a Tìm trên trөc Oy nhӳng ÿiӇm mà tӯ ÿó kҿ ÿѭӧc 2 tiӃp tuyӃn tӟi ÿӗ thӏ hàm sӕ y = x4 sao cho 2 tiӃp tuyӃn ÿó vuông góc vӟi nhau.. x −1 tҥi giao ÿiӇm cӫa C vӟi trөc tung.[r]
(1)N V XÁ ӬNG DӨNG ĈҤO HÀM Ĉӆ GIҦI TOÁN TRUNG HӐC PHӘ THÔNG Lop12.net (2) TÀI LI U THAM KHO [01] B Giáo d c và ào t o, Sách Giáo khoa, Sách Giáo viên, Sách bài t̵p, Tài li͏u h˱ͣng d̳n thc hi͏n chu̱n ki͇n thͱc – kƭ Toán 10, 11, 12, Nhà xuҩt bҧn Giáo dөc ViӋt Nam, 2011 [02] Phan c Chính (chӫ biên), Các bài gi̫ng luy͏n thi môn Toán, t̵p ba, Nhà xuҩt bҧn Giáo dөc, 2001 [03] Nguyn Thu Thanh, Ph˱˯ng pháp gi̫i các d̩ng toán c˯ b̫n THPT, t̵p hai: Gi̫i tích, Nhà xuҩt bҧn Giáo dөc ViӋt Nam, 2011 [04] Các ÿ͉ thi T͙t nghi͏p THPT, thi tuy͋n sinh Ĉ̩i h͕c, Cao ÿ̻ng, thi H͕c sinh gi͗i các năm [05] T̩p chí Toán h͕c và tu͝i tr̓, Nhà xuҩt bҧn Giáo dөc ViӋt Nam Lop12.net (3) MC LC Trang Tài liu tham kho M cl c KHÁI NI M O HÀM 1.1 Ĉӏnh nghƭa ÿҥo hàm 1.2 Các tính chҩt cӫa ÿҥo hàm MT S NG DNG CA O HÀM 2.1 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ tính tәng và tìm hӋ sӕ cӫa ÿa thӭc 2.2 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ tính giӟi hҥn 2.3 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ viӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ 11 2.4 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ xét tính ÿѫn ÿiӋu cӫa hàm sӕ 15 2.5 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ tìm cӵc trӏ cӫa hàm sӕ 17 2.6 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ chӭng minh bҩt ÿҷng thӭc và tìm giá trӏ lӟn nhҩt, giá trӏ nhӓ nhҩt cӫa hàm sӕ 20 2.7 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ khҧo sát hàm sӕ 24 2.8 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi phѭѫng trình, bҩt phѭѫng trình, hӋ phѭѫng trình Lop12.net 37 (4) KHÁI NI M O HÀM 1.1 nh ngha o hàm Cho hàm sӕ y = f(x) xác ÿӏnh trên tұp D và ÿiӇm x ∈ D Giҧ sӱ tӗn tҥi khoҧng (a; b) cho x ∈ (a; b) ⊂ D NӃu tӗn tҥi giӟi hҥn hӳu hҥn f (x) − f (x ) = A thì sӕ A ÿѭӧc gӑi là ÿҥo hàm cӫa hàm sӕ f(x) tҥi ÿiӇm x0 x − x0 x→x0 lim f (x) − f (x ) Ĉҥo hàm x − x0 x→x0 và kí hiӋu là f '(x ) hoһc y '(x ), ÿó f '(x ) = lim cӫa hàm sӕ tҥi ÿiӇm x0 (nӃu có) là mӝt hҵng sӕ Hàm sӕ có ÿҥo hàm tҥi x0 thì liên tөc tҥi x0 Khi giҧi toán cҫn lѭu ý f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = A ⇔ lim+ = lim− = A x − x0 x − x0 x − x0 x→x0 x→x0 x→x0 f '(x0 ) = A ⇔ lim NӃu hàm sӕ y = f(x) có ÿҥo hàm tҥi mӑi ÿiӇm thuӝc khoҧng K thì ta nói f(x) có ÿҥo hàm trên K và hàm sӕ f '(x), x ∈ K, ÿѭӧc gӑi là (hàm) ÿҥo hàm cӫa f(x) trên K Ĉҥo hàm cӫa hàm sӕ (nӃu có) trên mӝt khҧng (có thӇ mӣ rӝng trên mӝt tұp) là mӝt hàm sӕ Ĉҥo hàm cҩp cao f (k) (x) = (f (k −1) (x)) ' VD1 Cho hàm sӕ f(x) có ÿҥo hàm trên \ và thoҧ mãn f ( 2x ) = ( cosx ) f ( x ) – 2x,∀x ∈ \ Tính f '(0) bҵng ÿӏnh nghƭa f(x) − f(0) x→0 x − HD Tӯ ÿӅ bài nhұn thҩy f ( 0) = 4.f ( 0) f(0) = Ta có f '(0) = lim ( cosx ) f ( x ) – 2x § f (x) · f (2x) = lim = lim ¨ 2cos x − 1¸ = 2f '(0) − Do ÿó 2x x x →0 2x x →0 x →0 © ¹ = lim f '(0) = NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (5) Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT VD2 Cho hàm sӕ f (x) = x(x − 1)(x + 2)(x − 3) (x + 2012)(x − 2013) Tính f '(0) f (x) − f (0) = lim (x −1)(x + 2) (x − 2013) = −(2013!) x→0 x − x→0 HD Ta có f '(0) = lim VD3 Tìm hàm sӕ f(x) khҧ vi trên \ và f (x) − f (y) = f '(x + y).(x − y), ∀x, y ∈ \ HD Tӯ ÿҷng thӭc ÿӅ bài cho y = thu ÿӵӧc f (x) − f (0) = f '(x).x, ∀x ∈ \, hay f (x) − f (0) , ∀x ∈ \ \ {0} Vì f khҧ vi trên \ nên f liên tөc trên \ , suy x f '(x) liên tөc tҥi mӑi x ≠ Mһt khác, f(x) có ÿҥo hàm tҥi x = nên f (x) − f (0) lim f '(x) = lim = f '(0) tӭc là f '(x) liên tөc tҥi x = Nhѭ vұy f '(x) x →0 x →0 x liên tөc trên \ Vì f có ÿҥo hàm và ÿҥo hàm liên tөc trên \ nên f (y) − f (x) f '(x) = lim = lim f '(x + y) = f '(2x), ∀x ∈ \ Bҵng qui nҥp ta suy y→ x y→x y−x x f '(x) = f '(2n x), ∀x ∈ \, ∀n ∈ ` * Hay f '( n ) = f '(x), ∀x ∈ \, ∀n ∈ ` * Do f '(x) x x n liên tөc trên \ và lim ( ) = nên f '(x) = lim f '( n ) = f '( lim n ) = n →+∞ n →+∞ n →+∞ 2 = f '(0) = a, ∀x ∈ \ Dүn tӟi f (x) = ax + b, ∀x ∈ \ Thӱ lҥi thҩy hàm sӕ f (x) = ax + b, ∀x ∈ \ (a, b là các hҵng sӕ tuǤ ý) là hàm sӕ cҫn tìm f '(x) = 1.2 Các tính cht ca o hàm (nhͷng công thͱc này ÿ˱ͫc gi̫ s͵ là hai v͇ ÿ͉u có nghƭa) 1) (c ) ' = 0; ( x ) ' = 1; ( x n ) ' = n x n − ; ( n x ) = n n x n −1 ) (sin x ) ' = c o s x ; (co s x ) ' = − sin x ; (tan x ) ' = + ta n x = (c o t x ) ' = − − c o t x = − sin x co s x ; x ln a ) ( u + v − w ) ' = u ' + v ' − w '; ( k u ) ' = k u '; ( u v ) ' = u ' v + u v '; u u ' v − uv ' ( )' = ; ( u ( v ( x ))) ' = u '( v ).v '( x ) v v2 3) (a x ) ' = a x ln a ; (lo g a | x |) ' = VD4 Tính ÿҥo hàm a)y = (ax + b) n b)y = sin x c)y = n ax + b d)y = ax + b cx + d NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (6) Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT HD a) y ' = an(ax + b)n −1 b) y = − c) (sin x ) ' sin x (n u )' = d) y ' = =− u' n n u n −1 ad − bc (cx + d) cos x x sin x Do ÿó y ' = a n n (ax + b) n −1 VD5 Tìm tұp xác ÿӏnh và tính ÿҥo hàm cӫa hàm sӕ x § 1· a) f (x) = ¨1 + ¸ © x¹ b) g(x) = log x (2x − 1) HD a) Ta nhӟ lҥi ÿiӅu kiӋn ÿӇ biӇu thӭc a b có nghƭa: - NӃu b ∈ ` * thì a b a có nghƭa - NӃu b ∈ ], b ≤ 0, thì a b có nghƭa a ≠ - NӃu b ∈ \ \ ] thì a b có nghƭa a > Do ÿó ÿӇ tìm tұp xác ÿӏnh cӫa f(x) ta xét các trѭӡng hӧp sau ÿây: x ∈ ` * ⇔ x ∈ ` * *TH1: ® ¯x ≠ x ∈ ], x ≤ ° *TH2: ® ⇔ x ∈ ], x ≤ −2 + ≠ °¯ x x ∈ \ \ ] x ∈ \ \ ] ° ⇔® *TH3: ® x > ∨ x < − 1 + > ¯ °¯ x x § 1· KӃt hӧp lҥi ta thҩy ¨1 + ¸ có nghƭa x > hoһc x < −1 Vұy tұp xác ÿӏnh © x¹ cӫa hàm sӕ f(x) là tұp D1 = (−∞; −1) ∪ (0; +∞) Vӟi x ∈ D1 thì + 1 > và ln f (x) = x ln §¨1 + ·¸ Lҩy ÿҥo hàm hai vӃ ÿҷng x © x¹ NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (7) Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT x f '(x) § § 1· · § 1· § 1· thӭc này, ta ÿѭӧc = ln ¨1+ ¸ − f '(x) = ¨ ln ¨1+ ¸ − ¸.¨1+ ¸ f(x) © x ¹ x +1 © © x ¹ x +1 ¹ © x ¹ Chú ý: Ta không ÿѭӧc áp dөng công thӭc (a x )' = a x ln a và (xα )' = α xα −1 ÿӇ tính f '(x) vì muӕn áp dөng hai công thӭc này thì a , α phҧi là hҵng sӕ ĈӇ tính ÿҥo hàm cӫa hàm sӕ có dҥng f (x) = ( u(x) ) v(x) ta thѭӡng lҩy logarit hai vӃ, ÿѭӧc ln f (x) = v(x) ln u(x) , ÿӃn ÿây lҩy ÿҥo hàm hai vӃ ta có § f '(x) u '(x) u '(x) · = v '(x) ln u(x) + v(x) f '(x) = f (x).¨ v '(x) ln u(x) + v(x) ¸ f (x) u(x) u(x) ¹ © b) ĈiӅu kiӋn ÿӇ log a b có nghƭa là a > 0,a ≠ 1, b > Do ÿó g(x) = logx (2x − 1) x > 0, x ≠ ° x > §1 · ⇔® có nghƭa ® Tұp xác ÿӏnh: D = ¨ ; +∞ ¸ \ {1} ©2 ¹ ¯ 2x − > °¯ x ≠ Ta có g(x) = log x (2x − 1) = Chú ý: ln(2x − 1) 2x ln x − (2x − 1) ln(2x − 1) nên g '(x) = ln x x(2x − 1) ln x ln u · u 'v ln v − uv 'ln u ¸' = uv ln v © ln v ¹ ( log v u ) ' = §¨ Bài tp Dùng ÿӏnh nghƭa tính ÿҥo hàm cӫa hàm sӕ tҥi x = °[ VLQ QHÃX [ ≠ E J [ =® [ ° QHÃX [ = ¯ − FRV [ QHÃX [ ≠ ° D I [ =® [ ° QHÃX [ = ¯ Tính ÿҥo hàm cӫa hàm sӕ \= [ − [ \ = [ + + [ + [ \ = VLQ [ − FRV [ \= \ = VLQ [FRV[ \= \ = [ + [ − [ \ = + [ + [ \ = [VLQ − [ + VLQ [ − FRV [ − VLQ [ + FRV [ \ = − [ + [ − V LQ[ + FRV [ \= [ + [ \ = WDQ [ − FRW [ \ = FRW [ \ = +[ − \ = [ + [ − −[ [ + NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (8) MT S NG DNG CA O HÀM 2.1 ng d ng o hàm tính t ng và tìm h s ca a th c Nhӡ ÿҥo hàm ta có thӇ tính ÿѭӧc mӝt sӕ tәng (hoһc chӭng minh ÿҷng thӭc) mà các sӕ hҥng thѭӡng có dҥng (k+1)xkak Ĉӕi vӟi ÿa thӭc f (x) = a + a1x + + a n x n ta dӉ thҩy a k = f (k) (0) , ÿó k! qui ѭӟc ÿҥo hàm cҩp cӫa hàm sӕ f(x) là chính hàm sӕ f(x); và a + a1 + + a n = f (1), a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) VD6 Cho ÿa thӭc f(x) = (1 + x n x12)2011+ (1 n x + x11)2012 Tìm hӋ sӕ cӫa sӕ hҥng chӭa x ÿa thӭc Tính tәng tҩt cҧ các hӋ sӕ bұc lҿ ÿa thӭc Tính tәng các hӋ sӕ bұc lӟn hѫn hay bҵng ÿa thӭc HD Ta có f '(x) = 2011(1+ x − x12 )2010.(1−12x11) + 2012(1 − x + x11)2011.