tổ hợp qua các định lý và bài toán

Tổ hợp qua các định lý và bài toán Trần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM 1. Các quy tắc đếm Ta nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: A > {1, 2, , n}. Ký hiệu | A | = n. Quy tắc cộng: Nếu công việc A có hai phương án thực hiện (loại trừ lẫn nhau), phương án 1 có n 1 cách thực hiện, phương án 2 có n 2 cách thực hiện thì công việc A có n 1 + n 2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: Nếu A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = | A | + | B |. Quy tắc nhân: Nếu công việc A có thể chia thành 2 công đoạn tiếp nối nhau, công đoạn 1 có n 1 cách thực hiện, công đọa 2 có n 2 cách thực hiện thì công việc A có n 1 n 2 cách thực hiện. Trên ngôn ngữ tập hợp: | A × B| = | A |.| B |. Quy tắc phần bù: |||||| AXA −= , trong đó || A là phần bù của A trong X. 1. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số? b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? c) Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau? 2. a) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 3 b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số, chia hết cho 3 nhưng không chứa chữ số 3? c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3? 3. Trong một trường học mỗi một học sinh nam quen với 32 học sinh nữ và mỗi một học sinh nữ quen với 29 học sinh nam. Hỏi trong trường học đó nam nhiều hơn nữ hay nữ nhiều hơn nam, và nhiều hơn bao nhiêu lần. 4. Xét bảng chữ nhật m × n ô. Hỏi có tất cả bao nhiêu hình chữ nhật có cạnh song song với cạnh của bảng? 5. Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương. Một đường tròn được chia thành p quạt bằng nhau. a) Có bao nhiêu cách tô p quạt bằng a màu, nếu ta cố định đường tròn (không xoay). b) Nếu ta cho phép xoay đường tròn, và hai cách tô được coi là như nhau nếu có thể thu được từ nhau qua một phép quay thì có tất cả bao nhiêu cách tô? Xét các tập hợp A, B, C thuộc X. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của A, B, C, là các ánh xạ từ X vào {0, 1} được xác định như sau:    ∉ ∈ = Axneu Axneu x A 0 1 )( χ Hàm đặc trưng hoàn toàn xác định tập hợp, và ta có các tính chất cơ bản sau: 1) A = B <=> χ A (x) = χ B (x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ A = χ B ) 2) A ⊆ B <=> χ A (x) ≤ χ B (x) với mọi x thuộc X (và khi đó ta viết χ A ≤ χ B ) 3) χ A ∩ B = χ A .χ B 4) A A χχ −= 1 6. a) Chứng minh rằng χ A ∪ B = χ A + χ B - χ A .χ B . b) Chứng minh rằng χ A ∆ B = χ A + χ B - 2χ A .χ B . c) Áp dụng chứng minh A∆(B∆C) = (A∆B)∆C với mọi A, B, C. Hàm đặc trưng liên quan trực tiếp đến phép đếm thông qua công thức quan trọng (và hiển nhiên) sau: ∑ ∈ = Xx A xA )(|| χ (1) 7. Áp dụng các tính chất của hàm đặc trưng và công thức (1), hãy chứng minh a) Quy tắc cộng b) Quy tắc nhân c) (Công thức bao hàm và loại trừ cho n = 3) |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (|A∩B| + | B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|. d) (Quy tắc đếm theo phần tử) Cho F là một họ các tập con của X. Với mỗi k = 0, 1, ,|X| gọi nk là số tập con thuộc F có k phần tử, với mỗi x thuộc X, gọi c(x) là số các tập con thuộc F chứa x. Khi đó ta có ∑ ∑∑ = ∈∈ == || 1 .)