Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phổ thông

2 Áp dụng công thức Taylor vào giải một số bài toán về2.1 Áp dụng giải phương trình bậc ba.. 162.3 Áp dụng công thức Taylor vào giải một số bài toán về đồ thị hàm đa thức.. 323.1.2 Áp dụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

Phùng Đức Thành

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI

TOÁN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Đình Sang

Hà Nội , Năm 2011

2 Áp dụng công thức Taylor vào giải một số bài toán về

2.1 Áp dụng giải phương trình bậc ba 122.2 Áp dụng vào giải phương trình bậc bốn 162.3 Áp dụng công thức Taylor vào giải một số bài toán về đồ

thị hàm đa thức 20

3 Áp dụng các định lý cơ bản của hàm khả vi vào giải các

3.1 Định lý Rolle và áp dụng 323.1.1 Định lý Rolle và các hệ quả áp dụng 323.1.2 Áp dụng định lý Rolle và hệ quả để xét sự tồn tại

nghiệm của một phương trình cho trước 343.1.3 Áp dụng định lý Rolle và các hệ quả để giải phương

trình 393.2 Định lý Lagrange và áp dụng 463.2.1 Định lý Lagrange và các hệ quả áp dụng 463.2.2 Áp dụng định lý Lagrange và các hệ quả để giải

phương trình 48

3.2.3 Áp dụng định lý Lagrange và các hệ quả để giải

hệ phương trình 563.2.4 Áp dụng định lý Lagrange và các hệ quả để chứng

minh bất đẳng thức 613.3 Định lý Cauchy và áp dụng 713.3.1 Áp dụng định lý Cauchy để chứng minh bài toán

tổng quát về hệ hoán vị vòng quanh n biến, n ≥ 2,

n ∈ N 723.3.2 Áp dụng định lý Cauchy vào chứng minh bất đẳng

thức 84

Lời nói đầu

Đạo hàm là một khái niệm rất quan trọng trong giải tích toánhọc và có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như kinh tế,

cơ học, vật lý và kĩ thuật Ngay trong toán học, đạo hàm là yếu tố quantrọng và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như áp dụng vào giải cácbài toán về đại số, giải tích hay các bài toán trong hình học mà ta thườnggặp trong các kì thi toán quốc gia và thi Olympic toán quốc tế

Trong chương trình toán học phổ thông, nhiều bài toán có ứng dụngđạo hàm Xuất phát từ các định lí cơ bản về hàm số khả vi ta thấy xuấthiện khả năng chứng minh sự tồn tại nghiệm hoặc tìm nghiệm của mộtphương trình, hệ phương trình cho trước, từ khai triển Taylor có thể ápdụng vào giải các bài toán liên quan đế hàm đa thức.Với suy nghĩ đó,chúng tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phổthông ” để làm luận văn của mình

Bản luận văn gồm ba chương , lời nói đầu , kết luận và hai phụ lục :Chương 1 Kiến thức chuẩn bị: Chương này trình bày các tínhchất cơ bản của hàm khả vi cấp một và cấp cao của hàm số một biếntrên R sẽ được áp dụng trong các phần sau như: Các định lí cơ bản vềhàm khả vi và công thức Taylor

Chương 2 Áp dụng công thức Taylor vào giải một số bàitoán về hàm đa thức: Xuất phát từ ý dùng công thức Taylor củahàm đa thức vào giải các bài toán về giải phương trình bậc ba, phươngtrình bậc bốn tổng quát bằng cách đưa phương trình về dạng khuyết vàứng dụng vào giải các bài toán về đồ thị hàm đa thức

Chương 3 Áp dụng các định lí cơ bản của hàm khả vi vàogiải các bài toán phổ thông: Phần đầu của chương này là một số ứngdụng của định lí Rolle: áp dụng định lí Rolle và các hệ quả để xét sự tồntại nghiệm của phương trình, áp dụng vào giải phương trình cho trước

