta có: MA 3.MB | MA 3.MB | (1 3)( MA2 MB ) 4.4 R R MA 3.MB R số Dấu “=” xảy và 60 3.MA MB MAB là nủa tam giác sd MA Ví dụ 4.2: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) Lấy điểm D trên cạnh BC ( D khác B,C ) Gọi r1 , r2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và ACD Xác định vị trí D để tích r1r2 đạt giá trị lớn Giải: (7) Chuyên đề cực trị hình học Gọi O là giao điểm đường phân giác tam giác ABC, O1 là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD, O2 là tâm đường tròn nội tiếp tam A giác ACD Dễ thấy O1 OB , O2 OC Vì r1 , r2 > 0, áp dụng bất đẳng O H M O2 O1 B K D C N r12 r2 thức Cauchy, ta có : r1.r2 Dấu đẳng thức xảy và r1 r2 Khi đó O1KB O2 NC suy BK = CN Suy tiếp BH = CM Từ đó AH = AM Vậy AHO1 AMO2 Nên AO1 AO2 , kẻ O1 I AD , O2 J AD Dễ thấy I trùng J và O1I O2 J Từ đó KD = DN Vậy D là trung điểm BC thì tích r1r2 đạt giá trị lớn Lúc đó A, O, D thẳng hàng Ví dụ 4.3: Cho đoạn thẳng BC cố định A là điểm di động cho tam giác ABC nhọn AA’ là đường cao và H là trực tâm tam giác ABC Xác dịnh vị trí A để AA’.A’H đạt giá trị lớn Giải 'H AA ' C 900 , A ' BH A ' AC Xét A’BH và A’AC có BA (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc ) Do đó A’BH A’AC HA’/A’C = A’B/ AA’ A’A HA’ = A’B A’C, Ta có : A’B.A’C = A’B(BC - A’B) = A’B BC –A’B2 BC BC A ' B.BC AB = 2 A H B C A' BC BC BC A' B 4 BC Vậy AA’ HA’ (không đổi)s BC Dấu xảy = AB A’ là trung điểm BC A thuộc trung trực BC Vì ABC nhọn nên A nằm ngoài đường tròn đường kính BC Phương pháp 5: Ứng dụng diện tích tìm cực trị Ví dụ 5.1: Hãy tìm tam giác ABC điểm M cho tích các khoảng cách từ M đến ba cạnh có giá trị lớn Giải: Gọi x, y, z là khoảng cách từ m đến ba cạnh BC, AC, AB; , hb , hc tương ứng là đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C Ta có: S ABC S MBC S MCA S MAB Như vậy, các số A E x x x hb hc x x x , , có tổng không đổi, đó tích hb hc y F z H M x B D C (8) Chuyên đề cực trị hình học x x x x x x lớn (cũng có nghĩa là x.y.z lớn nhất) và khi: hb hc hb hc Khi đó M là trọng tâm tam giác ABC Ví dụ 5.2: Cho điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB Vẽ các tam giác AMC và BMD phía AB Xác định vị trí M để tổng diện tích hai tam giác trên là nhỏ Giải: Cách 1: Gọi K là giao điểm AC và BD Các tam giác AMC, BMD đồng dạng với tam giác AKB Đặt AM = x, AB = a, S AMC S1 , SBMD S , S AKB S K D S x S y Ta có: ; nên S a S a S1 S x y ( x y )2 a2 2 S a 2a 2a Xảy dấu đẳng thức và x = y Do đó: min( S1 S2 ) S M là trung điểm AB 2 x y2 S , S Cách 2: Ta có 4 3 ( x y)2 S1 S (x y2 ) a 4 min( S1 S ) a x y M là trung điểm AB C x A y M B Ví dụ 5.3: Cho hình vuông ABCD có cạnh 12 cm, E là trung điểm CD, điểm F thuộc cạnh BC cho CF = cm Các điểm G và H theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB và AD cho GH // EF Xác định vị trí điểm G cho tứ giác EFGH có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó Giải:Đặt S EFGH S , BG = x và kí hiệu hình vẽ AGH đồng dạng CEF AH AG AH 12 x 2(12 x ) 2(12 x) 12 x AH DH 12 CF CE 3 S S ABCD S1 S S3 S G x A B 2 = 144- (12 x )2 x 12 (12 x) 1 = 144 (144 24 x x ) x 12 12 x = 