Chuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian – Bùi Trần Duy Tuấn

Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi có ý chí, nơi có đường.” Tài liệu gồm 280 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Hệ trục tọa độ không gian Chủ đề Phương trình mặt cầu Chủ đề Phương trình mặt phẳng Chủ đề Phương trình đường thẳng Chủ đề Thủ thuật Casio giải nhanh chuyên đề Oxyz Chủ đề Bài tập vận dụng cao Oxyz Bố cục chủ đề gồm phần sau: Kiến thức cần nắm Các dạng toán phương pháp giải (kèm theo toán minh họa) Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết) Tài liệu sưu tầm biên soạn để làm tư liệu cho em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp em ơn lại kiến thức nhanh chóng hiệu Trong tình tổng hợp biên soạn khơng tránh khỏi sai sót đáng tiếc số lượng kiến thức tập nhiều Mong đọc giả thơng cảm đóng góp ý kiến để tài liệu sau chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về: Facebook: https://web.facebook.com/duytuan.qna Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com Các em xem thêm chun đề luyện thi Đại học mơn Tốn Website: https://toanhocplus.blogspot.com/ Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam – 26.03.2018 Bùi Trần Duy Tuấn  https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CẦN NẮM I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN II TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM IV TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 11 I TÌM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ, CỦA ĐIỂM 11 Kiến thức vận dụng 11 Một số toán minh họa 11 II TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 13 Kiến thức vận dụng 13 Một số toán minh họa 13 III VẬN DỤNG CÔNG THỨC TRUNG ĐIỂM VÀ TRỌNG TÂM 16 Kiến thức vận dụng 16 Bài toán minh họa 16 IV CHỨNG MINH HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, KHÔNG CÙNG PHƯƠNG 17 Kiến thức vận dụng 17 Một số toán minh họa 17 V TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG 18 Kiến thức vận dụng 18 Một số toán minh họa 18 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 20 I ĐỀ BÀI 20 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 28 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 36 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 36 I ĐỊNH NGHĨA 36 II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 36 III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG 36 IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNG 37 B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 38 I TÌM TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU 38 Kiến thức vận dụng 38  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Một số toán minh họa 38 II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 39 Phương pháp 39 Một số toán minh họa 39 II SỰ TƯƠNG GIAO VÀ SỰ TIẾP XÚC 45 Phương pháp 45 Một số toán minh họa 45 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 50 I ĐỀ BÀI 50 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 62 CHỦ ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 80 A KIẾN THỨC CẦN NẮM 80 I VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG 80 II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG 80 III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG 81 IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG 81 V GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 81 B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 82 Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến 82 Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  cho trước 82 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm A , B , C không thẳng hàng 82 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M vuông góc với đường thẳng  83 Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  , vng góc với mặt phẳng    83 Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng    84 Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  song song với   (  ,  chéo nhau) 84 Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  điểm M 85 Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng