Ứng dụng xác suất để giải các bài toán tổ hợp

Đ IăH CăĐĨăN NG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUY NăTH ăTH ăNHỂN NGăD NGăXỄCăSU TăĐ ăGI Iă CỄCăBĨIăTOỄNăT ăH P LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOAăH C ĐƠăN ngăậ Nĕmă2017 Đ IăH CăĐĨăN NG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUY NăTH ăTH ăNHỂN NGăD NGăXỄCăSU TăĐ ăGI Iă CỄCăBĨIăTOỄNăT ăH P Chuyên ngành: Ph ngăphápătoánăs ăc p Mưăs :ă60.46.01.13 LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOAăH C Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăTS.ăCAOăVĔNăNUỌI ĐƠăN ngăậ Nĕmă2017 L IăCAMăĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tácăgi Nguy năTh ăTh ăNhơn M CăL C M ăĐ U 1 Lí ch n đ tƠi M c tiêu nghiên c u c a đ tƠi Đ i t Ph ng vƠ ph m vi nghiên c u ng pháp nghiên c u B c c đ tƠi T ng quan tƠi li u nghiên c u CH NGă1 C ăS ăLụăTHUY TăXỄCăSU T 1.1 CÁC KHÁI NI M M Đ U 1.1.1 Đ đo xác su t vƠ không gian xác su t 1.1.2 Các đ nh nghĩa c n c a xác su t 1.2 CÁC TệNH CH T C A Đ ĐO XÁC SU T 1.3 XÁC SU T ĐI U KI N VÀ CỌNG TH C XÁC SU T TOÀN PH N (Đ Y Đ ) 1.3.1 Xác su t u ki n 1.3.2 Công th c xác su t toƠn ph n 1.3.3 Công th c Bayes 1.4 BI N NG U NHIểN VÀ HÀM PHỂN PH I 1.4.1.Bi n ng u nhiên 1.4.2 Phơn ph i xác su t vƠ hƠm phơn ph i xác su t 10 1.4.3 Bi n ng u nhiên r i r c, bi n ng u nhiên liên t c t đ i 11 1.5 Kǵ V NG VÀ PH NG SAI C A BI N NG U NHIểN 12 1.5.1 KǶ v ng (Expectation) 12 1.5.2 Ph ng sai (Variance) 14 1.6 LU T S L N D NG Y U 17 1.6.1 Đ nh nghĩa 17 1.6.2 Lu t s l n d ng y u 17 NGă2 CH NGăD NGăXỄCăSU TăĐ ăGI IăCỄCăBĨIăTOỄNăT ă H P 23 2.1 NGUYÊN LÍ DIRICHLET 23 2.1.1 Nguyên lí Dirichlet ( Nguyên lí chim b cơu) 23 2.1.2 Nguyên lí Dirichlet m r ng 23 2.1.3 Nguyên lí Dirichlet đ i ng u 24 2.2 M T ụ T NG V Lụ THUY T RAMSEY 25 2.3 S RAMSEY BÉ 26 2.4 TệNH X P X C A S RAMSEY 27 2.5 NG D NG XÁC SU T Đ N Lụ THUY T RAMSEY 28 2.6 Đ NH Lụ RAMSEY 29 2.7 PH NG PHÁP XÁC SU T 30 2.7.1 Tính trực giác v i ph ng pháp xác su t 30 2.7.2 Các ví d minh h a 32 CH NGă3 M TăS ăVệăD ăMINHăH A 35 3.1 NGUYÊN LÍ BAO HÀM - LO I TR VÀ NG D NG 35 3.2 TệNH B C C A NHịM ABEL H U H N SINH 39 K TăLU N 41 TĨIăLI UăTHAMăKH O 42 M ăĐ U Líădoăch năđ ătƠi Hi n ch ng trình tốn b c ph thông, ph n t h p ậ xác su t lƠ m t nh ng n i dung quan tr ng, th đ thi cao đẳng vƠ đ i h c n c ta Mặc dù ng xu t hi n m c đ khơng khó nh ng h c sinh v n gặp khó khăn gi i quy t bƠi tốn nƠy Cịn kǶ thi Qu c gia vƠ Qu c t , bƠi toán t h p ln có mặt vƠ lƠ m t th thách thực v i thí sinh, th m chí quy t đ nh thƠnh tích đ i v i đ i n dự thi Trong thực t có nhi u bƠi tốn