Tuyển tập các bài toán về luợng giác trên các tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.

Tuyển tập các bài toán về luợng giác trên các tạp chí Toán học và Tuổi trẻ.

Trang 1

Phuong phap

Al MOT DANG BAT BANG THUG LUONG GlAC

Giả sử ƒ[A, B, C) là biểu thức chứa các hàm sổ lượng giác của các gĩc trong tam giác ABC

Giả sử các gĩc A, B, C thỏa mãn hai điểu kiện: 1)#A) +/) > z(45) +) H đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = B; 2)C) + A4) hoặc iA) f(B) = rf @) 2 [ss 3] te /(©.(5)» TT” @

đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi C = :

Khi cộng (hoặc nhân) (1), (2) ta sé c6 BOT 440+/8+R©\> 3/{5) @ hoặc /(4) /(B).ƒ(C)> ƒ' ) @ Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi A= =o: “Tương tự ta cũng cĩ bất đẳng thức với chiều ngược lại

Để mình họa cho phương pháp trên ta xét các bài tốn sau đây

Trang 2

1 1 1 Su 9% Tedsind "Tessin * VeslsinC ` IeVBin60° V2+Ÿ3 ` Đẳng thức xây ra khi và chỉ khi tam giác ABC đến “Thí dụ 3 Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ t-z2)(-zz)(=ze(*4]' (sta) (sea) 2 2 + 1 {sin AsinB (mm) (san 7œ/œ>/:(%2)), 2 Tương tự (-ze)( ; Je wt) @ sinc, sin60° sinC tết 2

Nhân theo vế của (7) và (8) ta cĩ

( i malt sna) (snc) so) alate) lod) Đảng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC déu Thí dụ 3 Chứng mình rằng với mọi tam giác “ABC ta luơn cĩ

sint4 + sint2 +sintSa 3 2°64

Lời giải Trường hợp tam giác ABC tù hoặc vuơng Giả sử 4 = max|A, 8, C] > 90? , lúc đĩ sex >0 và oo 28") >0 Ta cĩ sincArsine2 {i See ——L 2

Á esis) i ASB as)

Trang 3

> Af sine 428 ine 26°") ¿ÁtB+C+609 — > đsin int 60° _ 3 5 oi CÚ Trường hợp tam giác AC nhọn, các BĐT (9), (10) và (11) luơn đúng

> sine sine sie > 3sin®

“Thí dụ 4, Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luơn cĩ (cosA + sinA).(cosB + sinB).(cosC + sinC) 2 ay s na =) Lời giải Ta cĩ (cosA + sinA).(cosB + sinB).(cosC + sinC) "- ) ss 2 heofc 5), Nên BĐT đã cho được viết lại dưới dang 5 on 4-2) cof 3-8) of) (248) 4 4 4, 4 4

+ Nếu max|Á; ð, C| > tì về tr của biểu

thức (*) khơng dương nên BĐT đã cho luơn đúng & # Néumax{A; B; C] < Tm cos(4 - ?) >0; ch) >0; cof c- 3) >0, 4 4, 4 nên «|4-E) eo|s-3) 4 4 = 1|9(+a-3)*ôô4-đ] ô3JIxee(ara-2)| <ôô(2-2) 2| 2 2 4 ex — )<=(%* Jaa 2 4 (codane rasa s7( 424) > cof 4 Tương tự síc2)=4-0<=C2-4 Do đĩ nhân theo vế của (12) và (13) và tương, tự ta cĩ cá )<4-0<4c2)s Do đĩ (cosA + sinA).(cosB + sinB).(cosC + sinC) 44.0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều Mai các bạn tiếp tục

theo phương pháp trên

“Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta cĩ

các bài tốn sau day

A B Ci

tan A tan tani ee 1) tan + tan? + tans 3

23.2"

sin" snr 2 sine Be 2

(n là số thực đương);

3) Aeosf +eos2 + CeoxE < way;

4) Nếu tam giác ABC nhọn thì

Trang 4

PHƯƠNG PHÁP GIAI TOAR

ĐẠI SỐ HỐ LƯỢNG GIÁC

HUỲNH LÂM LINH

{SV lớp Tốn 1A, ĐHSP TP Hồ Chí Minh)

