Những sai lầm của học sinh khi học chương ứng dụng đạo hàm vào khảo sát hàm số đã chuyển đổi (1)

PHẦN 1: MỞ ĐẦU II NGHIÊN CỨU THỰC TẾ Sai lầm xét tính đơn điệu hàm số  Các em thường mắc phải sai lầm không nắm vững định nghĩa tính đơn điệu hàm số Xét tính đơn điệu hàm số f  x   x 1 Ví dụ minh họa 1: x 1 Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: D   \ 1 +) Ta có: f  x   x  0, x  D 12 +) Bảng biến thiên: x -∞ +∞ + f'(x) + +∞ f(x) -∞ +) Hàm số đồng biến  ;1  1;   Phân tích: Lời giải rồi, ta không ý đến kết luận toán Chú ý rằng: hàm số y  f  x  đồng biến tập D với x1 , x2  D ta x1  x2  f  x1   f  x2  có Trong kết luận toán, ta lấy x  2  D x  x  x f  x   f  x   2 D Lời giải đúng: Qua phân tích ta thấy để có lời giải ta phải kết luận: Hàm số đồng biến khoảng  ;1 1;    Nhiều em không ý đến điểm tới hạn hàm số, việc xét dấu đạo hàm y' bị sai Ví dụ minh họa 2:Xét tính đơn điệu hàm số f  x   x 1  x2 Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: D   2; 2 f +) Ta có:  x  x   x2 Cho f   x     x   x  x2  x      x  x2  x2 +) Bảng biến thiên x -2 -2 - f'(x) + -3 - 2-1 f(x) -1 2; ) +) Hàm số đồng biến khoảng ( nghịch biến khoảng (2; 2) ( 2; 2) Phân tích: Nếu để ý bảng biến thiên ta thấy điều vô lý đoạn  2; 2 giá trị hàm số giảm từ -3 xuống - ??? Thực điểm tới hạn hàm số Mặt khác , đạo hàm không xác định x  2 Lời giải là: +) Tập xác định: D   2; 2 +) Ta có: f  x  1  x2 x Đạo hàm không xác định x  2 Cho f   x    1x   x  x 2  x2  x    x2  x2   x2 +) Bảng biến thiên x -2 + f'(x) - 2-1 f(x) -3 +) Hàm số đồng biến nửa khoảng    2; 2; 2  nghịch biến nửa khoảng www.VNMATH.com Sai lầm chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm khơng nhớ xác định nghĩa tính đơn điệu hàm số để vận dụng Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban bản) Chứng minh rằng: tan x  x , với x  0;   2   Một số học sinh trình bày sau: +) Xét hàm số    x  0; fx , với x   tan x         1  tan2 x  0, x  0; , suy f  x  +) Ta có: f  x  đồng biến hàm số cos2 x        0;        x   f x   f   hay tan x  x   tan x  x, x  0;  +) Từ     khoảng Phân tích: Lời giải đúng, sai lầm tinh vi (?!) Sau kết luận f  x  đồng biến khoảng  0;   x 0 0?  f  x   f từ Sai lầm       0;       (tức f  Nhớ rằng: f  x  đồng biến đoạn x liên tục  a; b  a;b f  x , x   a; b  ) x1, x2   a;b  : x1  x2  f Lời giải là: +) Xét hàm số  x1   f  x2     x  0;      1  tan2 x  0, x  0; , dấu “=” sảy x  fx , với x   tan x  +) Ta có: f  x   2 cos2 x   suy hàm số f  x  đồng biến khoảng 0;        +) Khi x  0; x   f  x   f   hay tan x  x   tan x  x     www.VNMATH.com  Các em hay mắc sai lầm vận dụng sai tính chất hàm đồng biến, nghịch biến Ví dụ minh họa 4: Chứng minh với x , x  1thì x.ex  1 e Một số học sinh trình bày sau: Xét hàm số f  x   g  x  hàm đồng biến  Suy hàm  ex x số h  x   tích hai hàm đồng biến nên đồng biến  Vì , xex từ x  1  h  x   h 1 x hay xe   e Phân tích: Lời giải sai lầm chỗ: tích hai hàm đồng biến hàm đồng biến hai hàm dương (!) Lời giải là: +) Xét hàm số f  x   1;    xex +) Ta có f   x   ex  xex  1  x  ex  0, x   1;   , dấu "=" xảy Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng  1;   +) Từ x  1  f hay  x x  f  1 x.e   e x  1 Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng cơng thức tính đạo hàm Ví dụ minh họa 5:Tính đạo hàm hàm số f  x    2x 1 x Một số học sinh trình bày sau: Ta có f  x  x  2x  1 x1  2x 1  2x  2x 1 x1 Phân tích: Lời giải vận dụng công thức  u    u  1 u Vận dụng sai, cơng thức áp dụng cho số mũ  số Lời giải là: +) Điều kiện: x   f  x     x +) Ta có f  x    2x 1 x  ln f  x   x ln  2x 1 f  x +) Do ln f  x    x ln  2x 1    ln  2x  1  2x   f  x     2x 1 x f x ln  2x 1  2x  2x 1 x1  Sai lầm tính đạo hàm hàm số điểm 2x 1 Các em hay mắc phải sai lầm dạng áp dụng công thức  u     u 1 u ,    , qn  khơng ngun cơng thức u nhận giá trị dương Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số y  f  x   x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ th Một số học sinh trình bày sau: +) Với  12 x  1 y  f  1  +) Ta có f   x    x3  f   x   x2 x 3   2   +) Hệ số góc tiếp tuyến k  f   1   1    1   3 +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 1   x hay y  x  1 3 Phân tích: Sai lầm em không ý đến điều kiện lũy thừa với số  x mũ khơng ngun số phải dương Vì vậy, viết khơng (!) Lời giải là: f  x    x  1 +) Với x  1 y  f  1 3 12  +) Ta có x2 x     f  2x  f   x   f   x    x2   f  x   f   x  2x 33 x4 +) Hệ số góc tiếp tuyến k  f   1 2 +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:   33 1 y 1   x 1  hay y    33 x x Sai lầm giải toán liên quan tới cực trị hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu hàm số em qn điều kiện đủ khơng phải điều kiện cần Quy tắc:  f   x   0,x   a; b   hàm số đồng biến khoảng  a; b   f   x   0,x   a;b   hàm số nghịch biến khoảng  a;b  Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 7: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số f  x   x3  mx2  x 1 đồng biến  www.VNMATH.com Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: D   +) Ta có : f   x   3x2  2mx  +)  Hàm số đồng biến  f  a x0  0, x        3  m  Phân tích: Chẳng hạn, hàm số f  hay  3  m   đồng biến  , f x  x3 x   3x2  0,x  , dấu "=" xảy x  Nhớ rằng: hàm số f  y f x xác định khoảng  a;b  , x   0,x   a; b  dấu "=" xảy hữu hạn điểm thuộc khoảng  a;b  hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  a; b  Lời giải là: +) Tập xác định: D   +) Ta có : f   x   3x2  2mx  +) Hàm số đồng biến   f  a x0  0,x        3  m  hay  3  m    Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị hàm số em quên điều kiện đủ điều kiện cần Quy tắc:  f   x0   0   fx    x  điểm cực tiểu 0  f   x0   điểm cực đại  x  f  x  0  www.VNMATH.com Điều ngược lại nói chung khơng (!) Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số y  f  x   mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x  ? Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: f   x   f   x   12mx2 4mx3 +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại x  0là: 4m   f      nghiệm f  0  hệ vô    12 m  +) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực đại x  Phân tích: Chẳng hạn, với m  1, hàm số có y  f  x   x4 dạng Ta có: y  f   x   4x3   x  Bảng biến thiên: + - Suy hàm số đạt cực đại x = Vậy lời giải sai đâu ? Nhớ rằng,   f x  điểm cực đại hàm số, x0 thỏa mãn f  x   điều ngược lại chưa (!) Vì x0 điểm cực đại f   x0   Lí f   x0 điều kiện đủ để hàm số điều kiện  0 g  x   f   x  nghịch biến lân cận  x0  h; x0  h  , h  , đó:  f   x   f   x0   0, x   điểm cực đại hàm số x0  h; x0   f   x   f   x x   0, x   x ; x  h  0  Lời giải là: +) Ta có: f   x   4mx3 +) Nếu m  f   x   Khi hàm số cho hàm không cực trị +) Nếu m  f   x   4mx3   x  0  Với m  ta có bảng biến thiên: - + y f nên  x   Với m  ta có bảng biến thiên: + - +) Vậy với m  hàm số đạt cực đại x  Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số y  f  x   x4  mx3 1 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x  Một số học sinh trình bày sau: +) Tập xác định: D   +) Ta có: f   x   4x3  f   x   12x2  6mx 3mx2 +) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x = là: 4.03  3m.02   f       hệ   6m.0  f   0    12.0 vô nghiệm m +) Vậy không tồn giá trị m để hàm số đạt cực tiểu x  Phân tích: Chẳng hạn , với m  , hàm số có y  f  x   x4 1 dạng Ta có f   x   4x3   x  Bảng biến thiên: - + Suy hàm số đạt cực tiểu x  Lời giải là: +) Tập xác định: D   +) Ta có: f   x   4x3  3mx2  x2 x   4x  3m  +) Cho f   x    x2  4x  3m    x  nghiệm bội bậc  chẵn 3m x    www.VNMATH.com thiên:  Nếu m  x  trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến -  Với m    + nên ta có bảng biến thiên: 3m 3m x -∞ f'(x) f(x) - +∞ - +∞ + +∞ CT  Với m    3m nên ta có bảng biến thiên: x f'(x) -∞ - 3m - 0 + +∞ + +∞+∞ f(x)1 CT +) Vậy với m  hàm số đạt cực tiểu x  Sai lầm giải tốn tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số  Các em thường mắc sai lầm không nắm vững định nghĩa giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số miền D Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ hàm số f   cos x   1  x   cos2 x cos2  cos x  x  Một số học sinh trình bày sau: 10  +) Đặt 1  t  cos2  t2 cos x  cos2 x x cos x  +) Ta hàm số: g  t   t2  2t    t 12   4, t   +) Vậy g  t   4 t  1 hay f  x   4 cos x  cos x  1 Phân tích: Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ hàm f  x  không trùng với giá trị nhỏ hàm g  t  , t   Có thể thấy t  1 khơng tồn giá trị x để Nhớ rằng, số m  min f  x   m, x  D  f  x   D x  D : f  x   m  Lời giải là: +) Đặt cos x  cos x  t với x  D   \    k , k    cos x   1(!) cos x  +) Ta có  cos x  cos x 1 cos x  t  cos x   cos x  cos x Dấu "=" xảy cos x   +) Mặt khác cos x   t  cos2 x   2  cos x    t2 cos2 x +) Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số g  t   t2  2t  với t +) Ta có g   t   2t    t  1 +) Bảng biến thiên: t g'(t) -1 -2 -∞ - - +∞ + + +∞ +∞ g(t) -3 +) Vậy g  t   3 t  2 hay f  x   3 cos x  cos x  2  cos x  1  x    k 2 , k  Sai lầm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Ví dụ minh họa 11: Cho hàm số y  f  x    x3  3x2 , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm A  1;  Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: f   x   3x2  6x +) Vì điểm A  1;    C  nên suy phương trình tiếp tuyến là: hay y  9x  y 4 f  1 x A 1 Phân tích: Phương trình tiếp tuyến y  9x  tiếp tuyến A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên kẻ từ A Nhưng có tiếp tuyến đồ thị (C) qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải là: +) Phương trình đường thẳng  d qua điểm A  1;  O có hệ số góc k là: 4 y  k  x 1  +) Điều kiện để đường thẳng  d tiếp tuyến đồ thị (C) hệ sau có  nghiệm:  x3  3x2  k  x  1   3x2  6x  k  x  +) Giải hệ phương pháp ta :  k   x  1   k  9 +) Từ ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y  y  9x  Bài tập tương tự Bài tập 1: Xét tính đơn điệu hàm số sau: a y 2x   31 x b y  x  x 1  cos x sin x c y  x 1 Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau khơng có cực trị: y  Bài tập 3: Tìm cực trị hàm số sau: x  2mx  x m a y    x  x b y  cos x  c y  sin2 x sin x Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị x  :  y  x3  mx2  x   m  3 Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau đồng biến  : m 1 x3  mx2   3m  2 x y Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau: a y  x3  3x2  72x đoạn  5;5  90 b 2x y  sin x  sin đoạn 0; 3      Bài tập 7: Cho hàm số y  x 1   x  , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm M  2;  Bài tập 8: Chứng minh bất đẳng thức sau: x a ex  cos x   x  , x  x Bài tập 9: Cho hàm số b ex  ex  ln   1 x , x  y x3   m1 1 x2  3 x  m  (m tham số) Xác định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y  3x  điểm phân biệt Bài tập 10: Với giá trị tham số m phương trình: x  x  m  x 1 có nghiệm thực phân biệt  ... +) Hàm số đồng biến nửa khoảng    2; 2; 2  nghịch biến nửa khoảng www.VNMATH.com Sai lầm chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh. .. Suy ra, hàm số đồng biến nửa khoảng  1;   +) Từ x  1  f hay  x x  f  1 x.e   e x  1 Sai lầm giải toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm vận dụng công thức tính đạo hàm Ví dụ... 8: Cho hàm số y  f  x   mx4 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số đạt cực đại x  ? Một số học sinh trình bày sau: +) Ta có: f   x   f   x   12mx2 4mx3 +) Điều kiện để hàm số đạt cực