lý thuyết đồ thị qua các định lý và bài toán

Lý thuyết đồ thị qua các định lý và bài toán 1. Mở đầu, định nghĩa và khái niệm 1. Đồ thị là cặp các tập hợp G = (V,E) trong đó V là tập các đỉnh, còn E là họ các cạnh có đầu mút thuộc vào V. Đồ thị có thể có vô số đỉnh và vô số cạnh. Dưới đây, nếu không nói gì thêm, ta sẽ giả sử các đồ thị là đơn, tức là không có khuyên và cạnh song song. 2. Hai đỉnh v, w được gọi là kề nhau nếu có cạnh nối v và w. Một cạnh và một đỉnh được gọi kề nhau (incident) nếu đỉnh là đầu mút của cạnh. 3. Cho một đỉnh v, bậc của đỉnh v theo định nghĩa là số cạnh nhận v là một trong hai đầu mút. 4. Một đường đi trong đồ thị G được định nghĩa là dãy hữu hạn các đỉnh khác nhau v 0 , v 1 , , v t sao cho v i kề với v i+1 . Độ dài của đường đi là số cạnh có trong đường đi đó. 5. Một chu trình của đồ thị G theo định nghĩa là một dãy các đỉnh khác nhau v 0 , v 1 , , v t sao cho v i kề với v i+1 , trong đó chỉ số được lấy theo modulo t+1. Độ dài của chu trình là số các đỉnh (hay cạnh) có trong chu trình đó. 6. Một đồ thị được gọi là liên thông nếu với mọi cặp đỉnh, tồn tại một đường đi nối hai đỉnh đó. Trong trường hợp ngược lại, đồ thị được gọi là không liên thông. 7. Một đồ thị có thể được phân hoạch thành các đồ thị con liên thông rời nhau. Mỗi một đồ thị con như vậy được gọi là một thành phần liên thông. Đồ thị liên thông là đồ thị chỉ có một thành phần liên thông. 8. Khoảng cách giữa hai đỉnh u, v trong đồ thị theo định nghĩa là độ dài của đường đi ngắn nhất nối hai đỉnh u, v. (Trong trường hợp đồ thị không liên thông ta coi khoảng cách giữa hai đỉnh không liên thông là ∞). 9. Cho G = (V, E) là đồ thị. Đồ thị bù G' của G là đồ thị có tập đỉnh trùng với tập đỉnh của G và E(G') = {e, e ∉ E(G)}, tức là G' có cạnh chính xác là những cạnh không là cạnh của G. 10. Cho G = (V, E) là đồ thị hữu hạn. Đồ thị G được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mọi cặp đỉnh của G đều được nối bởi một cạnh. Đồ thị đầy đủ có n đỉnh được ký hiệu là K n . 11. Đồ thị G được gọi là đồ thị hai phe nếu V(G) có thể được phân hoạch thành hai tập hợp khác rỗng rời nhau A, B sao cho không có cạnh nào có đầu mút trong cùng một tập hợp. Đồ thị được gọi là đồ thị hai phe đầy đủ nếu G là hai phe và tất cả các cạnh có thể giữa hai tập hợp A và B đều được vẽ. Trong trường hợp |A| = m, |B| = n, đồ thị như vậy được ký hiệu là K m,n . 12. Cho k ≥ 2. Đồ thị G được gọi là k-phe nếu V (G) có thể được phân hoạch thành k tập con đôi một rời nhau A 1 , , A k sao cho không có cạnh có hai đầu mút thuộc cùng một tập hợp. Đồ thị k phe đầy đủ được định nghĩa như đồ thị hai phe đầy đủ. Trong trường hợp | A i | = n i , đồ thị như thế được ký hiệu là K n1 , n2 , , nk . 13. Một cạnh mà hai đầu mút trùng nhau gọi là khuyên. Đồ thị mà trong đó có hơn một cạnh nối cặp hai đỉnh được (cạnh song song) gọi là đa đồ thị. Một đồ thị không khuyên và không có cạnh song song gọi là đồ thị đơn. Bài tập phần 1. Các bài tập phần này sẽ giúp các bạn làm quen với các kỹ thuật cần dùng đến khi giải các bài toán olympic. Bạn rất cần biết cách giải tất cả các bài toán này. 1. Cho G là một đồ thị có n đỉnh và m cạnh và bậc của n đỉnh là d1, d2, , dn. Chứng minh rằng d 1 + d 2 + + d n = 2m. 2. Với mọi đồ thị G, gọi ∆(G) là bậc lớn nhất giữa các đỉnh của G. Hãy mô tả tất cả các đồ thị với ∆(G) ≤ 2. Hãy mô tả tất cả các đồ thị với ∆(G) = 2. 