144 48 x x x 24 1 = x x 72 ( x 3) 75 75 3 maxS = 75 và x = Diện tích lớn tứ giác EFGH là 75 cm với BG = 3cm F H D E C (9) Chuyên đề cực trị hình học Ví dụ 5.4: Cho hình vuông ABCD có AB = 6m, điểm E nằm trên cạnh AB cho AE = 2m Xác định vị trí điểm F trên cạnh BC cho hình thang EFGH ( G thuộc cạnh CD, H thuộc cạnh AB và EH // GF // BD) có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó Giải: Đặt BF = x, S EFGH S B E A Ta có: S S ABCD S AEH S BEF SCFG S DGH x H S 2.36 x (6 x) x F 72 x 36 12 x x x x x 32 ( x 2)2 36 MaxS = 18 và x = Vậy BF = 2m Khi đó S EFGH 18m D 6-x x G 6-x C BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A Tìm vị trí M thuộc đường tròn(O) ngoại tiếp tam giác ABC,sao cho gọi D,E theo thứ tự là các hình chiếu M trên các đường thẳng AB,AC thì DE có độ dài lớn Hướng dẫn ADME là hcn Kẻ đường kính AK,ta có DE=AM≤ AK.Do đó max DE=AK M≡K Khi đó DE≡BC Bài 2: Cho đường tròn (O) và dây AB Điểm M di chuyển trên cung nhỏ AB Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu M trên các tiếp tuyến A,tại B đường tròn Tìm vị trí M để tích MI.MK có giá trị lớn Hướng dẫn Chứng minh MI.MK=MH2 với H là hình chiếu M trên AB.Do đó M phải tìm là điểm chính cung AB Bài 3: Cho đường tròn tâm (O) và dây BC không qua O Điểm A di chuyển trên đường tròn (O) cho tam giác ABC là tam giác nhọn Gọi H là trực tâm tam giác ABC Tìm vị trí điểm A để tổng HA+HB+HC có giá trị lớn Hướng dẫn Vẽ đường kính AOK,gọi M là giao điểm HK và BC.Ta có HA=2OM không đổi,HB+HC=KB+KC.Do đó HA+HB+HC lớn KB+KC lớn Vẽ các đường kính BB’,CC’ Khi điểm A di chuyển trên cung B’C’ thì điểm K di chuyển trên cung BC Tổng KB+KC lớn và K là điểm chính cung BC.Khi đó A là điểm chính cung lớn BC Bài 4: Cho đường tròn tâm(O) và dây AB.Tìm điểm C thuộc cung nhỏ AB cho tổng 1 có giá trị nhỏ CA CB (10) Chuyên đề cực trị hình học Hướng dẫn Đặt CA=x,CB=y Ta có Do đó 1 x y x y xy x y 1 nhỏ x+y nhỏ C là điểm chính cung AB x y Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tìm điểm M thuộc cung BC cho gọi H,I,K theo thứ tự là hình chiếu M trên AB,BC,AC, thì tổng MA+MB+MC+MH+MI+MK có giá trị nhỏ nhất, lớn Hướng dẫn Đặt MA+MB+MC=d 1, MH+MI+MK=d2, d=d1+d2 Chứng minh d1=2MA, d (2 S ABC S MBC ) với AB=BC=CA=a a d nhỏ M≡B M≡C (khi đó d1 và d nhỏ nhất) d lớn M chính cung BC (khi đó d1 và d lớn nhất) Bài 6: Cho điểm I nằm trên đoạn thẳng AB(IA<IB) Trên cùng nửa mph bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và các tiếp tuyến Ax,By Điểm M di chuyển trên nửa đường tròn đó Đường vuông góc với IM M cắt Ax,By theo thứ tự D,E a) Chứng minh tích AD.BE có giá trị không đổi b) Tìm vị trí M để hình thang ADBE có diện tích nhỏ Hướng dẫn a) Áp dụng tứ giác nội tiếp AD.BE AI BI b) Diện tích hình thang ABED nhỏ và AD + BE nhỏ và IM AB Bài 7: Cho đường tròn (O;R) Dựng đường tròn (O’;R’) cho tâm O nằm trên đường tròn (O’;R’) Dây cung AB (O;R) di động và tiếp xúc với (O’R’) Gọi C là tiếp điểm Xác định vị trí dây cung AB để tổngS=AC2+BC2 đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn đó theo R và R’ Hướng dẫn Gọi H là trung điểm AB OH AB Vẽ OK O’C OHCK