HUỲNH MINH HIỀN Trang 3 Lời cảm ơnTrước khi đi vào nội dung của đề án, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồnthể các giảng viên của Khoa Tốn nói chung vì đã tận tâm dạy bảo tôi
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY TRANG BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Bình Định - Năm 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ THÙY TRANG BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT: MỘT SỐ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG ĐỀ ÁN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 8 46 01 13 Người hướng dẫn : TS HUỲNH MINH HIỀN Bình Định - Năm 2023 i Lời cảm ơn Trước khi đi vào nội dung của đề án, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các giảng viên của Khoa Toán nói chung vì đã tận tâm dạy bảo tôi trong suốt quá trình tôi theo học tại trường và đặc biệt là sự định hướng và dẫn dắt của TS Huỳnh Minh Hiền đối với đề án này Trong quá trình viết báo cáo này mặc dù đã được chỉnh sửa nhiều lần nhưng không thể tránh khỏi việc thiếu sót và gây cho người đọc cảm giác khó hiểu Tôi xin chân thành cảm ơn nếu nhận được sự góp ý từ các quý thầy cô, anh chị và bạn bè để tôi có thể chỉnh sửa báo cáo được tốt hơn Bình Định, ngày tháng 10 năm 2023 Tác giả Nguyễn Thị Thùy Trang ii Mục lục Lời cảm ơn i Một số ký hiệu iv Lời mở đầu v 1 Bất đẳng thức Nesbitt 1 1.1 Bất đẳng thức Nesbitt 1 1.2 Chứng minh Bất đẳng thức Nesbitt 4 1.2.1 Chứng minh trực tiếp 4 1.2.2 Áp dụng các bất đẳng thức sơ cấp 5 1.3 Bất đẳng thức Nesbitt dạng ngược 8 2 Một số mở rộng của Bất đẳng thức Nesbitt 10 2.1 Mở rộng Bất đẳng thức Nesbitt theo số biến 10 2.2 Mở rộng Bất đẳng thức Nesbitt theo tham số 18 2.3 Mở rộng Bất đẳng thức Nesbitt theo số mũ 21 2.4 Mở rộng Bất đẳng thức Nesbitt với hàm lồi 29 iii 3 ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT 36 3.1 Chứng minh bất đẳng thức đại số 36 Bất đẳng thức đại số 36 3.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học 50 Bất đẳng thức hình học 50 KẾT LUẬN 60 iv Một số ký hiệu N tập các số tự nhiên N∗ tập các số tự nhiên khác không I tập các số vô tỉ R tập các số thực R+ tập các số thực không âm tổng hoán vị cyc v LỜI MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một dạng toán hay và quan trọng trong toán học trong nhiều thế kỷ qua Vào năm 1903, nhà toán học người Anh là A.M Nesbitt công bố một bất đẳng thức với cấu trúc đơn giản và đối xứng đẹp trên tạp chí Education Times: a + b + c3 ≥ ∀a, b, c > 0 (0.1) b+c c+a a+b 2 Sau này người ta đặt tên cho bất đẳng thức này là Bất đẳng thức Nestbitt Sau gần nửa thế kỷ, vào năm 1954 nhà toán học người Mỹ là Shapiro đã đưa ra một bất đẳng thức có hình thức giống như Bất đẳng thức Nesbitt trở thành như sau n xi n ∀x1, x2, , xn > 0, n ∈ N (0.2) ≥, i=1 xi+1 + xi+2 2 Bất đẳng thức (0.2) với hình thức đơn giản nhưng để chứng minh được nó có đúng hay không với n tự nhiên tùy ý lại là một điều không đơn giản Bởi vậy, nó đã thu hút và thách thức rất nhiều các nhà toán học trên thế giới khiến họ tốn không ít thời gian, sức lực và trí tuệ đi tìm lời giải cho bài toán này Do đó, cho đến năm 1989 nhà toán học Troesch đã kết thúc công cuộc tìm kiếm lời giải bài toán bằng việc sử dụng toán học cao cấp cùng máy tính số hiện đại, chứng minh hoàn tất Định lý 0.2 đúng với mọi n chẵn n < 13 và n lẻ n < 24, còn với mọi giá trị khác của n thì Bất đẳng thức 0.2 sai” Ta có thể thấy rằng, Bất đẳng thức Nesbitt là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Shapiro khi n = 3 Đây là một bất đẳng thức đẹp, có nhiều ứng dụng trong giải toán và được nhiều người quan tâm chứng minh lại bằng nhiều phương vi pháp khác nhau, đồng thời mở rộng và làm chặt với nhiều phiên bản khác nhau Tuy nhiên, hiện nay chưa có một tài liệu