CÁC CHỦ ĐỀ TOÁN GIẢI TÍCH 12

Ôn tập Toán 12 luyện thi theo chủ đề

CÁC CHỦ ĐỀ TOÁN GIẢI TÍCH 12 CHƯƠNG I

Chủ đề 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên D, với D là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng 1.Hàm số y= f x( )được gọi là đồng biến trên D nếu ∀x x1, 2∈D x, 1<x2 ⇒ f x( )1 < f x( 2)

2.Hàm số y= f x( )được gọi là nghịch biến trên D nếu ∀x x1, 2∈D x, 1<x2 ⇒ f x( )1 > f x( 2)

II.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng D

1.Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến trên D thì f x'( )≥ ∀ ∈0, x D

2.Nếu hàm số y= f x( ) nghịch biến trên D thì f x'( )≤ ∀ ∈0, x D

III.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

1.Định lý 1 Nếu hàm số y= f x( )liên tục trên đoạn [ ]a b, và có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈( , )a b sao cho: f b( )− f a( )= f c b a'( )( − )

2.Định lý 2 Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng D

1.Nếu f x'( )≥ ∀ ∈0, x D và f x'( )=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số đồng biến trên D

2.Nếu f x'( )≤ ∀ ∈0, x D và f x'( )=0chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc D thì hàm số nghịch biến trên D

3.Nếu f x'( )= ∀ ∈0, x D thì hàm số không đổi trên D

2 2

10

y x

1

x x m mx

+ ++ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 3.Tìm m để hàm số y= 3mx+ 2

Dạng 1.Xét chiều biến thiên của hàm số y= f x( )

Dạng 2 Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước

-6x2+(2m-1)x+1 tăng trên (0;2)

10.Tìm m để hàm số y= 2 6 2

2

mx x x

+Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định

15.Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1

+x3- 1 3x− +4=0 3.Giải phương trình 1 2 2

I.Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên D⊂R và x0∈ D

1.x0được gọi là một điểm cực đại của hàm số y= f x( ) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm x sao 0

cho ( , )a b ⊂ và D f x( )< f x( ),0 ∀ ∈x ( , ) \a b { }x0 Khi đó f x ( )0 được gọi là già trị cực đại của hàm số và

0 0

( ; ( ))

M x f x được gọi là điểm cực đại của hàm số

2.x0được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số y= f x( ) nếu tồn tại một (a,b) chứa điểm x sao 0

cho ( , )a b ⊂D và f x( )> f x( ),0 ∀ ∈x ( , ) \a b { }x0 Khi đó f x ( )0 được gọi là già trị cực tiểu của hàm số và

0 0

( ; ( ))

M x f x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số

3.Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị của hàm số

II.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y= f x( )có cực trị tại x0.Khi đó, nếu y= f x( )

có đạo hàm tại điểm x thì 0 f x'( 0)= 0

III.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :

1.Định lý 1 (Dấu hiệu 1 để tìm cực trị của hàm số )

Giả sử hàm số y= f x( )liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm x0và có đạo hàm trên các khoảng

( ,a x ) và ( , )x b Khi đó :

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x 0

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x 0 thì hàm số đạt cực đại tại x 0

2.Định lý 2 (Dấu hiệu 2 để tìm cực trị của hàm số )

Giả sử hàm số y= f x( )có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm x ,0 f x'( 0)=0và f(x) có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 Khi đó:

+ Nếu f ''(x0)< 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x 0

+ Nếu f ''(x0)> 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN

* Phương pháp1 (Quy tắc 1)Tìm cực trị của hàm số y= f x( )

1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x'( )=0 tìm nghiệm thuộc tập xác định

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số

3.Lập bảng biến thiên 4.Kết luận

4.Kết luận

+Nếu ''( ) 0 f x i < thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

+Nếu ''( ) 0 f x i > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

9

x y x

b Hàm số đạt cực đại ,cực tiểu tại các điểm x1,x2 và x1−x2 =4 2

Dạng 2.Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thõa mãn điều kiện cho trước

