Đang tải... (xem toàn văn)
Trong tất cả các lăng trụ tam giác đều có cùng diện tích toàn phần S, tìm các cạnh bên và cạnh đáy của lăng trụ có thể tích lớn nhất.. Giải Gọi x là cạnh đáy và h là cạnh bên của lăng [r]
(1)(2)BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÀ CÁC KHỐI LỒNG NHAU
Trong trình tìm kiếm lời giải nhiều tốn hình học, có lợi xem xét phần tử biên, phần tử giới hạn đó, tức phần tử mà đại lượng hình học nhận giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, chẳng hạn cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ tam giác; góc lớn góc nhỏ đa giác v.v…
Những tính chất phần tử biên, phần tử giới hạn nhiều giúp tìm lời giải thu gọn toán
Phương pháp tiếp cận tới lời giải toán gọi nguyên tắc cực hạn
Như toán cực trị hình học cần thiết khơng gian, thường xuất câu hỏi khó phần thi trắc nghiệm THPT Quốc gia
PHƯƠNG PHÁP
Cơ sở phương pháp cần kết hợp quan điểm tìm cực trị sau: 1 SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC THÔNG DỤNG
Bất đẳng thức Cauchy cho biến đại lượng không âm
f x A x B x A x B x const; x D A x B x
g x A x B x const; x D
2
Nếu x0 D, để đẳng thức (1) (2) xảy A x 0 B x0
x D
0 x D
min f x f x max g x g x
(ycbt)
Bất đẳng thức Schwartz cho biến đại lượng tùy ý
2 2
2
2 2
p x a x x b x x a x b x x x const; x D
q x a x b x x x a x x b x x const; x D
Nếu x0 D, để đẳng thức (3) (4) xảy ra:
0
0 x D
0 0
x D
max p x p x
a x b x
x x q x q x
(ycbt)
2 SỬ DỤNG TÍNH BỊ CHẶN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC
h x sin u x cos u x 1;
0
0
x D
sin u x
x D : max h x h x
cos u x
3 SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ LẬP BẢNG BIẾN THIÊN
(3)4 SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN LÝ HÌNH HỌC CỰC HẠN
MH đường vng góc MA đường xiên HA hình chiếu
minMA MH A H
Từ ý nghĩa đường kính dây cung dài đường trịn, ta có: Hệ quả: M đường trịn (AB) đường kính AB; với O tâm thì: maxd M; AB COMH CO; CO AB
Khoảng cách ngắn hai đường thẳng độ dài đường vuông góc chung hai đường thẳng
Xác định điểm M đường thẳng (d) để
min
MA MB
Đây toán Bất đẳng thức , cần phân biệt trường hợp:
o A, B khác bên so với (d): MA MB AB
min MA MB AB
tương ứng: M M AB d
o A, B bên so với (d): Dựng A’ đối xứng với A qua (d)
Lúc đó: A’ B khác bên so với (d), nên trở trường hợp trên:
MA MB AB MA' MB' AB
0
min MA MB MA' MB AB tương ứng: M M A' B d
Kết luận: Vậy trường hợp ta xác định M thỏa mãn ycbt Xác định điểm M đường thẳng (d) để
max
MA MB Tương tự, cần phân biệt hai trường hợp:
o A, B bên so với (d)
MA MB AB
max MA MB AB
tương ứng M M 0 AB d
(d) M0
A
B M
(d) M0
A
B M
(d) I M0
A' A
B M
M
H A
C
H O
A B
(4)MA MB MA' MB AB
Với A’ hình đối xứng điểm A qua (d), A’ B phía với (d)
0
max MA MB max MA' MB AB tương ứng M M A' B d
Kết luận: Vậy trường hợp ta xác định điểm M thỏa ycbt
I MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU
Ví dụ Cho hình nón cụt trịn xoay có chiều cao h, bán kính đáy r R r R Tìm kích thước hình trụ trịn xoay có trục đối xứng, nội tiếp hình nón cụt tích lớn
Giải
Gọi x bán kính, z chiều cao hình trụ Ta có: r x R z h
Giả sử hình trụ nội tiếp hình nón cụt thiết diện qua trục hình bên Thiết diện cắt hình nón theo hình thang cân AA’B’B, cắt hình trụ theo hình chữ nhật HKNM
1
SO' O' A' r
SO OA R
SO' r SO'
SO SO' R r OO'
