bất đẳng thức qua các định lý và bài toán

Bất đẳng thức qua các định lý và bài toán Trần Nam Dũng Trường ĐH KHTN TpHCM Đi chậm tiến xa - Start small, go big Làm thế nào để học toán một cách hiệu quả? Có phải là giải thật nhiều các bài toán? Tất nhiên là muốn học toán thì phải biết giải toán. Nhưng nếu chỉ đâm đầu vào giải hay đọc lời giải các bài toán sao cho thật nhiều, thật nhanh và cố gắng nhớ thì đó không phải là một cách hay. Học toán là phải bắt đầu từ những vấn đề cơ bản, phải đi chậm để ngấm và hiểu phương pháp một cách thấu đáo. Và phải luôn luôn bắt đầu từ việc nghiên cứu các chứng minh định lý, tìm hiểu ý nghĩa và tầm ứng dụng của nó. Chính vì thế mà người ta mới nói: Đi chậm tiến xa. Ai vội vàng sẽ dễ dàng vấp ngã và bị các bài toán đè lên: Lật đật là toán đè. Hãy cố gắng làm toán với tốc độ thật chậm, thật chắc. Chậm khi học để nhanh và chắc khi thi. Bất đẳng thức là một mảng toán khó trong chương trình phổ thông nói chung và trong chương trình chuyên toán nói chung. Mặc dù đã được trang bị những công cụ mạnh, những phương pháp mới như phân tích bình phương, dồn biến, ABC, pqr, hàm lồi … nhưng đứng trước các bài toán bất đẳng thức mới, chúng ta vẫn cảm thấy lúng túng và thiếu tự tin. Vậy thì làm thế nào để có thể tự tin và tìm ra định hướng khi giải một bài toán bất đẳng thức? Để không bị bối rối và bơi trong một rừng các phương pháp khác nhau, chúng ta phải nắm được các tư tưởng cơ bản trong chứng minh bất đẳng thức là: Luôn tìm cách đưa về các bài toán đơn giản hơn bằng cách + Giảm dần số biến số + Thay thế bằng các biểu thức đơn giản hơn Luôn nhớ những quy tắc cơ bản “No square is negative – x 2 ≥ 0 ∀ x ∈ R”, “Look at the end – Hãy nhìn vào các đầu mút!”, “Hãy thuần nhất hoá và chuẩn hoá”, “Hãy đối xứng hoá”, “Hãy sắp thứ tự!”, “Hãy đặt biến phụ!”. Việc sử dụng các phương pháp đạo hàm, dồn biến, SOS, bất đẳng thức cổ điển, ABC, pqr, quy nạp … chung quy cũng chỉ phục vụ cho mục đích đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng đơn giản hơn. 1. Phương pháp quy nạp toán học Khi bất đẳng thức phụ thuộc vào biến số nguyên dương n (n có thể là biến số, có thể là số biến số), ta có thể nghĩ đến phép quy nạp toán học: sử dụng bất đẳng thức ở n = k (hoặc nhỏ hơn) để chứng minh cho n = k+1. 1. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có bất đẳng thức . 13 1 2 12 4 3 . 2 1 + ≤ − n n n 2. Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức n nn baba       + ≥ + 22 . 3. Cho x 1 , x 2 , , x n là n số thực dương có tích bằng 1. Hãy chứng minh rằng x 1 + x 2 + + x n ≥ n. 4. Cho D là một khoảng thuộc R. Giả sử f là hàm xác định trên D thỏa mãn điều kiện       + ≥ + 22 )()( 2121 xx f xfxf với mọi x 1 , x 2 ∈ D. a) Chứng minh rằng       +++ ≥ +++ 44 )()()()( 43214321 xxxx f xfxfxfxf với mọi x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ∈ D. b) Chứng minh rằng       ++ ≥ ++ 33 )()()( 321321 xxx f xfxfxf với mọi x 1 , x 2 , x 3 ∈ D. Hướng dẫn: Làm thế nào để mất x 4 ? c) Chứng minh rằng với mọi x 1 , x 2 , , x n thuộc D ta có       +++ ≥ +++ n xxx f n xfxfxf nn )( )()( 2121 5. Cho n ≥ 3 và x 1 , x 2 , , x n là các số nguyên dương sao cho i ii i x xx d 11 +− + = nguyên với mọi i= 1,2, , n. (Ở đây ta hiểu x 0 = x n , x n+1 = x 1 ). Chứng minh rằng .32 ndn n i i <≤ ∑ 6. Cho số nguyên dương n ≥ 3. Cho x 1 , x 2 , , x n là các số thực thuộc đoạn [0, 1]. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức . 2 )1( )1()1( 13221       ≤−++−+− n xxxxxx n Hướng dẫn: Bạn có gặp khó khăn khi chuyển từ n > n+1? Hãy tìm cách vượt qua khó khăn đó! 7. a) (VMO 2011) Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta có bất đẳng thức 12 1 2 1 1 )1( + +       + ≤ + + n n nn x x xx . b)* Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng bất đẳng thức (xy) n(n+1)/2 (x n +y n ) ≤ 2 đúng với mọi x, y dương và có tổng bằng 2. 2. Phương pháp phản chứng Phản chứng là phương pháp dùng để thêm giả thiết cho bài toán hoặc lật kết luận với giả thiết. Trong bất đẳng thức, phương pháp này tỏ ra khá hiệu quả. 1. Cho a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0. Chứng minh rằng a > 0, b > 0, c > 0. 2. (USAMO 2001) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≥ abc. Chứng minh rằng 2 trong 3 bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng 2 3 6 2 3 6 2 3 6 6, 6, 6. a b c b c a c a b + + ≥ + + ≥ + + ≥ 3. (IMO 2001) Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có 2 2 2 1. 8 8 8 a b c a bc b ca c ab + + ≥ + + + 4. Xét hai bài toán sau (A) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 + abc = 4 thì a + b + c ≤ 3. (B) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 thì a 2 + b 2 + c 2 + abc ≥ 4. Hãy chứng minh rằng từ bài toán (B) có thể suy ra bài toán (A). 5. Cho a, b, c > 0 và 2(a 2 +b 2 +c 2 ) + 3abc = 9. Chứng minh a + b + c ≤ 3. 6. (USAMO 1999) Cho a 1 , a 2 , …, a n (n > 3) là các số thực thỏa mãn điều kiện a 1 + a 2 + … + a n = n, a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 ≥ n 2 . Chứng minh rằng max{a 1 , a 2 , …, a n } ≥ 2. 7. Cho các số dương , , a b c thỏa mãn 1.abc = Chứng minh rằng (a) 1 1 1 1; 5 4 5 4 5 4a b c + + ≤ + + + (b) 1 1 1 1. 1 3 1 1 3 1 1 3 1a b c + + ≤ + + + + + + 3. Bất đẳng thức AM-GM 1. a) Từ kết quả bài 1.3, hãy chứng minh rằng nếu a 1 , a 2 , , a n là các số thực dương thì ta có )1.( 2121 n nn aaanaaa ≥+++ b) Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp lùi như bài 1.4. c) Chứng minh rằng nếu a 1 , a 2 , , a n là các số thực dương và r 1 , r 2 , , r n là các số hữu tỉ dương có tổng bằng 1 thì ta có ∏∑ == ≥ n i r i n i ii i aar 11 .(2) d) Chứng minh bất đẳng thức (2) vẫn đúng nếu r 1 , r 2 , , r n là các số thực dương. 2. Chứng minh rằng với mọi n ≥ 2 ta có bất đẳng thức . 1 1 n n n +< 3. Cho a, b, x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy = ax + by. Chứng minh rằng ( ) 2 bayx +≥+ . 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a) 2(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a+b) b) 6 6 6 4 2 4 2 4 2 .a b b c c a a b c b c a c a b+ + ≥ + + c) (Bất đẳng thức Muirhead) Giả sử (m, n, p) và (m', n', p') là hai bộ số thực dương sao cho: (i) m ≥ n ≥ p, m' ≥ n' ≥ p' (ii) m + n + p = m'+ n' +p' (ii) m ≥ m', m + n ≥ m' + n'. khi đó ta viết (m, n, p) > (m', n', p') và nói bộ (m, n, p) trội hơn bộ (m', n', p') Đặt M m,n,p (a, b, c) = a m b n c p + a m b p c n + a n b m c p + a n b p c m + a p b m c n + a p b n c m Chứng minh rằng nếu (m, n, p) trội hơn (m', n', p') thì M m,n,p (a, b, c) ≥ M m',n',p' (a, b, c). 