Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 18 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
18
Dung lượng
1,71 MB
Nội dung
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SB b tam giác SAC cân S Trên cạnh AB lấy điểm M với AM x x a Mặt phẳng qua M song song với AC, SB cắt BC, SC, SA N, P, Q Xác định x để diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn a A x a B x Lời giải: Ta có: MN//AC MN BM AC a x BA Tam giác SAB có MQ//SB MQ SMNPQ MN MQ AM bx SB BA a b a x x a (đến ta thử đáp án) Ta có: a x a x x x a Do SMNPQ max a x x x a a a D x C x Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA a AM AN k AB AD k 1 Mặt phẳng qua MN song song với SA cắt SD, SC, SB P, Q, tam giác SBD cân S Trên cạnh AB, AD lấy M, N cho R Xác định k để diện tích thiết diện MNPQR đạt giá trị lớn A k C k B k D k 3 Lời giải: MNPQR hợp hai hình thang vuông MIQR NIQP, đó: MR//IQ//NP (cùng song song với SA) MN//BD Ta có: IQ 2 k a ; MR k a ; MI SMNPQR 2SMIQR IQ MR MI ka 2 a2 2.k 3k (đến ta thử đáp án) 1 3k 3k Ta có: k 3k 3k 3k 3 Do SMNPQR max 3k 3k k Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ điểm M di động cạnh AA’ MA Mặt phẳng (BMD’) cắt CC’ N Đặt k k 1 , xác định k để diện tích AA ' thiết diện BMD’N đạt giá trị nhỏ A k C k B k D k 3 Lời giải: Vì (ABB’A’)//(DCC’D’) nên BM//D’N Tương tự MD’//BN Vậy tứ giác BMD’N hình bình hành Kẻ MH BD ' thì: SBMD' N 2SBMD' BD '.MH Vậy SBMD' N đạt giá trị nhỏ MH nhỏ nhất, nghĩa MH đoạn vuông góc chung AA’ BD’ hay M trung điểm AA’ H trung điểm BD’ Suy k Chú ý: Ở đây, điểm M phải nằm đoạn thẳng AA’ N phải nằm đoạn thẳng CC’ Lời giải thỏa mãn hai điều kiện Tuy nhiên, số toán, chân đường vuông góc chung hai đoạn thẳng lại nằm đoạn thẳng kéo dài Trong số toán khác , điểm di động phải thỏa mãn thêm số điều kiện bổ sung, nên đoạn thẳng ngắn chưa đường vuông góc chung Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a hai điểm M, N di động đường chéo A’B AC cho A ' M AN x Xác định x để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ A x B x a a Lời giải: Ta có: x a , MB NC a x Trên cạnh AB lấy điểm H cho MH//AA’ AH A ' M AN HB MB NC nên theo đinh lý Thales đảo suy HN//BC C x a D x a MHN vuông H Vì tam giác AHN BHM vuông cân H nên HN AN x , HM BM a x 2 a a2 a2 Ta có: MN MH NH x a x a x 2 2 2 Dấu “=” xảy x a 2 Câu 5: Cho hai đường thẳng Ax, By chéo vuông góc với có AB a đường vuông góc chung Hai điểm M, N di động Ax, By cho MN b (với b độ dài cho trước) Xác đinh độ dài đoạn thẳng AM theo a, b để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn A AM B AM b2 a2 C AM b2 a b2 a2 D AM b2 a2 Lời giải: BN AB BN ABM BN BM Đặt AM u, BN v Vì BN AM 1 1 VABMN VN ABM SABM BN AM.AB.BN auv 3 Ta có: BM AB2 AM MN BN Suy ra: u2 v MN AB2 b2 a Theo BĐT AM-GM: b a u v 2uv VABMN 2 2 a b2 a2 12 u v b2 a2 b2 a2 Dấu “=” xảy Vậy u v AM 2 2 u v b a Câu 6: Cho tứ diện ABCD điểm M di động tứ diện Các đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt mặt phẳng BCD , ADC , ABD , ABC A’, B’, C’, D’ tương ứng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P A Pmin 12 B Pmin AM BM CM DM MA ' MB ' MC ' MD ' C Pmin D Pmin 16 Lời giải: Ta có: VM BCD MA ' VM ACD MB ' VM ABD MC ' VM ABC MD ' ; ; ; VA BCD AA ' VB ACD BB ' VC ABD CC ' VD ABC DD ' Và: VM.BCD VM ACD VM ABD VM ABC VABCD Suy ra: MA ' MB ' MC ' MD ' 1 AA ' BB ' CC ' DD ' AA ' BB ' CC ' DD ' AA ' BB ' CC ' DD ' MA ' MB ' MC ' MD ' MA ' MB ' MC ' MD ' MA ' MB ' MC ' MD ' AA ' BB ' CC ' DD ' AA ' BB ' CC ' DD ' AA ' BB ' CC ' DD ' MA ' MB ' MC ' MD ' 44 16 MA ' MB ' MC ' MD ' MA ' MB ' MC ' MD ' AA ' BB ' CC ' DD ' Từ đó: P AA ' BB ' CC ' DD ' AM AA ' BM BB ' CM CC ' DM DD ' MA ' MB ' MC ' MD ' MA ' MB ' MC ' MD ' AA ' BB ' CC ' DD ' MA ' MB ' MC ' MD ' 4 12 MA ' MB ' MC ' MD ' AA ' BB ' CC ' DD ' Vậy minP 12 Dấu “=” xảy M trọng tâm tứ diện ABCD Câu 7: Cho tứ diện SABC với SA a , SB b , SC c Một mặt phẳng thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt SA, SB, SC tương ứng D, E, F Tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức P 2 SD SE SF 25 a b2 c 2 a b c A Pmin B Pmin 16 a b2 c 2 a b c C Pmin D Pmin Lời giải: Vì G trọng tâm tứ diện nên đường thẳng SG qua trọng tâm S’ tam giác ABC nên có hệ thức: SG SS ' SA SB SC 4 Từ đó: 4SG SA SB SC SD SE SF SD SE SF 4SG a b c SD SE SF SD SE SF Lại điểm D, E, F, G đồng phẳng nên a b c 4 SD SE SF a b c 1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: a2 b2 c 2 2 SD SE SF SD SE SF 1 16 16 P 2 Vậy Pmin 2 2 SD SE SF a b c a b c Bài tập tương tự: Cho tứ diện SABC với SA SB SC Một mặt phẳng thay đổi qua trọng tâm G tứ diện cắt SA, SB, SC tương ứng D, E, F Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức P SD.SE SE.SF SF.SD 16 12 A Pmin B Pmin C Pmin D Pmin 3 Câu 8: Cho tứ diện ABCD, biết BCD tam giác cạnh a có tâm điểm O Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn BCD làm đường tròn lớn Tìm thể tích lớn tứ diện ABCD A maxV ABCD B maxV ABCD a3 a3 C maxV ABCD D maxV ABCD a3 a3 12 Lời giải: Để ý đường tròn BCD đường tròn lớn mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có O tâm tam giác BCD cạnh a, nên tâm O tam giác BCD tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, suy OA OB a Gọi AH đường cao tứ diện ABCD hạ từ đỉnh A xuống mặt đáy BCD Suy AH OA 1 a2 a2 a3 V ABCD SBCD AH AH OA 3 12 12 Câu 9: Cho tam giác OAB có cạnh a Trên đường thẳng d qua O vuông góc với mặt phẳng OAB lấy điểm M với OM x Gọi E, F hình chiếu vuông góc A lên MB, OB Trên đoạn thẳng EF cắt d N Xác định x để thể tích tứ diện ABMN nhỏ A x a 2 B x a a a D x C x Lời giải: AF MBO MNB AF chiều cao hình chóp A.BMN NO OF a2 OM.NO BO OM NOF BOM suy V ABMN a2 a2 a2 BO.MN AF OM ON OM ON 12 12 12 Đẳng thức xảy x a 2 Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA h SA ABCD Một điểm M di động cạnh CD Đặt CM x , hạ SH BM (H thuộc BM), xác định x để thể tích tứ diện SABH đạt giá trị lớn A x a 2 C x a B x a D x a Lời giải: BM SH BM SAH BM AH Ta có: BM SA Biết HBA CMB (so le trong) sinHBA sinCMB AH AB.BC a2 BM a2 x SH SA2 AH h2 VSABH Xét: AH BC AB BM ax a4 ; BH AB2 AH 2 a x a2 x2 1 a hx SABH SA (đến ta thử đáp án) a x2 x 1 Đẳng thức xảy x a hay M trùng với D 2 2a a x a a x x x x Câu 11: Cho tứ diện ABCD có SC CA AB a ; SC ABC , tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc SA, N thuộc BC cho AM CN t t 2a Tìm t để độ dài đoạn thẳng MN ngắn 2a A t a B t 2a 3a D t C t Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz với A a; a; , B a; 0; , S 0; 0; a , N t ; 0; x a u t t t t SA : z a u M a u; a u; 2u