rh rh Rh
SO' , SO h
R r R r R r
O M SO x SO OA SO
x
OA SO OA SO SO
Mà SO1 SO z x R SO z SO
Thể tích V hình trụ là:
2
2 R
V V x x z SO z z
SO
2
2
2
3 2
2 R
V x SO z 2SO.z z SO
R
V x z 2SO.z SO z z h
SO
(d) M0
A' A
B M
r R
z h O'
O1
H K
N M
S
B' A'
B
A O
(5)
2
2
2
R R SO
V' x 3z 4SO.z SO z z SO
3
SO SO
SO Rh Rh
V' x z z SO z z
3 R r R r
Bảng biến thiên:
Rh Rh
z x
3 R r
max y
z h x r
Để ý rằng: z h , ta có:
Rh r
z h
R
3 R r
Kết luận: r R
: Thể tích hình trụ lớn hình trụ có kích thước bán kính đáy: x Rh
, chiều cao:
Rh z
3 R r
2 r R
: hình trụ tích lớn hình trụ có kích thước bán kính đáy: x r chiều cao z h
Ví dụ 2.Cho nửa hình cầu bán kính r nửa hình nón xoay ngoại tiếp với nửa hình cầu (mặt đáy hai hình nằm mặt phẳng) Gọi góc đỉnh nón 2 a) Với góc diện tích tồn phần hình nón 12
5 diện tích tồn phần nửa hình cầu
b) Với góc hình nón tích nhỏ Hướng dẫn giải
a Gọi (SAB) tiết diện qua đỉnh S tâm H hình nón ngoại tiếp với nửa hình cầu bán kính r, ta có:
1 HI r, AHI ASH ASB
2
HI r
AH
cos cos
AH r HI r
SA ; SH
sin cos sin sin sin
CĐ CT
CĐ
0 +
-+ 0
Rh (R-r) Rh
3(R-r)
0 h
V'(x) x
r
α
α
H S
B A
(6)Gọi S ; Stpc tpn Vn theo thứ tự diện tích tồn phần nửa hình cầu, hình nón thể tích hình nón, ta có:
tp 2
c
2
tp
n 2
S r r r
r r r
S AH AH.SA
cos cos sin cos
Vì
2
tp
n c 3
r sin
12 12
S S r
5 sin sin
3
36 sin 31sin
5
36 sin sin sin
6
5
sin sin
6
(vì nửa góc đỉnh hình nón
) Tương ứng diện tích tồn phần hình nón 12
5 diện tích tồn phần nửa mặt cầu (ycbt)
b Ta có:
2
n n 2
1 r r
V V AH SH
3 cos sin
3
n 2 3
1 1
V r r
3 cos sin sin sin
Do đó:
2
n n 2
3 3sin cos cos V ' V ' r
3
sin sin
3
n 2
3
3
cos sin sin
3
V ' r
sin sin
Khi biến thiên khoảng 0;
V ' 0n
1
sin 1 3
Ta có bảng biến thiên:
(7)Do hàm Vn đạt cực tiểu 1 Vậy với xác định sin
3
hình nón tích nhỏ Vn r 3
(ycbt) Ví dụ 3. Cho khối tứ diện ABCD, biết BCD tam giác cạnh a có tâm điểm O Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn (BCD) làm đường tròn lớn Xác định vị trí đỉnh A mặt cầu để thể tích tứ diện ABCD lớn
Giải
Để ý đường tròn (BCD) đường tròn lớn mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có O tâm tam giác BCD cạnh a, nên tâm O tam giác BCD tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
a OA OB
3
Từ diện tích Sc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:
2
c
a
S OA a
3
Gọi AH đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy (BCD)
HOA H 90 AH OA
Và tính thể tích khối tứ diện ABCD bằng:
ABCD
2
1 1 a
V S AH a AH
3 3
3.a 3.a
.AH OA
12 12
Dấu đẳng thức (1) xảy H O (hình chóp A BCD đều)
3.a
max V OA
12
(ycbt)
Ví dụ Trong tất lăng trụ tam giác có diện tích tồn phần S, tìm cạnh bên cạnh đáy lăng trụ tích lớn
Giải Gọi x cạnh đáy h cạnh bên lăng trụ
πr3
- +
α1
0
Vn'
α
Vn
π
a O
B D
(8)Ta có diện tích tồn phần lăng trụ:
2
x x
S 3xh 3xh
4
Ta tích lăng trụ là:
2 x
V h
4
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số:
x 3xh 3xh Ta có:
2 2
3
x 3xh 3xh x 3.9x h
2
4 4
3
3
4
9 3x h 3x h
S S 27 S x h
8 2 2
x 3h 2S S S 2S V
4 4.9 3 18 3
Vậy
4 S 2S max V
18
Dấu “=” xảy khi:
2S a
x 2S
x 3xh S 3 3
2 1 2S 3
h 3
Ví dụ 5.Cho mặt cầu tâm O bán kính R Một hình nón nội tiếp hình cầu có chiều cao x 0 x 2R
a Tính thể tích V, diện tích xung quanh S hình nón b Tìm hệ thức liên hệ V, S, R độc lập x c Với giá trị x V lớn nhất?
