Một số mở rộng của bất đẳng thức bellman và ứng dụng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN KHẢI HOÀN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BAT ĐANG THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGUYỄN KHẢI HỒN BÌNH ĐINH - NĂM 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BAT ĐANG THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương Pháp Toán sơ CẤP Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC TS LÊ QUANG THUẬN Người hướng dẪn: BÌNH ĐINH - NĂM 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình Bình Định, ngày tháng năm 2020 Tác giả Nguyễn Khải Hoàn LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Quang Thuận người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Phòng sau Đại học Đại học Quy Nhơn dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị lớp Cao học Toán K21 giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Trong trình học tập nghiên cứu viết luận văn, chắn tránh khỏi thiếu sót, mong nhận thơng cảm ý kiến đóng góp Thầy Xin trân trọng cảm ơn Muc luc Mở đầu Bất đẳng thức vấn đề khó, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người giảng dạy tốn từ bậc phổ thơng đến đại học nhà nghiên cứu toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rộng sâu Các bất đẳng thức công cụ quan để phát triển nhiều lĩnh vực tốn học khác tốn phổ thơng, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi Olympic để đánh giá tư học sinh Trong bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức Bellman phát biểu với số thực dương a , bi (i = 1, 2, , n) p > cho O Ĩ i b- E i=2 bi’ > E i=2 ap > 0, ta có dấu đẳng thức xảy a = //b; với p số Bất i đẳng thức nhà Toán học người Mỹ Richard Ernest Bellman (1920 1984) phát biểu chứng minh năm 1956 Bất đẳng thức Bellman ứng dụng nhiều lĩnh vực Tốn học, đặc biệt lý thuyết hình học phiEuclidean Tuy nhiên, bất đẳng thức Bellman chưa ứng dụng phổ biến vào tốn Trung học phổ thơng tài liệu tiếng Việt hạn chế Trong thập niên gần đây, bất đẳng thức Bellman tổng quát hóa, làm mịn ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Tìm hiểu kết bổ ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Toán học sơ cấp bậc Trung học phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu bất đẳng thức Bellman số dạng mở rộng, làm mịn nó, học viên chọn đề tài "Một số mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng" để nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên giáo viên trình học tập giảng dạy Trong năm gần đây, bất đẳng thức Bellman (1) nhà toán học phát triển theo nhiều hướng: • Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman với m số mở rộng số mũ • Trong tài liệu khác, Shanhe Wu Debnath ([8]) mở rộng bất đẳng thức Bellman dựa kết bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức Aczél • Ch-J Zhao and W-S Cheung ([1]) mở rộng bất đẳng thức Bellman cách bổ sung thêm số X , Y i i • Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman cho dạng tích phân • X.Zhou ([10]) tổng quát bất đẳng thức Bellman dạng hàm • Ti-an ([4]) mở rộng bất đẳng thức Bellman trường hợp < p < Bằng phương pháp sưu tầm, đọc tài liệu bất đẳng thức Bellman bất đẳng thức liên quan, luận văn này, chúng tơi trình bày cách hệ thống sở lý thuyết bất đẳng thức Bellman trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman Nội dung hình thành chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [3],[4], [7], [8], [9], [10] Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành bốn