Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————o0o————— NGUYỄN DỖN MINH GIẢI BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————o0o————— NGUYỄN DỖN MINH GIẢI BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TỐN CÂN BẰNG Ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2019 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Các tài liệu luận văn trung thực Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Luận văn chưa công bố cơng trình Thái Ngun, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN DOÃN MINH XÁC NHẬN XÁC NHẬN CỦA KHOA CHUYÊN MÔN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Nhân dịp xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn hướng dẫn hiệu quả, tận tình bảo động viên tơi suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu khoa học Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ mặt q trình học tập hồn thành luận văn Bản luận văn chắn khơng tránh khỏi khiếm khuyết mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi thời gian học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN DOÃN MINH ii Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian Hilbert số tính chất 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.3 Bài toán cân 13 Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 27 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 28 2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc điểm bất động tách 29 2.3 Bài toán cân hai cấp 31 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii Lời mở đầu Lý chọn đề tài Từ năm 1950, Nikaido Isoda đưa khái niệm cân toán học, sau năm 1958 John Nash đưa khái niệm cân trị chơi khơng hợp tác, năm 1972 Ky Fan chứng minh tồn nghiệm bất đẳng thức, người ta gọi toán cân kiểu Ky Fan Từ năm 1994 Blum Oettli phát biểu toán cân cách ngắn gọn sau: Cho C tập hợp cân H , f : C × C → H , f (u, u) = Bài tốn tìm u∗ ∈ C cho f (u∗ , u) ≥ 0, ∀u ∈ C , toán gọi toán cân bằng, u∗ gọi điểm cân bằng, hàm f gọi song hàm Bài toán bao gồm toán khác lý thuyết tối ưu trường hợp đặc biệt Sau nhà tốn học phát biểu tốn cho trường hợp véctơ trường hợp liên quan đến ánh xạ đa trị Trong thực tế nhiều ta gặp trường hợp giải toán tập nghiệm toán khác, toán gọi tốn cấp hai Mục đích luận văn viết tổng quan tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán cân xây dựng số thuật toán để giải tài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Chính với mong muốn tìm hiểu nhiều vấn đề trên, với gợi ý giúp đỡ nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Xn Tấn, tơi chọn đề tài: "Giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân bằng" làm luận văn thạc sỹ Mục đích nghiên cứu Mục đích mà đề tài đặt nghiên cứu số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân (i) Đề tài nghiên cứu phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán BV I(F, G, C) với điểm sử dụng tính chất co ánh xạ Tλ = I − λF với λ > 0, F ánh xạ giá đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược, theo P.N Anh (ii) Kết hợp phương pháp đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động đưa thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân V IEP (F, f, C) với ánh xạ giá F đơn điệu mạnh liên tục Lipschitz, song hàm f giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích đặt trên, đề tài nghiên cứu nội dung sau phương pháp giải toán V IEP (F, f, C): (i) Nghiên cứu xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải toán cân giả thiết song hàm f giả co chặt, đồng thời chứng minh tính tựa khơng giãn tựa co ánh xạ nghiệm: S(u) = argmin λf (u, v) + v−u 2 : v ∈ C , ∀u ∈ C (ii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục Lipschitz hàm giá F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu kết liên quan tới toán bất đẳng thức biến phân, toán cân bằng, phương pháp giải toán trên, để điểm mạnh phương pháp giải tốn tìm nghiệm toán V IEP (F, f, C), đưa thuật toán tạo dãy lặp đơn giản với điều kiện song hàm f đơn điệu mạnh ánh xạ giá F đơn điệu, đồng thời chứng minh hội tụ mạnh dãy nghiệm toán V IEP (F, f, C) Dự kiến kết nghiên cứu Đề tài tổng quan kiến thức liên quan tới kết phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Đề tài chia thành chương Chương Viết kiến thức lý thuyết khơng gian Hilbert Các tính chất liên tục, lồi ánh xạ Một số định lý tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân toán cân Chương Viết số thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Chương Kiến thức chuẩn bị Khi phát biểu toán, người ta phải quan tâm toán đặt đâu Tức phải quan tâm tới khơng gian tốn Vậy trước hết ta phải nhắc lại số kiến thức liên quan tới không gian, sau tới số tính chất chúng Một khơng gian tuyến tính thực (phức) với hàm ·, · song tuyến tính thực (phức), đối xứng thỏa mãn điều kiện u, u ≥ 0, ∀u ∈ H, u, u = ⇔ u = 0, gọi không gian tiền Hilbert thực (phức) Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa chuẩn u ∈ H sau: u = u, u , ta dễ dàng chứng minh chuẩn H từ chuẩn ta định nghĩa khoảng cách hai điểm u, v sau: ρ(u, v) = u − v ; H, ρ trở thành không gian định chuẩn Nếu H đầy đủ với chuẩn khơng gian với tích vơ hướng gọi không gian Hilbert Ta dễ dàng nhận thấy không gian Hilbert H , cấu trúc tôpô cấu trúc đại số tương đương nhau, tức phép tính đại số liên tục với tơpơ sinh metric Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ không gian Hilbert Cho H1 , H2 , H3 không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển phân tử từ H1 vào H2 gọi ánh xạ (hay tốn tử), ta phân loại ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô cấu trúc đại số (i) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) với α, β ∈ R, u, v ∈ H1 T gọi ánh xạ tuyến tính; ngược lại T gọi ánh xạ phi tuyến; (ii) T gọi liên tục u → u T (u) → T (u); (iii) T có đồ thị đóng gọi ánh xạ đóng; (iv) T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A ⊂ H1 , T A compact) T gọi ánh xạ compact Tiếp theo ta nêu số tính chất ánh xạ (i) Cho T1 , T2 liên tục (đóng, compact) T1 + T2 liên tục (đóng, compact); (ii) Cho T liên tục (đóng, compact) α ∈ R αT liên tục (đóng, compact); (iii) Cho T1 : H1 → H2 , T2 : H2 → H3 ; T1 , T2 liên tục (đóng, compact) T1 T2 liên tục 1.1 Khơng gian Hilbert số tính chất Trong phần ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, số khái niệm thuộc khơng gian Hilbert tính