Chuyên đề I: Ứng dụng vectơ để giải toán hình học – Toán 10

2. Chứng minh rằng M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi có hai số thực , có tổng bằng 1 sao cho: OM OA OB. Chứng minh rằng trung điểm I của AB thuộc một đường thẳng cố định.. Chứng [r]

(1)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

CHUYÊN ĐỀ I: ỨNG DỤNG VECTƠ ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH HỌC Phương pháp chung

Để giải toán tổng hợp phương pháp vectơ ta thường thực theo bước sau

Bước 1: Chuyển giả thiết kết luận tốn sang ngơn ngữ vectơ, chuyển toán tổng hợp toán vectơ.

Bước 2: Sử dụng kiến thứcvectơ để giải tốn

Bước 3: Chuyển kết toán vectơ sang kết toán tổng hợp

Sau số dạng toán thường gặp

I CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG CỐ ĐỊNH

1 Phương pháp giải

• Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ AB AC phương, tức tồn số thực k cho: AB kAC

• Để chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định ta chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H điểm cố định

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt A, B Chứng minh M thuộc đường thẳng AB có hai số thực , có tổng cho: OM OA OB

Lời giải

* Nếu A, B, M thẳng hàng AM kAB AO OM k AO( OB) OM (1 k OA) kOB Đặt k ; k

OM OA OB

* Nếu OM OA OB với 1

OM OA (1 )OB OM OB (OA OB) BM BASuy M, A,

B thẳng hàng

Ví dụ 2: Cho góc xOy Các điểm A, B thay đổi nằm Ox, Oy cho

2

OA OB Chứng minh trung điểm I AB thuộc đường thẳng cố định Định hướng: Ta có hệ thức vectơ xác định điểm I 1

2

OI OA OB (*) Từ ví dụ 1 ta cần xác định hai điểm cố định A', B' cho OI OA' OB' với

1 Do từ hệ thức (*) ta nghĩ tới việc xác định hai điểm cố định A', B' Ox, Oy

Ta có * ' '

2 ' '

OA OB

OI OA OB

OA OB từ ta cần chọn điểm cho

1

2 ' '

OA OB

OA OB Kết hợp với giả thiết OA 2OB ta chọn điểm A' B'

cho ' 3, '

2

OA OB

(2)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Trên Ox, Oy lấy hai điểm A', B' cho ' 3, '

2

OA OB

Do I trung điểm AB nên 1 ' '

2 2 ' '

OA OB

OI OA OB OA OB

OA OB

Ta có

2 ' ' 3

2

OA OB OA OB

OA OB

Do điểm I thuộc đường thẳng A'B' cố định

Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, I trung điểm cạnh BC E điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AE

AC

2

3 Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng

Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta tìm số k cho

DE kDI , muốn ta phân tích vectơ DE DI, qua hai vectơ không phương AB AD sử dụng nhận xét " ma nb m n với a b, hai vectơ

không phương " từ tìm

3

k

Lời giải (hình 1.35)

Ta có DI DC CI DC 1CB AB 1AD

2 (1)

Mặt khác theo giả thiết ta có AE 2AC

3 suy

3

DE DA AE DA AC

2

3 3

AD AB AD AB AD(2)

Từ (1) (2) suy

3

DE DI

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng

Ví dụ 4: Hai điểm M, N chuyển động hai đoạn thẳng cố định BC BD ( M B N, B) cho BC BD

BM BN

2 10

Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Lời giải

Dễ thấy tồn điểm I thuộc MN cho 2BC IM 3BDIN

BM BN

E

I A

D C

B

(3)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Gọi H điểm thỏa mãn 2HC 3HD H cố định Ta có 5HB 2BC 3BD

2

5

BC BD

BM BN BH

BM BN

2

5

BC BD

BI IM BI IN BH

BM BN

2BC 3BD BI 5BH

BM BN (theo (1))

1

10

2

BI BH BI BH (3)

Do điểm B, H cố định, nên điểm I cố định.(xác định hệ thức (3))

Ví dụ 5: Cho ba dây cung song song AA BB CC1, 1, 1 đường tròn (O) Chứng minh trực tâm ba tam giác ABC BCA CAB1, 1, 1 nằm đường thẳng

Lời giải

Gọi H H H1, 2, 3 trực tâm tam giácABC BCA CAB1, 1, 1

Ta có: OH1 OA OB OC1, OH2 OB OC OA1 OH3 OC OA OB1

Suy H H1 2 OH2 OH1 OC OC1 OA1 OA C C1 AA1

H H1 3 OH3 OH1 OC OC1 OB1 OB C C1 BB1 Vì dây cung AA BB CC1, 1, 1 song song với

Nên ba vectơ AA BB CC1, 1, 1 có phương

Do hai vectơ H H1 2 H H1 3cùng phương hay ba điểm H H H1, 2, 3 thẳng hàng 3 Bài tập luyện tập

Bài 1.101: Cho tam giác ABC điểm M trung điểm AB, N thuộc cạnh AC cho

AN 2AC

3 , P điểm đối xứng với B qua C Chứng minh M, N, P thẳng hàng

Bài 1.102: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC cho AM 1AB AN, 3AC