cắt   86 Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa song song   86 Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M song song với hai đường thẳng    chéo cho trước 87 Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng  P  ,  Q  cho trước 87  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Dạng 13: https://facebook.com/duytuan.qna Viết phương trình mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D    song song với mặt phẳng   cách khoảng k cho trước 88 Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  cho trước cách điểm M khoảng k cho trước 88 Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S  89 Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  tạo với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  cho trước góc  cho trước 89 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 91 I ĐỀ BÀI 91 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 102 CHỦ ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 119 A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 119 I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG .119 II VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG .119 III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 121 IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 121 V GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .121 B MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐỂN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 122 I XÁC ĐỊNH VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 122 Phương pháp 122 Một số toán minh họa 122 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 124 Phương pháp 124 Một số toán minh họa 124 III XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 130 IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG .135 Phương pháp: 135 Một số toán minh họa 135 V HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT ĐƯỜNG THẲNG .138 Phương pháp 138 Bài toán minh họa 138 VI HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MỘT MẶT PHẲNG 139 Phương pháp 139 Một số toán minh họa 139  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna VII KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU 143 Kiến thức vận dụng 143 Một số toán minh họa 143 VIII GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 145 Kiến thức vận dụng 145 Một số toán minh họa 145 IX XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG .147 Phương pháp 147 Một số toán minh họa 147 HỆ THỐNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 148 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 150 I ĐỀ BÀI 150 II ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 167 CHỦ ĐỀ 5: THỦ THUẬT CASIO GIẢI NHANH CHUYÊN ĐỀ OXYZ 190 A TÍNH NHANH THỂ TÍCH CHĨP, DIỆN TÍCH TAM GIÁC 190 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 190 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 190 B TÍNH NHANH VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG – MẶT 198 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 198 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 198 C TÌM HÌNH CHIẾU VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN 205 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 205 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 205 D TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN 215 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 215 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 215 E TÍNH NHANH GĨC GIỮA VECTƠ, ĐƯỜNG VÀ MẶT 226 I KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM 226 II MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 227 CHỦ ĐỀ 6: BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO OXYZ 236 A ĐỀ BÀI 236 B ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 280  https://toanhocplus.blogspot.com Mục lục Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna LƯU Ý TRƯỚC KHI ĐỌC TÀI LIỆU Tài liệu chia thành chủ đề: Chủ đề 1: Hệ trục tọa độ không gian Chủ đề 2: Phương trình mặt cầu Chủ đề 3: Phương trình mặt phẳng Chủ đề 4: Phương trình đường thẳng Chủ đề 5: Thủ thuật Casio giải nhanh chuyên đề Oxyz Chủ đề 6: Bài tập vận dụng cao Cuốn sách phân chia kiến thức theo chủ đề nhằm hệ thống kiến thức khoa học đầy đủ Nhưng chủ đề đầu có kiến thức chủ đề phía sau, nên bạn đọc xem trước KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM mục A chủ đề 1, 2, 3, cách song song để tiện làm dạng tập chủ đề từ đầu Thí dụ: Những dạng tập phương trình mặt cầu (thuộc chủ đề 2) có kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng (thuộc chủ đề 4) có kiến thức liên quan đến phương trình mặt phẳng (thuộc chủ đề 3) nên bạn đọc học KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM chủ đề cách song song để dễ làm tập từ chủ đề đầu Còn bắt đầu đọc tài liệu thơi !!! “Nơi có ý chí, nơi có đường”  https://toanhocplus.blogspot.com Lưu ý Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Chủ đề       https://facebook.com/duytuan.qna HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN  A KIẾN THỨC CẦN NẮM I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Trong khơng gian, xét ba trục tọa độ  Ox , Oy , Oz  vng góc với nhau từng đơi một và chung     một điểm gốc O. Gọi  i , j , k  là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục  Ox , Oy , Oz  Hệ ba trục  z như vậy gọi là hệ trục tọa độ vng góc trong khơng gian      2   Chú ý:    i  j  k   và    i j  i.k  k j                       k O  i  j y x II TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ Định nghĩa      u   x; y ; z   u  xi  y j  zk   Tính chất   Cho  a  ( a1 ; a2 ; a3 ), b  (b1 ; b2 ; b3 ), k                             a1  b1         a  b  ( a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 )          ka  ( ka1 ; ka2 ; ka3 )          a  b  a2  b2   a  b         (0; 0; 0), i  (1; 0; 0), j  (0;1; 0), k  (0; 0;1)   a1  kb1       a a a    a  cùng phương  b (b  0)   a  kb ( k   )    a2  kb2    , (b1 , b2 , b3  0)   b1 b2 b3 a  kb       a.b  a1 b1  a2 b2  a3 b3       a  b  a1b1  a2 b2  a3 b3        a  a12  a22  a32         a  a12  a22  a22    a1b1  a2 b2  a3b3      a.b   cos( a , b )     (với a , b  )  a.b a12  a22  a32 b12  b22  b32  https://toanhocplus.blogspot.com Trang Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Định nghĩa:     M( x; y ; z)  OM  x.i  y j  z.k  (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)  Chú ý:  M   Oxy   z  0; M   Oyz   x  0; M   Oxz   y   M  Ox  y  z  0; M  Oy  x  z  0; M  Oz  x  y    Tính chất: Cho  A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; y B ; zB )    AB  ( xB  x A ; y B  y A ; zB  z A )       AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2  ( zB  z A )2    x  xB y A  y B z A  z B  ; ;  Toạ độ trung điểm  M  của đoạn thẳng  AB :  M  A   2    x  xB  xC y A  yB  yC z A  zB  zC  ; ;  Toạ độ trọng tâm  G  của tam giác  ABC :  G  A   3    Toạ độ trọng tâm  G  của tứ diện  ABCD :         x  xB  xC  xD y A  yB  yC  yD zA  zB  zC  zC  G A ; ;   4     IV TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa   Trong không gian  Oxyz cho hai vectơ  a  ( a1 ; a2 ; a3 ) ,  b  (b1 ; b2 ; b3 )  Tích có hướng của hai      vectơ  a  và  b ,  kí hiệu là   a , b  , được xác định bởi    a2    a , b     b2 a3 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 b1 a2     a2 b3  a3 b2 ; a3 b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1    b2  Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số Tính chất         [a , b]  a; [ a , b]  b           a , b    b , a                        j , k   i ;     i , j   k ;  k , i   j               [a , b]  a b sin  a , b    (Chương trình nâng cao)                 a , b  cùng phương   [a , b]   (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)   https://toanhocplus.blogspot.com Trang Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Ứng dụng tích có hướng: (Chương trình nâng cao)              Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a , b  và  c  đồng phẳng  [a , b].c      S ABCD   AB, AD        Diện tích hình bình hành ABCD :   SABC   AB, AC     Diện tích tam giác ABC :    VABCD A ' B'C ' D '  [ AB, AD] AA  Thể tích khối hộp ABCDABCD :  Thể tích tứ diện ABCD : VABCD     [ AB, AC ] AD   D B C D A B A B A C D B A C B A C D C Chú ý: – Tích vơ hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng  góc, tính góc giữa hai đường thẳng – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích  khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – khơng đồng phẳng,  chứng minh các vectơ cùng phương.     