379 Bất đẳng thức hay từ các diễn đàn toán học quốc tế

File tổng hợp 379 Bất đẳng thức hay từ các diễn đàn toán học quốc tế là một tài liệu quý cho những ai đam mê Toán học, đặc biệt là Giáo viên, Giảng viên hay các bạn sinh viên sư phạm Toán. Đây cũng là tài liệu quý cho các bạn ôn thi Olympic, thi học sinh giỏi Toán.

Tuyển tập 379 Bất Đẳng Thức Hay

Từ Các Diễn Đàn Toán Học Trên Thế Giới

Chứng minh bất đẳng thức sau cho mọi tam giác ABC

bc cos A + ca cos B + ab cos C

a sin A + b sin B + c sin C ≥ 2r

7 Posted by georg

Chứng minh rằng

12

n−1

≤ x2n+ (1 − x2)n ≤ 1trong đó n > 1

10 Posted by vineet

Chứng minh bất đẳng thức sau cho a, b, c > 0 :

(2a + b + c)22a2+ (b + c)2 + (a + 2b + c)

(√coth A coth B +√

1sin B +

1sin C

E2 = sin A + sin B + sin C

15 Posted by Alexander Khrabrov

Cho 0 ≤ bk ≤ 1 với mọi k và

a1 ≥ a2 ≥ an≥ an+1 = 0Chứng minh rằng

Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng

cos A + cos B + cos C < sin A + sin B + sin C

2

+ cosC − A

2

+ sin3C

2



18 Posted by Valentin Vornicu

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2+ b2+ c2 = 9 Chứng minh rằng

2n +√

2n − 1 − · · · −√

2 + 1 >

r2n + 12

24 Posted by hxtung

Cho x, y, z là các số thực nằm trong [−1, 1] Chứng minh rằng

1(1 − x)(1 − y)(1 − z) +

1(1 + x)(1 + y)(1 + z) ≥ 2

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C

a +√

b +√c)3

4 ≥

rT

6 ≥ 3

rR

Chứng minh rằng x1 = d và

(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn) ≤ xn− dnvới mọi số thực x ≥ d

39 Posted by hxtung

Cho các số thực dương a, b, c, d có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

abc + bcd + cda + dab ≤ 1 + 176abcd

27

40 Posted by keira-khtn

Với x1, x2, , xn và y1, y2, , yn là các số thực dương Chứng minh rằng

Xmin (xixj, yiyj) ≤Xmin (xiyj, xjyi)

C = a +

√

ab + b3Chứng minh rằng

A ≤ B ≤ C

45 Posted by hxtung

Cho x, y, z là cá số thực dương Chứng minh rằng

3(x2− x + 1)(y2− y + 1)(z2− z + 1) ≥ (xyz)2+ xyz + 1

58 Posted by

Cho các số a1, a2, , an−1> 0 thỏa mãn a1+ a2+ · · · + an = 1 và b1, b2, , bn là các sốthực Chứng minh bất đẳng thức

b21+ b

2 2

a1

+ · · · + b

2 n

a2

 

1 + a

2 2

61 Posted by cezar lupu

Cho hàm số f : R → R thỏa mãn

f (x) + f (y) ≤ 2 − |x − y|

với mọi số thực x, y Chứng minh rằng f (x) ≤ 1 với mọi số thực x

62 Posted by hxtung

Cho x1, x2, , xn là các số thực nằm trong khoảng 0,π2
sao cho

tan x1+ tan x2+ · · · + tan xn≤ nChứng minh rằng

sin x1sin x2· · · sin xn ≤ √1

y ≥√x(√

6 +√

2 − x)

1sinB2 +

1sinC2 ≥ 2 1

cosA−B4 +

1cosB−C4 +

1cosC−A4

76 Posted byorl

Cho k, n là các số nguyên dương thỏa 1 < k ≤ n và x1, x2, , xk là k số nguyên dương

có tổng bằng tích

(a) Chứng minh rằng

xn−11 + xn−12 + · · · + xn−1n ≥ kn(b) Điều kiện cần và đủ nào của các sốk, n và x1, x2, , xn để xảy ra đẳng thức

Cho các số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng

9(a2+ bc)(b2+ ca)(c2+ ab) ≤ 8(a3+ b3+ c3)2



6(b + c)5a + 2b + 3c+

3(c + a)2a + 8b + 6c

88 Posted by hxtung

Chứng minh rằng

2 ≤ (1 − x2)2+ (1 − y2)2+ (1 − z2)2 ≤ (1 + x)(1 + y)(1 + z)với các số không âm x, y, z có tổng bằng 1

89 Posted by Maverick

Cho các số dương x, y, z thỏa xy + yz + zx = 1 Chứng minh rằng

x(1 − y2)(1 − z2) + y(1 − z2)(1 − x2) + z(1 − x2)(1 − y2) ≤ 4

√39

90 Posted by hxtung

Chứng minh bất đẳng thức sau cho các số thực dương a, b, c

1a(b + 1)+

1b(c + 1)+

1c(a + 1) ≤ 3

1c(b + c) +

1a(c + a) ≥ 27



8 + 2

√ab

(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ · · · + (xn− yn)2 ≤ (x1− z1)2+ (x2− z2)2+ · · · + (xn− zn)2

1(1 + b)(1 + c) +

1(1 + c)(1 + a) ≤ 3

n(a1b1+ a2b2 + · · · + anbn) ≥ (a1+ a2+ · · · + an)(b1+ b2+ · · · + bn)

118 Posted by pcalin

Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng

r2a

a + b +

r2b

b + c+

r2c

128 Posted by manlio

Cho a, b là các số nguyên dương Chứng minh rằng

a4+ b4(a + b)4 +

√ab

bca(a + b) +

cab(b + c) ≥ a

130 Posted by manlio

Cho a1, x2, x3, x4, x5, x6 là các số thực trong đoạn 0,1

6.Chứng minh rằng(x1− x2)(x2− x3)(x3− x4)(x4− x5)(x5− x6)(x6− x1)

b1b2· · · bn+ bn+1bn+2· · · b2n≥ a1a2· · · an+ an+1an+2· · · a2n

xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z)

138 Posted by manlio

Cho n > 1 là số nguyên dưong ,a1, a2, , an là các số thực dương và b1, b2, , bn là các

số thực dương nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng

1

a1 b1 + a2b2 + · · · + an

(1 − c)(1 − ca)c(1 + b) +

(1 − a)(1 − ab)a(1 + c) ≥ 0

142 Posted by manlio

Cho các số thực dưong x, y, z thỏa mãn x3+ y3+ z3 = 1 Chứng minh rằng

(a)

x2+ y2+ z2 ≥ x5+ y5+ z5+ 2(x + y + z)x2y2z2

a1a2· · · a2004 < 1

rAB

ab +

rabAB

161 Posted by Fedor Bakharev

Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương x, y, z ta có

162 Posted by manlio

Cho các số 0 < a, b, c < 12 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng

3√3abc ≥√

1 − 2a√

1 − 2b√

1 − 2c ≥

√33

bcda + 1 +

cdab + 1 +

dabc + 1

Cho a, b, c là số đo các cạnh tam giác Chứng minh rằng

a4+ b4+ c4+ (ab + bc + ca)(a2+ b2+ c2) ≥ 4(a2b2+ b2c2+ c2a2)

1 + b + ca

Cho a, b, c là những số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng

(a + b)(b + c)(c + a)(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ abc(3 − a)(3 − b)(3 − c)

179 Posted by Arne

Cho a, b > 0 thỏa mãn a2006+ b2005 = a2004 + b2003 Chứng minh rằng a2+ b2 ≥ 2

180 Posted by manlio

Cho a, b, c, d, e là các số thực cùng dấu Chứng minh bất đẳng thức

(a − b)(a − c)(a − d)(a − e) + (b − a)(b − c)(b − d)(b − e) + (c − a)(c − b)(c − d)(c − e)

+(d − a)(d − b)(d − c)(d − e) + (e − a)(e − b)(e − c)(e − d) ≥

182 Posted by Tung Lam

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a − b − c ≥ abc Chứng minh rằng

a2− b2− c2 ≥ 2√2abc

183 Posted by Namdung

Cho x, y, z là các số thực ta có bất đẳng thức

2(x2+ y2+ z2)3 ≥ (x + y + z)(x2+ y2+ z2) − 2xyz

+ ca
54

≤ 14

191 Posted by manlio

Cho a > b > c và ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng

4

c2 + 1(a − b)b+

1(b − c)c ≤ 4

3

192 Posted by manlio

Cho a, b, c và x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1 Chứng minh rằng

ax + by + cz + 2p(xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c

197 Posted by harazi

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn

a10b15+ b10c15+ c10a15= a6b6c6Chứng minh rằng

xy

203 Posted by Lagrangia

Cho a, b > 0 và x, y là các số thực Chứng minh rằng

ax + by ≤ p(ax2+ by2)(a + b)

Trong tam giác ABC ta có 2b2 = a2+ c2 Chứng minh rằng

(coth B)2 ≥ coth A coth C

Cho a, b, c, d là các số nguyên tố phân biệt Hãy chứng minh

abc + bcd + cda + dab + 173 ≤ 2abcd

218 Posted by Lagrangia

Cho x, y, z ≥ −14 và x + y + z = 1 Chứng minh rằng

√4x + 1 +p4y + 1 +√

226 Posted by harazi

Chứng minh rằng với a, b, c, d > 0 ta có

(a + b)(b + c)(c + d)(d + a)



≥ 3

234 Posted by Lagrangia

Cho a, b, c ∈ R thỏa b + c = a > 0 Nếu x, y là các số thực và thỏa

p

a − bx − cy +pa + by + cx = aChứng minh rằng |x + y| ≤ a

Cho a, b, c là 3 cạnh của mọtt tam giác Chứng minh rằng

2(a + b + c)(a2+ b2+ c2) ≥ 3(a3+ b3+ c3)

237 Posted by darij grinberg

Cho x, y, z là ba số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

|x1| + |x2| + · · · + |xn| − |x1+ x2+ · · · + xn| ≤ n

2− 14

240 Posted by manlio

Cho tam giác ABC nằm trong đường tròn có bán kính

√ 3

3 Chứng minh rằng(a2+ b2− c2)(b2+ c2− a2)(c2+ a2− b2) ≤ a4b4c4

x(1 − x2)(1 + x2)2

≤ 14

253 Posted by harazi

Chứng minh rằng với a, b, c > 0 ta có

a(2a + 3b + 3c)4a2+ 3(b + c)2 + b(2b + 3c + 3a)

4b2+ 3(c + a)2 +c(2c + 3a + 3b)

4c2+ 3(a + b)2 ≤ 3

2

1 + x2

1 + x2 2

261 Posted by manlio

Cho a, y, z là các số thực dương Đặt s = x + y + z, a = y + z, b = z + x, c = x + y Chứngminh rằng

r

1 + a

2 2

2 · · ·

r

1 + a

2 n

xn = n Tìm gái trị nhỏ nhất của

x1+x

2 2

2 +

x3 3

3 + · · · +

xn n

/b1//b2/ · · · /bj/ ≤p/a0/2+ /a1/2+ · · · + /an/2

trong đó /x/ là modulo của số phức x

276 Posted by harazi

Chứng minh rằng với x, y, z > 0 ta có

(a) y+zx + z+xy +x+yz ≤ 3

2 · xxy+yz+zx2+y2+z2(b) y+zx 2+z+xy 2+x+yz 2 ≥ 3

4 · x2+y2+z2xy+yz+zx

280 Posted by Viet Math

Cho a, b, c, n là các số thực dương Chứng minh rằng

(x1y2− x2y1)2 ≤ 2|1 − (x1y1+ x2y2+ · + xnyn)|

290 Posted by Sung-yoon Kim

Cho f là hàm số lồ trên I Chứng minh rằng

raa

+rbb

+rcc



≥ 94

? a + b + c + d + e = 8

? a2+ b2+ c2 + d2+ e2 = 16

Tìm giá trị lớn nhất của e

297 Posted by Tung Lam

Cho x1, x2, , xn∈ [0, 1] và x1+ x2+ · · · + xn= 1 Tìm giá trị lớn nhất của

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn max(a, b, c) < 2 min(a, b, c) chứng minh rằng

27a2b2c2 ≥ (2b − a)(2c − b)(2a − c)(a + b + c)3

ka2+ 9 − k +√

kb2+ 9 − k +√

kc2+ 9 − k ≤ 3(a + b + c)(c) Tìm số k lớn nhất để bất đẳng thức trên đúng

319 Posted by khoa

Cho a, b, c > 0 thỏa a4 + b4 + c4 = 3 Chứng minh rằng

a2+ b2+ c2 + 21 ≥p(a + b)(a + c) +p(b + c)(b + a) +p(c + a)(c + b)

320 Posted by nickolas

Cho a, b, c ≥ 0 sao cho 2 max(a2, b2, c2) ≤ a2+ b2 + c2 Chứng minh rằng

(a + b + c)(a2+ b2+ c2)(a3+ b3+ c3) ≥ 4(a6+ b6+ c6)

331 Posted by darij grinberg

Cho x1, x2, · · · , x100 là các số nguyên dương thỏa mãn

y(y + z)(y + x)+

z(z + x)(z + y) ≤ 9

Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa (a + b)(b + c)(c + d)(d + a) = 1 Chứng minh rằng

(2a + b + c)(2b + c + d)(2c + d + a)(2d + a + b)a2b2c2d2 ≤ 1

340 Posted by Anh Cuong

r

ab + bc + ca3

343 Posted by romano

Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta có

(cos A)3+ (cos B)3 ≥ 2(cosA + B

2 )

2

344 Posted by Minh Thang

Cho tam giac ABC Chứng minh rằng

347 Posted by ThAzN1

Chứng minh rằng với x, y, z > 0 ta có

x2+ 1(x + y)(x + z)+

y2+ 1(y + z)(y + x) +

z2+ 1(z + x)(z + y) ≥ (

√

x +√

y +√z)22(x2+ y2+ z2)

a

4 + a2 1

4 + a2 2

4 + a2 3

4 + a2 4

4 + a2 5

≤ 1

349 Posted by xtar

Cho x, y, z > 0 chứng minh rằng

13

ma+ mb+ mc ≥ 3S

2

ha ≥ 12

b

c+

cb

372 Posted by Lagrangia -BĐT Karamata

Cho 2 dãy số x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn và y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn thỏa mãn

375 Posted by galois

Cho tam giác ABC chứng minh rằng

sin A + sin B + sin C > 2

376 Posted by Viet Math

Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương ta có

...

kb2+ − k +√

kc2+ − k ≤ 3(a + b + c)(c) Tìm số k lớn để bất đẳng thức

319 Posted by khoa

Cho a, b, c > thỏa a4 + b4 +