VD3:Cho hàm số y=2 2 2 1

1

x mx m x

+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu VD4:Cho hàm số y= 2x3

-3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 Tìm m để các điểm cực đại ,cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y=x+2

VD5: Cho hàm số y= x3

-3x2-mx+2 Tìm m để

a Hàm số có cực đại ,cực tiểu trong khoảng (0;2)

b Hàm số có cực đại ,cự tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu cách đều đường thẳng y=x-1

a CMR hàm số có cực đại cực tiểu với mọi m

b Xác định m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng (d) y=-2x

a Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía khác nhau của trục tung

b Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu

y= x − m+ x + m m+ x+ a.Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m hàm số luôn đạt cực đại và cực tiểu tại x x và 1, 2

+ .Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời

các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O ( A – 2007)

+ (Cm) CMR với mọi m (Cm) luôn có cực đại cực tiểu

và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 20 ( B – 2005)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA=BC; trong đó O là gốc tọa

độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B,C là hai điểm cực trị còn lại

(B – 2011)

Chủ đề 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I.Định nghĩa: Cho hàm số y= f x( )xác định trên D⊆ R

1.Nếu tồn tại một điểm x0∈ sao cho D f x( )≤ f x( 0),∀ ∈ thì số x D M = f x( 0)được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D, ký hiệu ax ( )

II.Phương pháp tìm GTLN,GTNN của hàm số : Cho hàm số y= f x( )xác định trên D⊆ R

Bài toán 1.Nếu D=( , )a b thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x'( )=0 tìm nghiệm thuộc tập xác định 3.Lập bảng biến thiên

4.Kết luận Bài toán 2 Nếu D=[ ]a b, thì ta tìm GTLN,GTNN của hàm số như sau:

1.Tìm tập xác định của hàm số 2.Tính f x'( ) và giải phương trình f x'( )=0 tìm nghiệm x x1, 2 thuộc tập xác định 3.Tính f a( ), ( ), (f x1 f x2) ( )f b

Bài toán 3 Sử dụng các bất đẳng thức thông dụng như : Cauchy, Bunhiacốpxki, …

Bài toán 4 Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình, tập giá trị của hàm số

PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Dạng 1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN ( nếu có ) của các hàm số sau:

9.y= f x( )= 1 s inx+ + 1+cosx 10.y= f x( )= −2 cos 2x+cosx-3

11.y= 2− +x 1+ − − + + x x2 x 2 12.y=2 sin cosx x+sinx−cosx

( ) sin os sin cos

y= f x = x c+ x+m x x.Tìm m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2

+ Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn -1

VD4 Tìm các giá trị của tham số a,b sao cho hàm số ( ) a +b2

y= f x = x + x− a+ với − ≤ ≤3 x 4.Xác định a để giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

VD1 Một tấm tôn hình vuông cạnh bằng a Người ta phải cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc để

gò thành một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp, cạnh hình vuông cắt đi bằng bao nhiêu thì bể có thể

ĐS.Các kích thước của hình chữ nhật là R 2(hình vuông)

VD3 Trong các khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R, hãy xác định khối trụ có thể tích lớn nhất

x +y =R Hãy tìm các điểm H trên (C) sao cho tiếp tuyến tại đó cắt hai trục tọa độ tại A và B có độ dài đoạn AB nhỏ nhất

VD5 Tìm hình thang cân có diện tích nhỏ nhất ngoại tiếp đường tròn bán kính R cho trước

Dạng 2.Tìm GTLN,GTNN của hàm số có chứa tham số

Dạng 3.Ứng dụng của bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

VD6 Cho x2+y2 =1 Tìm Max, Min của biểu thức 2( 22)

xy y P

xy x

+

=+ +

2.Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng (d):y= y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) của hàm số y= f x( ) nếu