trực giao, hình chiếu, tốn tử compact tốn tử bị chặn Định nghĩa 1.1 Cho H không gian tuyến tính thực Tích vơ hướng xác định H ánh xạ xác định sau: ·, · : H × H → R, (u, v) → u, v ; thỏa mãn điều kiện sau: (a) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H; (b) u + v, t = u, t + v, t , ∀u, v, t ∈ H; (c) λu, v = λ u, v , ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ H; (d) u, u ≥ 0, ∀u ∈ H, u, u = ⇔ u = Chương Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Giả sử C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H , song hàm f : C × C → R hàm giá F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu V IEP (F, f, C), tốn: Tìm u∗ ∈ Sol(f, C) F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ Sol(f, C), (2.1) Sol(f, C) tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu EP (f, C) tìm v ∗ ∈ C thỏa mãn f (v ∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C (2.2) Ta giả thiết song hàm f thỏa mãn điều kiện cân f (v, v) = 0, ∀v ∈ C với u ∈ C hàm f (u, v) hàm lồi, khả vi theo biến v C Ta gọi toán (2.1) toán cấp toán (2.2) toán cấp Bài toán (2.1) trường hợp riêng toán cân hai cấp bao hàm nhiều lớp tốn quan trọng khác như: bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán cực tiểu hai cấp, toán lồi hai cấp Dưới ta xét số trường hợp đặc biệt toán thuật toán, phương pháp giải toán trường hợp đặc biệt 27 2.1 Bài tốn bất đẳng thức biến phân hai cấp Phương pháp đạo hàm tăng cường, theo thuật ngữ G.M Korpele- vich, phương pháp hữu hiệu việc giải toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc có cấu trúc đơn giản Phương pháp G.M Korpelevich trình bày giải toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá đơn điệu liên tục Lipschitz Gần đây, P.N Anh nghiên cứu ứng dụng phương pháp đạo hàm tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp BV I(F, G, C) 2.1.1 Đặt toán Cho ánh xạ G : H → H gọi ánh xạ giá, đặt g(u, v) = G(u), v − u ∀u, v ∈ C Khi đó, tốn BEP (g, F, C) phát biểu: Tìm u∗ ∈ Sol(G, C) thỏa mãn F (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ S(G, C) Bài toán thường gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu BV I(F, G, C), hay toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, Ta ký hiệu tập nghiệm toán BV I(F, G, C) Ω 2.1.2 Thuật toán ([3]) Thuật toán để giải toán phát biểu sau: Cho k = 0, m0 ∈ H, < λ ≤ 2β , L21 dãy số dương {δk }, {λk }, {αk }, {βk }, {γk } { k } thỏa mãn   {αk } ⊂ [m, n] với m, n ∈ (0, 1), λk ≤ L12 , ∀k ≥ 0,    ∞  lim δk = 0, k < ∞, < lim inf k→∞ βk < lim supk→∞ βk < 1, k→∞ k=0  ∞     k + βk + γk = 1, ∀k ≥ 0, lim k = 0, k = ∞ k→∞ k=0 Bước Nếu uk ∈ Sol(BV I) dừng Ngược lại, tính v k = P rC (uk − λk G(uk )) tk = P rC (uk − λk G(v k )) 28 Bước Vòng lặp trong, j = 0, 1, Tính  k,0 k k k   u = t − λ F (t ), v k,j = P rC (uk,j − δj G(uk,j )),   uk,j+1 = uk,0 + β uk,j + γ P r (uk,j − δ G(v k , j)) j j j C j Tìm hk thỏa mãn hk − lim uk,j ≤ j→∞ k đặt uk+1 = αk uk + (1 − αk )hk Bước Tăng k thêm đến Bước 2.1.3 Định lý hội tụ Sự hội tụ thuật toán khẳng định định lý sau Định lý 2.1 Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H Giả sửu ánh xạ F : C → H đơn điệu mạnh với hệ số β liên