chương với nội dung sau: Chương trình bày kiến thức chuẩn bị bất đẳng thức, gồm bất đẳng thức Holder, Minkowski, Aczél bất đẳng thức liên quan Chương trình bày bất đẳng thức Bellman, làm mịn bất đẳng thức Bellman Chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman Chương trình bày bất đẳng thức Bellman đảo dạng làm mịn, mở rộng Bình Định, ngày tháng năm 2020 Học viên thực đề tài Nguyễn Khải Hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn, xin trình bày mở đầu số bất đẳng thức tiếng bất đẳng thức Holder, bất đẳng thức Minkowski bất đẳng thức Aczél Đây kiến thức tảng để chứng minh, làm rõ bất đẳng thức Bellman mở rộng bất đẳng thức Bellman Nội dung chương chủ yếu hình thành từ tài liệu [2],[5], [6], [8] 1.1Bất đẳng thức Holder Định lý 1.1 ([2]) Cho > 0, bi 0, i = 1,2, , n + = với p > Khi Đẳng thức xảy aaPị = Pb với i = 1, 2, , n, a p số thực thỏa mãn a + > Chứng minh Nếu £n=1 ap = £n=i bq = (1.1) xảy đẳng thức Giả sử £n=i ap > £n=i b > Với i E {1, 2, , n}, xét số không âm bi a = -: -1, * = -:— ( ( Ế "í Ế *0 (1.2) Vì p + q = 1,p > a > 0, * > nên theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng ta có n aibi i=1 a +1b pq Đẳng thức xảy a = b p q p > ab (1.3) q Thay (1.2) vào (1.3) ta 0? p Ếa 1* q i=1 a b ii Ế * $ < (Ế *0 (1.4) q i=1 Vì (1.4) với i = 1, , n với nên cộng theo vế bất đẳng thức lại ta \ n\p/n 11 —+pq (Ế < (Ế*q) Vì p + = nên từ (1.5) suy điều phải chứng minh Đẳng thức (1.5) xảy n bất đẳng thức (1.4) trở thành đẳng thức Theo (1.3), có điều «p aị + a2 + -+ a với i = 1,2, , n Tức bp p ap a pp a a = *2 n bn, *1 + *b2n + -+ *n (1.5) 10 Chứng minh hoàn thành Đặc biệt, với fj(x) = x, Vj = 1,2, , m ta có hệ sau: Hệ 3.21 ([10]) Cho m,n số nguyên dương, p 1, Xij (i = 1,2, ,n, j = 1, 2, , m) số dương cho Xij — 52™=2 Xj > với j = 1, 2, , m Khi ta có mn ÉI j=1 x É — ij i=2 Tiếp theo, sử dụng tách tổng (3.41) ta làm mịn bất đẳng thức (3.38) sau Định lý 3.22 ([10]) Cho m,n,l số nguyên dương < l < n, p > 1, Xij (i = 1,2, ,n,j = 1,2, ,m) số dương cho x1j 2, , m Nếu fj : R R hàm số thỏa mãn fj (x)/x hàm tăng R + — n i == Xij > với j = 1, + + mn É j ®!jj=1 É — x ij i=2 ij m l — j=1 m j=1 — (f (x ))p ( ( )) 52 fj xij p É j ij \\ n É jl p — n É _ p (f x))p j i=2 i=l+1 l w pn (fj (xij )) - x ij i=2 p i=l+1 Sử dụng lại bất đẳng thức thứ (3.38), < Y, (fj (x1j ))p ~Ys (fj (xij))p ~Ys (fj (xij )) j=1 m = (f (x j=1 j 1j ))p - ^2 (fj x H ln i=l+1 i=2 n p p i=2 Bất đẳng thức thứ thứ hai (3.42) chứng minh xong Tiếp tục trình, ta có m (f (x ))p - j 1j (x )) ij j=1 52 (fj p i=2 l m = (f (x ))p - j 1j 52 (fj (xij))p -12 (fj (xij)) i=2 (, m i=l+1 X \ l \p\ z p n/m j=1 theo bất đẳng thức thứ hai (3.38) Sử dụng bất đẳng thức thứ hai mp l f (x É j ij )j m É f (x j ij )j p m p f (x \ É(É n i=2 ) j j j=1 m n )-É /l ) ) P fj (Xij (3.38) lần Chứng minh hoàn thành i = l +1 i=l+1 \ j=1 _1 m É p-| p f (x ) j j / Chọn fj (x) = X Định lí 3.22 ta có hệ sau: Hệ 3.23 ([10]) Cho m,n,l số nguyên dương < l < n, p > 1, Xij (i = 1,2, ,n,j = 1,2, ,m) số dương cho x 1j - n i = _2 Xj > với j = 1, 2, , m Khi ta có mn m x- É( É j=1 ij < É j=1 i=2 m 0,ap -5X2aP > 0,i = 1,2, ,n, j = 1-1 p (4.1) , , , m < p < Khi Chứng minh m Áp dụngnbất đẳng thức Minkowski < p < ta p è i=2 j=1 j=1 j=1 i=2 - i=2 Như vậy, ta có 5 (4.4) Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức Minkowski tổng quát với 1/p > 1, ta có (4.5) Kết hợp (4.4) (4.5), ta hay Chứng minh hoàn thành Với m = ta kết sau Đẳng thức xảy ữi = ụbi (i = 1, 2, , n), p số (4.6 ) p / p n 1-1 \p m k 4.2 Làm mịn bất đẳng thức Bellman đảo / ỂI m èi aPj - E 0,a j XXa > 0,i = 1,2, nm j p > p p p ,n, j = (4.7) p a EE , , , m, < p < Khi - a i = k +1 m ij j=1 / p n m p E -E(E a ij j i=2 Chứng minh Xét vế trái (4.7) ta có j=1 nx \ 1p m m Ea j - p = aPj E a - E od A - £ - j=1 i=2 j=1 kn E m =E i=2 Pj i = k +1 n p j=1 (4.8) i=k+1 Aj = a 1j p E j = 1,2, ,m j (4.9) i=2 Từ giả thiết ta suy n Ap >E i=k+1 p (4.10) a ij Áp dụng bất đẳng thức (4.1) ta A -E a m/ j=1E p i=k+1 p n \ \p y? Aj ỵ? E nm i=k+1 j=1 aij j=1 (4.11 ) (4.11 ) 58 Mặt khác, sử dụng tiếp bất đẳng thức (4.1) ta m ap1j Aj= p k\p m j ^3 aij p i=2 =1 km — (4.12) j a j=1 i=2 j=1 Kết hợp (4.8), (4.11) (4.12) ta có điều phải chứng minh □ 4.3 Bất đẳng thức Bellman đảo dạng tích phân Trong phần này, ta chứng minh kết hợp bất đẳng Bellman đảo dạng tích phân làm mịn 4.4 ([4]) Cho Định lý Bj > (j = 1,2, ,m),

0, f, g dương, khả tích [a, b] cho — Jab fp(x)dx > bq — fOb gq(x)dx > Khi đó, với t G [a, b), ta có (ap — Ị“ f (x)d^p + — Ị“ gp(x)dx) p f (x)dx^ + ộ/p — Ị gp(x)dx^ > ộ/p — Ị p a — p — (f(x) + g(x)) dx p rb > (ai + bi) — í p (f (x) + g(x)) dx p a 1-1 p p 1-1 p p Kết luận Nội dung chủ yếu luận văn nhằm nghiên cứu bất đẳng thức Bellman Luận văn đạt số kết sau 1.Giới thiệu bất đẳng thức Bellman làm rõ bất đẳng thức Bellman Trình bày số dạng mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng chúng Bên cạnh kết đạt bạn được, luận văn tránh khỏi hồi quý hạn Thầy chế Cơvà vàthiếu sót đểRất luận mong vănnhận đượcđược hoàn thiện phản Tài liêu tham khảo [1] Ch-J Zhao and W-S Cheung, Generalizations of Popoviciu's and Bellman's Inequalities, Bulletin Brazilian Mathematical Society, 11 pages, 2019 [2] D.S Mitrinovíc, P.M Vasíc, Analytic Inequalities, Springer-Verlag, New York, 1970 [3] Farid, G.Pecaric, J.Ur Rehman, On refinements of Aczel's, Popovi- ciu, Bellman's inequalities and related results , J Inequal Appl 2010, 579567 (2010) [4] J-F Tian and S-Y Wang, Refinements of Generalized Aczél's inequality and Bellman's inequality and their applications, Journal of Applied Mathematics, 2013, pages, 2013 [5] P M Vasic and J E Pecaric, "On the Holder and some related inequalities", Mathematica, vol 25, no 1, pp 95-103, 1982 [6] P M Vasic and J E Pecaric, “On the Jensen inequality for monotone functions”, Analele Universitatii din Timis,oara, vol.17, no 1, pp 95- 104, 1979 [7] R.Bellman, On an inequality concerning an indefinite form, Amer, math, monthly 63, 108-109 (1956) 46 [8] S Wu, L Debnath, Generalizations of Aczel's inequality and Popoviciu's inequality, Indian J Pure Appl Math 36 (2) (2005) 49-62 [9] Wu, S: A unified generalization of Aczél, Popoviciu and Bellman's inequalities Taiwanese J Math 14(4):1635-1646 (2010) [10] X Zhou, Some generalizations of Aczél, Bellman's inequalities and related power sums, Journal of Inequalities and Applications, 2012:130, 2012 ... Chương trình bày bất đẳng thức Bellman, làm mịn bất đẳng thức Bellman Chương trình bày số mở rộng bất đẳng thức Bellman Chương trình bày bất đẳng thức Bellman đảo dạng làm mịn, mở rộng Bình Định,... có điều phải chứng minh ' ' p Chương Một số mở rộng bất đẳng thức Bellman ứng dụng Trong chương này, chúng tơi trình bày số dạng mở rộng bất đẳng thức Bellman với dạng làm mịn mở rộng Nội dung... bất đẳng thức Bellman dựa kết bất đẳng thức Chebyshev bất đẳng thức Aczél • Ch-J Zhao and W-S Cheung ([1]) mở rộng bất đẳng thức Bellman cách bổ sung thêm số X , Y i i • Shanhe Wu ([9]) mở rộng