xác su t th kỹ thu t tính tốn c a t h p Ng ng đ c gi i nh ng d ng c l i, theo cách nhìn khác ta có th ng d ng kỹ thu t tính tốn c a xác su t đ gi i bƠi tốn t h p, nên tơi ch n đ tƠi: “ ng d ng xác su t đ gi i bƠi toán t h p” lƠm đ tƠi lu n văn t t nghi p b c h c cao h c Tốn c a mình, nhằm ph c v cho công tác gi ng d y c a tơi nói chung vƠ luy n thi h c sinh gi i nói riêng Đ c đ nh h ng c a TS Cao Văn Nuôi, đư ch n đ tƠi: " NG D NG XÁC SU T Đ GI I CÁC BÀI TOÁN T H P " lƠm đ tƠi lu n văn th c sĩ c a M cătiêuănghiênăc uăc aăđ ătƠi Nghiên c u v lỦ thuy t xác su t vƠ ng d ng kỹ thu t tính tốn c a lỦ thuy t xác su t đ gi i bƠi toán t h p Đ iăt -Đ it ngăvƠăph măviănghiênăc u ng: ng d ng xác su t đ gi i bƠi toán t h p - Ph m vi nghiên c u: Xác su t, t h p vƠ ng d ng c a lỦ thuy t xác su t t h p Ph ngăphápănghiênăc u • Đ c sách vƠ tƠi li u tham kh o B ăc căđ ătƠi Trong lu n văn nƠy, • Ch ng : C s lỦ thuy t xác su t • Ch ng : M t s ví d minh h a • Ch ng : ng d ng xác su t đ gi i bƠi toán t h p T ngăquanătƠiăli uănghiênăc u • Ch ng minh khái ni m h u ích vi c cung c p cơu tr l i cho m t nh ng v n đ lỦ thuy t c a xác su t vƠ t h p hay cho k t qu ch ng minh m t cách t ng quát h n • Đ tƠi mang Ủ nghĩa v mặt lỦ thuy t, s lƠ tƠi li u tham kh o cho sinh viên CH NGă1 C ăS ăLụăTHUY TăXỄCăSU T 1.1 CỄCăKHỄIăNI MăM ăĐ U 1.1.1 Đ ăđoăxácăsu tăvƠăkhôngăgianăxácăsu t Xét  lƠ m t t p khác r ng,   - đ i s t p c a   lƠ đ đo xác đ nh  N u đ đo  th a mãn:  ( )  Thì ta nói  lƠ m t đ đo xác su t  Khi ta g i b ba (  ,,  ) lƠ m t không gian xác su t Trong tr th ng h p không gian m u h u h n vô h n đ m đ ng l y  = (  ) v i (  ) lƠ l p t t c t p c a  vƠ th  = P (P lƠ vi t tắt c a t Probability) Khi ng c, ng i ta ng kí hi u i ta g i: -/ T p ch ch a m t ph n t c a không gian m u {  } lƠ bi n c s c p -/ T p A   lƠ bi n c -/ N u A, B   A  B ta nói B lƠ bi n c kéo theo c a A -/ N u A, B   A  B =  A vƠ B g i lƠ hai bi n c xung khắc -/ N u A   B =  \ A A vƠ B g i lƠ hai bi n c đ i -/ T p  đ -/ T p  đ c g i lƠ bi n c chắn (surely event) c g i lƠ bi n c không th (hay b t kh ) (the imposible event) 1.1.2 Cácăđ nhănghƿaăc ăđi năc aăxácăsu t a Định nghĩa cổ điển xác suất Gi s xác su t c a bi n c s c p lƠ đ ng kh vƠ t p  (th ng g i lƠ không gian m u) có s ph n t h u h n Gi s n lƠ s t t c k t qu có 36 v  A B   A   B   AB   A   B KỦ hi u ( f  g )( x)  max{ f ( x), g ( x)} v i x  D f  Dg T iv vƠ v., suy công th c quen thu c A B  A  B  A B t ng quát c a công th c nƠy vƠ ng d ng c a lƠ u xét bƠi vi t nƠy Ta s ch ng minh công th c bao hàm ậ lo i tr ph n sau M nhăđ ă3.1.1 Gi s