Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp - Sáng kiến kinh nghiệm

Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp - Sáng kiến kinh nghiệm Một phương pháp mới lạ và hay.

để giải các bài toán tổ hợp

Giáo viên thực hiện: Nguyễn Hữu Quyết

Tổ: Toán

Năm học: 2012-2013

MỤC LỤC

Trang

PHẦN MỞ ĐẦU 2

1 Lí do chọn đề tài 2

2 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ….2

3 Phương pháp nghiên cứu 2

NỘI DUNG 3

1 Nhị thức Newton 3

2 Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 3

3 Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 4

3.1 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản 4

3.2 Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước 9

3.3 Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng 12

4 Bài tập đề nghị 14

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 16

1 Kết quả từ thực tiễn 16

2 Kết quả thực nghiệm 16

KẾT LUẬN 19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều Trong nội dung này

có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết Tuy nhiên, tích phân được học

ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11 Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng này trên lớp Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh phần lớn không làm được

Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề

tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm

của mình

2 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình

- Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm kiếm tài liệu học tập,…) Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải đúng cho bài toán

Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức

cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị

- Trong khai triểnabncó n + 1 số hạng.

- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triểnabnbằng n

2 Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân

Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1;1 1 1; ; ; ;1;

mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp

Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai triển

Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận

Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng bk ak, ta chọn cận từ a đến b, tức là

 

b

f x dx



Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:

Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích

phân, các cận và số được thay vào cho biến Vì số hạng cuối cùng có hệ số

Tổng không đan dấu, ta sử dụng  

1

n 0

1 x dx



Giải Xét 1 x n C0n C x1n C x2 2n C x3 3n  C x n nn

1 x dx



Giải Xét 1 x n C0n C x1n C x2 2n C x3 3n    1 nC xnn n

2

n 1 2

Bài 4 Cho n   Chứng minh rằng: *

n 1 nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để

tính tích phân Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k

Giải Xét các khai triển

 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n

2n 2n 2n 2n 2n

1 x 2n C0n C x12n C x22n 2 C x32n 3  C x 2n 2n2n (8) Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được:

1 2 3 4 2n 1 2n 2n 2n 2n

0 0

Sau đó tính tích phân  

0

Q x dx

 Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo

Bài 6 Cho n   Chứng minh rằng: *

2n 2n 2n 2n 2n

1 x C C xC x C x  C x

1 2n 1

3.2 Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước

Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau

0 n

3.3 Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng

Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát không phải là 1 Ckn

k+1 mà là

k n

1Ck+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, còn nếu là

vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân,…

Bài 1 Cho n   Chứng minh rằng: *

k+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước

khi tính tích phân Khi đó, ta sử dụng  

1

n 0

k+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước

khi tính tích phân Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng  

1

n 0

C nên sử dụng  

1

n 0

C nên sử dụng  

1

n 0

1x dx



HD: Sử dụng  

0

n 2

THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Kết quả từ thực tiễn

Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát cả ba lớp mà mình đang đảm nhiệm Qua kết quả khảo sát, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không làm được các bài toán nêu ra Học sinh không làm được là tất nhiên vì các l ý do sau:

+ Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày

+ Các kiến thức của Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11, học sinh đã quên + Học sinh chưa định hình được cách giải

Tuy nhiên, trước khi bắt đầu dạy thực nghiệm, tôi đã yêu cầu học sinh ôn tập lại các kiến thức của Đại số tổ hợp Trong khi giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh tỉ

mỉ cách nhận biết bài toán tổ hợp vận dụng được tích phân, phân tích các yếu tố có trong bài toán để từ đó đưa ra hàm lấy tích phân, các cận của tích phân và thay số tương ứng để đi đến lời giải đúng

Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài toán

có sử dụng tích phân để giải thì các em đã thận trọng trong khi đi tìm hàm lấy tích phân và trình bày lời cho bài toán đặt ra

2 Kết quả thực nghiệm

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình

+ Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), được áp dụng sáng kiến + Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến

Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, còn không dạy thực nghiệm ở lớp 12A3, tôi cho cả 3 lớp làm bài kiểm tra

Với kết quả như sau:

Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com

Đề kiểm tra khảo sát 45 phút

SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM

TRƯỜNG THPT SỐ 1 BỐ TRẠCH Thời gian làm bài: 45 phút

1x

Hướng dẫn:

Bài 1 Sử dụng  

1

2013 1

1 x dx

 Kết quả: Hệ số cần tìm là 21

4

KẾT LUẬN

Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng có nhiều dạng toán mà trong chương trình sách giáo khoa không được giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học lớp 12, tôi đã mạnh dạng đưa ra một số bài tập của Đại

số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho các em trên lớp và hy vọng vấn đề này trong những năm học tiếp theo học sinh được biết đến trên lớp và trong nội dung của chương trình học

Do sự hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu, trong sáng kiến này không thể tránh khỏi thiếu sót Tôi rất mong sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô và các bạn để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009.

2 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản giáo

5 Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong giải

toán THPT, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009

6 Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản tri

thức 2006

- HẾT -