Với một số đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử cũng như phép tách hạng tử để phân tích thành nhân tử.. Khi đó ta có [r]
(1) Nguyễn Công Lợi
PHÂN TÍCH ĐA THỨC
THÀNH NHÂN TỬ VÀ ỨNG DỤNG
(2)CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
I Các phương pháp phân tích bản
1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung
+ Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử. + Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác.
+ Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc (kể dấu chúng).
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
( )
2 2
28a b −21ab +14a b 7ab 4ab 3b 2a= − +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2x y – z +5y z – y =2 y z – 5y y z− − = y – z 5y−
( ) ( )( )
m m m m
x +x + =x x + =1 x x x – x 1+ + 1.2 Phương pháp dùng đẳng thức
+ Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đathức thành nhân tử.
+ Cần chúýđến việc vận dụng đẳng thức
Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
( )2 ( )( )
2
9x – 4= 3x – = 3x – 3x 2+
( ) (3 )( )
3 2 2
8 – 27a b =2 – 3ab = – 3ab 6ab 9a b+ +
( )2
4 2
25x – 10x y y+ = 5x – y
1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử phối hợp phương pháp + Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm.
+ Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức.
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
3 2 2
2
2 2
2x – 3x 2x – 2x 2x – 3x 2x x – x x 2x –
x –2xy y – 16 x – y x – y – x – y
+ = + + = + + = +
+ = − = +
(3)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2 2
2
2 2
3x y – 6x y – 3xy – 6axy – 3a xy 3xy 3xy x – 2y – y – 2ay – a 3xy x – 2x – y 2ay a 3xy x – – y a
3xy x – – y a x – y a 3xy x – – y – a x – y a
+ = +
= + + + = +
= + + + = + +
1.5 Một số ví dụ minh họa
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 5x y2 2+20x y 35xy2 − b) 40a b c x 12a b c – 16a b cx3 3 + 4 c) 3x x – 2y( )+6y 2y – x( ) d) (b – 2c a – b – a b 2c – b)( ) ( + )( )
• Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy có nhân tử chung đa thức thứ thứ hai Với hai đa thức lại xuất hiện thừa số đối nhau, vậy để có nhân tử chung ta đổi dấu hạng tử Do để phân tích đa thức thành nhân tử ta thực hiện bước sau.
+ Bước Tìm ước chung lớn hệ số.
+ Bước Tìm thừa số chung đơn thức, đa thức hạng tử đa thức.
+ Bước Tiến hành đưa nhân tử chung bao gồm ước chung lớn hệ số thừa số chung dấu ngoặc.
Lời giải
a) 5x y2 2+20x y 35xy2 − =5xy xy 4x – 7y( + )
b) 40a b c x 12a b c – 16a b cx 4a b c 10c x 3bc – 4ab x3 3 + 4 = 3 ( + )
c) 3x x – 2y( )+6y 2y – x( )=3x – 6xy 12y – 6xy 3x – 12xy 12y2 + = + =3 x – 2y( )2 d) (b – 2c a – b – a b 2c – b)( ) ( + )( ) (= b – 2c a – b a b)( + + )=2a b – 2c( )
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) a y2 + b x – 2abxy2 b) 100 – 3x – y( )2 c) 27x – a b3 3 d) (a b – a – b+ ) (3 )3
e) (7x – 2x 1− ) (2 + )2 f) (x – y – 2x 3y 1+ ) (2 + − )2
(4)i) 3a – 6ab 3b2 + 2−12c2 j) x – 2xy y – m2 + 2+2mn – n2
k) 2
a – 10a 25 – y – 4yz – 4z+ l) ( )
x +3cd – 3cd – 10xy – 25y+
m) 4b c – b2 ( 2+c – a2 2)2 n) (4x – 3x 18 – 4x2 − ) (2 2+3x)2
• Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy có xuất hiện hằng
thức đáng nhớ Một số đa thức ta thấy trực tiếp đẳng thức, Một số đa thức cịn lại nhóm hạng tử ta thấy có đẳng thức đáng nhớ Do ta sử dụng
các đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Lời giải
a) a y2 +b x – 2abxy2 =( )ay 2−2 ay bx( )( ) ( ) (+ bx = ay – bx)2
b) 100 – 3x – y( )2 =10 – 3x – y2 ( ) (2 = 10 – 3x y 10 3x – y+ )( + )
c) 27x – a b3 3 =( ) ( ) (3x 3− ab = 3x – ab 9x)( 2+3abx a b+ 2)
d) (a b – a – b+ ) (3 ) (3 = a b – a b+ + ) ( a b+ ) (2+ a b a – b+ )( ) (+ a – b)2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
2 2 2 2 2
2b a 2ab b a – b a – 2ab b 2b 3a b 4ab 2b 2a b – a 2b 2a b – a 2a b a 2b a b 3a b
= + + + + + = + + = +
= + + + = + +
e) (7x – 2x 1− ) (2 + ) (2 = 7x – – 2x – 7x – 2x 1)( + + =) 15 x – 3x – 1( )( )
f) (x – y – 2x 3y 1+ ) (2 + − ) (2 = x – y 2x 3y – 1+ )( + )
g) x – 2xy y2 + 2− =4 (x – y – 4)2 =(x – y – x – y 2)( + )
h) x – y – 2yz – z2 2 =x – y z2 ( + ) (2 = x – y – z x y z)( + + )
i) 3a – 6ab b2 + 2−12c2 =3 a – b – 4c( )2 2=3 a – b – 2c a – b 2c( )( + )
j) x – 2xy y – m2 + 2+2mn – n2 =(x – y – m – n) (2 ) (2 = x – y – m n x – y m – n+ )( + ) k) a – 10a 25 – y – 4yz – 4z2 + 2 =(a – – y 2z) (2 + ) (2 = a – – y – 2z a – y – 2z)( + )
l) x2+3cd – 3cd – 10xy – 25y( ) + =(x – 10xy 25y – 9c d – 6cd 12 + 2) ( 2 + )
( ) (2 ) (2 )( )
x – 5y – 3cd – x – 5y – 3cd x – 5y 3cd –
(5)m) 4b c – b2 ( 2+c – a2 2) (2 = 2bc – b – c2 +a2)(2bc b+ 2+c – a2 2)
( ) (2 )2 ( )( )( )( )
2
a – b – c b c – a a – b c a b – c b c – a b c a
= + = + + + + +
n) (4x – 3x 18 – 4x2 − ) (2 +3x) (2 = 4x – 3x – 18 – 4x – 3x 4x – 3x – 18 4x2 )( + 2+3x)
( 6x – 18 8x – 18)( ) 12 x 4x – 9( )( ) 12 x 2x – 2x 3( )( )( )
= − = − + = − + +
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 2
x – y – 2x – 2y b) 2 ( )2
3x – 3y – x – y
c) x x 2y – x – 2y2( + ) d) x – 2x – 4y – 4y2
e) x – 4x – 9x 363 + f) x3+2x2 +2x 1+ g)
x +2x – 4x 4− h)
x – 4x +12x – 27
i) x – 2x4 3+2x 1− j) a – a6 4+2a3+2a2
k)
x +x +2x + +x l)
x +2x +2x +2x 1+ m) x y xy2 + 2+x z y z 2xyz2 + + n) x5+x4+x3+x2+ +x
• Định hướng tư Quan sát đa thức ta nhận thấy đa thức khơng có xuất hiện nhân tử chung ta sử dụng thức đáng nhớ để phân tích Tuy nhiên xét theo nhóm ta thấy có nhân tử chung có đẳng thức đáng nhớ Do vậy ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích đ thức
Lời giải
a) x – y – 2x – 2y2 =(x – y x y – x y)( + ) ( + ) (= x y x – y – 2+ )( ) b) 3x – 3y – x – y2 ( )2 =3 x – y x y – x – y( )( + ) ( )2
(x – y 3x 3y – 2x 2y)( ) (x – y x 5y)( )
= + + = +
c) x x 2y – x – 2y2( + ) =(x 2y x – 1+ )( )=(x 2y x – x 1+ )( )( + ) d) x – 2x – 4y – 4y2 =(x – 4y – 2x 4y2 2) ( + )
(x – 2y x 2y – x 2y)( ) ( ) (x 2y x – 2y – 2)( )
= + + = +
e) x – 4x – 9x 363 + =(x – 9x – 4x – 363 ) ( ) (=x x – – x – 92 ) ( )=(x – x – x 3)( )( + )
(6)( )( ) ( )( )
x x – x x x x
= + + + + = + +
g) x4+2x – 4x 43 − =(x – 44 ) (+ 2x – 4x3 ) (= x – x2 )( 2+ +2) (2x x – 22 )
( )( ) ( )( )( )
x – x 2x x x x 2x
= + + = − + + +
h) x – 4x3 2+12x – 27=(x – 27 – 4x – 12x3 ) ( )=(x – x)( 2+3x – 4x x – 3+ ) ( )
(x – x)( 3x – 4x) (x – x – x 9)( )
= + + = +
i) x – 2x4 3+2x 1− =(x – – 2x – 2x4 ) ( ) (= x – x2 )( 2+1 – 2x x – 1) ( )
( 2 )( 2 ) ( )( )( ) (2 )( )3
x – x – 2x x – x x – x x –
= + = + = +
j) a – a6 4+2a3+2a2 =a a – a 14( )( + +) 2a a 12( + =) a a a – a2( + )( 2+2)
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2( )
2 2 2 2
a a a a – 2a a a a a – a a – 1 a a a – 2a
= + + + = + + + = + +
k)
( ) ( ) ( ) (2 ) ( )( )
4 2 2
x + x +2x + + =x x +2x + +1 x +x = x +1 +x x + =1 x +1 x + +x
l) x4+2x3+2x2 +2x 1+ =(x4+2x2+ +1) (2x3+2x)
( 2 )2 ( 2 ) ( 2 )( 2 ) ( 2 )( )2
x 2x x x x 2x x x
= + + + = + + + = + +
m) x y xy2 + 2+x z y z 2xyz2 + + =(x y xy2 + 2) (+ x z xyz2 + ) (+ y z xyz2 + )
( ) ( ) ( ) ( )( )
xy x y xz x y yz x y x y xy yz zx
= + + + + + = + + +
n) x5+x4+x3+x2+ + =x x x 14( + +) x x 12( + +) (x 1+ =) (x x+ )( 4+x2+1)
Một số tập tự luyện
Bài 1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 −6x b) 9x y4 3+3x y2 c) x3−2x2+5x d) 3x x 1( − +) (5 x 1− ) e) 2( ) ( )
2x x 1+ +4 x 1+ f) − −3x 6xy 9xz+
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 2x y 4xy2 − 2+6xy b) 4x y3 −8x y2 3+2x y4
(7)Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3−2x2+2x 1− b) x y xy x 12 + + + c) ax by ay bx+ + + d) x2−(a b x ab+ ) + e) x y xy2 + 2− −x y f) ax2+ay bx− 2−by
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ax 2x a− − +2 2a b) x2+ −x ax a− c) 2x2+4ax x 2a+ + d) 2xy ax x− + 2−2ay e) x3+ax2+ +x a f) x y2 2+y3+zx2+yz
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2−2x 4y− 2−4y b) x4+2x3−4x 4− c) x3+2x y x 2y2 − − d) 3x2−3y2−2(x y)− e) x3−4x2−9x 36+ f) x2−y2−2x 2y−
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x x 1− )( − −) (3 x 3− ) b) (x 2x 1− )( + +) (3 x x 2x 1− )( + )( + ) c) 6x 3+ −(2x 2x 1− )( + ) d) (x 5− ) (2+ x x 5+ )( − − −) (5 x 2x 1)( + ) e) (3x 4x 3− )( − −) (2 3x x 1− )( − −) (2 3x x 1− )( + )
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (a b a 2b− )( + ) (− b a 2a b− )( − ) (− −a b a 3b)( + ) b) 5xy3−2xyz 15y− +6z c) (x y 2x y+ )( − ) (+ 2x y 3x y− )( − ) (− y 2x− ) d)
3 2 2 3 ab c −a b c +ab c −a bc
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2−12x 9+ b) 4x2+4x 1+ c) 12x 36x+ + d) 9x2−24xy 16y+ e) x2 2xy 4y2
4 + + f)
2
x 10x 25
− + −
g) −16a b4 6−24a b5 5−9a b6 h) 25x2−20xy 4y+ i) 25x4−10x y y2 +
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (3x 1− )2−16 b) (5x 4− )2 −49x2 c) (2x 5+ ) (2− −x 9)2 d) (3x 1+ )2 −4 x 2( − )2 e) 2x 3( + )2−4 x 1( + )2 f)
( )2
(8)g) (ax by+ ) (2 − ay bx+ )2 h) (a2+b2 −5)2−4 ab 2( + )2 i)
( 2 ) (2 2 )2
4x −3x 18− − 4x +3x
k) x y 1( + − )2−4 2x 3y 1( + + )2 l) 2 4x 12xy 9y 25
− + − +
m) x2−2xy y+ 2−4m2+4mn n−
Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3−64 b) 1 8x y+ c) 125x3+1
d) 8x3−27 e)
3 y 27x
8
+ f) 125x3+27y3
Bài 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3+6x2+12x 8+ b) x3−3x2+3x 1− c) 1 9x 27x− + 2−27x3 d) x3 3x2 3x
2
+ + + e) 27x3−54x y 36xy2 + 2−8y3
Bài 12 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2−4x y2 2+y2+2xy b) x6−y6
c) 25 a− +2 2ab b− d) (a b c+ + ) (2+ + −a b c)2−4c2
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 −6x = 2x 2x 3( − )
b) 9x y4 3+3x y2 =3x y 3x2 3( +y) c) x3−2x2 +5x = x x( 2−2x 5+ )
d) 3x x 1( − +) (5 x 1− =) (x 3x 5− )( + ) e) 2x x 12( + +) (4 x 1+ =) (2 x x+ )( 2+2) f) − −3x 6xy 9xz = 3x 2y 3z+ − ( + + )
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(9)b) 4x y3 2−8x y2 3+2x y 2x y xy 4y4 = ( − 2+x2)
c) 9x y2 3−3x y4 2−6x y3 2+18xy4 =3xy 3xy x2( − 3−2x2+6y2) d) 7x y2 2−21xy z 7xyz 14xy2 + − =4xy xy 3yz z 2( − + − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x3−2x2 +2x 1− =(x x− )( + + −x 1) 2x x 1( − =) (x x− )( 2− +x 1)
b) ( ) ( )( )
x y xy x xy x 1+ + + = + + + =x x xy 1+ + c) ax by ay bx = a b x y+ + + ( + )( + )
d) x2−(a b x ab+ ) + =(x a x b− )( − )
e) x y xy2 + − − =x y xy x y( + ) (− x y+ ) (= xy x y− )( + ) f) ax2 +ay bx− 2−by a x= ( +y) (−b x2+y)=(a b x− )( 2+y)
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) ax 2x a− − 2+2a = x a 2( − ) (−a a 2− ) (= x a a 2− )( − ) b) x2+ −x ax a− =x x 1( + −) (a x 1+ =) (x x a+ )( − )
c) 2x2 +4ax x 2a = 2x x 2a+ + ( + ) (+ x 2a+ ) (= x 2a 2x 1+ )( + ) d) 2xy ax x− + 2−2ay=x 2y x( + ) (−a 2y x+ ) (= x a x 2y− )( + ) e) x3 +ax2+ + =x a x x( 2+ +1) (a x2+ =1) (x2+1 x a)( + )
f) x y2 +y3+zx2+yz=y x2( 2+y) (+z x2+y) (= x2 +y y)( 2+z)
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2−2x 4y− −4y=(x 2y x 2y+ )( − ) (−2 x 2y+ ) (= x 2y x 2y 2+ )( − − ) b) x4+2x3−4x 4− =(x2−2 x)( +2) (+2x x2−2) (= x2 −2 x)( 2+2x 2+ )
c) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
x +2x y x 2y− − =x x x 1− + +2y x x 1− + = x x x 2y− + + d) 3x2−3y2−2 x y( − )2 =3 x y x y( − )( + ) (−2 x y− ) (2 = x y x 5y− )( + )
e) 2( ) ( ) ( )( )( )
(10)Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x x 1− )( − −) (3 x 3− ) (= x x 4− )( − )
b) (x 2x 1− )( + +) (3 x x 2x 1− )( + )( + =) (x 2x 3x 7− )( + )( + ) c) 6x 3+ −(2x 2x 1− )( + =) (2x 2x+ )( − )
d) (x 5− ) (2+ x x 5+ )( − − −) (5 x 2x 1)( + =) (x 4x 9− )( − )
e) (3x 4x 3− )( − −) (2 3x x 1− )( − −) (2 3x x 1− )( + =) (3 3x x 2− )( − ) Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (a b a 2b− )( + ) (− b a 2a b− )( − ) (− −a b a 3b)( + ) (=2 a b− )2
b) 5xy3−2xyz 15y− 2+6z = 5y xy 32( − −) 2z xy 3( − ) (= xy 5y− )( 2−2z) c) (x y 2x y+ )( − ) (+ 2x y 3x y− )( − ) (− y 2x− ) (= 2x y 4x 1− )( + )
d) ab c3 2−a b c2 2+ab c2 3−a bc2 =abc b c abc bc( − + 2−ac2)=abc b a b c2( − )( − )
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2 −12x 9+ =(2x 3− )2 b) 4x2+4x 1+ =(2x 1+ )2 c) 1 12x 36x+ + = +(1 6x)2 d) 9x2−24xy 16y+ =(3x 4y− )2 e)
2
2
x x
2xy 4y 2y
4
+ + = +
f) − +x2 10x 25− = − −(x 5)2
g) −16a b4 6−24a b5 5−9a b6 = −a b 3a 4b4 4( + )2 h) 25x2−20xy 4y+ =(5x 2y− )2
i) 25x4−10x y y2 + =(5x2 −y)2
Bài Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(11)b) (5x 4− )2−49x2 =(5x 7x 5x 7x− − )( − + ) (= − 3x 12x 4+ )( − )
c) (2x 5+ ) (2− x 9− )2 =(2x 5+ +) (x 9− ) ( 2x 5+ −) (x 9− ) (= 3x x 14− )( + ) d) (3x 1+ )2−4 x 2( − )2 =(3x 1+ −) (2 x 2− ) ( 3x 1+ +) (2 x 2− ) (= x 3x 3+ )( − ) e) 2x 3( + )2−4 x 1( + )2 =3 2x 3( + −) (2 x 1+ ) ( 3 2x 3+ +) (2 x 1+ ) (= 4x 8x 11+ )( + ) f) 4b c2 2−(b2+c2−a2)2 =2ab−(b2+c2 −a2) 2bc+(b2+c2−a2)