tục Lipschitz với hệ số L1 Sol(G, C) ánh xạ G : H → H đơn điệu liên tục Lipschitz với hệ số L2 C Khi đó, dãy {uk }, {v k } {tk } xác định thuật toán 1.1 hội tụ mạnh đến nghiệm u∗ tốn BV I(F, G, C) Hơn nữa, ta có u∗ = lim P rSol(G,C) (uk ) k→∞ 2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc điểm bất động tách Phương pháp chiếu - điểm bất động phương pháp kết hợp phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân kỹ thuật Krasanoselskii-Mann tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn Phương pháp P.N Anh [4] trình bày giải toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc điểm bất động tách, ký hiệu (BSF ) 29 2.2.1 Đặt tốn Tìm u∗ ∈ Ω thỏa mãn F (u∗ ), u − u∗ ≥ 0, ∀u ∈ Ω (2.2.1) với Ω tập nghiệm toán điểm bất động tách: Tìm u∗ ∈ C thoả mãn u∗ = T u∗ , Au∗ ∈ Q Au∗ = S(Au∗ ) C, Q hai tập con, lồi, đóng, khác rỗng hai khơng gian Hilbert H1 , H2 F : C → H1 ánh xạ đơn điệu, ánh xạ T : C → C, S : Q → Q ánh xạ không giãn 2.2.2 Thuật toán định lý hội tụ Thuật toán hội tụ mạnh dãy lặp trình bày chi tiết định lý sau Định lý 2.2 ([4]) Giả sử C, Q hai tập con, lồi, đóng, khác rỗng hai khơng gian Hilbert thực H1 , H2 toán tử A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ CHo F : C → H1 ánh xạ đơn điệu mạnh với hệ số β , liên tục Lipschitz với hệ số L C hai ánh xạ T : C → C S : Q → Q ánh xạ không giãn Lấy u0 ∈ C , dãy lặp {ak }, {uk }, {v k } {tk } xác định sau   ak = P rQ (Auk ),    v k = P r (uk + δA∗ (Suk − Auk )), C  tk = P rC (v k − λk µF (v k )),     k+1 u = αk uk + (1 − αk )T (tk ), ∀k ≥ 0, với δ ∈ 0, A +1 ,0 < µ < 2β L2 , {λk } {αk } hai dãy thuộc (0, 1) thỏa mãn điều kiện sau: (a) limk→∞ λk = 0, (b) ∞ k=0 λk (1 − αk ) = ∞, (c) limk→∞ αk = α ∈ (0, 1) Giả sử Ω = ∅ dãy uk hội tụ mạnh đến nghiệm u∗ Bài toán (2.2.1) 30 2.3 Bài toán cân hai cấp Phương pháp điểm gần kề phương pháp thông dụng việc giải tốn quy hoạch lồi khơng trơn Phương pháp R.T Rockafellar phát triển cho tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại Gần đây, [9] A.Moudafi rộng phương pháp điểm gần kề cho toán cân hai cấp, ký hiệu (BEP ) 2.3.1 Đặt tốn Tìm u∗ ∈ Ω thỏa mãn g(u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ Ω, (2.3.1) với f, g : C × C → R hai song hàm Ω tập nghiệm tốn cân bằng: Tìm v ∗ ∈ Ω thỏa mãn f (v ∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C 2.3.2 Thuật toán ([9]) Thuật toán toán phát biểu sau: Cho u0 ∈ C, {rn } { n } dãy số dương Bước Tìm un+1 ∈ C nghiệm toán F (un+1 , v) + n+1 , v) n g(u + rn un+1 − un , v − un+1 ≥ 0, ∀v ∈ C Bước Nếu un+1 = un thuật tốn dừng, un nghiệm Ngược lại, thay n n + chuyển Bước Ở đây, coi K hàm đại diện cho hai song hàm f, g Khi đó, f g thỏa mãn điều kiện sau (A1) K(u, u) = với u ∈ C ; (A2) K đơn điệu, K(u, v) + K(v, u) ≤ với u, v ∈ C ; (A3) lim(kt + (1 − k)u, v) ≤ K(u, v) với u, v, t ∈ C ; k↓0 (A4) với u ∈ C, v → K(u, v) hàm lồi nửa liên tục yếu 31 2.3.3 Định lý hội tụ Sau định lý hội tụ Thuật toán Định lý 2.3 Giả sử tập nghiệm Ω = ∅, với v ∈ C , hàm u → g(u, v) hàm nửa liên tục bị chặn với v ∈ Ω Giả sử lim inf rn > +∞ rn n < +∞ Khi n=0 +∞ un+1 − un < +∞ n=0 dãy {un } cho Thuật toán 1.2 hội tụ yếu đến điểm