Luận văn thạc sỹ bài toán cực trị hàm nhiều biến và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHAN BÁ BẮC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Trịnh Thanh Hải TS Nguyễn Văn Hiến THÁI NGUYÊN - 2022 Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời mở đầu Danh mục ký hiệu Cực trị số lớp hàm nhiều biến đặc biệt 1.1 Cực trị đa thức hai biến bậc hai 1.2 Cực trị số lớp hàm đối xứng 1.2.1 Cực trị hàm biến đối xứng 1.2.2 Cực trị hàm ba biến đối xứng 1.3 Cực trị số hàm biến bất đối xứng 7 14 14 17 20 27 27 27 34 39 42 Cực trị hàm nhiều biến ứng dụng 2.1 Bài toán cực trị địa phương 2.1.1 Cực trị tự 2.1.2 Cực trị có điều kiện 2.2 Bài tốn cực trị tồn cục 2.3 Ứng dụng cực trị hàm nhiều biến kinh tế học Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 57 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, Ngày 12 tháng 11 năm 2022 PHAN BÁ BẮC Lời cảm ơn Trong trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn, tơi nhận động viên, khuyến khích tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình cấp lãnh đạo, thầy giáo, cô giáo, anh chị em, bạn bè đồng nghiệp gia đình Tơi xin chân thành cảm ơn q thầy giáo chương trình Cao học Tốn khóa 14 Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, đặc biệt thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy chun đề tồn khóa học tạo điều kiện, đóng góp ý kiến cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn thạc sĩ Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Trịnh Thanh Hải, TS Nguyễn Văn Hiến Người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo, giúp đỡ tác giả tiến hành hoạt động nghiên cứu khoa học để hồn thành luận văn Mặc dù tơi cố gắng nỗ lực luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót nên mong q thầy góp ý, bổ sung Thái Nguyên, Ngày 12 tháng 11 năm 2022 PHAN BÁ BẮC Lời mở đầu Cực trị hàm số nhiều biến nội dung quan trọng tốn học phổ thơng, sở lý thuyết tối ưu lĩnh vực giải tích hàm xem ứng dụng phép tính vi phân hàm nhiều biến số Về chất số dạng toán học sinh tiếp cận bậc trung học sở, chẳng hạn tốn: “Tìm giá trị lớn biểu thức A = 2022 − 3x + 2y − x2 − y ” thực chất toán cực trị hàm số hai biến số f (x; y) = 2022 − 3x + 2y − x2 − y R2 Bài toán cực trị hàm nhiều biến có quan hệ mật thiết với với toán bất đẳng thức đại số xem dạng tốn khó lời giải thường địi hỏi học sinh cần có kiến thức sâu sắc đại số (lý thuyết đa thức, phân thức, bất đẳng thức, ) kết hợp với kỹ phân tích, kỹ tổng hợp, tư logic, tư sáng tạo, tư khám phá, mức độ cao Chính mà tốn thường xuyên xuất kỳ thi học sinh giỏi phổ thông nước thi Olimpic tốn học quốc tế Ngồi số ứng dụng giải toán sơ cấp chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình hệ phương trình, cực trị hàm nhiều biến sử dụng tốn có nội dung thực tiễn trường phổ thơng đặc biệt tốn tối ưu hóa kinh tế Có vấn đề phát sinh thực tiễn giải phương pháp tối ưu toán học Điểm cốt yếu từ tốn thực tiễn cần xây dựng mơ hình thích hợp, sau sử dụng cơng cụ tốn học đưa tốn cực trị Ví dụ: tìm mức sản lượng hàng hóa cần sản xuất để nhà sản xuất thu lợi nhuận lớn nhất, chí phí nhỏ nhất, nhà nước thu mức thuế doanh thu lớn nhất, Đề tài luận văn đề cập đến cực trị toàn cục số lớp hàm nhiều biến quen thuộc, sau đại cương cực trị hàm nhiều biến số ứng MỤC LỤC dụng số tốn có nội dung thực tiễn Việc tìm hiểu, nghiên cứu cách hệ thống kiến thức cần thiết hữu ích, giúp ta hiểu sâu cơng cụ tốn giải tích, tối ưu hóa lý thuyết cực trị hàm số, từ vận dụng dạy học tốn thực tiễn sống, nghề nghiệp Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương: • Chương Cực trị số lớp hàm nhiều biến đặc biệt Trình bày phương pháp tìm cực trị tồn cục (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) số lớp hàm nhiều biến đặc biệt (đa thức biến bậc hai, hàm số biến đối xứng, hàm số biến đối xứng, hàm số biến bất đối xứng) số cách giải sơ cấp điển hình Các ví dụ chọn lọc tốn hay đề thi đại học thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế năm gần • Chương Cực trị hàm nhiều biến ứng dụng Trình bày kiến thức toán cực trị địa phương (cực trị tự do, cực trị có điều