là hcn AC2 + CB2 = 2(R2 − OH2)+(O’O2 − O’K2) 2 2 2 2 S = 2R − 2OH +2R’ − 2(R’ − OH) = (2R + R’ ) − (R’ − 2OH) ≤ 2R +R’ 2 Smax = 2R + R’ R’ = 2OH OH = R' Vậy AB là tiếp tuyến chung ngoài (O’;R’) và (O; R' ) Bài 8: Cho hình vuông ABCD có AB = a cố định M là điểm di động trên đường chéo AC Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC Xác định vị trí M trên AC cho diện tích tam giác DEF nhỏ Tính giá trị nhỏ đó Hướng dẫn Đặt AE=x, CF=y => MF=CF=BE=y x+y=a SDEF = SABCD − SDAE − SDCF − SBEF = a ax ay xy a xy = 2 2 Ta có SDEF nhỏ x.y nhỏ 10 (11) Chuyên đề cực trị hình học xy ( x y a a a x y ) max( x y) 4 Lúc đó M là trung điểm AC MinSDEF = a a 3a 2 Bài 9: Cho hình vuông ABCD cạnh là a Trên hai cạnh AB và AD lấy hai điềm di dộng E và F cho AE+EF+FA=2a a) Chứng tỏ đường thẳng EF luôn luôn tiếp xúc với đường tròn cố định b) Tìm vị trí E,F cho diện tích tam giác CEF lớn Tìm giá trị lớn đó Hướng dẫn 90 CEF CEK a) Chứng minh FCK Vẽ CI vuông góc EF đpcm b) S ABCD SCEF SCDF SCBE S AEF Do đó max SCEF a2 AE.EF Bài 10: Cho hai điểm A,B cố định và điểm M di động cho tam giác MAB có ba góc nhọn.Gọi H là trực tâm tam giác MAB và K là chân đường cao vẽ từ M tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Hướng dẫn Tam giác BKM đồng dạng tam giác HKA (g-c-g) AB KM KH Bài 11: Tìm kích thước tam giác có diện tích lớn nhất, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R cho trước Hướng dẫn Tam giác có cạnh R có diện tích lớn Bài 12: Cho tam giác ABC vuông A có AB= a cho trước, BC=2AB Gọi tam giác DEF là nửa tam giác nội tiếp tam giác ABC (D trên cạnh BC, E trên cạnh AC,F trên cạnh AB và góc EDF vuông) Tìm vị trí D,E,F để diện tích tam giác DEF nhỏ Tính theo a giá trị nhỏ đó Hướng dẫn Xét TH: 300 , E 600 1) F 60 , E 300 2) F Bài 13: Cho tam giác có ba góc nhọn.tìm điểm M tam giác cho MA.BC+MB.CA+MC.AB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Kéo dài AM cắt cạnh BC A’ và vẽ BE AM, CF AM Vậy (MA.BC+MB.CA+MC.AB) đạt GTNN là S ABC và M là trực tâm tam giác ABC 11 (12) Chuyên đề cực trị hình học Bài 14: Cho tam giác ABC vuông A, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB,AC Một đường thẳng (d) quay quanh A và cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M,N (khác A) Xác định hai điểm M,N cho chu vi tứ giác BCNM lớn Hướng dẫn Dễ dàng ta thấy BMNC là hình thang vuông với đường cao là MN Gọi P là chu vi hình thang BCMN thì : P=BC+(AM+MB)+(AN+AC) (với BC cố định) Ta luôn có (AM − MB)2 ≥ 2AB2 ≥ (AM+MB)2 Suy ra: AM+MB ≤ AB Tương tự : CN+NA ≤ AD BMCN lớn M,N là điểm chính hai nửa đường tròn dường kính AB hay AC tuỳ theo AB≥AC hay AB≤AC Bài 15: Cho tam giác ABC có góc nhọn, từ điểm I thuộc miền tam giác vẽ các đoạn IH,IK,IL vuông góc với BC,CA,AB Tìm vị trí I cho AL2+BH2+CK2 nhỏ Hướng dẫn AL2+BH2+CK2 nhỏ H,K,L là trung điểm các cạnh tam giác ABC và lúc đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 16: Cho tam giác ABC thay đổi có AB=6 và CA=2CB Tìm giá trị lớn diện tích tam giác ABC Hướng dẫn Gọi CI và CJ là hai đường phân giác và ngoài tam giác ABC góc ICJ=900 Áp dụng tính chất đường