( ) (2 )2 ( )( )( )( )
2
a b c b c a a b c a b c b c a a b c
= − − + − = − + + − + − + +
g) (ax by+ ) (2 − ay bx+ )2 =(ax by+ ) (− ay bx+ ) ( ax by+ ) (+ ay bx+ )
(ax by ay bx ax by ay bx)( ) (a b x y a b x y)( )( )( )
= + − − + + + = − − + +
h) (a2+b2−5)2 −4 ab 2( + )2 =a2+b2− −5 ab 2( + ) a2+b2− +5 ab 2( + )
( )2 ( )2 ( )( )( )( )
a b a b a b a b a b a b
= − − + − = − − − + + − + +
( 2 ) (2 2 )2 ( )( 2 ) ( )( )( )
4x −3x 18− − 4x +3x = −6 x 8x+ −18 =12 x 3 2x 2x 3+ − + l) −4x2+12xy 9y− 2+25 25= −(2x 3y− ) (2 = 2x 3y 2x 3y− + )( + − )
Bài 10 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 8x3−64=(2x 4x− )( +8x 16+ ) b) 1 8x y+ = +(1 2x y 2x y 4x y2 )( − + 2) c) 125x3+ =1 (5x 25x+ )( 2−5x 1+ ) d) 8x3−27=(2x 4x− )( 2+6x 9+ ) e)
3
3 y y y
27x 3x 9x xy
8
+ = + + +
f) 125x3+27y3 =(5x 3y 25x+ )( 2−15xy 9y+ 2)
Bài 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
(12)c) 1 9x 27x− + 2−27x3 = −(1 3x)3 d)
3
3 3 1
x x x x
2
+ + + = +
e) 27x3−54x y 36xy2 + 2−8y3 =(3x 2y− )3
Bài 12 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x2−4x y2 2+y2+2xy=(x y+ ) ( ) (2− 2xy = x y 2xy x y 2xy+ − )( + + ) b) x6−y6 =(x x x− )( + )( 2− +x x)( 2+ +x 1)
c) 25 a− +2ab b− =25− −(a b) (2 = a b a b− + )( + − )
d) (a b c+ + ) (2+ + −a b c)2−4c2 =(a b c+ + ) (2+ + −a b 3c a b c)( + + )
(a b c a b 3c 1)( )
(13)CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
B Một số phương pháp nâng cao
Chúng ta biết phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm các hạng tử phối hợp
các phương pháp Tuy nhiên có đa thức đơn giản, biết dùng ba phương pháp thơi khơng thể phân tích thành nhân tử Do chun đề xét thêm số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử
• Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử
• Phương pháp thêm bớt hạng tử
• Phương pháp đổi biến
• Phương pháp đồng hệ số
• Phương pháp xét giá trị riêng biến
1 Phương pháp tách hạng tử
1.1 Đối với đa thức bậc hai ( )
f x =ax +bx c+ có nghiệm. Phương pháp chung
+ Bước Tìm tích acrồi phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách 1 2 3 i i
a.c a c= =a c =a c = =a c =
+ Bước Chọn hai thừa số tích có tổng b, chẳng hạn ta chọn
tích a.c a c= i i với b a= +i ci
+ Bước Tách bx a x c x= i + i Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ 1.Phân tích đa thức f x( )=3x2+8x 4+ thành nhân tử
+ Cách (tách hạng tử bậc bx)
Hướng dẫn
+ Phân tích ac 12= =3.4=( ) ( )–3 –4 =2.6=( ) ( )–2 –6 =1.12=( ) ( )–1 –12 + Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c=2.6 a.c a c ( = i i)
+ Tách 8x=2x 6x bx a x c x+ ( = i + i )
(14)( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
3x 8x 3x 2x 6x 3x 2x 6x x 3x 2 3x x 3x
+ + = + + + = + + +
= + + + = + +
Ngoài cách làm ta thực hiện số cách tách hạng tử khác
+ Cách Tách hạng tử bậc hai ax làm xuất các nhóm có nhân tử chung hẳng đẳng thức
Làm xuất hiện hiệu hai bình phương
( ) ( 2 ) 2 ( )2 2 ( )( ) ( )( )
f x = 4x +8x – x+ = 2x – x+ = 2x – x 2x x+ + + = x 3x 2+ +
Tách thành hạng tử nhóm
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2
f x 4x – x 8x 4x 8x – x – 4x x – x – x x 3x
= + + = +
= + + = + +
+ Cách Tách hạng tử tự clàm xuất các nhóm có nhân tử chung hẳng đẳng thức
( ) ( ) ( ) ( )( )
f x =3x +8x 16 – 12+ = 3x – 12 + 8x 16+ = = x 3x 2+ + + Cách Tách nhiều hạng tử lúc.
f x( )=(3x2 +12x 12 – 4x 8+ ) ( + ) (=3 x – x 2+ )2 ( + ) (= x 3x – 2+ )( )
( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( )( )
f x = x +4x 4+ + 2x +4x = x 2+ +2x x 2+ = x 3x 2+ +
• Nhân xét.
+ Các đa thức bậc hai biến ( )
f x =ax +bx c+ chỉ phân tích thành nhân tử khi đa thức có nghiệm
+Nếu ( )
f x =ax +bx c+ có dạng A22AB c+ thì ta tách sau
( ) 2 2 2 ( )2 ( 2 )
f x =A 2AB B – B+ + =c A B – B – c
Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) x – 6x 52 + b)
x – x – 12 c) x2+8x 15+
Lời giải
(15)c) 2 ( ) ( ) ( )( ) x +8x 15 x+ = +3x 5x 15 x x 3+ + = + +5 x 3+ = x x 3+ +
1.2 Đối với đa thức hai biến dạng ( ) 2
f x; y =ax +bxy cy+
Phương pháp chung.
+ Phương pháp Xem đa thức ( ) 2
f x; y =ax +bxy cy+ là đa thức biến x Khi hệ số lần lượt a; by; cy2 và ta áp dụng phương pháp với đa thức bậc hai biến
+ Phương pháp 2. Viết đa thức dạng ( )
2
2 x x
f x; y y a b c
y y
= + +
Đặt t x y
=
phân tích đa thức at2+ +bt c theo phương pháp với đa thức bậc hai biến.
Với dụ 1.Phân tích đa thức 2x2−5xy 2y+ 2thành nhân tử.
Lời giải + Cách Xét đa thức ( ) 2
f x = 2x −5xy 2y+ Khi ta có a 2; b= = −5y; c 2y= 2
Ta có ( ) ( ) ( )( )
ac=4y =y.4y= −y −4y =2y.2y= −2y −2y =
Ta chọn tích ( ) (−y −4y) ( ) (− + −y 4y)= −5y=b Đến ta tách hạng tử
sau
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2x 5xy 2y 2x xy 4xy 2y 2x xy 4xy 2y x 2x y 2y 2x y x 2y 2x y
− + = − − + = − − −
= − − − = − −
+ Cách Xét đa thức ( )
2
2 2
2
x x
f x; y = 2x 5xy 2y y y y
− + = − +
Đặt t x y
= ta có đa thức 2 ( )( )
2t − + =5t 2t − −t 4t 2+ = 2t t 2− −
Như ta f x; y = y 2t t 2( ) 2( )( ) y2 2.x x (2x y x 2y)( )
y y
− − = − − = − −
• Nhận xét Các đa thức bậc hai có hai biến ( ) 2
f x, y =ax +bxy cy+ chỉ phân tích thành nhân tử đa thức có nghiệm khác ( ) ( )x; y 0; .
Với dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(16)a) 2 2 ( ) ( ) ( )( ) x +7xy 12y+ =x +3xy 4xy 12y+ + =x x 3y+ +4y x 3y+ = x 4y x 3y+ +
b) 2 2 ( ) ( ) ( )( )
x – 13xy 36y+ =x – 4xy – 9xy 36y+ =x x – 4y – 9y x – 4y = x – 4y x – 9y
c) x – 5xy – 24y2 =x2+3xy – 8xy – 24y2 =x x 3y – 8y x 3y( + ) ( + ) (= x – 8y x 3y)( + )
Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2+x – x) (2 2+x – 15) b) (x2+x)2 +9x2+9x 14+ c) x2+2xy y+ 2+2x 2y – 15+ d) x2+2xy y – x – y – 12+
• Định hướng tư Các đa thức cho quan sát kĩ ta thấy có dạng đa thức bậc hai biến, chẳng hạn đa thức thứ đa thức bậc hai biến x2+x, đ thức thứ ba đa thức bậc hai biến x y+ Do ta áp dụng quy tắc phân tích trên để phân tích đa thức thành nhân tử
Lời giải
a) (x2 +x – x) (2 +x – 15) =(x2+x – – 16 x)2 =( 2+x – x)( 2+ +x 4) b) (x2+x)2+9x2+9x 14+ =(x2+x) (2+2 x2+x) (+7 x2+x)+14
( ) ( ) ( ) ( )( )
x x x x 2 x x 2 x x x x
= + + + + + + = + + + +
c)
( )2 ( ) ( )2 ( ) ( )
2
x +2xy y+ +2x 2y – 15+ = x y+ +2 x y – 15+ = x y – x y+ + +5 x y – 15+
(x y x y – 3)( ) (5 x y – 3) (x y x y – 3)( )
= + + + + = + + +
d) x2+2xy y – x – y – 12+ =(x y – x y – 12+ ) (2 + ) =(x y+ )2+3 x y – x y – 12( + ) ( + )
(x y x y – x y 3)( ) ( ) (x y – x y 3)( )
= + + + + + = + + +
• Nhân xét Trong hai ý đầu đa thức bậc hai sau lần phân tích thứ khơng phân tích đa thức vơ nghiêm Ta đổi biển để qua đa thức bậc hai, chẳng hạn đặt t x= 2+x thì đa thức thứ trở thành t2− −2t 15
1.2 Đối với đa thức bậc từ trở lên
• Định lí Nếu đa thức f x( ) với hệ số ngun có nghiệm x a= f a( )=0 Khi
( )
(17)Lúc tách các số hạng f x( ) thành các nhóm, nhóm chứa nhân tử x a− Cũng cần lưu ý nghiệm nguyên đa thức (nếu có) phải ước hệ số tự
Ví dụ 1.Phân tích đa thức f x( )=x3+x2+4 thành nhân tử
• Định hướng tư Đa thức f x( ) có hệ số cao nhận thấy ước nguyên đa thức có −2 là nghiệm Như vậy phân tích đa thức f x( ) thành nhân
tử đa thức có chứa nhân tử x 2+ Do ta cần tách hạng tử lầm xuất hiện nhân tử x 2+ Ngồi nhân tử cịn lại sau phép phân tích thứ có bậc hai nên ta sử dụng phương pháp phân tích cho đa thức bậc hai biến.
Lời giải
Nhẩm thấy x= −2 nghiệm f x( ) nên đa thức f x( ) chứa nhân tử x 2+ , từ ta có các cách tách sau
+ Cách 1. f x( )=x3 +2x – x2 2+ =4 (x3+2x – x – 42) ( )=(x x – x 2+ )( + )
+ Cách 2. f x( )=(x3+ +8) (x – 42 )=(x x – x 2+ )( + )
+ Cách 3. f x( )=(x3+4x2+4x – 3x) ( 2+6x)+(2x 4+ ) (= x x – x 2+ )( + )
+ Cách 4. f x( )=(x – x3 +2x) (+ 2x – 2x 42 + )=(x x – x 2+ )( + )
• Nhận xét Từ định lí ta có hệ sau.
+ Hệ 1.Nếu f x( ) có tổng hệ số f x( ) có nghiệm x 1= Từ đó
( )
f x có nhân tử x 1−
Chẳng hạn, đa thức f x( )=x – 5x3 +8x – 4 có 1+( )–5 + +8 ( )–4 =0 nên x 1=
một nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x 1− Ta phân tích sau
( ) ( 3 2) ( 2 ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )( )2
f x = x – x – 4x – 4x + 4x – =x x – – 4x x – +4 x – x – x – 2=
+ Hệ 2.Nếu f x( ) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵnbằng tổng hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ f x( ) có nghiệm x= −1 Từ f x( ) có nhân tử x 1+
(18)Chẳng hạn đa thức ( )
f x =x – 5x +3x 9+ có 1 –5 9+ = + nên x= −1 là nghiệm đa thức Đa thức có nhân tử x 1+ Ta phân tích sau.
( ) ( 3 2) ( 2 ) ( ) 2( ) ( ) ( ) ( )( )2
f x = x +x – 6x +6x + 9x 9+ =x x – 6x x 1+ + +9 x 1+ = x x – 3+
+ Hệ 3.Nếu f x( ) có nghiệm nguyên x a= f( ) 1 0 thì f 1( )
a 1− và
( )
f a
−
+ đều số
nguyên
Chứng minh Đa thức f x( ) có nghiệm x a= nên f x( ) có nhân tử x a− Do
đó f x( ) có dạng f x( ) (= x – a q x) ( )
Khi ta có f 1( ) (= – a q 1) ( ) Do f 1( ) khác nên a 1 suy q 1( ) ( )f a =
− Vì f x( ) đa thức có hệ số nguyên nên q 1( ) số nguyên Do f 1( )
a 1− số nguyên
Hoàn toàn tương tự ta có f( )1
a −
+ số nguyên Ví dụ.Với đa thức f x( )=4x3−13x2+9x 18−
Các ước 18 1; 2; 3; 6; 9; 18 Dễ thấy f 1( )= −18; f( )− = −1 44 nên x= 1 nghiệm f x( ) Lại thấy 18 ; 18 ; 18 ; 18
3 18
− − − −
− − − − −
là số nguyên nên − 3; 6; 9; 18 không nghiệm f x( ) Chỉ 2
kiểm tra ta thấy 3là nghiệm f x( ) Do ta tách các hạng tử sau
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2
2
f x 4x 13x 9x 18 4x 12x x 3x 6x 18
4x x x x x x – 4x – x
= − + − = − − + + −
= − − − + − = +
+ Hệ 4.Nếu f x( ) a xn n an 1xn an 2xn a x a1
− −
− −
= + + + + + (với a ,an n 1− , ,a ,a1 0
các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x p q
= với p,q Z ( )p; q =1, plà ướccủa a0 q là ước dương của an
Chứng minh Ta thấy f x( ) có nghiệm x p
q
= nên có nhân tử (qx p− ) Do
(19)( ) ( )( n n )
n n
f x = qx p b− −x − +b − x − + + b x b+
Đồng hai vế ta qbn–1=a ; –pbn 0 =a0 Từ suy p ước a0 q
ước dương an
Ví dụ Với đa thức f x( )=3x3−7x2+17x 5− ta có các ước –5 1, 5 Thử trực tiếp ta thấy các số không nghiệm f x( ) Như f x( ) nghiệm nghuyên Xét các số 1,
3
ta thấy
3 nghiệm đa thức Do đa thức có
một nhân tử 3x 1− Ta phân tích sau
( ) ( 2) ( ) ( ) ( )( )
f x = 3x – x – 6x – 2x + 15x – = 3x – x – 2x 5+
Ví dụ 2.Phân tích đa thức thành nhân tử ( )
f x =x +6x +13x +12x 4+
• Định hướng tư Đa thức f x( ) có hệ số cao nhận thấy ước nguyên đa thức có −1 là nghiệm Như vậy phân tích đa thức f x( ) thành nhân
tử đa thức có chứa nhân tử x 1+ Do ta cần tách hạng tử lầm xuất hiện nhân tử x 1+ Tuy nhên nhân tử cịn lại sau phép phân tích thứ có bậc ba nên để phân tích được tiếp tâ cần nhẩm thêm nghiệm Nhẩm tiếp ước hệ số tự ta thấy −2 cũng nghiệm Do vậy đa thức f x( ) chứa thêm nhân tử x 2+ Từ ta phân tích đa thức f x( ) thành nhân tử.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )
4 3 2
3
3 2
2
2
x 6x 13x 12x x x 5x 5x 8x 8x 4x
x x 5x x 8x x x x x 5x 8x
x x 2x 3x 6x 2x x x x 3x x 2 x
x x x 3x x x x x x x
+ + + + = + + + + + + +
= + + + + + + + = + + + +
= + + + + + + = + + + + + +
= + + + + = + + + + = + +
1.3 Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2( ) 2( ) 2( )
x y z− +y z x− +z x y−
(20)chung sử dụng đẳng thức Tuy nhiên quan sát kĩ hạng tử ta để ý đến phép tách hạng tử z x− =(z y− ) (− y x− ) (= − x y− ) (− y z− ), vậy ta tách đa thức từ ba hạng tử thành bốn hạng tử nhóm để làm xuất hiện nhân tử chung
Lời giải
Để ý z x− =(z y− ) (− y x− ) (= − x y− ) (− y z− ) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
2 2 2 2
2 2
x y z y z x z x y x y z y y z y x y z x y
y z x y x y y z y z x y x y x y y z y z
x y y z x z
− + − + − = − − − − − + −
= − − − − − = − − + − − − +
= − − −
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử 4a b 2a b2 2( + )+b c c b2 2( − )−4c a 2a c2 2( + )
• Định hướng tư Đa thức cho có nhiều biến hạng tử lại cho dạng tích nhưng phức tạp Tương tự ý tưởng ví dụ ta để ý đến phép tách hạng tử c b− =(2a c+ −) (2a b+ ) để tách đa thức từ ba hạng tử thành bốn hạng tử và nhóm làm xuất hiện nhân tử chung
Lời giải
Để ý c b− =(2a c+ −) (2a b+ ) Vì ta tách hạng tử thứ hai đa thức
cho
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
4a b 2a b b c c b 4c a 2a c
4a b 2a b b c 2a c 2a b 4c a 2a c 4a b 2a b b c 2a c b c 2a b 4c a 2a c b 2a b 4a c c 2a c b 4a
b 2a b 2a c 2a c c 2a c 2a b 2a b 2a c 2a b 2ab b c 2ac bc
2a c 2a b b c 2ab
+ + − − +
= + + + − + − +
= + + + − + − +
= + − + + −
= + − + − + − +
= + + − − +
= + + − ( +2ac bc− )
(21)phương pháp tách hạng tự nhẩm nghiệm đa thức trước để có phép phân tích dễ dàng hơn.