3 Gọi O giao điểm CM BN Trên đường thẳng

(4)

Bài 1.103: Cho ABC lấy điểm I, J thoả mãn IA 2IB, 3JA 2JC Chứng minh IJ qua trọng tâm G ABC

Bài 1.104: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N di động thỏa mãn

MN MA MB MC

a) Chứng minh MN qua điểm cố định

b) P trung điểm AN Chứng minh MP qua điểm cố định

Bài 1.105: Cho hai điểm M,P hai điểm di động thỏa mãn MP aMA bMB cMC Chứng minh MP qua điểm cố định

Bài 1.106 Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm đối xứng D qua điểm A, F điểm đối xứng tâm O hình bình hành qua điểm C K trung điểm đoạn OB Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng K trung điểm EF.

Bài 1.107: Cho hai tam giác ABC ABC1 1 ; A B C2 ,2 2 trọng tâm tam giác BCA CAB ABC1, 1, 1 Gọi G G G, ,1 2 trọng tâm tam giác ABC ABC, 1 1, A B C2 2 2

Chứng minh G G G, ,1 2 thẳng hàng tính GG

GG

Bài 1.108. Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P nằm đường thẳng BC, CA, AB cho MB MC NC, NA PA, PB

Tìm điều kiện , ,  để M, N, P thẳng hàng

Bài 1.109: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O Chứng minh trung điểm hai đường chéo AC, BD tâm O thẳng hàng

(5)

II CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

1 Phương pháp giải

• Để chứng minh đường thẳng AB song song với CD ta chứng minh AB kCD điểm A khơng thuộc đường thẳng CD

• Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh theo hai hướng sau: + Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định

+ Chứng minh đường thẳng qua giao điểm hai đường thẳng cịn lại 2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ

Chứng minh IJ song song với AE Lời giải (hình 1.36)

Ta có 2IJ IQ IN IM MQ IP PN

MQ PN AE BD DB

AE

1

2

1

Suy IJ song song với AE

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC.Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn

0, MB MC NC NA PA PB AM, BN, CP đồng quy O, với O điểm xác định OA OB OC

Lời giải

Ta có MB MC MO OB MO OC

OA OB OC MO OA

MO OA

Suy M, O, A thẳng hàng hay AM qua điểm cố định O Tương tự ta có BN, CP qua O

Vậy ba đường thẳng AM, BN, CP đồng quy

Ví dụ 3: Cho sáu điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Gọi tam giác có ba đỉnh lấy sáu điểm ' tam giác có ba đỉnh cịn lại Chứng minh với cách chọn khác đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' đồng quy Định hướng. Giả sử sáu điểm A, B, C, D, E, F

Ta cần chứng minh tồn điểm H cố định cho với cách chọn khác H

thuộc đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác ' Nếu tam giác ABC ' tam giác DEF Gọi G G' trọng tâm tam giác ABC tam giác DEF

H thuộc đường thẳng GG' có số thực k cho HG kHG'

I J Q

P N M

A

B

C

D E

(6)

k

HA HB HC HD HE HF

1

( ) ( )

3

k k k

HA HB HC HD HE HF

1 1

0

3 3 3

Vì vai trò điểm A, B, C, D, E, F tốn bình đẳng nên chọn k cho

k

1

3 HA HB HC HD HE HF

Lời giải

Gọi H trọng tâm sáu điểm A, B, C, D, E, F

HA HB HC HD HE HF *

Giả sử G G, ' trọng tâm hai tam giác ABC DEF, suy

GA GB GC 0,G D' G E' G F'

Suy

HG GA GB GC HG G D G E G F

* 3 ' ' ' '

HG HG'

Do GG' qua điểm cố định H đường thẳng nối trọng tâm hai tam giác

' đồng quy

3 Bài tập luyện tập

Bài 1.111: Cho tứ giác ABCD, gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh hai đường thẳng KL AD song song với

Bài 1.112: Trên cạnh BC, CA, AB tam giác ABC lấy điểm A B C1, ,1 1 cho A B B C C A k k

AC B A C B

1 1

0 Trên cạnh B C C AB AB1 1, 1 1, 1 1 lấy

điểm A B C2, ,2 2 cho A B B C C A

AC B A C B k

2 2

1

Chứng minh tam giác A B C2 2 2 có cạnh tương ứng song song với cạnh tam giác ABC

Bài 1.113: Trên đường trịn cho năm điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Qua trọng tâm ba năm điểm kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng qua hai điểm lại Chứng minh mười đường thẳng nhận cắt điểm Bài 1.114. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Kẻ MM', NN', PP', QQ' vng góc với CD, DA, AB, BC Chứng tỏ bốn đường thẳng MM', NN', PP', QQ' đồng quy điểm Nhận xét điểm đồng quy hai điểm I, O (I giao điểm MP NQ)

(7)

Bài 1.116: Cho tam giác ABC Ba đường thẳng x, y, z qua A, B, C chúng chia đôi chu vi tam giác ABC

Chứng minh x, y, z đồng quy

Bài 1.117: Cho tam giác ABC, đường trịn bàng tiếp góc A, B, C tương ứng tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB M, N, P.Chứng minh AM, BN, CP qua điểm, xác định điểm