chuyên sâu nào về vấn đề này Nội dung của đề án là tổng hợp các chứng minh của Bất đẳng thức Nesbitt, sưu tầm các mở rộng, các ứng dụng của nó, đồng thời tìm cách mở rộng thêm Bất đẳng thức Nesbitt cũng như tìm sáng tác một số bất đẳng thức mới, chứng minh bằng cách áp dụng một trong các dạng của Bất đẳng thức Nesbitt Đề án được chia làm ba chương chính như sau: Chương 1: Bất đẳng thức Nesbitt Trong chương này, đề án giới thiệu Bất đẳng thức Nesbitt và các chứng minh nó bằng nhiều cách khác nhau và trình bày một số bất đẳng thức sơ cấp để bổ trợ cho quá trình chứng minh các kết quả được nêu trong đề án Chương 2: Một số mở rộng của Bất đẳng thức Nesbitt Trong chương này, chúng tôi trình bày một số mở rộng của Bất đẳng thức Nesbitt theo các hướng: theo số biến, theo tham số và sử dụng hàm lồi Chương 3: Ứng dụng của Bất đẳng thức Nesbitt Chương này trình bày ứng dụng Bất đẳng thức Nesbitt và một số mở rộng của nó trong việc chứng minh một số bất đẳng thức đại số và bất đẳng thức hình học Tóm lại, qua đề án "Bất đẳng thức Nesbitt: một số mở rộng và ứng dụng" này, tôi mong muốn giúp người đọc có thêm nhiều kiến thức về các mở rộng cũng như ứng dụng của Bất đẳng thức Nesbitt Đồng thời, đề án này cũng không nằm ngoài mong muốn góp phần đưa ra các bài tập chứng minh bằng Bất đẳng thức Nesbitt cho các em học sinh làm tài liệu học tập Mặc dù đã cố gắng hoàn thành đề án nhưng do kiến thức còn hạn chế nên đề án không tránh khỏi thiếu sót và sai lầm, tôi rất mong sự góp ý của quý thầy cô để đề án được hoàn thiện 1 Chương 1 BẤT ĐẲNG THỨC NESBITT Trong chương này, đề án giới thiệu Bất đẳng thức Nesbitt và trình bày một số bất đẳng thức sơ cấp để bổ trợ cho quá trình chứng minh các định lý, hệ quả, bổ đề cùng với các ví dụ, cũng như chứng minh bất đẳng thức đó bằng nhiều cách khác nhau được nêu trong đề án 1.1 Bất đẳng thức Nesbitt Định lý 1.1 (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương Khi đó a + b + c3 ≥ b+c c+a a+b 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Đây là một bất đẳng thức đẹp có nhiều ứng dụng trong giải toán, được nhiều nhà giáo, nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm chứng minh lại bằng nhiều phương pháp khác nhau và được chia sẻ trên các diễn đàn toán học, tạp chí về bất đẳng thức toán học Mặt khác, từ Bất đẳng thức Nesbitt, nhiều mở rộng bất đẳng thức theo nhiều hướng khác nhau xuất hiện như: mở rộng theo số biến, mở rộng theo tham số, mở rộng theo số mũ, mở rộng bất đẳng thức với hàm lồi và một số mở rộng khác về bất đẳng thức này được trình bày ở Chương 2 trong đề án Đồng 2 thời, từ đó xuất hiện nhiều bài toán bất đẳng thức lạ, đẹp, ấn tượng là các bài toán ở Chương 3 trong đề án này Như vậy, Bất đẳng thức Nesbitt được ví như một vùng đất màu mỡ dành cho nhiều nhà toán học cũng như nhiều người đam mê bất đẳng thức thỏa mãn đam mê phát huy năng lực suy nghĩ logic, sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách có hệ thống của mình Tiếp theo, đề án trình bày một số bất đẳng thức sơ cấp khác để bổ trợ cho quá trình chứng minh các định lý, hệ quả, bổ đề cùng với các ví dụ, cũng như chứng minh bất đẳng thức đó bằng nhiều cách khác nhau Định lý 1.2 (Bất đẳng thức AM-GM) Cho a1, a2, an là các số thực không âm Khi đó n√n a1a2 · · · an ≤ a1 + a2 + + an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho hai bộ số thực tùy ý a1, a2, , an và b1, b2, , bn Khi đó n 2 n n aibi ≤ ai2 bi2 i=1 i=1 i=1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an b1 b2 bn Định lý 1.4 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel) Cho a1, a2, , an là các số thực bất kì và b1, b2, , bn là các số thực dương Khi đó n 2 n ai2 ai ≥ n i=1 i=1 bi bi i=1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = = an b1 b2 bn