M 61 mong những phương pháp hiệu quả trong chứng mình các bắt đăng thức trong tam giác là chuyên sang bài tốn đại số mà ta tạm gọi là phương pháp đại số hĩa, Thơng thưởng những lời giải đĩ đều gọn dep và sắng sửa Cĩ nhiều phương pháp chuyên sang đại số, và mỗi phương pháp đĩ đều mang một vẻ đẹp và tính hiệu quả riêng Riêng trong bài này xin giới thiệu với ban đọc một cách đại số hĩa mà theo tơi là mới

Cho tam giác 48C, BC = a, AC = b, AB = e

Gọi p, r, Đ tương ứng là nửa chu vi, bán kính

đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác đĩ Kí higu x = sin A § sinC sẽ được 2ˆ 2 sử dụng cho đến cuối bài viết 2) Jq-x1XI-y?)=z+txy và các hệ thức tương tự 2q~x)d~

Sau đây là các bài tốn minh họa

Bài tốn 1 Cho ram giác ABC khơng nhọn Chứng mình rằng R>((2 +l)r (bắt đăng thức Emmirich) se * space i Ag Bin Tời giải Sứ dụng hệ thức 7 =4sin “sin sinS ta quy bài tốn 1 về chứng minh xyz< Thật vậy, ta cĩ l= sy? +2? 4 2xy z(+x) Suy ra l—x>2yz (*) Khơng giảm tổng quát, giả sử 4 > 90° Suy ra < v2-1 4 (lưu ý , 2-v2 2 ~x<0) Bài tốn 2 (Bài tốn Jack Garfulkel)

Cho tam giác ABC thỏa man A < ; <B<C

Chứng mình rang hy + hy +h > Tr + ĐR

trong dé hy hy he tong iting la độ dài các

đường cao của tam giác kẻ từ các đình A, B, C

Trang 5

3 20xyz + 32(xyz)? iy = 28xyz+14+2 4xyz — 4 Tr+ > 28xyz+1= (đpcm)

Bài tốn 3 (Bất đăng thức Walker)

Cho tam giác ABC: nhọn Chứng minh bắt đăng thức — ?) >2Rˆ +8Rr+3r`

Lời giải Sử dụng

2(ab + ac + bc) = da? +bˆ +c° +4r(r+4R)

(xem THTT số 337, tháng 7/2005 trang 6) và

hệ thirc cosd + cosB + cosC = I, ta quy

bai toan vé dang

> Soo > i>

(cos4 + cosƯ + cosC)ˆ < sin“4 + sin’B + sin C

> sin +sin B ssin<)

2 2 =

) > 7c"

< cos? —+cos? —+cos* —, trong do

2 2 2 a

Cũng dat x’, y', z' tuong tự như x, y, z nhưng xét đơi với tam giác 4'8C”“ Khi đĩ bât đăng thức trên tương đương với

(x+y'+z?? <1-x?+lI-y?+1-z

(2)

Hay l + 4x'y'z' > 2(x'y*+ y'`z'+z'x)

Trong ba số x', w', z' phải cĩ hai số cùng khơng

lớn hơn 5 hoặc cùng khơng bé hơn a gia sử là y', 2 Khi do x'(2y' — 1)(22'- 1) 2 0

Ma I—-x'—2y'z' >0 (Theo (*))

Suyra x(2y'-I1X2z'-l)+l-x-2y'z' >0

Hay (2) được chứng minh

Bài tốn 4 (Bất đẳng thức Jack Garfulkel)

Cho tam giác ABC Chứng mình rằng A-B B-C C-A + COS + COS cos (sin A+sinB+sinC) 2 >— J3