Ta có: AM t u M a ; a ; 2 2 y 2u 2a 2a2 MN 2a 4at 3t t a 3 2 Đẳng thức xảy t 2a Câu 11: Cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a Trên cạnh AA’ kéo dài phía A’ lấy điểm M, cạnh BC kéo dài phía C lấy điểm N cho MN cắt cạnh C’D’ Tìm giá trị nhỏ MN 2a 3a A minMN C minMN B minMN 3a D minMN 2a Lời giải: Chọn hệ trục Oxyz A O Gọi M 0; 0; m , N a; n; Vì MD’//NC’ nên a am an m an a na MN m n a n2 an a na n2 an a Xét hàm số: f n na n a suy minMN 3a Đạt n 2a Câu 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ tâm I có AB a , AD 2a , AA ' a Trên AD lấy điểm M gọi K trung điểm B’M Đặt AM m m a Tìm thể tích lớn tứ diện A’KID A maxV A ' IKD a3 C maxV A ' IKD a3 12 B maxV A ' IKD a3 D maxV A ' IKD a3 24 Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ cho: A 0; 0; , B 0; a; , D a; 0; , D ' 0; 0; a m a a 2 Khi M m; 0; , K ; ; 2 V A ' IKD 1 a2 A ' K , A ' I A ' D 2a m 6 24 Suy maxV A ' IKD a3 đạt m hay M trùng với A 12 Câu 13: Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân C SA ABC , SC a Xác định cos với góc hai mặt phẳng SCB ABC để thể tích khối chóp cho đạt giá trị lớn A cos C cos B cos D cos Lời giải: SA ABC BC SC (theo định lý đường vuông góc) Ta có: BC CA Suy góc hai mặt phẳng SCB ABC SCA 2 SA a sin , AC BC a cos a3 VS ABC SABC SA sin cos (đến ta thử đáp án) Xét hàm số: f sin cos2 2 2 f ' x cos cos cos cos 3 Vì 2 nên cos cos Từ BBT ta suy maxf cos 2 f arccos đạt Câu 14: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có khoảng cánh từ đỉnh A đến mp SBC 2a Xác định sin với góc mặt bên mặt đáy để thể tích khối chóp cho đạt giá trị nhỏ A sin C sin B sin D sin Lời giải: Gọi O tâm hình vuông SO ABCD Gọi E, H trung điểm AD BC suy SE, SH trung đoạn hình chóp Vì AD//BC nên AD//(SBC) Suy d A , SBC d E , SBC Dựng EK SH EK SBC (vì SEK SBC ) Vậy EK d A , SBC 2a BC SH góc hai mặt phẳng SBC ABC SHO 2 BC OH Ta có: Ta có: EH 4a3 2a a , SO Vậy VS ABCD SABCD SO 3 cos sin sin cos VS ABCD đạt f cos sin đạt max 2 f ' sin sin sin sin Vì 2 nên sin sin Từ BBT ta suy maxf sin 2 f arsin đạt Câu 15: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AC ' a , AC ' B , góc đường thẳng AC’ mặt phẳng ABC 30 o Tìm sin2 để thể tích hình hộp cho đạt giá trị lớn A sin 3 B sin D sin C sin Lời giải: a CC ' Ta có CC ' ABCD AC '; ABCD CAC ' 30 o AC a AB a sin Lại có: AB BCC ' B ' AB BC ' a sin 2 BC AC AB VABCD A ' B'C ' D ' CC '.SABCD a3 sin sin (đến ta thử đáp án) 1 sin sin sin sin 2 Xét: Vậy max V 3a 3 đạt sin 16 Câu 16: Trên đường tròn đường kính AB R , lấy điểm C tùy ý Kẻ CH AB (H thuộc AB) Gọi I điểm CH Trên đường thẳng It vuông góc với ABC I lấy điểm S cho góc ASB 90o Đặt AH x , với giá trị x thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn A x R C x R R D x R B x Lời giải: SABC x R x 3.CH 1 AB.CH AB AH.BH R x 2R x ; SI 2 2 VSABC R R x 2R x R3 SABC SI x R x 6 Dấu “=” xảy x=R 2 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có AB CD 2x x AC AD BC BD Gọi I , J trung điểm cạnh AB CD Tìm x để thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn 1 A x C x 2 B x 3 D x Lời giải: DI AB AB ICD AB IJ Tương tự CD IJ Ta có: CI AB Vậy IJ đoạn vuông góc chung AB CD IJ ID DJ x , SICD IJ.CD x x 2 VABCD VAICD VIBCD SICD AI IB x 2x (đến thử đáp án) 3 Xét: x 2x Vậy maaxV ABCD