(−1 +11x10 ) ĈӇ cho tiӋn ta kí hiӋu f (x) = a + a1x + + a n x n (vӟi n = 12q2011 = 24132) HӋ sӕ cӫa sӕ hҥng chӭa x ÿa thӭc f(x) là a1 = f '(0) = 2011 − 2012 = −1 1! a + a1 + + a n = f (1) = 2, a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) = nên f (1) − f (−1) tәng các hӋ sӕ bұc lҿ cӫa f(x) là a1 + a + + a 24131 = = Ta có a0 = f(0) = 2, vұy a2 + a3 + + an = (a0 + a1 + + an ) − a0 − a1 = − − (−1) = Do VD7 Chӭng minh C1n + 22 C2n + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ `, n ≥ HD Ta có (1 + x)n = n n n k =1 k =1 ¦ Cnk xk n(1+ x)n−1 = ¦ Cnkkxk−1 nx(1+ x)n−1 = ¦ Cnkkxk k =0 n(1 + x)n −1 + n(n − 1)x(1 + x)n − = cùng này sӁ thu ÿѭӧc Nhn xét Ta cNJng có n ¦ Ckn k x k −1, thay x = vào ÿҷng thӭc cuӕi k =1 2 Cn + Cn + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ `, n ≥ n 2C0n + (n − 1) C1n + + 22 Cnn − + 12 Cnn −1 = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ `, n ≥ Bài tp ( Cho f (x) = – x + x ) 2011 2012 + + x3 = a + a1x + + a 6030 x 6030 Tính ( ) tәng A = a1 − 2a + 3a + + 6029a 6029 − 6030a 6030 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (9) Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT Giҧ sӱ (1 + x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ` * BiӃt rҵng tӗn tҥi sӕ nguyên a k −1 a k a k +1 = = 24 Tính tәng 2.1.a + 3.2.a + 4.3.a + + n.(n − 1).a n dѭѫng k (1 ≤ k ≤ n) cho a) Chӭng minh rҵng C1n + 2C2n + 3C3n + + nCnn < (n!.n), ∀n ∈ `, n > b) Chӭng minh rҵng nC0n − (n − 1)C1n + + (−1)n − Cnn − + (−1)n −1 Cnn −1 = 0, ∀∈ ` * Cho y = a0x + a1x3 + a 2x5 + + a n x2n +1 + thoҧ mãn (1− x2)y'− xy =1, ∀x ∈(−1;1) Tìm các hӋ sӕ a , a1, , a n Cho sӕ nguyên dѭѫng n ≥ thoҧ mãn ÿҷng thӭc A3n + C3n = 35(n − 1)(n − 2) Tính các tәng sau ÿây S1 = C1n + 2Cn2 + + nCnn ; S2 = 22Cn2 − 32 C3n + + (−1)n n2Cnn ; S3 = 1+ 2x + 3x2 + + nxn−1; S4 = sinx + sin2x + + sinnx; S5 = cosx + 2cos2x + + ncosnx; S6 = C0n + 2C1n + + (n +1)Cnn Chӭng minh rҵng n2n C0n + (n − 1)2n −1C1n + + 2Cnn −1 = 2n.3n −1, ∀n ∈ ` * +1 Tìm n ∈ ` * biӃt C12n +1 − 2.2.C22n +1 + 3.22 C32n +1 − + (2n + 1)22n C2n 2n +1 = 2005 10 Cho khai triӇn a a a a + + + n = 4096 2 2n (1 + 2x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ` * Gӑi ak là sӕ lӟn nhҩt BiӃt rҵng các sӕ n a , a1, , a n , (a k = max{a i ,i = 0, n}) Tính tәng S = a + (¦ i.a i ) − ka k i =1 (Tӭc là S = a + a1 + 2a + 3a + + (k − 1)a k −1 + (k + 1)a k +1 + + na n ) 11 Cho khai triӇn (1 − 2x)n = a0 + a1x + + a n x n , n ∈` * BiӃt rҵng a0 + a1 + a2 = 71 Tính tәng S = 12 a1 + 22 a + 32 a + 42 a + (52 − 1)a + 62 a + + n 2a n 12 Cho C0n + C1n + C2n = 211 Tính tәng S = 12 C0n A11 + 22 C1n A12 + 32 C2n A13 + + (n + 1)2 Cnn 13 Tìm sӕ nguyên dѭѫng n thoҧ mãn C1n + 3C2n + 32 C3n + + 3n −1Cnn = A1n +1 2200 − 14 Chӭng minh rҵng 1 99 198 100 199 100.C100 ( )99 − 101.C100 ( )100 + − 199.C100 ( ) + 200.C100 ( ) = 2 2 1 1 2011 15 Cho + + + + = , n ∈ `, n ≥ Tính tәng tҩt cҧ các hӋ sӕ A A3 A A n 2012 bұc lӟn hѫn cӫa ÿa thӭc f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n 16 Tính tәng = &Q − &Q + &Q − &Q + + − Q Q − &QQ 17 Tìm Q ∈ ` Q − so cho &Q + &Q + &Q + + Q − &Q = 18 Tính tәng = &Q + &Q + &Q + &Q + + Q − &QQ NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (10) Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT 2.2 ng d ng o hàm tính gi i h n Dӵa vào ÿӏnh nghƭa ÿҥo hàm cӫa hàm sӕ tҥi mӝt ÿiӇm và các tính chҩt cӫa ÿҥo hàm ta có thӇ tính ÿѭӧc mӝt sӕ gӟi hҥn ӣ dҥng vô ÿӏnh f (x) có dҥng lim , f (0) = 0, ta vұn dөng trӵc tiӃp ÿӏnh x→x0 x f (x) nghƭa ÿҥo hàm cӫa hàm sӕ tҥi mӝt ÿiӇm, thu ÿѭӧc lim = f '(0) x→x0 x ĈӇ tính giӟi hҥn NӃu các hàm f(x) và g(x) có ÿҥo hàm trên mӝt lân cұn cӫa ÿiӇm x0 và f(x0) = f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) lim x − x0 x − x0 f '(x0 ) f(x) x→x0 = lim = = = g(x0) = 0, g '(x ) ≠ thì lim , g(x) − g(x0 ) g'(x0 ) x→x0 g(x) x→x0 g(x) − g(x0 ) lim x − x0 x − x0 x→x0 ∞ (dҥng vô ÿӏnh ) Các dҥng vô ÿӏnh , 0.