5. a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng . 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a b) (Trung Quốc 2004) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng 3 4 8 12 2 17. 2 2 3 a c b c a b c a b c a b c + + − ≥ − + + + + + + 6. (Nga 2002) Cho , , 0 a b c > và 3.a b c+ + = Chứng minh rằng .a b c ab bc ca+ + ≥ + + 7. Cho các số dương , , a b c thỏa mãn 3.a b c+ + = Chứng minh rằng (a) 2 2 2 1 1 1 3; 1 1 1 a b c b c a + + + + + ≥ + + + (b) 2 2 2 3 3 3 1; 2 2 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + + (c) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 . 2 a b c a b b c c a + + ≥ + + + 4. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 1. a) Cho a 1 , a 2 , , a n ; b 1 , b 2 , , b n là các số thực thỏa mãn điều kiện .1 1 2 1 2 ∑∑ == == n i i n i i ba Hãy chứng minh rằng ∑ = ≤≤− n i ii ba 1 .11 Từ đó suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:             ≤ ∑∑∑ === n i i n i i n i ii yxyx 1 2 1 2 1 (1) với mọi bộ 2n số thực x 1 , x 2 , ,x n ; y 1 , y 2 , , y n . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1 :y 1 =x 2 :y 2 = =x n :y n . b) Từ bất đẳng thức hiển nhiên 0)( 2 1 ≥− ∑ = n i ii bxa với mọi x thuộc R, hãy suy ra bất đẳng thức             ≤       ∑∑∑ === n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 (2) với mọi a i , b i thực (i=1 n). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a i , b i tỷ lệ. c) Chứng minh rằng nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số ax 2 + bx là . 4 2 a b − Từ đó, xét các hàm f i (x) = a i x 2 + b i x với a i > 0 và áp dụng nguyên lý minimum của tổng lớn hơn hay bằng tổng các minimum, ta có n n n n a b a b a b aaa bbb 4 44) (4 ) ( 2 2 2 2 1 2 1 21 2 21 −−−≥ +++ +++ − suy ra bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng n n n n aaa bbb a b a b a b +++ +++ ≥+++ ) ( 21 2 21 2 2 2 2 1 2 1 (3) d) Chứng minh rằng các dạng (1), (2), (3) có suy ra được từ nhau. 2. a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro). Chứng minh rằng với 3 ≤ n ≤ 6 ta có bất đẳng thức ∑ = ++ ≥ + n i ii i n aa a 1 21 . 2 (Ở đây a n+1 = a 1 , a n+2 = a 2 ). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi nào? b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng ta có bất đẳng thức . 3 5 3 4 < + + + + + < ac c cb b ba a 3. (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, 2 111 =++ zyx . Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức 111 −+−+−≥++ zyxzyx . 3. (Ba Lan 1991) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 + z 2 = 2. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức x + y + z ≤ 2 + xyz. 4*. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 3. Chứng minh .3 2 1 2 1 2 1 ≥ − + − + − cba 5. (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, 2 111 =++ zyx . Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức 111 −+−+−≥++ zyxzyx . 6. Chứng minh rằng nếu x,y,z [ 1,1]∈ − thỏa mãn điều kiện x+y+z+xyz=0, thì ta có: 1 1 1 3x y z+ + + + + ≤ 7*. Cho 1 , , 0 n a a > và n > 3 sao cho 1 1 n k k a = = ∑ và 1 2 n k k ka = = ∑ . Chứng minh rằng: 2 1 3 2 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 0 n n a a a a a a n − − + − + + − < . 