a  b  a.b       a vµ b phương   a , b         a , b , c đồng phẳng   a , b  c   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 10 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn cos  d;    https://facebook.com/duytuan.qna t2 6t  14t    t2 , ta suy ra được  f  t   f     t     6t  14t   Do đó  cos   , d     t   AM   2;  1    x1 y z 1   Vậy phương trình đường thẳng  d  là      2 1 Câu 44 Chọn B Xét hàm số  f  t   A  d1  A   a; a; 2  a  B  d2  B   b; 2  3b;  2b       có vectơ chỉ phương  AB   b  2a; 3b  a  2; 2b  a       P  có vectơ  pháp tuyến  nP  1;1;1        Vì   / /  P    nên  AB  nP  AB.nP   b  a  Khi đó  AB   a  1; 2a  5;  a    2 2  ; a      a  1   2a      a   6a2  30a  62   a  25   49 2       7 Dấu  "  "   xảy ra khi  a   A  6; ;   , AB    ; 0;     2  2    9 Đường thẳng    đi qua điểm  A  6; ;    và  vec tơ chỉ phương  ud   1; 0;1    2 AB   x   t   Vậy phương trình của   là    y     z    t   Câu 45 Chọn B Gọi  d  là đường thẳng cần tìm  Gọi  A  d  d1 , B  d  d2   A  d1  A  a;1  a; 2  a  ; B  d2  B  1  2b;  b;     AB   2a  2b  1; a  b; a     P  có vectơ pháp tuyến  nP   7;1; 4      d   P   AB, np  cùng phương               có một số  k  thỏa  AB  knp   2 a  2b   k 2 a  2b  k  a      a  b  k  a  b  k    b  2 a   4 k   a  k  5  k  1                    https://toanhocplus.blogspot.com   Trang 266 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   d  đi qua điểm  A  2; 0; 1  và có vectơ chỉ phương  ad  nP   7;1     x 2 y z 1   Vậy phương trình của  d  là  4   Câu 46 Chọn A Gọi    là đường thẳng cần tìm  Gọi  A     , B       A  1  A  1  3a;  a;1  2a  ; B    B   b; 2b; 1  3b     AB   3a  b  2; a  2b  2; 2 a  3b    d  có vectơ chỉ phương  ad   0;1;1      / / d  AB , ad  cùng phương    3a  b   3a  b  2 a             có một số  k  thỏa  AB  kad  a  2b   k  a  2b  k   b      a  3b   k 2 a  3b  k   k  1    Ta có  A  2; 3;  ; B  2; 2;       đi qua điểm  A  2; 3;   và có vectơ chỉ phương  AB   0; 1; 1   x   Vậy phương trình của    là   y   t z   t    Câu 47 Chọn C Cách 1: Gọi  A  d   P  A  d  A  12  a;  3a;  a  A   P   a  3  A  0; 0; 2    d  đi qua điểm  B  12; 9; 1     Gọi  H  là hình chiếu của  B  lên   P     n   3; 5; 1 có vectơ pháp tuyến  P   P     BH  đi qua  B  12; 9;1  và có vectơ chỉ phương  aBH  nP   3; 5; 1    x  12  3t  BH :  y   5t z   t  H  BH  H  12  3t ;  5t ;1  t  H  P  t   78  186 15 113   H ; ;  35 35     35   186 15 183  AH   ; ;  35   35  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 267 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  d '  đi qua  A  0; 0; 2   và có vectơ chỉ phương  ad '   62; 25; 61    x  62t  Vậy phương trình tham số của  d '  là   y  25t    z  2  61t  Cách 2:   Gọi   Q   qua  d  và vng góc với   P      d  đi qua điểm  B  12; 9; 1  và có vectơ chỉ phương  ad   4; 3;1   P   có vectơ pháp tuyến  nP   3; 5; 1      Q   qua  B 12; 9; 1  có vectơ pháp tuyến  nQ  ad , nP    8;7;11   Q  : x  y  11z  22    d '  là giao tuyến của   Q   và   P  Tìm một điểm thuộc  d ' , bằng cách cho  y    3x  z  x    M  0; 0; 2   d '   Ta có hệ    8 x  11z  22  y  2    d '  đi qua điểm  M  0; 0; 2  và có vectơ chỉ phương  ad  nP ; nQ    62; 25; 61      x  62t  Vậy phương trình tham số của  d '  là   y  25t  z  2  61t    Câu 48 Chọn D Mặt cầu   S   có tâm  I  0; 2;1 , bán kính  R   Do  IA  17  R  nên  AB  luôn cắt   S   Do   đó  ( )  ln cắt   S   theo đường tròn   C   có bán kính  r  R  d I ,      Đề bán kính   r nhỏ nhất   d I ,  P   lớn nhất.  