∞, ∞-∞, 1∞ , 00 ta biӃn ÿәi vӅ dҥng ∞ ÿӇ áp dөng tính chҩt trên VD8 Tính giӟi hҥn 1 − x + x − − x + x3 1)A = lim ; 2)B= lim ( + x + + x3 ); 3)C = lim(1 + sin x) x x→1 x→−∞ x→0 tan(x − 1) HD 1) Xét f (x) = − x + x − − x + x , g(x) = tan(x − 1) trên mӝt lân cұn cӫa ÿiӇm x0 = Nhұn thҩy 2x − f '(x) = 3x − − , g '(x) = + tan (x − 1), f(1) = g(1) = 0, − x + x 33 (1 − x + x )2 f '(1) = − , g '(1) = ≠ 0, nên f (x) f (x) − f (x) − f (1) f (x) − f (1) lim f (x) f '(1) A = lim = lim x − = lim x −1 = lim x − = x→1 x − = =− g(x) g(x) − g(x) − g(1) g(x) − g(1) x→1 g(x) x→1 x→1 x→1 g'(1) lim x→1 x −1 x −1 x −1 x −1 1 2)B= lim ( + x + + x ) = lim x(− + ( )2 + + ( )3 ) Ĉһt t = thì x →−∞ x →−∞ x x x t → x → −∞ Ta có B= lim t →0 f '(t) = B= lim t →0 t2 − t 1+ t2 , + t3 − + t Xét f (t) = + t − + t , có t f(0) = 0, f '(0) = 0, (1 + t ) + t3 − + t f (t) f (t) − f (t) − f (0) = lim = lim = lim = f '(0) = t →0 t t →0 t − t →0 t t−0 nên NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (11) 10 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT 3) Ta luôn có thӇ chӑn ÿѭӧc mӝt lân cұn cӫa ÿiӇm x0 = cho trên lân cұn ÿó + sinx > Ĉһt M = (1 + sin x) x , N = ln(M) = ln(1 + sin x) Xét hàm x co s x , f(0) = 0, f '(0) = Nhѭ + sin x ln(1 + sin x) f (x) f (x) − f (0) Suy lim N = lim = lim = lim = f '(0) = x →0 x →0 x →0 x x →0 x x−0 f (x) = ln(1 + sin x), C= lim (1 + sin x) x x →0 có vұy f '(x) = N = lim M = lim e = e x →0 lim N x →0 x →0 = e = e Vұy C = lim (1 + sin x) x x →0 = e Bài tp 19 Tính các giӟi hҥn sau ÿây ex + sin2x − cos3x 1− 1+ 2x2 3x + − x −2 x +3 −2x 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x→0 ln1 + 4x − tan5x x→0 − cosx x→0 1− 2x +1 x→1 sin(1− x) n 1+ ax.m1+ bx −1 x.2x −1 sin3x ; 6) lim (a,b ≠ 0;m,n ∈`*); 7) lim ; π 1− 2cosx x x→1 x −1 x→0 x→ 5) lim π cos( cosx) ln(cosx) sinx x−a 8) lim ;9) lim ( ) (a ≠ kπ ); 10) lim ; 11) lim (sinx)tan x ; π x→0 x2 x→a sina x→0 sin(tanx) x→ (x +2005) − 5x - 2005 13) lim ; x x →0 1 12) lim (cos + sin ) x ; x x x →±∞ ª º 1 » ; 15) lim x + x + ; − 14) lim « x →−1 sin(x + 1) x → « 3x(1 + + 4x ) 2x( (1 + 6x) + + 6x + 1) » ¬ ¼ x − x + 2x esin 2x − esin x x − sin 2011x 16) lim ;17) lim ; 18) lim ; sin x x →+∞ x − x + 3x x →0 x →0 x + sin 2012x 19) lim xn − an x →a x m − a m VLQ D[ OLP E≠ [ → VLQ E[ OLP § · OLP ¨ − ¸ [ → © VLQ [ [ ¹ OLP OLP [H− [ [ →+∞ 10 n + ax − (b ≠ 0); x → m + bx − (a ∈ \; m, n ∈ `*); 20) lim − [ − + [ WDQ [ [ → OQ [ [ → FRW [ OLP [→ VLQ [ − [ [ OLP [ − VLQ [ [ → [ − WDQ [ OLP − FRV [ FRW [ [ → OLP+ [ OQ [ [ → OLP [ VLQ [ [ →±∞ NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (12) 11 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT 2.3 ng d ng o hàm vi t ph !ng trình ti p tuy n ca " th hàm s NӃu hàm sӕ y = f(x) (C) có ÿҥo hàm tҥi x = x0 thì tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi ÿiӇm M(x0; f(x0)) có phѭѫng trình là y = f '(x )(x − x ) + f (x ); f '(x ) là hӋ sӕ góc cӫa tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi ÿiӇm M(x0; f(x0)) NӃu tiӃp tuyӃn cӫa (C) y = f(x) có hӋ sӕ góc k thì hoành ÿӝ tiӃp ÿiӇm thoҧ mãn PT k = f '(x) Ĉѭӡng thҷng y = ax + b là tiӃp tuyӃn cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ y = f(x) hӋ ax + b = f (x) , và nghiӋm x0 cӫa hӋ này chính là ¯a = f '(x) phѭѫng trình sau có nghiӋm ® hoành ÿӝ tiӃp ÿiӇm Cho G \ = D[ + E G \ = N[ + P Khi ÿó G G ⇔ D = N E ≠ P còn G ⊥ G ⇔ DN = − VD9 Cho & \ = [ − [ + ViӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn cӫa (C) biӃt a) TiӃp ÿiӇm có tung ÿӝ là nghiӋm cӫa phѭѫng trình \ − [\ + [ + = b) TiӃp tuyӃn song song vӟi ÿѭӡng thҷng [ − \ − = c) TiӃp tuyӃn ÿi qua ÿiӇm $ − HD a) Ta có \ = [ − Do ÿó phѭѫng trình \ − [\ +[ + = trӣ thành [ − [ + − [ [ − + [ + = ⇔ [ = Nghƭa là tung ÿӝ tiӃp ÿiӇm \ = Hoành ÿӝ [ cӫa tiӃp ÿiӇm thӓa mãn [ − [ + = ⇔ [ = Vұy tiӃp ÿiӇm là ÿiӇm HӋ sӕ góc cӫa tiӃp tuyӃn N = \ = TiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi có phѭѫng trình \ = [ − + ⇔ \ = [ − b) Ĉѭӡng thҷng [ − \ − = viӃt lҥi thành \ = [ − Gӑi G \ = D[ + E là tiӃp tuyӃn cҫn tìm thì D = E ≠ − Vì d tiӃp xúc vӟi (C) nên hӋ phѭѫng trình ° [ − [ + = [ + E phҧi có nghiӋm Tӯ phѭѫng trình thӭ hai cӫa hӋ tìm x ® °̄[ − = rӗi thӃ lên phѭѫng trình ÿҫu cӫa hӋ, ta thu ÿѭӧc E = − hoһc E = Ĉӕi chiӃu vӟi ÿiӅu kiӋn cӫa b ta lҩy E = Vұy tiӃp tuyӃn cҫn tìm là G \ = [ + c) Ĉѭӡng thҷng ÿi qua A, có hӋ sӕ góc k, có