(SKKN HAY NHẤT) khai thác có hiệu quả bài toán hình học bất đẳng thức và giá trị nhỏ nhất, lớn nhất về diện tích”

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "KHAI THÁC CÓ HIỆU QUẢ BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT VỀ DIỆN TÍCH" LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com I ĐẶT VẤN ĐỀ Học tốn gắn liền với hoạt động giải tốn Thơng qua việc hướng dẫn học sinh giải toán, người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh lực tư duy, tính độc lập, linh hoạt, sáng tạo nhằm đáp ứng yêu cầu đào tạo người Việc khai thác có hiệu tốn cách bồi dưỡng cjo học sinh lực Ngồi việc khai thác có hiệu tốn cịn đem lại cho học sinh lịng say mê hứng thú môn học tâm lý học sinh muốn biết, muốn tìm tịi Để rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh, phương pháp hữu hiệu từ toán cách giải tốn ta hướng dẫn cho học sinh khai thác để phát biểu giải nhiều tốn khác Bài tốn hình học bất đẳng thức cực trị dạng toán khó; việc rèn luyện kỹ giải loại toán cần thiết cần nhiều thời gian Nhằm khắc phục khó khăn việc hướng dẫn học sinh giải loại toán đề cập trên, rút số kinh nghiệm đề tài tơi xin trình bày việc hướng dẫn học sinh “ Khai thác có hiệu tốn hình học: bất đẳng thức giá trị nhỏ nhất, lớn diện tích” II NỘI DUNG Ta tốn quen thuộc chương trình tốn Bài tốn 1: Cho tam giác ABC vng A M điểm thay đổi cạnh BC Gọi P,Q hình chiếu điểm M AC AB Với vị trí điểm M cạnh BC diện tích tứ giác AQMP lớn Phân tích tốn: A Từ hình ta có số cách phân tích tốn sau: P Q C Hình B M LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hướng 1: Ta thấy diện tích tam giác ABC khơng đổi Vậy diện tích tứ giác AQMP lớn lớn Hướng 2: Mặt khác: SAPMQ = SABC – ( SBQM + SCPM) Vậy diện tích tứ giác APMQ lớn SBQM + SCPM nhỏ tỉ số nhỏ Từ ta có cách giải toán sau: Cách 1: Ta có => Đặt BM=x; MC=y => => mà (x+y)2 ≥ 4xy Do Dấu “=” xảy x = y M trung điểm BC Vậy SAQMP đạt giá trị lớn M trung điểm BC Cách 2: Ký hiệu SABC = S; SBQM = S1; SMPC = S2 A P Q S2 S1 Hình B Ta có: SAQMP = S – ( S1 + S2 ) C M Do SAQMP lớn S1 + S2 nhỏ nhỏ Ta có: QM // AC => tam giác BQM BAC đồng dạng => LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com PM // AB => tam giác PCM ACB đòng dạng => ( Vì (x+y)2 ≤ 2(x2 + y2) ) => Vậy S1 + S2 hay Dấu “=” xảy x = y M trung điểm BC Nhận xét 1: - Về cách giải, toán để tìm vị trí điểm M cho diện tích APMQ lớn nhất, ta phải xét mối liên hệ diện tích APMQ với diện tích tam giác ABC - Mặt khác, ta nhận thấy lấy điểm E đối xứng với điểm M qua AB, điểm F đối xứng với điểm M qua AC điểm E,A,F thẳng hàng ( Bài 159 sách tập tốn 8, tập một) diện tích tam giác MEF gấp hai lần diện tích tứ giác AQMP Vì vậy, ta phát biểu thành tốn sau: A F E P Q C B M Hình Bài tốn 1.1: Cho tam giác ABC vng A; M di chuyển cạnh BC Gọi E,F điểm đối xứng M qua