2 Phương pháp thêm bớt hạng tử
Với số đa thức sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung, sử dụng đẳng thức, nhóm hạng tử phép tách hạng tử để phân tích thành nhân tử Khi đó ta sử dụng phép thêm bớt hạng tử với mục đích làm xuất hiện nhân tử chung xuất hiện đẳng thức
2.1 Thêm bớt số hạng tử làm xuất đẳng thức.
Ví dụ 1.Phân tích đa thức thành nhân tử ( )
f x =x +x +1
• Định hướng tư Đa thức f x( ) đã cho đa thức biến có hệ số cao là 1, nhiên đa thức lại khơng có nghiệm Để ý ta thấy thêm vào đa thức f x( ) một hạng tử x2 thì ta thấy xuất hiện đẳng thức (x2+1)2 và bớt hạng tử x2 đa thức có dạng 2
A −B Ngoài ta thêm bớt nhân tử
x thì đa thức lại xuất hệ đẳng thức x3+ =1 (x x+ )( − +x 1) và nhóm hạng tử cịn lại đa thức có nhân tử x2− +x 1 Như vậy ta phân tích đa thức.
Lời giải
+ Cách 1. x4+x2+ =1 (x4 +2x2+1 – x) =(x2 +1 – x)2 =(x – x x2 + )( 2+ +x 1)
+ Cách 2. x4+x2+ =1 (x – x4 3+x2) (+ x3+ =1) (x – x x2 + )( 2+ +x 1)
• Nhận xét Các đa thứ x2 − +x 1 x2 + +x khơng phân tích đa thức đó vơ nghiệm.
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử ( )
f x =4x +81
• Định hướng tư Để ý f x( )=4x4+81=( )2x2 2+92 ( )2 ( )2 2x 9= 6x nên
ta sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử trên. Lời giải
(22)( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
4 2 2 2 2
2
2 2
4x 81 2x 2x 2.2x 2.2x 2x 36x
2x 6x 2x 6x 2x 6x
+ = + = + + − = + −
= + − = + + − +
• Nhận xét Các đa thứ
2x +6x 9+
2x −6x 9+ khơng phân tích đa thức vơ nghiệm.
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử A 64x= 4+y4
• Định hướng tư Để ý rằng A 64x= +y4 =( ) ( )8x2 + y2 và 2 8x y( )2 =( )4xy nên ta sử dụng phương pháp thêm bớt hạng tử trên.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2
4 2 2 2 2 2
2
2 2 2
64x y 8x y 2.8x y 2.8x y 8x y 16x y
8x y 4xy 8x 4xy y 8x 4xy y
+ = + + − = + −
= + − = + + − +
• Nhận xét Các đa thứ 8x2+4xy y+ 2 8x2−4xy y+ không phân tích
( )2 ( )2
2 2 2
8x +4xy y+ =4x + 2x y+ 0; 8x −4xy y+ =4x + 2x y− 0 Nghĩa hai đa thức khơng có nghiệm khác ( ) ( )x; y = 0; .
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử A a= 3+b3+ −c3 3abc
• Định hướng tư Đa thức A cho có ba biến lại có bậc ta nghĩ đến sử dụng đẳng thức bậc ba Tuy nhiên nhân thấy sử dụng phép phân tích trực tiếp ta khơng phân tích Do ta biến đổi đa thức A vế đa thứ có chứa hạng tử (a b+ )3+c3, phân tích ta có nhân tử a b c+ + Như vậy ta cần
thêm vào nhóm 3a b 3ab2 + 2 Để ý tiếp ta thấy sau bớt nhóm 3a b 3ab2 + thì kết hợp với 3abc thì ta thấy có nhân tử a b c+ + Do vậy ta sử dụng phép thêm bớt để phân tích đa thức A thành nhân tử
Lời giải
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3 2 2
3 3 2
2 2 2 2 2
A a b c 3abc a b 3a b 3ab c 3a b 3ab 3abc
a b c 3ab a b c a b c a b a b c c 3ab a b c
a b c a b a b c c 3ab a b c a b c ab bc ca
= + + − = + + + + − − −
= + + − + + = + + + − + + − + +
= + + + − + + − = + + + + − − −
(23)2.2 Thêm bớt số hạng tử làm xuất nhân tử chung.
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử ( )
f x =x + −x
• Định hướng tư Đa thức f x( ) đã cho có bậc khơng nhẩm nghiệm, do đó ta khơng thể dự đốn nhân tử phân tích Trong đa thức cung khơng thấy xuất hiện đẳng thức Do vậy ta nghĩ đến phương pháp thêm bớt số hạng tử
+ Hướng thứ ta thêm bớt hạng tử để đa thức có hạng tửcó bậc đầy đủ từ đến 0, từ tùy thuộc vào số dấu dương dấuâm trước hạng từ mà chia nhóm cho phù hợp.
+ Thêm bớt hạng tử x2 để nhóm với x5 để tạo nhân tử x31 và nhóm với x 1− để tạo ra nhân tử
x +x 1
Lời giải + Cách 1. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
5 4 2
3 2 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+ − = − + + − + − + −
= − + − − + − − + = − + − −
+ Cách 1. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
5 2
2 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
+ − = + + − + − = + − − +
= + − + − − + = − + + −
Ví dụ 2.Phân tích đa thức thành nhân tử f x( )=x7 +x5+1
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
7 2 2
6 3 3
3 2
2 2
2 2
f x x x x x (x x) x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
= + + = + + + + − − = − + − + + +
= − + − + + + = + − + − + + +
= + − + + + − + + +
= + + − + − + − + + + + +
= + + − + − + − + = + + ( − + − +1)
• Nhân xét Các đa thức có dạng x3m 1+ +x3n 2+ +1 như x7+x2 +1; x7+x5+1; x8+x4+1
5
x + +x 1; x + +x 1; phân tích có nhân tử chung
(24)3 Phương pháp đổi biến
Với số đa thức có bậc cao có cấu tạo phức tạp mà thự theo các phương pháp gây nhiều khó khăn Khi thơng qua phép đổi biết ta đưa đa thức có bậc thấp goặc đơn giản để thuận tiện cho việc phân tích thành nhân tử Sau phân tích thành nhân tử đa thức ta thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ
Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử A=(x2+ +x x)( 2+ + −x 2) 12
• Định hướng tư Nhận thấy đa thức A cho khai triển đa thức bậc có hệ số tự −10, để phân tích ta phải nhẩm hai nghiệm phân biệt sử dụng phương pháp hệ số bất định Thử ước hệ số tự ta được x 1= x= −2 nên ta phân tích đa thức A Ngoài để ý đến lặp lại
2
x +x nên ta đổi biến đưa đa thức đa thức có bậc hai. Lời giải
Đặt x2+ =x t khi đa thức A viết lại thành
( )( ) ( )( )
A= +t t 2+ −12= +t 3t 10− = −t t 5+ Thay x2+ =x t trở lại đa thức A ta
( )( ) ( )( )( )
A= x + −x x + +x = x x x− + + +x
Ví dụ 2.Phân tích đa thức thành nhân tử B=(x2+2x 7+ ) (− x2+2x x+ )( 2+2x 3+ )
• Định hướng tư Nhận thấy lặp lại
x +2x nên ta đổi biến đưa đa thức đa thức có bậc hai.
Lời giải
Đặt x2+2x t= , đa thức B viết lại thành
( ) ( )( ) 2 ( )( )
B= +t − +t t 3+ = + − −t t 7t 12− = − − − = − +t 6t t t 5+ Thay t x= 2+2x trở lại đa thức B ta được
( 2 )( 2 ) ( )2( 2 ) B= − x +2x x+ +2x 5+ = − +x x +2x 5+
(25)• Định hướng tư Đa thức A cho đa thức bậc bốn, để phân tích đa thức A thành nhân tử ta cần nhân đa thức thu gọn nhẩm nghiệm Tuy nhiên
trong qua trình nhân đa thức ta nhân thấy hai tích x x 10( + ) (x x 6+ )( + ) có chung nhóm x2+10 Do ta sử dụng phép đổi biến để phân tích đa thức A thành nhân tử
Lời giải
Ta có x x x x 10( + )( + )( + )+128=(x2+10x x)( 2+10x 24+ )+128
Đặt x2 +10x 12 y+ = , đa thức cho có dạng
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
2
2 2
y 12 y 12 128 y 16 y y
x 10x 16 x 10x x x x 10x
− + + = − = + −
= + + + + = + + + +
• Nhận xét Nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc 2 đối với y.Trong lời giải ta không đổi biến y x= 2+10x mà đổi biến y x= 2+10 12+ để làm xuất hiện hẳng đẳng thức y2−16 Nếu đổi biếny x= 2+10x thì ta có đa thức bậc hai
biến y y2+24y 128+ và để phân tichsta sử dụng phương pháp tách hạng tử như
sau
Đặt y x= 2+10x Khi đa thức trở thành
( ) ( ) ( ) ( )( )
y t 24+ +128=y +16y+ +8y 128+ =y y 16+ +8 y 16+ = y y 16+ + Thay t trở lại đa thức ta đươc
( )( ) ( )( )( )
A= x +10x x+ +10x 16+ = x +10x x x 8+ + +
Ví dụ 4.Phân tích đa thức thành nhân tử B=(a a a a 4+ )( + )( + )( + )+1
• Định hướng tư Tương tự ví dụ ta thấy hai tích (a a 4+ )( + ) và (a a 3+ )( + ) có chung nhóm a2+5a Do ta sử dụng phép đổi biến để phân tích đa thức B thành nhân tử
Lời giải
Ta có B=(a a a a 3+ )( + )( + )( + + =) (a2+5a a+ )( 2+5a 6+ +)
(26)Thay t a= 2+5a 5+ ta B=(a2+5a 5+ )2
• Nhân xét Các đa thức bậc bốn hai ví dụ có dạng tổng quát
(x a x b x c x d+ )( + )( + )( + )+e Trong a d b c+ = +
Khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ ( ) ( )
t=x + a d x k+ + =x + b c x k+ + với kđược xác định k 1(ad bc)
2
= +
Ví dụ 5.Phân tích đa thức thành nhân tử ( )( )( )( )
A= 3x 3x x 9x 10+ − − + +24x
• Định hướng tư Tương tự ví dụ ta thấy hai tích(3x 3x 5+ )( − ) (x 9x 10− )( + ) có chung nhóm 9x2−10 Do ta sử dụng phép đổi biến để phân tích đa thức B thành nhân tử
Lời giải
Ta có A=(3x 3x x 9x 10+ )( − )( − )( + )+24x2 =(9x2+ −x 10 9x)( 2−9x 10− )+24x2
Đặt y 9x= 2−9x 10− Khi đa thức A viết lại thành
( ) 2 2 ( )( )
A=y y 10x+ +24x =y +10xy 24y+ =y +4xy 6xy 24x+ + = y 4x y 6x+ + Thay lại y 9x= 2−9x 10− vào đa thức ta A=(9x2−3x 10 9x− )( 2−5x 10− )
Ví dụ 6.Phân tích đa thức thành nhân tử B=(x 18 x 35 x x 90− )( + )( − )( + )−76x2
• Định hướng tư Tương tự ví dụ ta thấy hai tích(3x 3x 5+ )( − ) (x 9x 10− )( + ) có chung nhóm 9x2−10 Do ta sử dụng phép đổi biến để phân tích đa thức B thành nhân tử
Lời giải
Ta có B=(x 18 x 35 x x 90− )( + )( − )( + )−76x2 =(x2−17x 630 x− )( 2−83x 630− )−76x2
Đặt y x= −50x 630− Khi đa thức A viết lại thành
( )( ) 2 2 2 ( )( )
(27)( )( ) ( )( )
A= x −50x 630 34x x− − −50x 630 34x− + = x −84x 630 x− −16x 630−
• Nhân xét Các đa thức bậc bốn hai ví dụ có dạng tổng qt
( )( )( )( ) x a x b x c x d+ + + + +ex
Trong ad bc=
Khi ta sử dụng phép đặt ẩn phụ 2
t x= +kx ad x+ = +kx bc+ với k xác định k 1(a b c d)
2
= + + +
Ví dụ 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A x= +6x +7x −6x 1+
• Định hướng tư Quan sát đa thức A ta nhân thấy hệ số có tính đối xứng,
nếu đưa x2 ra ngồi thừa số cịn lại x2 12 x x x
+ + − +
Đến ta sử dụng phép đổi biến y x
x
= − để đưa nhân tử đa thức bậc hai. Lời giải
Giả sử x 0 Ta viết đa thức dạng
2 2
2 2
6 1
A x x 6x x x x
x
x x x
= + + − + = + + − +
Đặt x y x
− = x2 12 y2
x
+ = + Do
( ) ( ) (2 )2 ( )2
2 2
A x y 6y x y xy 3x x x 3x x 3x
x
= + + + = + = + = − + = + −
• Nhận xét.Ta phân tích đa thức A thành nhân tử sau
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 2 2
2
4 2
A x 6x 2x 9x 6x x 6x 2x 9x 6x
x 2x 3x 3x x 3x
= + − + − + = + − + − +
= + − + − = + −
Ví dụ 8.Phân tích đa thức thành nhân tử
x −7x +14x −7x 1+
• Định hướng tư Quan sát đa thức A ta nhân thấy hệ số có tính đối xứng,
nếu đưa x2 ra ngồi thừa số cịn lại x2 12 x 14 x x
+ − + +
Đến ta sử dụng phép đổi biến y x
x
(28)Lời giải
Ta có x4 7x3 14x2 7x x2 x2 7x 14 12 x x2 12 x 14
x x x x
−
− + − + = − + + + = + − + +
Đặt x t x
+ = suy 2
x t
x
+ = − Đa thức trở thành
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
x t − − +2 7t 14 =x t − +7t 12 =x t t 4− −
Thay t trở lại ta
( )( )
2
2 1 x 3x x 4x 2
x x x x x 3x x 4x
x x x x
− + − +
+ − + − = = − + − +
Vậy x4−7x3+14x2 −7x 1+ =(x2−3x x+ )( 2−4x 1+ )
• Nhân xét Các đa thức bậc bốn hai ví dụ có dạng tổng quát là
4
A ax= bx +cx dx e+
Khi ta biến đổi sử dụng phép đặt ẩn phụ t x x
=
Ví dụ 9. Phân tích đa thức sau thành nhân tử A=(x y− ) (3+ y z− ) (3+ z x− )3
• Định hướng tư Đa thức A cho đa thức bậc ba ba biến, để phân tích được đa thức A thành nhân tử ta cần nhân đa thức thu gọn tiến hành phân
tích Để ý đến câu tạocủa đa thức ta đổi biếna x y; b y z; c z x= − = − = − ,
đó ta thêm giả thiết a b c 0+ + = và cần phân tích đa thức A a= 3+b3+c3
Lời giải
Đặt a x y; b y z; c z x= − = − = − , ta có a b c 0+ + = đa thức cho trở
thành A a= 3+b3+c3 Từ a b c 0+ + = ta có
( )3 3 3 3 3 2 2 3 3 2
a b+ = − c a b+ = − c a +b + +c 3a b 3ab+ = 0 a +b +c =3abc
Đến thay lại a x y; b y z; c z x= − = − = − ta
( ) (3 ) (3 )3 ( )( )( )
A= x y− + y z− + z x− =3 x y y z z x− − −
Ví dụ 10. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(29)• Định hướng tư Đa thức B cho có bậc khai triển hạng tử bậc ba trên phân tích thành nhân tử phức tạp Chú ý đến cầu tạo đa thức B ta có thể sử dụng phép đổi biến a x y; b y z; c x y= + = + = + , ta có a b c+ + =2 x y z( + + ) và đa thức trở thành B=(a b c+ + )3−a3−b3−c3 Đến ta sở dụng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức B.