phѭѫng trình ∆ \ = N [ − − là °[ − [ + = N [ − − tiӃp tuyӃn cӫa (C) hӋ ® có nghiӋm Tìm °[ − = N ¯ N = −N = Các tiӃp tuyӃn cҫn tìm là ∆ \ = −[ + và ∆ \ = − 11 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (13) 12 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT ° x + ax + b x ≤ VD10 Tìm a, b ÿӇ hàm sӕ y = ® có ÿҥo hàm tҥi °̄ x − x − 8x + 10 x > ÿiӇm x0 = và ÿó hãy viӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ tҥi ÿiӇm có hoành ÿӝ x0 = HD ĈӇ hàm sӕ có ÿҥo hàm tҥi ÿiӇm x0 = thì trѭӟc hӃt nó phҧi liên tөc tҥi ÿiӇm này Ta phҧi có y(2) = lim + y(x) = lim − y(x) ⇔ y(2) = lim + (x − x − 8x + 10) = lim − (x + ax + b) x →2 x →2 x →2 x →2 ⇔ + 2a + b = −2 ⇔ b = −2a − °x2 + ax − 2a − x ≤ Lúc này ta viӃt lҥi y = ® Hàm sӕ này có ÿҥo hàm tҥi ÿiӇm °̄x − x − 8x +10 x > y(x) − y(2) y(x) − y(2) (x − x − 8x + 10) − (−2) = lim − ⇔ lim + = x−2 x−2 x−2 x →2 x →2 x →2 x0 = thì lim + (x2 + ax − 2a − 6) − (−2) ⇔ = a + ⇔ a = −4 b = Vұy vӟi a = –4, b = thì x −2 x→2 hàm sӕ ÿã cho có ÿҥo hàm tҥi ÿiӇm x0 = và y '(2) = Khi ÿó tiӃp tuyӃn cҫn tìm là y = 0.(x − 2) + (−2) ⇔ y = −2 = lim− VD11 ViӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn cӫa (C): y = x4 – 2x2 biӃt tiӃp tuyӃn ÿi qua tâm ÿѭӡng tròn nӝi tiӃp tam giác có ba ÿӍnh là ba ÿiӇm cӵc trӏ cӫa (C) HD DӉ thҩy (C) có ba ÿiӇm cӵc trӏ là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0) Gӑi I là tâm ÿѭӡng tròn nӝi tiӃp tam giác OAB thì I(0; m) vӟi –1 < m < Các ÿѭӡng thҷng OA, OB, AB lҫn lѭӧt có phѭѫng trình x – y = 0, x + y = 0, y + = Ta có d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) ⇔ m = m + ⇔ m = − (do − < m < 0) Vұy I(0; − 2) Ĉѭӡng thҷng ÿi qua I có hӋ sӕ góc a có phѭѫng trình y = ax + − (d) (tiӃp tuyӃn cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ là ÿѭӡng thҷng có hӋ sӕ góc) Ĉѭӡng thҷng (d) là tiӃp tuyӃn cӫa ÿӗ thӏ (C) hӋ phѭѫng trình ° x − 2x = ax + − (1) ® (2) °̄4x − 4x = a có nghiӋm ThӃ (2) vào (1) giá trӏ ta ÿѭӧc 3x − 6x + − = ⇔x=± a=± 3±3 3+3 bài toán y = ± 12 Tѭѫng ӭng ta tìm ÿѭӧc cӫa a là 3± 3+3 Do ÿó tìm ÿѭӧc tiӃp tiӃp thoҧ mãn yêu cҫu 3+3 3± 3+3 x + − NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (14) 13 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT Bài tp 20 ViӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ y = x − 2x + biӃt tiӃp x − tuyӃn vuông góc vӟi ÿѭӡng thҷng x n 3y + = 21 Cho y = x+2 (C) a) ViӃt PTTT cӫa (C) biӃt tiӃp tuyӃn tҥo vӟi hai trөc toҥ 2x + ÿӝ mӝt tam giác cân b) ViӃt PTTT cӫa (C) tҥi các ÿiӇm có toҥ ÿӝ nguyên cӫa (C) c) Chӭng minh rҵng không có tiӃp tuyӃn nào cӫa (C) ÿi qua ÿiӇm I(− ; −2) 17 Tìm m ÿӇ tiӃp tuyӃn có hӋ sӕ góc nhӓ nhҩt cӫa (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là mӝt ÿѭӡng thҷng tҥo vӟi hai trөc toҥ ÿӝ tam giác có diӋn tích bҵng 25 18 ViӃt PTTT cӫa ÿӗ thӏ (C): y = x − x a) BiӃt tiӃp tuyӃn ÿi qua ÿiӇm A(3; 0) b) BiӃt tiӃp tuyӃn song song vӟi ÿѭӡng thҷng 9x + 12y – = 19 Tính diӋn tích hình phҷng giӟi hҥn bӣi ÿӗ thӏ y = x3 – 3x2 + (C) và tiӃp tuyӃn cӫa ÿӗ thӏ (C) tҥi ÿiӇm M(–1;1) 20 Gӑi A, B là các giao ÿiӇm cӫa ÿѭӡng thҷng y = x + m vӟi ÿӗ thӏ y= −x + (C) và k1, k2 lҫn lѭӧt là hӋ sӕ góc cӫa tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi A, B Tìm 2x − m ÿӇ tәng k1 + k2 ÿҥt giá trӏ lӟn nhҩt 21 a) Tìm trên trөc Oy nhӳng ÿiӇm mà tӯ ÿó kҿ ÿѭӧc tiӃp tuyӃn tӟi ÿӗ thӏ hàm sӕ y = x4 cho tiӃp tuyӃn ÿó vuông góc vӟi b) Tìm trên ÿѭӡng thҷng y = nhӳng ÿiӇm có thӇ kҿ ÿѭӧc tiӃp tuyӃn tӟi ÿӗ thӏ hàm sӕ y = 2x − 9x + 12x + cho sӕ tiӃp tuyӃn ÿó vuông góc vӟi 22 Tìm m ÿӇ ÿӗ thӏ hàm sӕ y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiӃp xúc vӟi trөc Ox 23 ViӃt PTTT cӫa ÿӗ thӏ (C) : y = 24 a) ViӃt PTTT cӫa y = x −1 tҥi giao ÿiӇm cӫa (C) vӟi trөc tung x +1 x (C) biӃt khoҧng cách tӯ tâm ÿӕi xӭng cӫa (C) tӟi x −1 tiӃp tuyӃn là lӟn nhҩt b) ViӃt PTTT cӫa y = 4x − (C) biӃt tiӃp tuyӃn ÿi qua gӕc tӑa ÿӝ x −1 c) Chӭng minh ÿӗ thӏ y = x − 3x + x2 +1 (C) cҳt Ox tҥi hai ÿiӇm phân biӋt A, B Tính cosin cӫa góc tҥo bӣi hai tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi A và