Phần tiếp theo là các áp dụng của định lí Lagrange và các hệ quả vàogiải các bài toán như: giải phương trình, hệ phương trình, chứng minhbất đẳng thức Phần cuối chương là các ứng dụng của định lí Cauchy:

áp dụng vào giải hệ hoán vị vòng quanh và chứng minh bất đẳng thứcmột biến

Để hoàn thành luận văn này em xin chân thành cảm ơn tới người thầykính mến PGS.TS Nguyễn Đình Sang đã dành nhiều thời gian hướngdẫn, chỉ dạy trong suốt thời gian xây dựng đề tài cho đến khi hoàn thànhluận văn Em cũng xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ -Tin học, Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học trườngĐHKHTN đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian học tập tạitrường

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và năng lực còn hạnchế nên bản luận văn không tránh khỏi các thiếu sót, rất mong được cácthầy cô giáo và các bạn góp ý xây dựng Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2011

Học viênPhùng Đức Thành

và f (x) ≤ f (x0) (tương ứng f (x) ≥ f (x0)) với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).Điểm x0 mà tại đó hàm đạt cực đại địa phương hay cực tiểu địa phươngđược gọi chung là điểm cực trị của hàm f

Định lý 1.1.2 (Fermat) Cho khoảng (a, b) ⊂ R và hàm f : (a, b) → R.Nếu điểm c ∈ (a, b) là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f0(c) thì

f0(c) = 0

Định lý 1.1.3 (Rolle) Giả sử hàm f : [a, b] → R thỏa mãn:

(a) f liên tục trên [a.b],

(b) khả vi trong khoảng (a, b),

(c) f (a) = f (b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

Định lý 1.1.4 (Lagrange) Giả sử hàm f : [a, b] → R có các tính chất:(a) f liên tục trên [a, b],

(b) khả vi trong khoảng (a, b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho:

f0(c)(b − a) = f (b) − f (a) (1.1)Nhận xét:

1 Định lý Rolle là trường hợp riêng của định lý Lagrange

2 Công thức (1.1) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange.Công thức này còn được viết dưới dạng: lấy a = x0, b = x0 + ∆x,thì b − a = ∆x, do x0 < c < x0 + ∆x nên ta viết c dưới dạng

c = x0 + θ∆x, θ ∈ (0, 1) Khi đó, (1.1) được viết dưới dạng

f (x0 + ∆x) − f (x0) = f0(x0 + θ∆x)∆x

Hệ quả 1.1.5 Giả sử f : [a, b] → R liên tục trên [a, b] và khả vi trongkhoảng (a, b) Khi đó:

(a) Nếu f0(x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì f là hàm hằng trên [a, b]

(b) Nếu f0(x) > 0 (f0(x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì f tăng (giảm) thực

f0(c)

g0(c) =

f (b) − f (a)g(b) − g(a) (1.3)Nhận xét: Định lý Lagrange là trường hợp riêng của định lý Cauchyvới hàm g(x) = x

(n+1)(c)(n + 1)!(x − x0)

n+1 (1.4)

trong đó c là điểm nằm giữa x và x0

Nhận xét: Vì c nằm giữa x và x0 nên (1.4) có thể viết dưới dạngsau:

vi đến cấp n trong một lân cận nào đó của x0 ∈ (a, b) và f(n)(x) liên tụctại x0 Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0, chúng ta có:

f (x) = f (x0)+f

0(x0)1! (x−x0)+· · ·+

f(n)(x0)n! (x−x0)

n+o((x−x0)n) (1.6)trong đó o((x − x0)n) là vô cùng bé bậc cao hơn (x − x0)n, tức là

lim

x→x0

o((x − x0)n)(x − x0)n = 0Đại lượng rn(x) = o((x − x0)n) được gọi là số dư dạng Peano

1 Taylor Brook (1685-1731)- nhà toán học Anh Năm 1712 ông tìm ra công thức tổng quát (công thức Taylor) đối với sự khai triển một hàm thành chuỗi lũy thừa.