3.Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng (d) y=ax b a+ ( ≠0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị (C) của đồ thị hàm số

Chú ý: Cách tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y= f x( )

Đường thẳng (d) y=ax b a+ ( ≠0)là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y= f x( ) khi và chỉ khi

Ví dụ 2 Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

3 2 2

− Tìm m sao cho đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang

và các tiệm cận cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bắng 8

1.Bài toán 1 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) có đồ thị (C) tại một điểm

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M x y( ,0 0)∈( )C có dang : y−y0 = f x'( 0)(x−x0) Trong đó f x '( 0) được gọi là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M x y ( ,0 0)

2.Bài toán 2 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) có đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước

1.Gọi M x y( ,0 0)là tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có M∈( )C ⇒y0 = f x( 0)

Phương trình tiếp tuyến có dạng y− f x( 0)= f x'( 0)(x−x0)2.Vì hệ số góc của tiếp tuyến bằng k nên f x'( 0)=k, giải PT f x'( 0)= tìm được k x0 ⇒ y0

3.Kết luận

Chú ý: Nếu hai đường thẳng song song thì hai hệ số góc bằng nhau Nếu hai đường thẳng vuông góc thì tích hai hệ số góc bằng -1

3.Bài toán 3 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f x( ) có đồ thị (C) đi qua một điểm ( , )A x A y A

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k

d: y=k x( −x A)+y A (1) 2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

( ) ( )'( )

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 2

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)

a.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có tung độ bằng 3

b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với góc phần tư thứ hai

c.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0, -2)

y= f x = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm

Ví dụ 5.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 3 2

c Tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆:x+ − =y 3 0

d Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: 4x− +y 10=0

e Tiếp tuyến đi qua điểm M(2,0)

a.Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phan biệt A(0,1), B, C

b.Tìm m để các tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau

Dạng2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số thõa mãn điều kiện cho trước

− + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a Tiếp tuyến song song với đường thẳng x−2y+ =2 0

b Tiếp tuyến tạo với ∆:y= −2x một góc 0

a Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn AB

b Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi

c Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

Ví dụ 15 Cho hàm số 1

x y x

− +

=

−

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y= +x mluôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A

và B Gọi k k1, 2lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C) tại A và B Tìm m để tổng k1+ đạt giá trị k2

Phương pháp: Giả sử ta cần biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua ( , ) A x A y A

1.Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A với hệ số góc k

d: y=k x( −x A)+y A (1) 2.d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương tình sao có nghiệm

Dạng 3.Biện luận số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua một điểm

( ) ( )'( )

y= f x =x − x + có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm mà từ đó

kẻ được đến đồ thị (C) của hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

y= f x =x − x có đồ thị (C) a) Viết phương trình tiếp của (C) đi qua gốc tọa độ O

b) Tìm điểm M thuộc (C) để tiếp tuyến với (C) tại M còn cắt (C) tại hai điểm A và B sao cho A là trung điểm của MB

c) Tìm điểm M trên trục tung sao cho qua M có thể kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

y= f x =x − x + có đồ thị (C) Tìm những điểm trên trục Ox sao cho từ đó có

thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C)

y= f x = − +x x + x− có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y=2x−1các điểm

kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C)

− có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết khoảng cách

từ điểm I(1,1) đến tiếp tuyến này là lớn nhất

a.Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại giao điểm của (C) và trục Oy

b.Tìm m để ∆ chắn trên hai trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8

Chủ đề 6 SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Giao điểm của hai đồ thị Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị (C1)và hàm số y=g x( ) có đồ thị (C 2)

+ Hai đồ thị (C và 1) (C 2) cắt nhau tại điểm M x y( ;0 0)⇔( ;x y0 0)là nghiệm của hệ phương trình

( )( )

+Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C và 1) (C 2)

