đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

Khảo sát hàm số 1 Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tính đơn điệu của hàm số 1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên K , với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Khi đó f đồng biến trên K ( ) 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ < . f nghịch biến trên K ( ) 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x K x x f x f x⇔ ∀ ∈ < ⇒ > . 1.2. Điều kiện cần và đủ Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I . Khi đó f đồng biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I ′ ≥ ∀ ∈ và 0( )f x ′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . f nghịch biến trên I ⇔ 0( ) ,f x x I ′ ≤ ∀ ∈ và 0( )f x ′ = chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I . f là hàm hằng trên I 0( ) ,f x x I ′ ⇔ = ∀ ∈ . 2. Cực trị của hàm số 2.1. Điều kiện cần để có cực trị Cho hàm số f có đạo hàm tại 0 x . Nếu hàm số f đạt cực trị tại 0 x thì 0 0( )f x ′ = . 2.2. Điều kiện đủ để có cực trị 2.2.1. Điều kiện đủ thứ nhất. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng ( ; ) a b , 0 ( ; )x a b∈ . Khi đó nếu ( ) f x ′ đổi dấu khi x qua 0 x thì f đạt cực trị tại 0 x . x 0 x x 0 x ( ) f x ′ 0 ( ) f x ′ 0 ( ) f x CĐ ( ) f x CĐ www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 2 2.2.2. Điều kiện đủ thứ hai. Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên ( ; ) a b chứa 0 x , 0 0( )f x ′ = và 0 0( )f x ′′ ≠ . Khi đó  0 0( )f x ′′ < ⇒ f đạt cực đại tại 0 x ,  0 0( )f x ′′ > ⇒ f đạt cực tiểu tại 0 x . Chú ý. Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực trị tại những điểm cụ thể cho trước. 2.3. Đường thẳng qua hai điểm cực trị 2.3.1. Hàm số 3 2 ( )y f x ax bx cx d= = + + + 0 ( )a ≠ , ( ) C Giả sử đồ thị ( ) C có hai điểm cực trị ( ) ; A A A x y , ( ) ; B B B x y . Thực hiện phép chia đa thức ( )f x cho ( )f x ′ , ta được ( ) ( ). ( )f x g x f x x α β ′ = + + . Khi đó ta có 0 ( ) ( ). ( ) A A A A A A y f x g x f x x x α β α β = ′ = = + + = +  ; 0 ( ) ( ). ( ) B B B B B B y f x g x f x x x α β α β = ′ = = + + = +  . Suy ra , :A B y xα β∈ ∆ = + nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( ) C . 2.3.2. Hàm số 2 ( ) ax bx c y f x dx e + + = = + 0 ( )a ≠ , ( ) C Giả sử đồ thị ( ) C có hai điểm cực trị ( ) ; A A A x y , ( ) ; B B B x y . Đặt 2 ( )u x ax bx c = + + , ( )v x dx e = + . Khi đó 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x u x v x f x v x ′ ′ − ′ =       . Nếu f đạt cực trị tại 0 x thì 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )u x v x u x v x ′ ′ − = 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x v x v x ′ ⇔ = ′ hay 0 0 0 ( ) ( ) ( ) u x f x v x ′ = ′ . Do đó ta có 2 ( ) A A A ax b y f x d + = = và 2 ( ) B B B ax b y f x d + = = . Suy ra 2 , : ax b A B y d + ∈ ∆ = nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( ) C . Chú ý. Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số. 