Mặt phẳng     đi qua hai điểm  A ,  B  và vng góc với mp  ABC      Ta có  AB  (1; 1; 1) , AC  ( 2; 3; 2)  suy ra   ABC   có véctơ pháp tuyến     n   AB, AC   ( 1; 4; 5)        (α) có véctơ pháp tuyến  n  n, AB  ( 9  6; 3)  3(3; 2;1)     Phương trình    : 3  x –    y – 1   z –   0    3 x  y  z – 11  Câu 49 Chọn A Mặt cầu   S   có tâm  I  2; 3;  , bán kính  R  10  Do  d(I,( ))  R  nên    luôn cắt   S   tại  A ,  B    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 268 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna   Khi đó  AB  R   d(I, )   Do đó,  AB lớn nhất thì  d I ,     nhỏ nhất nên    qua  H ,  với  H  là hình chiếu vng góc của I lên      x   t  Phương trình  BH : y   2t   z   t  H  ( )    2t    – 2t    t  15   t  2  H  2; 7;     x3 y3 z 3   Do vậy AH  (1; 4; 6)  là véc tơ chỉ phương của    Phương trình của    Câu 50 Chọn A Mặt cầu  (S)  có tâm  I (3; 2; 1)   Khoảng cách từ  I  đến mặt phẳng  ( P)  :  d( I ;( P ))   R  nên  ( P )  cắt  (S)   Khoảng cách từ  M  thuộc  (S)  đến  ( P)  lớn nhất     M  ( d)  đi qua  I  và vng góc với  ( P)    x   2t  Phương trình  (d) :  y  2  2t   z   t  Ta có :  M  ( d)  M (3  2t ; 2  2t ;1  t )    10  29 26   M1  ;  ;   t  3 3  Mà :  M  (S)      10  11 14 13  t    M   ; ;   3 3   11 14 13  Thử lại ta thấy :  d( M1 ,( P ))  d( M ,( P ))  nên  M   ; ;   thỏa yêu cầu bài toán   3  Câu 51 Chọn D    b Ta có  AB  DC  C  a; a;   C '  a; a; b   M  a; a;    2  Cách    b   Ta có  MB   0;  a;   ;  BD   a; a;   và  A ' B   a; 0; b    2        ab ab  Ta có  u   MB; BD    ; ; a   và   BD; A ' B  a2 ; a2 ; a2        2   Chọn  v   1;1;1  là VTPT của   A ' BD       A ' BD    MBD   u.v   ab2  ab2  a 0ab  a  1  b Cách 2.   A ' B  A ' D  A ' X  BD AB  AD  BC  CD  a     với  X  là trung điểm  BD    MB  MD  MX  BD  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 269 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna    A ' BD  ;  MBD    A ' X ; MX       a a  X  ; ;   là trung điểm  BD   2    a a    a a b  A ' X   ; ; b  ;  MX    ;  ;     2   2 2  A ' BD    MBD   A ' X  MX   2   a  a   a  b2  A ' X.MX               b 2 2 Câu 52 Chọn C Ta có:  d( M ,( P ))   R   ( P )  (S)      x  1 t  Đường thẳng d đi qua I và vng góc với (P) có pt:   y   2t , t      z   2t  5 7 1 1 Tọa độ giao điểm của d và (S) là:  A  ; ;  ,  B  ;  ;     3 3 3 3 Ta có:  d( A ,( P ))   d( B ,( P ))     d( A ,( P ))  d( M ,( P ))  d( B ,( P ))   Vậy:   d( M ,( P ))min   M  B   Câu 53 Chọn A.   P   là mặt phẳng đi qua điểm  A  và song  song với đường thẳng  d  nên   P   chứa đường  d H thẳng  d đi qua điểm  A  và song song với  đường thẳng  d   K Gọi  H  là hình chiếu của  A  trên  d ,  K  là hình  A chiếu của  H  trên   P      d' P  Ta có  d d ,  P   HK   AH  ( AH   không đổi)    GTLN của  d(d , ( P))  là  AH        d d ,  P   lớn nhất khi  AH  vng góc với   P    Khi đó, nếu gọi   Q   là mặt phẳng chứa  A  và  d  thì   P   vng góc với   Q        nP  ud , nQ    98;14;  70       97   P  :7 x  y  z  77   d M ,  P   15 Câu 54 Chọn A   https://toanhocplus.blogspot.com  Trang 270 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi  H  là hình chiếu của  A  trên  d ;  K  là  A hình chiếu của  A  trên   P       Ta có  d A ,  P   AK   AH  (Không đổi)    GTLN của  d(d , ( P))  là  AH     K  ⟹  d A ,  P   lớn nhất khi  K   H   Ta có  H  3;1;  ,   P   qua  H  và   AH   d H P   P  : x  y  z        Vậy  d M ,  P   11 18    18 Câu 55 Chọn D  Gọi    là đường thẳng cần tìm,  nP  là VTPT của mặt phẳng   P    Gọi  M   t ; t ;  2t   là giao điểm của    và  d ;  M    t ;1  t ;1  2t    là giao điểm của     và  d '    Ta có:  MM '   t   t;1  t   t;   2t   2t       M  P  MM  //    P       t     MM    t; 1  t;3  2t      MM   nP   6t  t    Ta có  cos30O  cos MM , u d     2 36t 108t  156 t  1   x   x  t   Vậy, có 2 đường thẳng thoả mãn là  1 :  y   t ;  :  y  1     z  10  t  z  t   Khi đó,  cos  1 ,       Câu 56 Chọn C Gọi  I  là trung điểm đoạn  BC ; các điểm  B , C , I   lần lượt là hình chiếu của  B , C , I  trên   P     B I Ta có tứ giác  BCC B  là hình thang và  II  là  C đường trung bình.    d  B,  P    d  C ,  P    BB  CC   II    Mà  II   IA  (với  IA không đổi)  Do vậy,  d  B,  P    d  C ,  P    lớn nhất khi  I   A     B' P I' C' A   P   đi qua  A  và vng góc   IA  với  I  2; 0; 1     P  :  x  