skkn sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến : “ Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn toán - THPT Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày tháng năm 2010 đến ngày 20 tháng 12 năm 2011 Tác giả : Họ tên : Vũ Thị Trang Năm sinh : 1985 Nơi thường trú : Nghĩa Trung – Nghĩa Hưng – Nam Định Trình độ chuyên môn : Cử nhân Toán Chức vụ công tác: Giáo viên dạy toán Nơi làm việc : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa liên hệ : Vũ Thị Trang - Trường THPT A Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 0977768756 Đồng tác giả : Họ tên : Năm sinh : Nơi thường trú : Trình độ chuyên môn : Chức vụ công tác: Nơi làm việc : Địa liên hệ : Điện thoại : Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa : Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 03503871173 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình I Lý chọn đề tài Ta biết toán giải phương trình bất phương trình thường xuất đề thi tuyển sinh đại học thường gây khó khăn học sinh toán chứa tham số Rất nhiều giải phương trình bất phương trình cần phải sử dụng phương pháp đạo hàm giải Đặc biệt toán chứa tham số mà SGK bỏ định lý đảo dấu tam thức bậc hai nhiều toán công cụ hay để giải Tuy nhiên nghiên cứu kỹ vấn đề ta dùng ứng dụng đạo hàm để giải thực tế cho thấy cách giải cho lời giải ngắn gọn Và việc hướng dẫn học sinh phương pháp phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư khái quát hoá, tư hàm, tư phân tích tổng hợp Vì định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình” Đề tài phù hợp với đối tượng học sinh II Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu gồm phần: + Phần1 Giải phương trình + Phần Giải bất phương trình 1.Giải phương trình Khi sử dụng đạo hàm giải phương trình ta thường sử dụng ứng dụng khoảng đơn điệu hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Đồng thời sử dụng tính chất sau: Tính chất 1: Nếu f ( x ) hàm số đồng biến (nghịch biến) (a;b) phương trình f ( x )  k có nghiệm có không nghiệm Chứng minh Xét trường hợp f ( x ) hàm số đồng biến Giả sử phương trình f ( x )  có hai nghiệm x1; x2 ( x1  x2 ) Nên f ( x1 )  f ( x2 )  k Do hàm số f ( x ) hàm số đồng biến nên từ x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) mâu thuẫn với f ( x1 )  f ( x2 )  k Chứng tỏ giả sử sai Vậy phương trình có nghiệm có không nghiệm Với trường hợp f ( x ) hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Tính chất 2: Nếu f ( x ) hàm số đồng biến (nghịch biến) (a;b) f (u)  f (v), u, v  (a;b)  u  v Chứng minh Xét trường hợp f ( x ) hàm số đồng biến Nếu u  v  f (u )  f (v) (hiển nhiên) Ta chứng minh f (u )  f (v)  u  v Giả sử u  v ,không tính tổng quát giả sử u  v Do hàm số f ( x ) hàm số đồng biến nên f (u )  f (v) Chứng tỏ giả sử sai f (u)  f (v), u, v  (a;b)  u  v Với trường hợp f ( x ) hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự Tính chất 3: Nếu f ( x ) hàm số đồng biến g ( x ) hàm số nghịch biến (a; b) phương trình f ( x )  g( x ) có nhiều nghiệm Chứng minh Ta có: f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  Xét hàm số h( x)  f ( x)  g ( x) (a; b) Khi h( x) hàm số đồng biến (a; b) Theo tính chất phương trình h( x)  có nhiều nghiệm (Đpcm) Đối với toán chứa tham số dạng f(x) = m có nghiệm D khi: f ( x)  h(m)  m axf ( x) D D Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 3x   x  log3 (1  x) (6.3) Giải: Điều kiện: x  1 Đặt y  log3 (1  x )   x  3y Ta có (6.3)  3x  x   x  log3 (1  x )  3x  x  y  3y (6.4) Xét hàm số f (t )  3t  t R Có f t   3t ln   0t  R Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Nên hàm số f (t ) hàm số đồng biến R Khi (6.4)  f ( x )  f ( y)  x  y  x  log3 (1  x )  3x  x   Xét g( x )  x  x  1, x  1 Mà g '( x )  x ln3  2, g ''( x )  (3 x ln3)2  0,  x  1  g '( x ) hàm số đồng biến có đổi dấu : g '(2)  ln3   0, g '(0)  ln3    g '( x )  có nghiệm x   Ta có bảng biến thiên x -1/2 g '( x)  -  + g ( x) g ( ) Từ bảng biến thiên ta thấy g( x )  có nghiệm có nhiều nghiệm Mặt khác g(0)  g(1)  Do phương trình cho có nghiệm phân biệt x  0, x  Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x2  x   x   x2  x   Giải: 2   (6.5) x  x  x  1  x  x  1  x Điều kiện:   2   x   x  x  1  x  x    x  1.(6.6) Giải (6.5): Nếu x   (6.5) Nếu x   (6.5)  x2  x   x2  x    x   x0 Chứng tỏ (6.5) x  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Giải (6.6): Nếu x  1  (6.6) Nếu x  1  (6.6)  x2  x   ( x  1)2  x2  x   x  x   x  Kết hợp với x  1  x  1 Chứng tỏ (6.6) x  Vậy phương trình xác định với x Phương trình tương đương với x  x  x   x  x   ( x  1)2  ( x  1)   ( x  1) (6.7) Xét hàm số f (t )  t  t  t   t Ta có f '(t )  t  t   2t  t  t  t 1 t  t 1  Mặt khác t  t   2t   (2t  1)2   2t   2t   2t   Vậy f '(t )  t  hàm số f (t ) đồng biến R Khi (6.7)  f ( x )  f ( x  1)  x  x  (vô nghiệm) Vậy pt cho vô nghiệm Ví dụ 3:Giải pt x  x   x   x  16  14 Giải: Điều kiên: x  Xét hàm số f ( x )  x  x   x   x  16 x  Ta có : f '( x )  x  1    0, x  x  x  x  16 Hàm số f ( x ) đồng biến (5; ) Có f (9)      14  f ( x )  f (9)  x  Vậy pt có nghiệm x  Ví dụ 4: Giải pt: Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình log2 (3log2 (3x  1))  x Giải: Đặt y  dlog (3 x  1), x  log (3y  1)  x Ta có hệ pt:   y  dlog2 (3 x  1) Cộng vế với vế ta được: log2 (3x  1)  x  log2 (3y  1)  y (6.8) Xét hàm số f (t )  log (3t  1)  t, t  Có f '(t )    0, x  (3t  1)ln Hàm số f (t ) hàm đồng biến ( ;  ) (6.8)  f ( x )  f ( y)  x  y  x  log2 (3x  1)  x  3x   Xét hàm số g( x )  x  3x  1, g '( x )  x ln2  Ta có : g '( x )   x  x  log ( ) ln Mà g '( x )   x  x0 , g '( x )   x  x0 Nên hàm số g ( x ) nghịch biến (; x0 ) , đồng biến (; x0 ) Do pt g( x )  có không nghiệm R Mà g(0)  g(1)  Kết hợp với điều kiện x  nghiệm pt cho Ví dụ 5: Giải pt: 7x 1  6log7 (6 x  5)  Giải: Điều kiện: x  Đặt log7 (6 x  5)  y  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình 7 y 1  x  (6.15)    x 1  y  (6.16)   Trừ vế với vế (6.15) (6.16) ta có :  7y1  7x 1  x  y  7x 1  x  7y1  y (6.17) Xét hàm số f (t )  7t 1  6t, t  5 Cã f '(t )  7t 1 ln   0, t  ( ; ) 6  f (t ) hàm số đồng biến ( ; )  (6.17)  f ( x )  f ( y )  x  y  x 1  x   x 1  x   Xét hàm số g( x )  x 1  x  5, x  Ta có g '( x )  7t 1 ln  6, g ''( x )  (7t 1 ln 7)2  0, x   g '( x ) đồng biến ( ;  ) Mà g '(0)  ln   0, g '(2)  7ln    g '( x )  có nghiệm x   Ta có bảng biến thiên x 5/6   g '( x) - + g ( x) g ( ) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy pt g( x )  có nghiệm có nhiều nghiệm Mà, g(0)  g(2)  Do pt có nghiệm x  0, x  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Ví dụ 6: Tìm m để pt x2 – 2x = m có nghiệm x  [ 0; 1] Xét hàm số f(x) = x2 – 2x Giải: Là hàm số liên tục [0;1] từ bảng biến thiên hàm số f(x) [0;1] Ta có : maxf(x) = ; f(x) = - [0 ; 1] [0; 1] Vậy với m0 pt cho có nghiệm [0;1] ví dụ 7: Tìm m để pt sau có nghiệm x    x  ( x  1)(3  x)  m Giải : x    x  t  2 Đặt t = + Khi pt trở thành: t2 f(x) =   t   m Lập bảng biến thiên f(t) với  t  2 f (t )  2  [2;2 ] Ta có : max f (t ' )  [2;2 ] Vậy pt có nghiệm  2   m  Ví dụ 8: Xác định m để pt sau có nghiệm:     m  x   x     x   x   x Giải: Điều kiện:   x  Đặt t   x   x   Với x   1;1  t  0; Pt cho trở thành: mt  2  t  t   m  t2  t  t2 t2  t  Đặt f t   t2 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình   Lập bảng biến thiên hàm số f t  0; Ta có: f t    t  4t t  22 t=0 f t    t=-4 Bảng biến thiên: t -4 0 + - f t  f(t) -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1  m  pt cho có nghiệm Giải bất phương trình Để giải bất phương trình ta thường sử dụng tính chất: Nếu f ( x ) đồng biến ( a; b) bất pt: f (u)  f (v), u, v  (a; b)  u  v Đối với bất pt chứa tham số: f(x)  h(m) có nghiệm D Bất pt dạng hm  max f ( x) D Bất pt dạng : f(x)  h(m) nghiệm xD hm  f ( x) D Bất pt dạng : f(x)  h(m) vô nghiệm D hm  max f ( x) D Bất pt dạng h(m) > f(x) có nghiệm D hm  f ( x) D Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Bất pt dạng : h(m)> f(x) nghiệm xD hm  max f ( x) D Bất pt dạng : h(m) > f(x) vô nghiệm D hm  f ( x) Ví dụ 9: Giải bất pt sau: x   x   49 x  x  12  181 x  14 x (6.20) ( ĐHAN - 2001 ) Giải: Điều kiện: x  Ta có (6.20)  ( x   x  6)2  ( x   x  6)  182   x   x   13  (6.21) Xét hàm số f ( x )  x   x   13 [ ;  ) Có f '( x )  7   0, x  7x  7x  6 Do hàm số f ( x ) đồng biến ( ; ) Mà f (6)   x  nghiệm f ( x )  Khi (6.21)  f ( x )  f (6)  x  Vậy bất pt cho có nghiệm  x  Ví dụ 10: Giải bất pt sau: x  x   x  x    x  x  (6.22) Giải: Điều kiện:  x  Ta có (6.22)  x  x   x   x  x    x  ( x  1)2   x   (3  x )2    x Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng (6.23) Trang 10 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Xét hàm số f (t )  t   t [0;2] Có f '(t )  t t 2  t  t  (0;2] Hàm số f (t ) đồng biến (0;2)  (6.23)  f ( x  1)  f (3  x )  x    x  x  Vậy bất phương trình có tập nghiệm T  (2;3] Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x    x  m (*) Giải: Điều kiện: -1 x Đặt f x   x    x Để (*) có nghiệm m  max f ( x)  1;4 Ta có: f  x   1   0, x   1;4 x 1  x Vậy để bất phương trình có nghiệm m  max f ( x)  f 4  1;4 Ví dụ 12: Tìm điều kiện m để pt mx4 – 4x + m  nghiệm xR Giải : Bất pt  m  4x  g ( x) x 1 Xét hàm số g(x) = 4x ; x4 1 Ta có : max g ( x)  27 R Do bất pt nghiệm xR : m  max g ( x)  27 R Ví dụ 13: Tìm m để x [0; 2] nghiệm bất pt log x  x  m  log ( x  x  m)  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 11 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Giải: Điều kiện: ( x  x  m)  Bất pt  log Đặt t = x  x  m  log ( x  x  m)  log ( x  x  m)  5; t  Bất pt trở thành : t2 + 4t –   -  t  t Kết hợp với t  Ta có :  t   log ( x  x  m)  Suy :  x  x  m    x  x  m  x  2x   m  x  2x   m Bất pt nghiệm x  [0; 2] ( x  x)   m [0;2] y max ( x  x)   m [0;2] 1  1 m  (Xem hình bên)  4m 2m4 x -1 Các toán tự giải Bài Giải phương trình: 4x + 5x = Bài Giải pt: 3x + 5x = -6x + 2; Bài Giải pt: x log5 4 log5 x  x; Bài 4: Tìm giá trị m để pt sau có nghiệm thực phân biệt: x  x  24  x   x  m (ĐH Khối A-2008) Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 12 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Bài Tìm giá trị m để pt sau có nghiệm thực: x   m x   24 x  (ĐH Khối A-2007) Bài Tìm m để bất pt x3 -2x|x-2| - m2 - 20m có nghiệm [0;3] III Kết luận: Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung liên quan đến chuyên đề, với góp ý đồng nghiệp, vận dụng chuyên đề vào giảng dạy thu số kết sau: Học sinh vận dụng kết chuyên đề vào giải phương trình bất phương trình Tạo hứng thú cho học sinh học toán giải phương trình bất phương trình Qua đề tài giáo viên xây dựng toán giải phương trình bất phương trình Đề tài nhằm phục vụ cho đối tượng học sinh trung bình, giỏi Bên cạnh kết thu chuyên đề nhiều hạn chế thiếu sót Kính mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Nghĩa Hưng, ngày 08 tháng 02 năm 2011 Người viết Vũ Thị Trang CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 13 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình (xác nhận, đánh giá, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) (khối phòng GD-ĐT) PHÒNG GD-ĐT (xác nhận, đánh giá, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) PHỤ LỤC Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 14 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Danh mục sách tham khảo : + Sách giáo khoa giải tích lớp 12 + Sách rèn luyện giải toán giải tích 12 – NXB Giáo Dục + Phân loại phương pháp giải dạng tập toán giải tích lớp 12 – NXB – ĐH QG HN + Giáo trình đại học - Trường đại học sư phạm Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 15 [...]... 1 Học sinh có thể vận dụng được các kết quả cơ bản của chuyên đề vào giải phương trình và bất phương trình 2 Tạo hứng thú cho học sinh khi học các bài toán về giải phương trình và bất phương trình 3 Qua đề tài này giáo viên có thể xây dựng được các bài toán về giải phương trình và bất phương trình 4 Đề tài nhằm phục vụ cho các đối tượng học sinh trung bình, khá và giỏi Bên cạnh những kết quả thu được.. .Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Xét hàm số f (t )  t 2  2  t trên [0;2] Có f '(t )  t t 2 2  1 2 t  0 t  (0;2] Hàm số f (t ) đồng biến trên (0;2)  (6.23)  f ( x  1)  f (3  x )  x  1  3  x  x  2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là T  (2;3] Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x  1  4  x  m (*) Giải: Điều... Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 14 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình 1 Danh mục sách tham khảo : + Sách giáo khoa giải tích lớp 12 + Sách rèn luyện giải toán giải tích 12 – NXB Giáo Dục + Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán giải tích lớp 12 – NXB – ĐH QG HN + Giáo trình đại học - Trường đại học sư phạm Vũ Thị Trang - Tổ... Hưng Trang 12 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Bài 5 Tìm các giá trị của m để pt sau có nghiệm thực: 3 x  1  m x  1  24 x 2  1 (ĐH Khối A-2007) Bài 6 Tìm m để bất pt x3 -2x|x-2| - m2 - 20m 0 có nghiệm trên [0;3] III Kết luận: Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung liên quan đến chuyên đề, với sự góp ý của đồng nghiệp, vận dụng chuyên đề vào giảng dạy... R Ví dụ 13: Tìm m để x [0; 2] đều là nghiệm của bất pt log 2 x 2  2 x  m  4 log ( x 2  2 x  m)  5 4 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 11 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Giải: Điều kiện: ( x 2  2 x  m)  1 Bất pt  log Đặt t = x 2  2 x  m  4 log ( x 2  2 x  m)  5 4 2 log ( x 2  2 x  m)  5; t  0 4 Bất pt trở thành :... được chuyên đề còn nhiều hạn chế và thiếu sót Kính mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn! Nghĩa Hưng, ngày 08 tháng 02 năm 2011 Người viết Vũ Thị Trang CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 13 Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình (xác nhận, đánh giá, xếp... x  1  4  x Để (*) có nghiệm thì m  max f ( x)  1;4 Ta có: f  x   1 1   0, x   1;4 2 x 1 2 4  x Vậy để bất phương trình có nghiệm thì m  max f ( x)  f 4  5 1;4 Ví dụ 12: Tìm điều kiện của m để pt mx4 – 4x + m  0 nghiệm đúng xR Giải : Bất pt  m  4x  g ( x) 4 x 1 Xét hàm số g(x) = 4x ; x4 1 Ta có : max g ( x)  4 27 R Do đó bất pt nghiệm đúng xR khi và chỉ khi :...  4 x 2  2x  1  m  x 2  2x  4  m Bất pt nghiệm đúng x  [0; 2] khi và chỉ khi min ( x 2  2 x)  1  m [0;2] y max ( x 2  2 x)  4  m [0;2] 1  1 m  (Xem hình bên) 0  4m 2m4 0 2 x -1 Các bài toán tự giải Bài 1 Giải phương trình: 4x + 5x = 9 Bài 2 Giải pt: 3x + 5x = -6x + 2; Bài 3 Giải pt: x log5 3 4 log5 x  x; Bài 4: Tìm các giá trị của m để pt sau có đúng 2 nghiệm thực phân biệt: ... Phần Giải bất phương trình 1 .Giải phương trình Khi sử dụng đạo hàm giải phương trình ta thường sử dụng ứng dụng khoảng đơn điệu hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Đồng thời sử dụng tính.. .Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình I Lý chọn đề tài Ta biết toán giải phương trình bất phương trình thường xuất đề thi tuyển sinh... Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Đề tài phù hợp với đối tượng học sinh II Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu gồm phần: + Phần1 Giải phương trình + Phần Giải