Lời giải
Đặt a x y; b y z; c x y= + = + = + Khi ta có a b c+ + =2 x y z( + + ) đa thức trở
thành ( )3 3
B= a b c+ + −a −b −c Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
3
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 2 2
2 2 2
2
a b c a b c a b c a b c
a b c 3c a b a b c a b c
a b 3c a b a b c a b a ab b a b a b 3c a b c a ab b a b ab bc ca c a b b c c a
+ + − − − = + + − − −
= + + + + + + − − −
= + + + + + − + − +
= + + + + + − − +
= + + + + = + + +
Thay lại a x y; b y z; c x y= + = + = + vào kết ta
( ) (3 ) (3 ) (3 )3 ( )( )( )
B x y z= + + − x y+ − y z+ − +z x =3 x 2y z y 2z x z 2x y+ + + + + +
Ví dụ 11. Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( ) (3 ) (3 ) (3 )3 C= a b c+ + − + −a b c − b c a+ − − + −c a b
Lời giải
Ta có C=(a b c+ + ) (3 − a b c+ − ) (3+ b c a+ − ) (3+ + −c a b)3
Đặt x a b c; y b c a; z c a b= + − = + − = + − Khi ta x y z a b c+ + = + + Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3 2 3
3 2 2 2
3 3 2 2 2
3 3
3 3 3
x y z x y x y z x y z z
x 3x y 3xy y 3zx 6xyz 3y z 3z x 3yz
x y z 3x y 3zx 3xyz 3z x 3xy 3xyz 3yz 3y z x y z 3x 3zx 3xy 3yz y z
x y z x z x y z x y z x y z x y y z z x
+ + = + + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + + + + + = + + + + + +
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
C x y z x y z x y z x y y z z x x y z
3 x y y z z x
= + + − + + = + + + + + + − − −
(30)Thay lại x a b c; y b c a; z c a b= + − = + − = + − ta C 24abc=
Ví dụ 12.Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( 2 2 2)( ) (2 )2 D= x +y +z x y z+ + + xy yz zx+ +
Lời giải
Ta có (x2+y2 +z2) ( x2+y2+z2)+2 xy yz zx( + + ) (+ xy yz zx+ + )2
Đặt 2
a x= +y +z ; b xy yz zx= + + Khi đa thứcD viết lại thành
( ) 2 2 2 ( )2 ( 2 2 2 )2 D a a 2b= + +b =a +2ab b+ = a b+ = x +y +z +xy yz zx+ +
Ví dụ 13.Phân tích đa thức sau thành nhân tử
( 4 4 4) ( 2 2 2) (2 2 2 2)( ) (2 )4
P x= +y +z − x +y +z −2 x +y +z x y z+ + + x y z+ +
Lời giải
Đặt a x= 4+y4+z ; b x4 = 2+y2+z ; c x y z2 = + + Khi ta có
( ) ( )2
2 2 2
P 2a b= − −2bc +c =2a 2b− +b −2bc +c =2 a b− + b c−
Lại có a b− = −2 x y( 2+y z2 2+z x2 2) ( ) b c− = −2 xy yz zx+ +
Thay vào ta P= −4 x y( 2+y z2 2+z x2 2)+4 xy yz zx( + + )2 =8xyz x y z( + + )
• Nhân xét Phép đổi biến phân tích đa thức thành nhân tử giúp ta biến đa thức có cấu tạo phức tạp thành đa thức có cấu tạo đơn giản dễ sử dụng phương phép phân tích hơn.
4 Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4−6x3+12x2−14x 3−
• Định hướng tư duy.Thử với x= 1; không nghiệm đa thức nên đa thức
khơng cónghiệm ngun khơng cónghiệm hữu tỷ Như vậy đa thức phân tích
được thành nhân tử thìphải có dạng
( )( ) ( ) ( ) ( )
4
x ax b x cx d x a c x ac b d x ad bc x bd x 6x 12x 14x
+ + + + = + + + + + + + +
= − + − −
(31)Lời giải
Thử với x= 1; không nghiệm đa thức nên đa thức khơng cónghiệm ngun khơng cónghiệm hữu tỷ Như đa thức phân tích thành
nhân tử thìphải có dạng
( )( ) ( ) ( ) ( )
4
x ax b x cx d x a c x ac b d x ad bc x bd x 6x 12x 14x
+ + + + = + + + + + + + +
= − + − −
Đồng các hệ sốta
a c a
a c
ac b d 12 b
ac
ad bc 14 c
a 3c 14
bd d
+ = − = −
+ = −
+ + = =
=
+ = − = −
+ = −
= =
Vậy x4−6x3+12x2−14x 3+ =(x2−2x x+ )( 2−4x 1+ )
• Nhận xét.Phương pháp hệ số bất định thườngáp dụng cho đa thức f x( ) bậc chẵn và khơng nhẩm nghiệm.
Ví dụ 2. Phân tích đa thức thành nhân tử A 12x= 2+5x 12y− 2+12y 10xy 3− −
Lời giải
Chú ý hệ số tự −3 ta nhận thấy phân tích đa thức A thành hai đa thức bậc hai hệ số tự tương ứng hai đa thức −1 Giả sử đa thức A phân tích 12x2+5x 12y− +12y 10xy 3− − =(ax by cx dy 1+ + )( + − )
Khi
( ) ( ) ( )
2 2
12x +5x 12y− +12y 10xy acx− − = + ad bc xy bdy+ + + 3c a x− + 3d b y 3− −
Đồng hệ số hai vế ta có
ac 12
a ad bc 10
b
bd 12
c 3c a
d 3d b 12
=
=
+ = −
= −
= −
=
− =
=
− =
Vậy ta 12x2+5x 12y− +12y 10xy 3− − =(4x 6y 3x 2y 1− + )( + − )
(32)nhau Ngồi để tìm hệ số ta cần kết hợp giải hệ điều kiện đồng hệ số với việc nhẩm giá trị đặc biệt thay vào tìm hết hệ số
Ví dụ 3.Phân tích đa thức thành nhân tử A 12x= 2+5x 12y− 2+12y 10xy 3− −
• Định hướng tư duy.Đa thức cho có hai biết có bậc hai biến các hạng tử bậc hai đứng độc lập với biến Do phân tích đa thức A thành nhân tử được đa thức bậc đổi với biến Ngoài để ý đến hệ số tự −3 của đa thức A thì ta dự đốn A phân tích dạng (a x by cx dy 1+ + )( + − ) Để xác định hệ số ta sử dụng phương pháp hệ số bất định
Giả sử đa thức A phân tích
( )( )
2
12x +5x 12y− +12y 10xy 3− − = ax by cx dy 1+ + + − Khi ta
( ) ( ) ( )
2 2
12x +5x 12y− +12y 10xy acx 3c a x bdy− − = + − + + 3d b y− + bc ad xy – 3+
Đồng hệ số hai vế ta
ac 12
a bc ad 10
c 3c a
b
bd 12
d 3d b 12
=
=
+ = −
=
− =
= −
= −
=
− =
Do vây ta 12x2+5x 12y− 2+12y 10xy 3− − =(4x 6y 3x 2y 1− + )( + − ) 5 Phương pháp xét giá trị riêng
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa
thức, gán cho biến giá trị cụ thểđể xác định nhân tử cịn lại
Ví dụ 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử P=x y – z2( )+y z – x2( )+z x – y2( ) Lời giải
Thay x y 2( ) 2( )
P=y y – z +y z – y =0 Như P chứa thừa số
(x y− ) Ta thấy thay x y thay y z thay z x P 0= khơng
đổi (đa thức P hoán vịvịng quanh) Do P chứa thừa số (x y− )
(33)với biến x, y, z tích (x – y y – z z – x)( )( ) có bậc biến
trong x, y, z Vì đẳng thức 2( ) 2( ) 2( ) ( )( )( )
x y – z +y z – x +z x – y =k x – y y – z z – x
đúng với x, y, z nên ta gán cho các biến x ,y, z các giá trị riêng, chẳng hạn
x 2; y 1; z 0= = = 4.1 –2+ ( )+ =0 k.1.1 –2( ) suy k= −1
(34)MỘTSỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) 4x2−12x 16− b) 3x2+13x 10− c) 2x2−7x 3+ d) 3x – 16x 52 + e) 2x2−5x 12− f) 3x2−13x 36+
Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x – 7x4 2+6 b) x4+2x2−3 c x4+x2 +1 d) x – 2x3 2+5x – 4 e) x – x3 2+ +x 3 f) 2x – 35x 753 + g) 3x – 4x3 2+13x – h) 6x3+x2+ +x i) 4x3+6x2+4x 1+
Bài 3.Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x3+4x2−29x 24+ b) x3+6x2+11x 6+ c) 3x3−7x2+17x 5− d) 2x3−5x2+8x 3− e) 3x3−14x2+4x 3+ f) x3+5x2+8x 4+
Bài Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x4+2019x2+2018x 2019+ b) x4+2004x2+2003x 2004+
Bài 5.Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x4+6x3+7x2−6x 1+ b) (x x x x 7+ )( + )( + )( + )+15 c) (x2−4 x)( −10)−72 d) x4+6x3−11x2+6x 1+
e) (x x x x 5+ )( + )( + )( + )−24 f) (4x 12x 3x x 1+ )( − )( + )( + −) g) x x x 10 x 12( + )( + )( + )( + )−3x2 h) (x2 +3x x+ )( 2+3x 3− −)
Bài 6.Phân tích các đa thức thành nhân tử
a) x4+x3+2x2+ +x b) 6a4+7a3−37a2−8a 12+ c) x4+6x3+13x2+12x 4+ d) (x2+3x x− )( 2+ − −x 6) 24 e) x4+10x3+26x2+10x 1+ f) (x x x x 7− )( − )( − )( − )−1680 g) x4+x3−4x2+ +x
Bài Phân tích đa thức thành nhân tử:
(35)Bài 9.Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)x4+64 b) 81x4+4y4 c)4x y4 +1 d)4x4 +81 e) a4+64 f) a4+4b2
Bài 10 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x8 + +x b) x64+x32+1 c) a10+ +a5
Bài 11.Phân tích đa thức thành nhân tử x +x +x +x +x +1
Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )( )
7 4 4
2
2 2 2
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+ + + + + = + + + + + = + + +
= + + − + + − + = − + + + +
Bài 12.Phân tích đa thức thành nhân tử x11+x10+x9+ + x2+ +x 1
Bài 13.Phân tích đa thức thành nhân tử x8 +14x4+1
Bài 14.Phân tích đa thức thành nhân tử 2x5−3x4+6x3−8x2+3
Bài 15.Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x2+y2−z2+2xy 2z 1− − b)x2−y2+z2−2xz 2y 1+ − c) x6−2x4−x y3 3+2xy3 d) x6−x4−9x3+9x2
Bài 16.Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (a b c+ + ) (2+ − +a b c)2−4b2 b) a b( 2−c2) (−b c2 −a2) (+c a2−b2)
Bài 17.Phân tích đa thức thành nhân tử
a) xy x y( + )+yz y z( + )+zx x z( + )+3xyz b) xy x y( + )−yz y z( + )−zx z x( − )
c) 4( ) 4( ) 4( ) x y z− +y z x− +z x y− d) x y( 3−z3) (+y z3−x3) (+z x3−y3)
Bài 18 Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (a b c ab bc ca+ + )( + + )−abc b) a b c2( − +) b c a2( − +) c a b2( − ) c) 2( ) 2( ) 2( )
c a b b a c a b c
− − + − − −
(36)Bài 19.Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x y z− ) 3+(y z x− ) 3+(z x y− ) b) (x y− )−x y3( − )+y x3( − )
c) bc a d b c( + )( − −) ac b d a c( + )( − +) ab c d a b( + )( − ) d) ( ) ( ) ( )
a x y− − a y x− + x y a−
Bài 20 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) A=(x y x+ )( 2−y2)+(y z y+ )( 2−z2)+(z x z+ )( 2−x2) b) B x z y= 3( − 2) (+y x z3 − 2) (+z y z3 − 2)+xyz xyz 1( − )
Bài 21 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) a b c( + ) (2 b c− +) (b c a+ ) (2 c a− +) (c a b+ ) (2 a b− ) b) a b c( − )3+b c a( − )3+c a b( − )3
c) a b a b2 2( − )+b c b c2 2( − +) c a c a2 2( − )
d) a b( 2+c2) (+b c2+a2) (+c a2+b2)−2abc a− 3−b3−c3 a) a b( 2+ +c2 bc) (+b c2 +a2+ca) (+c a2+b2+ab)
Bài 22.Phân tích đa thức thành nhân tử (x2+y2+xy)2−x y2 2−y z2 2−z x2 2
Bài 23. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) 81x z4( 2−y2)−z2+y2 b) x6+x4+x y2 2+y4−y6 c) (x 1+ )4+(x2+ +x 1)2 d)(x y+ )5−x5−y5
Bài 24. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x4−6x3+12x2−14x 3+ b) 12x2+5x 12y− 2+12y 10xy 3− − c) 4x4+4x3+5x2+2x 1+ d) x4+8x 63+
Bài 25.Phân tích đa thức thành nhân tử
a) A a b= ( 3−c3) (+b c3−a3) (+c a3−b3) b) B a b= 3( 2−c2) (+b c3 −a2) (+c a3 2−b2)
(37)a) B x x 2y= ( + )3−y y 2x( + )3 b) C x= 4+(x y+ )4+y4
c) D a= 4+ + −b4 c4 2 a b( 2 +b c2 2+c a2 2)
d) A a b c a= ( + − )2+b c a b( + − )2+c a b c( + − ) (2+ b c a c a b a b c+ − )( + − )( + − )
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài
a) 4x2−12x 16 x – 3x – 4− = ( ) (=4 x2+x – 4x – 4)
( ) ( ) ( )( )
4 x x – x 1 x – x
= + + = +
b) 2 ( ) ( ) ( )( )
3x +13x 10− =3x – 2x 15x – 10+ =x 3x – +5 3x – = x 3x – 2+
c) 2 ( ) ( ) ( )( )
2x – 7x 2x – 6x – x 2x x – – x – 3+ = + = = 2x – x – 30
d) 2 ( ) ( ) ( )( )
3x – 16x 3x – x – 15x x 3x – – 3x – 1+ = + = = x – 3x –
j) 2 ( ) ( ) ( )( )
2x – 5x – 12=2x – 8x 3x – 12+ =2x x – +3 x – = 2x x – 4+
Bài
a) x – 7x4 2+ = x – x – 6x4 2+ =6 x x – – x – 12( ) ( )=(x – x x – 6)( + )( ) b) x4+2x2− =3 x – x4 2+3x – x x – 12 = 2( ) (+3 x – 12 )
( )( ) ( )( )( )
x – x x – x x
= + = + +
c) x4+x2+ =1 (x2+1 – x)2 =(x – x x2 + )( 2+ +x 1)
d) x – 2x3 2+5x – x – x – x= 2+ +x 4x – 4
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
x x – – x x – x – x – x – x
= + = +
e) x – x3 2+ + =x x3+x – 2x – 2x 3x 32 + +
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
x x – 2x x x x x – 2x
= + + + + = + +
f) 2x – 35x 75 2x – 50x 15x 75 2x x – 253 + = + + = ( )+15 x 5( + )
( )( ) ( ) ( )( )
2x x – x 15 x x 2x – 10x 15
= + + + = + +
(38)( ) ( ) ( ) ( )( )
2
x 3x – – x 3x – 3x – 3x – x – x
= + = +
h) 3 2
6x +x + + =x 6x +3x – 2x – x 2x 1+ +
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
3x 2x – x 2x 2x 2x 3x – x
= + + + + = + +
i) 4x3+6x2+4x 4x+ = 3+2x2+4x2+2x 2x 1+ +
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x
= + + + + + = + + +
Bài 3.
a) Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
3 2
2
x 4x 29x 24 x x 5x 5x 24 24
x x 5x x 24 x x x 5x 24 x x x
+ − + = − + − + − +
= − + − − − = − + − = − − +
b) Ta có x3+6x2+11x 6+ =(x x x 3+ )( + )( + ) c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2
2
3x 7x 17x 3x x 6x 2x 15x
x 3x 2x 3x 3x 3x x 2x
− + − = − − + + −
= − − − + − = − − +
d) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2
2
2x 5x 8x 2x x 4x 2x 6x
x 2x 2x 2x 2x 2x x 2x
− + − = − − + + −
= − − − + − = − − +
e) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 2
2
3x 14x 4x 3x x 15x 5x 9x
x 3x 5x 3x 3x 3x x 5x
− + + = + − − + +
= + − + + + = + − +
f) Ta có x3+5x2+8x 4+ =(x x 2+ )( + )2
Bài
a) Ta có
( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
4 2
2 2 2
x 2019x 2018x 2019 x x 2018x 2018x 2018
x x x x 1996 x x x x x x 2019
+ + + = + + + + +
= + + − + + + + = + + − +
(39)( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
4
4
2 2
x 2004x 2003x 2004 x 2004x 2004x x 2004 x x 2004 x x x x 2004 x x
x x x x 2004 x x x x x x 2004
+ + + = + + − +
= − + + + = − + + +
= − + + + + + = + + − +
Bài 5.