AB AC Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MEF lớn Hướng dẫn giải: Trước hết ta chứng minh ba điểm E,A,F thẳng hàng cách chứng minh góc EAF 1800 Điều dẫn đến việc ta phải chứng minh ∆EAQ= ∆MAQ ∆FAP=∆MAP, từ suy SAEQ=SMAQ SAMP=SFAP => SFEM = 2SAQMP đưa toán Nhận xét 2: Dựa vào cách giải tốn ta thay tam giác ABC vuông A tam giác ABC Khi P,Q thay giao điểm đường thẳng qua M song song với AB AC, thay việc tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác APMQ lớn việc chứng minh SAPMQ≤ Ta có toán 1.2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm M Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC P, đường thẳng qua M song song với AC cắt AB Q Chứng minh rằng: A H Q P K C B Hình M Phân tích tốn: Rõ ràng toán toán tổng quát toán 1, khác yêu cầu Bài tốn tìm vị trí điểm M để S APMQ lớn ( tốn cực trị); cịn toán chứng minh ( toán chứng minh bất đẳng thức) Nhưng hai cách giải toán áp dụng cho toán Từ ta giải tốn cách sau: Cách 1: Để tính tỉ số ta kẻ đường cao từ đỉnh B C tam giác ABC Khi đó: Vậy A Cách 2: Tương tự cách toán Cách 3: Bài toán toán chứng minh bất đẳng thức, ta giới thiệu cho em giải theo cách giải toán chứng minh bất đẳng thức Ta xét hai P trường hợp sau: Q Khi M trung điểm BC : B C M LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dễ thấy Thật vậy : ∆ ABC có MQ//AC (gt), BM=MC => Q Hình trung điểm AB => , tương tự Do Khi M khơng trung điểm BC : MB>MC MB ∆QMB=∆GMH ( g.c.g) => QM=MG ( cạnh tương ứng) Từ suy 2SAPMQ = SAKGQ = SAKHMQ+SBQM = SAKHB< SABC (**) Xét tương tự với trường hợp MB > MC Từ (*) (**) suy (đpcm) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét 3 : - Từ toán ta thấy S APMQ đạt giá tri lớn M trung điểm BC với S = SABC Khi tổng diện tích hai tam giác QMB PMC đạt giá trị nhỏ Hai kết toán tương đương với - Ở toán 1.2, xét trường hợp điểm M nằm tam giác ABC Lúc đó, qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác ABC, cắt cạnh AB,BC,CA điểm Q,H,N,K,G,P (Hình 7) Áp dụng kết tốn ta chứng minh đựơc S1+S2+S3 ≥ S :3 ( S diện tích tam giác ABC) Từ ta có toán 1.3 Bài toán 1.3 : Cho tam giác ABC, M điểm nằm tam giác Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt cạnh AB, BC, CA Q, H, N, K, G, P Gọi S1 = SQHM, S2 = SNMK, S3 = SPMG ; S = SABC a) Chứng minh S1 + S2 + S3 ≥ b) Tìm vị trí điểm M để S1 + S2 + S3 nhỏ Hướng dẫn giải : A P Q H B S1 G S3 M S2 N Hình K C a) Xét tam giác AHG có : hình bình hành AQMP nội tiếp tam giác Áp dụng kết tốn ta có : S1 + S3 ≥ Tương tự: với tam giác BQK ta có: S1 + S2 với tam giác CPN ta có: S2 + S3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Suy => b) Từ nhận xét tốn ta có S + S2 + S3 nhỏ M đồng thời trung điểm HG, QK NP M trung điểm HG AM qua trung điểm BC M trung điểm QK BM qua trung điểm AC M trung điểm NP CM qua trung điểm BA Khi M trọng