Giải a Gọi r bán kính đường trịn đáy hình nón
2
2 2
2
r OM OH R x R
r 2Rx x x 2R x
Thể tích hình nón: V r x2 x22R x
3
Diện tích xung quanh hình nón: S rSM Biết SM SH2HM2 x2x 2R x 2Rx b Ta có: V x 2R x2 1
3
2 2
S x 2R 2R x S 2 Rx 2R x
M S
H O
(9)Lấy (2) chia (1) ta được: S
6 R V
c Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: x x, , 2R x 2
3
2
3
x x
2R x
x x 2 2
2R x
2
x 8R
2R x
4 27
1 32 R
V x 2R x
3 81
Vậy
3 32 R max V
81
Dấu “=” xảy khi: x 2R x x 4R
2
Ví dụ Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp hình cầu bán kính R cho trước So sánh diện tích tồn phần thể tích hình nón với diện tích thể tích hình cầu
Giải
Gọi r bán kính đường trịn đáy, h chiều cao V thể tích hình nón
1 V r h
3
Hai tam giác SCA SDO đồng dạng cho:
2
2 2 2
2 2 2
AC SA r r h
DO SO R h R
r r h r h r
R h R h R R
2 2
2 h R hR
r
h 2R h h 2R
Suy ra:
2 2
1 h R
V r h
3 h 2R
Ta có:
2 2 2
h h 4R 4R 4R
h 2R
h 2R h 2R h 2R
2 4R
h 2R 4R
h 2R
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2
4R 4R
h 2R h 2R 4R
h 2R h 2R
Vậy: h
8R
h 2R Dấu “=” xảy khi:
2 4R
h 2R h 2R 2R h 4R
h 2R
r R D
S
C
A B
(10)Suy ra:
3 R V
3
3 R V
3
h4R r R 2 Diện tích tồn phần hình nón là:
2 2 2
S rSA r R 2R 16R 2 R 8 R
Vậy lúc diện tích tồn phần thể tích hình nón gấp đơi diện tích thể tích hình cầu
II CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SBb tam giác SAC cân S Trên cạnh AB lấy điểm M với AM x x a Mặt phẳng qua M song song với AC SB cắt BC, SB, SA N, P, Q Xác định x để SMNPQ lớn
A a
B a
4 C
a
2 D
a Phân tích:Trước hết ta phải xác định MNPQ hình chữ nhật Vì mp / /SB mp / /AC nên MNPQ hình bình hành
AC SO ( ACS cân)
AC BD (đường chéo hình vng)
ACmp SBD
AC SB
, mà MQ / /SBMNMQ Vậy MNPQ hình chữ nhật
Hướng dẫn giải Ta có: MN // AC
BM a x
MN AC a a x
BA a
SAB
có: MQ // SB
AM bx
MQ SB
AB a
MNPQ
b
S MN.MQ a x x
a
(đvdt)
Ta có:
a x x a
a x x a x x
2
MNPQ S
lớn a x x x a
a b
O N
P Q
B
A
D
C S
M
(11)Vậy chọn đáp án C
Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA a SBD
cân S Trên AB, AD lấy M, N cho AM AN k k 1 AB AD Mặt phẳng qua MN song song với SA cắt SD, SC, SB P, Q, R Tính k để SMNPQR lớn
A k1
2 B
5 k
3 C
1 k
3 D
2 k
3 Hướng dẫn giải
Ta có: MNPQR hợp hai hình thang vng MIQR NIQP, đó: MR // IQ // NP (cùng song song với SA), MN // BD
Ta có:
MNPQR MIQR
2 k a 2ka
IQ ; MR k a; MI
2
S 2S IQ MR MI
2k 3k a
(ñvdt)
MNPQR
2
S max k
3
Vậy chọn đáp án D
Câu 3. Trên nửa đường trịn đường kính AB 2R , lấy điểm C tùy ý Kẻ CHAB (H thuộc AB) Gọi I điểm CH Trên nửa đường thẳng It vng góc I với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S cho góc ASB 90 Đặt AH x Với giá trị x
SABC
V đạt giá trị lớn A x R
2 B
R x
2
C x 2R D x R Hướng dẫn giải
Ta có: V 1S ABC.SI
, đó:
ABC
1
S AB.CH 2R AH.BH R x 2R x
2
3
SI CH x 2R x
2
Vậy: V 1R x 2R x 3x 2R x R 3x 2R x
3
V lớn x 2R x lớn
O' Q
I P R