thuộc Ω Nếu un+1 − un = o( n ), dãy {un } hội tụ yếu đến nghiệm toán (2.3.1) 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân Phương pháp chiếu đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động đưa thuật tốn để tìm nghiệm toán V IEP (F, f, C) sở kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường, theo P.N Anh [3] 2.4.1 Đặt toán Giả sử C tập con, lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H , song hàm f : C × C → R hàm giá F : C → H Bài toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu V IEP (F, f, C), tốn: Tìm u∗ ∈ Sol(f, C) F (u∗ ), v − u∗ ≥ 0, ∀v ∈ Sol(f, C), (2.4.1) Sol(f, C) tập nghiệm toán cân bằng, ký hiệu EP (f, C) tìm v ∗ ∈ C thỏa mãn f (v ∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C 32 (2.4.2) 2.4.2 Thuật toán ([3]) Bước Chọn x0 ∈ C, k = 0, µ, λ, dãy số dương {λk }, {βk }, {ξk } { k } thỏa mãn  ∞ ∞ 2β   µ ∈ 0, , {β } ⊂ (0, 1] , β < ∞, βk = ∞,  k k L2   k=0 k=0   ∞ ξk < ∞, {ξk } ⊂ (0, 1), k=0     k → ∞, k    λ = inf{λ : k = 0, 1, } > k Bước Tính   wk ∈ ∂2k f (uk , uk ),    γ = max{λ , wk }, α = βk , k k k γk k k k  v = P rC (u − αk w ),     k+1 u = P rC v k − µξk F (v k ) Bước Cho k = k + 1, đến Bước Trong trường hợp f (x, y) = toán V IEP (F, f, C) toán V I(F, C) 2.4.3 Định lý hội tụ Để chứng minh hội tụ thuật toán này, ta nhắc lại số bổ đề sử dụng phần Bổ đề 2.1 Cho {ak } {δk } dãy số thực không âm thỏa mãn ak+1 ≤ ak + δk , dãy {δk } thỏa mãn ∞ k=0 δk ∀k ≥ 0, < ∞ Khi đó, tồn giới hạn limk→∞ ak Bây ta giả sử hàm giá F song hàm f thỏa mãn điều kiện (A1) Với u ∈ C, f (u, ·) hàm lồi, nửa liên tục C Nếu {uk } ⊂ C bị chặn k k → ∞ dãy {wk } bị chặn với wk ∈ 33 ∂2k f (uk , uk ), ∂2k f (uk , uk ) vi phân với sai số hàm lồi f (uk , uk ) theo biến thứ hai uk : ∂2k f (uk , uk ) = {w ∈ H : f (uk , u) − f (uk , uk ) ≥ w, u − uk − = {w ∈ H : f (uk , u) + k k ∀u ∈ C} ≥ w, u − uk ∀u ∈ C}; (A2) f giả đơn điệu C với nghiệm u∗ toán V IEP (F, f, C) thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt v ∈ C, f (v, u∗ ) = f (u∗ , v) = ⇒ y ∈ Sol(f, C); (A3) Với u ∈ C, f (·, u) nửa liên tục trên C; (A4) Tập nghiệm Sol(f, C) toán V I(F, C) khác rỗng; (A5) F liên tục Lipschitz với hệ số L đơn điệu mạnh với hệ số β Dễ dàng nhận thấy, hàm giá F toán V I(F, C) liên tục đơn điệu mạnh tập con, lồi, đóng, khác rỗng C ⊂ H tốn V I(F, C) có nghiệm Khi f giả đơn điệu Sol(f, C) = ∅, Sol(f, C) lồi điều kiện (A2), (A4) (A5), tốn V IEP (F, f, C) có nghiệm Định lý 2.4 Trong không gian Euclide Rn , ánh xạ F : C → Rn song hàm f : C × C → R thỏa mãn giả thiết (A1)-(A5) Khi đó, dãy {uk } {v k } sinh thuật toán 2.4.2 hội tụ đến nghiệm toán V IEP (F, f, C) Chứng minh Giả sử u∗ nghiệm toán V IEP (F, f, C) Chứng minh định lý chia thành bước sau Bước Chứng minh uk+1 − u∗ F (u∗ ) ≤ ξ k uk − u∗ + 2βk f (uk , u∗ ) + Sk , λ − µ(2β − µL2 ) ∈ (0, 1] , ξ k = − τ ξk , Sk = với τ = − ξk µ2 τ 2 tồn giới hạn limk→∞ uk − u∗ 34 = c 2βk k ξ k λ (1) + βk2 ξ k + Chứng minh Với u ∈ C , đặt gk (u) = u − ξk µF (u) với k = 0, 1, Theo Bổ đề 2.1, ta có gk (u) − gk (v) ≤ (1 − ξk τ ) u − v , ∀u, v ∈ C Sử dụng tính chất khơng giãn phép chiếu bất đẳng thức tam giác, ta uk+1 − u∗ = P rC v