Bài tập xác suất giải chi tiết (miễn phí )

Bài tập phần 1 - Xác suất.

Trang 1

GVHD: NGUYÊN NGỌC SIÊNG

Bài 1:

Hỏi có bao nhiêu cách xếp r hành khách lên n toa tàu, mỗi người có thể lên 1 toa bất kỳ và mỗi toa chứa hơn r người?

> Để xếp r hành khách lên n toa tàu ta chia làm r giai đoạn, giai đoạn ¡ xếp cho người thứ ¡ Số cách xếp là n (í = LT)

> Theo quy tắc nhân số cách xếp r hành khách lên n toa tàu là:

nxnx xn=n"

Bai 2:

1 người chọn số PIN có 6 chữ số của thể ATM:

a) Hỏi có bao nhiêu số PIN người đó có thể chọn?

b) Hồi có bao nhiêu số PIN có 6 chữ số khác nhau?

Giải:

a) Mỗi số PIN có 6 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1, 2, .„9) Vậy sỐ các số Pin có 6 chữỮ số là:

A’, = 10° = 1.000.000 b) Một số PIN có 6 chữ số khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 6 từ 10 phần tử (0, 1,

2, 9) Vậy số các số Pin có 6 chữ số khác nhau là:

Ag ¬ 151.200 10" (10-6)! 4L `”

1 công ty cần tuyển 4 nhân viên, có 15 người nộp hồ sơ, trong đó có 10 nam và

5 nữ Khả năng được tuyển của mỗi người như nhau

a) Hỏi có bao nhiêu kết quả đồng khả năng xảy ra?

b) Hồi có bao nhiêu kết quả 4 người được tuyển gồm 2 nam 2 nữ?

Giải:

a) Mỗi kết quả đồng khả năng là chọn ra 4 người tỪ 15 người không kể thứ tự

là 1 tổ hợp chập 4 tỪ 15 phần tử Vậy số kết quả đồng khả năng xảy ra là :

151 151 12.13.14.15

C4 = 4!I(15— 4)! = 4!.11! = 1.2.3.4 = 1365

b) Để có kết quả 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ ta chia làm 2 giai đoạn:

* Giai đoạn 1: Chọn 2 nam trong 10 nam, số cách chọn là: C?y = 45

* Giai đoạn 1: Chọn 2 nỮ trong 5 nữ, số cách chọn là: C2 = 10

Vậy số kết quả của 4 người được tuyển có 2 nam 2 nữ là:

Ca.C? = 45.10 = 450

Nguyễn Phan Thanh Lâm

Trang 1

Trang 2

Bài tập xác suất xác suất thống kê -

Bài 4:

1 hộp có 6 bi đỏ 4 bi xanh, lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, tìm xác suất bi lấy ra 1a bi

đỏ

Giải:

* Số kết quả đồng khả năng xảy ra la: Cio = 10

* Goi A là biến cố bi lấy ra là bi đỏ

* SỐ kết quả thuận lợi cho A xảy ra là: C¿ = 6

* Xác suất bi lấy ra là bi đỏ là:

6 A) =—=0,6

p(A) 107

Bài 5:

Một hộp có 6 bi đỏ, 4 bi xanh lấy ngẫu nhiên ra 4 bi Tìm xác suất 4 bi lấy ra

có 2 bi đỒ và 2 bi xanh

Giải:

* Số kết quả đồng khả năng xảy ra là: Co = 210

* Gọi A là biến cố 4 bi lấy ra có 2 bi đỏ và 2 bi xanh:

C? C‡ = 90

* Vậy

90 3 p(4)=zT9=7

Bài 6:

Một người mua 1 vé số có 5 chữ s6 tìm xác suất:

a) ĐỂ người đó trúng giải 8?

b) Để người đó trúng giải khuyến khích?

Giải:

Mỗi vé số có 5 chữ số là 1 chỉnh hợp lặp chập 5 từ 10 phần tử (0,1, ,9), vậy số vé số có 5 chữ số là:

A®, = 10 = 100.000 Mua 1 vé số kết quả đồng khả năng xảy ra là 100.000

Trang 3

a) Gọi A là biến cố người đó trúng giải 8, giả sỬ giải tám là ab, khi đó các vé trúng giải tám là xyzab ứng với 1 chỉnh hợp lặp chập 3 : x,y,z từ 10 phần tử (0,1, 9), vậy sỐ vé sO trúng giải tám là:

4ÿo = 10 = 1000

* Số kết quả thuận lợi cho A xảy ra là 1000

* Vay

P()= 108000 ~ 100

b) Gọi B là biến cố người đó trúng giải khuyến khích

' Giả sử giải đặc biệt là: abcde

v Các vé trúng giải khuyến khích:

e xbcde (x#a) c6 9 vé

e abxde (x#c) c6 9 vé

e abcxe (x#d) cé 9 vé

e abcdx (x#e) c6 9 vé

* Số vé trúng giải khuyến khích là: 9.5 = 45

*_ Vậy số kết quả thuận lợi cho B xảy ra là 45

* Vậy

p(P)=

Bài 7:

Hai người A và B hẹn gặp nhau tại 1 địa điểm trong khoảng thời gian từ 8h đến 9h, người đến trước đợi người kia quá 15° bỏ đi, tìm xác suất để A, B gặp nhau

Giải:

45 100.000

Quy gốc thời gian về 8h

s - Gọi x,y lần lượt là thời điểm tới điểm hẹn (đơn vị phút) của A và B, khi đó

0<xz<60,0<y<Ó60,

0 ={(x,y)eR?: 0< x < 60,0 < y < 60}

là miền phẳng giới hạn bởi hình vuông OCDE

¢ Gọi F là biến cố A và B gặp nhau, khi đó mỗi phần tử của F là cặp (x,y) sao cho khoảng cách giữa

ly - xÌ < 15 © —15 < y — x < 15 © x— 15 < y < x + 15

Trang 3

Trang 4

vay F = ((x,y)eQ: x— 15 < y< x + 15} là miền phẳng giới hạn bởi đa giác lồi

OIJDLM

S6 do (F) = dién tich (OUDLM) = 60° - 2:2- = 60 — 45° = 1575

Bai 8:

Một hộp có 6 bi đỒ và 4 bi xanh lấy cùng hic ra 3 bi, tim:

a) Xác suất 3 bi lấy ra cùng màu

b) Xác suất 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ

Giải:

a) Gọi _ A là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi đỏ

B là biến cố 3 bi lấy ra đều là bi xanh

C là biến cố 3 bi lấy ra cùng màu

Khi đó C = A UB, hai biến cố A, B xung khắc nên:

p(€) = p(AU B) = p(A) +p(B)

Ta CÓ:

4= =—=-

PA) = cã = 120 =6

B) =— = — = —

p(s) c3, 120 30

Vay

1 1 Cc) =-+—=0,2 p() 6 30 b) Gọi D là biến cố 3 bi lấy ra có ít nhất 1 bi đỏ

Cách 1

Gọi D là biến cố đối lập của biến cố D, tức Ð là biến cố 3 bi lấy ra đều là

xanh Khi đó

D) == =~ =1-p(D

Vậy

1 29

p(D)=1~p(P)=1~ =1

Cách 2

Gọi A, là biến cố 3 bi lấy ra đều đúng ¡ bi đỏ (¡ = 1,2,3), khi đó:

D = A, U A, U A cc bién c6 Ai, A>, As xung khắc từng đôi nên:

p(D) = p(A; UV Az U Ag) = p(Ay) + p(A2) + p(Ag)

Trong đó:

Trang 5

PA) = Cs = 359 ~ 10

A>) = =——_=_—

P(A) =a = 120 =2

= p(D) = p(A¡) + p(4;) + p(A;) = 30 Bài 9:

Trong 1 kho chứa tivi có số liệu

Hiệu

chọn ngẫu nhiên 1 TV để kiểm tra, tìm xác suất để TV chọn ra là TV Sony hoặc TV

45 inches

Giải:

Gọi _ A là biến cố TV chọn ra kiểm tra la TV sony

B là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV 45 inches

C là biến cố TV chọn ra kiểm tra là TV sony hoặc 45 inches

€C=AUB ; hai biến cố A và B độc lập nên

Khi đó

p(€) = p(AU B) = p(A) + p(B) — p(An B)

TỪ bảng số liệu:

pia)=2; p(@)=—; plans) ==

Vay

20 17 5 35

p(C) = 5+ 53 5a g8

Bai 10:

Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy lần luot tling bi 1 cho tới khi lấy được 2

bi xanh thì thôi, tìm xác suất để lấy đến viên thứ 3 thì thôi

Giải:

A,la biến cố lấy được bi xanh ở lần thứ ¡ (¡ = 1,2,3)

Ä,là biến cố đối lập với biến cố A: (¡ = 1,2,3)

A là biến cố lấy đến viên thứ 3 thì thôi

Khi đó: 4 = 4i4;4sU 4;4;4:, hai biến cố 4:4;4a, 4¡4;4z xung khắc nên:

p() = p(A+4;A;) + p(A+A;4;)