a) Ta có 2 2
2
6 1
x 6x 7x 6x x x 6x x x x
x x x x
−
+ + − + = + + + + = + + − +
Đặt x t x
− = nên ta x2 12 t2 x
+ = + Đa thức cho trở thành
( ) ( ) ( )2
2 2 2
x t + +2 6t 7+ =x t +6t 9+ =x t 3+
Thay t trở lại ta : ( )
2
2 2
2
2 x 3x
x x x x 3x
x x − + − + = = + −
Vậy x4+6x3+7x2−6x 1+ =(x2 +3x 1− )2
b) Ta có (x x x x 5+ )( + )( + )( + +) 15=(x2+8x x+ )( 2+8x 15+ )+15
Đặt x2+8x t= Khi đa thức đa cho trở thành
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
2
2 2
t t 15 15 t 22t 105 15 t 22t 120 t 10 t 12 x 8x 10 x 8x 12 x 8x 10 x x
+ + + = + + + = + + = + +
= + + + + = + + + +
c)Đặt x2− =4 t khi đa thức cho trở thành
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
t t 6− −72 t= − −6t 72= −t 12 t 6+ = x −16 x +2 = x x x− + +2
d) Ta có x4 6x3 7x2 6x x2 x2 6x 12 x x2 12 x
x x x x
+ + + + = + + + + = + + + +
Đặt x t x
+ = suy 2
x t
x
+ = − Đa thức cho trở thành
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
x t − + +2 6t =x t + +6t =x t t 5+ +
Thay t trở lại ta
( )( )
2
2 1 x x x 5x 2
x x x x x x x 5x
x x x x
+ + + +
+ + + + = = + + + +
Vậy x4+6x3+7x2−6x 1+ =(x2 + +x x)( 2+5x 1+ )
(40)Đặt x2+7x 11 t+ = Khi đa thức cho trở thành
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )
2
2 2
t t 24 t 25 t t
x 7x x 7x 16 x x x 7x 16
− + − = − = − +
= + + + + = + + + +
f) Ta có (4x 3x 12x x 1+ )( + )( − )( + − =) 4 (12x2+11x 12x+ )( 2+11x 1− −) 4
Đặt 12x2+11x t= Khi đa thức trở thành
(t t 1+ )( )− − = + − = −4 t2 t 6 (t t 3)( + )=(12x2+11x 12x− )( 2+11x 3+ )
g) Ta có
( )( )( )( ) ( )( ) 2
4 x x 12 x x 10 3x x 17x 60 x 16x 60 3x
60 60
x x 17 x 16
x x
+ + + + − = + + + + −
= + + + + −
Đặt x 60 t x
+ = Khi đa thức trở thành
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2
2 2
x t 17 t 16 x 4t 132t 1085 x 2t 31 2t 35
120 120
x 2x 31 2x 35 2x 31x 120 2x 35x 120
x x
+ + − = + + = + +
= + + + + = + + + +
h) Đặt x2+3x t= Khi đa thức trở thành
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
2
2
t t t 2t t t
x 3x x 3x x x x x
+ − − = − − = + −
= + + + − = + + − +
Bài 6.
a) Ta có (x4 +x3+x2) (+ x2+ + =x 1) (x x2 2+ + +x 1) (x2+ + =x 1) (x2+ +x x)( 2+1) b) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )
4 3 2
3
6a 7a 37a 8a 12 6a 12a 19 a 38a a 2a 6a 12
6a a 19a a a a a a 6a 19a a
a a 2a 3a
+ − − + = − + − + − − −
= − + − + − − − = − + + −
= − + − +
c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
4 3 2
3
2
3
x 6x 13x 12x x x 5x 5x 8x 8x 4x
x x 5x x 8x x x
x x 5x 8x x x
+ + + + = + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + + = + +
(41)( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
2
2
x 3x x x 24 x x x x 24
x x x x 24 x 2x x 2x 24
+ − + − − = − + − + −
= − + − + − = + − + − −
Đặt
x +2x t= , đa thức trở thành ( )( ) ( ) t t 3− − −24= −t 11t=t t 11−
Thay t trở lại ta (x2+2x x)( +2x 11− )=x x x( + )( +2x 11− )
e) x4 10x3 26x2 10x x2 x2 10x 26 10 12 x x2 12 10 x 26
x x x x
+ + + + = + + + + = + + − +
Đặt x t x
+ = suy 2
x t
x
+ = − Đa thức trở thành
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
x t − +2 10t 26+ =x t +10t 24+ =x t t 6+ +
Thay t trở lại ta
( )( )
2
2 1 x 4x x 6x 2
x x x x x 4x x 6x
x x x x
+ + + +
+ + + + = = + + + +
Vậy x4+10x3+26x2+10x 1+ =(x2+4x x+ )( +6x 1+ )
f) Ta có (x x x x 6− )( − )( − )( − −) 1689=(x2 −11x 28 x+ )( 2−11x 30+ )−1680
Đặt x2−11x 29 t+ = Khi đa thức trở thành
( )( ) ( )( )
t t 1− + −1680= −t 1681= −t 41 t 41+ Thay t trở lại đa thức ta
( )( ) ( )( )( )
x −11x 12 x− −11x 70+ = x 12 x x− + −11x 70+
g) Ta có 2 2
2
1 1
x x 4x x x x x x x x
x x x x
+ − + + = + − + + = + + + −
Đặt x t x
+ = suy x2 12 t2 x
+ = − Đa thức trở thành
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
x t − + −2 t =x t + −t =x t t 3− +
Thay t trở lại ta
( ) ( )
2
2
2 1 x 2x x 3x
x x x x x x 3x
x x x x
+ − + + = − + + + = − + +
Vậy x4+x3−4x2+ + =x (x 1− )2(x2+3x 1+ )
(42)a) Ta có 4x4+81=( )2x2 2+92 +2.2x 2.2x 92 − =(2x2 +9)2−36x2
( 2 )2 ( )2 ( 2 )( 2 )
2x 6x 2x 6x 2x 6x
= + − = + + − +
b) Ta có 64x4+y4 =( ) ( )8x2 2+ y2 2+2.8x y2 −2.8x y2 =(8x2+y2)2−16x y2
( 2 2)2 ( )2 ( 2 2)( 2 2)
8x y 4xy 8x 4xy y 8x 4xy y
= + − = + + − +
c) Ta có 4x4+y4 =( ) ( ) ( ) ( )2x2 2+ y2 = 2x2 2+ y2 2+2.2x y2 2−4x y2
( 2 2)2 ( )2 ( 2 2 )( 2 2 )
2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy
= + − = + + + −
d) Ta có 4x8+ =1 ( )2x4 2+ +1 2.2x 4x4 −
( 4 ) ( ) (2 2 4 2 )( 4 2 )
2x 2x 2x 2x 2x 2x
= + − = + + − +
e) Ta có x y4 4+ =4 (x y2 2)2+22 =(x y2 2)2 +22 +2.x y 4x y2 − 2
( 2 2 )2 ( )2 ( 2 2 )( 2 2 )
x y 2xy x y 2xy x y 2xy
= + − = − + + +
Bài 8.
a) Ta có 64x4+y4 =( ) ( )8x2 2+ y2 2+2.8x y2 −16x y2 =(8x2+y2)2−( )4xy
(8x2 y2 4xy 8x)( y2 4xy)
= + − + +
b) Ta có 4x4+y4 =( ) ( ) ( ) ( )2x2 2+ y2 = 2x2 2+ y2 2+2.2x y2 2−4x y2
( 2 2)2 ( )2 ( 2 2 )( 2 2 )
2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy
= + − = + − + +
c) Ta có x4+324=( )x2 2+( )18 =( )x2 2+( )18 2+2.x 18 36x2 −
( 2 )2 ( )2 ( 2 )( 2 )
x 18 6x x 18 6x x 18 6x
= + − = + + + −
Bài 9.
a) Ta có x4+64=( )x2 2+82 =( )x2 2+82 +2.x 16x2 −
( 2 )2 ( )2 ( 2 )( 2 )
x 4x x 4x x 4x
= + − = + − + +
(43)( 2 2) ( )2 ( 2 2 )( 2 2 )
9x 2y 6xy 9x 2y 6xy 9x 2y 6xy
= + − = + − + +
c) Ta có 4x y4 + =1 (2x y2 2)2+ =1 (2x y2 2)2+ +1 2.2x y2 2−4x y2
( 2 2 )2 ( )2 ( 2 2 )( 2 2 )
2x y 2xy 2x y 2xy 2x y 2xy
= + − = + + + −
d) Ta có 4x4+81=( )2x2 +92 =( )2x2 2+92 +2.2x 36x2 −
( 2 )2 ( )2 ( 2 )( 2 )
2x 6x 2x 6x 2x 6x
= + − = + + + −
e) Ta có a4 +64=( )a2 2+82 =( )a2 2+82+2.a 16a2 −
( 2 )2 ( )2 ( 2 )( 2 )
a 4a a 4a a 4a
= + − = + + + −
f) Ta có a4+4b4 =( ) ( )a2 2+ 2b2 2+2.a 2b2 −4a b2
( 2 2)2 ( )2 ( 2 2 )( 2 2 )
a 2b 2ab a 2b 2ab a 2b 2ab
= − − = − + − −
Bài 10.
a) Ta có x8+ + =x (x8 −x2) (+ x2+ + =x 1) (x x2 6− +1) (x2+ +x 1)
( )( )( ) ( ) ( )( )
2 2
x x x x x x x x x x x x x
= + − + + + + + = + + − + − +
b) Ta có x64+x32+ =1 x64+2.x32+ −1 x32=(x32+1)2−x32 =(x32+ +1 x16)(x32+ −1 x16) c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
10 10 2
a +a + =1 a − +a a −a + a + + =a a a − +1 a a − +1 a + +a
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
9 3 3
7 2 2
2
a a a a a a a a a 2a a a a a
a 2a a a a a a a a a a a
a a a 2a a a a a
= − + − + + + = − + + + − + + +
= + + − + + + − + + + + +
= + + + + − + − +
Bài 11. Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( ) ( )( )
7 4 4
2
2 2 2
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
+ + + + + = + + + + + = + + +
= + + − + + − + = − + + + +
(44)( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( )( )
11 10 11 10
9 2
2 2
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
+ + + + + + = + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + = + + + + +
= + + − + − + + +
Bài 13. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
8 4 4 4 4
2
4 4
x 2x 12x x 12x x x 2x 4x 4x x 8x
x 2x 2x 2x x 2x 2x 2x x 2x 2x 2x
+ + + = + + = + + + + − + +
= + + − − = + + − + + + + −
Bài 14. Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
5 4 3 2
2
4 2
2x 3x 6x 8x 2x 2x x x 5x 5x 3x
2x x x x 5x x x x x 2x
− + − + = − − + + − − +
= − − − + − − − = − + +
Bài 15.
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
2 2 2
x y z 2xy 2z x 2xy y z 2z x y z
x y z x y z
+ − + − − = + + − + + = + − +
= + + + + − −
b) Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2
x y z 2xz 2y x 2xz z y 2y
x z y x z y x z y
− + − + − = − + − − +
= − − − = − + − − − +
c) Ta có
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
6 3 3 3
3 2 2
x 2x x y 2xy x x 2x x y 2y x x x y x
x x y x x x y x x xy y
− − + = − − + = − − −
= − − = − − + +
d) Ta có
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( )
6 2 2 2
2 2
x x 9x 9x x x x 9x x x x x
x x x x x x x x x
− − + = − − + = − − −
= − + − − = − + − =
Bài 16.
a) Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2
a b c 2ab 2bc 2ca a b c 2ab 2bc 2ac 4b
2a 2c 2b 4ac a 2ac c b a c b
2 a c b a c b
+ + + + + + + + − − + −
= + − + = + + − = + −
= + + + −
(45)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
ab ac bc a b a c b c a b c b a c c a b
a b c b a b b c c a b
a b c b a b b b c c a b
b c a b a b a b b c b c a b b c a b b c a b b c a c
− − + + − = + + − − + = + + + − + − + = + + + − + − + = + − + + + − + = + + − + − = + + − Bài 17.
a) Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
xy x y yz y z zx x z 3xyz
xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz
xy x y z yz x y z zx x y z x y z xy yz zx
+ + + + + +
= + + + + + + + +
= + + + + + + + + = + + + +
b) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
xy x y yz y z zx z x xy x y yz y z zx y z x y
xy x y yz y z zx y z zx x y
x x y y z z y z x y x y y z x z
+ − + − − = + − + − + − +
= + − + − + + +
= + + − + + = + + −
c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )
4 4 4
4 4 4 4
2 2
2 2
3 2 3 2
3 2
x y z y z x z x y x y z y y z x y z x y
x y z y y z y x y z x y y z x y x y y z
y z x y x y x y x y y z y z y z
x y y z x y x y y z y z
x y y z x xy x y y y yz y z z
x y y z x z y x z y x
− + − + − = − + − − − − + − = − − − − − + − = − − − − − = − − + + − − − + + = − − + + − + + = − − + + + − − − − = − − − + − + ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )( )
2 2
2 2
z
x y y z x z x xz z y x z y x z x z
x y y z x z x xz z y xy yz
−
= − − − + + + − + − +
= − − − + + + + +
d) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3
3 3 3 3
2 2
2 2
2
x y z y z x z x y xy xz yz x y x z y z
x z y y x z z y x x z y y z y y x z y x
x z y y z y y y x z y x z y x y y x z y
z y x y x xy y y x z y z yz y
z y x y x xy y z yz y
z y x y x z xy
− + − + − = − + − + − = − + − + − = − + − − − − + − = − − − − − + − = − − + − − = − − + + + − − + + = − − + + − − −
(46)Bài 18
a) Ta có
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2 2
2
a b c ab bc ca abc a b abc a c ab b c abc abc bc ac abc a b ab abc b c bc abc a c ca ab a b c bc a b c ac a c b a b c a c ac a c a c ab b bc ac a c b c a b
+ + + + − = + + + + + + + + −
= + + + + + + + = + + + + + + +
= + + + + + = + + + + = + + +
b) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2
a b c b c a c a b a b c b b c a b c a b
a b c b b c b a b c a b b c a b a b a b b c b c
b c a b a b b c a b b c a c
− + − + − = − + − − − − + −
= − − − − − + − = − − + − − − +
= − − + − − = − − −
c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2
c a b b a c a b c c a b b a b b c a b c
c a b b a b b b c a b c a b b c b c b c b a b a
a b b c b c a b a b b c c a
− − + − − − = − − + − + − − −
= − − + − + − − − = − − + + − − +
= − − + − − = − − −
d) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
ab a b bc b c ac c a ab a b bc a b c a ac c a
ab a b bc a b bc c a ac c a
b a b a c c c a b a a b b c a c
+ − + − − = + − + + − − −
= + − + − − − −
= + − − − + = + + −
Bài 19.