x x x 2 x2 x2 2x2 3 đạt x 27 Câu 18: Cho hình chop S.ABCD có SC x cạnh lại có độ dài a Tìm x để thể tích tứ diện S.ABCD đạt giá trị lớn a a B x A x C x a D x a Lời giải: Gọi AC BD O Ta có ABD CBD SBD SO OA AC ASC 90o OB OD SO BD BD SAC Vì SB SD BD2 4OB2 AB2 OA2 3a2 x2 BD 3a2 x 1 a x 3a x a VS ABCD VB.SAC VD.SAC SA.SC.BD ax 3a x 6 Vậy maxV a a3 đạt x Câu 19: Cho hình chữ nhật ABCD có AB a , AD b Dựng tia hai Ax Cy vuông góc với mặt phẳng ABCD cho tia Ax , Cy phía so với mặt phẳng ABCD Điểm M chuyển động Ax , điểm N chuyên động Cy MBD NBD Tìm thể tích nhỏ tứ diện BDMN a2 b2 A minVBDMN B minVBDMN C minVBDMN a2 b2 a2 b2 a b D minVBDMN Lời giải: cho MBD , ABCD NBD , ABCD 900 MBD NBD AH BD MH BD MHA Trong mp ABCD kẻ o CK BD NK BD NKC 90 MBD NBD MH NBD Vì MH BD 1 a b2 VBDMN SNBD MH BD.NK.MH 3sin 2 a2 b2 a2 b2 a b2 a2 b2 a b2 Với BD a2 b2 ; NK ab sin a2 b2 Vì 2 sin 2 VBDMN Vậy minVBDMN a2 b2 a b2 ; MH ab cos a b2 a2 b2 a b2 đạt Câu 20: Cho tứ diện ABCD cho AB 2x , CD y cạnh lại đề có độ dài Xác định x, y để diện tích toàn phần tứ diện đạt giá trị lớn A x y B x y 2 C x y D x y Lời giải: Gọi M, N trung điểm AB, CD Ta có: DM AD AM x Tương tự AN y SABC SABD x x ; SBCD SACD y y x2 x2 y y Stp SABC SABD SBCD SACD x x y y 2 Dấu “=” xảy x y 2 2 Câu 20: Trên cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M với AM x x a nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông , lấy điểm S với SA y Với giải thiết x2 y a2 , tìm giá trị lớn thể tích hình chóp S.ABCM A maxVS ABCM 3a C maxVS ABCM 3a 12 3a 24 B maxVS ABCM D maxVS ABCM 3a Lời giải: Theo đề x y a y a x AM BC a VS ABCM AB.SA Xét: a x a 2 x2 a x a 2 x2 a x a x 3a 3x a x a x a x a x 3a 3x 9a Vậy maxVS ABCM 3a a đạt x Câu 20: Cho tứ diện SABC có SA ABC , nhị diện cạnh SB nhị diện vuông Biết , ASB Với giá 2 trị thể tích tứ diện SABC đạt giá trị lớn phần tứ diện đạt giá trị lớn Biết SB a , BSC A B C D Lời giải: a3 a3 AB SB.sin a sin sin 2 VSABC VB.SAC BC.SA AB 6 SA SB cos a cos Đạt Bài tập Nâng cao 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM luôn cắt SB, SD lại B’ D’ V Gọi V VS ABCD V1 VS AB' MD' Tìm giá trị lớn tỉ số V A B C D 2) Cho tứ diện ABCD có AD ABC , tam giác ABC vuông A, AD a , AC b , AB c Tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác BCD ab bc ca A abc a b c B C abc a b c abc a b c D 2 3) Trong mặt phẳng P cho đường tròn đường kính AB a điểm C di động đường tròn (C không trùng với A B) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P A, lấy điểm S cho SA h Mặt phẳng Q qua A vuông góc với SB cắt SB, SC B’, C’ Tìm giá trị lớn thể tích hình chóp S.AB’C’ a2 h4 a2 h4 A C 3 12 a h a2 h2 a2 h4 B a h2 a2 h4 D a h2 THẦY CÔ CẦN FILE WORD XIN LIÊN HỆ TÁC GIẢ ... cạnh AD hình vuông ABCD cạnh a, lấy điểm M với AM x x a nửa đường thẳng Ax vuông góc A với mặt phẳng hình vuông , lấy điểm S với SA y Với giải thiết x2 y a2 , tìm giá trị lớn... tròn (C không trùng với A B) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P A, lấy điểm S cho SA h Mặt phẳng Q qua A vuông góc với SB cắt SB, SC B’, C’ Tìm giá trị lớn thể tích hình chóp... cao hình chóp A.BMN NO OF a2 OM.NO BO OM NOF BOM suy V ABMN a2 a2 a2 BO.MN AF OM ON OM ON 12 12 12 Đẳng thức xảy x a 2 Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông