bất đẳng thức cauchy trong các đề thi đại học

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt KIẾN THỨC CƠ BẢN: A ≥ B ⇔  Định nghĩa:  A ≤ B ⇔  Tính chất: a > b, c > d ⇒ a + c a > b, c < d ⇒ a − c http//:www.maths.vn A−B ≥ A−B ≤ >b +d >b −d a > b ⇔ a n > b n , n chẵn a > b ⇔ a n > b n , n chẵn m > n > 0, a > ⇒ a n > b n a > b, c > ⇒ ac > bc a > b, c < ⇒ ac < bc a > b ≥ 0, c > d ≥ ⇒ ac > bd a = ⇒ a n = bn ; < a < ⇒ a n < bn 10 1 a > b, ab > ⇒ < a b 11 A + B ≥ A + B Đẳng thức xảy A.B > a > b > ⇒ a n > bn 12 Một số bất đẳng thức thường dùng: x −1 ≤ x 2 a a > ; a, b, c ∈ ℤ + a +b a +b +c  + ab 1+a +b < a ≤ b ≤ c ≤ ⇒ ab + ≤ ac + ≤ bc + a a ⇒ ≤ bc + ab + 4a + + 4a + = 4a + 1 ≤ = 2a + a 10 11   A − B ≤ A − B Đẳng thức xảy A.B <  1 (a + b )  a + b  ≥ ;  + b ≥ ( )  1 (a + b + c )  a + b + c  ≥  (a + b )  2ab a +b ≥ 4ab ⇒ ≤ a +b 2 a + b2  a + b  a ≥ ≤ =  ; 2 2a   1+a 12 1−x 13 ( a +b ≤ a +b ) + 1−y ≥ − xy a a +b +c ≥ b +c 2a 14 a + b    ≥ ab hay a + b ≥ 4ab   15 a b + ≥ 2; a + b ≥ ab ⇔ ≥ b a ab a + b ( 1 + ≥ ; a, b ≥ a b a +b ) ≥ x y x +y ( 16 = k 17 k = ) 2 k + k k + k > < k +1 + k k + k −1 -1- www.mathvn.com =2 =2 ( ( k +1 − k k − k −1 ) ) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Đẳng thức thường dùng : (A + B ) = A + 2AB + B (A + B + C ) = A + B + C + 2AB + 2AC + 2BC (A + B ) = A + 3A B + 3AB + B 2 2 2 2 Chứng minh với số thực a, b, c ta ln có: a + b + c ≥ ab + bc + ac Giải: a + b + c ≥ ab + bc + ac ⇔ a + b + c − ab − ac − bc ≥  a2 b2   c2 a   c2 b2  ⇔  − ab +  +  − ac +  +  − bc +  ≥ 2      2 2  2 2  2 2 2 ( a −b a − 2ab + b c − 2ac + a c − 2cb + b ⇔ + + ≥0⇔ 2 2 Đẳng thức xảy a = b = c Chứng minh với số thực a, b ) + (c − a ) + (c − b ) 2 2 (a + b ) khơng âm ta ln có: + 2 ≥ a +b ≥ a b +b a Giải: (a + b ) + Xét hiệu :  a +b a +b  1 1 =  a + b +  ≥ ab  a + b +   2 2  (  1 ab  a + b +  − ab 2  (a + b ) Vậy: 2          a −  +  b −   ≥ a + b = ab  a + b + − a − b  = ab  2  2      ) a +b ≥ a b +b a Chứng minh với số thực a, b, c, d, e ta ln có: a + b + c + d + e ≥ a b + c + d + e + ( Giải: ( ) ( ) ( a + b + c + d + e ≥ a b + c + d + e ⇔ a + b + c + d + e ≥ 4a b + c + d + e ( ) ( ) ( ) ( ) ⇔ a − 4ab + 4b + a − 4ac + 4c + a − 4ad + 4d + a − 4ac + 4c ≥ ( ⇔ a − 2b ) + (a − 2c ) + (a − 2d ) + (a − 2c ) 2 2 ≥ -2- www.mathvn.com ) ) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Đẳng thức xảy b = c = d = e = a (a − c ) + (b − d ) Chứng minh với số thực a, b, c, d ta có: ≤ a + b2 + c2 + d Giải: (a − c ) + (b − d ) ≤ a + b + c + d ⇔ (a − c ) + (b − d ) ≤ a + b + c + d + (a + b )(c + d ) ⇔ (a − c ) − (a + c ) + (b − d ) − (b + d ) ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ −2ac − 2bd ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ ( −1)(ac + bd ) ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ (ac + bd ) ≤ (a + b )(c + d ) ⇔ (ac ) + (ac )(bd ) + (bd ) ≤ (ac ) + (ad ) + (bc ) + (bd ) ⇔ (ac )(bd ) ≤ (ad ) + (bc ) ⇔ (ad ) − (ad )(bc ) + (bc ) ≥ ⇔ (ad − bc ) ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Đẳng thức xảy ad = bc CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH CÁC SỐ HẠNG HOẶC TÁCH CÁC THỪA SỐ MỘT VẾ Chứng minh với n ∈ N , ta có : 1 1 + + + < 1.5 5.9 (4n − 3)(4n + 1) Giải: 1  1 = = 1 −  1.5 1.5  5 1 1 1 = =  −  Ta có : 5.9 5.9   1  1  =  −  (4n − 3)(4n + 1)  4n − 4n +  1 1 1 1  + + + =  − + − + + −  1.5 5.9 (4n − 3)(4n + 1)  5 4n − 4n +  1  4n n n = 1 − = < = = 4 4n +  4n + 4n + 4n Cộng vế theo vế ta : PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI -3- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giả nhanh Quy tắc dấu bằng: dấu " = " BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Chính mà dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có thói quen tìm điều kiện xảy dấu kì thi học sinh khơng trình bày phần Ta thấy ưu điểm dấu đặc biệt phương pháp điểm rơi phương pháp tách nghịch đảo kỹ thuật sử dụng BĐT Cơ Si Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: không học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thương hay mắc sai lầm Áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu " = " phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cơ sở quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, tốn tối ưu, tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: BĐT thường có tính đối xứng vai trị biến BĐT dấu " = " thường xảy vị trí biến Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu " = " xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT : " ≤, ≥ " giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ TBC sang TBN ngược lại Dạng tổng quát ( n số): ∀x 1, x , , x n ≥ ta có: x1 • Dạng 1: • Dạng 2: x + x + x n n ≥ + x + x n ≥ n n x x x n n x x x n n  x + x + x n  • Dạng 3:   ≥ x x x n   n   Dấu " = " xảy khi: x = x = = x n Hệ 1: Nếu: x + x + x n ( = S = const thì: max P x x x n x = x = = x n = Hệ 2: ) n S  =  n  S n ( ) Nếu: x x x n = P = const thì: S x + x + + x n = n n P x = x = = x n = ( )( n P )( ) Chứng minh số thực a, b, c ta ln có : a + b b + c c + a ≥ 8a 2b 2c Giải: -4- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn a + b ≥ ab ≥   2 2 2 2 2 2 2 b + c ≥ bc ≥ ⇒ a + b b + c c + a ≥ a b c = 8a b c  2 c + a ≥ ca ≥  ( )( )( ) Bình luận: Chỉ nhân vế BĐT chiều ( kết BĐT chiều) vế khơng âm • • Cần ý rằng: x + y ≥ xy x , y khơng biết âm hay dương • Nói chung ta gặp tốn sử dụng BĐT Cơ Si tốn nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sử dụng BĐT Cơ Si Trong toán dấu " ≥ " ⇒ đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2.2 gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số • Chứng minh a, b, c > thỏa mãn a.b.c = 1 1 + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + 2 Giải: ( ) Ta có : a + b ≥ 2ab; b + ≥ 2b ⇒ a + 2b + ≥ ab + b + ⇒ 1 ≤ a + 2b + ab + b + 1 1 1 ≤ ; ≤ 2 b + 2c + bc + c + c + 2a + ac + a +  1 1 1 Cộng vế theo vế : + + ≤  + +  2 a + 2b + b + 2c + c + 2a +  ab + b + bc + c + ac + a +  1 1 ab b Mặt khác : + + = + + ab + b + bc + c + ac + a + ab + b + ab c + abc + ab abc + ab + b ab b + ab + b = + + = = ab + b + ab + b + ab + b + ab + b + 1 1 Vậy : + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + Tương tự :  ( Lời bình : Bài toán sử dụng đến bất đẳng thức x − y ) ≥ với x , y ∈ ℝ Cho x , y số thực dương khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q=  x 10 y 10  16 16 2  + + x +y − 1+x y  2 y x   ( ) ( ) Giải: 1x y  4 12 12  +  ≥ x y Đẳng thức xảy x = y y  2 x  16 x + y 16 ≥ x 8y Đẳng thức xảy x 16 = y 16 10 ( 10 ) -5- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 8 1 1 x y + x 4y − + x 2y = x 8y + 2x 4y + − + x 2y − = x 4y + − x 2y + − 2 2 2 2   Mặt khác : 12 + 12  x 2y + 12  ≥ x 2y + hay x 4y + ≥ x 2y + Đẳng thức xảy   2 x y = ⇒Q ≥ ( ⇒ ( )( 4 x y +1 ) ≥ ( ) 2 x y +1 ( ) ⇒Q ≥ ) ( ( 2 x y +1 ) ( ) ( ) − x 2y + − ) ( ) 1 2 5  =  x y + − 4 − ≥ − 8 2  Đẳng thức xảy x 2y = Vậy : minQ = − x = y = 2 2 x z  y x  z y   + +  + +  ≥ 12 Cho x , y, z số thực dương Chứng minh rằng:  +  y xyz   z xyz   x xyz        Giải: Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân: x z xz y x yx z y zy + ≥2 ; + ≥2 ; + ≥2 y xyz y xyz z xyz z xyz x xyz x xyz 2  x z  y x  z y  xz yx zy  + +  + +  ≥ 4 ⇒ + + +  y xyz   z xyz   x xyz   y xyz z xyz x xyz        Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng, trung bình nhân:  xz yx zy  xz yx yx  ≥ 4.3 4 + + = 12  y xyz  z xyz x xyz  y xyz z xyz z xyz  2 x z  y x  z y   + +  + +  ≥ 12 Vậy :  +  y xyz   z xyz   x xyz        Cho n nguyên n ≥ Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: n A= x  x x x n +1 + + + + n ≥ (n + 1)n +1   n ≥ n +1 n n n n x n  x n n so x n Dấu đẳng thức xảy x = n ⇔ x = n +1 n n x -6- www.mathvn.com     Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn n +1 Giá trị nhỏ A = n +1 nn Cho n nguyên n ≥ x ≥ k > n +1 n Tìm giá trị nhỏ A = x + xn Giải: Với x ≥ k > n +1 n  1  1 1  ≥ ⇔ x − k +  −   n −1 + n −2 + n −3 + + n −1  ≥ xn kn x k x k k  x k  x   1 1  ⇔ (x − k ) 1 −  n −1 + n −2 + n −3 + + n −1   ≥ xk  x x k x k k    (x − k )  1  ⇔ xk −  n −1 + n −2 + n −3 + + n −1   ≥ xk  x k x k k  x 1 1 n n n +1 Ta có: n −1 + n −2 + n −3 + + n −1 ≤ n −1 < = n < xk n +1 n −1 x x k x k k k n f (x ) ≥ f (k ) ⇔ x + 1 −k − Suy f (x ) ≥ f (k ) với x ≥ k > n +1 n Giá trị nhỏ A = k + x = k kn Cách : n x   x x nx n Nháp : A = + + + n +x − ≥ (n + 1)n +1   n + x  −  m m x m m m  x  n so x ,m > m x = k  n +1 Ta chọn m cho:  x = k n +1 ⇒m =x m = n  x Bài giải: A = x k n +1 + + n x k n +1  x   nx n  + n + x − n +1 ≥ (n + 1)n +1  n +1  n + x  − n +1  x k k  k  x  x n so k n +1 Vì x ≥ k > n +1 n nên n < k n +1 suy ra: A ≥  (n + 1) n  + k  − n +1  = k + n = f (k ) n k k  k  ( ) Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y xy = x + y − xy Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x + y3 Đề thi Đại học khối A năm 2006 -7- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Giải: Xét x + y xy = x + y − xy * Chia hai vế cho x 2y ( ) () Đặt u = 1 ,v = x y Ta 1 1 + = + − ⇒ u + v = u + v − uv ⇒ u + v x y x xy y ( ( ⇒ u +v ) ) − (u + v ) = 3uv ≤ − 4(u + v ) ≤ ⇒ ≤ u + v ≤ Khi : A = x + y3 (x + y )(x + y − xy ) = x 3y x 3y 1 ⇒A= + + = (u + v )2 ≤ 16 xy x y = (x + y )(x + y )xy Dấu đẳng thức xảy u = v = hay x = y = x 3y = x + y + 2xy x 2y Cho số thực dương x , y, z thoả : x + y + z ≥ Tìm GTNN A = x2 x + yz Giải: (x + y + z ) x2 x + yz + y2 y + zx + z2 z + xy ≥ x + y + z + yz + zx + xy Ta có : yz + zx + xy ≤ x + y + z Suy : x2 x + yz + y2 y + zx + z2 z + xy ≥ (x + y + z ) x +y +z +x +y +z = x +y +z ≥ 2   x + y + z =  Đẳng thức xảy khi: x = y = z ⇔x =y =z =1  x y z  = =  x + yz y + zx z + xy  Cho x , y, z > thoả mãn điều kiện x + y + z ≥ T = 3(u + v )2 Tìm giá trị nhỏ của: x3 y3 z3 + + 2x + 3y + 5z 5x + 2y + 3z 3x + 5y + 2z -8- www.mathvn.com + y2 y + zx + z2 z + xy Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Giải: T = T ≥ x4 ( x 2x + 3y + 5z (x ( ) + y4 ( y 5x + 2y + 3z + y2 + z ) ( ) ) + z4 ( z 3x + 5y + 2z ≥ 2 ( + y2 + z2 ) ( ) 2 x + y + z + xy + yz + zx (x + y + z ) ≥ x ≥ ) 10 (x + y + z ) 2 x + y2 + z + x + y2 + z ) (x ) 2 2 + y2 + z ≥ 10 30 Đẳng thức xảy :  x4 y4 z4 = =  y 5x + 2y + 3z z 3x + 5y + 2z  x 2x + 3y + 5z  ⇔x =y =z = x = y = z  2 x + y + z =   ( ) ( ) ( ) Cho x , y, z số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện x y.z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x2 y + z ) y y + 2z z + ( y2 z + x ) z z + 2x x + ( z2 x + y ) x x + 2y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Cách 1: P ≥ 2x x xyz y y + 2z z + 2y y xyz z z + 2x x + 2z z xyz x x + 2y y ≥ 2x x y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z x x + 2y y  x x = (−2a + 4b + c) a = y y + 2z z     Đặt: b = z z + 2x x ⇒ y y = (a − 2b + 4c )   c = x x + 2y y  z z = (4a + b − 2c)    Khi đó: P ≥ b a c   −2a + 4b + c a − 2b + 4c 4a + b − 2c   + +   ≥  −6 +  + +  +  9 a b c  9 a c b  c a b    + +   a b c   −6 + 4.3 + = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = a = b = c = Lời bình: Lời giải phức tạp , việc đặt ẩn a, b, c gặp nhiều khó khăn HSPT Cách 2: Hay P ≥ ( ) Phân tích tốn: Để tiện cho việc trình bày , tạm đặt a = x , b = y , c = z -9- www.mathvn.com Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http//:www.maths.vn Bài toán trở thành : Cho a, b, c số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( a b2 + c2 b + 2c Bài giải: Dễ thấy: b + c ≥ 2bc = Khi P ≥ 2a b3 + a2 c + 2a ) + c (a + b2 ) a + 2b ( ( ) ) ( ) ⇒ a b + c ≥ 2a Tương tự b c + a ≥ 2b ; c a + b ≥ 2c a c3 + c + 2a a + 2b  4n + p − 2m a = m = b + 2c    4n + p − 2m p + m − 2n 4m + n − 2p    p + m − 2n 3 Đặt n = c + 2a ⇒ b = ⇒P ≥  + +  9 m n p  p = a + 2b   c = 4m + n − 2p     2 n p m  p m n ⇒ P ≥ 4  + +  +  + +  −  ≥ 4.3 + − ⇒ P ≥  m n p  m n p   b + 2c + ) + b (c ( ) Cho số thực không âm x , y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( )( ) biểu thức S = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy Đề thi Đại học khối D năm 2009 Giải: Nhận xét: vai trò giống (đối xứng) x , y ( ) )( ( ) S = 12 x + y + 16x 2y + 34xy = 12 x + y x + y − xy + 16x 2y + 34xy Hay S = 12 x + y  x + y   ( )( ) 2  1 191 − 3xy  + 16x 2y + 34xy =  4xy −  +  4 16   x +y  Vì x , y khơng âm thỏa mãn x + y = suy ≤ xy ≤   =    1  191 25 ⇒ − ≤ 4xy − ≤ ⇒ ≤  4xy −  + ≤ 4 4 16  25 Vậy giá trị lớn S = x = y = giá trị nhỏ S = x = 0, y = 2 ( Cho số thực x , y thay đổi thỏa mãn x + y ( ) ( ) + 4xy ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức ) A = x + y + x 2y − x + y + Đề thi Đại học khối B năm 2009 Giải: -10- www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = , v y ta có th suy < a ≤ b ≤ c < hay không? Như v y i u ki n a,b,c khơng xác d u ng th c ch x y 0 < a = b = c    ⇒ a,b,c ∈  0;  3   a + b2 + c2 =   • Ta th y m i liên h c a toán ? D th y a + b + c = b + c , c + a , a + b G i ý ta ưa a b c 3 toán v d ng c n ch ng minh : + + ≥ 2 2 1−a −b 1−c • Vì vai trị a,b,c ý phân tích g i ý ta ưa n cách phân tích  a ≥ a  2 1−a   b a b c 3 2 + + ≥ (a + b + c ) c n ch ng minh 1 − b2 ≥ 23 b2  2 2 1−a −b 1−c   c c ≥  2 1 − c  • Ta th i tìm l i gi i : a 3 ≥ a ⇔ ≥ a⇔ ≥ a(1 − a ) ⇔ ≥ a 2(1 − a )2 ⇔ ≥ 2a 2(1 − a )2 2 2 27 27 1−a 1−a 3 2a 2(1 − a )2 = 2a 2(1 − a )(1 − a )  D th y  2 2a + (1 − a ) + (1 − a ) =  Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân = 2a + (1 − a ) + (1 − a ) ≥ 3 2a 2(1 − a )(1 − a ) ⇒ ≥ 2a 2(1 − a )(1 − a ) ⇔ ≥ 2a 2(1 − a )2 27 Tương t cho trư ng h p l i Gi i : Cho s th c dương a,b,c Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) Phân tích tốn : • ng th c c n ch ng minh ưa v d ng : a3 b3 c3 + m (a + c ) + nb + + k (b + a ) + pc + + i (b + c ) + ja ≥ b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) • Gi s < a ≤ b ≤ c D oán ng th c x y a = b = c www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn a3 T ó g i m hư ng gi i : + m (a + c ) + nb ≥ 3 mna ng th c x y b (c + a ) m =  a3 = m (a + c ) = nb   a ⇔ = m (a + a ) = na ⇔  b (c + a ) a (a + a ) a = b = c n =  Tương t cho trư ng h p khác  Gi i : a3 1 a3 1 + b + (c + a ) ≥ a ng th c x y khi: = b = (c + a ) b (c + a ) b (c + a ) 3 b 1 b 1 + c + (b + a ) ≥ b ng th c x y khi: = c = (b + a ) c (a + b ) c (a + b ) c3 1 c3 1 + a + (b + c ) ≥ c ng th c x y khi: = a = (b + c ) a (b + c ) a (b + c ) 3 a b c C ng v theo v ta c : + + ≥ (a + b + c ) D u ng th c x y : b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) a =b =c > Cho s th c dương a,b,c tho mãn a a +1 + b +1 + c +1 < a +b +c = Ch ng minh r ng : b a + b + b + c + c + a ≤ c a + b + b + c + c + a ≤ 18 1 d a + b + c + + + ≥ 10 