Lời giải Sử dụng hệ thức 2 đưa BĐT trên về

M3(2xr +2yz +2zY+x+ y+Z) > 8/(—x?)(1— y)(1~z) Theo (2) thi 1+ 4xvz > 2(xv + yr + 2x) Suy ra 2(xp + yz + 2x) 2 2(x+ y +2)? -3 Dodd 2(xy+yz+zx)+yY+y+z > (x+y+z-l(2x+2y+2z+3) Dựa vào hệ thức 3 ta chi can chirng minh \3(2x+2y+2z+3)> 4/21+xXI+yXI+z) @) Từ (*) ta cĩ x(I—x)>2»pz Tương tự đối với y, z (4)

rồi cộng lại ta được x + y + z>l+ 4xyz

Để ý xyz< ỹ Đo đĩ 4(v+y+z)>l+40xyz

Ta cĩ I2(x+ y+z)? -32(xy+ yz + zx) > 4(x:+y?2+z)=4-8xyz Suy ra 32x+2y+2z+3)° 12(x+y+z)+36(x+ w+z)+27 IV 32(xy+yz+zx)+4—8xyz + 32(xy+ yz+ZX) + I+40xyz+27 = 32(+x)l+ryXI+z) Vậy (3) được chứng minh

Về bải tốn nảy bạn đọc cĩ thẻ tham khảo

thêm ở THTT số 291, thang 9 nam 2001 Bài tốn 5 (Bắt đăng thức Jack Garfulkel)

Trang 6

Vậy (6) tương đương với (I+xyz}? > (I-20z)(I+4oz~x'~y +2(x1y2+y}z2+z2x2)) > 9x2 y?z? > (1-2xyzX2(x'y?+y? 4) (1+y2+)(20°y2t22? 2) xe yee?” Thế thì a, b, c> 0 và a+ ð +e= 1, Khi đĩ BĐT (7) tương đường với 9ahc>2(ab+be+ea)~a2=b? =c? «5 he coM sa < L (8) 4 4 Tir BDT (b+c-ayet+a—bMath~e)Sabe, suy ra (I~22)(1—28)(I~2e) < abc (do tb te = 1)

Hay 1-2(a+b+¢)+4(ab + bc + ca) —8ab < abe

Suy ra BĐT (8) được chứng mình

Cuối cùng xin nêu ra một số bài tập để bạn đọc

rèn luyện

Trang 7

MỘT SỐ GỢI Ý

KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Mỗi để thì tuyển sinh vào Đại học thường cĩ một câu về phương trình lượng giác (PTLG) Phương pháp thường gặp khi giải PTLG là thực

hiện một số phép biến đổi lượng giác hợp lí để đưa bài tốn về PT tích, đặt ẩn số phụ để quy về

PT bac hai, bac ba, từ đĩ đưa về PT lượng giác cơ bản Ta nĩi biến đổi hợp lí vì các đồng nhất

thức lượng giác thường rất đa đạng

Ví dụ, nếu cẩn biến đổi cos' x-sin*, thì tùy theo đầu bài cụ thể, chúng ta sử dụng một trong các đồng nhất sau :

cost x-sin* x = cos? x-sin? x = cos2x

= 2cos*x - 1 = 1 ~2sin’x “Trong bài viết, xin được bỏ qua các phép biển đổi đơn giản hoặc viết nghiệm của các PT cơ bản

1/ Biến đãi trực tiếp về phương trình cơ bản

Thí dự 1 Giải phương trình

eos” xasin3x+sin" xeot3r=C a

Lai giải Biến đổi vế trái của (12) ta cĩ eosr(sinr-4sin`+) + sin x(4eos'+—3eost)

= 3cos x.sinx~3sin? x.cosx = 3sin.x.cos.x(cos? x—sin? x)

tin cota

PT (1) tro thank sindx=t

Luưu ý Các đồng nhất lượng giác thường gặp khi giải toần : ‘ 3 cos! xsin3x-+sin? x.cos3x==sin4x ; cos! x.cos3x+sin’ x.sin3x=cos* 2x ; % ẤP cost z+sin$ x= I=-sin22x _ loos? 2x_3+cos4e 2 40° NGUYEN ANH DUNG (Ha Noi) ane cost x4sin’ x= 12 sin? 2x _ 143e0s?2x_5+3cos4x 4 8 2I Đặt ẩn số phụ để đưa về phương trình bậc hai, bậc ba, Thí đụ 2 Giải phương trình 3 I+sin* x+cos* Loi giải (2) © 1+(sinx+cosx)(I~sin reosx)=3sin xcosx Inx+eosx thì = sin Zs} > sin2x (2) Đặt a Ins 2, lúc đĩ sinr.cosr = trở thành PT đã cho 1+ 3Ê ~ 3 =5 =0 © (+l)(È + 2¡ — 5) =0 Chú ý đến ĐK : lrl < V2 ta nhận được £ = ~I 42