z    E 1;3;1   P   https://toanhocplus.blogspot.com   Trang 271 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Câu 57 Chọn A x y z Ta có phương trình mp( ABC )  là        b c 1  ABC    P      b  c (1)    b c 1 1 Ta có  d  O,  ABC         8(2)    1 b c 1  b c Từ (1) và (2)   b  c   b  c    Câu 58 Chọn D 2 Gọi  M  x; y; z   Ta có  T  x  y  z  8x  y  z  31    2  2  2    145  T   x     y    z        3  3      T  MI  145 2 1  với  I  ; ;      3 2  T  nhỏ nhất khi  MI  nhỏ nhất   M là hình chiếu vng góc của  I  trên   P    13   M   ; ;  18 18      Câu 59 Chọn C    Ta có:  AB   1;1;1 ;   AC   1; 3; 1 ;   AD   2; 3;         Suy ra:   AB, AC    4; 0; 4    AB, AC  AD  24          4 điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng.  Khi đó, mặt phẳng cách đều cả 4 điểm A, B, C, D sẽ có hai loại:  Loại 1: Có 1 điểm nằm khác phía với 3 điểm còn lại (đi qua các trung điểm của 3 cạnh  chung đỉnh)    có 4 mặt phẳng như thế).  A A A A D B B C D B C D B C D C     Loại 2: Có 2 điểm nằm khác phía với 2 điểm còn lại (đi qua các trung điểm của 4 cạnh  thuộc hai cặp cạnh chéo nhau)    có 3 mặt phẳng như thế).   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 272 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna A A A D B D B C C D B C   Vậy có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn u cầu bài tốn.    Chọn đáp án C   Câu 60 Chọn B B   Do    cắt  d  nên tồn tại giao điểm giữa chúng. Gọi  B    d     Bd x  t   Phương trình tham số của  d :   y  t , t    Do  B  d , suy ra  B  t  1; t ; t  1 z  t     AB   t ; t ; 2t      Do  A , B   nên  AB là vectơ chỉ phương của        Theo đề bài,   vng góc  d nên  AB  u  ( u  (1;1; 2) là vector chỉ phương của  d ). Suy ra     x 1 y z  AB.u   Giải được  t   AB   1;1; 1  Vậy   :   1 1 Câu 61 Chọn A   M   Oxz   M  x;0;z  ;  AB   7;3;1  AB  59 AM   x  2;  3;z  1  và   Ta có:  ;     AM  k AB A , B , M  thẳng hàng  Ta có:  x   k  x  9   k     3  3k  1  k  M  9;0;0    z   k z     Và  BM   14; 6; 2   BM  118  AB     Câu 62 Chọn B  Ta có:  d1  đi qua điểm  A  2; 0;   và có VTCP  u1   1;1;1    và  d2  đi qua điểm  B  0;1;   và có VTCP  u2   2; 1; 1 Vì   P   song songvới hai đường     thẳng  d1  và  d2  nên VTPT của   P   là  n  u1 , u2    0;1; 1   Khi đó   P   có dạng  y  z  D    loại đáp án A và C.     Lại  có   P    cách  đều  d1   và  d2   nên   P    đi  qua  trung  điểm  M  0; ;1    của  AB   Do  đó     P  : 2y  2z     Câu 63 Chọn A  https://toanhocplus.blogspot.com Trang 273 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Gọi  H  là hình chiếu của  M  trên  ( P )    MHO  vuông tại  H    MH  MO      MH max    MO  . Khi đó  ( P )  đi qua  M  và vng góc với  MO    MO(1; 2; 1)  là vecto  pháp tuyến của  ( P )   phương trình của mặt phẳng  ( P )  là  1( x  0)  2( y  0)  1( z  0)     hay  x  y  z     Câu 64 Chọn A Vì  D   Oyz   D  0; b; c  , do cao độ âm nên  c     Khoảng cách từ  D  0; b; c   đến mặt phẳng   Oxy  : z   bằng 1   c   c  1  c         Suy ra tọa độ  D  0; b; 1  Ta có:  AB  1; 1; 2  , AC   4; 2;  ; AD   2; b;1         AB; AC    2;6; 2    AB; AC  AD  4  6b   6b    b  1            VABCD   AB; AC  AD  b      6  D  0;3; 1 b   Mà  VABCD   b      Chọn đáp án  D  0;3; 1   b  1  D  0; 1; 1 Câu 65 Chọn D Do tứ diện  OABC  có ba cạnh  OA, OB, OC  đơi một vng góc nên nếu  H  là trực tâm  của tam giác  ABC dễ dàng chứng minh được  OH   ABC   hay  OH   P     Vậy mặt phẳng   P   đi qua điểm  H 1; 2;3  và có VTPT  OH 1; 2;3  nên phương trình   P     x  1   y  2   z  3   x  y  3z  14     Câu 66 Chọn A Ta có tam giác  OAM  ln vng tại  O  Gọi  I  là trung điểm của  OA  (Điểm  I  cố định).  