Bài 1.118 : Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA a) Gọi G giao điểm MP NQ Chứng minh GA GB GC GD

b) Gọi A B C D1, , ,1 1 1 trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB, ABC Chứng minh đường thẳng AA BB CC DD1, 1, 1, 1 đồng quy điểm G

Bài 1.119: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M điểm tùy ý Gọi A B C1, ,1 1 điểm đối xứng với M qua trung điểm I, J, K cạnh BC, CA, AB Chứng minh

a) Các đường thẳng AA BB CC1, 1, 1 đồng quy trung điểm O đường b) M, G, O thẳng hàng MO

MG

3

Bài 1.120: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P tiếp điểm đường tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC CA AB, , Gọi a đường thẳng qua trung điểm PN vng góc với BC, b đường thẳng qua trung điểm PM vng góc với AC, c đường thẳng qua trung điểm MN vuông góc với AB Chứng minh a, b c đồng quy

(8)

III BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TỈ SỐ ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG 1 Phương pháp

Phân tích vectơ qua hai vectơ không phương sử dụng kết sau: Cho a b, hai vectơ không phương

• Với vectơ x tồn số thực m n, cho x ma nb

• ma nb m n

• Nếu c ma nb c, ' m a' n b m n' , ' ' c c, ' hai vectơ phương m n

m' n'

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm thuộc cạnh AB, N điểm thuộc cạnh AC

cho AM 1AB AN, 3AC

3 Gọi O giao điểm CM BN

Tính tỉ số ON

OB OM OC

Giả sử ON nBN ; OM mCM Ta có AO AM MO AM mCM

AM m AM( AC) 1(1 m AB) mAC

3 ;

Và AO AN NO AN nBN

AN n AN( AB) 3(1 n AC) nAB

4

Vì AO có cách biểu diễn qua AB AC suy

m n m

n m n

1

(1 )

3

(1 )

4

Vậy ON

OB

1

OM OC

2

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD M thuộc đường chéo AC cho AM kAC Trên cạnh AB, BC lấy điểm P, Q cho MP / /BC MQ, / /AB Gọi N giao điểm AQ CP

Tính tỉ số AN AQ

CN

CP theo k

O A

B C

M

N

(9)

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Đặt AN xAQ CN , yCP, ta có:

DN DA AN DA xAQ

DA x AB( BQ)

BQ

DA xDC x BC

BC BQ

DA xDC x DA

BC

Vì MQ AB BQ AM k

BC AC

/ / nên DN (1 kx DA) xDC (1) Mặt khác DN DC CN DC yCP DC y CB( BP) DC yDA yBPBA

BA

Vì MP BC BP CM CA AM k

BA CA CA

/ / nên

DN DC yDA y(1 k DC) yDA (1 ky y DC) (2)

Từ (1) (2) ta suy ra:

k x

y kx k k

x ky y k

y k k 2 1 1

Do AN k

AQ k2 k 1

CN k

CP k2 k

1

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Trên cạnh AB AC lấy điểm B’ C’ Gọi M' giao điểm B'C' AM Chứng minh: AB AC AM

AB' AC ' 2AM'

Đặt AB xAB' ; AC yAC= ' ; AM zAM' Vì M' B C' ' k B M: ' ' kB C' '

AM AB k AC AB

( ' ') ( ' ')

AM' (1 k AB) ' kAC'

k k

AM AB AC

z x y

1

k k

AB AC AB AC

z x y

k k

x y z

z x y x y

1 1

( )

2

1 1

2

Hay AB AC AM

AB' AC' 2AM' đpcm

3 Bài tập luyện tập

(10)

Bài 1.122 Cho tam giác ABC, cạnh AB, BC ta lấy điểm M, N cho

AM BN

MB NC

2

;

5 Gọi I giao điểm AN CM

Tính tỉ số AI

AN CI IM

Bài 1.123: Cho tam giác ABC trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB cắt đoạn thẳng AM, AC BC D, E F Một điểm G nằm cạnh AB cho FG song song AC

Tính ED

GB

Bài 1.124: Cho ABC có AB 3,AC Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến BM I Tính AD

AI

Bài 1.125: Cho tam giác ABC, cạnh AC lấy điểm M, cạnh BC lấy điểm N cho:

AM 3MC, NC 2NB, gọi O giao điểm AN BM Tính diện tích ABC biết diện tích OBN

Bài 1.126: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N nằm cạnh AB, CD cho AB 3AM CD, 2CN , G trọng tâm tam giác MNB AG cắt BC I Tính BI

BC

Bài 1.127: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Qua trung điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Biết OA 1,OB 2,OC 3,OD 4, tính CN

ND Bài 1.128 Cho tam giác ABC M điểm nằm cạnh BC cho SABC 3SAMC Một đường thẳng cắt cạnh AB AM AC, , B M C', ', ' phân biệt Chứng minh

AB AC AM

AB' 2AC ' 3AM'

Bài 1.129: Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB CD cắt M Qua trung điểm S BD kẻ SM cắt AC K Chứng minh AM AK

CK CM