Với r=—I ta được sn( Ee}

Lưu ý, Nếu đặt r= sinx + cosx - thì sindx = ~ l; sin.cosx= oo Néu d3t r= sine ~ cose thi sin2x = 1 — ”; sincése = 1? 2 “Trong cả hai phép đạt trên, đều c6 DK r< V2 Thí dụ 3 Giải phương trình sinx.sin2x+sin3x=6cos'x (3) Lời giải

(3) €3 2sinƯx.cosx + 3sinx - 4sin'x = 6cos'x

Nhận thấy nếu cosx = 0, (3) khơng thỏa mãn

Chia cả hai vế của (3) cho cos`x, ta được

Trang 8

Đặt = tgv thì t1~2/2 ~3t+6=0©(0~2)(2 =3)=0 'Từ đĩ, dễ dàng tìm được tgr= V3 tgr=2; tgx=- V3;

Lucu ý Nếu tong PT chỉ cĩ các số hạng bậc

nhất và bậc ba đối với sinx và cosx, thì ta cĩ thể chia hai vế của PT cho cos`+ hoặc sin`x để đưa PT đã cho về PT bac ba của tgx hoặc cotgx Thí dụ 4 Giải phương trình tgr + 2sindx =3 @ Tài giải ĐK cosx ø 0 Dat tgx = t, ta được PT — ne © (-1(P -21+3)=0 Vì /2~2/+3>0 nên ta được nghiệm: t=l=tgr=l

Luưu ý Nếu PT cĩ các số hạng : tạ, cotgx và cos2x, sin2x, thì ta đặt tgr = t khi đĩ:

et gig 2U

2r

sin2x=—>; cos2x=——>; ee +e

“Sau đĩ biến đổi về một PT bậc cao đối với 3J Biến đổi về phương trình tích:

Thí dụ 5 Giải phương trình

2sin3x~— —=2eos3x+>—— (5) inx cosx

DK sint #0; cosx #0 2(c0s3x-sin3x)+—-+_=0 sinx cosx << 2[4(cos* x+sin’ z)~3(eosx+sinx)] + cosx+sin.x Tế Sinx.cosx Nhân thấy các số hạng cĩ thừa số chung cost + sinx Dễ dàng biến đổi PT (5) thành (emrsdne|20-4em mm) sin.x.cosx ] © (cosx+sin.x)(2sin? 2x-sin2x-1)=0 Ta được: cosx+sinx=0; sin2x: 1 ; sindx=-> 2

Luu ý Các số hang cĩ chứa thừa số (cosx+sin) là: cos2x; cos*x + sin’x; cos‘x ~ sin‘x;

cos3x — sin3x; 1 + tgx; tex — cote Cũng tương tự, các bạn tự viết các số hạng cĩ chứa thừa số (cosx — siny) Thí đụ 6 Giải phương trình c0s.x.c0s cos ST — sinxsin^ sin => (6) "1 2 2 Lời giải (6) < cosx.(cost+cos2x) + sinx(cos2x-cosx) cos x.cos2x+sin.x.cos2x—sin.xcosx—sin? x=0 cos2x.(cos.x+sin.x)-sin.x(cosx+sin.c)=0 2(cosx+sin.x)(cos2x-sin.x)=0 Ta duge : cosx+sinx=0; cos2x-sinx=0

Lưu ý Nếu trong PT cĩ chứa các số hạng là tích của nhiều thừa số đối với sin hoặc cosin thì nĩi chung, ta phải sử dụng cơng thức biến tích thành tổng sau đĩ tìm cách đưa về PT tích hoặc

dat ẩn số phụ để được PT bậc 2, 3

4/ Cách đánh giá hai vế Thí dụ 7 Giải phương trình

(€os4x~cos2x)? =5+sin3x @ Lời giải Ta cĩ 4sin23x-sin? x=5+sin3x

Vì 0 <sin23x <1; 0<sin2 x<I; sin3x 2-1; nên 4sin23x.sin? x<4<5+sin3x Bae sinbre me fe 3x-sin? x: ‘of sin3x=-1 sin? Từ phương trình sin? x=1=> sinx= +1 1 (hỏa mãn) # sine = =1 = sin3r= 1 (loai)

Lita ý Các BĐT thường dùng để ước lượng:

kina|<l: Jcosa{st; [asinx+beosx| < Va? +b?

Nếu mm, n là các số tự nhiên lớn hơn 2 thì

sin” xtoos"x < sin? x+cos? x=1

Bai tập Giải các phương trình sau:

1 sin23x=4cos4x+3;

Trang 9

cos4 = "Định lí cotang Với mọi tam giác 48C ta cĩ Bre : =——— Tir do cong = CC — Từ đồ suy mm cotgd + cotgB + cotgC = A trong đĩ S¿ac kí hiệu điện tích tam giác 48C

Chứng mảnh Sử dụng cơng thức (1) và cơng

thức S„y-= - b2sin 4, suy ra cotg4 ch, 2 Suc “Chứng minh tương tự câu a) ta cĩ a+ + otgB= SACP —— SH can Từ đĩ cĩ

cotgd + cotgB + cotgc = 2*2 +2 (Apem), Saxe

Bổ đề 1 Trong tam giác 4BC với 4M là trung tuyến, M4B = œ MÁC = Ø Khi đĩ ta cĩ hệ

thie cotga+ cotgC = cotgp + cotgB

(Hệ thức này được suy trực tiếp từ định lí

cotang cho các tam giác 4BC, 4BM, ACM với

thu chang Siow = Scar = 38 vs

Bé dé 2 Gia sir M 1a mot diém trén canh BC

cia tam gitic ABC sao cho wm, MAB=a;

AMB = Ø Khi đĩ ta cĩ

8) (m + n}cotg/2 = m.cotgC — ncotgB ;

b) meotga=(m + n)cotgA + n.cotgB,

Chieng mink a) Dựng AH L BC, lúc đơ H sẽ nằm trong đoạn ðA/ hoặc đoạn AC, giả sử H

thuộc đoạn BA Lúc đĩ SỬ DỤNG BINH Li COTANG DE GLAI TOAN NGUYEN BA DANG (Sở GD-ĐT Hải Dương) “Trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 chúng ta đã làm quen với định lí eosin giác: Với tam giác ABC Đ+o sa hiện sự liên quan giữa cạnh và gĩc của tam bắt kì, BC = a, AC = b, AB = c ta cĩ (1) Từ định lí này ta cĩ kết quả sau đây BM= BH + HM = AH(cotgB + cotgÿ); MC = HC~ HM= Ai(cotgC ~ cotgB) Do đĩ, .BM _ cotgB + cotg _ ‘MC cotgC-cotg n suy ra (m + n)cotg = m.cotgC ~ meotgB (đpem) b) Từ ÄZ kẻ ME/AC (E € AB), lúc đĩ MEB=BAC , sit dyng cu a) vào tam giác ABM ta cĩ hệ thức cần chứng minh

Tiếp theo ching ta sẽ sử dụng dinh li cotang và các bổ để trên đề giải một số bài tốn sau đây

Bài tốn 1 Cho tam giác 4BC, đường trung

tuyến 4M và 4MB = ø Chứng minh rằng

en eee):