N
O
B
A D
C S
M
I H
B A
(12)Biết
2 x 2R x
x 2R x R
2
Dấu “=” xảy x 2R x x R
Vậy, thể tích tứ diện SABC lớn x R
3 max
R V
6
(đvtt) Vậy chọn đáp án D
Câu 4.Cho hình chóp có cạnh bên cạnh đáy a Cho điểm M SA cho diện tích MBD nhỏ Tìm giá trị nhỏ MBD
A 3a
4 B
a
2 C
2a
D a Hướng dẫn giải
Gọi S diện tích MBD
1
S BD.MO a 2.MO
2
min S
xảy min MO xảy Nhưng MO d O,SA OH
Vì tứ diện nên O AB CD SO đường cao SOA
vng O (2) Trong đó:
2
2 2
a OA
2
2a 2a a
SO SA OA a
4
2
SOA
vuông cân O OH OA a 2 a
2 2
1
1 a 2a
min S a
2
xảy H trung điểm SA (ycbt) Vậy chọn đáp án C
Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh AB x , cạnh cịn lại a Câu 5.1.Tính diện tích tồn phần tứ diện theo a, x
A a2 x 4a 2x2 B a2 3 4a2x2 C a2 2x 4a 2x2 D a2 x 4a 2x2
Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB theo tính chất tam giác cân
CH AB DH AB
Ta có: AB x; DA DB DC AC BC a
a a
O C
D
A
B S
H M
a x
a a
a
a
I
O H
A C
B D
(13)Nên: ADC BCD (do hai tam giác cạnh a) DAB CAB
ADC BCD
a
S S
4
Ta có:
2 2 2 2
DAB CAB
x 1
CH AC AH a 4a x S D CH.AB x 4a x
4 2
Từ (1) (2) Stp a2 x 4a2 x2
Vậy chọn đáp án A
Câu 5.2 Với giá trị x thể tích VABCD đạt giá trị lớn A 3a
4 B
a
2 C
5a
D 3a Hướng dẫn giải
Gọi O hình chiếu D xuống mặt phẳng (ABC)
Do AD DB DC a OA OB OC DO trục đường tròn ngoại tiếp ABC DO hiển nhiên đường cao tứ diện DABC.Gọi I trung điểm DC Ta có:
DH HC DHC cân HIDC Khi đó:
2
2 2 x a 2
HI HC IC a 3a x
4
Từ: SDHC 1DO.HC 1HI.DC DO HI.DC
2 HC
2
2
2
2
1
3a x a a 3a x
DO
1 4a x
4a x
Vậy
2 2
ABCD ABC
2
1 a 3a x x 4a x
V SO.S
3 4a x
2
ABCD
V ax 3a x
12
(ycbt); 0 x a 3 Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2
2 2
2 2
ABCD
x 3a x
a x a
V 3a x
144 144
2
2
a 9a a
144
ABCD a
V
8
Dấu đẳng thức (3) (4) xảy x2 3a2 x2 x a
(14)Vậy ABCD
a max V
8
tương ứng x a
(ycbt) Vậy chọn đáp án B
Câu 6.Cho tứ diện ABCD có AB CD 2x bốn cạnh cịn lại có độ dài Câu 6.1.Tính diện tích tồn phần tứ diện
A 2x x B 2x x C 2x x21 D x x Hướng dẫn giải
Nhận thấy bốn mặt tứ diện bốn tam giác
TP ACD
S 4S 2AI.CD
, với I trung điểm CD
2 2
2 ID x
AI AD ID x
AI x (do x 1)
Vậy STP2x x Vậy chọn đáp án B
Câu 6.2.Xác định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn A
2 B
6
2 C
5
4 D
3 Hướng dẫn giải
Vì STP 0 nên STP đạt giá trị lớn S2TP đạt giá trị lớn nhất, mà
2 2
TP
S 4x x Nhưng
2 x 0 x
1 x
Bất đẳng thức Cauchy
2
2
2 2
TP
x x
x x S 1
2
Đẳng thức xảy x2 x2 x
(vì x0) Vậy TP
0 x
1
max S S
2
(ycbt)
Vậy chọn đáp án A
Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB CD 2x x 2
AC AD BC BD 1 Gọi
I, J trung điểm cạnh AB CD Tìm x để thể tích tứ diện ABCD lớn
1
2x 1
2x
1 1
I
B D
C A
(15)A
3 B
3
3 C
5
2 D
3 Hướng dẫn giải
Nhận xét: Ta có: DI AB AB ICD AB IJ CI AB
Tương tự: CDIJ Vậy IJ đoạn
vng góc chung AB CD (đpcm) Ta có: IJ ID2DJ2 2x
Diện tích ICD : SICD 1IJ.CD x 2x2
Khi đó: VABCD VAICD VIBCD 1SICD AI IB