2.Sự tiếp xúc của hai đường cong Cho hai hàm số y= f x( ) và y=g x( ) có đồ thị lần lượt là (C 1)

và (C 2) và có đạo hàm tại điểm x 0

+Hai đồ thị (C và 1) (C2)tiếp xúc với nhau tại một điểm chung M x y ( ,0 0) nếu tại điểm đó chúng có chung cùng một tiếp tuyến Khi đó điểm M được gọi là tiếp điểm

+Hai đồ thị (C và 1) (C 2) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

( ) ( )'( ) '( )

a) Chứng minh rằng với mọi m, (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

b) Giả sử (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm A và B Tìm m để độ dài đoạn AB nhỏ nhất

y= f x =x − x + x− Định m để đường thẳng (d):y=mx−2m−4 cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

y= f x = − +x m+ x − m− ( )C m Định m để đồ thị ( )C m cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng

( Khối B – 2010)

y= f x =x − x + −m x+m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x 1; 2; 3 thõa mãn điều kiện 2 2 2

+ có đồ thị (C) Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng d: y =

m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB (Với O là gốc tọa độ )

Ví dụ 12.Chứng minh rằng nếu đồ thị hàm số 3 2

y= f x =x + +bx+ (C) cắt trục hoành tại ba điểm c

cách đều nhau thì điểm uốn nằm trên trục hoành

Ví dụ 13 Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=+

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số đã cho

b Tìm k để đường thẳng y=kx+2k+1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho khoảng

cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau ( Khối D – 2011)

Chủ đề 7 KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHẦN I PHƯƠNG PHÁP

Các bước chính khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y= f x( )

1 Tìm tập xác định của hàm số

2 Sự biến thiên + Tính các giới hạn và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có) + Tính đạo hàm y’ và giải phương trình y’ = 0 (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên + Nêu kết luận về tính biến thiên và cực trị của hàm số

3 Đồ thị + Tìm các điểm đặc biệt thuộc đồ thị hàm số (như giao với trục tung, trục hoành (nếu có)

và lấy thêm một số điểm đặc biệt khác) + Vẽ đồ thị hàm số và nhận xét

Lưu ý: Để vẽ tốt đồ thị hàm số ta cần nắm được hình dạng của nó từ bảng biến thiên và các điểm đặc biệt PHẦN II MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Ví dụ 1 Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 1

2 Cách đều hai tiệm cận của đồ thị hàm số

3 Cách đều hai điểm A(0;0) và B(2;2)

4 Tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

y= f x =x − x −

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Khi a thay đổi biện luận số nghiệm phương trình: 3 2

− + + − = có ba nghiệm phân biệt

c Viết phương trình đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số (C1)

MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG I TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN CỪ KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I

ĐỀ 02 Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1(4,0 điểm): Cho hàm số 1 4 2

4

y = − x + x − a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) hãy tìm tất cả các số thực m để phương trình sau −x4 +8x2 −4m = có 4 0nghiệm thực phân biệt

Câu 2(3,0 điểm):

a) Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị (H): 2 1

2

x y x

−

=+ b) Cho hàm số y=x3+3mx2 −(m+1)x+1 (Cm).Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đường thẳng (d):y= −1 3x cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt A, B và C(0; 1) sao cho

a) Tìm m để hàm số 2 3 2

y= m + m x − mx − x+ đạt cực tiểu tại x = 1

- HẾT -

SỞ GDĐT ĐĂK LĂK KIỂM TRA 1 TIẾT GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I (CB)

Trường THPT Nguyễn Văn Cừ Năm học: 2012 – 2013

Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ 01 Câu 1(6,5điểm)

Cho hàm số 2 1

2

x y x

+

=+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung

c) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d): y = m – x luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn nhất

Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)

Câu 1(4,0 điểm)

Cho hàm số y = - x4

+ 2x2 + 3 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Dùng đồ thị (C) để tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình

x4 - 2x2 + 3m – 5 = 0 có bốn nghiệm thực phân biệt

Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số 2

2

x y

x

−

=

− có đồ thị (H)