S082” Tần sinC ˆ

Lời giải Hệ thức cần chứng minh tương đương với 2cotgø = cotgC - cotgƯ Áp dụng

đề 2 cho trường hợp M là trung điểm của ØC ta cĩ điều phải chứng minh

Bài tốn 2 Giả sử M là điểm trong tam giác

ABC sao MAB=MBC=MCA = a (M; ơ tương

Trang 10

_ MB +C-MB_ MBP +a?-MC? coga= “Ste eee 45a 45c „ AC! + —MAP _ @+B +2 ASwx ASsc

Suy ra cotgØt= cotg4 + cotg + cotgC b) Ta cĩ cotg/£ + cotgð + cotgC

FTP —cgg, Sax

Mặt khác a” +b + c? > 4S4sc/3 (đẳng thức

xây ra khi a= b = e) nên cotgø > v3, suy ra œ <30 Gĩc ø lớn nhất bằng 30° khi tam giác

ABC đều

Bai tốn 3 Cho tam

giác ABC cĩ Ê=2Ê Trên cạnh BC lấy diém D sao cho BD = 2DC, kéo dài AD về phía D sao cho 4D = DE Chứng mình 2BCE-CBE = 180° Edi gid (h 2) Vì BD = 2DC nén theo bổ đề 2 ta cĩ

3cotgD, = 2cotgC — cotgB=3cotgD; (1)

Trong tam giác 4BE với BD là trung tuyến

Hình 2

Ap dung các bộ để trên, ta cĩ

cotg\ = cotgB + cotgE — cotg4, — (2) 2eotgD, = cotgE; ~ cot, @)

Tương tự trong tam giác 4CE, ta cỏ

'cotgC, = cotgC + cotgE; — cotg4; 4)

2cotgD; = cotg4; ~ cotgE; @) "Từ (1) và (3) thay vào (2) được

cogB, =cogl + 5 (GcotgC~cotgB) _ eotgB+4eotgC == pare _ cotg?C-1 Do Ê=2Ê nên en eee suy ra eet SP TẾT ©

Tir (1) va (5) thay vào (4) cĩ cotgC =cotgC— 3GcotgC~eogÐ)

ˆ 3eotgC 0

Dé c6 2BCE-CBE = 180° ta chứng minh

cotg2C; = cotgB That vay

~~ cote’G-1 sis

Bài tốn 4 Tiếp tuyến với đường trịn ngoại tiếp tam giác 4BC tại B và C cắt tiếp tuyến tại 4

với đường trịn đĩ theo thứ tự ở 7 và K Đường

thẳng BK cắt AC tại M4, đường thẳng CD cắt cạnh

AB tai N, gọi O là trung điểm của BM, P là trung

điểm CN, đường thắng BP cắt đường thing CO

tai J Chứng minh rằng tam giác BíC cân

lời giải (h3) Giả sử BC = a, AC = b, AB =c CM _ Say _ BCsinBCK AM 5w ABsinB4K ca iz ABsinA c ` Từ đĩ theo bổ đề 2 phần b) ta cĩ Ta cĩ Hình 3

acotgCBM = (d° + c°)cotgB + cˆcotgC

Trong tam giác BCM, CO là trung tuyến cĩ

cotgBCO = 2cotgC + cotgCBM

+ @

~ 2eogC+cog (cogB cote)

cotg BCO = 2(cotgB + cotgC) + cotgd

cotgfCO =2cotgC + cotgBt coC

“Tương tự

cotg CBP = 2(cotgB + cotgC) + cotgA

nên tam gidc BIC là tam giác cân

BÀI TẬP

Bai 1 Cho tam ABC, M là trung điểm

của BC và 4ð = AA Chứng minh:

1) 3cotgB = cotgC : 2) sinA in(8 ~ C)

“Bài 2 Chứng minh rằng hai trung tuyén BM và CN của tam giác 4BC vuơng gĩc với nhau

khi và chỉ khi

cotgA = 2(cotgB + cotgC)

Bai 3 Tiếp tuyến với đường trịn ngoại tiếp

tem atin ARC tai 4 và Rất nhau tai DY đường

Trang 11

Tìm nhiều cách

chứng minh một hệ thức

ho bién doi tong duong

NGUYEN VIET HAI

Cho tam giác 4BC với

Từ một hệ thức nếu khéo sử dụng các phép bin

Ee ane a ee a ea

R r tho thứ vw li € gợi cho ra tìm ra cách chứng mình tương diện tích, bán cing New ca ching minh duege mot trong cdc he hice nay thi

đường trịn ngoại tiếp, eee Ree a L0.)

bán kính đường trịn khơng những ta tìm được nhiều cách chứng minh hệ thức ban nội tiếp tam giác đầu mà cịn cĩ cách nhìn tồn điện hơn, hệ thỗng hơn về các

ABC Goi ray Poy Te Va UT uhau vé hink tice nhung thong gp nhét Dg

bản kính đường trịn mắi quan hệ tốn học Điều này được mảnh: họa qua việc xét

bang tiếp tam giác '& chứng mảnh một số hệ thức trong tam giác dưới đây

ABC tương ứng với

các gĩc CAB, ABC,

BCA Dit CAB = 2a, ABC =2f, BCA =2y Chứng mình (Cách 1)

Trang 12

ÁP p cosa z„ = ptạ (theo (IV) nên Simon = Chú ý rằng 4Ø, = cosa Pilga.cos' a

Mat khac sir dung (1), (IV) c6

Soyo =S+ Says +Son4c +5040 b = Stor, 42.5 +f +o, 3 2” a @ bole pra p- ) (vb Từ (V), (VI) và S= pr suy ra hệ thức (3) Ta lại biến đổi hệ thức (1) tương đương với 4R+r p-a p-b pc p Sử dụng (IV) ta chuyển việc chứng mình hệ thức (1) về chứng minh hệ thức 4R+r tga+tes + tay = (4) “Chứng mình (Cách 4) Sử dụng (IV) ta cĩ

p“- 4)*a= ——+2Rsin2a tư

Áp dụng cơng thức lượng giác của gĩc chia

đơi với tgø = rta cĩ p= =

Quy đồng mẫu số rồi viết trong dạng phương

trình đối với ¿ ta được

Pe -(AR+ ne + pt-r=0

Như vậy ¢ = tga la nghiém cia phirong trinh

bậc ba (VII) Tương tự như thế tg/, tgy cũng,

là nghiệm của phương trình bậc ba (VII) Áp dụng định lí Viéte cho tổng ba nghiệm của phương trình bậc ba (VII) ta cĩ hệ thức (4)

Trong bài tập I dưới đây hướng dẫn cách

chứng minh hê thức (4) (c‹ cách (5) bing

các phép biến đổi lượng giác Với mỗi hệ thức (1), (2) (3), (4) ta cĩ cách chứng minh tương ứng nhưng vì các hệ thức này tương đương Ác 2à ân cào (VI) Mời các bạn làm các bài tập sau cĩ liễn quan đến các hệ thức trên và cách chứng minh chúng Bài 1 Sử dụng các phép biến đổi lượng giác để chửng minh các hệ thức sau: 4R 8R p 2R(sin2a+sin2p +sin2y) 1 cosa.cos f.cosy b) = tgatgp.tgy P Tir dé suy ra hệ thức (4) (cách (5)) Bài 2 Chứng minh rằng p-a p-b 1a ba nghiệm của phương trình bậc ba pr2x`=(4R+r)rx? + px=I =0 "Từ đồ suy ra hệ thức (1) 4R Hướng dẫn p-(p-a) = tga + cotga= đặt x= — rất quy đồng mẫu số p-a Bài 3 Chứng minh các hệ thức sau: bXp=c) „ — 3) piga = b) p(tgø + tg/) = 4Rcos`y; ©) os2ø + eos2// + cos2y.= 1 + 4sinøsin/sin y -l+T; R

4) 2p(tga + taf + tay) =

= 6R + 2R(cos2a + cos2/ + cos27) “Từ đĩ suy ra hệ thức (4)

Bài 4 Gọi Ớị, O2, Os theo thir ty la tam

đường trịn bàng tiếp tam giác 4C tương ứng

với các gốc CAB, ABC, BCA Hãy dựa vào

tập 3b và S„„„ =S,yạ+S„„„ để chứng minh

Sàx 2p (V) Từ đĩ suy ra hệ thức (3)