2
ABCD
V x V x 2x
3
(ycbt)
Áp dụng BĐT Cauchy:
3
2 2
2 2
ABCD
4 x x 2x
V x x x 2x
9
2
V
27
Dấu đẳng thức xảy (1) khi:
2 2
x x 2x x
Vậy max V ABCD 27
xảy x 3
(ycbt)
Câu Một hình nón trịn xoay có bán kính đáy R đường cao h h R Có mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo tiết diện có diện tích lớn Tính diện tích thiết diện
A h2R2 B 5h2R2
2 C
2
3
h R
2 D
2
1
h R
Hướng dẫn giải
Giả sử mặt phẳng qua đỉnh C hình nón cắt hình nón theo thiết diện CAB Thế CAB tam giác cân với CA CB Gọi O tâm hình trịn đáy H trung điểm AB
CO ABC CH : đường xiên OH : hình chiếu
Mà ABOHABCH
1
2x 1
1 1
2x
I
J
B D
C A
H
D A
(16)Đặt: x AH 1AB
diện tích S CAB là:
S AB.CH x.CH
Nhưng: CH2 CO2OH2 CO2OA2AH2 h2R2x2
2
S S x x h R x
Điều kiện xác định AB: 2x 2R x R Đặt t x ; x 0; R t R2
2 2 2 2
S x h R x g t t h R t
Ta viết: g t t2 h2R2t; với t R
Theo đề: h R , S2 g t 0 t R 2 đạt giá trị lớn khi: t 1h2 R2
2
1
max S h R
tương ứng
2
h R x
2
Vậy chọn đáp án D
Chú ý: Nếu đề cho h R , S2 g t 0 t R 2 đạt giá trị lớn t R Vậy S đạt giá trị lớn x R (AB đường kính đáy), ta có: maxS Rh
Câu Cho hình nón trịn xoay cao 15cm, bán kính đáy 6cm Tìm chiều cao h bán kính đáy r hình trụ có diện tích tồn phần lớn nội tiếp hình nón A r 5cm,h 2,5cm B r 5cm,h 5cm
C r 5cm,h 2cm D r 2cm,h 5cm Hướng dẫn giải
Gọi r h bán kính đáy chiều cao hình trụ có diện tích tồn phần S lớn nội tiếp hình nón, ta có điều kiện: r S r2 rh 1
15 h
Gọi (SAB) thiết diện qua đỉnh S hình nón có tâm O, đáy H
SH 15cm
AH 6cm r SH h r 15 h
AH SH 15
15 h
r
5 30 5r
h
2
Thế (3) vào (1) ta có:
b H r
15 h
S
B A
(17) 30 5r S S x r r r 30 r
2
S' x r 30 r r S 75
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên maxS 75 tương ứng r5 Thay r5 vào (3) (4) ta được: h 2,5 (cm)
Vậy chọn đáp án A
Câu 10 Trong hình nón trịn xoay có diện tích tồn phần Tính thể tích hình nón lớn nhất?
A
9 B
12 C
2 D
Hướng dẫn giải
Xét Stp R2 R ( chiều dài đường sinh)
2 R
1 R R R
R R
Lúc đó:
2
2 2 2
1
V R h R R R R R
3 3 R
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2 2
1
V R R 2R V R 2R
3 R
2R 2R
V 2R 2R
18 18 72
V
12 72
Đẳng thức (1) (2) xảy 2R2 1 2R2
2 1
R R
4
Vậy: max V 12
tương ứng R 1;
2
Vậy chọn đáp án B
-+
75π
+
-6
S' r
(18)Câu 11. Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với
AM x x a , nửa đường thẳng Ax vng góc A với mặt phẳng hình vng, người ta lấy điểm S với SA y y 0 Với giả thiết x2y2 a2, tìm giá trị lớn thể tích hình chóp S.ABCM
A 3a
42 B
2 3a
12 C
2 2a
2 D
2 3a
8 Hướng dẫn giải
Xét x2y2 a2 y a2x
2
SABCM a
V V x a a x
6
Ta có max V xảy max 3V 2 xảy
Mà
2
2 a
3V x a x a x a 3a 3x
36
Áp dụng BĐT Cauchy cho số khơng âm, ta có:
1 2
2
4
2 6
2
x a x a x a 3a 3x
a 3V
36
a 81a 3a
V a V a
36.3 36.3.16 64
Dấu đẳng thức (2) xảy a x 3a 3x x a
Do M trung điểm AD thể tích VSABCM cực đại
2 3a max V
8
Vậy chọn đáp án D
