Đề tài Sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

Lý do chọn đề tài Ta đã biết rằng các bài toán về giải phương trình và bất phương trình thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh đại học và nó cũng thường gây khó khăn đối với học si[r]

Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến : “ Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Môn toán - THPT Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày tháng năm 2010 đến ngày 20 tháng 12 năm 2011 Tác giả : Họ và tên : Vũ Thị Trang Năm sinh : 1985 Nơi thường trú : Nghĩa Trung – Nghĩa Hưng – Nam Định Trình độ chuyên môn : Cử nhân Toán Chức vụ công tác: Giáo viên dạy toán Nơi làm việc : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa liên hệ : Vũ Thị Trang - Trường THPT A Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 0977768756 Đồng tác giả : Họ và tên : Năm sinh : Nơi thường trú : Trình độ chuyên môn : Chức vụ công tác: Nơi làm việc : Địa liên hệ : Điện thoại : Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa : Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 03503871173 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình I Lý chọn đề tài Ta đã biết các bài toán giải phương trình và bất phương trình thường xuất các đề thi tuyển sinh đại học và nó thường gây khó khăn học sinh là bài toán chứa tham số Rất nhiều bài giải phương trình và bất phương trình cần phải sử dụng phương pháp đạo hàm có thể giải Đặc biệt bài toán chứa tham số mà SGK bỏ định lý đảo dấu tam thức bậc hai thì nhiều bài toán công cụ hay để giải Tuy nhiên nghiên cứu kỹ vấn đề thì ta có thể dùng ứng dụng đạo hàm để giải và thực tế cho thấy cách giải này cho lời giải ngắn gọn Và việc hướng dẫn học sinh phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư khái quát hoá, tư hàm, tư phân tích tổng hợp Vì tôi định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình” Đề tài này phù hợp với các đối tượng học sinh II Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu gồm phần: + Phần1 Giải phương trình + Phần Giải bất phương trình 1.Giải phương trình Khi sử dụng đạo hàm giải phương trình ta thường sử dụng ứng dụng các khoảng đơn điệu hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Đồng thời sử dụng các tính chất sau: Tính chất 1: Nếu f ( x ) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) thì phương trình f ( x )  k có nghiệm có không quá nghiệm Chứng minh Xét trường hợp f ( x ) là hàm số đồng biến Giả sử phương trình f ( x )  có hai nghiệm x1; x2 ( x1  x2 ) Nên f ( x1 )  f ( x2 )  k Do hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến nên từ x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) mâu thuẫn với f ( x1 )  f ( x2 )  k Chứng tỏ giả sử sai Vậy phương trình có nghiệm có không quá nghiệm Với trường hợp f ( x ) là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Tính chất 2: Nếu f ( x ) là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên (a;b) f (u)  f (v), u, v  (a;b)  u  v Chứng minh Xét trường hợp f ( x ) là hàm số đồng biến Nếu u  v  f (u )  f (v) (hiển nhiên) Ta chứng minh f (u )  f (v)  u  v Giả sử u  v ,không tính tổng quát giả sử u  v Do hàm số f ( x ) là hàm số đồng biến nên f (u )  f (v) Chứng tỏ giả sử sai f (u)  f (v), u, v  (a;b)  u  v Với trường hợp f ( x ) là hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự Tính chất 3: Nếu f ( x ) là hàm số đồng biến còn g( x ) là hàm số nghịch biến trên (a; b) thì phương trình f ( x )  g( x ) có nhiều nghiệm Chứng minh Ta có: f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  Xét hàm số h( x)  f ( x)  g ( x) trên (a; b) Khi đó h( x) là hàm số đồng biến trên (a; b) Theo tính chất thì phương trình h( x)  có nhiều nghiệm (Đpcm) Đối với bài toán chứa tham số dạng f(x) = m có nghiệm trên D và khi: f ( x)  h(m)  m axf ( x) D D Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x   x  log3 (1  x ) (6.3) Giải: Điều kiện: x  1 Đặt y  log3 (1  x )   x  3y Ta có (6.3)  x  x   x  log3 (1  x )  x  x  y  3y (6.4) Xét hàm số f (t )  3t  t trên R Có f t   3t ln   0t  R Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Nên hàm số f (t ) là hàm số đồng biến trên R Khi đó (6.4)  f ( x )  f ( y )  x  y  x  log3 (1  x )  x  x   Xét g( x )  x  x  1, x  1 Mà g '( x )  x ln3  2, g ''( x )  (3 x ln3)2  0,  x  1  g '( x ) là hàm số đồng biến và có đổi dấu vì : g '(2)  ln3   0, g '(0)  ln3    g '( x )  có nghiệm x   Ta có bảng biến thiên x -1/2 g '( x)  -  + g ( x) g ( ) Từ bảng biến thiên ta thấy g( x )  có nghiệm thì có nhiều nghiệm Mặt khác g(0)  g(1)  Do đó phương trình đã cho có nghiệm phân biệt x  0, x  Ví dụ 2: Giải phương trình: x  x2  x   x   x2  x   Giải:  x  x  x    x  x    x (6.5) Điều kiện:   2  x   x  x    x  x    x  1.(6.6) Giải (6.5): Nếu x   (6.5) luôn đúng Nếu x   (6.5)  x  x   x  x    x   x0 Chứng tỏ (6.5) đúng x  A Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Giải (6.6): Nếu x  1  (6.6) luôn đúng Nếu x  1  (6.6)  x  x   ( x  1)  x  x   x  x   x  Kết hợp với x  1  x  1 Chứng tỏ (6.6) đúng x  A Vậy phương trình xác định với x Phương trình tương đương với x  x  x   x  x   ( x  1)2  ( x  1)   ( x  1) (6.7) Xét hàm số f (t )  t  t  t   t Ta có f '(t )  t  t   2t  t  t  t 1 t  t 1  Mặt khác t  t   2t   (2t  1)2   2t   2t   2t   Vậy f '(t )  t  hàm số f (t ) luôn đồng biến trên R Khi đó (6.7)  f ( x )  f ( x  1)  x  x  (vô nghiệm) Vậy pt đã cho vô nghiệm Ví dụ 3:Giải pt x  x   x   x  16  14 Giải: Điều kiên: x  Xét hàm số f ( x )  x  x   x   x  16 trên x  Ta có : f '( x )  x  1    0, x  x  x  x  16 Hàm số f ( x ) đồng biến trên (5; ) Có f (9)      14  f ( x )  f (9)  x  Vậy pt có nghiệm x  Ví dụ 4: Giải pt: Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình log2 (3log2 (3 x  1))  x Giải: Đặt y  dlog2 (3 x  1), x  log2 (3 y  1)  x Ta có hệ pt:   y  dlog2 (3 x  1) Cộng vế với vế ta được: log2 (3 x  1)  x  log2 (3 y  1)  y (6.8) Xét hàm số f (t )  log2 (3t  1)  t, t  Có f '(t )    0, x  (3t  1)ln Hàm số f (t ) là hàm đồng biến trên ( ; ) (6.8)  f ( x )  f ( y )  x  y  x  log2 (3 x  1)  x  x   Xét hàm số g( x )  x  x  1, g '( x )  x ln  Ta có : g '( x )   x  x  log2 ( ) ln Mà g '( x )   x  x , g '( x )   x  x Nên hàm số g( x ) nghịch biến trên (; x ) , đồng biến trên (; x ) Do đó pt g( x )  có không quá nghiệm trên R Mà g(0)  g(1)  Kết hợp với điều kiện x  là nghiệm pt đã cho Ví dụ 5: Giải pt: x 1  log7 (6 x  5)  Giải: Điều kiện: x  Đặt log7 (6 x  5)  y  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình y 1 7  x  (6.15)   x 1  y  (6.16)  Trừ vế với vế (6.15) và (6.16) ta có :  y 1  x 1  x  y  x 1  x  y 1  y (6.17) Xét hàm số f (t )  7t 1  6t, t  5 Cã f '(t )  7t 1 ln   0, t  ( ; ) 6  f (t ) là hàm số đồng biến trên ( ; )  (6.17)  f ( x )  f ( y )  x  y  x 1  x   x 1  x   Xét hàm số g( x )  x 1  x  5, x  Ta có g '( x )  7t 1 ln  6, g ''( x )  (7t 1 ln 7)2  0, x   g '( x ) đồng biến trên ( ; ) Mà g '(0)  ln   0, g '(2)  7ln    g '( x )  có nghiệm x   Ta có bảng biến thiên x 5/6   g '( x) - + g ( x) g ( ) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy pt g( x )  có nghiệm thì có nhiều nghiệm Mà, g(0)  g(2)  Do đó pt có nghiệm x  0, x  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Ví dụ 6: Tìm m để pt x2 – 2x = m có nghiệm x  [ 0; 1] Giải: Xét hàm số f(x) = x2 – 2x Là hàm số liên tục trên [0;1] từ bảng biến thiên hàm số f(x) trên [0;1] Ta có : maxf(x) = ; f(x) = - [0 ; 1] [0; 1] Vậy với m0 thì pt đã cho có nghiệm trên [0;1] ví dụ 7: Tìm m để pt sau có nghiệm x    x  ( x  1)(3  x)  m Giải : x    x thì  t  2 Đặt t = + Khi đó pt trở thành: t2 f(x) =   t   m Lập bảng biến thiên f(t) với  t  2 f (t )  2  [2;2 ] Ta có : max f (t ' )  [2;2 ] Vậy pt có nghiệm  2   m  Ví dụ 8: Xác định m để pt sau có nghiệm:     m  x   x     x   x   x Giải: Điều kiện:   x  Đặt t   x   x   Với x   1;1 t  0; Pt đã cho trở thành: mt  2 t  t   m  t2  t  t2 t2  t  Đặt f t   t2 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình   Lập bảng biến thiên hàm số f t  trên 0; Ta có: f t    t  4t t  22 [t t== -04) f t    Bảng biến thiên: t -4 0 + - f t  f(t) -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với   m  thì pt đã cho có nghiệm Giải bất phương trình Để giải bất phương trình ta thường sử dụng tính chất: Nếu f ( x ) đồng biến trên (a; b) thì bất pt: f (u)  f (v), u, v  (a; b)  u  v Đối với bất pt chứa tham số: f(x)  h(m) có nghiệm trên D Bất pt dạng <=> hm   max f ( x) D Bất pt dạng : f(x)  h(m) nghiệm đúng xD <=> hm   f ( x) D Bất pt dạng : f(x)  h(m) vô nghiệm trên D <=> hm   max f ( x) D Bất pt dạng h(m) > f(x) có nghiệm trên D <=> hm   f ( x) D Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Bất pt dạng : h(m)> f(x) nghiệm đúng xD <=> hm   max f ( x) D Bất pt dạng : h(m) > f(x) vô nghiệm trên D <=> hm   f ( x) Ví dụ 9: Giải bất pt sau: x   x   49 x  x  12  181x  14 x (6.20) ( ĐHAN - 2001 ) Giải: Điều kiện: x  Ta có (6.20)  ( x   x  6)2  ( x   x  6)  182   x   x   13  (6.21) Xét hàm số f ( x )  x   x   13 trên [ ; ) Có f '( x )  7   0, x  7x  7x  6 Do đó hàm số f ( x ) đồng biến trên ( ; ) Mà f (6)   x  là nghiệm f ( x )  Khi đó (6.21)  f ( x )  f (6)  x  Vậy bất pt đã cho có nghiệm  x  Ví dụ 10: Giải bất pt sau: x  x   x  x    x  x  (6.22) Giải: Điều kiện:  x  Ta có (6.22)  x  x   x   x  x    x  ( x  1)2   x   (3  x )2    x Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com (6.23) Trang 10 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Xét hàm số f (t )  t   t trên [0;2] Có f '(t )  t t 2  t  t  (0;2] Hàm số f (t ) đồng biến trên (0;2)  (6.23)  f ( x  1)  f (3  x )  x    x  x  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là T  (2;3] Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x    x  m (*) Giải: Điều kiện: -1 x Đặt f x   x    x Để (*) có nghiệm thì m  max f ( x)  1;4 Ta có: f x   1   0, x   1;4 x 1  x Vậy để bất phương trình có nghiệm thì m  max f ( x)  f 4  1;4 Ví dụ 12: Tìm điều kiện m để pt mx4 – 4x + m  nghiệm đúng xR Giải : Bất pt  m  4x  g ( x) x 1 Xét hàm số g(x) = 4x ; x4 1 Ta có : max g ( x)  27 R Do đó bất pt nghiệm đúng xR và : m  max g ( x)  27 R Ví dụ 13: Tìm m để x [0; 2] là nghiệm bất pt log x  x  m  log ( x  x  m)  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang 11 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Giải: Điều kiện: ( x  x  m)  Bất pt  log Đặt t = x  x  m  log ( x  x  m)  log ( x  x  m)  5; t  Bất pt trở thành : t2 + 4t –   -  t  t Kết hợp với t  Ta có :  t   log ( x  x  m)  Suy :  {) x  2x   m  x  2x   m Bất pt nghiệm đúng x  [0; 2] và ( x  x)   m [0;2] y max( x  x)   m [0;2] 1  1 m  (Xem hình bên)  4m 2m4 x -1 Các bài toán tự giải Bài Giải phương trình: x + x = Bài Giải pt: x + x = -6x + 2; Bài Giải pt: x log5 4 log5 x  x; Bài 4: Tìm các giá trị m để pt sau có đúng nghiệm thực phân biệt: x  x  24  x   x  m (ĐH Khối A-2008) Bài Tìm các giá trị m để pt sau có nghiệm thực: Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang 12 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình x   m x   24 x  (ĐH Khối A-2007) Bài Tìm m để bất pt x -2x|x - 2| - m - 20m có nghiệm trên [0;3] III Kết luận: Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung liên quan đến chuyên đề, với góp ý đồng nghiệp, vận dụng chuyên đề vào giảng dạy đã thu số kết sau: Học sinh có thể vận dụng các kết chuyên đề vào giải phương trình và bất phương trình Tạo hứng thú cho học sinh học các bài toán giải phương trình và bất phương trình Qua đề tài này giáo viên có thể xây dựng các bài toán giải phương trình và bất phương trình Đề tài nhằm phục vụ cho các đối tượng học sinh trung bình, khá và giỏi Bên cạnh kết thu chuyên đề còn nhiều hạn chế và thiếu sót Kính mong đóng góp các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Nghĩa Hưng, ngày 08 tháng 02 năm 2011 Người viết Vũ Thị Trang CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang 13 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình (Ký tên, đóng dấu) (khối phòng GD-ĐT) PHÒNG GD-ĐT (xác nhận, đánh giá, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) PHỤ LỤC Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang 14 Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình Danh mục sách tham khảo : + Sách giáo khoa giải tích lớp 12 + Sách rèn luyện giải toán giải tích 12 – NXB Giáo Dục + Phân loại và phương pháp giải các dạng bài tập toán giải tích lớp 12 – NXB – ĐH QG HN + Giáo trình đại học - Trường đại học sư phạm Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Lop10.com Trang 15