k − µξk F (v k ) − u∗ = P rC v k − µξk F (v k ) − P rC (u∗ ) ≤ gk (v k ) − gk (u∗ ) − µξk F (u∗ ) ≤ gk (v k ) − gk (u∗ ) − µξk F (u∗ ) ≤ ξ k v k − u∗ + µξk F (u∗ ) Điều cho thấy uk+1 − u∗ ≤ ξ k v k − u∗ + µξk F (u∗ ) = (1 − ξk τ ) v k − u∗ + ξk τ k ∗ ≤ (1 − ξk τ ) v − u µ F (u∗ ) τ ξk µ + F (u∗ ) τ (2) Từ v k = P rC (uk − αk wk ) u∗ ∈ Sol(F, f, C) ⊆ C , ta có v k − u∗ = P rC (uk − αk wk ) − P rC (u∗ ) ≤ uk − αk wk − u∗ 2 = uk − u∗ − 2αk wk , uk − u∗ + αk2 wk ≤ uk − u∗ − 2αk (f (uk , u∗ ) − f (uk , uk ) + = uk − u∗ 2 k) + αk2 γk2 − 2αk f (uk , u∗ ) + 2αk k + βk2 βk βk k ≤ uk − u∗ + f (uk , u∗ ) + + βk2 λ λ Mặt khác, u∗ ∈ Sol(F, f, C) ⊆ Sol(f, C), f (u∗ , u) ≥ với u ∈ C, uk ∈ C , theo tính chất giả đơn điệu song hàm f theo u∗ , ta có f (uk , u∗ ) ≤ Khi đó, theo cách đặt ξ k ∈ (0, 1] (1) ta uk+1 − u∗ ≤ ξ k uk − u∗ ≤ uk − u∗ 35 2 +2 + Sk βk f (uk , u∗ ) + Sk λ Khi đó, ta có: ak+1 ≤ ak + δk , ∀k ≥ 0, với ak = uk − u∗ δk = Sk Theo giả thiết Bước thuật tốn, ta có βk2 < ∞, βk k ξk < ∞, < ∞, k=0 k=0 k=0 ∞ ∞ ∞ ∞ Sk < ∞ sử dụng Bổ đề 2.1, tồn limk→∞ uk − u∗ = c k=0 Bước Chứng minh lim supk→∞ f (uk , u∗ ) = limk→∞ v k − uk = Chứng minh Vì u∗ ∈ Sol(F, f, C) song hàm f giả đơn điệu nên −f (uk , u∗ ) ≥ Mặt khác, theo chứng minh Bước ξ k ∈ (0, 1] nên với k , ta có 0≤ 2βk −f (uk , u∗ ) ≤ uk − u∗ λ Khi đó, λ − uk+1 − u∗ ∞ + Sk ∞ k ∗ ∗ βk −f (u , u ) ≤ u − u Sk < ∞, + k=0 k=0 đó, ∞ βk −f (uk , u∗ ) < ∞ k=0 ∞ Vậy, theo βk = ∞ −f (uk − u∗ ) ≥ 0, ta khẳng định k=0 lim sup f (uk , u∗ ) = k→∞ Mặt khác, theo tính chất khơng giãn phép chiếu P rC định nghĩa dãy {v k }, {uk } ∈ C , ta có v k − uk = P rC (uk − αk wk ) − P rC (uk ) ≤ uk − αk wk − uk = αk w k ≤ αk γk = βk → k → ∞ Vậy, lim v k − uk = k→∞ 36 Bước Giả sử {ukj } dãy {uk } thỏa mãn lim sup f (uk , u∗ ) = lim f (ukj , u∗ ), j→∞ k→∞ (3) u điểm giới hạn dãy {ukj } Khi đó, u ∈ Sol(f, C) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử ukj hội tụ đến u j → ∞ Từ f (·, u∗ ) nửa liên tục trên, theo Bước , ta có f (u, u∗ ) ≥ lim sup f (ukj , u∗ ) j→∞ = lim f (ukj , u∗ ) j→∞ = lim sup f (uk , u∗ ) k→∞ = Mặt khác, f giả đơn điệu theo u∗ f (u∗ , u) ≥ Vậy f (u, u∗ ) = Khi theo giả thiết (A2), ta kết luận u nghiệm EP (f, C) Bước Chứng minh dãy {uk } {v k } hội tụ đến nghiệm u∗ ∈ Sol(F, f, C) Chứng minh Theo Bước Bước 3, dãy {ukj } hội tụ đến u u ∈ Sol(f, C) v kj u Tương tự Bước 1, ta có uk+1 − u∗ ≤ β k v k − u∗ ≤ v k − u∗ ≤ uk − u∗ 2 +2 βk k + βk2 λ (4) Kết hợp điều với lim uk − u∗ k→∞ = c2 , ta lim v k − u∗ = c k→∞ Từ v kj u ∈ Sol(f, C) j → ∞, cho thấy lim inf v k − u∗ , F (u∗ ) = lim v kj − u∗ , F (u∗ ) = u − u∗ , F (u∗ ) ≥ k→∞ j→∞ 37 Vì F đơn điệu mạnh với hệ số β C , ta lim inf v k − u∗ , F (v k ) k→∞ v k − u∗ , F (v k ) − F (u∗ ) + v k − u∗ , F (u∗ ) = lim inf k→∞ ≥ lim inf β v k − u∗ k→∞ + v k − u∗ , F (u∗ ) = βc + lim v k − u∗ , F (u∗ ) k→∞ ≥ βc (5) = 21 βc2 từ (5) tồn Để điều mâu thuẫn, ta giả sử với c > 0, chọn k0 thỏa mãn bất đẳng thức 1 v k − u∗ , F (v k ) ≥ βc2 − = βc2 − βc2 = βc2 > 2 với k ≥ k0 Ta xét, uk+1 − u∗ = P rC (v k − βk µF (v k )) − P rC (u∗ ) ≤ v k − βk µF (v k )) − u∗ 2 = v k − u∗ − 2βk µ F (v k ), v k − u∗ + βk2 µ2 F (v k ) = v