Câu 12.Cho tam giác OAB có cạnh a0 Trên đường thẳng (d) qua O vng góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M với OMx Gọi E, F hình chiếu vng góc A lên MB, OB Đường thẳng EF cắt d N Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ
A 3a
2 B
3a
4 C
a
2 D
3a Hướng dẫn giải
Để ý: AFMBO MNB AF
chiều cao hình chóp A.BMN
ABMN MNB
1
V AF.S AF.BO.MN
3
a x y x
O
D A
B C
S
M
x a
E O
B F A
N
M
(19)Trong đó:
a AF
2 BO a
MN MO ON x ON
Do đó: min V ABMN min x ON Mặt khác, ta có: NOF∽BOM
2
NO OF a
OM.NO BO.OF x.ON const
BO OM
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
2 a
x ON a *
2
Dấu đẳng thức (*) xảy x ON a 2
a
min x ON a x ON
Vậy thể tích tứ diện ABMN nhỏ khi: x a 2
Vậy chọn đáp án C
Câu 13 Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD với AB 2a Trên mặt phẳng chứa BC vng góc với (P) lấy điểm E cho EBC tam giác đều; điểm I nằm đoạn BC, đặt: BIx O trung điểm AE
Câu 13.1.Tính độ dài OI theo a x
A x2ax 2a B x2ax 2a C x2ax 2a D x2ax 2a Hướng dẫn giải
Định lý đường trung tuyến cho:
2 2
2 2AI 2EI AE
OI
4
Với
2
2
2 2 2 2
EF 3a AF 5a
AE AF EF 8a , AI 4a x
2
OI x ax 2a
Vậy chọn đáp án B
Câu 13 2.Tìm x để độ dài OI lớn A a
2
B 2a C a
(20)A a
B 2a C a
D a Hướng dẫn giải
Ta viết: OI2 f x x2ax 2a ; x 0; 2a
a
f ' x 2x a x
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
2 x 2a
2 x 2a
max f x f 2a 2a
a a
min f x f
2
x 2a
0 x 2a
max OI S 2a 2a
a a
min OI S
2
Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB CD 2x cạnh cịn lại có độ dài Xác định x để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn
A 1
2 B
2
C 2
D 2 Hướng dẫn giải
Nhận thấy mặt tứ diện tam giác
Suy ra, diện tích tồn phần tứ diện là: Stp4SACD 2AI.CD 1 Với AI đường cao CAD cân A, ta có:
1
tp
AI x ; x S 2.2x x 4x x ; x Nhận thấy:
2
max S max x x
2
max 16x x
Áp dụng BĐT Cauchy:
2
2 2
tp
x x
S 16x x 16
2
1
2x
2x 1
1 1
I C
A
B
D
x
2a O
F
A B
C D
E
I (2a)
2
(a 2)2
+
a
2
-∞
a
2 +∞
-2a
f'(x) x
f(x)
(21)Dấu đẳng thức (2) xảy x2 x2 x 2
Vậy với x 2
diện tích tồn phần tứ diện đạt giá trị lớn max Stp2 Vậy chọn đáp án B
Câu 15.Cho tứ diện ABCD cho AB 2x, CD 2y cạnh lại có độ dài Xác định x y để diện tích tồn phần đạt giá trị lớn
A x y
2 B
2 x y
2
C x y 1
D x y 1 Hướng dẫn giải
Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có: ABD cân D
2 2
DM AD AM x
Tương tự: AN y Lúc đó:
ABC ABD
1
S S AB.DM x x
2
Hoàn tồn tương tự:SBCD SACDy y Vậy diện tích toàn phần Stp tứ diện là:
2
tp ABC ABD BCD ACD
S S S S S 2 x x y y
Áp dụng BĐT Schwart, ta có:
2 2 2
tp
S x x y y x x y y S
Dấu đẳng thức (1) xảy
2
x x
x y y y
Vậy max Stp x y 2
Vậy chọn đáp án B
Câu 16 Cho tứ diện SABC có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC), nhị diện cạnh SB nhị diện vng Biết SB a 2 , góc BSC
4
, góc ASB ;
2
Với giá trị
của VSABC lớn A
3 B
6 C
2 D
4 Hướng dẫn giải
1
2y
2x 1
1 1
N C A