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 0 0 , ( ) max ( ) , ( ) x x f x M M f x x f x M ∈   ∀ ∈ ≤  = ⇔   ∃ ∈ =   D D D 0 0 , ( ) min ( ) , ( ) x x f x m m f x x f x m ∈   ∀ ∈ ≥  = ⇔   ∃ ∈ =   D D D . Nếu ( )y f x = đồng biến trên [ ; ]a b thì [ ; ] min ( ) ( ) x a b f x f a ∈ = và [ ; ] max ( ) ( ) x a b f x f b ∈ = . Nếu ( )y f x= nghịch biến trên [ ; ]a b thì [ ; ] min ( ) ( ) x a b f x f b ∈ = và [ ; ] max ( ) ( ) x a b f x f a ∈ = . 4. Tiệm cận Đường thẳng 0 x x= được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn 0 lim ( ) x x f x − → = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x + → = +∞ ; 0 lim ( ) x x f x − → = −∞ ; 0 lim ( ) x x f x + → = −∞ . Đường thẳng 0 y y= được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 3 0 lim ( ) x f x y →+∞ = hoặc 0 lim ( ) x f x y →+∞ = . Đường thẳng y ax b= + 0 ( )a ≠ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( )y f x= nếu 0lim [ ( ) ( )] x f x ax b →+∞ − + = hoặc 0lim [ ( ) ( )] x f x ax b →−∞ − + = . 5. Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số 5.1. Tìm điểm cố định của một họ đồ thị. Cho hàm số ( , )y f x m= , ( ) m C . Khi đó họ ( ) m C qua điểm cố định ( ) 0 0 ;M x y ⇔ 0 0 ( , ),y f x m m= ∀ 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; ) ( ; ) , k k k k g x y m g x y m g x y m − − ⇔ + + + = ∀ 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ; ) ( ; ) ( ; ) k k g x y g x y g x y −   =    =   ⇔      =    . 5.2. Vị trí tương đối giữa hai đồ thị. Cho hàm số ( )y f x= , ( )C và hàm số ( )y g x= , ( )C ′ . Giao điểm của hai đồ thị Điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc nhau ( )C và ( )C ′ tiếp xúc nhau ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x   =  ⇔  ′ ′  =   có nghiệm. 5.3. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bài toán Cách giải  Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị Cho ( )C : ( )y f x= và ( ) 0 0 ; ( )M x y C∈ . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M . Áp dụng công thức 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = − .  Tiếp tuyến qua điểm cho trước Cho ( )C : ( )y f x= và điểm ( ) ; A A A x y . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C qua A . Cách 1. Gọi d là đường thẳng qua ( ) ; A A A x y và có hệ số góc k : ( ) A A y k x x y= − + . Dùng điều kiện tiếp xúc 5.2 để xác định k . Cách 2. Pttt d tại điểm ( ) 0 0 ;M x y bất kỳ: 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = − . Vì d qua A nên 0 0 0 ( )( ) A A y y f x x x ′ − = − . Từ đây suy ra 0 x .  Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước Cho hàm số ( )y f x= , ( )C . Viết phương trình tiếp tuyến d của ( )C biết tiếp d có hệ số góc k . Pttt d của ( ) C tại ( ) 0 0 ;M x y bất kỳ: 0 0 0 ( )( )y y f x x x ′ − = − . Vì d có hệ số góc k nên suy ra 0 ( )f x k ′ = . Từ đây suy ra 0 x . 