phân giác IJ = Vẽ CH vuông góc với BC và O là trung điểm IJ thì CH≤CO = IJ =4 1 AB.CH S ABC AB.CO 12 2 Do đó S ABC 12 và dấu “=” xảy H≡O S ABC Bài 17: Cho đường tròn (O), bán kính R và hai điểm A,B nằm ngoài đường tròn (O) với OA=2R Xác định vị trí điểm M trên đường tròn (O) cho biểu thức P=MA+2BM đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn MA+2MB nhỏ Ba điểm B,M,H thẳng hàng hay M là giao điểm BH với đường tròn (O) Bài 18: Cho tam giác ABC vuông A và d là đường thẳng qua A Gọi B’,C’ là hình chiếu B,C trên d Xác định vị trí đường thẳng d để tổng BB’+CC’ là lớn và tìm giá trị lớn đó Hướng dẫn Xét trường hợp • Đường thẳng d qua A và cắt cạnh BC I Ta có: BB’+CC’ ≤ BI+CI=BC Từ đó BB’+CC’=BC d vuông góc với BC • Đường thẳng d qua A và không cắt cạnh BC BB’C’C là hthang vuông Gọi M,N là trung điểm BC ,B’C’ MN là đường trung bình hình thang Ta có BB’+CC’=2MN ≤ 2AM(do MN≤AM) 12 (13) Chuyên đề cực trị hình học Từ đó BB’+CC’=2AM d vuông góc với đường trung tuyến tam giác ABC Vậy hai TH BB’+CC’ có già trị lớn độ dài cạnh huyền BC tam giác ABC Bài 19: Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By đường tròn (O) và tiếp tuyến thứ ba tiếp xúc với (O) điểm M cắt Ax D, By E a Chứng minh: tam giác DOE là tam giác vuông b Chứng minh:AD.BE=R2 c Xác định vị trí M trên nửa đường tròn (O) cho diện tích tam giác DOE đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn c)SDOE= OM DE R DE 2 Do đó SDOE nhỏ DE nhỏ DE ≥ AB=2R DEmin = 2R DE// AB Lúc đó OM vuông góc AB Bài 20: Cho tam giác có cạnh Lấy D bất kì trên BC Gọi r1, r2 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD và tam giác ADC Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn Tính giá trị lớn đó Hướng dẫn Đặt BD = x CD = 1-x Tam giác DEA vuông E AD AE DE x x Max r1.r2 2 D là trung điểm BC Bài 45: Cho hình vuông ABCD có cạnh 12 cm, E là trung điểm CD, điểm F thuộc cạnh BC cho CF = cm Các điểm G,H theo thứ tư di chuyển trên AB và AD cho GH// EF Xác định vị trí điểm G cho tứ giác EFGH có diện tích lớn Tính diện tích lớn đó Hướng dẫn: Đặt SEFGH = S, BG = x AH AG CF CE AH 12 x 12 x DH = AGH đồng dạng CEF Áp dụng : S = SABCD – SGAH - SGBF – SCEF - S DEH Suy giá trị cần tìm Bài 46: Cho ABC, M là điểm nằm tam giác, qua M dựng các dường thẳng song song với các cạnh tam giác tạo thành tam giác nhỏ có diện tích s1, s2, s3 Gọi S là diện tích tam giác ABC Tìm vị trí M để s1 + s2 + s3 nhỏ Hướng dẫn: Đặt S = SABC, S1 = SMDK , S2 = SMGE, S3 = SMFH X = DM, y = ME, z =FH Áp dụng Tỉ số diện tích tam giác đồng dạng Suy : S1 S2 S3 x y z S a2 Áp dụng BĐT BCS : x2 + y2 + z2 ≥ x y z 13 (14) Chuyên đề cực trị hình học s1 + s2 + s3 ≥ S Bài 47: Cho hình vuông ABCD Dựng đừong thẳng d qua C cắt các tia AB, AD hai điểm phan biệt M, N cho MN có độ dài nhỏ Hướng dẫn : Gọi a là cạnh hình vuông BM = x, DN = y Ta có : BC // AN x a xy = a a y MN2 = ( a+x)2 + ( a+y)2 =2a( x + y ) + ( x + y )2 MN2 nhỏ x +y nhỏ Vị trí d cần tìm Bài 48: Cho tam giác ABC vuông tai A Từ điểm I nằm tam giác ta kẻ IM BC, IN AC, IK AB Tìm vị trí I cho tổng IM2 + IN2 + IK2 nhỏ Hướng dẫn Kẻ AH BC, IE