Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 1. Phơng pháp đặt nhân tử chung ( thừa số chung): a) a 2 + 3a b) 14a + 21b c) a(x+y) + b(x+y) d) 10a 6 + 20a 5 e) 5x 2 10xy +5y 2 f) 3ab 3 + 6ab 2 18ab g) 15x 3 y 2 + 10x 2 y 2 - 20x 2 y 3 h) a 2 (x 1) b(1 x) i) x(x 5) 4(5 x) 2. Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: a) x 2 + 2x + 1 b) 4x 2 - 12x + 9 c) 9x 2 4y 2 d) 8x 3 27 e) 16a 2 (x y) 2 f) (a 3b) 2 16c 2 g) 16(x - y) 2 - 25(x + y) 2 h) m 3 27 i) 8m 3 + 36m 2 n + 54mn 2 + 27n 3 j) 22 4 1 ba k) a 4 b 4 l) 1+ 3 64 1 x m) x 3 3x 2 + 3x 1 n) x 3 + 9x 2 y + 27xy 2 + 27y 3 3. Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử để đặt thừa số chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức: a) 6a(x+y) + x+ y b) a(x-y) bx + by c) x 2 + xy + ax + ay d) 10ay 5by + 2ax bx e) x+ x 2 x 3 x 4 f) ax 2 bx 2 bx ax a b g) 7x 2 7xy 4x + 4y h) x(2x 7) (4x 14) i) x 2 + 6x + 9 y 2 j) x 3 3x 2 + 3x -1 27y 3 4. Phơng pháp thêm , bớt cùng một hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung: Đối với phơng pháp này thờng đợc chia ra làm hai dạng : a. Đa thức có dạng bình phơng của một tổng: A = a 4 + b 4 Ví dụ 1: Phân tích đa thức P = x 4 + 4y 4 thành nhân tử. Nhận xét: Hiện đa thức có tổng bình phơng (x 2 ) 2 + (2y 2 ) 2 tơng ứng với 2 số hạng a 2 + b 2 của hằng đẳng thức a 2 + 2ab + b 2 nh vậy còn thiếu 2ab nên để có hằng đẳng thức thì chúng ta thêm tích 2.x.2y 2 rồi bớt đi 2.x.2y 2 . P = x 4 + 4y 4 = (x 2 ) 2 + (2y 2 ) 2 + 2.x.2y 2 - 2.x.2y 2 = (x 2 2y 2 ) 2 (2xy 2 ) 2 = (x 2 2y 2 2xy 2 ) (x 2 2y 2 + 2xy 2 ). Chú ý: Số hạng thêm và bớt phải có dạng bình phơng thì mới làm tiếp đợc bài toán đợc. Ví dụ 2: (Bài 43d trang 20 / SGK) Phân tích đa thức Q = 22 64 25 1 yx Lê Văn Th giáo viên Trờng THCS Tợng Văn huyện Nông Cống 1 = + = yxyxyx 8 5 1 8 5 1 )8( 5 1 2 2 Bài tập: a) x 4 + 64 b) x 4 + 4 c) x 4 + 4b 4 d) 81x 4 + 1 b. Đa thức có dạng nh: a 3k+2 + a 3k + 1 1, a 7 + a 5 +1, a 8 + a 4 +1 vv Đối với những đa thức nh trên khi chúng ta muốn phân tích đa thức thành nhân tử thì nên tìm cách giảm dần số mũ luỹ thừa nhng cần chú ý đến các biểu thức dạng a 6 1; a 3 - 1; a 2 + a + 1. Ví dụ : 1: Q = 1 5 ++ xx Cách 1: Thêm bớt 234 xxx ++ để đặt nhân tử chung Q = 1 5 ++ xx = 1 5 ++ xx + 234 xxx ++ - 234 xxx = )1()1()1( 22223 +++++++ xxxxxxxx = )1)(1( 232 +++ xxxx Cách 2: Thêm bớt x 2 để có dạng x 3 1 dẫn đến thừa số chung x 2 + x +1. Q = x 5 - x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 ( x 3 1) + (x 2 + x +1) = x(x-1)( x 2 + x +1) + (x 2 + x +1) = (x 2 + x +1)( x 3 - x 2 +1). Ví dụ 2: D = x 8 + x 7 +1 Cách 1: Thêm bớt xxxxxx +++++ 23456 để đặt nhân tử chung x 2 + x +1. D = 1 78 ++ xx = 1 78 ++ xx +( xxxxxx +++++ 23456 )-( xxxxxx +++++ 23456 ) = )1()1()1()1()1( 22422326 ++++++++++++ xxxxxxxxxxxxxx = )1)(1( 