3. Giả sử G là đồ thị không liên thông. Chứng minh rằng đồ thị bù G' của G liên thông. 4. Cho G là đồ thị liên thông. Chứng minh rằng hai đường đi mà mỗi đường là đường đi dài nhất trong đồ thị có ít nhất một đỉnh chung. 5. Cho G là đồ thị liên thông. Một cạnh được gọi là cầu nếu bỏ đi cạnh này thì đồ thị thu được mất tính liên thông. Chứng minh rằng e không phải là cầu khi và chỉ khi e là cạnh của một chu trình. 6. Một đồ thị n đỉnh mà bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn n/2 thì liên thông. Hãy chứng minh. 7. Một đồ thị được gọi là phẳng nếu nó có thể được vẽ trên mặt phẳng sao cho hai cạnh bất kỳ chỉ cắt nhau ở đỉnh. (a) Hãy chứng minh rằng K 5 và K 3,3 không phải là đồ thị phẳng. (b) Giả sử rằng đồ thị (đơn) phẳng G có n ≥ 3 đỉnh. Chứng minh rằng G có nhiều nhất 3n - 6 cạnh. (Hướng dẫn: Bạn có thấy đồ thị phẳng giống đa diện không?) Định lý Kuratowski nói rằng một đồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không chứa K 5 hoặc K 3,3 như đồ thị con. Phép chứng minh của định lý này nằm ngoài phạm vi chuyên đề. 8. Chứng minh rằng đồ thị là hai phe khi và chỉ khi nó không chứa chu trình lẻ. 9. Cho G là đồ thị có chẵn đỉnh. Chứng minh rằng ta có thể chọn ra một tập con các cạnh của G sao cho mỗi đỉnh kề với số lẻ các cạnh trong các cạnh được chọn. 10. (Italy 2007) Cho 2n+1 máy tính. Hai máy tính bất kỳ được nối với nhau bởi một sợi dây. Chứng minh rằng có thể tô các máy tính và các sợi dây bằng 2n+1 màu sao cho: i) Các máy tính được tô màu khác nhau ii) Các sợi dây xuất phát từ cùng một máy tính được tô màu khác nhau iii) Hai máy tính và sợi dây nối chúng được tô màu khác nhau. 11. Cho đồ thị G, gọi χ(G) là số màu ít nhất cần dùng để tô màu các đỉnh của G sao cho không có hai đỉnh kề nhau được tô cùng màu. Gọi m là số cạnh trong G. Chứng minh rằng 4 1 2 2 1 )( ++≤ mG χ . 12. Gọi G là một đồ thị có 9 đỉnh. Giả sử rằng với 5 điểm bất kỳ của G, luôn tồn tại ít nhất 2 cạnh mà các đầu mút nằm trong đỉnh đó. Tìm số bé nhất các cạnh của G. 2. Cây và cân bằng Cây được định nghĩa là đồ thị liên thông không có chu trình. Trước hết ta đưa ra các đặ trưng của các đồ thị như vậy. Bổ đề: (Đặc trưng của cây) Cho G là một đồ thị liên thông có n đỉnh. Khi đó các điều sau đây là tương đương. 1. G không chứa chu trình. 2. G có đúng n - 1 cạnh. 3. Với hai đỉnh bất kỳ, tồn tại duy nhất một đường đi nối hai đỉnh đó. 4. Bỏ đi một cạnh bất kỳ thì tính liên thông bị mất. Hệ quả: Giả sử G là một đồ thị liên thông với n đỉnh và ít nhất n cạnh. Khi đó tồn tại ít nhất một đỉnh mà bỏ đỉnh này đi đồ thị vẫn còn liên thông (nói cách khác, tồn tại một cạnh không là cầu). Hệ quả: Cho G là đồ thị liên thông. Khi đó G chứa một đồ thị con là cây và chứa mọi đỉnh của G. Đồ thị như vậy gọi là cây bao trùm của G. Cho G là một cây và v là một đỉnh bất kỳ của G. Gọi v 1 , v 2 , , v t là các