A1 , A2 , , An lƠ t p c a t p X h u h n, t p c a {1, 2, , n} = [n] Đặt AI  iI Ai , quy c A  X Kí hi u t p h p ph n t c a X không thu c AI E Khi E   (1) I I [n ] AI Chứng minh Gi s x  X thu c vƠo r t p h p s t p A1 , A2 , , Ak  Ta có Do  (1) I r I I [n ] Nh v y AI ( x)  Ckr  A ( x)   (1) r  A ( x)   (1) r   A ( x)  ( 1) r Ckr  n I  (1) I [n ] n r 0 I r I I r 0  A ( x)   E ( x), x  X I n I r I r 0  Cho x nh n giá tr thu c t p X vƠ l y t ng T tính ch t iv suy u ph i ch ng minh Phát bi u c a m nh đ g i Nguyên Lý Bao hàm-Lo i tr ( ti ng Anh Principle of Inclusion-Exclusion ậ PIE) Ti p theo lƠ m t t ng quát hóa M nhăđ ă3.1.2 37 Gi s A1 , A2 , , An lƠ t p c a t p X h u h n, lƠ t p c a {1, 2, , n} = [n] Đặt AI  iI c A  X Kí hi u t p h p ph n t Ai , quy c a X thu c AI cho khơng thu c t p Ai nƠo khác Khi EI   (1) J \I J I AJ Chứng minh Gi s x  X thu c vƠo AJ ' , J '  I v i I  m J '  m  k Ta có  J  I , J  m r Do   1 J /I J I  A ( x)  Ckr J  A ( x)    nm J nm r  J  I , J  m r Nh v y   1 J I (1) r  AJ ( x)   (1) r r 0 J /I nm J r 0  A ( x)   E ( x), x  X J I Cho x nh n giá tr thu c t p X vƠ l y t ng ta thu đ M nh đ 3.1.1 lƠ tr  J  I , J  m r  A ( x)   (1) r Ckr c u ph i ch ng minh ng h p đặc bi t l y I   Ta g i k t qu nƠy lƠ PIE t ng quát Tuy nhiên b n thơn lƠ t ng đ ng v i PIE, nghĩa lƠ có th suy t m nh đ Th t v y, xét t p Bj  AI  j v i j  [n] \ I Theo PIE, ta có: E '   J [n ]\ I (1) BJ J Trong E ' lƠ t p ph n t c a AI không nằm t p Bj nƠo v i BJ  Xét t jJ Bj , quy c B  AI J  [n ] \ I , ng ng  :  ([n] \I)  {K  [n]|K  I} cho  ( J )  J  I D th y  ánh x , h n n a lƠ song ánh Mặc khác BJ  AJ  I , ta có k t qu c a m nh đ 3.1.2 38 H qu sau đ c suy trực ti p t m nh đ 3.1.2 M nhăđ ă3.1.3 S ph n t c a s A1 , A2 , , An thu c vƠo t p h p   1 Nm  N u ch n m 0, l i thu đ m J  n Đi u nƠy đ C mJ AJ c PIE M nhăđ ă3.1.4 S ph n t c a s A1 , A2 , , An J m Nm  thu c vƠo khơng h n   1 J m m J  n t p C mJ 11 AJ c suy t N m1  N m  Nm M nhăđ ă3.1.5 Cho f, g lƠ m t hƠm t p nh n giá tr thực xác đ nh v i m i t p c a [n] Khi hai cơng th c sau lƠ t ng đ f (I )   g (J ) i ng J I g ( I )   (1) ii J \I J I f (J ) Chứng minh Gi s (i.) th a mưn, ta có  (1) J \I J I f ( J )   (1) J \I KJ   g ( K) J I KJ J I Ng  g (K)    ( 1) J I J \I  KJ I g ( K) ( 1) J \I  g(I ) c l i, gi s (ii.) th a mưn  g ( J )    (1) J I  K\J  f (K)  J I KJ KI  f ( I ) KJ I f (K) ( 1) K\J N u ch n S = [n] f ( I )  AI , g ( I )  EI v i I  [n] 39 Do (i.) hi n nhiên th a mưn nên ta có (ii.), lƠ ngun lỦ PIE t ng quát M nh đ lỦ gi i b n ch t t i m nh đ l i t ng đ ng v i m nh đ Xét f '( I )  f ([n] \ I , g '( I )  f ([n] \ I ) vƠ áp d ng m nh đ 5, ta có m nh đ t ng đ ng ng v i đ i chi u c a quan h bao hƠm Ta có th ch ng minh nguyên lỦ bao hƠm ậ lo i tr cách dùng xác su t nh sau: S d ng công th c c ng xác su t, ta có: P ( E0 )   Nên: Vì v y,  (1) I [n ] I P ( AI ) E0 I A    (1) I A A I [n ] E0   (1) I [n ] I AI Rõ rƠng cách ch ng minh cách dùng xác su t t r t hi u qu 3.2.