5. Một số bất đẳng thức cổ điển khác 1. Bất đẳng thức Bernoulli a) Chứng minh rằng với mọi x > -1 và với mọi r > 1 ta có (1+x) r > 1 + rx b) Chứng minh bất đẳng thức trên vẫn đúng nếu r < 0 và sẽ đổi chiều nếu 0 < r < 1. c) Chứng minh rằng nếu x, y > 0 thì x y + y x > 1. 2. a) Cho r > s. Chứng minh rằng nếu a 1 , a 2 , , a n là các số thực dương sao cho a 1 s + a 2 s + + a n s = n thì ta có a 1 r + a 2 r + + a n r ≥ n. b) (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa). Với a = (a 1 , , a n ) và số thực r ta đặt r n i r i r n a aM 1 1 )(             = ∑ = Khi đó, nếu r > s thì ta có M r (a) ≥ M s (a). 3. a) (Công thức tổng Abel) Cho hai dãy số thực (a 1 , a 2 , , a n ) và (b 1 ,b 2 , ,b n ). Khi đó ta có ∑∑ − = + = +++++−= 1 1 111 1 ) () )(( n i nniii n i ii bbabbaaba b) (Bất đẳng thức Abel) Cho hai dãy số thực (a 1 , a 2 , , a n ) và (b 1 ,b 2 , ,b n ) trong đó dãy thứ nhất là dãy số giảm. Đặt c k = b 1 + +b k và M = max (c k ), m = min (c k ). Chứng minh rằng ma 1 ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ≤ Ma 1 . c) (Bất đẳng thức hoán vị) Giả sử a 1 , a 2 , , a n và b 1 , b 2 , , b n là hai dãy đơn điệu giảm. Nếu c 1 , c 2 , ,c n là một hoán vị tùy ý của b 1 ,b 2 , ,b n thì a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ≥ a 1 c 1 + a 2 c 2 + + a n c n . 4. Cho 0 < x < y ≤ z ≤ 1 và 3x + 2y + z ≤ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x 2 + 2y 2 + z 2 . 5. Cho dãy giảm n số dương x 1 , x 2 , , x n thỏa mãn điều kiện kxxx k ≥+++ 21 với mọi k = 1, 2, , n. Chứng minh rằng       +++>+++ n xxx k 1 2 1 14 22 2 2 1 . 6. Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có bất đẳng thức . 222 2 3 2 3 2 3 a c c b b a a c c b b a ++≥++ 7. (Crux) Với các số thực dương x 1 , x 2 , ,x n có tổng bằng 1, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . 1 11 2 2 1 1 n n x x x x x x f − ++ − + − = 6. Phương pháp phân tích bình phương Nhiều bất đẳng thức đối xứng 3 biến có thể đưa về dạng S a (b-c) 2 + S b (c-a) 2 + S c (a-b) 2 ≥ 0. Hiển nhiên là nếu S a , S b , S c không âm thì bất đẳng thức đúng. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp một trong các số S a , S b , S c âm thì bất đẳng thức vẫn có thể được chứng minh thông qua phân tích này. 1. Cho a ≥ b ≥ c hoặc a ≤ b ≤ c. Giả sử rằng S c ≤ S b ≤ S a . Chứng minh rằng nếu S c < 0 và S b + S c ≥ 0 thì ta có S a (b-c) 2 + S b (c-a) 2 + S c (a-b) 2 ≥ 0. 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 ))()(( 8 222 ≥ +++ + ++ ++ accbba abc cabcab cba 3. (Kvant) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1. Chứng minh rằng .25)(48 111 ≥+++++ cabcab cba 4. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 12 )(9 222 333 ≥ ++ ++ + ++ cba cabcab abc cba 5. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức ba c ac b cb a ba c ac b cb a + + + + + ≥ + + + + + 22 2 22 2 22 2 6. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 3( ) 2 a b c a b c a b c b c c a a b   + + + + + ≥ + +  ÷ + + +   7. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng 222222333 3 accacbbcbaababccba +++++≥+++ 7. Phương pháp dồn biến Ý tưởng của phương pháp dồn biến là làm giảm dần số biến số, đưa việc chứng minh một bất đẳng thức về việc chứng minh 2 (hay nhiều) bất đẳng thức đơn giản hơn. Ví dụ để chứng minh f(a, b, c) ≥ 0, ta sẽ lần lượt chứng minh i) ) 2 , 2 ,(),,( cbcb afcbaf ++ ≥ ii) f(a, t, t) ≥ 0. Ta có một số chú ý sau 1) Khi thực hành phương pháp dồn biến, nên bắt đầu từ bất đẳng thức ii) trước với các lý do sau: i) Tìm được các điểm nghi vấn xảy ra dấu bằng. Biết được điểm xảy ra dấu bằng, chúng ta có thể tìm được các cách tiếp cận thích hợp. ii) Nếu không chứng minh được ii) thì việc dồn biến là vô ích. Vì vậy phải làm bước này trước. 2) Bất đẳng thức ) 2 , 2 ,(),,( cbcb afcbaf ++ ≥ nói chung không đúng với mọi a, b, c. Sử dụng tính đối xứng của bất đẳng thức, ta có thể sắp xếp thứ tự a, b, c để bất đẳng thức này đúng. 3) Việc chọn giá trị để dồn biến đến phụ thuộc vào biểu thức của f và điều kiện ràng buộc. Ví dụ nếu điều kiện là a + b + c = 1 nên thì ta phải dồn về trung bình cộng (hoặc thành b+c, 0). 1. (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức a 3 + b 3 + c 3 + 3abc ≥ a 2 (b+c) + b 2 (c+a) + c 2 (a+b) 2. (Việt Nam 2006) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng       ++≥+++ cba cba 111 23 222 3. Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng . 2 5111 ≥ + + + + + baaccb Hướng dẫn: Phải dồn biến thế nào để điều kiện đảm bảo? 4. (Việt Nam 2002) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 9. Chứng minh rằng 2(a+b+c) - abc ≤ 0. 5. Dồn biến về biên. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng a 2 b + b 2 c + c 2 a ≤ 4. 6. (Iran 1996) Cho x, y, z > 0. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức [...]... (Romanian TST 2006) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 3 Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ≥ a2 + b2 + c2 2 a b c 10 Hàm lồi và bất đẳng thức Karamata Bất đẳng thức Karamata là một công cụ mạnh để giải quyết các bài bất đẳng thức dạng "tổng hàm" Để phát biểu bất đẳng thức Karamata, ta nhắc lại khái niệm về bộ trội Cho hai dãy số thực không tăng a = (a1, a2, , an) và b = (b1, b2, , bn) Dãy a được... thực x1, x2, …, xn Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức n n n ∑∑ | xi + x j |≥ n∑ | xi | i =1 j =1 i =1 6 a) (Bất đẳng thức Newton) Cho a1, a2, , an là các số thực bất kỳ Đặt σi (x-a1)(x-a2) (x-an) = xn - σ1xn-1 + σ2xn-2 - +(-1)nσn và S i = C i n Chứng minh rằng S i −1 S i +1 ≤ Si2 với mọi i = 1, 2, , n-1 b) Bất đẳng thức Maclaurin) Với các ký hiệu như trên và ai ≥ 0 Chứng minh rằng S1 ≥ S 2 ≥ 3 S... x, y, z là các số thực sao cho (a + b + c)( x + y + z ) = 3 và (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) = 4 Chứng minh rằng ax+by+cz ≥ 0 12* Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức a b c ( y + z) + ( x + z) + ( x + y ) ≥ 3( xy + yz + zx) b+c c+a a+b 13* (Bất đẳng thức Fejer) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n và với mọi số thực x ta có bất đẳng thức 1 +... =1  i =1  n 2 11 Bất đẳng thức và bài toán cực trị 1 Cho x, y là các số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( x − y )(1 − xy ) (1 + x) 2 (1 + y ) 2 2 (PTNK 1999) Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện: 0 ≤ x, y ≤ 2, 1 ≤ x + y ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + y2 + xy – 3x – 3y 3 (Việt Nam TST 1993) Cho x1, x2, x3, x4 