đỉnh kề với v. Gọi e i là cạnh nối v với v i . Gọi T i là cây con chứa v i sau khi bỏ cạnh (e i ). Đặt f(v) = max {| V(T i )|, i = 1, ,t} Ta dùng một lý luận trực quan. Vì |V 1 | + |V 2 | + + |V t | = n - 1, nếu f(v) "lớn" thì cây sẽ trông không cân bằng. Nếu f (v) ≈ (n − 1)/t, thì cây sẽ trông cân bằng. Ta muốn tìm đỉnh v sao cho f(v) cực tiểu, thì đỉnh đó sẽ làm cho cây cân bằng nhất. Bài toán cây cân bằng: Cho G là cây với n đỉnh và ∆ > 1 là bậc lớn nhất trong các đỉnh của G. Ta sử dụng hàm f đã sử dụng trước đây. Chứng minh rằng tồn tại một đỉnh v sao cho )1( 1 )()1( 1 − ∆ −∆ ≤≤− ∆ nvfn Sketch of Proof: Left inequality follows for all v from pigeonhole principle. To prove the right inequality, choose v such that f (v) is minimum. Suppose f (v) ≥ (∆ − 1)/(∆).(n − 1) + 1. Let v i be the neighbour of v with |T i | ≥ (∆ −1)/∆(n −1)+1. Let v = w 1 , w 2 , , w ∆ be the neighbours of v i . Then since the tree containing v after removing v i v contains at most 1/∆(n − 1) vertices, then f (vi) ≤ (∆ − 1)/∆(n − 1) − 1 < f (v), contradicting the minimality of f (v). (Draw a diagram to understand this proof better.) Bây giờ ta đã đủ công cụ để cân bằng đồ thị nói chung Các bài toán khởi động 1. Cho G là một đồ thị liên thông có n đỉnh và bậc lớn nhất ∆. Chứng minh rằng G chứa hai đồ thị con liên thông không chung cạnh mà mỗi đồ thị con chứa ít nhất [(n − 1)/∆] đỉnh. 2. Cho G là một cây với n đỉnh và bậc lớn nhất ∆. Chứng minh rằng tồn tại một cạnh thuộ G mà nếu bỏ đi cạnh đó thì ta được hai cây, mỗi cây có ít nhất [(n − 2)/∆] cạnh. Các bài toán Olympic 1. (USAMO 2007) Một sinh vật với n ô là một hình liên thông bao gồm n ô vuông kích thước bằng nhau. Một con khủng long là sinh vật với ít nhất 2007 ô. Con khủng long đó được gọi là nguyên sơ nếu nó không thể được tách thành hai con khủng long. Hãy tìm số ô lớn nhất của một con khủng long nguyên sơ. 2. (Iran 2005) Đa giác đơn là đa giác mà chu vi của nó không tự cắt (nhưng không nhất thiết phải lồi). Chứng minh rằng đa giác đơn P chứa một đường chéo nằm trọn bên trong P sao cho đường chéo này chia chu vi thành 2 phần, mỗi phần chứa ít nhất n/3 − 1 đỉnh vertices. (Không tính các đỉnh là đầu mút của đường chéo) Chú ý rằng Bài toán cân bằng cây và các Bài toán khởi động không có tên. Khi bạn viết lời giải cho các bài toán, bạn phải viết lại chứng minh của các bài toán đó với giá trị thích hợp của ∆. 3. Người quen, người lạ và băng nhóm Cho đồ thị G, một băng nhóm (clique) trong G là tập con các đỉnh của G trong đó hai đỉnh bất kỳ của tập con được nối bởi một cạnh. Khái niệm này rất quan trọng trong một số bài toán olympic liên quan đến quen và không quen. Các bài toán khởi động 1. (Alberta 2007) Cho n là số nguyên dương. Một bài thi có n bài toán, được làm bởi một số học sinh. Mỗi một bài toán giải được bởi đúng 3 học sinh, mỗi cặp bài toán có đúng một học sinh giải được cả hai và không có học sinh nào giải được tất cả các bài toán. Tìm giá trị lớn nhất của n. 2. Cho n là số nguyên dương. Trong một nhóm 2n+1 người, mỗi một cặp hai người sẽ hoặc quen nhau, hoặc không quen nhau. Với mỗi tập S có không quá n người, có một người ngoài S quen với tất cả mọi người trong S. Chứng minh rằng có một người quen với tất cả người khác. 3. Định lý Turan: Cho G là đồ thị n đỉnh và m là số nguyên dương với 2 ≤ m ≤ n. Giả sử rằng G không chứa băng nhóm kích thước m. Chứng minh rằng số cạnh của G không vượt quá       − − 1 1 1 2 2 m n . 