(|| X k Xx k FA xcknA e) (Áp dụng quy tắc đếm theo phần tử) Có 20 thí sinh tham gia cuộc thi Vietnam Idol. BGK sẽ chọn ra 5 gương mặt xuất sắc nhất, còn khán giả cũng sẽ chọn ra 5 gương mặt được ưu thích nhất. Nếu các danh sách được chọn một cách ngẫu nhiên thì trung bình sẽ có bao nhiêu thí sinh được góp mặt trong cả hai danh sách? Hướng dẫn: Gọi F là tập tất cả các cặp (A, B) với A,B ⊆ [20], |A| = |B| = 5. Bản chất của bài toán là tính giá trị của || |}| ),( F BA FBA ∑ ∈ ∩ . 2. Các đối tượng tổ hợp cơ bản Xét tập hợp X gồm n phần tử. Từ tập hợp cơ bản này, ta có thể xây dựng các đối tượng tổ hợp phong phú. Tập các tập con của tập X: Tập các tập con của X được ký hiệu là P(X). Dễ thấy |P(X)| = 2 n . Các tập con của một tập hợp là một đối tượng xuất hiện khá nhiều trong các bài toán đếm. Chỉnh hợp: Chỉnh hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt được sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp là (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 3),(3, 1),(3, 2). Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n A . Hoán vị: Hoán vị của n phần tử là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó, nói cách khác, là một cách sắp thứ tự các phần tử đó. Hoán vị của X còn có thể định nghĩa như một song ánh từ X vào X. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là P n . Tổ hợp: Tổ hợp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử phân biệt không sắp thứ tự của tập hợp ấy. Nói cách khác, đó là một tập con k phần tử. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp là {1, 2}, {1,3}, {2, 3}. Số các tổ chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C . Chỉnh hợp lặp: Chỉnh hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt được sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các chỉnh hợp lặp là (1, 1), (1, 2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(3, 1),(3, 2), (3, 3). Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n A . Tổ hợp lặp: Tổ hợp lặp chập k của một tập hợp là một bộ k phần tử không nhất thiết phân biệt không sắp thứ tự của tập hợp ấy. Ví dụ nếu X = {1, 2, 3} và k = 2 thì ta có các tổ hợp lặp là {1, 1}, {1, 2}, {1,3}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 3}. Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử được ký hiệu là k n C . Để tiện lợi, ta thường lấy X = {1, 2, ,n} và ta ký hiệu tập này là [n]. 1. a) Dùng quy tắc nhân, hãy chứng minh rằng )!( ! )1) (1(, kn n knnnAnA k n k k n − =+−−== . b) Chứng minh rằng )!(! ! ! knk n k A C k n k n − == . 2. Dùng định nghĩa tổ hợp của k n C hãy chứng minh các đẳng thức sau: a) k n k n k n CCC 1 1 + − =+ Hướng dẫn: Chia các tập con k phần tử của [n+1] thành 2 loại: chứa n+1 và không chứa n+1. b) .2 210 1 nn nnn CCCC =++++ Hướng dẫn: Hãy trả lời câu hỏi: Có bao nhiêu tập con k phần tử của [n]. Và tổng cộng [n] có bao nhiêu tập con kể cả ∅ và chính nó? c) (Công thức nhị thức Newton) ∑ = − =+ n k kknk n n yxCyx 0 )( . Hướng dẫn: Có thể chứng minh bằng quy nạp dựa vào a) hoặc chứng minh trực tiếp bằng cách xét (x+y) n = (x+y)(x+y) (x+y). Để tạo ra một đơn thức x n-k y k , ta phải lấy x từ n-k dấu ngoặc và y từ k dấu ngoặc còn lại. Có bao nhiêu cách lấy như vậy? d) (Quy tắc lục giác) 11 111 11 1 −+ +−+ +− − = k n k n k n k n k n k n CCCCCC 3. Hoán vị lặp và định lý đa thức a) Bảng chữ cái có k ký tự 1, 2, , k. Chữ cái thứ i có r i phiên bản. Biết r 1 + r 2 + + r k = n. Hỏi có bao nhiêu từ khác nhau có độ dài n? b) Chứng minh rằng ∑ +++ =+++ k k rrr r k rr k n k xxxrrrCxxx 212121 21 21 ), ,,() ( , trong đó !! ! ! ), ,,( 21 21 k k rrr n rrrC = . 