Ta có tam giác  ADO  vng tại  D  có  ID  là đường trung tuyến nên  ID  OA  1   Ta  có  IE   là  đường  trung  bình  của  tam  giác  OAM   nên  IE   song  song  với  AM   mà  OD  AM  OD  IE  Mặt khác tam giác  EOD  cân tại  E  Từ đó suy ra   IE  là đường trung  trực của  OD      ODE  ; IOD   IDO   IDE   IOE   90  ID  DE      Nên  DOE Vậy  DE  ln tiếp xúc với mặt cầu tâm  I  bán kính  R  OA     Câu 67 Chọn A Ta có tam giác  OAM  ln vng tại  O   A Gọi  I  là trung điểm của  OA  (Điểm  I  cố định)  Ta có tam giác  ADO  vng tại  D  có  ID  là   đường trung tuyến nên  ID  OA   1   Ta có  IE  là đường trung bình của tam giác  OAM   I D nên  IE  song song với  AM  mà  OD  AM  OD  IE    Mặt khác tam giác  EOD  cân tại  E  Từ đó suy ra    https://toanhocplus.blogspot.com O M E Trang 274 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna IE  là đường trung trực của  OD      ODE  ; IOD   IDO   IDE   IOE   90  ID  DE    Nên  DOE   Vậy  DE  luôn tiếp xúc với mặt cầu tâm  I  bán kính  R  OA     Câu 68 Chọn D Mặt phẳng  ( P)  qua  A có dạng  a( x  0)  b( y  8)  c( z  2)   ax  by  cz  8b  2c    Điều kiện tiếp xúc:  d( I ;( P))   Mà  d( B;( P))    5a  3b  c  8b  2c a2  b2  c a  b  23c  8b  2c a  b2  c 5a  11b  5c  4( a  b  4c ) a  b2  c 5a  11b  5c a  b2  c 4  6  5a  11b  5c a2  b2  c a  15b  21c a  b2  c   (*)       a  b  4c a  b2  c 6 4 12  ( 1)2  a2  b2  c a2  b  c  18   a b c   Chọn  a  1; b  1; c   thỏa mãn (*).  Dấu bằng xảy ra khi   1 Khi đó  ( P) : x  y  z   Suy ra  m  1; n   Suy ra:  m.n  4    Câu 69 Chọn D  Đường thẳng  d  có VTCP là  u1   3;1;     Đường thẳng    đi qua điểm  M  3; 0; 1  và có VTCP là  u   1; 2;     Do     P   nên  M   P   Giả sử VTPT của   P   là  n   A; B; C  , A  B2  C      Phương trình   P   có dạng  A  x    By  C  z  1     Do     P   nên  u.n   A  B  3C   A  2 B  3C   Gọi    là góc giữa  d  và   P   Ta có    u1 n  2 B  3C   B  2C A  B  2C   sin      2 u1 n 14 A  B2  C 14  2 B  3C   B  C  B  7C 14 B2 12 BC  10C  TH1: Với  C   thì  sin   B  7C  14 B2  12 BC  10C   70    14 14 B TH2: Với  C   đặt  t   ta có  sin  C 14  https://toanhocplus.blogspot.com  5t   5t  12t  10   Trang 275 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Xét hàm số  f  t   Ta có  f   t   https://facebook.com/duytuan.qna  5t   5t  12t  10 50t  10t  112  5t  12t  10   trên          75 t   f      14 f   t    50t  10t  112        7 t    f      5  Và  lim f  t   lim x x  5t   5t  12t  10    Bảng biến thiên    0   Từ đó ta có  Maxf  t   75 B 8 75  khi  t     Khi đó  sin    f  14 C 14 14 5 So sánh TH1 và Th2 ta có  sin  lớn nhất là  sin  75 B  khi     14 C Chọn  B  8  C  5  A  31   Phương trình   P   là  31  x    y   z  1   31x  y  z  98    Câu 70 Chọn C 2 Mặt cầu   S  :  x  1   y     z     có tâm  I  1; 2;   và bán kính  R  Gọi  d  là đường thẳng đi qua  I  1; 2;   và vng góc   P      x   2t  Suy ra phương trình tham số của đường thẳng  d  là   y   2t   z   t  Gọi  A , B  lần lượt là giao của  d  và   S  , khi đó tọa độ  A , B  ứng với  t  là nghiệm của  t  2 phương trình    2t  1    2t      t        t  1 13 Với  t   A  3; 0;   d  A;( P)     Với   t  1  B  1; 4;   d  B;( P)      https://toanhocplus.blogspot.com Trang 276 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna Với mọi điểm  M  a; b; c   trên   S   ta ln có  d  B; ( P )   d  M ; ( P )   d  A;( P )    Vậy khoảng cách từ  M đến   P   là lớn nhất bằng  13  khi  M  3; 0;    Do đó  a  b  c    Câu 71 Chọn A    Đường thẳng  d  đi qua điểm  C  1; 0; 3   và có vectơ chỉ phương  u   1; 2; 1    Mặt cầu   S   có tâm  I  1; 2; 1 , bán kính  R     Gọi  H  là hình chiếu vng góc của  I  lên đường  thẳng  d       IC , u    Khi đó:  IH  , với  IC   0; 2; 2  ;   u x  y  3z     Vậy  IH  62  22  22 1 1 Suy ra  HB  18  Vậy,  SIAB   66   22     3 1 66 8 11 IH  AB        2 3 Câu 72 Chọn A Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho các đỉnh của hình lập  D' A' phương có tọa độ như sau:  A  0; 0;  B  2; 0;  C  2; 2;  D  0; 2;  A  0; 0;  B  2; 0;  C   2; 2;  D  0; 2;       AB   2; 0;  , AD   0; 2;  ,      BD   2; 2;  , BC    0; 2;    C' B' A D B C * Mặt phẳng   ABD   qua  A  0; 0;   và nhận véctơ     n   AB, AD   1; 1;1  làm véctơ pháp tuyến. Phương trình   ABD   là :   4 x  y  z        * Mặt phẳng   BC D   qua  B  2; 0;   và nhận véctơ  m   BD , BC   1;1; 1  làm véctơ   4 pháp tuyến.   