3462 ++++ xxxxxx Cách 2: Thêm bớt x 2 + x để xuất hiện x 6 1 dẫn đến x 3 1 có chứa x 2 + x +1. D = 1 78 ++ xx = 1 2728 ++++ xxxxxx = )1()1()1( 2662 ++++ xxxxxx = )1()1)(( 262 ++++ xxxxx = )1()1)(1)(( 2332 +++++ xxxxxx = )1()1)(1)(1)(( 2322 +++++++ xxxxxxxx = [ ] 1)1)(1)(()1( 322 +++++ xxxxxx = [ ] 1)1)(()1( 4252 ++++++ xxxxxxx = [ ] 1)1( 42525362 ++++++ xxxxxxxxxx = )1)(1( 3462 ++++ xxxxxx Lê Văn Th giáo viên Trờng THCS Tợng Văn huyện Nông Cống 2 Bài tập : a) 1 45 ++ xx b) 1 27 ++ xx c) 1 78 ++ xx d) 1 8 ++ xx e) 1 48 ++ xx f) 1 510 ++ xx 5. Phơng pháp tách các hạng tử. Đối với phơng pháp này thờng đợc đợc áp dụng đối tam thức bậc hai ax 2 + bx +c và có hai cách tách hạng tử: Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử. Trong tam thức bậc hai ax 2 + bx +c hệ số b đợc tách thành b =b 1 + b 2 sao cho b 1 b 2 = ac. Trong thực tế khi làm chúng ta nên làm nh sau: Ví dụ 1: M = x 2 4x 12 Bớc 1: Tìm tích ac = 1.(-12) = -12 Bớc 2: Phân tích ac ra tích 2 thừa số nguyên bằng mọi cách. -12=1.(-12) = (-1).12 = (-2).6 = 2.(-6) = (-3).4 = (-4).3 Bớc 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b = - 4 = - 6 +2 nh vậy tách 4x = - 6x + 2x M = x 2 6x + 2x 12 =x(x 6) +2(x- 6) = (x- 6) ( x + 2) Ví dụ 2: N = 2x 2 + x 6 Ta thấy 2.(-6) = - 12 = 4 . (- 3) mà 4 + (- 3) = 1 vậy tách x = 4x 3x ta có N = 2x 2 + 4x 3x 6 = 2x( x+2) 3(x+2) = (2x 3)(x+2) Cách 2: Tách hạng tử tự do thành 2 hạng tử rồi đa về dạng hiệu hai bình phơng. Tổng quát: A = x 2 + 2ax +b = x 2 + 2ax + a 2 a 2 + b = (x + a) 2 22 )( ba = ( ) ( ) ( ) baaxbaax +++ 22 Điều kiện: a 2 b Ví dụ 1: M = x 2 4x 12 = x 2 2.x.2 + 2 2 2 2 12 = (x 2) 2 16 = (x- 2 4)(x-2+4) = (x- 6)(x +2) Chú ý : - Thờng áp dụng đối với tam thức bậc hai có hệ số của x chia cho hệ số của x 2 đợc thơng chia hết cho 2 còn không thì nên áp dụng theo cách 1. - a 2 < b thì đa thức không thể phân tích tiếp đợc nữa. Ví dụ 2: K = x 2 + 6x + 5 = x 2 + 2.x.3 + 3 2 3 2 + 5 = (x + 3) 2 2 2 = (x +3 -2)(x+3 +2) = (x+1)(x+5) Ví dụ 3: H = = x 2 + 10x + 16 = x 2 + 2.x.5 + 5 2 5 2 + 16 = (x + 5) 2 3 2 = (x +5 -3)(x+5 +3) = (x+2)(x+8) Bài tập: a) x 2 - 6x + 5 b) x 2 + 6x + 8 c) 2x 2 + 10x + 8 d) 9x 2 + 6x 8 Lê Văn Th giáo viên Trờng THCS Tợng Văn huyện Nông Cống 3 e) x 2 -5x + 14 f) 4x 2 - 36x + 56 g) x 2 – 7xy + 10y 2 h) x 2 - 5x – 14 i) x 2 - 9x + 18 j) 2x 2 - 6x + 4 k) 3x 2 - 5x – 2 l) 7x 2 + 50x + 7 m) 15x 2 + 7x – 2 n) x 2 - 5x + 14 o) 4x 2 -36x + 56 p) x 2 - 7x + 10 q) 3x 2 - 5x – 2 r) 2x 2 + x - 6 s) 15x 2 + 7x - 12 t) 3x 2 – 8xy + 4y 2 u) x 2 - 10x + 21 v) x 2 + 11x + 30 Lª V¨n Th gi¸o viªn Trêng THCS Tîng V¨n huyÖn N«ng Cèng 4 6. Phơng pháp dự đoán nghiệm của đa thức Để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng hệ quả của địng lí Bezout: Nếu là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x- Ví