4. Cho tập hợp X có n phần tử. Có bao nhiêu cách chọn các cặp có thứ tự (A, B) các tập con của X sao cho: a) A ∩ B = ∅; b) A ∪ B = X; c) A ⊆ B; d)* A và B không chứa nhau. 5. Phương trình x 1 + x 2 + x 3 = 100 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm? 6. Bộ bài có 52 quân, trong đó có 13 giá trị: 2, 3, 4, , 10, J, Q, K, A với 4 chất: cơ, rô, chuồn (tép), bích. Cơ, rô màu đỏ, chuồn, bích màu đen. Chọn ra 5 quân từ bộ bài. Ta biết rằng có 5 52 C cách chọn như vậy. Hỏi trong các cách chọn đó, có bao nhiêu cách chọn trong đó: a) Không có quân bài có giá trị giống nhau; b) Có 3 quân bài giá trị giống nhau và hai quân bài khác giống nhau. c) Cả 5 quân cùng chất; d) Có đủ 2 màu; e) Có đủ 4 chất. 7*. Trong n giác lồi kẻ tất cả các đường chéo. Biết rằng không có ba đường chéo nào đồng quy tại một điểm. Hỏi đa giác lồi được chia ra thành bao nhiêu phần? Các đường chéo cắt nhau tại bao nhiêu điểm? Hướng dẫn: Giao điểm của hai đường chéo xác định một cách duy nhất bởi 4 đỉnh của đa giác. Mối liên hệ giữa số phần của đa giác được chia ra và số giao điểm như thế nào? 3. Phương pháp song ánh Nếu tồn tại song ánh f: A > B thì | A | = | B |. Nguyên lý đơn giản này rất có ích trong các bài toán đếm. Chúng ta sẽ thường xuyên gặp tình huống sau: Để đếm số phần tử của tập hợp A, ta xây dựng một tập hợp B có cấu trúc quen thuộc (và có thể đếm dễ dàng) và thiết lập một song ánh từ A vào B, từ đó | A | = | B |. 1. Xét các tập hợp A = {(x 1 , x 2 , , x n ) ∈ N n | x 1 + x 2 + + x n = k} và B = { (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ N* n | 1 ≤ y 1 < y 2 < < y n-1 ≤ k + n - 1}. Xét tương ứng f(x 1 , x 2 , ,x n ) = (x 1 +1,x 1 +x 2 +2, ,x 1 +x 2 + +x n-1 +n-1) a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ từ A vào B; b) Chứng minh rằng f là song ánh; c) Kiểm tra lại rằng 1 1 || − −+ = n nk CB d) Từ đó suy ra .|| 1 1 − −+ = n nk CA Kết quả bài toán trên được gọi là bài toán chia kẹo Euler: Định lý: Số nghiệm nguyên không âm của phương trình x 1 + x 2 + + x n = k bằng . 1 1 − −+ n nk C Nhiều bài toán đếm có thể mô hình hóa để đưa về bài toán này. Chú ý khi sử dụng, cần chứng minh lại như một bổ đề. 2. a) (Số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên) Chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm A(0; 0) đến điểm B(m, n) bằng . m nm C + b) Cho m ≥ n, tìm số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua các điểm có hoành độ không nhỏ hơn tung độ. Hướng dẫn: Hãy chứng minh rằng số đường đi ngắn nhất từ điểm A(0, 0) đến điểm B(m, n) và đi qua ít nhất một điểm có hoành độ nhỏ hơn tung độ bằng số đường đi ngắn nhất từ điểm (-1, 1) đến B. c) (Bài toán về số Catalan) Có 2n người xếp hàng mua vé. Giá vé là 50.000, có n người có tiền 50.000 và n người chỉ có tiền 100.000, trong quầy ban đầu không có tiền lẻ. Mọi người vào mua vé theo một thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để tất cả mọi người đều có thể mua vé mà không phải chờ để lấy tiền trả lại. Nếu trong quầy đã có sẵn k tờ tiền 5.000 thì sao? 3. a) Có n người xếp thành một hàng dọc. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn? b) Có n người xếp thành một vòng tròn. Có bao nhiêu cách chọn ra k người, sao cho không có hai người kề nhau được chọn? 4. (VMO 2012) Cho một nhóm gồm 5 cô gái, kí hiệu là G 1 , G 2 , G 3 , G 4 , G 5 và 12 chàng trai. Có 17 chiếc ghế được xếp thành một hàng ngang. Người ta xếp nhóm người đã cho ngồi vào các chiếc ghế đó sao cho các điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn: 1/ Mỗi ghế có đúng một người ngồi; 2/ Thứ tự ngồi của các cô gái, xét từ trái qua phải, là G 1 , G 2 , G 3 , G 4 , G 5 ; 3/ Giữa G 1 và G 2 có ít nhất 3 chàng trai; 4/ Giữa G 4 và G 5 có ít nhất 1 chàng trai và nhiều nhất 4 chàng trai. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp như vậy? (Hai cách xếp được coi là khác nhau nếu tồn tại một chiếc ghế mà người ngồi ở chiếc ghế đó trong hai cách xếp là khác nhau). 5*. (MOP 2006) Cho các số nguyên dương n và d với d | n. Gọi S là tập hợp các bộ n số 0 ≤ x 1 ≤ x 2 ≤ ≤ x n ≤ n sao cho d | x 1 + x 2 + +x n . Chứng minh rằng đúng một nửa số phần tử của S có tính chất x n = n. 6. (Nghệ An 2009) Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, …, n}. Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng của các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi T n là số các tập tốt của tập A. Chứng minh rằng T n – n là 1 số chẵn. Hướng dẫn: Có n tập con tốt có 1 phần tử. Chia các tập con tốt còn lại thành 2 loại, loại 1 là các tập tốt có chứa trung bình cộng, loại 2 là các tập tốt không chứa trung bình cộng. Hãy chứng minh 2 loại này có số phần tử bằng nhau. 7. (Mỹ, 1996) Gọi a n là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 010, b n là số các xâu nhị phân độ dài n không chứa chuỗi con 0011 hoặc 1100. Chứng minh rằng b n+1 = 2a n với mọi n nguyên dương. 4. Công thức bao hàm và loại trừ Khi ta cần tìm số các phần tử của một tập hợp X thỏa mãn một trong các tính chất P 1 , P 2 , , P k ta có thể đặt A i = {x ∈ X| x thỏa mãn tính chất P i } và tính || 1  k i k A = . Để tính số phần tử của hợp này, ta cần đến công thức bao hàm và loại trừ. 1. a) Cho A, B là hai tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B| = | A | +| B | - |A ∩ B|. b) Cho A, B, C là ba tập hợp bất kỳ, chứng minh rằng |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - (| A∩B| + |B∩C| + |C∩A|) + |A∩B∩C|. c) (Công thức bao hàm và loại trừ) Cho A 1 , A 2 , , A n là các tập hợp bất kỳ, khi đó ta có  n i n n nkji kji nji ji n i ii AAAAAAAAAA 1 21 1 111 .| |)1( |||||||| = − ≤<<≤≤<≤= ∩∩∩−+−∩∩+∩−= ∑∑∑ Hướng dẫn: Chứng minh bằng quy nạp hoặc bằng cách sử dụng hàm đặc trưng. 2. Trong 100 số nguyên dương đầu tiên có bao nhiêu số a) Hoặc chia hết cho 2, hoặc chia hết cho 3, hoặc chia hết cho 5? b) Chia hết cho đúng 2 trong 3 số 2, 3, 5? 