4. (APMO 1990) Một nhóm n người dự tiệc có tính chất là mỗi một cặp hai người thì hoặc quen nhau, hoặc không quen nhau. Các điều kiện sau đây cũng được thỏa mãn. • Không có ai quen với tất cả mọi người. • Hai người không quen nhau bất kỳ có đúng một người quen chung. • Không có ba người đôi một quen nhau. Chứng minh rằng mỗi người có số người quen bằng nhau. Các bài toán Olympic 1. Cho n là số nguyên dương. Với tập S gồm 2n số thực, hãy tìm số lớn nhất có thể các hiệu (dương) đôi một khác nhau giữa hai phần tử của S nằm trong khoảng (1, 2). 2. (IMO 2001 Shortlist) Định nghĩa k-clique là tập hợp gồm k người đôi một quen nhau. Trong một buổi tiệc, hai cặp 3-clique bất kỳ có ít nhất một người chung và không có 5- clique. Chứng minh rằng tồn tại 2 hay ít hơn người trong buổi tiệc mà nếu họ rời tiệc sẽ không còn 3-clique nào. 3. Cho G là đồ thị với n đỉnh và m cạnh và không chứa chu trình độ dài 4. Chứng minh rằng ).341( 4 −+≤ n n m 4. (APMO 1989) Cho G là đồ thị có n đỉnh và m cạnh. Chứng minh rằng đồ thị chứa ít nhất m(4m − n 2 )/3n chu trình độ dài 3. 5. Có 2n người dự một buổi tiệc, trong đó mỗi một người có số chẵn bạn dự tiệc. Chứng minh rằng tồn tại hai người có số chẵn người quen chung trong buổi tiệc. 6. Trong một nhóm gồm n người, hai người bất kỳ hoặc quen nhau hoặc không quen nhau. Không có 3 người nào đôi một quen nhau. Với mọi cách chia n người này thành hai nhóm, có hai người cùng một nhóm nào đó quen nhau. Chứng minh rằng tồn tại một người quen với nhiều nhất 2n/5 người trong nhóm. 7. (IMO 2002 Shortlist) Có 120 người trong phòng, hai người bất kỳ hoặc quen nhau, hoặ không quen nhau. Một bộ tứ yếu là một nhóm 4 người trong đó có duy nhất 1 cặp quen nhau. Tìm số lớn nhất các bộ tứ yếu có thể có trong phòng. (Hướng dẫn: Chuyển sang ngôn ngữ đồ thị. Chứng minh rằng trong đồ thị mà số bộ tứ yếu là lớn nhất thì đồ thị sẽ là hợp của các đồ thị đầy đủ rời nhau, có nghĩa là nếu x, y kề nhau, y, z kề nhau thì x, z kề nhau.) 8. (IMO 2007) Trong một cuộc thi toán một số thí sinh là bạn của nhau. Tình bạn là đối xứng. Ta gọi một nhóm thí sinh là một băng (clique) nếu hai người bất kỳ trong nhóm là bạn. (Nói riêng, một nhóm bất kỳ có số thành viên nhỏ hơn 2 là một băng.). Số các thành viên của một băng được gọi là kích thước của băng đó. Biết rằng, trong cuộc thi này, kích thước lớn nhất của một băng là chẵn. Chứng minh rằng ta có thể sắp các thí sinh vào 2 phòng sao cho kích thước lớn nhất của một băng trong một phòng cũng bằng kích thước lớn nhất của một băng trong phòng còn lại. (Gợi ý: Hãy làm theo sơ đồ chuẩn mực sau. Gọi C là băng có kích thước lớn nhất. Xếp tất cả mọi người vào một phòng, sau đó bắt đầu xếp những người trong C từng người một vào phòng kia cho đến khi hiệu của kích thước băng lớn nhất ở hai phòng