AH Áp dụng Pitago: IK2 + IN = AI2 ≥ AE2 Đặt AE = x , EH= y Áp dụng BĐT Cauchy IM2 + IK2 +IN ≥ AH 2 Bài 49: Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên cạnh AB và AD lần lựơt lấy điểm di động E và F cho: AE + EF + FA=2a.Tìm vị trí E, F cho diện tích tam giác CEF lớn Hướng dẫn: S HCF S DCF S HCE S BCE SCEF S HCF S HCE S DCF S BCE S AEF SCEF S a S AEF 2 a E B, F A E A, F D Dấu = S AEF Bài 50: Cho đường tròn (O;R),đường kính AB cố định C là điểm cố định nằm A và O, M di động trên đường tròn (O;R).Tìm vị trí M trên (O;R) tương ứng lúc độ dài Hướng dẫn: OA OC CM OB OC CA CM CB Mà CB không đổi Dấu = M A Bài 51:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, bên ngoài tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC Một đường thẳng d quay quanh A và cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M, N 14 (15) Chuyên đề cực trị hình học (khác A) Giả sử tam giác ABC vuông A, xác định hai điểm M, N cho chu vi tứ giác BCMN lớn Hướng dẫn: MA2 MB AB MA MB 2(MA2 MB ) AB CV ( BCMN ) AB AC BC MA MB Dấu = M, Nlần lượt là trung điểm các cung AB, AC NA NB Bài 52:Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, từ điểm I thuộc miền tam giác vẽ các đoạn IH, IK, IL vuông góc với BC, CA, AB Tìm vị trí I cho AL2 BH CK nhỏ Hướng dẫn: AL2 BH CK ( AB BC AC ) không đổi Dấu = I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 53: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) có hai đường chéo AC, BD vuôg goc I (khác O) Tìm vị trí ABCD cho diện tích tam giác ICD lớn Hướng dẫn: OI cắt (O;r) M’ S ICD IH CD S ICD (max) IH max & CDmax IH max & OM IH IM IP PM IP PM ' IM ' OM OM ' Mà IM’ ,OM’ không đổi Dấu = M M ' IC, ID tạo với IO các góc 450 Bài 54: Chi hai điểm A, b cố định và điểm M di động cho MAB là tam giác MAB la tam giác có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác MAB Tìm giá trị lớn tích KH.KM Hướng dẫn: Tam giác KAH đồng dạng tam giác KMB KH.KM=AK.KB Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương AK KB AB AK KB AB Do đó KH KM (không đổi) Dấu = AK=KB AK KB Bài 55: Cho tam giác ABC Xác dịnh vị trí điểm M nằm tam giác ABC cho AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn: 1)Tam giác ABC nhọn 15 (16) Chuyên đề cực trị hình học Vẽ BH AM , CK AM ; H AM , K AM AM cắt BC I Ta có BH BI , CK CI BH CK BC AM BC S MAB S MAC Chứng minh tương tự,suy AM BC BM CA CM AB 4S ABC AM BC Dấu = xảy BM AC M là trực tâm ABC CM AB 2) ABC vuông Không tổng quát giả sử góc A 900 Tương tự câu 3) ABC tù Không tổng quát giả sử góc A 900 Nếu M A ta có AM BC BM CA CM AB = 2AB.CA Nếu M A vẽ AB ' AC và AB ' AB Ta có M nằm A ' B ' C Do đó AM BC BM CA CM AB > MA B’C + B’M.CA + CM.AB’ Áp dụng câu ta AM BC BM CA CM AB > 2AB.AC Vậy M A thì AM.BC + BM.CA + CM.AB đạt giá trị nhỏ Bài 56: Cho điểm M nằm góc nhọn xOy Hai điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy cho aOA = bOB Tìm vị trí A,B cho aMA + bMB đạt giá trị nhỏ nhất.(với a,b là hai số cho trước, a,b >0) Hướng dẫn: Áp dụng bđt Ptolemy cho tứ giác≥OAMB, ta có OA.MB + OB.MA ≥ OM.AB 3OB.Mb + 2OB.MA ≥ 2OM.AB Min 2MA + 3MB 16 (17)