B
(22)Thể tích tứ diện SABC là:
SABC SAB
SABC
V BC.S
3
V a 2SA.AB
6
Với ý:
AB
sin AB a sin SB
SA
cos SA a cos SB
Khi đó:
3 SABC
1 a
V a 2.a sin a cos sin
6
Vậy: max V SABC sin
4
Vậy chọn đáp án D
Câu 17.Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy điểm A, B, C Giả sử A, B, C thay đổi ln có:
OA OB OC AB BC AC k không đổi Hãy xác định giá trị lớn thể tích tứ diện OABC
A
3
1 k
6 3 B
3
1 k
6 3 C
3
1 k
6 3 D
3
1 k
6 3 Hướng dẫn giải
Ta có: OA OB OC AB BC AC k
2 2 2
a b c a b b c a c k
Với a 0, b 0, c 0 Áp dụng BĐT Cauchy:
2
2
2
a b c abc
a b 2ab
b c 2bc
a c 2ac
Lấy: 2 áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2 2 2
a b b c a c 2ab 2bc 2ac 3 abc Thể tích hình chóp: VSABC 1abc 6VSABC abc
6
Tương tự: 1 lại áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
a 2 α 45°
A C
S
B
c a
b O
C A
B
(23)
3 3
SABC
SABC
k 3 abc k 3 6.V
1 k
V
6 3
Dấu đẳng thức (7) xảy đồng thời (5) (6) xảy a b c
Vậy
3 SABC
1 k
max V
6 3
a b c
Vậy chọn đáp án A
Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O Gọi S điểm mặt phẳng (ABCD) cho SB SD Gọi M điểm tùy ý AO với AMx Mặt phẳng qua M song song với SA BD cắt SO, SB, AB N, P, Q Cho SA a Tính x để diện tích MNPQ lớn
A a
2 B
a
4 C
a
3 D
a Hướng dẫn giải
Nhận xét: Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Thật Vì SB SD Hai tam giác SBC SDC Gọi I trung điểm SC, ta có:
IB ID BID cân IIOBD Mà IO SA∥ SABD
Mp ∥BD cắt hai mặt phẳng (ABO) (SBO) theo hai giao tuyến: MQ NP OB∥ ∥
Mp ∥SA cắt hai mặt phẳng (SAO) (SAB) theo hai giao tuyến: MN PQ SA∥ ∥ Vậy MNPQ hình bình hành
Biết SAOB MNPQ hình chữ nhật Ta có: SMNPQ MQ.MN
Biết tam giác AMQ vuông cân M MQ MA x Và
a x
NM OM NM 2 a 2x
NM
SA OA a a 2 2
2
Vậy SMNPQ x a x 2 (với x a 2
)
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số x a x 2 Ta có:
2 2
x a x a
x a x
2
a P
N
Q
O I
C
A D
A
B
(24)Vậy
2
x a x a a 2
2 4 2
SMNPQ a2
8
Dấu “=” xảy x a x x a a 2
M trung điểm AO Vậy chọn đáp án B
Câu 19 Cho tam diện Oxyz có góc xOyyOz zOx Trên Ox, Oy, Oz lấy A, B, C cho OA OB OC x Tính để diện tích xung quanh lớn
A
2 B
4 C
3 D
4 Hướng dẫn giải
Vì xOy yOz zOx OA OB OC x
OAB OBC OAC AB BC CA
Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
OH trục tam giác ABC Ta có: Sxq 3SOBC 3x sin2
2
2 xq
3 max S x
2
sin
2
Vậy chọn đáp án A
Câu 20 Hình chóp tứ giác SABCD có cạnh SAx, x 0, , tất cạnh cịn lại có độ dài Xác định x để hình chóp tích lớn
A
3 B
3
4 C
3
2 D
3 Hướng dẫn giải
Dễ thấy hai tam giác SBD CBD (c.c.c) OS OC
OS OC OA
ASC
vuông S ABCD
1
S AC.BD
2
ASC
vuông cho AC x21 COD
vuông O cho:
x
x
x
α 2
H M
A C
B O
x
H O
B D
A S
C
(25)2
2 x x
OD CD OC
4
Vậy SABCD x x2 2
Vì SB SC SD 1 SH trục tam giác BCDSHAC Tam giác ASC vuông cho:
2
2 2 2
1 1 1 x
1
SH SC SA x x
x SH
x
Ta có:
2
2 x x
x x V
6
Áp dụng BĐT Cauchy:
2
2 x x
x x
6
Vậy Vmax
x2 x2 x
Vậy chọn đáp án C.