tâm tam giác ABC Nhận xét 4: - Từ toán 2, tam giác ABC có góc nhọn B C, dựng hình chữ nhật MNPQ cho M nằm cạnh AB, N nằm cạnh AC điểm P,Q nằm cạnh BC, lúc ta khơng u cầu chứng minh mà u cầu tìm vị trí M cho diện tích MNPQ lớn Từ ta có tốn 1.4 Bài tốn 1.4 : Cho tam giác ABC có góc nhọn B C Dựng hình chữ nhật MNPQ cho M nằm cạnh AB, N nằm cạnh AC cịn hai điểm P,Q nằm cạnh BC Hãy tìm vị trí điểm M cho diện tích hình chữ nhật MNPQ lớn Phân tích : Bài tốn thực chất toán mở rộng đòi hỏi HS phải biết cách liên hệ với toán toán 1.2 để áp dụng kết vào tốn Từ cách giải tốn 1, ta nhận thấy để tìm vị trí điểm M cho diện tích MNPQ lớn ta phải tìm mối liên hệ diện tích MNPQ với diện tích tam giác ABC ; tức ta phải tạo đường cao tam giác ABC để tính diện tích Vì cạnh PQ hình chữ nhật nằm cạnh BC, suy đường cao phải kẻ đường cao xuất phát từ đỉnh A Kẻ đường cao AI ta áp dụng kết toán vào hai tam giác AIB AIC Từ ta giải tốn 1.4 sau : LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com A K M N Hình B Giải : Q I C P Cách 1 : Kẻ đường cao AI Gọi K giao điểm AI với MN Áp dụng kết toán cho tam giác AIB tam giác AIC, ta có : Vậy xảy Các đẳng thức xảy M trung điểm AB, N trung điểm AC ( kết toán 1.2) Vậy M trung điểm AB hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn - Việc biết cách chuyển toán 1.4 để áp dụng kết toán 1.2 giúp cho việc giải toán cách nhẹ nhàng nhanh chóng, góp phần củng cố kết thu giải toán toán 1.2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách 2 : Từ cách giải toán 1, nhìn vào hình vẽ, học sinh nghĩ đến việc tính tỉ số diện tích tứ giác MNPQ diện tích tam giác ABC cách kẻ đường cao AI tam giác ABC Lúc đó : A SMNPQ = MN.MQ ; SABC = K M B N I Hình Q C P Suy Và giải cách tốn Cách 3 : Ta giải toán sau : Kẻ AI BC ; AI cắt MN K Đặt AI=h ; BC=a ; MN=x ; MQ=y Khi đó: KI=y; AK=a-y SABC = SAMN+SMNPQ+SNPC+SBMQ => mà NP=MQ=KI=y mà PC+BQ = BC – QP = a – x A M B K N C Q I Hình 10 P Hay a.h = xh + ay Vậy LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có khơng đổi (vì tam giác ABC cho trước) nên diện tích tứ giác MNPQ lớn x.(a – x ) lớn mà x a – x hai số dương x+a-x = a khơng đổi, x(a-x) lớn x = a – x 2x = a MN đường trung bình tam giác ABC M trung điểm AB N trung điểm AC Khi đó: Vậy M trung điểm AB hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn Nhận xét 5: Với toán 1.4, HS nắm cách giải toán toán 1.2 em nhanh chóng vận dụng kết để giải biết dùng cách giải tương tự để giải không cần phải giải cách vừa dài dịng vừa khó Và nắm cách khai thác kết tốn, ta đưa toán cách thay việc nội tiếp tam giác ABC hình chữ nhật MNPQ hình bình hành MNPQ kết tốn khơng thay đổi Ta có tốn 1.5 Bài tốn 1.5: Cho tam giác ABC Dựng hình bình hành MNPQ cho M nằm cạnh AB, N nằm cạnh AC, cịn hai điểm P,Q nằm cạnh BC Hãy tìm vị trí điểm M cho diện tích