dụ 1: f(x) = x 3 5x 2 + 8x 4 Thờng ta dự đoán nghiệm của đa thức là các ớc của hạng tử độc lập là - 4 , Ư(- 4) = { } 4;2;1;1;2;4 Thế x= 4;2;1 vào f(x) thì ta thấy x= 1 và x= 2 làm f(x) = 0 . Vậy f(x) có nghiệm x = 1 và x= 2 cho nên theo hệ quả của định lí Be zout f(x) sẽ chứa thừa số x 1 và x- 2 . Vậy ta cố gắng làm xuất hiện thừa số x-1 và x2. f(x) = x 3 5x 2 + 8x 4 = x 3 x 2 4x 2 + 4x + 4x 4 = x 2 ( x 1) - 4x(x 1) + 4(x 1) = (x 1) ( x 2 4x + 4) = (x - 1)(x -2) 2 Ví dụ 2: f(x) = x 3 6x 2 + 6x 7 Ư(-7) = { } 7;1;1;7 Thử thế các giá trị x= -7;-1; 1; 7vào f(x) thì ta thấy chỉ có x= 7 làm f(x) bằng 0 . Vậy f(x) có nghiệm x = 7 nên ta cố gắng làm xuất hiện thừa số x 7 f(x) = x 3 6x 2 + 6x 7 = x 3 7x 2 + x 2 7x + x 7 = x 2 (x 7) x(x 7) + (x 7) = ( x 2 x + 1)(x 7) Tr ờng hợp đặc biệt: Khi nghiệm là x = 1 hoặc x = -1. Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì nó có chứa một thừa số là (x 1) ( tức là f(x) có nghiệm x = 1). Ví dụ : A = x 3 6x 2 + 11x 6 Ta thấy 1 + (-6) +11 + (- 6) = 0 nên A chứa thừa số x 1. Ta cố gắng tách hạng tử sao cho có thừa số (x 1) A = x 3 6x 2 + 11x 6 = x 3 x 2 - 5x 2 + 5x + 6x 6 = x 2 (x-1) 5x(x 1) + 6(x 1) =(x - 1)(x 2 5x + 6) (áp dụng tiếp phơng pháp 1 hoặc nhẩm nghiệm ) = ( x 1)( x- 2)(x 3) Định lí 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của luỹ thừa bậc chữa bằng tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc lẻ thì thì f(x) chứa một thừa số là (x + 1) ( tức là f(x) có nghiệm x = -1). Ví dụ : B = x 3 + 2x 2 + 4x + 3 Nhận xét: 1 + 4 = 2 + 3 (=5) nên B có chứa thừa số x + 1. Ta cố gắng tách hạng tử sao cho có thừa số (x +1). B = x 3 + x 2 + x 2 + x + 3x + 3 = x 2 (x + 1) + x(x +1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x 2 + x + 3) Bài tập: a) x 3 - 6x 2 + 11x 6 b) 6x 3 - 295x 7 c) x 3 - 3x 2 - 4x + 12 d) 4x 3 - 24x 2 + 45x 27 e) 2x 3 - 5x 2 + 8x 3 f) 6x 3 - x 2 - 486x + 81 g) x 3 - 5x 2 + 8x 4 h) x 3 - 4x 2 - 8x + 8 i) x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1 j) x 3 + 2x 2 + 3x + 2 k) 3x 3 - 14x 2 + 4x + 3 l) x 4 + 6x 3 + 17x 2 - 6x + 1 m) x 3 + 8x 2 - 8x - 1 7. Phơng pháp dùng máy tính và sơ đồ Hoor ner Giả sử chia đa thức P(x) = 01 1 1 axaxaxa n n n n ++++ cho nhị thức x m ta đợc đa thức Q n-1 (x) = 01 2 2 1 1 bxbxbxb n n n n ++++ thì giữa các hệ số a n ; a n-1 ; a n-2 ; ;a 1 ; a 0 và các hệ số b n-1 ; b n-2 ; ;b 1 ; b 0 có mối liên hệ sau: a n a n-1 a n-2 a 1 a 0 m b n-1 = a n b n-2 =a n-1 +mb n-1 b n-3 = a n-2 + mb n-2 . . . b 0 =a 1 + mb 1 r=a 0 + mb 0 Trong đó r là số d trong phép chia P(x) cho (x m). P(x)= (x- m)Q(x) + r R là hằng số vì bậc của r phải nhỏ hơn bậc 1 của (x m). Nếu r = 0 thì x = m là nghiệm của f(x). Ví dụ: C = x 4 + 2x 3 - 4x 2 - 5x 6 Ư(- 6) = {- 6; -3 ; -2; -1 ; 1 ; 2; 3 ; 6} Ta thấy hai trờng hợp