5.4. Đồ thị của hàm số chứa giá trị tuyệt đối Số giao điểm của ( )C và ( )C ′ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( )f x g x= . www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 4 Hàm số Đồ thị  Từ đồ thị ( ) C : ( )y f x= , hãy vẽ đồ thị ( ) 1 C : ( )y f x= . Do 0 0 ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) f x f x f x f x f x   ≥  =   − <   nên ta vẽ đồ thị ( ) 1 C như sau  Giữ lại phần đồ thị ( ) a C của ( ) C không nằm phía dưới trục Ox .  Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( ) C qua trục Ox , ta được phần đồ thị ( ) b C . Khi đó ( ) ( ) ( ) 1 a b C C C= ∪ .    Từ đồ thị ( ) C : ( )y f x= , hãy vẽ đồ thị ( ) 2 C : ( ) y f x= . Ta có ( ) ( ) ( ) 0 0 , , f x x f x f x x   ≥   =   − <    và ( ) f x là hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó ta vẽ đồ thị ( ) 1 C như sau  Giữ phần đồ thị ( ) a C của ( ) C không nằm bên trái trục Oy.  Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( ) C qua trục Oy, ta được phần đồ thị ( ) b C . Khi đó ( ) ( ) ( ) 2 a b C C C= ∪ .  Từ đồ thị ( ) C : ( )y f x= , hãy vẽ đồ thị ( ) 3 C : ( ) y f x= . Ta thực hiện như sau  Vẽ đồ thị của hàm số ( ) y f x= .  Vẽ đồ thị của hàm số ( ) y f x= .    Từ đồ thị ( ) ( ) ( ) : .C y u x v x= , hãy vẽ đồ thị ( ) 4 C : ( ). ( )y u x v x= . Vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 . , . , u x v x v x u x v x u x v x v x   ≥   =   − <    , nên ta vẽ ( ) 4 C như sau  Giữ lại phần đồ thị ( ) a C của ( )C ứng với ( ) 0u x ≥ .  Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của ( ) C qua trục hoành, ta được ( ) b C . Khi đó ( ) ( ) ( ) 4 a b C C C= ∪ . 6. Một số kiến thức khác liên quan 6.1. Các vấn đề liên quan đến Định lí về dấu của tam thức bậc hai 6.1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức bậc hai 2 ( )f x ax bx c= + + 0 ( )a ≠ . Khi đó ta có 3 trường hợp  0 ∆ < x −∞ +∞ f(x) cùng dấu với a  0 ∆ = x −∞ 0 2 b x a = − +∞ f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a  0 ∆ > x −∞ 1 x 2 x +∞ f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 5 6.1.2. Điều kiện tam thức không đổi dấu trên  Cho tam thức 2 ( )f x ax bx c= + + 0 ( )a ≠ . Khi đó ta có  0 0 0 ( ) ,f x x a   ∆ <  > ∀ ∈ ⇔   >     0 0 0 ( ) ,f x x a   ∆ <  < ∀ ∈ ⇔   <    .  0 0 0 ( ) ,f x x a   ∆ ≤  ≥ ∀ ∈ ⇔   >     0 0 0 ( ) ,f x x a   ∆ ≤  ≤ ∀ ∈ ⇔   <    . 6.1.3. So sánh các nghiệm của một phương trình bậc hai với một số thực cho trước Xét phương trình bậc hai ( ) 2 0 f x ax bx c= + + = (1) và một số thực α cho trước. Khi đó  (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 0 x x< < 0 P ⇔ < .  (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 0 x x< < 0 0 0 P S   ∆ >    ⇔ >    >    .  (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 0 x x< < 0 0 0 P S   ∆ >    ⇔ >    <    .  (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 x x α < < ( ) 0 0 2 af S α α     ∆ >    ⇔ >      <    .  (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 x x α < < ( ) 0 0 2 af S α α     ∆ >    ⇔ >      >    .  (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 x x α < < . Đặt t x α = − , phương trình (1) trở thành ( ) 0g t = (2), ta cần phải có (2) có hai nghiệm 1 2 ,t t thỏa mãn 1 2 0 t t< < 0P⇔ < . 6.1.4. Liên hệ về số nghiệm giữa phương trình trùng phương và phương trình bậc hai tương ứng Cho phương trình trùng phương 4 2 0 ax bx c+ + = (1). Đặt 2 t x= , phương trình (1) trở thành 2 0at bt c+ + = (2). Khi đó  (1) vô nghiệm   ⇔    0 0 0 0 , , P S  ∆ <  ⇔  ∆ ≥ > <   .  (1) có một nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 2 0 t t≤ = 0 0 P S   =  ⇔   ≤   .  (1) có hai nghiệm   ⇔    0 0 0 , S P  ∆ = >  ⇔  <   . (2) vô nghiệm (2) có nghiệm 1 2 0 t t≤ < (2) có nghiệm 1 2 0 t t= > (2) có nghiệm 1 2 0 t t< < www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 6  (1) có ba nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 2 0 t t= < 0 0 P S   =  ⇔   >   .  (1) có bốn nghiệm ⇔ (2) có nghiệm 1 2 0 t t< < 0 0 0 P S   ∆ >    ⇔ >    >    . 6.2. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1 1 1 1 0 : a x b y c∆ + + = và 2 2 2 2 0 : a x b y c∆ + + = . Khi đó 1 ∆ và 2 ∆ tạo với nhau một góc α thì 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos a a b b a b a b α + = + + . Đặc biệt  1 ∆ song song 2 ∆ 1 1 1 2 2 2 a b c a b c ⇔ = ≠  1 ∆ vuông góc 2 ∆  1 2 1 2 1 2 1 . k k a a b b       ⇔ − − = −         . 6.3. Khoảng cách 6.3.1. Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm ( ; ) A A A x y và ( ; ) B B B x y là 2 2 ( ) ( ) B A B A AB x x y y= − + − . 6.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng Khoảng cách từ điểm ( ; ) M M M x y tới 0 : ax by c∆ + + = là 2 2 ( , ) M M ax by c d M a b + + ∆ = + . B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI 1. Tính đơn điệu của hàm số Dạng toán 1. Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệutrên một khoảng cho trước Bài 1. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) 3 2 1 3 2 1 3 y x mx m x= + + − + đồng biến trên khoảng ( ) 1 2 ; . Giải Cách 1. Phương pháp đồ thị hàm số Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) 2 2 3 2 0 1 2 , ; y x mx m x ′ = + + − ≥ ∀ ∈ ⇔ 2 2 3 2 0 1 2 , ; y x mx m x   ′ = + + − ≥ ∀ ∈     (vì y ′ liên tục tại 1 x = và 2 x = ) ( ) 2 2 1 2 2 3 , ; x g x m x −   ⇔ = ≥ − ∀ ∈     + hay ( ) 1 2 ; min x g x m   ∈     ≥ − . Ta có ( ) ( ) 2 2 2 6 4 2 3 x x g x x + + ′ = + ; ( ) 1 1 2 0 2 1 2 ; ; x g x x    = − ∉      ′ = ⇔    = ∈       , và ( ) 1 1 5 g = − , ( ) 2 2 7 g = . Do đó ( ) ( ) 1 2 1 1 5 ; min x g x g   ∈     = = − . Vậy các giá trị của m cần tìm là 1 5 m ≥ . Cách 2. Phương pháp tam thực bậc hai www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 7 Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) ( ) 2 2 3 2 0 1 2, ;y f x x mx m x ′ = = + + − ≥ ∀ ∈ . Điều này xảy ra nếu một trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn i. 2 2 3 2 0y x mx m x ′ = + + − ≥ ∀ ∈  , tức là 2 3 2 0 1 2m m m ′ ∆ = − + ≤ ⇔ ≤ ≤ . ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 1x x< ≤ hoặc 1 2 2 x x≤ < . Trường hợp 1. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 1x x< ≤ , ta có ( ) 2 3 2 0 1 5 1 0 1 2 m m af m S m     ′ ∆ = − + >    = − ≥      = − <    1 2 1 1 1 5 5 2 1 m m m m m m   < ∨ >      ≤ <    ⇔ ≥ ⇔     >    > −     . Trường hợp 2. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 2 x x< < , ta có ( ) 2 3 2 0 2 7 2 0 2 2 m m af m S m     ′ ∆ = − + >    = + ≥      = − >    1 2 2 7 2 m m m m m   < ∨ >      ⇔ ≥ − ⇔ ∈ ∅     < −     . Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị m cần tìm là 1 5 m ≥ . Bài 2. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 2 1 9 9 2 3 y x m x m m x= + − + − + + đồng biến trên khoảng ( ) 1;−∞ . Giải Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ) 1;−∞ khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 9 9 0 1;y f x x m x m m x ′ = = + − + − + ≥ ∀ ∈ −∞ . Điều này xảy ra khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn i. ( ) 0f x x≥ ∀ ∈  2 8 3 5 8 0 1 3 m m m ′ ⇔ ∆ = + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . ii. ( ) 0f x = có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn 1 2 1 x x≤ < , tương đương với ( ) ( ) 2 2 8 1 3 5 8 0 3 1 5 8 0 0 2 1 1 2 m m m af m m m S m m       − < <  ′  ∆ = + − >       = − + ≥ ⇔ ∈       <     = − − >        8 3 m⇔ < − . Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị m cần tìm là 1 m ≤ . Bài 3. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 1 1 2 1 3 y x m x m x m= + − + + + − a. đồng biến trên  , b. đồng biến trên ) 1 ;  +∞   , c. nghịch biến trên khoảng ( ) 0 1 ; . Giải www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 8 Ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 1 y f x x m x m ′ = = + − + + . a. Hàm số đồng biến trên  khi và chỉ khi ( ) 2 2 2 1 1 0y x m x m x ′ = + − + + ≥ ∀ ∈  . Khi đó ( ) 2 2 1 1 0 0 5m m m ′ ∆ = − − − ≤ ⇔ ≤ ≤ . Vậy các giá trị của m cần tìm là 0 5 m≤ ≤ . b. Hàm số đã cho đồng biến trên ) 1 ;  +∞   khi và chỉ khi ) 0 1;y x  ′ ≥ ∀ ∈ +∞   . Điều này tương đương với ( ) ) 2 2 1 4 1 ; x x g x m x x − +  = ≤ ∀ ∈ +∞   + hay ) ( ) 1; max x g x m  ∈ +∞   ≤ . Ta có ( ) ( ) 2 2 4 2 2 4 1 x x g x x − − + ′ = + ; ( ) ) ) 1 1 0 1 1 2 ; ; x g x x   = − ∉ +∞     ′ = ⇔   = ∉ +∞     . Bảng biến thiên x 1 +∞ ( ) g x ′ − ( ) g x 1 5 0 Ta thấy ) ( ) ( ) 1 1 1 5 ; max x g x g  ∈ +∞   = = . Do đó ta có 1 5 m ≥ . Vậy các giá trị m cần tìm là 1 5 m ≥ . c. Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) 0 0 1;y x ′ ≤ ∀ ∈ 0 0 1;y x   ′ ≤ ∀ ∈     (vì y ′ liên tục tại 0 x = và 1 x = ) ( ) 2 2 0 1 4 1 , ; x x g x m x x − +   ⇔ = ≥ ∀ ∈     + , tức là ( ) 0 1; min x g x m   ∈     ≥ . Ta có ( ) 1 0 1 0 1 0 1 2 ; ; x g x x    = − ∉       ′ = ⇔    = ∈       ; ( ) 0 0 g = ; 1 1 2 4 g      =        và ( ) 1 1 5 g = . Do đó ( ) ( ) 0 1 0 0 ; min x g x g   ∈     = = nên các giá trị m cần tìm là 0m ≤ . Bài 4. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) 2 2 1 1 2 x m x y x + + + = − nghịch biến trên khoảng ( ) 0 1 ; . Giải Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 0 1 ; khi và chỉ khi ( ) ( ) 2 2 4 4 3 0 0 1 2 ; x x m y x x − − − ′ = ≥ ∀ ∈ − , tương đương với ( ) ( ) 2 4 4 3 0 0 1 ; g x x x m x= − − − ≥ ∀ ∈ . Vì g liên tục tại 0x = và tại 1x = nên ( ) 2 4 4 3 0 0 1 ; g x x x m x   = − − − ≥ ∀ ∈     hay ( ) 0 1 0 ; min x g x   ∈     ≥ . Ta có ( ) 2 4 0 2 0 1 ; g x x x   ′ = − = ⇔ = ∉     ; ( ) 0 4 3g m= − − và ( ) 1 4 6g m= − − . Suy ra ( ) ( ) 0 1 1 4 6 ; min x g x g m   ∈     = = − − . Do đó các giá trị của m cần tìm là 3 2 m ≤ − . Bài 5. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) 2 1 2 1 2 x m x m y x m + + − + = − đồng biến trên khoảng ( ) 1 ; +∞ . Giải www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 9 Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) 1 ; +∞ ⇔ ( ) ( ) 2 2 2 4 2 1 0 1 ; x mx m y x x m − − − ′ = ≥ ∀ ∈ +∞ − , hay ( ) ( ) 2 2 4 2 1 0 1 1 ; g x x mx m x m   = − − − ≥ ∀ ∈ +∞     ≤    Ta thấy 2 6 1 0 g m m ′ ∆ = + > ∀ ∈  nên ( ) 0 , g x x> ∀ ∈  . Do đó các giá trị m cần tìm là 1m ≤ . Dạng toán 2. Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước Bài 6. Tìm các giá trị của m để hàm số 3 2 1 2 3 y x mx mx= + + + có hai cực trị 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 4x x− ≥ . Giải Hàm số đã cho có hai cực trị 1 2 , x x 2 2 3 0y x mx m ′ ⇔ = + + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x 2 0 3 0 3 m m m m  <  ⇔ − > ⇔  >   (1). Khi đó ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 16 4 16 0 x x x x x x x x− ≥ ⇔ − ≥ ⇔ + − − ≥ (2). Theo định lí Viet ta có 1 2 1 2 2 3 x x m x x m   + = −    =   nên (2) ⇔ 2 1 4 12 16 0 4 m m m m  ≤ −  − − ≥ ⇔  ≥   (3) Kết hợp (1) và (3) ta tìm được các giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1m ≤ − hoặc 4m ≥ . Bài 7. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) 3 2 1 1 50 2 1 1 3 2 9 y x m x x= − − + + có hai cực trị 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2x x= . Giải Hàm số đã cho các hai cực trị ( ) 2 50 2 1 0 9 y x m x ′ ⇔ = − − + = có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x ( ) 2 50 2 1 4 0 9 . m⇔ ∆ = − − > 3 10 2 6 3 10 2 6 m m  −  <   ⇔  +  >   (1) Ta có 1 2 2x x= nên theo định lí Viet, ta có 1 2 2 1x x m+ = − 2 2 1 3 m x − ⇔ = . Khi đó 1 2 50 9 x x = 2 2 2 3 50 2 1 50 2 2 2 9 3 9 m m x m    = −     = ⇔ = ⇔       = −     . Hai giá trị vừa tìm được của m đều thỏa mãn (1) nên 3m = và 2m = − thỏa yêu cầu bài toán. Bài 8. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) ( ) 3 2 1 1 4 2 5 1 3 2 y x m x m x= − + + + + thỏa mãn a. có hai cực trị lớn hơn 1− ; b. có đúng một cực trị lớn hơn 1− ; c. có ít nhất một cực trị lớn hơn 3 2 ; www.VNMATH.com Khảo sát hàm số 10 d. có hai cực trị nhỏ hơn 4; e. có một cực trong khoảng ( ) 3 5 ; ; f. không có cực trị. Giải Ta có ( ) 2 4 2 5y x m x m ′ = − + + + ; 2 4 5 0 2 x x y m x − + ′ = ⇔ = − . Xét hàm số ( ) 2 4 5 2 x x g x x − + = − ; ( ) ( ) 