1/ Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị (H)

2/ Tìm k để đường thẳng d có phương trình y = kx – 2k – 2 cắt đồ thị (H) tại hai

điểm A, B phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn AB

II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)

H ọc sinh được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình chuẩn

SỞ GDĐT ĐĂK LĂK KIỂM TRA 1 TIẾT MÔN ĐẠI SỐ 12 – CHƯƠNG I

ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2009 – 2010

Thời gian làm bài: 45 phút (không kể thời gian giao đề)

I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7 điểm)

Câu 1( 4,0 điểm) Cho hàm số y = x3

– 3x2 + 2

1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2/ Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3

– 3x2 – m = 0

Câu 2(3,0 điểm) Cho hàm số 2 3

1

x y x

+

=

1/ Viết phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

2/ Xác định tọa độ điểm A ở trên đồ thị hàm số cách giao điểm của hai đường tiệm cận một đoạn

bằng 26

II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)

H ọc sinh được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 3a (3,0 điểm)

1/ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )= +x 2 5−x với x∈ −[ 4;5]

2/ Tìm m để hàm số y = x4

– 2mx2 nhận điểm x = 1 làm điểm cực tiểu

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 3b (3,0 điểm) Cho hàm số f x( )= +x 2 5−x

1/ Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với parabol ( ) 2 10

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Dùng các phép biến đổi để đưa phương trình đã cho về dạng : f x( ) g x( )

a =a (1) Nếu cơ số a là một số dương khác 1 thì (1)⇔ f x( )=g x( )

Nếu cơ số a thay đổi (có chứa biến hoặc chứa tham số) thì [ ]

0(1)

Dạng 3 : Phương pháp lôgarit hóa

Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng sau :

Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng f x( )=g x( ) (*)

• Bước 1 : Chỉ ra x 0 là một nghiệm của phương trình (*)

• Bước 2 : Chứng minh f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm nghịch biến hoặc f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm hằng hoặc f x( ) là hàm nghịch biến, g x( ) là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất

3 ,x 0

t= − t> Phương trình (1) 2

Bài 1 : Giải các phương trình sau

2 log3x+log9x+log27x= 11 ĐS : 729

3 log3x+log (3 x+2)= 1 ĐS : 1

3 log (2 x2+3x+ +2) log (2 x2+7x+12)= +3 log 32 (ĐH Quốc Gia HN-1998) ĐS : 0;-5

4 2 log92x=log3x.log ( 23 x+ − 1 1) (ĐH Thủy Lợi-1998) ĐS : 1; 4

5 log2x+log3x=log2x.log3x (ĐH Đông Đô-1999) ĐS : 1; 6

6 log5x+log3x=log 3.log 2255 9 (ĐH Y Hà Nội-1999) ĐS : 3

7 log (4 x+1)2+ =2 log 2 4− +x log (8 x+4)3 (ĐH Bách Khoa HN-2000) ĐS : 2; 2 2 6−

8 log2+ 3( x2+ +1 x)2+log2− 3( x2+ −1 x)= 6 (ĐH Y Thái Bình-1998) ĐS : 4 3

Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một loại hàm số lôgarit, đặt ẩn phụ t để đưa phương trình biến số

x đã cho về phương trình mới với biến t, giải phương trình này tìm t rồi từ đó tìm x

Bài 1 : Giải các phương trình sau

27

13 log4(log2x) + log2(log4x) = 2 (đặt t= log x ) 4

Bài 2 : Giải các phương trình sau

2 log (22 x+ −1) 6 log2 x+ + = 1 2 0 (Cao Đẳng -2008) ĐS : 1; 3

3 4 log9x+log 3x = 3 (ĐH Kỹ Thuật Công Nghệ TPHCM-1998) ĐS :

 Khử x trong hpt để thu được phương trình

theo ẩn t, giải pt này tìm t, từ đó tìm x

Bài 1 : Giải các phương trình sau

5 log (5 x2−6x−2)=log3x ĐS : 9

2 log ( x+ x)=log x (ĐH Kiến Trúc TPHCM-1991) ĐS : 16

Bài 2 : Giải các phương trình sau

2 log5x=log (7 x+ 2) (ĐH Quốc Gia HN-2000) ĐS : 5

3 log7x=log (3 x+ 2) (ĐH Thái Nguyên-2000) ĐS : 49

Dạng 4 : Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Cách 1 : (Dự đoán nghiệm và chứng minh nghiệm đó là nghiệm duy nhất)

Đưa phương trình đã cho về dạng f x( )=g x( ) (*)

• Bước 1 : Chỉ ra x 0 là một nghiệm của phương trình (*)

• Bước 2 : Chứng minh f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm nghịch biến hoặc f x( ) là hàm đồng biến, g x( ) là hàm hằng hoặc f x( ) là hàm nghịch biến, g x( ) là hàm hằng Từ đó suy ra tính duy nhất nghiệm

CHUYÊN ĐỀ:HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT

Bài 1 : Giải các hệ phương trình sau :

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số

Bài 1 : Giải các bất phương trình sau :

• Nếu a>1 thì loga f x( )>loga g x( )⇔ f x( )>g x( )> 0

• Nếu 0< <a 1 thì loga f x( )>loga g x( )⇔ <0 f x( )<g x( )

Tổng quát :

0log ( ) log ( ) ( ) 0; ( ) 0

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Giải các bất phương trình sau :

4

x x x

αα

I.2 Các tính chất:

1 ∫ f '( )x dx= f x( )+C ; 2 ∫k f x dx k f x dx k ( ) = ∫ ( ) ( ≠0);

3.∫ (f x( )±g x( ) )dx=∫ f x dx( ) ±∫g x dx( )

x x x

dx e

sin 3xdx

∫ , Biết: F(

2

π)=2 ; 6 ∫ 2 −35 +4

x x

203

2 x x 4 x 5

dx x

− + −

1 2 0

2

4 5

x dx

dx x

sin 3xdx

π

2 5 0

π

π

3 2

2 0

1 osos

c x dx

tan xdx

π

∫ ; 14

3 2

0

sin

1 os

x dx

II.3.Phương pháp đổi biến số:

3.1 Đổi biến số loại I : ( ) ( ) ' ( )

b

a

f u x u x dx

∫

B1: Đặt: u=u(x) và lấy vi phân hai vế

B2: Đổi cận: Khi :x=a α⇒ =u(a); x=b⇒β=u(b)

2 3

0 (1 )

x dx x

+

3 2

+

∫ ; 10

1 3 2

x dx

+

∫ ; 20

t anx 4 2 0

B1: Đặt: x=u(t) và lấy vi phân hai vế

B2: Đổi cận: Khi :x=a α⇒ =u(a); x=b⇒ =u(b) β

2 1

4 2x dx −

3 2

2 3 0

(1 − x ) dx

2

2 0

8

3 2

3 x

dx x

−

3 2 1

−

6 2

2

1 2

x dx x

−

6 2 2

2

1 2

x dx x

−

2 2 2

2 3

0 (1 )

x dx x

3 + x dx

1 2

x dx

3 2 2

1 3

x dx x

2 3

2 2

1 4

π

;2

1

2 1

2 2 2 2

4

x dx x

−

2 2 2

2 2

4

x dx x

−

1 2 1 3

2 xe x−dx

∫ ; 3

1

2 0

(1 3 ) − x e dx−x

∫ ; 4

1 2 0( x − 2 ) x e dx−x

1

2 2 0

(1 3 − + x 2 )2 x −xdx

1

2 2 0

ln(x −x dx)

2 2 1

ln

e

x dx x

3 1

ln

e

x dx x

∫ ; 10

2 2 1

ln

e

x dx x