Câu 21 Trong hình trụ có diện tích tồn phần khơng đổi a Tìm thể tích hình trụ lớn
A 3a
3 B
3a3
5 C
3a3
2 D
a
3 Hướng dẫn giải
Gọi x, y bán kính đáy chiều cao hình trụ Theo giả thiết ta có:
2 2
2 x 2 xy a x xy a Thể tích hình trụ là: V x y2
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: x ,2 xy xy,
2 , ta có:
2 xy xy x y x y x y 2a
x a a 27 x y
2 4 3
Vậy
3 a V
3
Suy
3 a max V
3
Dấu “=” xảy
2
a x
xy a 3
x
2 2a 3
y
Vậy chọn đáp án D
Câu 22. Trong hình trụ có diện tích xung quanh cộng diện tích đáy khơng đổi
2 a Tìm thể tích hình trụ lớn A
3 B
3
4 C
a
9 D
(26)Nếu hình trụ hở đáy, ta có: x2 xy a 2 x22xy 2a Thể tích hình trụ: V x y2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: x ,xy,xy Ta có:
2 2
3 3
6 2
3
x xy xy x y 2a x y
2 2a 6a a
8a 27x y x y x y V
9
3 a
max V
9 Dấu “=” xảy khi:
2
2 2a
x xy x y a
3
Vậy chọn đáp án C
Câu 23 Trong tất hình trụ có thể tích V, tính diện tích tồn phần hình trụ nhỏ
A V
4 B
3 V
3
5 C
V
9 D
3 V
3 Hướng dẫn giải
Gọi x, y bán kính đáy chiều cao hình trụ Ta có: S x 2 xy V x y2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: x ,2 xy xy, 2 Ta có:
3
2
xy xy x
xy xy 2 2
x
2
3
4 2
x y x xy
4
3
2 2
3
2 S
V 27 V V
S S
27 4
4
Dấu “=” xảy khi:
V x
xy V
x
2 V
y 2
Vậy chọn đáp án A
Câu 24 Trong tất hình nón có diện tích tồn phần a2, tìm hình nón tích lớn
(27)A max V 2a3
11 B
max V a
12 C
max V a
13 D
max V a
3 Hướng dẫn giải
Gọi x, y chiều cao, bán kính đáy hình nón, ta có:
2 2
2
y y x y a
1
V y x
3
Từ (1) ta có: y x2y2 a2y2
4
2 2 2
2
4
2
y a y a
a
y x y a 2a y y y
x 2a
1 x
V a
3 x 2a Biết:
2 2
2
x 2a 2a
x 2a 2a
x x
(BĐT Cauchy)
2
x
2 2a x 2a
Suy V 2a3 12
Vậy: max V 2a3 12
Dấu “=” xảy khi:
2 x a
2a
x a
x y
2
Vậy chọn đáp án C
Câu 25 Trong tất hình nón có độ dài đường sinh a , tìm hình nón tích lớn
A
3 a MaxV
27 B
max V a
2 C
3 max V a
23 D
max V a
13 Hướng dẫn giải
Gọi x, y bán kính đáy chiều cao hình nón, ta có:
2
2
x y a
V x y
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số:
2
x x , , y
2 , ta có:
2
2 2
6
4 2
3
x x
y x y a x y 2
a a
x y x y
27 3 3
a a
V MaxV
(28)Dấu “=” xảy khi:
2
2
2 x a
x y a
2 a
y
Vậy chọn đáp án A
Câu 26 Tìm hình nón tích nhỏ ngoại tiếp hình trụ có bán kính r chiều cao h
A
2 r h V
5 B
r h2
min V
3 C
r h2
min V
4 D
r h2
min V Hướng dẫn giải
Gọi x, y bán kính chiều cao hình nón ngoại tiếp Thể tích hình nón là: V x y2
3
Các tam giác SOE SID đồng dạng cho :
y y h hx
y
x r x r
3 hx V
3 x r
Xét biểu thức:
2
2
r x r
x r 1 r
3 r x r x
Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số: r r, , 2r
x x x
Ta có:
3 r r 2r
2
r r 2r x x x
x x x 27
2 3 2
r r x 27r
1
x x 27 x r
Vậy:
3
3
x r x 27r
x r
x 27r
2
r h r h
V V
4
Dấu “=” xảy khi: r r x 3r
x x
Vậy chọn đáp án C
Câu 27 Cho hình nón trịn xoay đỉnh S, thiết diện qua trục tam giác cạnh 2R Người ta cho hình cầu nội tiếp với mặt bên hình nón Tính bán kính hình cầu để phần thể tích chung hình nón hình cầu lớn
A R
2 B
R
3 C
R 2
D R Hướng dẫn giải
x r
h y
B A O
E F
S
D C
(29)Giả sử mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt bên hình nón
Thể tích phần chung hình cầu hình nón cho công thức:
2
V CD 3x CD
Biết rằng: CD SC DS SC SO OD SC OD SO R x 2x R x
Vậy V R x 2 4x R 3
Gọi E trung điểm SB, tiếp điểm M phải thuộc đoạn EB
R SM 2R
R x 2R
3 R x
2x R
3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số: R x,R x 2x R
ta có:
3 R 2R 2x 2x
R 2
R x R x 2x
2
2 3
1 3
R x 4x R R
3
Suy ra: V 3R3 max V 3R3
4
Dấu “=” xảy khi: R x 2x R
x R CD SC x R 3 R R
2 2
Vậy CD x Tâm O mặt cầu trùng với trung điểm C cạnh AB Vậy chọn đáp án A
D R
30°
E S
M
C
A B