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
3 3 3
3 3 3 3
2 2
2 2
x y z y z x z x y z x y x x y z x y z x
z x y x x y y z x x z x x y z x z x y x
x y z x z zx x z x y x y xy x
x y z x z zx x y xy x x y z x z y z y x
− + − + − = − + − − − − + −
= − − − + − − − = − − + − −
= − − + + + − − + +
= − − + + − − − = − − − + −
b) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
3 3
3 3 3
2 2
2 2
x y x y y x x y x x y x y x
x y x x y x x y x x y x x x y
x y x x x x x y x xy y
x y x x x x xy y x y x y x y
− − − + − = − − − + − + −
= − − − − − + − = − − − − −
= − − + + − − − + +
= − − + + − − − = − − − + +
(47)( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
bc a d b c ac b d a c ab c d a b
bc ab ac bd dc ac ab bc ad dc ab ac bc ad bd bc ab ac bd dc ac ab ac bd dc ac bc ad bd
ab ac bc ad bd
ab ac bd dc bc ac ac bc ad bd ac ab a d b c c b a c d a b a c b
b c b a ac dc ca ad
+ − − + − + + − = − + − − − + − + − + − = − + − − − + − + − + − + − + − = − + − − − − + − − = + − − − + − −
= − − + − − =(b c b a c a d− )( − )( − ) d) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
3 3 3
3 3 3 3
2 2
2 2
a x y a y x x y a y a x x a x x y a x y
y a x x a x x x y a x y a x y x x y x a
x a x y x xy y x y x a x xa a
x a x y x xy y x xa a x a x y y a y a x
− − − + − = − − − + − + − = − − − − − + − = − − − − − = − − + + − − − + + = − − + + − − − = − − − + + Bài 20
a) Ta có A=(x y x+ )( 2−y2)+(y z y+ )( −z2)+(z x z+ )( 2−x2)
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2 2 2
2 2
A x y x y y z y z z x z x
x y x y y z x y z x z x z x
x y x z z x x y x y z x y z
= + − + + − + + −
= + − − + − + − + + −
= − − + − − = − − −
e) Ta có B x z y= 3( − 2) (+y x z3 − 2) (+z y z3 − 2)+xyz xyz 1( − )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3
3 3 3 2 2
2 2 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
B x z y y x z z y x xyz xyz
x z x y y x y z z y z x x y z xyz
x y z y z z x z y x y xy x z xyz
y z x y z x y xy x y xz x y
x y y z z xy xz x y y z z xy xz
x y z y z x y z
= − + − + − + − = − + − + − + − = − − − − − + − = − − − − − + − = − − − + = − − − −
= − − − − =(x2 −y y)( −z y)( 2−z)
Bài 21
(48)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )
2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
a b c b c b c a b c a b c a b a b
b c a b c b c a a b c a b b c a
b c ab ac bc ba a b ca cb bc ba
b c ab b a c a b a b a c b bc b c
a b b c c ab a bc a b b c c a a b c
+ − − + − + − + + − = − + − + + − + − + = − + − − + − + − − = − − + − + − − + − = − − − − + = − − − + +
b) Sử dụng đẳng thức (x y+ )3 =x3+y3+3xy x y( + )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )
3 3 3
3 3
3
2
A a b c b c a c a b a b c b b c a b c a b
a b c b b c b c a b c a a b c a b
b c a b 3b b c a b c a a b b c
b c a b b c 3b a c a b
a b b c c a a b c
= − + − + − = − − − − − + − = − − − + − − − + − + − = − − − − − − − − − = − − − − − − − = − − − + +
c) Sử sụng pháp tách hạng tử c a− = −(b c− +) (a b− ) ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
a b a b b c b c c a c a
a b a b b c b c c a b c a b b c b c c a a b a b c a
c b c b a a b a a b b c b c a b b c c a ab bc ca
− + − + − = − + − − − + − = − − + − − = − − + + − − + = − − − + +
d) Biến đổi sử dụng đẳng thức x2−y2 =(x y x y− )( + ) ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
2 2 2 3
2 2 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2
a b c b c a c a b 2abc a b c
a b c b c a c a b a b c
a b c a b c a b c a b c
a b c a b a c b a c b c a b c
a c b b a c c b a
+ + + + + − − − − = − + + + − − − − = − − + + − + − − = − − + + − + + + − − = + − + − + −
e) Ta có
( ) ( ) ( )
( )( )
2 2 2
2 2 2
a b c bc b c a ca c a b ab
a b ab b c bc c a ca 3abc a b c ab bc ca
+ + + + + + + +
= + + + + + + = + + + +
(49)( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2
2 2 2 2
4 2 2 3 2 2 2
2
4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
x y xy x y y z z x
x y x y 2x y 2xy 2x y x y y z z x
x y 2x y 2xy x y z x y x y 2xy x y z x y
x y x y 2xy z x y x y z x y x y z x y z
+ + − − − = + + + + + − − − = + + + + − + = + + + − + = + + + − = + + − = + + + + − Bài 23.
a) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )
4 2 2 2 2 2
2 2
81x z y z y 81x z y z y z y 81x
z y z y 9x 9x z y z y 3x 3x 9x
− − + = − − − = − −
= − + − + = − + + − +
b) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )( ) ( )( )
( )( )( )
6 2 6 2 2
2 2
3 2 2 3 3 2 2
2 2 2 2
2 2 2
x x x y y y x y x 2x y y x y
x y x y x y x y x y x y xy x y xy
x y x xy y x y x xy y x y xy x y xy
x y xy x y xy x y
+ + + − = − + + + −
= − + + − = − + + + − + +
= − + + + − + + + − + +
= + + + − − +
c) Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
4 2 4 2
2 2 2 2
2
x x x x x x 1 x x x 2x x 1
x x x 2x 2x 2x 2x x 1
x 2x 2x 2x
+ + + + = + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + = + + + +
d) Ta có
( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
5 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 5
3 2 2
2
x y x y x 5x y 10x y 10x y 5xy y x y
5xy x 2x y 2xy y 5xy x y x xy y 2xy x y 5xy x y x y xy
+ − − = + + + + + − −
= + + + = + − + + +
= + + +
Bài 24.
a) Ta có x4−6x3+12x2−14x 3+ =(x2+ax x+ )( +bx 3+ )
Hoặc x4 −6x3+12x2−14x 3+ =(x2+ax x− )( 2+bx 3− )
Giả sử ta có 4 ( ) ( ) ( )
x −6x +12x −14x x+ = + a b x+ + ab x+ + 3a b x 3+ +
Đồng hệ số ta có
a b
a
4 ab 12
b
3a b 14
(50)Vậy x4−6x3+12x2−14x 3+ =(x2−4x x+ )( −2x 3+ )
a) Ta có 2 ( )( )
12x +5x 12y− +12y 10xy 3− − = ax by cx dy 1+ + + −
Hay 2 ( ) ( ) ( )
12x +5x 12y− +12y 10xy acx− − = + ad bc xy bdy+ + + 3c a x− + 3d b y 3− −
Đồng hệ số ta có
ac 12
a ad bc 10
b
bd 12
c 3c a
d 3d b 12
=
=
+ = −
= −
= −
=
− =
=
− =
Do ta 12x2+5x 12y− +12y 10xy 3− − =(4x 6y 3x 2y 1− + )( + − ) d) Ta có 4x4+4x3+5x2+2x 1+ =(ax2+bx cx+ )( 2+dx 1+ )
Đồng hệ số hai vế ta 4x4+4x3+5x2 +2x 1+ =(2x2+ +x 1)2 d) Ta có x4+8x 63+ =(x2 +ax b x+ )( 2+cx d+ )
Khai triển đồng hệ số hai vế ta x4+8x 63+ =(x2−4x x+ )( 2+4x 9+ )
Bài 25.
a Đặt x a= 3−b ; y b3 = 3−c3 Khi ta có x y a+ = 3−c3 Do
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )( )
3 3
2 2
2
A ay b x y cx y a b x b c b c a b a b b c
b c a b b bc c a ab b
b c a b bc ab c a b c a b c a a b c
= − + + = − − − = − − − − −
= − − + + − − −
= − − − + − = − − − + +
b) Đặt x a= 2−b ; y b2 = 2−c2 Khi ta có x y a+ = −c2 Do
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
3 3 3 3
2 3 2 3
2 2
2 2 2 2
2
B a y b x y c x y a b x b c
b c a b a b b c
b c a b b c a ab b a b b bc c
b c a b b a ab b b bc c a c abc b c ab abc ac
a c ab b bc ac b a b b c a c ab bc ca
= − + + = − − −
= − − − − −
= − − + + + − + + +
= − − + + − − − + + + − − −
= − + + + − = − − − + +
Do ta B=(a b b c a c ab bc ca− )( − )( − )( + + )
Bài 26.
(51)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 3 3 3
3 2
2 3
2
B x m y y m x x m 3my m y y y m 3mx m x x
m x y xy x y 3mxy m x m y x y m xy x y 3mxy
m x y m 4xy m x y x y 4xy m x y x y x y
= + − + = + + + − + + +
= − − − − + − − = − − + −
= − − = − + − = − = + −
b) Đặt m x y= + Khi ta có
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4 4 2 4
4 2 2 2
2
2 2
2 2 2
C m y m y m 4m y 6m y 4my y m y
2 m 2m y y 4my m y 2m y
2 m y my x y y x y y x xy y
= − + + = − + − + + +
= + + − + +
= + − = + + − + = + +
d Đặt m a= 2+b2+c2 Khi ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( )( )( )( )
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
D a b c a b b c c a
m b a c c a m b m b c a
m 2b 2ca m 2b 2ca m 2b 2ca
a b c 2b 2ca a b c 2b 2ca
a c b a c b a c b a c b a c b a b c
= + + − + +
= − + + = − − +
= − − = − − − +
= + + − − + + − +
= − − + − = − − − + + − + +
d)Đặt m x y z;a b c x; b c a y; c a b z= + + + − = + − = + − =
Khi ta có 2a y z; 2b z x; 2c x y= + = + = + Do ta
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
2 2
2A y z x z x y x y z 2xyz
xy x y yz y z zx z x 2xyz x y y z z x
= + + + + + +
= + + + + + + = + + +
(52)C Một số ứng dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử
Trong nội dung ta biết phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên câu hỏi đặt phân tích thành nhân tử ứng dụng để giải dạng tập toán Ta kể số ứng dụng phép phân tích thành
nhân tử như
+ Vận dụng để tích giá trị biểu thức.
+ Vận dụng để tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức. + Chứng minh đẳng thức bất đẳng thức.
+ Vận dụng giải toán số họcvà tổ hợp suy luận + Một số dạng tập toán khác
Bài Thực phép tính cách hợp lí.
a) A 202= 2−542+256.352 b)
( ) ( ) 2 2 43 11 B 36.5 37.5 − =
+ c)
3 97 83 C 97.83 180 + = −
• Định hướng tư Để tính giá trị củabiểu thức số ta sử dụng hẳng đẳng thức đáng nhớ phép phân tích đa thức thành nhân tử.
Lời giải ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )()( ) ) ( )( ) 2
2 2
2 2 2
2
3
a) A 202 54 256.352 202 54 202 54 256.352 148.256 256.352 256 148 352 256.500 128000
43 11 43 11
43 11 43 11 32.54
b) B
25.9.63 36 27 36 27
5 36 27 36.5 27.5
97 83 97 97.83 83 97 83
c) C 97.83
180 180 = − + = − + + = + = + = = − + − − = = = = − + − − + − + + = − = ( ) 2
2 2
97.83 97 97.83 83 97.83 97 2.97.83 83 97 83 14 196
− = − + −
= − + = − = =
Bài 2.Tìm các giá trị x biết
a) ( )( )
4x −25− 2x 2x 7− + =0 b) 2x3+3x2+2x 0+ =
• Định hướng tư Để ý đến vế trái củađẳng thức ta thấy đa thức có thể phân tích thành nhân từ, ta biến đổi đa thức trái dạng tích sử dụng tính chất A.B 0= A 0= hoặc B 0= .
Lời giải
a) Ta có ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
(53)Do ( )( )
4x 25 2x 2x 2x x
2
− − − + = − = =
b) Ta có 2x3+3x2+2x x 2x 3+ = 2( + +) (2x 3+ ) (= 2x x+ )( 2+1)
Do 3
2x 3x 2x 2x x
2
+ + + = + = = −
Bài 3.Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 +y2+z2 =10 Tính giá trị biểu thức:
( )2 ( 2 ) (2 2 ) (2 2 )2 P= xy yz zx+ + + x −yz + y −zx + z −xy
• Định hướng tư Để tính giá trị củabiểu thức P ta cần biến đổi biểu thức P làm xuất hiện dạng x2 +y2+z2
Lời giải
Biến đổi biểu thức P áp dụng x2 +y2+z2 =10 ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
4 4 2 2 2 2 2
P xy yz zx x yz y zx z xy
x y y z z x 2xzy x y z x y z y
z x z x y 2xyz x y z
x y z x y y z z x x y z 10 100
= + + + − + − + −
= + + + + + + + +
+ + + − + +
= + + + + + = + + = =
Bài 4.Cho các số thực a, b, c khác theo đôi thỏa mãn a b c 3+ + =
Tính giá trị biểu thức
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
a a bc b b ca c c ab
A
a b b c c a
− + − + −
=
− + − + −
• Định hướng tư Để tính giá trị biểu thức A ta cần biến đổi biểu thức A làm xuất hiện dạng a b c+ +
Lời giải
Biến đổi biểu thức A sử dụng a b c 3+ + = ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( )) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 3
2 2 2
3
3 3
2 2 2
2 2
2 2
2 2
a a bc b b ca c c ab a b c abc a b c
A
a b b c c a a b b c c a
a b 3ab a b c 3abc 3ab a b a b c 3ab a b c
a b b c c a a b b c c a
a b c a b c a b c 9ab 3 a b c ab
2 a b c ab bc ca
− + − + − + + − + + = = − + − + − − + − + − + + + + − − + + + − + + = = − + − + − − + − + − + + + − + + − + + − = = + + − − − ( )
( 2 )
bc ca 3
2
2 a b c ab bc ca
− −
=
(54)Bài 5.Cho các số thực a, b, c khác thỏa mãn a3+b3+c3=3abc Tính giá trị biểu thức
a b c
A 1
b c a
= + + +
• Định hướng tư Sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử ta biến đổi giả thiết về dạng (a b c+ + ) ( a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2=0 Để ý a b c 0+ + nên ta suy
được a b c= = Đến thay vào biểu thức A tính giá trị biểu thức A
Lời giải
Ta có 3
a +b +c =3abc nên 3
a +b + −c 3abc 0= Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 3 2
2 2
2 2
a b c 3abc a b 3ab a b c 3abc 3ab a b
a b c 3ab a b c a b c a b c a b c 3ab a b c
1
a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a
2
+ + − = + + + + − − +
= + + − + + = + + + − + + − + +
= + + + + − − − = + + − + − + −
Do từ a3+b3+ −c3 3abc 0= ta (a b c+ + ) ( a b− ) (2 + b c− ) (2+ −c a)2=0
Hay ta a b c 0+ + = a b c= =
+ Nếu a b c 0+ + = a b+ = −c; b c+ = −a; c a+ = −b Khi ta có
(a b b c c a)( )( )
a b c
A 1 1
b c a abc
+ + +
= + + + = = −
+ Nếu a b c= = ta A a b c 2.2.2
b c a
= + + + = =
Bài 6.Cho a, b, c các số thực khác thỏa mãn ab bc ca 0+ + = Tính giá trị biểu thức:
a b c
A 1
b c a
= + + +
• Định hướng tư Sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử ta biến đổi giả thiết
về dạng 2 ( )( )
a =a +ab bc ca+ + = a b a c+ + Áp dụng tương tự ta tính giá trị của biểu thức A.
Lời giải
(55)Hoàn toàn tương tự ta có ( )( )
b = a b b c+ + ( )( ) c = b c c a+ +
Do ta a b c2 2 =(a b+ ) (2 b c+ ) (2 c a+ )2 hay (a b b c c a+ )( + )( + )= abc. Ta có A a b c (a b b c c a)( )( )
b c a abc
+ + +
= + + + = =
Bài 7.Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x y z 3+ + = x3+y3 =z 3xy z( − 2) Tính
giá trị biểu thức A 673 x= ( 2020+y2020+z2020)+1
• Định hướng tư Biến đổi giả thiết ta được x3+y3+z3=3xyz, sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp với x y z 3+ + = ta suy x y z 1= = = Đến ta tính giá trị biểu thức A.
Lời giải
Từ x3+y3 =z 3xy z( − 2) ta x3+y3+z3=3xyz Tương tự kết hợp
với x y z 3+ + = ta x y z= = Do suy x y z 1= = =
Thay x y z 1= = = vào biểu thức cho ta A 673.3 2020= + =
Bài 8.Chứng minh giá trị các đa thức sau không âm với giá trị biến
a) A=(x y− )2(z2−2z 1+ −) z x y( − )( − ) (2+ x y− )2 b) B=(x2 +y2)(z2−4z 4+ )−2 z x( − )( 2+y2)+x2+y2
• Định hướng tư Quan sát biểu thức A B ta thấy để chứng minh A B không âm ta phân tích A B dạng bình phương.
Lời giải a) Biến đổi biểu thức A ta
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
A x y z 2z z x y x y
x y z z x y x y
x y z z 1 x y z
= − − + − − − + −
= − − − − − + −
= − − − − + = − −
(56)( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2
B x y z 4z z x y x y
x y z 2 z x y x y
x y z 2 z x y z
= + − + − − + + +
= + − − − + + +
= + − − − + = + −
Do x2+y2 0 (z 3− )2 0 nên B 0 Bài toán chứng minh hoàn tất.
Bài 9.Cho a, b, c các số hữu tỉ thỏa mãn ab bc ca 1+ + = Chứng minh
( )( )( )
a +1 b +1 c +1 bình phương số hữu tỉ
• Định hướng tư Do ab bc ca 1+ + = nên ta a2+ =1 (a b c a+ )( + ) Áp dụng tương tự ta phân tích (a2+1 b)( 2+1 c)( + =1) (a b b c c a+ )( + )( + )2
.