đặc biệt không xảy ra nên ta thử x = 2 ta làm nh sau: ( nên dùng máy tính cho nhanh) a 4 =1 a 3 =2 a 2 =- 4 a 1 = -5 a 0 = -6 x=2 b 3 = 1 b 2 =2.1+2=4 b 1 = 2.4+(-4) =4 b 0 =2.4 + (- 5) = 3 r = 2.3 + (- 6) = 0 Vậy C = (x - 2)( x 3 + 4x 2 + 4x + 3) Tiếp tục sử dụng thuật toán Hor ner ta có b 3 = 1 b 2 = 4 b 1 = 4 b 0 =3 x= - 3 b 2 = 1 b 1 = (-3).1+4=1 b 0 = (-3).1+ 4 =1 r =(-3).1 + 3 = 0 Ta có C = (x - 2)( x +3)(x 2 + x + 1) 8. Phơng pháp đặt ẩn phụ Trong một số trờng hợp việc đặt ẩn phụ làm cho bài toán dễ thấy lời giải phân tích thành nhân tử nhanh hơn. Ví dụ 1: M = ( x 2 + 4x + 8) 2 3x ( x 2 + 4x + 8) + 2x 2 Đặt x 2 + 4x + 8 = t Ta có M = t 2 - 3xt + 2x 2 = t 2 - 2xt - xt + 2x 2 = t(t - 2x) x(t - 2x) = ( t 2x) ( t x) = (x 2 + 4x + 8 -2x) (x 2 + 4x + 8 x) = (x 2 + 2x + 8) (x 2 + 3x + 8) Ví dụ 2: N = (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) +1 = [(x+1)(x+4)] [(x+2) (x+3)] +1 = (x 2 + 5x + 4)( x 2 + 5x + 6) +1 Đặt x 2 + 5x + 5 = t N = (t 1)(t + 1) +1 = t 2 - 1 + 1 = t 2 = (x 2 + 5x + 5) 2 Bài tập: a) ( x 2 + x) 2 + 3( x 2 + x ) + 2 b) x (x+1) (x+2) (x+3) +1 c) ( x 2 + x + 1)( x 2 + 3x + 1 ) + x 2 d) (x y) 2 + 4(x y) -12 e) (x-1) (x-3) (x-5) (x- 7) 20 f) (x-1) (x+2) (x+3) (x+ 6) 20 g) 6x 4 11x 2 +3 9. Phơng pháp dùng hệ số bất định. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . a) x 4 + 6x 3 + 11 x 2 + 6x + 1 b) 3x 2 22xy 4x + 8y + 7y 2 + 1 Giải a) Giả sử đa thức đợc phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng (x 2 + ax + 1) (x 2 + bx + 1) Thực hiện phép nhân ta có : (x 2 + ax + 1) (x 2 + bx + 1) = x 4 + ( a+ b)x 3 + ( 2 + ab)x 2 + ( a+b)x + 1. Đồng nhất với đa thức đã cho ta đợc : = =+ 9 6 ab ba = = 3 3 b a Vậy x 4 + 6x 3 + 11 x 2 + 6x + 1 = (x 2 + 3x + 1) (x 2 + 3x + 1) = (x 2 + 3x + 1) 2 b) Ta tìm a, b, c, d sao cho : 3x 2 - 22xy 4x + 8y + 7y 2 + 1 = (3x + ax +b)(x + cy + d) = 3x 2 + (3c + a)xy (3d + b)x + (ad + bc)y + acy 2 + bd Đồng nhất các hệ số tơng ứng của hai vế ta đợc: = = =+ =+ =+ 1 bd 7ac 8 bcad -4b3d 22- a 3c Từ bd = 1 chọn b = d = -1 (vì b + 3d = - 4) . Ta có a+ c = -8 kết hợp với 3c + a = -22 ta đợc a = -1, c = -7 Vậy 3x 2 - 22xy 4x + 8y + 7y 2 + 1 = (3x - x - 1)(x - 7y -1) . bất định. Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử . a) x 4 + 6x 3 + 11 x 2 + 6x + 1 b) 3x 2 22xy 4x + 8y + 7y 2 + 1 Giải a) Giả sử đa thức đợc phân tích thành hai đa thức bậc hai dạng. Cèng 4 6. Phơng pháp dự đoán nghiệm của đa thức Để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng hệ quả của địng lí Bezout: Nếu là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) có chứa thừa số x-. 4b 4 d) 81x 4 + 1 b. Đa thức có dạng nh: a 3k+2 + a 3k + 1 1, a 7 + a 5 +1, a 8 + a 4 +1 vv Đối với những đa thức nh trên khi chúng ta muốn phân tích đa thức thành nhân tử thì nên tìm cách