bằng 0 hoặc bằng 1. Nếu trường hợp thứ nhất xảy ra thì xong. Còn nếu trường hợp thứ hai thì sao?) 4. Đồ thị có hướng. Mũi tên và Giải đấu. Đồ thị có hướng là đồ thị mà mỗi cạnh được định hướng bằng một mũi tên chỉ theo đúng một hướng. Đường đi có hướng là đường đi đi theo chiều của các mũi tên. Chu trình có hướng được định nghĩa tương tự. Giải đấu theo định nghĩa là đồ thị có hướng đầy đủ. Các bài toán khởi động 1. Chứng minh rằng mọi giải đấu đều có đường đi có hướng đi qua tất cả các đỉnh. Giả sử rằng với mọi cặp đỉnh, tồn tại đường đi có hướng từ đỉnh này đến đỉnh kia. Ta gọi đồ thị như vậy là liên thông mạnh. Chứng minh rằng một giải đấu có chu trình có hướng đi qua tất cả các đỉnh khi và chỉ khi nó liên thông mạnh. 2. Cho G là một đồ thị liên thông có số cạnh chẵn. Chứng minh rằng ta có thể đánh dấu các cạnh bằng các mũi tên sao cho số các mũi tên ra từ mỗi đỉnh là chẵn. Các bài toán olympic 1. (Canada 2006) Xét giải đấu vòng tròn với 2n +1 đội, trong đó hai đội bất kỳ đấu với nhau đúng một trận. Ta nói rằng ba đội X, Y, Z lập thành một bộ ba vòng tròn nếu X thắng Y , Y thắng Z , Z thắng X. Ở đây không có hòa. (a) Tìm GTNN của số bộ ba vòng tròn. (b) Tìm GTLN của số bộ ba vòng tròn. 2. (Romania 2006) Mỗi một cạnh của đa diện được định hướng bởi một mũi tên sao cho tại mỗi đỉnh có ít nhất một mũi tên đi và ít nhất một mũi tên đến. Chứng minh rằng tồn tại một mặt của đa diện mà các cạnh biên của nó tạo thành một chu trình có hướng. 3. Cho k, n là các số nguyên dương với k < n sao cho 1 2 1 1 <       −         −kn k k n . Chứng minh rằng tồn tại một giải đấu với n đỉnh sao cho với mọi tập con S gồm k đỉnh, tồn tại đỉnh v nằm ngoài S sao cho vx là cạnh có hướng với mọi x ∈ S. (Hint: Looking at the weird condition given in the question, what tool does it suggest that you should try?) 4. (Iran 2005) Mỗi một cạnh của một giải đấu được tô bởi màu đỏ hay màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại đỉnh v sao cho với mọi đỉnh w khác v, tồn tại đường đi có hướng từ v đến w có các cạnh được tô cùng màu. 5. Tương thích: Hãy bắt cặp Cho đồ thị G, một tương thích M là một tập hợp các cạnh thuộc G sao cho không có hai cạnh thuộc M có đỉnh chung. Một tương thích được gọi là đầy đủ nếu mọi đỉnh thuộc G đều kề với một cạnh nào đó của M. Một đỉnh được gọi là M-bỏ qua nếu nó không kề với một cạnh thuộc M. Rõ ràng, M sẽ là tương thích đầy đủ nếu không có đỉnh M-bỏ qua. Ta phát biểu hai tính hất quan trọng liên quan đến tương thích. Định lý Hall: Cho G = A ∪ B, A ∩ B = ∅ là đồ thị hai phe. Với tập con S khác ∅ thuộc A, gọi Γ(S) là tập các đỉnh trong B kề với đỉnh nào đó trong S. Khi đó tồn tại một tương thích chứa tất cả các đỉnh thuộc A khi và chỉ khi với mọi S ⊆ A, |Γ(S)| ≥ |S|. Điều kiện sau cùng được gọi là Điều kiện Hall. Trong trường hợp đặc biệt khi |A| = |B|, thì G có tương thích đầy đủ khi và chỉ khi G thỏa mãn điều kiện Hall. Sketch of Proof: Strong induction on |A|. If |A| = 1, clear. Suppose |A| = n. If for all S ⊆ A, |Γ(S)| ≥ |S| + 1, then choose e = uv ∈ E(G) with u ∈ A. Hall’s Condition still applies to the graph G − {u, v}. Done. Otherwise, |Γ(S)| = S for some S ⊆ A. I claim Hall’s condition holds for the graph induced by (A − S) ∪ (B − Γ(S)). For T ⊆ A − S, let Γ 0 (T ) be the neighbours of T in B − Γ(S). Then by Hall’s condition on all of G, Γ(S ∪ T ) ≥ S ∪ Γ 0 (T ). Since |Γ(S)| = |S|, then |T | ≥ |Γ 0 (T )|. Then strong induction applies. Một mô hình nữa: Các bạn sẽ gặp các bài toán trong đó có bảng các số. Ví dụ bạn có một bảng chữ nhật m × n trong đó ghi các số thuộc tập hợp {0, 1}. Hãy suy nghĩ xem ta có thể xây dựng một cách tự nhiên đồ thị với hai phe, mỗi phe có m, n đỉnh tương ứng. Các bài toán khởi động: 1. Cho n là số nguyên dương. Cho S 1 , S 2 , , S n là các tập con của {1, 2, . . . , n} sao cho với mọi 1 ≤ k ≤ n, hợp của mọi k tập con chứa ít nhất k phần tử. Chứng minh rằng tồn tại hoán vị (a 1 , a 2 , , a n ) của (1, 2, · · · , n) sao cho a i ∈ S i với mọi i ∈ {1, 2, , n}. . 2. Cho G là đồ thị hai phe mà mỗi đỉnh có bậc nguyên dương và bằng nhau. Chứng minh rằng G có tương thích đầy đủ. 3. Ch G là một đồ thị và N là một tương thích của G. Chứng minh rằng N là tương thích có kích thước lớn nhất khi và chỉ khi không tồn tại một đường đi bắt đầu và kết thúc ở một đỉnh N-bỏ qua, với các cạnh xen kẽ là không trong N và trong N. (Hướng dẫn: Một chiều là dễ. Với chiều khác, giả sử M là tương thích lớn hơn N và xét đồ thị được lập bởi các cạnh trong M ∪ N.) Các bài toán olympic 1. (Canada 2006) Một bảng gồm các số thực không âm với m hàng và n cột, trong đó mỗi hàng, mỗi cột có ít nhất một số dương. Hơn nữa, nếu một hàng và một cột giao nhau tại một số dương thì tổng các phần tử của chúng bằng nhau. Chứng minh rằng m = n. 2. Bảng n × n được gọi là bảng hoán vị nếu các số trên bảng là 0 và 1 sao cho trên mỗi hàng và trên mỗi cột có đúng một số 1. Cho G là một bảng n x n gồm các số nguyên không âm sao cho tổng các số trên mỗi hàng và trên mỗi cột bằng nhau. Chứng minh rằng G có thể viết dưới dạng tổng của các bảng hoán vị. (Phép cộng các bảng được thực hiện theo vị trí.) 3. (Iran 1998) Cho n ≥ 3 là số nguyên dương. Cho G là gồm các số 0, 1 hoặc −1 sao cho trên mỗi một hàng và mỗi một cột có đúng một số 1 và một số −1. Chứng minh rằng các hàng và các cột của bảng có được sắp xếp lại để kết quả là bảng -G. 4. Bảng n × n gồm các số thuộc {0, 1} sao cho với mọi tập con gồm n ô, trong đó không có hai ô cùng hàng hoặc cùng cột, chứa ít nhất một số 1. Chứng minh rằng tồn tại i hàng và j cột với i + j ≥ n + 1, có giao chứa toàn 1. 5. There are 2n people in a room where each pair of persons is classified as friends or strangers. Two game players from the outside play a game where they alternate turns picking one person in the room such that this person was not picked before and this person is friends with the person previously picked. The last player who can make a legal move wins. The player that moves first can pick anyone he/she wants. Prove that the player that moves second has a winning strategy if and only if the 2n people can be used to form n disjoint pairs such that the two people in each pair are friends. 