Lời giải
Do ab bc ca 1+ + = nên ta có 2 ( )( ) a + =1 a +ab bc ca+ + = a b c a+ +
Hoàn toàn tương tự ta có b2+ =1 (a b b c+ )( + ) c2+ =1 (c a b c+ )( + )
Do (a2 +1 b)( 2+1 c)( + =1) (a b+ ) (2 b c+ ) (2 c a+ )2 =(a b b c c a+ )( + )( + )2
Vậy ta có điều cần chứng minh
Bài 10.Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn a4+b4+ +c4 d4=4abcd Chứng minh a b c d= = =
• Định hướng tư Để ý A2+B2 =0 A B 0= = ta biến đổi phân tích giả thiết dạng (a2−b2) (2+ c2−d2)2+2 ab cd( − )2 =0 Đến ta có điều cần chứng
minh
Lời giải Biến đổi giả thiết ta
( )
( ) ( ) ( )
4 4 4 4
4 2 4 2 2 2
2 2
2 2
a b c d 4abcd a b c d 4abcd
a b 2a b c d 2c d a b 2abcd c d
a b c d ab cd
+ + + = + + + − =
+ − + + − + − + =
− + − + − =
(57)( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2 2
2
a b
a b a b a b
c d c d c d c d a b c d
ab cd ab cd ab cd
ab cd
− =
− = = =
− = − = = = = = =
− = = =
− =
Vậy ta có điều cần chứng minh
Bài 11 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn (x y z xy yz zx+ + )( + + )=xyz Chứng minh rằng:
( )2019 2019 2019 2019
x +y +z = x y z+ +
• Định hướng tư Biến đổi giả thiết dạng (x y y z z x+ )( + )( + )=0 Từ suy
trong ba số x, y, z có hai số đối Từ ta có điều cần chứng minh Lời giải
Biến đổi giả thiết ta
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
2 2 2
2 2 2
2
2
x y xy y z zy z x zx 3xyz xyz
x y xy y z xyz z y z x zx xyz xy x y yz x y z x y zx x y
x y z xy yz zx x y y z z x
+ + + + + + =
+ + + + + + + =
+ + + + + + + =
+ + + + = + + + =
Do ta x= −y y= −z z= −x
Dễthấy x= −y ta x2019+y2019+z2019 =(x y z+ + )2019 Các trường hợp cịn lại hồn tồn tương tự
Bài 12.Cho ba số a, b, c thỏa mãn ab bc ca 2019+ + = Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a bc b ca c ab
0 a 2019 b 2019 c 2019
− + − + − =
+ + +
• Định hướng tư Để ý đến phép biến đổi a2+2019 a= 2+ab bc ca+ + = +(a b a c)( + ) ta quy đồng biểu thức P chứng minh toán.
Lời giải Để ý a2+2019 a= +ab bc ca+ + =(a b a c+ )( + )
Do
( )( )
2
2
a bc a bc
a b a c a 2019
− = −
+ +
(58)( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )( )( )
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
a bc b ca c ab a bc b ca c ab
P
a b c a b c a b c a b c
a 2019 b 2019 c 2019
a bc b c b ca c a c ab a b
a b b c c a
a b a c b c bc b c b a c a ca c a c b a b ab a b b c c a
− − − − − −
= + + = + +
+ + + + + +
+ + +
− + + − + + − +
=
+ + +
+ − − + + − − + + − −
= =
+ + +
Vậy toán chứng minh hoàn tất
Bài 13.Cho a, b các số nguyên Chứng minh A ab a= ( 2−b2)(a2 +b2) chia
hết cho 30
• Định hướng tư Bài toán cho toán số học Để chứng minh A chia hết cho 30 ta đo chứng minh A chia hết cho Để ý phân tích biểu thức A ta
( 2)( 2) ( 2) ( )( ) ( )( )
ab a −b a +b = a +b ab a a 1− + −ab b b 1− +
Như vậy ta thấy A chia hết cho Do ta cần chứng minh A chia hết cho Để ý Một số phương chia cho có số dư 0, 1,4 Do ta xét số dư a b chia cho để chứng minh A chia hết cho
Lời giải Biến đổi biểu thức A ta có
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2
2
A ab a b a b a b ab a ab b
a b ab a a ab b b
= − + = + − − −
= + − + − − +
• Với số ngun a b ab a a 1( − )( + ) ab b b 1( − )( + ) chia hết cho
6
• Để chứng minh ab a( 2−b2)(a2+b2) chia hết cho 30 ta cần chứng minh
( 2)( 2)
ab a −b a +b chia hết cho Xét các trường hợp sau:
+ Trường hợp Nếu hai số nguyên a b có số chia hết cho 5,
( 2)( 2)
ab a −b a +b chia hết cho
+ Trường hợp Nếu a b có số dư chia cho ta a b− chia hết
(59)+ Trường hợp Nếu a b có số dư khác chia cho ta a2+b2
chia hết cho Từ ta suy ab a( −b2)(a2+b2) chia hết cho 5.
Như trường hợp ta có ab a( −b2)(a2+b2) chia hết cho
Do nguyên tố nên từ các kết ta suy A chia hết cho 30 Bài 14.Chứng minh biểu thức S=n n 23( + ) (2+ n n+ )( 2−5n 1+ −) 2n 1− chia hết cho 120 với n số nguyên
• Định hướng tư duy. Để chứng minh S chia hết cho120 ta đo chứng minhA chia hết cho 3, Để ý phân tích biểu thức A ta
Lời giải
Dễ thấy 120 3.5.8= ( ) ( ) ( )3; = 5; = 3; =1 nên ta chứng minh S chia hết cho
3, 5, Mặt khác khai triển S ta S n= 5+5n4+5n3−5n2−6n
• Biến đổi biểu thức S ta
( )
( ) ( ) ( ) ( )
5 3
2
S n 5n 5n 5n 6n n n 6n n n 6n
n n n n 6n 5n n n n 6n
= + + − − = − + + − −
= − + + + − + −
Do (n n n 3− ) ( + ) nên ta suy S chia hết cho
• Ta có S n= 5+5n4+5n3−5n2−6n n= 5− +n n( 4+n3−n2−n) Mặt khác lại có
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
5 2
2
n n n n n n n n n n
n n n n 5n n n
n n n n n 5n n n
− = − + + = − + − +
= − + − + − +
= − − + + + − +
Từ suy n5−n 5 nên S chia hết cho 5.
• Ta có S n= 5+5n4+5n3−5n2−6n 4n n 1= 3( + +) (n n n+ )( 3+ −n 6)
+ Nếu n=2k k Z( ) ta S=32k5+80k4+40k3−8k2−12k k 1( + ), Từ suy S chia hết cho
+ Nếu n=2k k Z+ ( ) ta S 4n n 1= 3( + +) (n n n+ )( 3+ −n 6) Ta có 4n n 13( + =) (8 2k 1+ ) (3 k 1+ ) chia hết cho 8.
(60)Do S chia hết cho
Từ các kết suy S chia hết cho 120 với số nguyên n
Bài 15.Cho a b các số nguyên cho tồn hai số nguyên liên tiếp c d thỏa mãn điều kiện a b a c b d− = − Chứng minh a b− số phương
• Định hướng tư duy.Biến đổi giả thiết toán ta được
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
a b a c b d a b a c b c a b c a b b
a b c a b a b b a b c a b b
− = − − = − + − = − −
− = − + − − + + =
Để chứng minh a b− là số phương ta cần chứng minh hai số a b− ( )
c a b+ +1 nguyên tố
Lời giải
Do c d hai số nguyên liên tiếp nên ta có d c 1= + Từ ta
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2
a b a c b d a b a c b c a b c a b b
a b c a b a b b a b c a b b
− = − − = − + − = − −
− = − + − − + + =
Gọi d ước chung lớn a b− c a b( + )+1 Khi ta có a b d( )
c a b d
−
+ +
, nên ta ( ) ( )
2 a b c a b− + +1 d
Do từ (a b c a b− ) ( + )+1=b2 ta suy b d2 2b d Mà ta có a b d− nên suy a d Do a b d+
Kết hợp với c a b( + )+1 d ta suy d nên d 1=
Từ ta có (a b,c a b− ( + )+ =1) Do a b− số phương Bài 16.Cho a, b, c các số nguyên khác không a c thỏa mãn điều kiện
2 2
a a b
c c b
+ =
+ Chứng minh
2 2
a +b +c khơng phải số ngun tố
• Định hướng tư duy.Biến đổi giả thiết toán ta được
( ) ( ) ( )( )
2
2 2 2
2
a a b
a c b c a b a c b ac
c c b
+
= + = + − − =
(61)Để chứng minh a2+b2+c2 là số nguyên tố ta cần chứng minh 2
a +b +c khơng thể có hai ước nó.hai số a b− c a b( + )+1 nguyên
tố
Lời giải
Ta có ( ) ( ) ( )( )
2
2 2 2
2
a a b
a c b c a b a c b ac
c c b
+
= + = + − − =
+
Do a khác c nên ta
b −ac 0= hay
b =ac Từ ta
( )2 ( )( )
2 2 2 2
a +b +c =a +ac c+ =a +2ac c+ −ac= a c+ −b = a b c a b c− + + +
Do a, b, c các số nguyên a khác c nên suy a2+b2+c2 0 Do 2
a +b +c số ngun tố có bốn trường hợp sau xẩy
• Trường hợp 1.Với a b c 1− + = a b c a+ + = 2+b2+c2
Khi ta a c b 1+ = + nên suy a2+b2+c2 =2a 2c 1+ −
Từ ta suy (a 1− ) (2+ −c 1)2+b2 =0 nên a c 1= = , điều trái với giả thiết a c khác
• Trường hợp Với a b c 1+ + = a b c a− + = 2+b2+c2
Khi ta a c 1+ − = −b nên suy a2+b2+c2=2a 2c 1+ −
Từ ta suy (a 1− ) (2+ −c 1)2+b2 =0 hay a c 1= = , điều trái với giả thiết a c khác
• Trường hợp 3.Với a b c− + = −1 − + +(a b c)=a2+b2 +c2 Khi ta a c b 1+ = − nên suy a2+b2+c2= − −2a 2c 1−
Từ ta suy (a 1+ ) (2+ +c 1)2+b2 =0 hay a c= = −1, điều trái với giả thiết a c khác
• Trường hợp 4.Với a b c+ + = −1 − − +(a b c)=a2+b2+c2 Khi ta a c+ = − −b nên suy a2+b2+c2= − −2a 2c 1−
(62)Như nếu a2+b2+c2 là số nguyên tố tất các trường hợp
mâu thuẫn với giả thiết a c Do a2+b2+c2 khơng thể số ngun tố Bài 17.Cho các số nguyên dương a,b, c, d thỏa mãn a2+b2+ab c= +2 d2+cd
Chứng minh a b c d+ + + hợp số Lời giải
Ta có a2 +b2+ab c= 2+d2+cd(a b+ )2−ab= +(c d)2−cd
Hay ta (a b+ ) (2− +c d)2 =ab cd− (a b c d a b c d+ + + )( + − − )=ab cd−
Để chứng minh a b c d+ + + hợp số ta sử dụng phươngpháp phản chứng Thật vậy, giả sử a b c d+ + + số nguyên tố Đặt a b c d p+ + + =
Khi p a b c d( + − − )=ab cd− nên ta suy (ab cd p− )
Do ta (ab cd− ) (+c a b c d p+ + + ) hay ab c a b c p+ ( + + ) (a c b c p+ )( + )
Mặt khác p số nguyên tố a, b,c,d 0 nên c a,c b p + +
Từ ta (c a, p+ ) (= b c, p+ )=1, điều làm cho (a c b c p+ )( + ) mâu thuẫn Do điều giả sử sai hay a b c d+ + + hợp số
Bài 18 Người ta viết lên bảng dãy số 1 1; ; ; ;
1 2016 Mỗi lần xóa hai số x,
y bảng lại viết thêm số x y xy+ + Sau số lần bảng cịn lại số Tìm số cịn lại
Lời giải
Thực cộng số bảng với ta dãy số 1+1;1+1;1+1; ; +1
1 2016
Đặt x y xy m+ + = , ta m 1+ =(x y 1+ )( + ) Như sau mối lần xóa hai số x 1+ y + dãy lại thay số (x y 1+ )( + ) Do lúc đấu ta có dãy số x; y;a; b; c; sau xóa hai số x y ta dãy số m;a; b; c;
Chú ý (x y a b c + )( + )( + )( + )( + ) (= m a b c + )( + )( + )( + )
Như sau lần xóa tích khơng thay đổi
(63)
+ = + + + + =
1 1
k 1 1 2017
1 2016
Do ta k 2016 = hay số cuối lại bảng 2016
•Nhận xét Ta phát hiện tính chất bất biến nhờ đẳng thức
( )( )
+ + + = + +
xy x y x y Như vậy giữ nguyên đẳng thức thay đổi dãy số trên ta tìm tốn thay đổi đẳng thức ta toán mới. Người ta viết lên bảng dãy số 1; 2; 3; ; 2016 Mỗi lần xóa hai số x, y bảng lại viết thêm số x y xy+ + Sau số lần thực hiện vậy bảng cịn lại số Tìm số cịn lại đó.
• Người ta viết lên bảng dãy số 1007 1007 1007; ; ; ;1007
1 2013 Mỗi lần xóa hai số x, y bảng lại viết thêm số 2xy x y 1− − + Sau số lần thực hiện vậy bảng cịn lại số Tìm số cịn lại đó.