tҥi B d) Giҧ sӱ A, B, C là ba ÿiӇm thҷng hàng trên ÿӗ thӏ y = x − 3x + 2(T) Các tiӃp tuyӃn cӫa (T) tҥi A, B, C lҫn lѭӧt cҳt (T) tҥi các ÿiӇm A’, B’, C’ tѭѫng ӭng khác A, B, C Chӭng minh A’, B’, C’ thҷng hàng 13 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (15) 14 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT ° x x ≤ 25 Tìm a, b ÿӇ hàm sӕ f (x) = ® có ÿҥo hàm tҥi x0 = 1, ÿó °̄ax + b x > hãy viӃt PTTT cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ tҥi ÿiӇm có hoành ÿӝ x0 = 26 ViӃt PTTT cӫa \ = [ − [ + biӃt a) TiӃp ÿiӇm có hoành ÿӝ [ = b) TiӃp tuyӃn song song vӟi ÿѭӡng thҷng 4x – 2y + =0 c) TiӃp tuyӃn vuông góc vӟi ÿѭӡng phân giác cӫa góc phҫn tѭ thӭ nhҩt [ − và ÿiӇm , 27 Cho & \ = [ − a) Chӭng minh không có tiӃn tuyӃn nào cӫa (C) ÿi qua I b) Chӭng minh tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi ÿiӇm M bҩt kì luôn cҳt hai ÿѭӡng thҷng ∆ [ = và ∆ \ = tҥi A, B tҥo thành mӝt tam giác vuông có diӋn tích không ÿәi và M là trung ÿiӇm cӫa AB ViӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn trѭӡng hӧp tam giác ÿó có chu vi nhӓ nhҩt c) ViӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn cӫa (C) trѭӡng hӧp khoҧng cách tӯ I tӟi tiӃp tuyӃn là lӟn nhҩt d) ViӃt phѭѫng trình tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi N cho tiӃp tuyӃn ÿó vuông góc vӟi IN e) Chӭng minh rҵng mӑi ÿѭӡng thҷng d ÿi qua I và cҳt (C) tҥi ÿiӇm phân biӋt P, Q thì các tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi P và tҥi Q song song vӟi f) ViӃt PTTT cӫa (C) biӃt tiӃp tuyӃn ÿó tҥo vӟi trөc hoành mӝt góc 450 28 Cho & \ = − [ − [ a) ViӃt PTTT cӫa (C) biӃt tiӃp ÿiӇm có tung ÿӝ \ = b) ViӃt PTTT cӫa (C) biӃt tiӃp tuyӃn song song vӟi ÿѭӡng thҷng x + 2y = [ 29 Tìm các giá trӏ cӫa a cho có tiӃp tuyӃn cӫa (C) \ = − [ + [ + có hӋ sӕ góc bҵng a 30 Tìm m ÿӇ mӑi tiӃp tuyӃn cӫa & \ = −[ + P[ − P[ + P ÿӅu có hӋ sӕ góc âm 31 Tìm m ÿӇ tiӃp tuyӃn có hӋ sӕ góc nhӓ nhҩt cӫa & \ = [ + P[ + P là ÿѭӡng thҷng ÿi qua gӕc tӑa ÿӝ 32 Cho & \ = [ + [ + [ + a) CMR không có tiӃp tuyӃn nào cӫa (C) song song vӟi Ox b) Tìm trên (C) hai ÿiӇm mà tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi hai ÿiӇm ÿó vuông góc vӟi c) Tìm k ÿӇ trên (C) có ít nhҩt mӝt ÿiӇm mà tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi ÿiӇm ÿó vuông góc vӟi ÿѭӡng thҷng y = kx d) ViӃt PTTT cӫa (C) biӃt tiӃp tuyӃn song song vӟi ÿѭӡng thҷng y = x + 14 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (16) 15 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT 2.4 ng d ng o hàm xét tính !n iu ca hàm s NӃu hàm sӕ y = f(x) liên tөc trên ÿoҥn [a; b] và ÿӗng biӃn (hoһc nghӏch biӃn) trên khoҧng (a; b) thì hàm sӕ này ÿӗng biӃn (tѭѫng ӭng nghӏch biӃn) trên ÿoҥn [a; b] NӃu hàm sӕ y = f(x) có ÿҥo hàm trên khoҧng K và phѭѫng trình f '(x) = có hӳu hҥn nghiӋm trên K thì: + f(x) ÿӗng biӃn trên K ⇔ f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ K + f(x) nghӏch biӃn trên K ⇔ f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ K Lѭu ý: nӃu thay khoҧng K bӣi mӝt nӱa khoҧng hoһc mӝt ÿoҥn thì kӃt luұn trên vүn ÿúng, nhѭng nӃu thay K bӣi mӝt tұp bҩt kì thì kӃt luұn ÿó không ÿúng nӳa VD12 Tìm m ÿӇ hàm sӕ y = x − mx + x − 2m3 a Ĉӗng biӃn trên \ b Ĉӗng biӃn trên khoҧng (0; +∞) c Khoҧng nghӏch biӃn cӫa hàm sӕ có ÿӝ dài lӟn hѫn HD a) Hàm sӕ ÿӗng biӃn trên \ ⇔ y' = x2 − 2mx + ≥ (∀x ∈ \) ⇔ ∆ ' = m2 −1 ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ b) Hàm sӕ ÿӗng biӃn trên khoҧng (0; +∞) ⇔ y ' = x − 2mx + ≥ (∀x > 0) x2 +1 x2 +1 2x − (∀x > 0) Xét hàm sӕ f (x) = , vӟi x > 0, có f '(x) = 2x 2x 4x f '(x) = ⇔ x = ±1, vӟi x > thì f '(x) = ⇔ x = Trên khoҧng (0; +∞) dҩu cӫa f '(x) là dҩu cӫa 2x – Tӯ ÿó ta có bҧng biӃn thiên cӫa f(x) nhѭ sau +∞ x f '(x) – + ⇔m≤ +∞ +∞ f(x) Suy m ≤ x +1 (∀x > 0) ⇔ m ≤ Vұy m ≤ là các giá trӏ cҫn tìm 2x c) ĈӇ hàm sӕ có khoҧng nghӏch biӃn thì trѭӟc hӃt y’ phҧi có hai nghiӋm phân biӋt, tӭc là ∆ ' > Khi ÿó gӑi x1, x2 là nghiӋm cӫa y’ (x1< x2) thì hàm sӕ có khoҧng nghӏch biӃn là (x1 ; x2) Ĉӝ dài khoҧng này (khoҧng cách giӳa