k − u∗ − 2βk µ F (v k ) − F (u∗ ), v k − u∗ − 2βk µ F (u∗ ), v k − u∗ + βk2 µ2 F (v k ) ≤ v k − u∗ − 2βk µβ v k − u∗ + βk2 µ2 F (v k ) ≤ v k − u∗ với M = sup{µ2 F (v k ) uk+1 − u∗ 2 2 2 − 2βk µ F (u∗ ), v k − u∗ − 2βk µ F (u∗ ), v k − u∗ + βk2 M, : k = 0, 1, } < ∞ Khi đó, theo (4), ta βk k + βk2 − 2βk µ F (u∗ ), v k − u∗ + βk2 M λ βk k ≤ uk − u∗ + + βk2 − βk µβc2 + βk2 M ∀k ≥ k0 λ ≤ uk − u∗ +2 Vậy, ta viết k k+1 u ∗ −u k0 ∗ − u −u + µβc j=k0 38 k βj ≤ βk λ j=k k k βk2 + (1 + M ) j=k0 ∞ Chuyển qua giới hạn k → ∞, ta ∞ với giả thiết βj < ∞ Điều mâu thuẫn j=k0 βj = ∞ (1) Vậy, ta có c = 0, uk → u∗ v k → u∗ ✷ j=k0 Kết luận Chương Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở giải tích lồi, tốn bất đẳng thức biến phân tính chất nó, tốn cân mối liên hệ với toán tối ưu khác Đồng thời trình bày tốn bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân phương pháp giải làm sở xây dựng thuật toán sau 39 Kết luận Trong luận văn thu kết sau Trình bày ánh xạ giả co chặt dạng ánh xạ không giãn mở rộng Dựa vào tính chất tính co, tính khơng giãn tính giả co chặt giả thiết đơn điệu song hàm f cách lựa chọn tham số quy phù hợp để giải tốn cân EP (f, C) Trình bày số thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân phương pháp đạo hàm tăng cường, phương pháp chiếu điểm bất động hay phương pháp điểm gần kề Bên cạnh kết đạt luận văn, vấn đề cần đề xuất mở rộng nghiên cứu thời gian tới, là: Mở rộng thuật toán luận văn để nghiên cứu giải toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, toán cân hai cấp Nghiên cứu sai số đánh giá tốc độ hội tụ thuật toán luận văn 40 Tài liệu tham khảo [1] P.N Anh (2015), Các phương pháp tối ưu ứng dụng, NXB Thông tin Truyền thông, Hà Nội [2] L.D Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] P.N Anh, J.K Kim, L.D Muu (2012), An emtragradient algorithm for solving bilevel pseudomonotone variational inequalities, J Glob Optim 52, 627 - 639 [4] T.V Anh, L.D Muu (2016), A projection Fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split Fixed point constraints, Optim 65, 1229-1243 [5] E.Blum, W Oettli (1994), From optimization and variational inequality to equilibrium problem, Math Student 63, 127 - 149 [6] H Brezis (1987), Analyse Fontionnelle: Théorie et Application, MASSON [7] D Kinderlehrer, G Stampacchia (1980), An introducation to variational inequalities and their applications, Academic Press, New York [8] P.E Maingé (2010), Projected subgradient techniques and viscosity methods for optimization with variational inequalities constraints, Eur J Oper Res 205, 501-506 [9] A Moudafi (2010), Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems, J Glob Optim 47, 287-292 41 ... 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.3 Bài toán cân 13 Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm toán cân 27 2.1 Bài toán bất đẳng thức. .. trị quan trọng việc xây dựng Thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C tập con, lồi, đóng, khác rỗng không... thường gọi toán bất đẳng thức biến phân hai cấp, ký hiệu BV I(F, G, C), hay toán bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khác, Ta ký hiệu tập nghiệm toán