2 2 4 3 2 x x g x x − + ′ = − ; ( ) 1 0 3 x g x x  =  ′ = ⇔  =   . Bảng biến thiên x −∞ 1− 1 3 2 2 3 4 5 +∞ ( ) g x ′ + + − − − + + + ( ) g x −∞ 10 3 − 2− 5 2 − −∞ +∞ 2 5 2 10 3 +∞ Vì nghiệm của phương trình 0y ′ = cũng chính là hoành độ giao điểm của y m= và ( ) y g x= nên từ bảng biến thiên của hàm số ( ) y g x= ta thấy a. Hàm số có hai cực trị lớn hơn 1− 10 2 3 m⇔ − < < − hoặc 2m > . b. Hàm số có đúng một cực trị lớn hơn 1− 10 3 m ≤ − . c. Hàm số có ít nhất một cực trị lớn hơn 3 2 ⇔ 5 2 m < − hoặc 2m > . d. Hàm số có hai cực trị nhỏ hơn 4 2m⇔ < − hoặc 5 2 2 m< < . e. Hàm số có một cực trong khoảng ( ) 3 5 ; 10 2 3 m⇔ < < . f. Hàm số không có cực trị 2 2m⇔ − ≤ ≤ . Bài 9. Tìm các giá trị của m để hàm số ( ) 4 2 1 2 1y x m x m= + − + + có ba cực trị. Giải Hàm số có ba cực trị ( ) 2 2 2 1 0y x x m ′ ⇔ = + − = có ba nghiệm phân biệt 2 2 1 0x m⇔ + − = có hai nghiệm phân biệt khác 0 ( ) 2 1 0 3 0 m m   ′ ∆ = − − >   ⇔   − ≠    1 3 m m   >  ⇔   ≠   . Bài 10. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 2 4 2 6 2 m y x mx= + + − có ba điểm cực trị , , A B C (trong đó điểm A thuộc trục tung) sao cho tứ giác ABOC là hình bình hành. Giải www.VNMATH.com [...]... th hàm s luôn i qua ba i m c Xác nh i m trên ư ng cong x +2 123 Cho hàm s y = x −3 a Kh o sát và v th (C ) hàm s ã cho b Tìm các i m M ∈ (C ) sao cho cách 124 Cho hàm s y = u hai ư ng ti m c n c a (C ) x −2 x +2 35 nh th ng hàng ( M 3 ± 5; 1 ± 5 ) www.VNMATH.com a Kh o sát và v th (C ) hàm s Kh o sát hàm s ã cho b Tìm các i m M ∈ (C ) sao cho t ng kho ng cách t M t i Ox và Oy là nh nh t 125 Cho hàm. .. thiên và v th hàm s (1) khi m = 1 6 Cho hàm s y = x 3 + 3x 2 + (m + 1) x + 4m a Kh o sát và v (m ≥ 1) (m = 2) thi hàm s ã cho ng v i m = −1 22 (m ≥ 9) www.VNMATH.com b Tìm các giá tr c a m Kh o sát hàm s hàm s ngh ch bi n trên (−1;1) (m < −10) 1 3 x − mx 2 + (2m − 1) x − m + 2 3 a Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i m = 2 7 Cho hàm s y = b Tìm các giá tr c a m   m < − 1      2   hàm. .. ±2 (3) K t h p (1) và (3) ta ư c các giá tr m c n tìm là m > 1 và m ≠ ±2 Bài 14 Tìm các giá tr c a m hàm s y = 1 3 x + x 2 + mx + m có c c 3 i và c c ti u, ng th i kho ng cách gi a hai i m c c tr b ng 2 15 Gi i Hàm s có c c i và c c ti u ⇔ y ′ = x 2 + 2x + m = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ ∆′ = 1 − m > 0 hay m < 1 (1) V i i u ki n (1), ta g i M1 (x1; y1 ) và M 2 (x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr Th c...     2   hàm s ngh ch bi n trên (−2; 0) 8 Cho hàm s y = x 3 − 3mx 2 + m − 1 a Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i m = 1 b Tìm các giá tr c a m hàm s ngh ch bi n trên (−∞; 0) (m ≥ 0) 1 9 Cho hàm s y = − x 3 + (m − 1)x 2 + (m + 3)x − 4 3 a Kh o sát và v thi hàm s ã cho ng v i m = 2 b Tìm các giá tr c a m 10 Tìm các giá tr c a m hàm s hàm s y =   m ≥ 12      7   ng bi n trên (0;... Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i m = 1 b Tìm các giá tr c a m hàm s có c c i, c c ti u Ch ng minh r ng ư ng th ng n i các i m c c tr luôn i qua m t i m c nh (m < 0 ∨ m > 1) 37 Tìm các giá tr c a m hàm s y = 2x 3 − 3 (2m + 1) x 2 + 6m (m + 1) x + 1 tc c i và c c ti u sao cho yCD + yCT = 1 39 Cho hàm s y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 a Kh o sát và v th hàm s ã cho ng v i m = 1 b Tìm m th hàm s có ba... 6k = 0 (do x1; x 2 là nghi m c a phương trình (1) ⇔k = 1 (th a mãn i u ki n (2)) 3 D ng toán 5 Các bài toán liên quan Bài 25 T (C ) : y = x th c a hàm s n 3 th c a hàm s ch a d u giá tr tuy t − 3x 2 + 3 hãy v th c a các hàm s sau 3 3 b y = x − 3x 2 + 3 a y = x 3 − 3x 2 + 3 i c y = x − 3x 2 + 3 y Gi i th (C ) c a hàm s y = f (x ) = x 3 − 3x 2 + 3 Trư c h t ta v  f (x ) , f (x ) ≥ 0  a Ta có y = x... 1)x − 2(m 2 + 1) (m < hàm s th a mãn i u ki n 1 1 1 + = (x1 + x 2 ) x1 x 2 2 (m = 1 ho c m = 5) 24 www.VNMATH.com Kh o sát hàm s a Tìm m 2 3 x + (m + 1) x 2 + m 2 + 4m + 3 x − 1 3 hàm s t c c i và c c ti u t i x1 và x 2 ; b Tìm m hàm s t c c tr t i hai i m n m bên ph i tr c tung; c Tìm m hàm s tc c ( 25 Cho hàm s y = ) i và c c ti u t i x1 và x 2 sao cho A = x1x 2 l n nh t 26 Cho hàm s y = mx 4 + (m... tuy n ó song song v i ư ng th ng d : 72 Cho hàm s y = y = 4x + 2 (y = 4x − 26 73 và y = 4x + ) 3 6 73 Cho hàm s y = (x + 1)2 (x − 2) a Kh o sát và v th (C ) c a hàm s ã cho b Xác nh các giáo i m c a (C ) v i tr c hoành và ch ng minh (C ) ti p xúc v i tr c hoành t i m t trong các giao i m ó 2x − 1 74 Cho hàm s y = , (1) x −1 a Kh o sát và v th (C ) c a hàm s (1) b G i I là giao i m c a hai ư ng ti... 4)x + 9m 2 − m a Kh o sát và v th (C ) c a hàm s khi m = 1 b Tìm các giá tr c a m th hàm s c t tr c hoành t i ba i m phân bi t có hoành l p thành c p s c ng (m = 1) 99 Cho hàm s y = x 3 + mx − 2 a Kh o sát và v th (C ) c a hàm s khi m = 3 b Tìm các giá tr c a m (m > −3) th hàm s c t tr c hoành t i úng m t i m x 2 − 2x + 4 , (C ) (1) x −2 a Kh o sát s bi n thiên và v th c a hàm s (1) ư ng th ng y =... (1) a Kh o sát và v th (C ) c a hàm s (1) 103 Cho hàm s y = 33 www.VNMATH.com Kh o sát hàm s b G i dm là ư ng th ng qua A(3; 20) và có h s góc là m Tìm m dm c t (C ) t i 3 i m phân bi t (m > x2 −x + 4 x −1 a Kh o sát và v th (C ) c a hàm s b Tìm a ư ng th ng y = a c t (C ) t i hai i m phân bi t? 15 và m ≠ 24) 4 106 Cho hàm s y = (a < −3 ho c a > 5) 2 107 Cho hàm s y = a Kh o sát và v b Tìm m −x . kiện (2)) Dạng toán 5. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 25. Từ đồ thị của hàm số ( ) 3 2 3 3:C y x x= − + hãy vẽ đồ thị của các hàm số sau a. 3. − là giá trị cần tìm. Dạng toán 3. Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số Bài 16. Cho hàm số 3 2 1 1 3 y x x x = + + + có đồ thị ( ) C và ba điểm ( ) ( ) 22 27 1 1. Khảo sát hàm số 1 Đồ thị hàm số và các bài toán liên quan A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Tính đơn điệu của hàm số 1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên K ,