ăTệNHăB CăC AăNHịMăABELăHỮUăH NăSINH B ăđ ă3.2.1 Cho A = {a1, a2, ,an}   (A) lƠ l p g m t t c t p c a A Ta có |(A)| = 2n (|A| lƠ s ph n t c a A) Ch ng minh S t p g m k ph n t c a A Cnk Vì v y, C n |(A)| = k 0 k n  (1  1) n  2n Đ nhălíă3.2.1 Cho G lƠ m t nhóm Abel có t p sinh A= {a1, a2, ,ak} th a mãn ai2  e, i  1, k , e lƠ ph n t đ n v c a G Khi |G| = 2k 40 Ch ng minh Chú Ủ m i ph n t c a G có d ng ai i1 , , i j  {1,2, ,k} M i ph n t t j ng ng v i m t t p {ai , , , } c a A vƠ t j ng ng lƠ 1-1 vƠ lên Vì v y |G| s t t c t p c a A ( ph n t e t ng ng v i  ) Do đó, |G| = 2k Ta có th t ng quát hóa đ nh lí 3.2.1 theo h ng sau đơy Đ nhălỦă3.2.2 Cho G lƠ m t nhóm Aben có t p sinh A = {a1, a2, ,ak} th a mãn aip  e, i  1, k vƠ p lƠ m t s nguyên d ng nƠo đó, e lƠ đ n v c a G Khi đó, |G| = pk Ch ng minh M i ph n t c a G có d ng: đó,  i j  p, j  1, k a1i1 a 2i2 a kik Dùng nguyên lí đ m (nguyên lỦ nhơn), có p cách ch n m t lũy th a cho m i a i (i  1, k) nên s ph n t c a G lƠ: G  p p p  p k k th a s 41 K TăLU N Lu n văn nƠy đư đ t đ c nh ng k t qu sau: • Gi i thi u v c s lí thuy t xác xu t • ng d ng xác su t đ gi i bƠi toán t h p M t l n n a, xin chơn thƠnh c m n ch b o t n tơm c a TS Cao Văn Nuôi đ có th hoƠn thƠnh lu n văn nƠy NgoƠi ra, xin g i l i c m n sơu sắc đ n tác gi c a nh ng tƠi li u tham kh o 42 TĨIăLI UăTHAMăKH O [1] Mitchel T.Keller, Applied Combinatorics, (2015), (Washington & Lee University), William T Trotter (Georgia Institute of Technology) [2] Probaloility and Statistics by example (2005) Cambridge University Y Suhov and M Kelbert [3] Probaloility and Measure (2000) C.Doléaus_ Dade London Academic ... TăXỄCăSU T 1.1 CÁC KHÁI NI M M Đ U 1.1.1 Đ đo xác su t vƠ không gian xác su t 1.1.2 Các đ nh nghĩa c n c a xác su t 1.2 CÁC TệNH CH T C A Đ ĐO XÁC SU T 1.3 XÁC SU T ĐI... NG D NG XÁC SU T Đ GI I CÁC BÀI TOÁN T H P " lƠm đ tƠi lu n văn th c sĩ c a M cătiêuănghiênăc uăc aăđ ătƠi Nghiên c u v lỦ thuy t xác su t vƠ ng d ng kỹ thu t tính tốn c a lỦ thuy t xác su t... gi i nh ng d ng c l i, theo cách nhìn khác ta có th ng d ng kỹ thu t tính toán c a xác su t đ gi i bƠi tốn t h p, nên tơi ch n đ tƠi: “ ng d ng xác su t đ gi i bƠi toán t h p” lƠm đ tƠi lu n văn