a b c Gi i: a +1 +1 a a + + b + + c + < ( ) ( ) ( ) a + = a + ≤ b + = b + ≤ c + = c + ≤ ng th c x y a V y a +1 + b +1 + ( ) ( ) ( )  a + 1 2   b +1 +1 b a +b +c  = +1  ⇒ a +1 + b +1 + c +1 ≤ +3= 2 2  c +1 +1 c  = +1  2   +1 = b +1 = c +1 = ⇔ a = b = c = ⇒ a +b +c = ≠ c +1 < = b a + b + b + c + c + a ≤ Phân tích tốn : www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = , d u 0 < a = b = c 1  ⇒ a = b = c = H ng s c n thêm  3 a + b + c =  • T gi thi t g i ý ta ưa ng th c ch x y n cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ (a + b + c ) hay 1 1 1  a + +b + b + +c + c + +a +   3+ 3+ 3 S = a +b + b +c + c +a ≤    2    • Ta th i tìm l i gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 1 2  a + +b + 3  (a + b ) +  =  ≥ 2 2   (a + b ) = a + b  Tương t cho trư ng h p l i Cách khác : Gi s v i m i m > , ta ln có : a +b = m a +b + m (a + b ) m ≤ m   V     oán m > phù h p? a + b = m  D th y ng th c x y  ⇔m = a = b =  Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân  (a + b ) + AM _GM  3 (a + b ) ≤  a +b = 2    AM _GM (b + c ) +  (b + c ) ≤  b +c = 2    AM _GM (c + a ) + (c + a ) ≤  c +a = 2    d (a + b + c ) + 3 ⇒ a +b + b +c + c +a ≤ = = ( pcm) 2 ng th c x y a = b = c = c a + b + b + c + c + a ≤ 18 www.mathvn.com n bây gi ta Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn • Trư ng h p t ng quát , gi s < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a + b + c = , d u ng th c ch x y  a + b =  0 < a = b = c 2    ⇒ a = b = c = ⇒ b + c = H ng s c n thêm 3 a + b + c =    c + a =  • T gi thi t g i ý ta ưa n cách phân tích a + b + b + c + c + a ≤ 18 (a + b + c ) hay (a + b ) + + (b + c ) + + (c + a ) + + 3+ 3+ 3 T = 3a +b + 3b +c + 3c +a ≤ 3 Gi i : Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân 2  a +b + + 3 2 3  a +b = a +b ≤ 3   2 b +c + + 3 2  3  b + c = 3 b + c ≤ 3   2 (c + a ) + +  2 3  c + a = 3 (c + a ) ≤ 3    ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒T = a +b + b +c + c +a ≤ D u ng th c x y a = b = c = d a + b + c + (a + b + c ) + = = 18 ( pcm) 4 1 + + ≥ 10 a b b Phân tích tốn : • Trư ng h p t ng qt , gi s < a ≤ b ≤ c tho mãn i u ki n a 0 < a = b = c   ⇒a =b =c = a + b + c =  •T i u c n ch ng minh ,g i ý ta ưa +b +c = 1, d u ng th c ch x y n cách phân tích v i m i m > , ta ln có : ma + ma =  a ⇔ m = ng th c x y :  a =  1 1 1 • Vì th mà T = a + b + c + + + = (a + b + c ) + + + − (a + b + c ) a b b a b b www.mathvn.com ≥2 m a Nguy n Phú Khánh – L t Gi i : Áp d ng b t http//:www.maths.vn ng th c trung bình c ng trung bình nhân 9a + ≥  a   9b + ≥ b  9c + ≥  c  1 + + − (a + b + c ) ≥ 3.6 − (a + b + c ) = 10 ( pcm) a b b ng th c x y : a = b = c = ⇒ T = (a + b + c ) + Bài t p tương t Cho s th c dương x , y, z th a mãn mx + ny + pz ≥ d ó m, n, p, d ∈ » Tìm giá tr l n nh t bi u th c A = ax + by + cz 2 Hư ng d n : Th c hi n vi c ch n i m rơi : ax = by = cz = 2 β Ch ng minh r ng n u xy + yz + zx = 3x + 3y + z ≥ 10 Phân tích tốn : • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,3y 2, z 2, xy, yz, zx cho ta i u ?, ph i nh ng h ng 2 th c có d ng : (ax − by ) ≥ ⇔ (ax )2 + (by ) ≥ 2axby ? • Phân tích : ax + ay ≥ 2axy ng th c x y x = y by + cz ≥ bcyz ng th c x y by = cz cz + bx ≥ cbzx ng th c x y cz = bx  a + b = a =     Bây gi ta ch n a,b,c cho : 2c = ⇔ b =   a = bc c =    Gi i : x + y ≥ 2xy ng th c x y x = y 1 2y + z ≥ 2yz ng th c x y 2y = z 2 2 z + 2x ≥ 2zx ng th c x y z = 2x 2 www.mathvn.com ng Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn C ng v theo v ta c : 3x + 3y + z ≥ (xy + yz + zx ) ⇒ 3x + 3y + z ≥ 10 ( pcm) x = y  2y = z   x = y = ⇔ ng th c x y :  z =  z = 2x  2 