6. Đường đi và chu trì Euler. Đường đi và chu trình Hamilton Cho đồ thị G, một đường đi Euler là dãy liên tiếp các đỉnh kề nhau sao cho mỗi một cạnh của đồ thị đều xuất hiện trong đường đi đó đúng một lần. Chu trình Euler là dãy các đỉnh như vậy, nhưng khởi đầu và kết thúc ở cùng một đỉnh. Đặc trưng của đường đi Euler và chu trình Euler: Một đồ thị liên thông có đường đi Euler khi và chỉ khi số các đỉnh bậc lẻ của nó là 0 hoặc 2. Một đồ thị liên thông có chu trình Euler khi và chỉ khi tất cả các đỉnh của nó đều có bậc chẵn. Chứng minh: Bạn có thể tự chứng minh. Khá dễ. Bây giờ ta quay trở lại với đồ thị đơn. Đường đi Hamilton là đường đi đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần. Chu trình Hamilton là chu trình đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh một lần. Đồ thị chứa chu trình Hamilton được gọi là chu trình Hamilton. Nói chung là khó có thể xác định được trong một đồ thị đã cho có chu trình Hamilton hay không. Có một kết quả hữu ích là định lý Dirac. Định lý Dirac: Cho n ≥ 3. Giả sử rằng đồ thị G có n đỉnh và bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn [n/2]. Khi đó G có chu trình Hamilton. Chứng minh định lý Dirac: Ta có thể thêm cạnh để biến G thành đồ thị đầy đủ. Theo Bài tập 1, vì đồ thị đầy đủ là Hamilton nên việc bỏ dần các cạnh theo thứ tự ngược với cách mà ta thêm vào ta thu được G cũng Hamilton. Các bài toán Olympic 1. Cho G là đồ thị có n đỉnh. Nếu u, v là hai đỉnh không kề nhau sao cho deg(u) + deg(v) ≥ n. Khi đó G là đồ thị Hamilton khi và chỉ khi G + {uv} là đồ thị Hamilton. [...]...  4 Định lý Turan Một k-clique là một đồ thị với k đỉnh mà hai đỉnh bất kỳ đều được nối với nhau bởi một cạnh Ví dụ tam giác là 3-clique Định lý Mantel khẳng định rằng nếu đồ thị với n đỉnh không chứa 3-clique thì nó có nhiều nhất n2/4 cạnh Còn nếu k > 3 thì sao? Câu trả lời được cho bởi kết quả cơ bản của Paul Turan, kết quả đã mở đầu cho lý thuyết đồ thị tối ưu Định lý 7 (Turan 1941) Nếu đồ thị G... k   k 2   Bài tập 7 Giả sử rằng n là bội số của k Hãy xây dựng một đồ thị không chứa (k+1)-clique, trong đó số các cạnh đạt được cận trên (1) trong định lý 7 Bài tập 8 Nhắc lại chỉ số độc lập α(G) của đồ thị G là số lớn nhất các đỉnh đôi một không kề nhau của G Hãy chứng minh đối ngẫu của định lý Turan: Nếu G là đồ thị với n đỉnh và nk/2 cạnh, k ≥ 1, thì α(G) ≥ n/(k+1) 5 Định lý Dirichlet Ở đây... một thành phố và quay trở lại thành phố này và đi qua tất cả các thành phố khác, mỗi thành phố đúng một lần Năm nay chúng ta cũng dự định thự hiện một chuyến đi như vậy, nhưng khác với chuyến đi năm ngoái hay cách đi ngược lại Chứng minh rằng ta có thể thực hiện điều đó 7 Các bài toán tổng hợp sử dụng lý thuyết đồ thị 1 Cho n điểm trên mặt phẳng, chứng minh rằng số cặp điểm có khoảng cách 1 trong chúng... dương Chứng minh rằng các cạnh của đồ thị đầy đủ n đỉnh có thể phân ra thành n-1 đường đi có độ là 1, 2, , n-1 8 (IMO 2005) Trong một cuộc thi toán có 6 bài toán Hai bài toán bất kỳ trong số các bài toán này cùng giải được bởi ít nhất 2/5 số thí sinh Hơn nữa, không có học sinh nào giải được cả 6 bài toán Chứng minh rằng có ít nhất hai học sinh mà mỗi