3. Một lớp học có 20 học sinh. Cô giáo muốn tổ chức 4 chuyến du khảo cho học sinh sao cho a) Một học sinh tham dự ít nhất một chuyến du khảo; b) Hai chuyến du khảo bất kỳ có ít nhất một thành viên chung. Hỏi có bao nhiêu cách tổ chức các chuyến du khảo như vậy? Hướng dẫn: Hãy cho các học sinh đăng ký tham gia các chuyến đi. Mỗi học sinh có bao nhiêu cách đăng ký? 4. (Bài toán về vé hạnh phúc) Vé xe buýt có dạng a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 trong đó a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 là các chữ số thuộc E = {0, 1, 2, …, 9}. Vé a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 được gọi là vé hạnh phúc nếu như a 1 + a 2 + a 3 = a 4 + a 5 + a 6 . Hãy tìm số vé hạnh phúc trong các vé từ 000000 đến 999999 theo sơ đồ sau: a) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 = a 4 + a 5 + a 6 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ E 6 (1) bằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ E 6 (2) b) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình (2) bằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27 (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ N 6 trừ đi số phần tử của  6 1= = i i MM , trong đó M i = { (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ) ∈ N 6 , a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27, a i ≥ 10} c) Dùng công thức bao hàm và loại trừ và bài toán chia kẹo Euler, hãy tìm số vé hạnh phúc trong các vé từ 000000 đến 999999. 5. a) Cho E = {1, 2, ,n}. Có bao nhiêu song ánh f: E > E thỏa mãn điều kiện f(i) ≠ i với mọi i ∈ E. b) Cho bảng vuông T gồm n × n ô, B là một bảng con của T (một tập con các ô của bảng). Gọi r k (B) là số cách đặt k quân xe đôi một không ăn nhau lên B. Chứng minh rằng số cách đặt n quân xe đôi một không ăn nhau lên T \ B (tức là không được đặt vào các ô của B) có thể tính theo công thức ∑ = −−= n k k k knBrBN 0 )!)(()1()( trong đó ta quy ước r 0 (B) = 1. 6. Chứng minh rằng số các toàn ánh từ một tập hợp có m phần tử vào một tập hợp có n phần tử có thể tính được tính theo công thức ∑ = −−= n k mk n k knCnmC 0 )()1(),( . 7. a) Trên mặt phẳng cho n hình. Gọi k ii S 1 là diện tích phần giao của các hình với chỉ số i 1 , , i k , còn S là diện tích phần mặt phẳng được phủ bởi các hình trên; M k là tổng tất cả các số k ii S 1 . Chứng minh rằng i) S = M 1 - M 2 + M 3 - + (-1) n+1 M n ; ii) S ≥ M 1 - M 2 + M 3 - + (-1) m+1 M m với m chẵn và iii) S ≤ M 1 - M 2 + M 3 - + (-1) m+1 M m với m lẻ. b) Trong hình chữ nhật diện tích 1 có 5 hình có diện tích 1/2 mỗi hình. Chứng minh rằng tìm được i) hai hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 3/20; ii) hai hình có diện tích phân chung không nhỏ hơn 1/5; iii) ba hình có diện tích phần chung không nhỏ hơn 1/20. 5. Xây dựng công thức truy hồi Một trong các kỹ thuật quan trọng để giải quyết các bài toán đếm là chia bài toán thành các bài toán nhỏ hơn, giải các bài toán nhỏ rồi kết hợp lại. Kỹ thuật như thế được gọi là chia để trị. Và kỹ thuật này có thể sử dụng để thiết lập các hệ thức truy hồi: Để giải bài toán đếm với tham số n, ta chia bài toán thành những bài toán nhỏ hơn với định hướng là các bài toán nhỏ này liên quan đến bài toán ban đầu với tham số nhỏ hơn. Trong một số trường hợp, ta có thể đặt thêm các bài toán phụ để tạo ra các dãy số truy hồi lẫn nhau. Chú ý, các hệ thức truy hồi thường sẽ có dạng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mà ta đã biết cách giải. 1. a) Tìm số các xâu nhị phân độ dài n không chứa hai bit 1 kề nhau; b) Có bao nhiêu cách lát đường đi kích thước 2 × n bằng các viên gạch kích thước 1 × 2 (viên gạch có thể xoay). c) Cùng câu hỏi như trên với đường đi kích thước 3 × 2n. 2. (PTNK 2009) Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6}? 