là các số thực thoả mãn... hai trên I và lõm trên I (tức là f"(x) ≥ 0 với mọi x thuộc I) Khi đó với mọi x, y thuộc I ta có f(x) ≥ f(y) + f'(y)(x-y) b) (Bất đẳng thức Karamata) Giả sử hàm số f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và lõm trên I Khi đó với hai dãy số thực không tăng bất kỳ a = (a 1, a2, ,an) và b = (b 1, b2, ,bn) thỏa a > b, ta có f(a1) + f(a2) + + f(an) ≥ f(b1) + f(b2) + + f(bn) c) (Bất đẳng thức Jensen)... nhiều biến, ta vẫn có thể sử dụng phương pháp này bằng cách cố định một số biến, chỉ còn một biến tự do Việc sử dụng các "đường mức" (điều kiện cố định) như thế nào phụ thuộc vào từng bài toán 1 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số ( f ( x) = x 9 1 + x 2 + 13 1 − x 2 ) trên đoạn [0, 1] 2 (PTNK 2012) a) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x ta có bất đẳng thức  4  1 1  2 x 3 + 4 + 1 ≥ 3 x +    x... nhất của biểu thức x+y+z 5 Cho x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x 2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 2( x 2 + 6 xy ) nhỏ nhất của biểu thức 1 + 2 xy + 2 y 2 6 Cho f ( x) = x 2 + 2x − 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(x)f(y) x2 +1 với x, y là các số thực thoả mãn điều kiện x + y = 1 7 Cho a, b, c là các số thực phân biệt, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (a 2 ... Jensen) Giả sử hàm số f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và lõm trên I Khi đó với mọi x1, x2, , xn thuộc I ta có  x + x 2 + + x n  f ( x1 ) + f ( x 2 ) + + f ( x n ) ≥ nf  1  n   d) (Bất đẳng thức Popoviciu) Giả sử hàm số f là một hàm liên tục, khả vi bậc hai trên I và lõm trên I Khi đó với mọi x, y, z thuộc I ta có bất đẳng thức  x+ y  x+ y+ z  y+ z  z + x  f ( x) + f ( y ) +... thực dương α nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức 1 1    2 x α + α + 1 ≥ 3 x +  đúng với mọi x > 0 x x    3 Cho tam giác đều ABC Với mỗi điểm M nằm trong mặt phẳng tam giác, gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên các đường thẳng (BC), (CA), (AB) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + MB + MC MD + ME + MF 4 (Việt Nam TST 2001) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn... lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x3 + y3 + z3 c) (VMO 2004) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (x+y+z) 3 = 32xyz Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P= x4 + y4 + z4 ( x + y + z) 4 d) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện x + y + z = 0, x 2 + y2 + z2 = 6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P = x2y + y2z + z2x 12 Bài tập tổng hợp 1 1 Cho a, b, c là các số . Bất đẳng thức qua các định lý và bài toán Trần Nam Dũng Trường ĐH KHTN TpHCM Đi chậm tiến xa - Start small, go big Làm thế nào để học toán một cách hiệu quả? Có phải là giải thật nhiều các bài. đứng trước các bài toán bất đẳng thức mới, chúng ta vẫn cảm thấy lúng túng và thiếu tự tin. Vậy thì làm thế nào để có thể tự tin và tìm ra định hướng khi giải một bài toán bất đẳng thức? Để không. các số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 222 222 111 cba cba ++≥++ 10. Hàm lồi và bất đẳng thức Karamata Bất đẳng thức Karamata là một công cụ mạnh để giải quyết các bài bất đẳng thức