nghiӋm cӫa mӝt phѭѫng trình bұc hai) là x1 − x = 4∆ ' ∆ Vұy ÿӇ khoҧng nghӏch = a a biӃn cӫa hàm sӕ ÿã cho có ÿӝ dài lӟn hѫn ta cҫn ÿiӅu kiӋn ÿӕi vӟi tam thӭc y ' = x − 2mx + là ∆ ' > ªm > ° °m − > ⇔® ⇔ m2 − > ⇔ « ® 4∆ ' ¬ m < −2 ° a >2 °¯2 m − > ¯ 15 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (17) 16 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT VD13 Chӭng minh hàm sӕ y = nghӏch biӃn trên mӛi khoҧng xác ÿӏnh nhѭng x trên tұp xác ÿӏnh thì nó không ÿӗng biӃn và cNJng không nghӏch biӃn HD Hàm sӕ có tұp xác ÿӏnh D = \ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) Ĉҥo hàm y' = − x < 0, ∀x ∈ D Vì y ' = − khoҧng (−∞; 0) , vì y ' = − x2 x2 < 0, ∀x ∈ (−∞; 0) nên hàm sӕ nghӏch biӃn trên < 0, ∀x ∈ (0; +∞) nên hàm sӕ nghӏch biӃn trên khoҧng (0; +∞) Ta chӑn x1 = –1 thì y1 = – 1, x2 = thì y2 = 1, ta thҩy x1 < x , y1 < y nên hàm sӕ không nghӏch biӃn trên D Tѭѫng tӵ nӃu chӑn giá trӏ x1 = thì y1 = 1 , x2 = thì y2 = , x1 < x , y1 > y nên hàm sӕ không ÿӗng biӃn trên D Vұy hàm sӕ ÿã cho nghӏch biӃn trên mӛi khoҧng xác ÿӏnh (−∞; 0), (0; +∞), nhѭng nó không ÿӗng biӃn và cNJng không nghӏch biӃn trên tұp xác ÿӏnh D = \ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) Bài tp 33 Xác ÿӏnh các khoҧng ÿѫn ÿiӋu cӫa hàm sӕ 3 x x + 3x + x − x ; 2)y = ; 3)y = − x + 2x ; 4)y = 2−x x +1 34 Tìm m ÿӇ hàm sӕ: a) y = x + mx + (m + 6)x − ÿӗng biӃn trên \ m b) y = x − (m − 1)x + 3(m − 2)x + ÿӗng biӃn trên nӱa khoҧng [ 2; +∞ ) 3 1)y = c) y = −3x − mx − x + nghӏch biӃn trên \ d) y = 3x + m ÿӗng biӃn trên tӯng khoҧng xác ÿӏnh x −1 e) \ = [ + P − [ + P + [ − ÿӗng biӃn trên ª¬ º¼ 35 Tìm m ÿӇ ÿӗ thӏ hàm sӕ y = x3 + mx + cҳt trөc Ox tҥi ÿúng mӝt ÿiӇm 36 Lұp bҧng biӃn thiên cӫa hàm sӕ a)y = x − sin x; b)y = 4x + − 2x; c)y = 2x + 3x x +1 37 Cho \ = [ + P + [ + P[ a) Tùy theo m hay lұp bҧng biӃn thiên cӫa hàm sӕ b) Tìm m ÿӇ tӗn tҥi khoҧng có ÿӝ dài bҵng mà hàm sӕ nghӏch biӃn trên khoҧng ÿó [ + P[ − −[ a) Nghӏch biӃn trên tӯng khoҧng xác ÿӏnh b) Ĉӗng biӃn trên khoҧng − 38 Tìm m ÿӇ hàm sӕ \ = 16 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (18) 17 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT 2.5 ng d ng o hàm tìm c#c tr ca hàm s Giҧ sӱ hàm sӕ y = f(x) liên tөc trên khoҧng (a; b), ÿiӇm x0 ∈ (a; b), và có ÿҥo hàm trên các khoҧng (a; x0), (x0; b) Ta có: + NӃu f '(x) > 0, ∀x ∈ (a; x ); f '(x) < 0, ∀∈ (x ; b) thì f(x) ÿҥt cӵc ÿҥi bҵng f(x0) tҥi ÿiӇm x = x0 + NӃu f '(x) < 0, ∀x ∈ (a; x );f '(x) > 0, ∀∈ (x ; b) thì f(x) ÿҥt cӵc tiӇu bҵng f(x0) tҥi ÿiӇm x = x0 Chú ý: – NӃu hàm sӕ ÿҥt cӵc trӏ tҥi x0 thì f '(x ) = hoһc f '(x ) không xác ÿӏnh – NӃu f '(x) không ÿәi dҩu trên (a; b) thì f(x) không có cӵc trӏ trên (a; b) – NӃu x0 là ÿi͋m cc tr͓ cӫa hàm sӕ y = f(x) (C) thì f(x0) ÿѭӧc gӑi là (giá trӏ) cc tr͓ cӫa hàm sӕ, và M(x0; f(x0)) ÿѭӧc gӑi là ÿi͋m cc tr͓ cӫa ÿӗ thӏ (C) Giҧ sӱ hàm sӕ f(x) có ÿҥo hàm ÿӃn cҩp trên khoҧng (a; b) và x0 ∈ (a; b) Ta có: + NӃu f '(x ) = 0; f "(x ) < thì f(x) ÿҥt cӵc ÿҥi bҵng f(x0) tҥi ÿiӇm x = x0 + NӃu f '(x ) = 0; f "(x ) > thì f(x) ÿҥt cӵc tiӇu bҵng f(x0) tҥi ÿiӇm x = x0 Chú ý: NӃu f '(x ) = f "(x ) = thì chѭa thӇ kӃt luұn ÿѭӧc hàm sӕ có ÿҥt cӵc trӏ tҥi x0 hay không (chҷng hҥn vӟi f(x) = x3 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm sӕ không ÿҥt cӵc trӏ tҥi x = 0, vӟi f(x) = x4 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm sӕ ÿҥt cӵc tiӇu tҥi x = 0, vӟi f(x) = –x4 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm sӕ ÿҥt cӵc ÿҥi tҥi x = 0) VD14 Cho hàm sӕ y = x3 – 2x2 + mx +1 a) Tìm m ÿӇ hàm sӕ ÿҥi cӵc tiӇu tҥi x = b) Tìm m ÿӇ hàm sӕ có hai ÿiӇm cӵc trӏ dѭѫng c) Tìm m ÿӇ hàm sӕ có hai cӵc trӏ có tích nhӓ hѫn 31 27 HD a) Ta có y ' = 3x − 4x + m, y" = 6x − 4, và y"(1) = > nên hàm sӕ ÿã cho ÿҥt cӵc tiӇu tҥi x = y '(1) = ⇔ m = Vұy vӟi m = thì hàm sӕ có ÿiӇm cӵc tiӇu x = b) Hàm sӕ ÿã cho có ÿiӇm cӵc trӏ dѭѫng phѭѫng trình 3x − 4x + m = có ∆ ' = − 3m > ° nghiӋm dѭѫng phân biӋt, tӭc là ® ⇔ < m < Vұy vӟi m °¯S = > 0; P = > < m < thì hàm sӕ có hai ÿiӇm cӵc trӏ dѭѫng 31 phѭѫng trình c) Hàm