hình bình hành MNPQ lớn A A M B K M N C Q I Hình 11 P B K N C Q I P Hình 12 Phân tích toán: Rõ ràng để vận dụng kết toán 1.2 ta cần kẻ qua A đường thẳng AI//MQ ( I BC) Vận dụng toán 1.2 vào hai tam giác AIC AIB với hình bình hành IKNP IKMQ dùng cách giải toán cách kẻ đường cao AI tính tỉ số diện tích tứ giác MNPQ với diện tích tam giác ABC LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nhận xét 6: Như vậy, tốn xoay quanh việc nội tiếp hình bình hành vào tam giác để diện tích hình bình hành lớn Vậy hình bình hành cố định tam giác dựng có diện tích nhỏ Ta xét tốn sau: Bài tốn 1.6: Cho góc xOy điểm H cố định thuộc miền góc Một đường thẳng d quay xung quanh điểm H, cắt Ox, Oy C D Hãy dựng đường thẳng d để diện tích tam giác COD nhỏ Phân tích tốn: Ta nhận thấy tam giác COD thay đổi cạnh CD quay quanh điểm H Dựa vào kết toán 1.2 ta nghĩ đến việc tạo hình bình hành có đỉnh H O tam giác COD Từ để giải tốn 1.6 ta làm sau: C x B O H A D Hình 13 y LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cách 1: Từ H kẻ HA//Ox ( A Oy); HB//Oy ( B Ox) Áp dụng kết toán 1.2 ta có: hay SCOD ≥ SHAOB Vì O,H cố định, Ox,Oy cố định nên OAHB cố định SOAHB không đổi Vậy SCOD nhỏ SCOD= 2SHAOB xảy H trung điểm CD Ta có cách dựng đường thẳng d sau: Từ H kẻ HA//Ox ( A Oy) Trên tia Oy ta lấy điểm D x C cho OD=2.OA Nối DH cắt Ox C CD đường thẳng cần dựng H O A D Hình 14 y Cách 2: Ở tốn ta chứng minh diện tích tam giác COD nhỏ cách: qua H dựng đường thẳng d cắt Ox, Oy C D cho CH=HD Ta chứng minh diện tích tam giác COD nhỏ Thật vậy: Qua H kẻ đường thẳng d’ cắt Ox,Oy C’,D’ Ta cần chứng minh:SCOD < SC’OD’ Sẽ có khả năng: OC’OD OC’OD C' x C H O N D D' Hình 15 y d' LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com *) Giả sử OC’OD Từ D kẻ đường thẳng song song với Ox cắt C’D’ N => ∆HC’C =∆ HND (g.c.g) => SHC’C < SHDD’ => SHCC’+SC’HDO < SHDD’+SC’HDO hay SCOD < SC’OD’ Trường hợp OC’>OC OD’ SAPD = SBPC Vì thay việc chứng minh ta chứng minh Vì ta nghĩ đến việc ghép 2.S APD thành diện tích hình bình hành chuyển S ABCD thành diện tích tam giác chứa 2.SAPD có diện tích SABCD Giải: A Q B P Hình 16 Cách 1: Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt DC kéo dài E Qua D kẻ đường thẳng song C toán 1.2 ta có: E song với ACD cắt AE Q Áp dụng kết (1) Mà SDAB = SCAB ( AB//CD) => SPAD = SPBC (2) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do APDQ ABDE hình bình hành nên QD=AP, DE=AB, góc QDE góc PAB ( góc có cạnh tương ứng song song) => ∆APB = ∆DQE ( c.g.c) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: SPAB+SPCD = SDQE + SPDC => => => (đpcm) Đẳng thức xảy D trung điểm EC AB=CD ABCD hình bình hành Cách 2: Chúng ta sử dụng cơng thức tính diện tích để làm trực tiếp mà không sử dụng kết 1.2 để giải Ký hiệu SPAB = S1; SAPD = S2 ; SDPC = S3; SPBC = S4 B A S1 S2 R S4 P Q Kẻ AQ D DB; CR S3 Hình 17 BD, ta có : C => ( S1 + S3)2 ≥ S1.S3 = S2.S4 (1) Vì ABCD hình thang nên S2 = S4, (S2 + S4)2 = 4.S2.S4 (2) Từ (1) (2) => (S1 + S3)2 ≥ (S2 + S4)2 => S1 + S3 ≥ S2 + S4 => (S1 + S3) ≥ S1 + S2 +S3 + S4 => Đẳng thức xảy S1 = S3 S1 = S2 = S3 = S4 ABCD hình bình hành Nhận xét 8: Ở toán 1.7 học sinh vận dụng thành thạo kết tốn1.2 tốn dễ dàng chứng minh, em nhanh chóng tìm hướng giải,cịn khơng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com biết cách chuyển toán để áp dụng kết tốn 1.2 việc tìm hướng giải tốn khó khăn nhiều(cách giải 2) Bài tốn 1.8: Cho hình bình hành ABCD điểm M cố định cạnh BC, lấy điểm N cạnh AD Gọi H giao điểm AM BN, I giao điểm MD NC Tìm vị trí điểm N để diện tích MHNI lớn Phân tích tốn: Nhìn vào hình vẽ ta thấy: điểm M cố định cạnh BC điểm N cạnh AD Lúc ABMN DCMN ln hình thang Vì vẽ hình xong ta cần suy nghĩ xem vận dụng kết toán 1.2 hay toán 1.7 vào tập vận dụng nào? A N B H M I D Hình 18 C Giải: Nối M với N ta hình thang ABMN DCMN Áp dụng kết tốn 1.7 ta có: Mà Đẳng thức xảy AB // MN Tương tự , đẳng thức xảy MN // CD Từ suy ra: Vậy diện tích tứ giác HMIN lớn MN // AB - Như vậy, tốn tốn trường hợp đặc biệt toán 1.2, toán 1.2 tiền đề để giải tốn cịn lại Phương pháp chung vận dụng kết toán 1.2 vào tốn cịn lại tốn có cách giải khác Để vận dụng có hiệu định giáo viên cần phải biết hướng dẫn học sinh phân tích tốn Với tốn giải ta tìm kết tương đương, lưu ý kiến thức sử dụng để giải Với tốn mới, ta tìm cách liên hệ với toán giải cách dựa vào hình vẽ dựa vào yêu cầu toán LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com III KẾT LUẬN Trên số suy nghĩ việc làm tơi thực q trình giảng dạy nhằm “ Khai thác có hiệu tốn hình học: bất đẳng thức giá trị nhỏ nhất, lớn diện tích” Tơi nhận thấy tốn, dạng tốn giới thiệu có hệ thống việc tiếp thu em có hiệu Việc khai thác toán giúp em có định hướng giải tốn khác mà sử dụng kết tốn giải Tơi nghĩ điều cần quan tâm, cần tìm tịi tích luỹ để chất lượng học tập em ngày nâng cao Tuy nhiên viết không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong góp ý người đọc Tơi xin chân thành cảm ơn Vinh, ngày 10 tháng 04 năm 2010 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thác có hiệu tốn hình học: bất đẳng thức giá trị nhỏ nhất, lớn diện tích” II NỘI DUNG Ta toán quen thuộc chương trình tốn Bài tốn 1: Cho tam giác ABC vuông A M điểm thay đổi cạnh BC Gọi P,Q hình. .. hình học: bất đẳng thức giá trị nhỏ nhất, lớn diện tích” Tơi nhận thấy tốn, dạng tốn giới thiệu có hệ thống việc tiếp thu em có hiệu Việc khai thác tốn giúp em có định hướng giải toán khác mà... cầu đào tạo người Việc khai thác có hiệu toán cách bồi dưỡng cjo học sinh lực Ngồi việc khai thác có hiệu tốn cịn đem lại cho học sinh lịng say mê hứng thú mơn học tâm lý học sinh ln muốn biết,