Phương trình   BC D   là :  x  y  z      https://toanhocplus.blogspot.com Trang 277 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna  Suy ra hai mặt phẳng   ABD   và   BC D   song song với nhau nên khoảng cách giữa hai  mặt phẳng chính là khoảng cách từ điểm  A  đến mặt phẳng   BC D  :    d A,  BCD         Cách khác: Thấy khoảng cách cần tìm  d  ABD  ,  BC D   1 AC     3 Câu 73 Chọn A Vì  D   Oyz   D  0; b; c  , do cao độ âm nên  c     Khoảng cách từ  D  0; b; c   đến mặt phẳng   Oxy  : z   bằng 1   c   c  1  c      Suy ra tọa độ  D  0; b; 1  Ta có:     AB   1; 1; 2  , AC   4; 2;  ; AD   2; b;1       AB, AC    2; 6; 2           AB, AC  AD  4  6b   6b    b  1         VABCD   AB, AC  AD  b      6  D  0; 3; 1 b   Mà  VABCD   b      Chọn đáp án  D  0; 3; 1   b  1  D  0; 1; 1 Câu 74 Chọn D.  Gọi  I  a; b; c  , r lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu . Do mặt cầu tiếp xúc với   P  nên  ta có     r  d I,P      m  1  2ma  m2  b  m2  c  10    b  c  m  2ma  b  c  10  r m  2  b  c m  2ma  b  c  10 m    1      b  c  r m2  ma  b  c  r  10  2   b  c  r m  ma  b  c  r  10  1  2     TH1: b  c  r m2  2ma  b  c  r  10  1 Do m thay đổi vẫn có mặt cầu cố định tiếp xúc với   P   nên u cầu bài tốn trờ thành  tìm điều kiện  a , b , c  sao cho   1 khơng phụ thuộc vào  m  Do đó   1 luôn đúng với mọi  b  c  r    a     b  c  r  10   https://toanhocplus.blogspot.com Trang 278 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna b  r     a   Suy ra  I 0;  r 2; 5   S  : x  y   r  c  5     Lại có  A   S   nên suy ra :   11   r    2    z  5  r    r  2  r  r  12 2r  40    r  10  TH2: b  c  r m2  2ma  b  c  r  10  làm tương tự TH1 (trường hợp này không  thỏa đề bài )  Tóm lại : Khi   m  thay đổi, tồn tại hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng   P   và  cùng đi qua  A  và có tổng bán kính là : 12  suy ra chọn D Câu 75 Chọn B Ta có  phương trình mặt phẳng qua A,B,C là :  ABC  : x y z     x  y  z      Dễ thấy  D   ABC   .Gọi  A ', B ', C '  lần lượt là hình chiếu vng góc của  A , B , C trên  d    Suy ra  d  A , d   d  B , d   d  C , d   AA ' BB ' CC '  AD  BD  CD Dấu bằng xảy ra khi  A '  B '  C '  D  Hay tổng khoảng cách từ các điểm  A , B, C  đến  d  lớn nhất khi d là   x   2t  đường thẳng qua D và vng góc với mặt phẳng   ABC   d :  y   3t ; N  d   suy ra  z   t  chọn B Câu 76 Chọn A Gọi  S  a; b; c    P   a  b  c    1     a  5  b  5 Ta có :  AS  BS  2  a  1   b     c    c2 , , CS  2  a     b     c  1   2 2 2    a  1   b     c     a     b     c  1 Do SA  SB  SC     a  2   b  2  c   a  2   b     c  12      4 a  6b  8c  21   4 a  2c  15   a  4 a  6b  8c  21   23  13    Ta có hệ :  4 a  2c  15   b    S   6;  ;    .  2 2  a  b  c      c     Lại có :  AB  4; 3;  , AC  2; 0; 1    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 279 Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna        23  145  AB  AC   3; 10; 6  ; AS   1;  ;    AB  AC AS  145  VS ABC    2    Câu 77 Chọn D Cách : Dựng CG vng góc với   ABC  , Qua E dựng mặt phẳng vng góc với  SB , mặt  phẳng này cắt CG tại F . Suy ra F là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD .Đặt  SF  R   Xét hình chữ nhật :  FGSH  FC  SH  FG  SH  R2  CH  1 Lại có :  FC  R  CB2   Từ (1) và (2) suy ra  SH  R2  CH  R2  CB2  R  12  R2  36   R2  12   R  37  cm  Suy ra chọn D  Cách : Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ .         Ta có :  C  0; 0;  , A 3 3; 3; , B 3 3; 3; , S 2 3; 0;   F  CG  F  0; 0; t   FA  FS  36  t  12   t    t   SC  37  cm  suy ra chọn D    https://toanhocplus.blogspot.com Trang 280 ... soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna “Nơi có ý chí, nơi có đường.” Tài liệu gồm 280 trang bao gồm chủ đề sau: Chủ đề Hệ trục tọa độ không gian Chủ đề Phương trình mặt cầu Chủ đề. .. 26.03.2018 Bùi Trần Duy Tuấn  https://toanhocplus.blogspot.com Lời nói đầu Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn https://facebook.com/duytuan.qna MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN... https://facebook.com/duytuan.qna HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN  A KIẾN THỨC CẦN NẮM I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Trong khơng gian,  xét ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz  vng góc với nhau từng đơi một và chung