Gọi

Trang 5

Trang 6

Bài tập xác suất xác suất thống kê x

GVHD: NGUYEN NGOC SIENG

« p(A+4;4;) = p(A:).p(2/A1).p(A:/A+Ã;) =šXzXš =ĩg

« p(:A;4;) = p(;).p(A;/21).p(A:/Ã14;) =šX;Xš =ĩg

Vậyp(4) => + = 0,2

Bài 11:

Một người nhặt được 1 thẻ ATM có số PIN 6 chữ số, người đó giao dịch với

máy ATM cho tới khi giao dịch được hoặc bị thu thẻ thì thôi

Tìm xác suất người đó giao dịch được

Giải:

Gọi _ A là biến cố người đó giao dịch được

Ä là biến cố đối lập với biến cố A, tức Ã là biến cố người đó bị thu thẻ Khi đó: Ä= 4:4z4: nên

p(Ä) = p(A4;Ã;) = p(A;).p(A;/41).p(A;/A4;)

Ta Có:

108 — 1

A =

PAD) = —10s

Ta 108 — 2 PA2/A:) = eG

108 —3 p(A3/A;A2) = 106 —2

Vậy

(0 106—1 1056—2 106-3 105—3

10°-3 3

Bai 12:

Một thiết bị có 3 bộ phận hoạt động độc lập, xác suất hổng của bộ phận 1,

bộ phận 2, bộ phận 3 trong khoảng thời gian t tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3

a) Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t cả 3 bộ phận đều hỏng

b) Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có ít nhất 1 bộ phận hồng

c)_ Tìm xác suất để trong khoảng thời gian t có đúng 1 bộ phận hỏng

a) Gọi _ A, là biến cố bộ phận ¡ bị hỏng trong khoảng thời gian t (¡ = 1,2,3)

Ä, là biến cố đối lặp với biến cố A:( = 1,2,3)

p(Aj)=0,1; p(4;)= 0,2; p(A;)= 0,3

p(Ay) = 0,9; p(4;)= 0,8; p(4;)= 0,7

Trang 7

Gọi A là biến cố cả 3 bộ phận đều hỏng, khi đó A = A:AzAs; các biến cố A:, A;, A;

độc lập nên:

p(4) = p(A+A;A;) = p(A:).p(A;) p(4;) = 0,1 x 0,2 x 0,3 = 0,006

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 bộ phận hỏng B = 4: UA; UA;

Cách 1:

p(B) = p(A,U A, U Ag)

= p(A,) + p(A2) + p(s) — p(A+4;) — p(y 3) — p42 Ag) + p(A1 4243)

v_ p(A:4;) = p(A;).p(4;) = 0,1 x 0,2 = 0,02

v_ p(A:4;) = p(A:).p(4;) = 0,1 x 0,3 = 0,03

v_p(Az4;) = p(A;).p(4;) = 0,2 x 0,3 = 0,06

v_ p(A+4;4;) = p(A).p(4;).p(A;) = 0,1 x 0,2 x 0,3 = 0,006

Vay p(B) = 0,496

Cách 2:

Gọi là biến cố đối lặp với biến cố B, khi đó:

B=Ã¡U4;U4; = 4¡n4;nñ 4; = Ã¡4;4;

các biến cố 4 4z, 4; độc lập nên:

p(B) = p(Ã:34;4;) = p(A:).p(4;).p(Ã;) = 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,504

vay p(B) = 1— p(B) = 1— 0,504 = 0,496

c) Goi C là biến cố có đúng 1 bộ phận bị hỏng, khi đó:

C = A,A2A3U A,A2A3U A14;4;

cdc bin c6 414243, AyA2A3, 4:4z4; xung khắc từng đôi nên

p(C) = p(A,A2A3) + p(Ã+A;Ã;) + p(Ã+Ã;4;)

ta có 4, 4›,4a,độc lập ; A,4;,4;độc lập ; 4+, A;, A;độc lập nên:

p(A:4242) = p(A:).p(3;).p(4;) = 0,1 x 0,8 x 0,7 = 0,056

p(AyA2A3) = p(Aj) p(A2) p(A3) = 0,9 x 0,2 x 0,7 = 0,126

p(AyAzA3) = p(Ay) p(A) p(A3) = 0,9 x 0,8 x 0,3 = 0,216

Vậy p(€) = 0,056 + 0,126 + 0,216 = 0,398

Bai 13:

Một nhà máy có 3 phân xưởng; phân xưởng 1, phân xưởng 2, phân xưởng 3 sản xuất 1 lượng sản phẩm tương ứng 30%, 50%, 20%, biết tỷ lệ phế phẩm do phân xưởng 1, phân xưởng 2 , phân xưởng 3 sản xuất tương ứng là 2%, 3%, 4% Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy Tìm xác suất sản phẩm lấy ra là phê phẩm từ đó suy ra tỉ lệ phế phẩm của nhà máy

Giải:

Gọi A: là biến cố sản phẩm lấy ra do phân xưởng ¡ sản xuất (¡ = 1,2,3)

p(A,) = 30% = 0,3

Trang 7

Trang 8

p(A;) = 50% = 0,5

p(A:) = 20% = 0,2

Cac bién c6 Ai, Ao, A; hệ đầy đủ

Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(;).p(A/A:) + p(A;).p(A/A;) + p(4;).p(A/A:)

trong đó:

p(A/A;) = 2% = 0,02

p(A/4;) = 3% = 0,03 p(A/4;) = 4% = 0,04 Vay p(A) = 0,029 = 2,9%

TỈ lệ phế phẩm của nhà máy p = p(A) = 2,9%

Bài 14:

Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi

a) Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ

b) Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đồ, tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 1 có 1 bi đỏ

và 1 bi xanh

Giải:

Gọi A; là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 cé i bi dd (i = 1,2)

Po C2, 45 15

Ci.ci 24 8

PAD) =r = 95 1g

é 15 1

6

PA) = cr = 45-3

Các biến cố Ai, Ao, As tao thanh hé day du

Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đổ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(Ap).p(A/Ao) + p(A:).p(A/A:) + p(4;).p(A/4:)

ta CÓ:

p(A/4:)= ca “3573

Trang 9

vậyP(A) = s-as Í 1s'ag Ì1g'ás — Tag

Áp dụng công thức Bayes ta có:

p().p(A/A1)

p(A1/A)=————— p(4) 153 49 49 8 1135 24

Bài 15:

Có 2 chiếc hộp, hộp 1 có 6 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp 2 có 5 bi đỏ 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 rồi sau đó từ hộp 2 lấy ra 2 bi

Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp 2 là bi đỏ

Giải:

Gọi A; là biến cố bi lấy từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 là bi đỏ

A; là biến cố bi lấy từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 là bi xanh

A)=-—-=—=-

p(4;) cl 10 5

đ` 4 2

A3)=-—-=—=- p(4;) ch, 10 5 Hai biến cố A;, A; tạo thành hệ đầy đủ

Gọi A là biến cố 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đổ, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(A1).p(A/A1) + p(A;).p(A/4;)

yaya _15 _ 5

P(AJA))= cŠ “3g “ 1a

P(a/ 5 36 18

25 13

vay P(A) = 5°12 5°18 36

Bai 16:

Một thùng sản phẩm có 20 sản phẩm, trong đó có 15 chính và 5 phế phẩm Trong qúa trình vận chuyển bị mất 2 sản phẩm không rõ chất lượng, ta lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm trong 18 sản phẩm còn lại

a) Tim xác suất 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm

Trang 9

Trang 10

b) Biết 2 sản phẩm lấy ra đều là chính phẩm, tìm xác suất để 2 sản phẩm bị mất có 1 chính và 1 phế phẩm

Giải:

a) Gọi A; là biến cố 2 sản phẩm bị mất có ¡ chính phẩm (¡ = 0,1,2)

(4,) = Cđ 10 1

po’ CZ, 190 19

A.) = 223 2

P(A)= “c2 =1ag “3a

Ci; 105 21

p(4;) = = Z2 — 180 38 =

Gọi A là biến cố 2 sản phẩm lấy ra là chính, áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:

p(A) = p(Ao).p(A/Ao) + p(A:).p(A/A:) + p(4;).p(A/A;)

p(4/Aa)= Œ 105

(A/4:)= an p(A/4i C2, 153 753 p(A/4;) = cis _ 78 3 CẬ 105 =

(A) = _ i 105 15 91 21 78

vậy? 19°153 | 38°153 38`105

b) Áp dụng công thức Bayes:

p(A:).p(A/A:)

p(A:/4) =————————— P(A)

Bai 17:

Một hộp có 10 quả bóng bàn, trong đó có 6 quả mới và 4 quả đã sử dung

+ Lần 1 lấy ngẫu nhiên 1 quả thi đấu xong bỏ lại

+ Lần 2 lấy ngẫu nhiên 2 quả thi đấu

Tìm xác suất 2 quả lấy ra đều mới

Giải:

Goi A: 1a biến cố quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả mới

4; là biến cố quả bong bàn lấy ra thi đấu lần 1 là quả đã sử dụng

— n PACE 5

Gọi A là biến cố 2 quả bóng bàn lấy ra thi đấu lần 2 là quả mới, áp dụng công thứỨc xác suất toàn phần ta có:

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	6,24 MB