kiện), tốn cực trị tồn cục (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) ứng dụng cực trị hàm nhiều biến số toán tối ưu kinh tế Các nội dung đề cập khơng q hình thức mà gần gũi với tư kinh tế với nhiều ví dụ minh họa nhằm giải thích ý nghĩa kinh tế giữ tính xác, chặt chẽ mặt tốn học Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tập thể thầy hướng dẫn, PGS.TS Trịnh Thanh Hải TS Nguyễn Văn Hiến tận tình hướng dẫn mặt khoa học q trình hồn thành luận văn Tác giả hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho bạn học sinh, sinh viên, bạn đồng nghiệp giáo viên người quan tâm đến toán cực trị hàm nhiều biến lĩnh vực tốn học sơ cấp Vì hạn chế thời gian lực nghiên cứu tác giả, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong MỤC LỤC nhận góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện / Thái Nguyên, ngày 12 tháng 11 năm 2022 PHAN BÁ BẮC Danh mục ký hiệu R Tập số thực Rn Không gian véc tơ thực n chiều GTNN Giá trị nhỏ GTLN Giá trị lớn ∃ Tồn / ∃ Không tồn ∀ Với k = 1; n k nhận giá trị từ đến n fCT Giá trị cực tiểu hàm f fCĐ Giá trị cực đại hàm f max f Giá trị lớn hàm f miền D f Giá trị nhỏ hàm f miền D max {a; b} Số lớn tập {a; b} {a; b} Số nhỏ tập {a; b} D D fx ′ Đạo hàm riêng cấp theo biến x hàm f ′′ Đạo hàm riêng cấp theo biến x hàm f ′′ Đạo hàm riêng cấp theo biến x theo biến y hàm f fxx fxy Chương Cực trị số lớp hàm nhiều biến đặc biệt Trong chương ta xét cực trị toàn cục (Giá trị lớn - GTLN, giá trị nhỏ - GTNN) số lớp hàm đặc biệt với số phương pháp giải điển hình như: Sử dụng bất đẳng thức bản, sử dụng đạo hàm, sử dụng tam thức bậc hai, 1.1 Cực trị đa thức hai biến bậc hai Định nghĩa 1.1.1 Biểu thức f (x; y) = ax2 + bxy + cy + dx + ey + g, (1) a, b, c, d, e, g số mà a, b, c khơng đồng thời 0, cịn x, y biến số, gọi đa thức hai biến bậc hai Ta đặt ∆ = b2 − 4ac (biệt thức đa thức biến bậc hai) Định nghĩa 1.1.2 Số M gọi giá trị lớn đa thức f (x, y) có cặp giá trị (x1 , y1 ) cho với cặp giá trị (x, y) ta có f (x, y) ≤ f (x1 , y1 ) = M, kí hiệu M = max f (x, y) Số m gọi giá trị nhỏ đa thức f (x, y) có cặp giá trị (x2 , y2 ) cho với cặp giá trị (x, y) ta có: f (x, y) ≥ f (x2 , y2 ) = m, kí hiệu m = f (x, y) Chương Cực trị số lớp hàm nhiều biến đặc biệt Mệnh đề 1.1.1 Nếu f (x; y) đa thức dạng (1) với cặp giá trị (x0 ; y0 ) ta có: f (x; y) − f (x0 ; y0 ) = a(x − x0 )2 + b(x − x0 )(y − y0 ) + c(y − y0 )2 + (2ax0 + by0 + d)x + (bx0 + 2cy0 + e)y Sử dụng Mệnh đề 1.1.1 ta chứng minh số kết sau: Mệnh đề 1.1.2 Nếu ∆ = b2 −4ac > đa thức f (x; y) dạng (1) khơng có max f (x; y) khơng có f (x; y) Chứng minh.Thật vậy, ∆ = b2 −4ac > hệ phương trình:  2ax + by + d = (2) bx + 2cy + e = có nghiệm x0 = 2cd − bc ; ∆ y0 = 2ae − bd ∆ (3) ae2 − bde + cd2 Với cặp giá trị (x0 ; y0 ) ta có: f (x0 ; y0 ) = g + ∆ f (x; y) − f (x0 ; y0 ) = a(x − x0 )2 + b (x − x0 ) (y − y0 ) + c(y − y0 )2 (4) Nếu a ̸= ∆ > nên phương trình at2 + bt + c = có hai nghiệm phân biệt Gọi nghiệm t1 , t2 at2 + bt + c = a (t − t1 ) (t − t2 ) ⇒ f (x; y) − f (x0 ; y0 ) = a [x − x0 − t1 (y − y0 )] [x − x0 − t2 (y − y0 )] Nếu A số cho trước chọn x = x0 + Aat1 − t2 Aa − ; y = y0 + a (t1 − t2 ) a (t1 − t2 ) Ta có f (x; y) − f (x0 ; y0 ) = A Nếu a = ∆ = b2 − 4ac = b2 > nên b ̸= f (x; y) − f (x0 ; y0 ) = (y − y0 ) [b (x − x0 ) + c (y − y0 )] ma trận dạng toàn phương d f (M0 ): a11 a12 a1k a21 a22 a2k (k = 1; n) với aij = f ′′ xi xj (M0 ) ∆k = a ak2 akk k1 Khi đó: i) Nếu ∆k > ∀k = 1; n ⇒ M0 điểm cực tiểu ii) Nếu (−1)k ∆k > ∀k = 1; n ⇒ M0 điểm cực đại (Trường hợp ∆k = 0, ∀k = 1; n ta chưa có kết luận cực trị M0 ) z2 y2 + + Bài toán 2.1.4 Xét cực trị hàm số: w = x + 4x y z  D = (x; y; z) ∈ R : x; y; z > Giải: Hệ phương trình tìm điểm dừng:  y2  ′  w = − =0  x  4x   z2 y ′ − =0 wy =  2x y    2z   w′z = − =0 y z   ; 1; Ta có: Vậy có điểm dừng M0    x= ⇔ y = 12    z = 2z y2 ′′ + w xx = ; w yy = 2x 2x y y w′′ zz = + ; w′′ xy = − y z 2x 2z w′′ yz = − ; w′′ xz = y ′′ Suy ra: d2 w (M0 ) = 4dx2 + 3dy + 6dz − 4dxdy − 4dydz  2 = dx − dy + 2(dy − dz)2 + 4dz > 0, ∀x; y; z >   ; 1; điểm cực tiểu hàm w giá trị cực tiểu: ⇒ M0 wCT = w (M0 ) = 33