sӕ ÿã cho có hai cӵc trӏ có tích nhӓ hѫn 27 31 3x − 4x + m = (1) có nghiӋm phân biӋt x1, x2 và y(x1).y(x2) < Trѭӟc 27 17 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (19) 18 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT hӃt, phѭѫng trình (1) có hai nghiӋm phân biӋt x1, x2 ∆ ' > ⇔ m < Theo m x1 + x2 = , x1x = Lúc này ta có 3 2m 11 y ( x1) = x13 – 2x12 + mx1 +1 = (3x12 − 4x1 + m)( x1 − ) + ( − )x1 + = 9 2m 11 2m 11 =( − )x1 + (do 3x12 − 4x1 + m = 0) Tѭѫng tӵ y(x2 ) = ( − )x2 + Do ÿó 9 9 31 2m 11 2m 11 31 y ( x1 ) y ( x2 ) < ⇔ (( − )x1 + )(( − )x2 + ) < 27 9 9 27 2m 11 2m 121 31 ⇔( − ) x1x + ( − )(x1 + x ) + < 9 81 27 2m m 11 2m 121 31 ⇔( − ) + ( − ) + < ⇔ 3m3 − 8m + 22m − 17 < 9 81 27 ⇔ m < (thoҧ mãn m < ) Vұy m < là các giá trӏ cҫn tìm ÿӏnh lí Viet thì Bài tp 39 Tìm m ÿӇ hàm sӕ ÿҥt cӵc tiӇu tҥi x = 0: a) y = m.x + 2mx ; b)y = x3 − mx + (m + 1)x; c)y = x + mx3; d)y = −x3 − 3mx + 3(m2 − 1)x − m2 40 Tìm m ÿӇ hàm sӕ y = x3 – (m+2)x +m ÿҥt cӵc ÿҥi tҥi x = 41 Tìm m ÿӇ hai ÿiӇm cӵc trӏ cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – cách ÿӅu ÿiӇm O 42 Tìm m ÿӇ ÿӗ thӏ (C) y = x − (3m + 1)x + 2(m + 1) có ÿiӇm cӵc trӏ là ÿӍnh mӝt tam giác ÿӅu 43 ViӃt phѭѫng trình ÿѭӡng thҷng ÿi qua hai ÿiӇm cӵc trӏ cӫa ÿӗ thӏ m y = x − x + biӃt rҵng tiӃp tuyӃn cӫa (C) tҥi ÿiӇm có hoành ÿӝ bҵng –1 là 3 mӝt ÿѭӡng thҷng song song vӟi d: 5x – y = 44 Tìm m ÿӇ hàm sӕ y = x + mx + a)Có hai ÿiӇm cӵc trӏ trái dҩu b)Có hai x+m cӵc trӏ trái dҩu 45 Tìm m ÿӇ các ÿiӇm cӵc trӏ cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ y = x3 – 3mx2 + 4m3 ÿӕi xӭng vӟi qua ÿѭӡng thҷng y = x 46 Tìm m ÿӇ hàm sӕ y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x có hai ÿiӇm cӵc trӏ dѭѫng 47 Tìm m ÿӇ ÿѭӡng thҷng y = x + m2 – m ÿi qua trung ÿiӇm cӫa ÿoҥn thҷng nӕi hai ÿiӇm cӵc trӏ cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ y = x3 – 6x2 + 9x 48 Tìm m ÿӇ ÿӗ thӏ hàm sӕ y = x4 – 2(m+1)x2 + m có ÿiӇm cӵc trӏ A, B, C (A là ÿiӇm cӵc trӏ nҵm trên Oy) cho OA = BC 49 Chӭng minh ÿӗ thӏ hàm sӕ sau luôn có hai ÿiӇm cӵc trӏ và viӃt phѭѫng trình ÿѭӡng thҷng ÿi qua hai ÿiӇm cӵc trӏ ÿó: x − m(m + 1)x + m3 + a)y = x − mx − x + m; b)y = x−m 18 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (20) 19 Ӭng dөng ÿҥo hàm ÿӇ giҧi toán THPT 50 a) Tìm m ÿӇ hàm sӕ f (x) = x + ax + 2x − có ÿiӇm cӵc trӏ b) Chӭng minh hàm sӕ y = x − 3x + (C) có nhҩt mӝt ÿiӇm cӵc trӏ và x +1 ÿó là ÿiӇm cӵc tiӇu 51 Tìm a, b, c, d ÿӇ y = ax3 + bx2 + cx + d ÿҥt cӵc tiӇu bҵng tҥi x = 0, ÿҥt cӵc ÿҥi bҵng tҥi x = 52 Tìm a, b, c ÿӇ hàm sӕ y = x3 + ax2 + bx + c ÿҥt cӵc tiӇu bҵng – tҥi x = 1, và ÿӗ thӏ cӫa nó cҳt trөc Oy tҥi ÿiӇm có tung ÿӝ bҵng 53 Cho hàm sӕ Y = X − M + X + MM + X + (C) a) Chӭng minh vӟi mӑi m ÿӗ thӏ hàm sӕ ÿã cho luôn có hai ÿiӇm cӵc trӏ có khoҧng cách không ÿәi c) Tìm m ÿӇ các ÿiӇm cӵc trӏ cӫa hàm sӕ ÿã cho thoҧ mãn 2xCĈ – xCT = – d) Tìm m ÿӇ các ÿiӇm cӵc trӏ cӫa hàm sӕ ÿã cho thoҧ mãn 2yCT + yCĈ = 16 e) Chӭng minh ÿѭӡng thҷng nӕi hai ÿiӇm cӵc trӏ cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ ÿã cho có phѭѫng không ÿәi 54 Lұp bҧng biӃn thiên và xác ÿӏnh các ÿiӇm cӵc trӏ cӫa hàm sӕ D \ = [ − [ E \= [ − [ + [ + [ + G \ = [ − [ − H \ = [ − [ F \ = [ + [ + I \ = [ − [ [ + P[ − 55.Tìm m ÿӇ hàm sӕ \ = có cӵc trӏ P[ − 56 Tìm m ÿӇ hàm sӕ \ = [ − [ − P[ + có ÿiӇm cӵc ÿҥi nhӓ hѫn 57 Tìm m ÿӇ hàm sӕ \ = [ − P − [ + P − [ − P có hai ÿiӇm cӵc trӏ [[ thӓa mãn [ < − < [ π 58 Tìm a ÿӇ hàm sӕ \ = DVLQ [ + VLQ [ ÿҥt cӵc trӏ tҥi [ = 59 Tùy theo m tìm quӻ tích trung ÿiӇm ÿoҥn thҷng nӕi hai ÿiӇm cӵc trӏ cӫa ÿӗ thӏ hàm sӕ \ = [ + P[ + P[ + P 60 Tìm m ÿӇ ÿӗ thӏ hàm sӕ \ = [ − P + [ + P có ÿiӇm cӵc trӏ là ÿӍnh mӝt tam giác vuông 61 Tìm m ÿӇ ÿӗ thӏ hàm sӕ \ = [ − P[ + P có hai ÿiӇm cӵc trӏ A, B cho tam giác OAB có diӋn tích bҵng 48 62 Cho hai sӕ thӵc a, b thӓa mãn a + b > Chӭng minh rҵng hai sӕ a, b có ít nhҩt mӝt sӕ không phҧi là ÿiӇm cӵc trӏ cӫa hàm sӕ y = x − (m + 2m)x + (m + 4m3 + 5m + 2m)x + 2013 19 NguyӉn Văn Xá – Tә Toán – Trѭӡng THPT Yên Phong sӕ – Bҳc Ninh Lop12.net (21)