3. Có bao nhiêu tập con khác rỗng của {1, 2, 3, , 2012} có tổng các phần tử chia hết cho 3? 4. Tìm số các dãy số (x 1 , x 2 , …, x 2012 ) thỏa mãn điều kiện: x i ∈ {1, 2, 3}, x 1 = x 2012 = 1, x i+1 ≠ x i với mọi i = 1, 2, …, 2011. 5. Có 2n người xếp thành 2 hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một số người (ít nhất 1) từ 2n người này, sao cho không có hai người nào đứng kề nhau được chọn. Hai người đứng kề nhau là hai người có số thứ tự liên tiếp trong một hàng dọc hoặc có cùng số thứ tự ở hai hàng. 6. Tìm số tất cả các bộ n số (x 1 , x 2 , …, x n ) sao cho (i) x i = ± 1 với i = 1, 2, …, n. (ii) 0 ≤ x 1 + x 2 + … + x r < 4 với r = 1, 2, …, n-1 ; (iii) x 1 + x 2 + … + x n = 4. 7. Có bao nhiêu số nguyên n, 0 ≤ n < 10 11 có tổng các chữ số chia hết cho 11? 6. Đa thức và ứng dụng trong bài toán đếm Một tính chất rất đơn giản của đa thức là nn aaaaaa xxxx +++ = 21 21 lại có những ứng dụng rất hiệu quả để đưa một số bài toán đếm số nghiệm của phương trình tuyến tính về bài toán tìm hệ số của x n trong khai triển của một đa thức. 1. (Bài toán mở đầu) Chứng minh rằng số nghiệm của phương trình a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 27 với a i là các số nguyên 0 ≤ a i ≤ 9 bằng hệ số của x 27 trong khai triển của đa thức [...]... chứng kết hợp với đếm bằng hai cách Gọi a n là số dòng chứa n và bn là số cột chứa n thì an.bn ≥ 10 9 Nguyên lý Dirichlet Nguyên lý chuồng và thỏ (hay còn được gọi là nguyên lý Dirichlet) khẳng định một sự kiện “hiển nhiên” rằng n+1 con thỏ không thể được xếp vào n chuồng sao cho mỗi con thỏ đều ở riêng một chuồng Một cách tổng quát hơn, nguyên lý chuồng và thỏ khẳng định rằng: Nếu một tập hợp gồm nhiều... 15 quân trimino kích thước 1 × 3 và 1 quân trimino hình chữ L 4 Đỉnh của một ngũ giác lồi là các điểm nguyên và các cạnh của ngũ giác là các số nguyên Chứng minh rằng chu vi ngũ giác là số chẵn Trong một số bài toán, thay vì tô màu, ta có thể dùng cách điền các luỹ thừa của căn bậc n của đơn vị vào các ô căn bậc rồi tính tổng các số được điền bằng hai cách để suy ra các kết luận Tính chất căn bản ta... tất cả các điểm đã cho bằng một tam giác có diện tích 4 11 Nguyên lý đếm bằng hai cách Kỹ thuật đếm bằng hai cách là một kỹ thuật khá thông dụng trong toán học dựa trên nguyên lý cơ bản: một đại lượng luôn có nhiều cách tính khác nhau, tùy theo cách ta nhìn nhận đối tượng Và điều quan trọng là tất cả các cách tính đó đều cho ra một kết quả như nhau Nhờ vào điều này mà ta có thể thiết lập ra các mối... 2, , r là tổng các dòng; C j, j = 1, 2, , c là tổng các cột, Ri > 0 với mọi i = 1, 2, , r; C j > 0 với mọi j = 1, 2, , c Chứng minh rằng nếu Cj ≥ Ri khi aij = 1 thì r ≥ c 6 (IMC 2002) 200 học sinh tham dự