Khai triển Taylor của hàm f (x) trong lân cận của điểm x0 = 0,

ta nhận được công thức khai triển Mac-Laurin:

f (x) = f (0) + f

0(0)1! x + · · · +

f(n)(0)n! x

n+ rn(x) (1.7)Sau đây, ta sẽ xét khai triển Mac-Laurin của một số hàm sơ cấp

1 Hàm y = ex: Ta có f(n)(x) = ex, tại x0 = 0 thì f(n)(0) = 1 Dovậy, từ (1.7), ta có:

ex = 1 + x

1 +

x22! + · · · +

xnn! + o(x

Lưu ý: Nếu f (x) là đa thức bậc n thì f(n+1)(x) = 0, ta luôn biểu diễn

f (x) dưới dạng:

f (x) = f (a) +f

0(a)1! (x − a) +

f00(a)2! (x − a)

2

+ · · · +f

(n)(a)n! (x − a)

n

(1.13)

Chương 2

Áp dụng công thức

Taylor vào giải một số

bài toán về hàm đa thức

Mọi đa thức bậc n với hệ số thực đều viết dưới dạng:

2 + · · · ++ f

(n−1)(α)(n − 1)! (x − α)

n−1 + (x − α)n

(2.2)

Dưới đây, ta xét một số ứng dụng của khai triển (2.2) vào giải cácbài toán phổ thông

2 + (x − α)3 = 0 (2.4)Đưa (2.4) về dạng rút gọn:

t3 + pt + q = 0 (2.5)

với

t = x − α (2.6)bằng cách tìm α sao cho f00(α) = 0 ⇔ 6α + 2a2 = 0 hay α = −a2



q = f (α) = f



−a23

Để giải phương trình (2.5), ta dùng phép đổi biến:

t = u + v ⇒ t3 = u3 + v3 + 3uv(u + v)Khi đó (2.5) có dạng: u3+ v3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0 Ta cần tìm

u, v sao cho: 3uv + p = 0 ⇒ u3v3 = −p

X1 = u3 = −q −p|∆|i

2 , X2 = v

3 = −q +p|∆|i

2i-là đơn vị ảo Viết X1 dưới dạng lượng giác X1 = r(cos ϕ + i sin ϕ) Theocông thức khai căn bậc n của số phức X1, ta có:

uk = √n

r

cosϕ + k2π

n + i sin

ϕ + k2πn

, với k = 0, 1, 2 và n = 3.Tương tự X2 có ba căn bậc ba là:

vk = √n

r

cosϕ + k2π

n − i sinϕ + k2π

n

, với k = 0, 1, 2 và n = 3

Từ đó, ta có ba nghiệm thực của phương trình (2.3) là:

Sau đây, ta xét một số ví dụ áp dụng phương pháp trên.

Ví dụ 2.1.1 Giải phương trình sau:

x3 − 3√2x2 + 2x − 6√

2 = 0 (1)Lời giải

r2

r23

⇔ x1 = √

2 + 2√

2 = 3√

2Khi đó, (1) viết dưới dạng tích:

Ví dụ 2.1.2 Giải phương trình sau:

x3 + 3x2 + 3(1 −√3

4)x − (3√3

4 + 1) = 0 (1)

Lời giảiXét hàm f (x) = x3 + 3x2 + 3(1 −√3

4)x − (3√3

4 + 1) Ta có

f0(x) = 3x2 + 6x + 3(1 −√3

4), f00(x) = 6x + 6Với α ∈ R sao cho f00(α) = 0 ⇔ 6α + 6 = 0 ⇔ α = −1 Ta tính

3 + i sin

π3

, k = 0, 1, 2

vk = √3

2

cos

, k = 0, 1, 2Vậy phương trình ban đầu có ba nghiệm thực là:

Bài tập 2.1.4 x3 −√3x2 + 2x − 2√

3 = 0 Đáp số x = {±i√

2,√3}

o

2.2 Áp dụng vào giải phương trình bậc bốn

Cho phương trình

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + x4 = 0 (2.11)Khai triển Taylor của f (x) tại α ∈ R thì (2.11) có dạng:

f (x) = f (α) + f0(α)(x − α) + f

00(α)2! (x − α)

(3)(α)3! (x − α)

t4 = mt2 + nt + p (2.13)trong đó t = x − α, m = −f

00(α)2! , n = −f

0(α) và p = −f (α) Để giải(2.13), ta thêm vào hai vế đại lượng 2βt2+ β2, β ∈ R và viết (2.13) dướidạng:

(t2 + β)2 = (m + 2β)t2 + nt + p + β2 (2.14)

Ta cần tìm β sao cho

∆ = n2 − 4(m + 2β)(p + β2) = 0 (2.15)Khi đó, (2.14) viết dưới dạng bình phương đúng:2

Giải hai phương trình bậc hai (∗) và (∗∗), ta tìm được bốn nghiệm

t1,2,3,4, và do đó phương trình (2.11) có nghiệm là

Nhận xét: Phương trình (2.15) là phương trình bậc ba đối với β

Vì vậy việc tìm β ∈ R thỏa mãn (2.15) bao giờ cũng tồn tại

Ví dụ 2.2.1 Giải phương trình:

x4 + 8x3 + 15x2 − 4x − 2 = 0 (1)

Lời giảiXét f (x) = x4 + 8x3 + 15x2 − 4x − 2 Khi đó, ta có

(t2 + β)2 = (9 + 2β)t2 + β2 − 18 (3)

Ta có ∆ = 02− 4(9 + 2β)(β2

− 18) Ta cần tìm β ∈ R sao cho ∆ = 0,hay là

t2 − 9

2 = −

32

Bài tập 2.2.4 2x4−10x3+11x2+x−1 = 0 Đáp số x =n2 ±

√2

2 ,

3 ±√

132o

2.3 Áp dụng công thức Taylor vào giải một

số bài toán về đồ thị hàm đa thức

f00(α)2! (x − α)

2 + · · · ++ f

(n)(α)n! (x − α)

n

(2.18)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f (x) Khi đó, ta có một số kết quảquan trọng sau đây:

Định lý 2.3.1 Đồ thị (C) nhận điểm I(α, f (α)) làm tâm đối xứng khi

và chỉ khi α là nghiệm của hệ phương trình:

2

+ · · · + f

(n)(α)n! X

n

(2.19)

Từ (2.19) suy ra đồ thị (C) nhận điểm I(α, f (α)) làm tâm đối xứngkhi và chỉ khi hàm (2.19) là hàm số lẻ Điều này xảy ra khi và chỉ khi αthỏa mãn đồng thời các phương trình:

Chứng minh Từ (2.19) suy ra đồ thị (C) nhận trục IY : X = 0 hay

x = α làm trục đối xứng khi và chỉ khi (2.19) là hàm chẵn Điều nàyxảy ra khi và chỉ khi α thỏa mãn đồng thời các phương trình sau:

Định lý 2.3.3 Điều kiện cần và đủ để đồ thị hàm số bậc ba cắt trụchoành tại ba điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng là α là nghiệm củahệ:

2 + (x − α)3

Suy ra

f (x) = f0(α)(x − α) + (x − α)3 (C)Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của (C) với trục Ox:

Vậy (ii) được thỏa mãn Mặt khác từ phương trình hoành độ giao điểmcủa (C) với trục hoành có dạng:

f (α) + f0(α)(x − α) + f

00(α)2! (x − α)

2 + (x − α)3 = 0

⇔f0(α)(x − α) + (x − α)3 = 0

⇔x = α hoặc (x − α)2 = −f0(α)

Do phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng nên suy ra f0(α) <

0 Vậy (iii) được thỏa mãn

Sau đây, ta xét một số ví dụ áp dụng

Ví dụ 2.3.4 Tìm m để đồ thị hàm y = x3 + mx2 − x − m cắt trụchoành tại ba điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộngđó

Lời giải

Xét hàm f (x) = x3 + mx2 − x − m là hàm khả vi trên R Với α ∈ R,khai triển Taylor của f (x) tại α là:

f (x) = f (α) + f0(α)(x − α) + f

00(α)2! (x − α)

• Với m = 0, thay vào ta có phương trình hoành độ giao điểm chungcủa đồ thị với trục Ox là:

lập thành cấp số cộng với công sai d = 2

Lời bình: Trong trường hợp n ≥ 4, thì các hệ (2.20) hoặc (2.21) là điềukiện cần để đồ thị (C): y = f (x) cắt Ox tại các điểm có hoành độ lậpthành cấp số cộng Ta xét ví dụ 2.3.5 và 2.3.6 sau đây:

Ví dụ 2.3.5 Tìm a ∈ R để đồ thị hàm số y = x4+4ax3−10x2−12ax+9cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng

Lời giảiGiả sử đồ thị hàm số:

= (x − x0)4 − 10β2(x − x0)2 + 9β4

Suy ra f (x) là hàm chẵn, hay đồ thị nhận đường thẳng x = x0 làm trụcđối xứng Theo định lý 2.3.2, suy ra

x4 − 10x2 + 9 = 0 ⇔ x = {−3, −1, 1, 3}

lập thành cấp số cộng với công sai d = 2, thỏa mãn yêu cầu bài toán.Vậy với a = 0 thì đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm cóhoành độ lập thành cấp số cộng

Ví dụ 2.3.6 Tìm m để đồ thị hàm số:

y = x5 − mx4 − 2mx3 + 2m2x2 + 9x − 45 (Cm)cắt trục hoành tại năm điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng

Lời giải

Điều kiện cần: Giả sử (Cm) cắt Ox tại năm điểm có hoành độ lậpthành cấp số cộng là x0 − 2α, x0 − α, x0, x0 + α, x0 + 2α Khi đó, ta viếthàm f (x) dưới dạng:

Suy ra f (x) là hàm số lẻ, hay đồ thị nhận điểm I(x0, 0) làm tâm đốixứng Theo định lý 2.3.1 suy ra

x5 + 9x − 45 = 0Xét hàm f (x) = x5+ 9x − 45 Ta có f0(x) = 5x4+ 9 > 0 với mọi x ∈ R.Theo định lý Rolle thì phương trình f (x) = 0 có không quá một nghiệm

Vì nếu có hai nghiệm x1 < x2 thì khi đó tồn tại x∗ ∈ (x1, x2) sao cho

f0(x∗) = 0 Điều này vô lý vì f0(x) > 0 với mọi x ∈ R Vậy phương trình

f (x) = 0 có không quá một nghiệm Vậy m = 0 không thỏa mãn yêucầu bài toán

Với m = 5, ta có phương trình hoành độ giao điểm với trục Ox là:

1

2;

52

làm tâm đối xứng

Lời giải

Xét hàm f (x) = (m − 1)x3 + 3x2 − 6mx − 1 là hàm khả vi trên R và

f0(x) = 3(m − 1)x2 + 6x − 6m và f00(x) = 6(m − 1)x + 6 Theo định lý2.3.1, I1

2;

52



là tâm đối xứng khi và chỉ khi:

f0012

2+f

(3)(1)3! (x − 1)

3+ (x − 1)4trong đó f0(1) = f(3)(1) = 0 Vậy

y = f (1) + f

00(1)2! (x − 1)

t2 − 8t + 6 = 0 ⇒ t1 = 4 −√

10, t2 = 4 +√

10

− 2(2m + 1)− m

4

+ m = 0 (∗)

α = −m

4.Phương trình (∗) tương đương với phương trình sau:

− m3 + 3m3 + 8(2m + 1)m + 16m = 0

⇔ 2m3 + 16m2 + 24m = 0

⇔ 2m(m2 + 8m + 12) = 0 ⇒ m = {0, −6, −2}

Từ (2) suy ra α = −1, thế vào (1) ta được: −4 + 12 − 2m = 0 ⇒ m = 4.Kết luận: Với m = 4 thì hàm số có trục đối xứng x = −1.

Bài tập 2.3.11 Tìm tham số m để đường thẳng d : y = x cắt đồ thịhàm số

Xét hàm số: f (x) = 2x3 − 3mx2 − 2x + m3

là hàm khả vi trên R Theođịnh lý 2.3.3, ta có hệ phương trình:

Từ (3), ta có α = m, thế vào (2) và (4), ta được hệ phương trình:

⇔ m = 1

Từ công thức Taylor của f (x) tại α = m = 1, ta có phương trình (1)tương đương với

f (1) + f

0(1)1! (x − 1) +

f00(1)2! (x − 1)

Chương 3

Áp dụng các định lý cơ bản của hàm khả vi vào giải các bài toán phổ

thông

3.1 Định lý Rolle và áp dụng

Định lý Rolle: Giả sử hàm số f : [a, b] → R có các tính chất:

(a) f (x) là hàm liên tục trên [a, b]

(b) f (x) khả vi trên (a, b)

(c) f (a) = f (b)

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

Nhận xét: Một số kết quả quan trọng dưới đây là hệ quả trực tiếpcủa định lý Rolle và là cơ sở của phương pháp giải phương trình hoặcxét sự tồn tại nghiệm của một phương trình cho trước.

Hệ quả 3.1.1.1 Nếu x1, x2 là hai nghiệm liên tiếp của phương trình

f (x) = 0 với x1 < x2, x1, x2 ∈ (a, b) thì phương trình f0(x) = 0 có ítnhất một nghiệm x∗ ∈ (x1, x2) ⊂ (a, b)

Hệ quả 3.1.1.2 Giả sử f (x) là hàm khả vi cấp k, k 6= 0, k ∈ N Nếuphương trình f (x) = 0 có n nghiệm phân biệt thì phương trình f0(x) = 0

có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt Phương trình f(k)(x) = 0 có ít nhất

n − k nghiệm phân biệt (k = 1, 2, )

Chứng minh Suy trực tiếp từ định lý Rolle

Hệ quả 3.1.1.3 Nếu f0(x) > 0 (< 0) với mọi x ∈ (a, b), phương trình

f (x) = 0 có nghiệm x0 thì x0 là nghiệm duy nhất

Chứng minh Giả sử ngược lại còn x1 khác x0 cũng là nghiệm của phươngtrình f (x) = 0 Khi đó, theo định lý Rolle, tồn tại c ∈ (x0, x1) (khôngmất tổng quát giả sử x0 < x1) sao cho f0(c) = 0 Điều này mâu thuẫnvới giả thiết f0(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) Vậy suy ra x0 là duy nhất

Hệ quả 3.1.1.4 Nếu phương trình f0(x) = 0 có nghiệm duy nhất thìphương trình f (x) = 0 có không quá hai nghiệm

Chứng minh Giả sử phương trình f (x) = 0 có quá hai nghiệm, khôngmất tính tổng quát giả sử x1 < x2 < x3 là nghiệm phương trình Khi đó,theo định lý Rolle, tồn tại c1 ∈ (x1, x2) và c2 ∈ (x2, x3) sao cho:

Do (x1, x2) ∩ (x2, x3) = ∅, suy ra c1 khác c2 hay phương trình f0(x) = 0

có hai nghiệm phân biệt Điều này mâu thuẫn với giả thiết f0(x) = 0 cónghiệm duy nhất Vậy ta có điều phải chứng minh

Hệ quả 3.1.1.5 Nếu f00(x) > 0 (< 0) với mọi x ∈ (a, b) thì phươngtrình f (x) = 0 có không quá hai nghiệm

Chứng minh Hệ quả 3.1.1.5 được suy trực tiếp từ hệ quả 3.1.1.3 và3.1.1.4 Thật vậy vì f00(x) > 0 (< 0) với mọi x ∈ (a, b) nên theo hệ quả3.1.1.3 suy ra phương trình f0(x) = 0 nếu có nghiệm x0 thì x0 là nghiệmduy nhất Khi đó theo hệ quả 3.1.1.4 suy ra phương trình f (x) = 0 cókhông quá hai nghiệm.

tại nghiệm của một phương trình cho trước

Ví dụ 3.1.2.1 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất mộtnghiệm trong khoảng (0, 1) với mọi giá trị của m

x[mx4 − (m − 1)x2 − 1] = 5mx4 − 3(m − 1)x2 − 1

Lời giảiXét hàm f (x) = mx5 − (m − 1)x3 − x, với x ∈ [0, 1] và g(x) = e−xf (x)

Ta có

g(0) = e−0f (0) = 0g(1) = e−1f (1) = e−1(m − m + 1 − 1) = 0

và g(x) là hàm khả vi trên (0, 1) Khi đó, g(x) thỏa mãn các điều kiệncủa định lý Rolle Suy ra tồn tại c ∈ (0, 1) sao cho

Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 3.1.2.2 Chứng minh rằng phương trình f (x) = 0 có n nghiệmphân biệt thì phương trình f (x) + αf0(x) = 0 (α là hằng số, α khác 0)

có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt với mọi α ∈ R \ {0}

Lời giảiXét hàm F (x) = eαx · f (x) là hàm số khả vi liên tục trên (a, b) và F (x) =

0 cũng có n nghiệm phân biệt Khi đó, theo hệ quả 3.1.1.2 suy ra F0(x) =

0 có n − 1 nghiệm phân biệt, hay phương trình

có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt Từ đó, ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 3.1.2.3 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệmvới mọi m ∈ R:

x2011 + 2x3 + m(x2 − 1) − 10x + 6 = 0 (1)

ba nghiệm phân biệt (vì nếu pt có 4 nghiệm phân biệt thì khi đó theo

hệ quả 3.1.1.2 suy ra pt : f0(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt điềunày không xảy ra vì pt : f0(x) = 0 có không quá hai nghiệm) Mặt khácdo

lim

x→−∞f (x) = −∞, lim

x→+∞f (x) = +∞, f (−1) = 12 > 0, f (1) = −1 < 0.Vậy suy ra

∃x1 ∈ (−∞, −1) sao cho f (x1) = 0

∃x2 ∈ (−1, 1) sao cho f (x2) = 0

∃x3 ∈ (1, +∞) sao cho f (x3) = 0

hay phương trình (1) có đúng ba nghiệm phân biệt

Nhận xét: Trong hệ quả 3.1.1.2 đảo lại không đúng, chẳng hạn:

Ví dụ 3.1.2.4 (Olympic sinh viên 1994) Cho n số nguyên dương

là hàm khả vi trên R Ta có F0(x) bằng vế trái của (1), và

ax5 + bx3 + cx + d = 0luôn có nghiệm trong khoảng (0, 1)

Do x0 ∈ (0, 1) nên từ (*) suy ra ax5

0 + bx30 + cx0 + d = 0, suy ra x0 lànghiệm của phương trình:

ax5 + bx3 + cx + d = 0

Bài tập 3.1.2.6 Cho n số nguyên dương tùy ý lớn hơn 1 là a1, , an

thỏa mãn điều kiện:

a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · · + nanxn−1 = 0 (1)

có nghiệm x0 ∈ R

Lời giảiXét hàm:

Theo định lý Rolle, tồn tại c1 ∈ (0, 1) sao cho f0(c1) = 0, và tồn tại

c2 ∈ (1, 2) sao cho f0(c2) = 0 Hay phương trình f0(x) = 0 có ít nhất hainghiệm x = {c1, c2} Theo hệ quả 3.1.1.2, suy ra phương trình f00(x) = 0

có ít nhất một nghiệm x0 hay phương trình (1) có ít nhất một nghiệm