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Tính giá trị biểu thức sau
( )( )( )( )
16
2
x
A
x x x x
− =
+ + + + với x 2020=
Ta có x16− =1 (x x x− )( + )( 2+1 x)( 4+1 x)( +1) nên ta
( )( )( )( ) ( ( )( )( )( )( )( )( )( ) )
2
16
2 8
x x x x x
x
A x
x x x x x x x x
− + + + +
−
= = = −
+ + + + + + + +
Do với x 2020= ta A 2019=
Bài Cho (x 3y+ )3−6 x 3y( + )2+12 x 3y( + )= −19 Tìm giá trị biểu thức x 3y+ Biến đổi giả thiết toán ta
( )3 ( )2 ( ) ( ) ( )3 x 3y+ −6 x 3y+ +12 x 3y+ − = −8 27 x 3y 2+ − = −3
Do x 3y 2+ − = −3 hay x 3y+ = −1
Bài Cho a2+b2+c2=a3+b3+c3=1.Tính giá trị của S a= 2+b2019+c2020 Ta có a2+b2+c2=a3+b3+c3=1 nên a; b; c − 1;1
Do a3+b3+ −c3 (a2 +b2+c2)=a a 12( − +) b b 12( − +) c c 12( − ) 0
(64)Do b2019 =b ; c2 2020 =c2 Kết hợp với giả thiết ta được S a= 2+b2012+c2013 =1
Bài Cho a, b, c các số khác thỏa mãn 1
a+ + =b c Chứng minh rằng:
2 2 2 b c c a a b
3abc a + b + c =
Đặt x;1 y;1 z
a = b= c = , x y z 0+ + = Ta có
( )
2 2 2
2 2 2 3
3 3
b c c a a b 1
a b c a b c x y z
a b c a b c
+ + = + + = + +
Từ x y z 0+ + = hay x y+ = −z nên ta
( ) ( )3
3 3 3 3
x +y +3xy x y+ = −z x +y −3xyz= − z x +y +z =3xyz Vậy
2 2 2 b c c a a b
3abc
a + b + c =
Bài Cho a, b, c số khác thỏa mãn a b3 3+b c3 3+c a3 =3a b c2 2 Tính giá trị
biểu thức P a b c
b c a
= + + +
Đặt ab x; bc y; ca z= = = ta
Biến đổi x3+y3+z3=3xyz ta được x y z 0+ + = hoặc x y z= =
+ Với x y z 0+ + = ta ab bc ca 0+ + = Từđó biến đổi biểu thức P ta
( )( )( ) ( )( )( ) ( )2
a b b c c a ab bc cb ca ac ab
a b c
P 1 1
b c a abc abc
+ + + + + +
= + + + = = = −
+ Với x y z= = ta ab bc ca= = hay a b c= = Từđó biển biểu thức P ta
a b c
P 1 2.2.2
b c a
= + + + = =
Bài Cho số x, y, z thỏa x y z 1+ + = x3+y3+z3 =1. Tính giá trị biểu thức A x= 2019+y2019+z2019
(65)( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )( )
3 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2
2
x y z x y z x y z x y z
x y z z x y
x y z z x y z x y z z z x y x xy y
x y x y z 2xy 2yz 2xz xz yz z z x xy y
x y 3z 3xy 3yz 3xz x y y z x z
+ + − + + = + + − − − = + + − − + = + + − + + + + + + − + − + = + + + + + + + + + + − + − = + + + + = + + + =
Do ba số x, y, z có hai sốđối số Từđó ta A 1=
Bài Với giá trị a b đa thức (x a x 10− )( − )+1 phân tích thành tích
của đa thức bậc có hệ số nguyên
Giả sử (x a x 10− )( − )+ =1 (x m x n− )( − ) với m n các số nguyên Khi khai triển ta ( ) ( )
x − a 10 x 10a x+ + + = − m n x mn+ +
Đồng hệ số hai vế ta m n a 10
mn 10a + = +
= +
Do khử hệ số a ta có
( ) ( ) ( )
mn 10 m n 10= + − + 1 mn 10m 10n 100 1− − + = m n 10− −10 n 10− =1
Vì m n các số nguyên ta có m 10 n 10
− =
− =
m 10
n 10
− = −
− = −
Đến ta a 8= a 12= thỏa mãn yêu cầu toán
Bài Cho a, b, c các số đôi khác nhauthỏa mãn a b c x
b c a
+ = + = + = Tính
giá trị biểu thức P x.abc=
Ta có a b
b c
+ = + nên a b b c
bc −
− = Tương tự ta có b c c a ac
−
− = c a a b
ab −
− =
Do ta (a b b c c a)( )( ) b c c a a b ( )abc abc bc ac ab
− − −
− − − = = =
+ Nếu abc 1= ta có P=x Khi giả thiết trở thành a ac b ba c cb x+ = + = + =
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
3
x a ac b ba c cb abc a b c a b c a b c ab ac cb 3x
x abc ab ac bc a b c ab ac bc a b c a b c ab ac cb 3x
(66)Do
x =3x 2+ −x 1; Dễ thấy x=2 suy a b c 1= = = Tr]ơngf hợp loại a, b, c đơi khác Từ ta x= −1 nên ta tính
P= −1
+ Nếu abc= −1, biến đổi hoàn toàn tương tự a ac b ba c cb x− = − = − = Do
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )
3
3
x a ac b ba c cb abc a b c a b c a b c ac ba cb 3x
x abc ab ac bc a b c ab ac bc a b c a b c ac ba cb 3x
= − − − = − − − = − − −
+ + − − − =
= − − − − + + + = − − − + + + −
+ + − − − =
Từ ta x3 =3x 2− x 1; 2− Dễ thấy x= −2 suy a b c= = = −1
Tr]ơngf hợp loại a, b, c đơi khác Từ ta x 1= nên ta tính
được P= −1
Vậy giá trị P P= −1
Bài 23 Cho ba số a, b, c thoả các điều kiện a b 7; b c 3− = − = Tính giá trị biểu
thức
2 2 2
b c ab bc ca c 2ab 2b
a c
a
P + + − − −
− − +
=
Nhìn vào tử số P ta có biến đổi quen thuộc
( ) (2 ) (2 )2
2 2 a b b c c a
b c ab bc ca a
2
− + − + −
+ + − − − =
Từ phải biến đổi giả thiết để xuất thêm c a− Ta có c a− = −(b c− − −) (a b)= − − = −3 10
Đặt T tử của P ta T= 79 Đặt M mẫu P, M phân tích thành tích thành
M=(a c a c 2b− )( + − ) (= a c a b c b− )( − + − )=40 Vậy ta P 79
40
=
Bài 26 Cho các số a, b, c khác khác đơi thỏa mãn a3+b3+c3=3abc
Tính giá trị biểu thức
2 2
2 2 2 2 2
ab bc ca
P
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
(67)Do a2+b2+ −c2 ab bc ca 0− − với a, b, c đôi khác nên a b c 0+ + =
Khi
( )( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2
ab ab ab b b b
a c b b b
a +b −c =a + b c b c− + =a + b c− −a = + − =− − =−
Tương tự
2 2
bc c
2 b +c −a =−
2 2
ca a
2
c +a −b = − Cộng theo vế các đẳng thức ta
được ( )
2 2
2 2 2 2 2
ab bc ca b c a
P a b c
2 2
a b c b c a c a b
= + + = + + = − + + =
− − −
+ − + − + −
Bài Cho a, b, c đôi khác thỏa mãn ab bc ca 1+ + = Tính giá trịbiểu thức:
a) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
2 2
2 2
a b b c c a
A
1 a b c
+ + +
=
+ + +
b) ( )( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
a 2bc b 2ca c 2ab B
a b b c c a
+ − + − + −
=
− − −
a) Ta có a+ =ab bc ca a+ + + =(a b a c+ )( + ) Tương tự ta có ( )( )
1 b+ = a b b c+ + ( )( ) c+ = b c c a+ +
Do ( ) ( ) ( )
( )( )( ) (( ) () ( ) () ( ))
2 2 2
2 2
2 2
a b b c c a a b b c c a
A
1 a b c a b b c c a
+ + + + + +
= = =
+ + + + + +
b) Ta có a2+2bc – a= 2+2bc – ab – bc – ca=(a b a c− )( − )
Tương tự b2+2ca – 1=(b – c b – a)( ) c2+2ab 1− =(c – a c – b)( )
Do ( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2
a 2bc b 2ca c 2ab a b b c c a
B
a b b c c a a b b c c a
+ − + − + − − − −
= = =
− − − − − −
Bài Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x y z 2,+ + = x2+y2 +z2 =18
xyz= −1 Tính giá trị S 1 xy z yz x zx y
= + +
+ − + − + −
Ta có xy z xy x y 1+ − = − − + =(x y 1− )( − )
(68)( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )
x y z
1 1
S
x y y z z x x y z
1
xy yz zx xyz xy yz zx x y z
+ + −
= + + =
− − − − − − − − −
−
= =
+ +
− + + + + + −
Ta có (x y z+ + )2 =x2 +y2+z2+2 xy yz zx( + + ) nên xy yz zx+ + = −7 Suy ta S
7
= −
Bài Cho các số thực x, y, z đôi khác thỏa mãn các điều kiện
3 3
x =3x 1; y− =3y 1; z− =3z 1− Chứng minh x2+y2+z2 =6
Từ 3
x =3x 1; y− =3y 1; z− =3z 1− ta
( ) ( ) ( )
3 2 2
3 2
2
3
x y x y x xy y 3
y z y z y yz z
z zx x
z x z x
− = − + + =
− = −
+ + =
− = − + + =
Do ta x2 −z2+xy yz 0− = (x y x y z− )( + + )= + + =0 x y z
Công theo vế các đẳng thức ta 2 x( 2+y2 +z2)+(xy yz zx+ + )=9
Hay ta 3(x2 y2 z2) 1(x y z)2 9
2 + + +2 + + =
2 2 x +y +z =6
Bài Cho các số dương a, b,c thỏa mãn ab bc ca 1+ + = Chứng minh
2 2
a b b c c a
0
1 c a b
− + − + − =
+ + +
Ta có 2 ( )( )
1 a+ =ab bc ca a+ + + = a b a c+ + Hồn tồn tương tự ta có
( )( )
2
(69)Suy ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2
a b a b a c b c 1
c b c a c a c b c a c b
1 c
b c b c b a a c 1
a c a b a b a c a b a c
1 a
c a c a c b a b 1
b a b c b c b a b c b a
1 b − = − = + − − = − + + + + + + + − − + − − = = = − + + + + + + + − − + − − = = = − + + + + + + +
Do ta a b2 b c2 c a2 1 1 1
c b c a a c a b b a b c
1 c a b
− − −
+ + = − + − + − =
+ + + + + +
+ + +
Bài Cho ba số a, b, c thỏa mãn c2+2 ab bc ac( − − )=0, bc a b c+ Chứng minh
2
2
2a 2ac c a c b c 2b 2bc c
− + = −
−
− +
Ta có ( )
c +2 ab bc ac− − =0 nên ta
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2
a a c ab bc ac a 2ac c ab bc
a c 2b a c a c a c 2b
= + + − − = − + + −
= − + − = − − +
Từ suy
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
2
2 2 2
2
2a 2ac c a 2ac c a a c a
a c a c a c 2b a c a b c
− + = − + + = − +
= − + − − + = − + −
Tương tự ta có 2 ( )( )
2b −2bc c+ =2 b c a b c− + −
Do (( )()( ))
2
2
2 a c a b c
2a 2ac c a c
b c b c a b c
2b 2bc c
− + −
− + = = −
−
− + −
− +
Bài Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn x y a b+ = + x2 +y2 =a2+b2 Chứng minh xn+yn =an+bn với n số nguyên dương
Ta có x2+y2 =a2 +b2 (x a x a− )( + ) (+ y b y b− )( + )=0 Mà x a b y− = − thay vào ta (b y x a b y− )( + − − )=0
+ Nếu b y 0− = ta b y= Do từ giả thiết toán ta a x=
Như ta xn+y2 =an+b2
(70)Bài Cho x, y, z các số thực dương thỏa mãn 3
2x y xyz z
4 27
+ − = − Tính giá
trị biểu thức
2020 6x 3y 2z
N
6x 3y 2z
+ −
= −
− +
Ta có ( ) ( ) ( )
3
3 3
3 2z
2x y xyz 6x 3y 2z 108xyz
4 27
−
+ − = + + =
Đặt a 6x; b 3y; c 2z= = = Khi giả thiết trở thành a3+b3+c3=3abc
Biến đổi giả thiết ta (a b c+ + ) ( a b− ) (2+ b c− ) (2+ −c a)2=0
Do x, y, z các số dương nên a, b, c các số dương, suy a b c 0+ + Do
đó từ đẳng thức ta (a b− ) (2 + b c− ) (2+ −c a)2 =0 nên a b c= = Như ta 6x 3y 2z= = Do suy
2020 2020
6x 3y 2z 2z 2z 2z
N 2
6x 3y 2z 2z 2z 2z
+ − + −
= − = − =
− + − +
Bài Cho các số thực x, y, z khác thỏa mãn x khác y
( )( ) ( )( )
x y −xz yz− =y x −yz xz−
Chứng minh 1 x y z
x+ + = + +y z
Biến đổi giả thiết toán ta
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
x yz y xz x yz y xz x y x yz y z xy z xy x z x yz
x y x yz y z xy z xy x z xy z x yz xy x y xyz yz y xz x z x y
x y xy xyz x y z xz yz
− − = − −
− − + = − −
− − + − + + − =
− − + − − + − =
− − + + + + =
Do x khác y nên suy xy xz yz xyz x y z+ + − ( + + )=0
Hay xy xz yz+ + =xyz x y z( + + ) Lại x, y, z khác nên ta
( ) 1 xy xz yz xyz x y z x y z
x y z
+ + = + + + + = + +
Vậy toán chứng minh
Bài Chứng minh với số nguyên n
(71)Ta có n3− =n n n( 2− =1) (n n n 1− ) ( + ) Biểu thức tích số nguyên liên tiếp
nên suy (n3−n 6)
Bài Chứng minhrằng
n −n −n +1 chia hết cho 128 với n số lẻ
Ta có n6−n4−n2 + =1 n n4( − −1) (n2− =1) (n2−1 n)( 4− =1) (n2−1) (2 n2+1) Vì n số lẻ nên đặt tồn số nguyên k đế n 2k 1= + Khi ta có
( )2 ( ) ( )2 ( ) 2
2
2
n −1 = 2k 1+ −1 = 4k +4k =4k k 1+
Ta có k k 1( + ) chia hết nên 4k k 1( + )2 64
Mặt khác ( )2 ( )
n + =1 2k 1+ + =1 4k +4k 2+ =2 2k +2k 1+ chia hết cho
Do ta n6−n4−n2+ =1 (n2−1) (2 n2+1 128)
Bài 34 Chữ số hàng đơn vị hệ thập phân số M a= 2+ab b + (với a, b
các số tự nhiên khác 0)
a) Chứng minh M chia hết cho 20 b) Tìm chữ số hàng chục M
Lời giải
a) Vì số tận M nên M chia hết cho Xét các trường hợp sau + Cả a b số lẻ nên a 2 b 2 đều số lẻ, suy M số lẻ, trường hợp
không xẩy
+ Một hai số a b có số chẵn số lẻ, khơng tính tổng quát ta giả sử a số lẻ, b số chẵn Khi a 2 là số lẻ b 2 là số chẵn nên M số lẻ,
trường hợp không xẩy
Do hai số a b số chẵn Khi M chia hết cho 4, từ suy M chia hết cho 20
b) Ta có (a2+ab b+ 2)(a b− )=a3−b nên (a3−b3)(a3+b3) 5
Lại có a6−a2 =a a a a2( − )( + )( 2+1 5) Tương tự ta có b6−b
(72)( − )( − ) ( 2− + 2) ab a b a b ab a 2ab b Suy abM Từ suy ab.3ab nên ab
Ta có M a= 2+ab b suy + = ( + )+
bM ab a b b Mà ab a b 5( + ) nên b hay b
Suy = − ( + )
a M b a b nên
a hay a nên M 25
Lại có 25 hai số nguyên tố nên M 100 hay số hàng chục
M
Bài 83.Cho p, q hai số nguyên tố lớn Chứng minh p4+2019q chia
hết cho 20
Trích đề TS lớp 10 trường THPT Chuyên Thành phố Hà Nội năm học 2018 – 2019
Lời giải
+ Lời giải 1. Ta có p4+2019q4=p4−q4+2020q4 Do đến chứng minh
+
4
p 2019q chia hết cho 20 ta cần chứng minh p4−q chia hết cho 20 Để ý ta
có 20 4.5 = ( )4, =1 nên ta chứng minh p4 −q chia hết cho
Ta có p4− =1 (p p p− )( + )( 2+1 ) q4− =1 (q q q− )( + )( 2+1 Do p Do p q )
là các số nguyên tố lớn nên p vàq các số nguyên tố lẻ nên (p p 1− )( + )
(q q 1− )( + ) chia hết cho Điều dẫn đến p4−1 q4−1 cùng chia hết cho
Đến ta suy p4−q4 =(p4− −1) (q4−1 ) chia hết cho 4. Ta có
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )
− = − + + = − − + + + − + +
4 2
p p p p p p p p p p p
Để ý (p p p p p 2− )( − ) ( + )( + ) chia hết cho Mà p số nguyên tố lớn nên không chia hết cho 5, ta có (p p p p 2− )( − )( + )( + ) chia hết cho Từ suy p4 −1 chia hết cho Lập luận hoàn toàn tương tự ta có
−
(73)Bài 88.Cho hai số nguyên dương m, n thỏa mãn m n 1+ + ước nguyên tố 2 m( 2+n2)−1 Chứng minh m.n là số phương.
Trích đề TS lớp 10 trườngTH PT Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An năm học 2018 –
2019
Lời giải
Giả sử m n hai số nguyên dương khác Khi ta có
( + )2− =( + − )( + + ) ( + + )
m n m n m n m n
Mà theo giả thiết ta có 2 m( 2+n2)−1 chia hết cho m n 1+ +
Do ta có ( 2+ 2)− −( + )2− ( + + )
2 m n m n m n Do đóta
( − ) (2 + + )
m n m n
Lại m n 1+ + số nguyên tố nên từ ta suy m n m n 1− ( + + )
Khơng tính tổng quát ta giả sử mn, ta có m n m n 1− ( + + )
Từ suy m n m n 1− + + 2n 0+ , điều vơ lí n số nguyên dương Do điều giả sử m n khác sai nên suy m=n Từ ta có m.n m =
là số phương
Bài 94 Đặt N a= 1+a2+a3+ + a2017+a2018 = 5+ 5+ + +5 + 2017 2018
M a a a a a ,
đó a ; a ; a ; ; a1 2018 các số nguyên dương Chứng minh N chia hết cho 30 M chia hết cho 30
Trích đề TS lớp 10 trườngTHPT Chuyên Tỉnh Hải Dương năm học 2018 – 2019
Lời giải Với a số tự nhiên ta có
( )( )( ) ( )( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
− = − + + = − + − +
= − + − + − +
= − + − + + − +
5 2
2
a a a a a a a a a a
a a a a 5a a a a a a a a 5a a a
(74)(a a a a a 2− )( − ) ( + )( + ) a a a 1( − ) ( + ) chia hết cho 30 Do a5−a chia
hết cho 30 Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
− = + + + + + − + + + + +
= − + − + − + + −
5 5 5
1 2017 2018 2017 2018
5 5
1 2 3 2018 2018
M N a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
Áp dụng cách chứng minh ta có
( 5− ) ( 5− ) ( 5− ) ( − )
1 2 3 2018 2018
a a ; a a ; a a ; ; a a chia hết cho 30 Do M N chia −
hết cho 30 Mà ta có N chia hết cho 30 nên suy M chia hết cho 30
Bài Cho biểu thức A 2a b= 2+2b c2 2+2a c2 2− −a4 b4−c4 Chứng minh a,
b, c độ dài các cạnh tam giác tam giác A nhận giá trị dương
Ta có
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )
2 2 2 4 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
A 2a b 2b c 2a c a b c 4a b 2a b 2b c 2a c a b c
b c a 4b c b c a 2bc b c a 2bc
b c a b c a b c a b c a b c a b c a
b c a c a b a b c a b c
= + + − − − = − − − + + +
= − + − − = − + − − + − +
= − − − + − = − − − − + + − + −
= + − + − + − + +
Vì a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên a b c 0; b c a 0; c a b 0+ − + − − +
Do A nhận giá trị dương
Bài 18 Trên bảng cho 2014 số tự nhiên từ đến 2014 Thực liên tiếp phép biến đổi sau: Mỗi lần xoá hai số a, b có bảng viết thêm số a b+ −1ab
2
vào bảng Khi bảng lại số dừng lại Tìm số cịn lại Lời giải
Trong quá trình biến đổi, giả sử bảng có dãy số a ; a ; ; a1 2 n
Ta xét biểu thức sau P= (a1−2 a)( 2−2 a) ( n−2) Ta chứng minh su lần xóa giá trị biểu thức P giảm hai lần
Giả sử ta xóa hai số a b tích P thừa số (a b 2− )( − ) thay a b+ −1ab
2 tích P có thêm thừa số
( − )( − )
+ −1 − = a b
a b ab
(75)giảmđi nửa nên P giảm nửa Khi xóa hai số thay số nên sau lần xóa bảng giảm số
Mà bảng có 2014 số nên sau 2013 lần xóa P giảm 2013 lần Khi ta có giá trị P= (1 2 2014 2− )( − ) ( − ) =0
Giả sử số lại bảng x ta có P= − =x hay x=2
Vậy số cuối bảng
Bài 3.Người ta viết bảng dãy các số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 Thực trò chơi sau: Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số
là a3+b3 Thực trò chơi trên bảng lại số Hỏi số
còn lại bảng 9876543212016 khơng Bài 3.Với dãy số tự nhiên từ đến 100ta có tổng
( + )
+ + + + = 100 100=
1 100 5050
2
Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số a3+b Khi 3
đó tổng dãy số bảng tăng đại lượng (a3+b3)− +(a b )
Ta thấy 100 5050 c+ + + + = hia có số dư
Lại thấy (a3+b3)− +(a b) (= a a a 1− ) ( + +) (b b b − ) ( + )
Do đại lượng tăng lên ln chia hết cho Như sau lần tiến hành trò chơi tổng dãy số bảng ln chia cho có số dư Mà ta lại có