một cuộc thi giải toán Họ giải 6 bài toán Biết rằng mỗi một bài toán có ít nhất 120 học sinh giải được Chứng minh rằng tồn tại hai học sinh mà hợp lại giải hết cả 6 bài toán 7* Cho X là tập hợp với... được đặt xe lên hai đường chéo 7 Quy nạp trong các bài toán tổ hợp Quy nạp là một phương pháp suy luận quan trọng trong giải toán Ở mục 5, chúng ta đã sử dụng ý tưởng quy nạp trong việc xây dựng các công thức truy hồi để giải bài toán đếm Dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với một số ứng dụng của quy nạp trong việc chứng minh các định lý, tính chất, dự đoán các chiến thuật trong trò chơi 1 Cho S = {(x, y)... cách tô màu không tương đương b) (VMO 2010) Cho bảng 3 × 3 và n là một số nguyên dương cho trước Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong n màu Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm 15 Bài tập tổng hợp 2 1 (Đại học Sư phạm 2010) Cho tập hợp S = {1; 2; 3; ; n} Tìm số cách chia tập S thành ba tập con khác rỗng sao cho mỗi tập... nhau Nguyên lý cực hạn có thể được ứng dụng để chứng minh một quá trình là dừng (trong bài toán liên quan đến biến đổi trạng thái), trong bài toán về đồ thị, hay trong các tình huống tổ hợp đa dạng khác Các đối tượng thường được đem ra để xét cực hạn thường là: đoạn thẳng ngắn nhất, tam giác có diện tích lớn nhất, góc lớn nhất, đỉnh có bậc lớn nhất, chu trình có độ dài ngắn nhất … 3 (Định lý Sylvester)... trong 4 số được chọn sao cho a + b + c = d Kết luận bài toán còn đúng không nếu ta thay 69 bằng 68? 6* Trên bàn cờ quốc tế có 8 quân xe, đôi một không ăn nhau Chứng minh rằng trong các khoảng cách đôi một giữa các quân xe, có hai khoảng cách bằng nhau Khoảng cách giữa hai quân xe bằng khoảng cách giữa tâm các ô vuông mà quân các quân xe đứng 7 (Định lý Erdos-Szekeres) Cho A = (a 1, a2,…, an) là dãy gồm... −1 n −i = Cnm++1 1 2 Trong tổ hợp C n là số các cặp tạo thành từ n phần tử, là số cạnh của đồ thị đầy đủ bậc n Trong nhiều bài toán, sử dụng ý nghĩa tổ hợp này cùng với cách đếm bằng hai cách giúp chúng ta tìm ra chìa khoá cho lời giải 3 (Bulgarian MO 2006) Một quốc gia có 16 thành phố và có 36 tuyến bay nối giữa chúng Chứng minh rằng ta có thể tổ chức một chuyến bay vòng quanh giữa 4 thành phố 4 a)... phủ hình có thể giải quyết khá hiệu quả bằng cách tô màu Sử dụng bao nhiêu màu và tô như thế nào sẽ phụ thuộc vào các điều kiện cụ thể của bài toán Chứng minh tô màu thường kết hợp tốt với các phương pháp khác như phản chứng, đếm bằng hai cách 1 a) Chứng minh rằng bàn cờ quốc tế 8 × 8 bỏ đi ô a1 và h8 không thể phủ kín bằng 31 quân đô-mi-nô b) Có bao nhiêu cách chọn 2 ô của bàn cờ quốc tế để phần còn . trong các kỹ thuật quan trọng để giải quyết các bài toán đếm là chia bài toán thành các bài toán nhỏ hơn, giải các bài toán nhỏ rồi kết hợp lại. Kỹ thuật như thế được gọi là chia để trị. Và kỹ. dụng để thiết lập các hệ thức truy hồi: Để giải bài toán đếm với tham số n, ta chia bài toán thành những bài toán nhỏ hơn với định hướng là các bài toán nhỏ này liên quan đến bài toán ban đầu với. Tổ hợp qua các định lý và bài toán Trần Nam Dũng Trường Đại học KHTN Tp HCM 1. Các quy tắc đếm Ta nói tập hợp A có n phần tử nếu tồn tại song ánh f: