Bất đẳng thức và các bài toán cực trị trong đại số tổ hợp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ LỢI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI THỊ LỢI BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - 2017 i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU ii iii Chương Nhị thức Newton số đẳng thức tổ hợp liên quan 1.1 Các tính chất nhị thức Newton 1.2 Các tính chất số tổ hợp 1.3 Một số đẳng thức tổ hợp 1.4 Đa thức Newton ứng dụng 12 1.5 1.4.1 Đa thức Newton 12 1.4.2 Biểu diễn đơn vị thành tổng phân số Ai Cập với mẫu số lẻ 16 Một số dạng toán thi Olympic liên quan 21 1.5.1 Tính chia hết biểu thức tổ hợp 21 1.5.2 Quan hệ đồng dư biểu thức tổ hợp 23 Chương Bất đẳng thức tính tốn tổ hợp 30 2.1 Các bất đẳng thức đại số 30 2.2 Một số tốn bất đẳng thức tính toán tổ hợp 36 2.2.1 Phép biến đổi tương đương, phương pháp làm trội, làm giảm 36 2.2.2 Sử dụng bất đẳng thức để chứng minh 39 Chương Các dạng toán cực trị liên quan đến tổ hợp dãy số 3.1 42 Bất đẳng thức dãy số 42 3.1.1 Dãy sinh hàm số 42 3.1.2 Ước lượng tích tổng số dãy số 44 3.1.3 Bất đẳng thức tập rời rạc 47 3.2 Một số toán cực trị liên quan đến tổ hợp dãy số 49 3.3 Một số toán cực trị liên quan qua đề thi Olympic 51 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 ii LỜI CẢM ƠN Luận văn thực trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hồn thành hướng dẫn nhiệt tình Giáo sư - Tiến sĩ khoa học Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin trân trọng bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy, người tận tình bảo, hướng dẫn, động viên khích lệ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu luận văn Qua luận văn này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin, giảng viên tham gia giảng dạy tạo điều kiện tốt để tác giả học tập nghiên cứu suốt thời gian qua Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình Trường THPT Yên Khánh A, nơi công tác, tạo điều kiện tốt để tơi hồn thành nhi� biểu thức n (−1)k Cnk 2n4 − 10n3 − 64n2 + 272n + 959 + k + 9k + 26k + 24 2(n + 3)(n + 4) f (n) = k=0 Nhận xét 3.5 Để giải toán này, trước hết ta phải sử dụng cơng thức tính số tổ hợp, tính chất số tổ hợp, cơng thức khai triển nhị thức Newton để rút gọn biểu thức f (n) Lời giải Đặt n S(n) = k=0 (−1)k Cnk k + 9k + 26k + 24 Ta có k + 9k + 26k + 24 = (k + 2)(k + 3)(k + 4), nên n S(n) = k=0 n = k=0 (−1)k n! k!.(n − k)!(k + 2)(k + 3)(k + 4) (−1)k (n + 4)! (k + 4)!.(n − k)! k+1 (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) Đặt n k+4 Cn+4 (k + 1)(−1)k T (n) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)S(n) = k=0 Ta có n n i (−1) Cni j (−1)j Cn−1 = 0, n = (x − 1) = ⇒ −n i=0 j=0 n n i (−1) i=0 Cni i (−1)i = i=1 n i.n! 0.n! + (−1)0 i!(n − i)! 0!n! n! = (−1) = (i − 1)!(n − i)! i=1 n i n i=1 Do n k+4 (−1)k Cn+4 (k + 1) T (n) = k=0 i=1 n i−1 (−1)i Cn−1 = −n =n i−1 (−1)i nCn−1 i−1 (−1)i−1 nCn−1 = i=1 54 n k+4 (−1)k+4 Cn+4 (k + 1) = k=0 n k+4 (−1)k+4 Cn+4 (k + 1) − (−3 + 2(n + 4) − Cn+4 ) = k=−4 n+4 j (−1)j Cn+4 (j − 3) − 2n + − − = j=0 n+4 n+4 j = (n + 4)(n + 3) (−1) j Cn+4 j j=0 −3 j (−1)j Cn+4 − (4n + 10 − n2 − 7n − 12) j=0 1 = + + (n2 + 3n + 2) = (n + 1)(n + 2) 2 Suy S(n) = T (n) (n + 1)(n + 2) = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) Vậy S(n) = 2(n + 3)(n + 4) Do 2n4 − 10n3 − 64n2 + 272n + 959 + 2(n + 3)(n + 4) 2(n + 3)(n + 4) 2n − 10n − 64n + 272n + 960 = 2(n + 3)(n + 4) 2(n + 3)(n + 4)(n2 − 12n + 40) = 2(n + 3)(n + 4) f (n) = = n2 − 12n + 40 Ta có n2 − 12n + 40 = (n − 6)2 + ≥ 4, ∀n ∈ N Dấu đẳng thức xảy n = Vậy f (n) đạt giá trị nhỏ n = Bài tốn 3.15 Trong thi có 11 thí sinh tham gia giải tốn Hai thí sinh giải chung với khơng q Tìm k lớn để có k thí sinh giải Lời giải Gọi Hi thí sinh thứ i tập toán {b1 , b2 , , b9 } Theo đề ta có |Hi ∩ Hj | ≤ 1, ∀i = j Đặt ni số thí sinh giải bi Ta đếm (bi , Hj , Hi ), bi ∈ Hj ∩ Hl |Hi ∩ Hj | Ta có số i