xy + yz + zx =  Cho s th c dương x , y, z tho mãn x +y +z = 47 235 Ch ng minh r ng : 3x + 4y + 5z ≥ 12 12 Phân tích tốn : • Trư c h t ta ý m i liên h gi a 3x 2,4y 2,5z 2, x, y, z cho ta i u ?, g i ý : 3x + 4y + 5z ≥ c bi n i v d ng 3x + m + 4y + n + 5z + p ≥ k , ( < m ≤ n ≤ p ≤ k = const ) • Phân tích : 3x + m ≥ 3mx, m > ng th c x y 3x = m 4y + n ≥ 4ny, n > 5z + p ≥ 5pz, p > 2 ng th c x y 4y = n ng th c x y 5z = p  x =   3x = m y =   4y = n z =   Bây gi ta ch n x , y, z cho : 5z = p ⇔   m = 25  3m = 4n = 5p    25 x + y + z = 47 n =   12  p =  Gi i : 25 25 25 ≥ x ng th c x y 3x = 3 25 25 25 4y + ≥ y ng th c x y 4y = 4 5z + ≥ 5.5z ng th c x y 5z = 3x + C ng v theo v ta c 3x + 4y + 5z ≥ 10 ( x + y + z ) − 235 12 = 235 12 www.mathvn.com ( pcm) 235 12 Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn  x =   ng th c x y y =  z =   Cho s th c không âm a,b,c Ch ng minh r ng : + abc ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) Gi i : + abc ≤ ⇔ 3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) ⇔ 1.1.1 + (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) t:T = 3 1.1.1 + abc ≤ (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) abc ≤1 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1.1.1 abc +3 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) 1 1  1 a b c  1 + a + + b + + c  + 1 + a + + b + + c  3    a + b + c +  T≤  + + = = 1 + a + b + c   D u ng th c x y a = b = c ≥ T≤ T ng quát : ( ) Ch ng minh r ng v i m i ,bi > i = 1, n ta ln có : n a1a2 .an + n b1b2 .bn ≤ n  a1 + b  (a1 + b2 ) (an + bn )  1   1 1 1  Cho s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = Ch ng minh r ng :  −   −   −  ≥ a  b c  Gi i : 1 1 1  1 −a  1 −b  1 −c  b + c c + a a +b VT =  −   − 1  −  =  . = a b c . a  b c   a   b   c  AM_GM VT ≥ bc ca ab = 8( a b c pcm) T ng quát : x 1, x , x , ., x n >  Cho  x + x + x + + x n =  www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn 1      Ch ng minh r ng :  −   −   −   −  ≥ (n − 1)n x  x     n     x2   x3  Cho s th c dương a,b,c,d tho mãn abcd ≤ 1 1 + + + ≥ Ch ng minh r ng : 1+a +b 1+c +d 81 Gi i :  1      b c d ≥ 1 + +  + 1 −  + 1 − = 1+a  1+b   1+c   1+d  1+b 1+c 1+d AM _GM bcd ≥ 33 1+a (1 + b ) (1 + c ) (1 + d )   1 + a   1 + b  V y:   1 + c    1 + d  ⇒ bcd (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) ≥3 ≥ 33 cda (1 + c ) (1 + d ) (1 + a ) ≥3 ≥ 33 dca (1 + d ) (1 + c )(1 + a ) abc (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) ≥ 81 abcd ⇒ abcd ≤ 81 (1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) (1 + d ) T ng quát : x 1, x , x , , x n >  Cho :  1 1 1 + x + + x + + x + + + x ≥ n − n  Ch ng minh r ng : x 1x 2x x n ≤ (n − 1)n Bài tương t Cho s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = Ch ng minh r ng : a a b c + + ≥ 2 2 1+b 1+c 1+a www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn a b c + + ≥ a + b2 b + c2 c + a 2 a2 b2 c2 c + + ≥ a + 2b b + 2c c + 2a b Hư ng d n : a + b + c = a   3(ab + bc + ca ) ≤ (a + b + c) ⇒ ab + bc + ca ≤   a a(1 + b ) − ab2 ab = =a −  a ab + b2 + b2 ⇒ ≥a − 1 + b 2 1+b 1 + b ≥ 2b  b bc bc c ca ca =b − ≥b − , =c − ≥c − 2 2 1+a 1+c 1+c 1+a a b c ab + bc + ca 3 C ng v theo v : + + ≥ a +b +c − ≥3− = 2 2 2 1+b 1+c 1+a Tương t : Cho s th c dương a,b,c tho mãn a.b.c = Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 1 b + + ≤1 +a +b +c a Hư ng d n : a Cho s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = Ch ng minh r ng : a2 b2 c2 + + ≥ b +c c +a a +b Gi i : a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + ≥ ⇔( + a) + ( + b) + ( + c) ≥ + (a + b + c) b +c c +a a +b b +c c +a a +b www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn a + a(b + c) b2 + b(c + a ) c2 + c(a + b) + + ≥ +1 b +c c +a a +b a(a + b + c) b(b + c + a ) c(c + a + b) ⇔ + + ≥ b +c c +a a +b a b c ⇔ + + ≥ a + b + c = b +c c +a a +b ⇔ Cho s th c dương a,b,c tho mãn a + b + c = Ch ng minh r ng : a ab bc ca + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Hư ng d n : a Dùng b t ng th c 1 + ≥ a b a +b Cho s th c dương a,b,c Ch ng minh r ng : a3 b3 c3 + + ≥ (a + b + c ) (a + b)(b + c) (b + c)(c + a ) (c + a )(a + b) a3 b3 c3 b + + ≥ (a + b + c) b(c + a ) c(a + b) a(b + c) a Hư ng d n :  a3 a +b b +c + + ≥ a  8  (a + b)(b + c)  b3 b +c c +a a Cách :  + + ≥ b  (b + c)(c + a ) 8   c3 c +a a +b  + + ≥ c 8  (c + a )(a + b)   4a + 2b + (c + a ) ≥ 6a  b(c + a )   4b b Cách 1:  + 2c + (a + b) ≥ 6b  c(a + b)  4c  + 2a + (b + c) ≥ 6c a(b + c)   8a + (a + b) + (b + c) ≥ 6a   (a + b)(b + c)  8b  Cách 2:  + (b + c) + (c + a ) ≥ 6b (b + c)(c + a )   8c  + (c + a ) + (a + b) ≥ 6c  (c + a )(a + b)   a3 b c +a + + ≥ a  b(c + a )   b3 c a +b  Cách 2:  + + ≥ b c(a + b)  c3 a b +c  + + ≥ c a(b + c)  www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn Cho s th c dương x , y, z tho : x + y + z ≥ Tìm GTNN c a A= x2 y2 z2 + + x + yz y + zx z + xy (x + y + z ) x2 y2 z2 + + ≥ x + yz y + zx z + xy x + y + z + yz + zx + xy Ta có : yz + zx + xy ≤ x + y + z (x + y + z ) x2 y2 z2 x +y +z Suy : + + ≥ = ≥ 2 x + yz y + zx z + xy x + y + z + x + y + z   x + y + z =  ng th c x y khi: x = y = z ⇔x =y =z =1  x y z  = =  x + yz y + zx z + xy  Cho ba s dương x , y, z th a mãn: x + y + z = Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x5 y5 z5 S = + + + x + y4 + z4 3 y +z z +x x +y Áp d ng B T Côsi cho s ta có : x5 y3 + z2 x 3 + + ≥ x 2 y3 + z2 tương t y5 z3 + x2 y4 3 z5 x + y2 z 3 + + ≥ y , + + ≥ z 2 2 z3 + x2 x + y2 x4 y4 z4 + ≥ x tương t + ≥ y2 , + ≥ z 2 2 2 C ng v v i v B T ta c x5 y5 z5 3 S = + + + x + y4 + z ≥ x + y3 + z + x + y2 + z − 2 4 y +z z +x x +y ( ) ( ) Mà x + x + ≥ 3x hay 2x + ≥ 3x tương t 2y + ≥ 3y , 2z + ≥ 3z ( ) ( ) Do ó , x + y + z ≥ x + y + z − = ⇒ x + y + z ≥ ⇒ S ≥ D u b ng x y ⇔ x = y = z = www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn Cho s th c dương x , y, z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = x2 y2 z2 + + (2y + 3z )(2z + 3y ) (2z + 3x )(2x + 3z ) (2x + 3y)(2y + 3x ) Gi i : (2y + 3z )(2z + 3y ) = (y + z ) + 13yz ≤ (y + z ) + 13 (y + z ) = 25 (y + z ) 2 x2 2x ≥ (2y + 3z )(2z + 3y) 25(y + z ) y2 2y z2 2z ≥ , ≥ Tương t : (2z + 3x )(2x + 3z ) 25(z + x ) (2x + 3y )(2y + 3x ) 25(x + y ) 2x 2y 2z 1 M≥ + + ⇒ f ( x ; y; z ) ≥ ⇒ M = 2 2 2 25 25 25(y + z ) 25(z + x ) 25(x + y ) ⇒ x V i x , y, z s dương x y.z ≥ Ch ng minh r ng: y + x + yz z + y + zx z + xy Hư ng d n t a = x ,b = y ,c = z Bài toán tr thành : a, b, c s dương a.b.c ≥ Ch ng minh r ng: a2 a + bc + b2 b + ac + a2 c2 c + ab b2 ≥ (a + b + c ) c2 + + ≥ a + bc b + ac c + ab a + bc + b + ac + c + ab Bình phương hai v b t ng th c: D th y : VT ≥ ( *)   a +b +c a +b +c  = * ≥   2 a + bc + b + ac + c + ab   a + bc + b + ac + c + ab         ( () (a + b + c ) 3(a + b + c ) ( ) (a + b + c ) (a + b + c ) ≥ ≥ + ab + bc + ac)  a + b + c − ab + bc + ac   a + b + c −  ) ( )  ( )  (     4 ( ) ( Vì ab + bc + ac ≥ 3 abc ≥3⇒t = (a + b + c ) ≥ 9) t2 3t + 15 t − 3 3.9 + 15 t −3 9 = + + ≥ +2 = ⇒ VT * ≥ 3(t − 3) 12 12 t −3 12 12 t − 2 D u b ng x y x = y = z = ⇒ i u ph i ch ng minh () Ta có: ( ) T ng qt : ta có tốn sau: v i x 1, x 2, , x n n ≥ s dương x 1.x x n ≤ www.mathvn.com ≥ Nguy n Phú Khánh – L t x1 Cmr: x + x x x n + http//:www.maths.vn x2 xn + + x + x x x n ≥ n x n + x 1.x x n −1 Cho s th c dương a,b,c Ch ng minh r ng : 1 1 1 + + ≤ + + a + 3b b + 3c c + 3a 4a 4b 4c 1 1 1 b + + ≤ + + a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4a 4b 4c 1 1 1 1 c + + ≤  + +  (c + a ) (c + b )  a b c  (a + b ) (a + c ) (b + c )(b + a ) a d a −d b −b b −c c −a + + + ≥0 d +b b +c c +a a +d 1  81  Cho x ; y; z ∈ [ 0;1] Ch ng minh r ng : ( 2x + 2y + 2z )  x + y + z  < 2  2 Gi i : t a = 2x ,b = 2y ,c = 2z ⇒ a,b,c ∈ [1;2]  1  81 Bài toán tr thành : Cho a,b,c ∈ [1;2] Ch ng minh r ng : (a + b + c )  + +  < a b c  Th t v y : 1 81 2 81 2 (a + b + c )  a + b + c  < ⇔ (a + b + c )  a + b + c  < ⇔ (a + b + c )  a + b + c  <             ≤ a ≤ ⇔ (a − 1)(a − ) ≤ ⇔ a − 3a + ≤ ⇔ a + ≤ 3a ⇔ a + ≤3 a 2 ≤ 3,c + ≤ b c 2 ⇒ (a + b + c ) +  + +  ≤ (1) a b c    Tương t : b + Áp d ng b t ng th c trung bình c ng trung bình nhân : 2 2 2 ⇒ (a + b + c ) +  + +  ≥ (a + b + c )  + +  (2 ) a b c  a b c      T 2 2 2 81 (1) (2 ) suy (a + b + c )  + +  ≤ ⇔ (a + b + c )  + +  ≤ ( 3)     a b c a b  1  81 ng th c không x y ( ) ⇔ (a + b + c )  + +  < ( pcm) a b c  www.mathvn.com c Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn Cho a,b,c s dương tho mãn ab + bc + ca = 3abc Ch ng minh r ng: ab bc ca + + ≤ 2 2 2 a +b +a c +b c b +c +b a +c a c +a +c b +a b 3 Trích http://www.maths.vn Gi i : ab + bc + ca = 3abc ⇔ 1 + + =3 a b c V i a,b > ta ln có a + b ≥ ab (a + b ) , 1  1 ≤  +  a +b a b  v i m i a,b ta ln có a + b ≥ 2ab  ab ab ab  1 ≤  + 2  2 ≤ 2  a + b + a c + b c ab(a + b) + (a + b )c  ab(a + b) (a + b )c    1 ab 1 ab ⇒ ≤  + ≤  +   2  ab(a + b ) + (a + b )c  a + b (a + b )c   a + b 2c  ab 1 1 1 (1 )  + + 3 2 ≤ a + b + a c + b c 16  a b  c 3 Tương t : bc 1 1 1 (2 )  + + 2 ≤ b + c + b a + c a 16  b c  a ca 1 1 1 ≤  +  + ( 3) 3 2 c + a + c b + a b 16  c a  b C ng v theo v ng th c (1) , (2 ) ( ) ta c pcm D u 3 ng th c x y a = b = c = Cho tam giác ABC có c nh : AB = c, BC = a, AC = b tho mãn a = b + c Ch ng minh r ng : A góc nh n tho : 600 < A < 900 Gi i : b  a,b,c >  0 < a  0 < b < a ⇒ ⇒  a (b − bc + c ) ⇒ a > b − bc + c ⇒ ⇒ b2 + c2 − a < ⇒ cos A = bc V y 600 < A < 900 b2 + c2 − a 2bc < ⇒ A > 600 www.mathvn.com Nguy n Phú Khánh – L t http//:www.maths.vn 1  1 1 1  Cho s th c dương a, b, c th a mãn i u ki n : 15  + +  = 10  + +  + 2007 b c  a  ab bc ca  1 Tìm giá tr l n nh t c a P = + + 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Áp d ng ng th c : 1 + + ≥ x y z x +y +z ng th c x y x = y = z 5a + 2ab + 2b = (2a + b)2 + (a − b)2 ≥ (2a + b)2 ⇒ 5a + 2ab + 2b ≤ 1  1 1 ≤  + +  2a + b  a a b  ng th c x y a = b  1 1 1 ≤ ≤  + +   2 2b + c  b b c   Tương t :  5b + 2bc + 2c 1 11 1  ≤ ≤  + +  2  2c + a  c c a   5c + 2ca + 2a  1 1 Do ó P ≤  + +  a b c  1 1  1 1  + + ≥  + +  a b c  a b c  M t khác :  1 1 1 1 ab + bc + ca ≤  a + b + c     1  1 1 1  +  + 2007 Mà gi thi t : 15  + +  = 10  + b c  a  ab bc ca  6021  a =b =c 6021  ng th c x y :  1 6021 ⇔ a = b = c =  + + = a b c Do ó : 1 + + ≤ a b c V y max P = 6021 6021 , a = b = c = 5 www.mathvn.com ... TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG COSI NHỮNG QUY TẮC CHUNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI Quy tắc song hành: hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách... tương tự nhau, áp dụng bất đẳng thức Các bất đẳng thức đề thi đại học thông thường đối xứng với biến ta dự đoán dấu xảy ta biến xảy biên Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x + x Giải: Phân... x Đẳng thức xảy 3x = 3 4y + 25 25 25 ≥ y Đẳng thức xảy 4y = 4 5z + ≥ 5.5z Đẳng thức xảy 5z = ( ) Cộng vế theo vế ta 3x + 4y + 5z ≥ 10 x + y + z − 235 235 (đpcm) = 12 12  x =   Đẳng thức