học sinh giải được đúng 5 bài toán 9 Chứng minh rằng... là định lý Mantel Bây giờ giả sử bất đẳng thức đúng cho mọi đồ thị trên nhiều nhất n-1 đỉnh, và G = (V, E) là đồ thị trên n đỉnh không có (k+1)-clique và có số cạnh lớn nhất Đồ thị này dĩ nhiên là phải chứa k-clique, bởi nếu không ta có thể thêm cạnh Giả sử A là k-clique và B = V – A k  Vì mỗi cặp đỉnh của A được nối bởi một cạnh, A chứa e A =   cạnh Gọi eB là số cạnh nối các đỉnh của 2   B và. .. minh bằng cách chia cho q Hơn nữa, q là hiệu của hai số nguyên thuộc 1, 2, …, n+1, do đó q ≤ n 6 Đồ thị được tô đặc sắc Ta tô màu các cạnh của đồ thị đầy đủ K n trên n đỉnh Ta nói rằng đồ thị được tô đặc sắc (swell-colored) nếu mọi tam giác chứa 1 hoặc 3 màu, nhưng không chứa 2 màu và đồ thị có nhiều hơn một màu Có nghĩa là, ta cần sử dụng ít nhất 2 màu và với mọi tam giác, hoặc là tất cả các cạnh... bày một ứng dụng của nguyên lý chuồng và thỏ mà Dirichlet đã sử dụng, và chính vì ứng dụng này mà nguyên lý này được gắn với tên ông Nó liên quan đến vấn đề tồn tại xấp xỉ hữu tỷ tốt cho các số vô tỷ Kết quả này thuộc về lý thuyết số nhưng lý luận là tổ hợp Định lý 8 (Dirichlet 1879) Nếu x là một số thực Với mỗi số nguyên dương n,tồn tại số hữu tỷ p/q sao cho 1 ≤ q ≤ n và x− p 1 1 < ≤ 2 q nq q Chứng... Chứng minh Ta chia các đỉnh của G thành χ(G) nhóm (các tập hợp các đỉnh có cùng màu) Theo nguyên lý chuồng và thỏ, một trong các nhóm đó có chứa ít nhất n/χ(G) đỉnh, và các đỉnh này đôi một không kề nhau Như vậy α(G) ≥ n/χ(G) và đó chính là điều cần chứng minh Một đồ thị là liên thông nếu giữa hai đỉnh bất kỳ của nó có một đường đi Mệnh đề 3 Cho G là một đồ thị n đỉnh Nếu mọi đỉnh của G có bậc ít nhất là... chứng minh!) K n không thể được tô đặc sắc với đúng hai màu Cũng có thể thấy rằng K3 và K4 là những đồ thị K n duy nhất có thể tô đặc sắc với 3 màu; các đồ thị K n khác cần nhiều màu hơn vì chúng có bậc liên thông cao hơn Sử dụng nguyên lý chuồng và thỏ, ta có thể chứng minh được chặn dưới sau Định lý 9 (Ward-Szabo 1994) Đồ thị đầy đủ trên n đỉnh không thể được tô đặc sắc với ít hơn n +1 màu Chứng minh... chẵn và G là hợp của hai đồ thị đầy đủ với n/2 đỉnh thì bậc của mỗi đỉnh bằng (n-2)/2 nhưng đồ thị không liên thông Bài tập 1 Giả sử 5 điểm được chọn trong hình vuông cạnh 1 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 1 cặp điểm cách nhau không quá 1/2 Bài tập 2 Các viên đá của 8 màu khác nhau được xếp vào 6 cái hộp Có 20 viên đá cho mỗi màu Chứng minh rằng tìm được một hộp chứa hai cặp có cùng màu khác nhau Bài . Lý thuyết đồ thị qua các định lý và bài toán 1. Mở đầu, định nghĩa và khái niệm 1. Đồ thị là cặp các tập hợp G = (V,E) trong đó V là tập các đỉnh, còn E là họ các cạnh có đầu mút thuộc vào. đồ thị. Một đồ thị không khuyên và không có cạnh song song gọi là đồ thị đơn. Bài tập phần 1. Các bài tập phần này sẽ giúp các bạn làm quen với các kỹ thuật cần dùng đến khi giải các bài toán. (V, E) là đồ thị hữu hạn. Đồ thị G được gọi là đồ thị đầy đủ nếu mọi cặp đỉnh của G đều được nối bởi một cạnh. Đồ thị đầy đủ có n đỉnh được ký hiệu là K n . 11. Đồ thị G được gọi là đồ thị hai