đồ thị hàm số và các bài toán liên quan

Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số.. Các bài toán liên quan đến đồ thị củ

Đồ thị hàm số và

các bài toán liên quan

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Tính đơn điệu của hàm số

1.1 Định nghĩa Cho hàm số f xác định trên K , với K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng Khi

đó

f đồng biến trên K ⇔ ∀( x x1, 2 ∈K x, 1<x2 ⇒f x( )1 <f x( )2 )

f nghịch biến trên K ⇔ ∀( x x1, 2∈K x, 1<x2 ⇒f x( )1 > f x( )2 )

1.2 Điều kiện cần và đủ

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Khi đó

f đồng biến trên I ⇔ f x′( )≥0,∀ ∈ và x I f x′( )= chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I 0

f nghịch biến trên I ⇔ f x′( )≤0,∀ ∈x I và f x′( )=0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc I

2.2.2 Điều kiện đủ thứ hai Cho hàm số f có đạo hàm cấp một trên ( ; )a b chứa x0, f x′( )0 = 0

và f′′( )x0 ≠ Khi đó 0

f′′( )x0 < ⇒ f đạt cực đại tại 0 x0,
f′′( )x0 >0 ⇒ f đạt cực tiểu tại x0 Chú ý Ta thường sử dụng Điều kiện đủ thứ hai trong các bài toán có yêu cầu liên quan đến cực trị tại những điểm cụ thể cho trước

2.3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị

( )

y = f x =ax +bx +cx+ d (a≠0), ( )CGiả sử đồ thị ( )C có hai điểm cực trị A x y( A; A), B x y( B; B) Thực hiện phép chia đa thức ( )f x cho ( )

nên ∆ là đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị ( )C

Chú ý Ta thường sử dụng thuật toán Đường thẳng qua hai điểm cực trị đối với các bài toán liên quan đến giá trị cực trị hay điểm cực trị của đồ thị hàm số

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

, ( )max ( )

5 Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

5.1 Tìm điểm cố định của một họ đồ thị Cho hàm số y = f x m( , ), (Cm) Khi đó họ (Cm)qua điểm cố định M x y( 0; 0) ⇔ y0 = f x m( , ),0 ∀m

0

( ; )( ; )

( ; )

k k

5.3 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị

Cho ( )C : y = f x( ) và M x y( 0; 0)∈( )C Viết

phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M

Áp dụng công thức y−y0 =f x′( )(0 x−x0)

 Tiếp tuyến qua điểm cho trước

Cho ( )C : y = f x( ) và điểm A x y( A; A) Viết

phương trình tiếp tuyến của ( )C qua A

Cách 1 Gọi d là đường thẳng qua A x y( A; A) và

có hệ số góc k : y =k x( −xA)+yA Dùng điều kiện tiếp xúc 5.2 để xác định k

 Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước

Cho hàm số y =f x( ), ( )C Viết phương

trình tiếp tuyến d của ( )C biết tiếp d có hệ

nên ta vẽ đồ thị ( )C1 như sau

Giữ lại phần đồ thị ( )Ca của ( )C không nằm phía dưới trục

Giữ phần đồ thị ( )Ca của ( )C không nằm bên trái trục Oy

Lấy đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục Oy, ta được phần đồ thị ( )Cb Khi đó ( ) ( ) ( )C2 = Ca ∪ Cb

, nên ta vẽ ( )C4 như sau

Giữ lại phần đồ thị ( )Ca của ( )C ứng với u x( )≥0

Lấy phần đối xứng phần đồ thị còn lại của ( )C qua trục hoành, ta được ( )Cb Khi đó ( ) ( ) ( )C4 = Ca ∪ Cb

6 Một số kiến thức khác liên quan

6.1 Các vấn đề liên quan đến Định lí về dấu của tam thức bậc hai

6.1.1 Định lí về dấu của tam thức bậc hai

( )

f x =ax +bx + c (a≠0) Khi đó ta có 3 trường hợp
∆ < 0

6.1.2 Điều kiện tam thức không đổi dấu trên 

(1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1<0<x2 ⇔P < 0

(1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 0<x1<x2

000

PS

PS

2

afSα

2

afSα

(2) có nghiệm t1=t2 > 0(2) có nghiệm t1<0<t2

(1) có ba nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t1 =0<t2

00

PS

PS

6.2 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng ∆1: a x1 +b y1 +c1= và 0 ∆2 : a x2 +b y2 +c2 = Khi đó 0 ∆ và 1 ∆ tạo với 2

6.3.1 Khoảng cách giữa hai điểm

6.3.2 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm ( ;M xM yM) tới ∆: ax +by+ = là c 0

B MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢI

1 Tính đơn điệu của hàm số

Dạng toán 1 Tìm các giá trị của tham số để hàm số đơn điệutrên một khoảng cho trước

Yêu cầu bài toán ⇔ ( ) 2 ( )

trong hai điều kiện sau đây được thỏa mãn

ii f x( )= có hai nghiệm 0 x x1, 2 thỏa mãn x1 <x2 ≤ hoặc 1 2≤x1<x2

Trường hợp 1 f x( )= có hai nghiệm 0 x x1, 2 thỏa mãn x1<x2 ≤ , ta có 1

Sm

mm

Sm

Kết hợp các trường hợp trên, ta được các giá trị m cần tìm là m≤ 1

Vậy các giá trị của m cần tìm là 0≤m≤ 5

b Hàm số đã cho đồng biến trên  +∞1; ) khi và chỉ khi y′ ≥0 ∀ ∈x 1;+∞) Điều này tương

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞ ) ⇔

Dạng toán 2 Tìm các giá trị của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện số cho trước

23

2

−

52

103

+∞

Vì nghiệm của phương trình y ′= cũng chính là hoành độ giao điểm của y0 =m và y =g x( )

nên từ bảng biến thiên của hàm số y =g x( ) ta thấy

< <

3m

mm

Với x = ta có 0

2

62

m

2

0 62

2

2; 4

m mBA

2m

Vì x x1, 2 là nghiệm của phương trình y ′= nên ta có 0 ( )( ) 2

khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 2 15

y cho y′ được

4m −20m+60> ∀0 m∈  )

Ta thấy giá trị m= − thỏa mãn điều kiện (1) nên 2 m= − là giá trị cần tìm 2

Bài 15 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số

2

31

Vậy m= − là giá trị cần tìm 2

Dạng toán 3 Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số

13

tuyến ∆ của ( )Cm tại điểm có hoành độ bằng 1 Tìm các giá trị của m để giao điểm của ∆ và

mm

Bài 18 Cho hàm số 2

1

xyx

+

=

− có đồ thị ( )C Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của

( )C Chứng minh rằng một tiếp tuyến bất kỳ với ( )C luôn cắt hai tiệm cận tại hai điểm ,A B sao cho tam giác IAB có diện tích không đổi

x y

→ −∞ = nên ( )C có tiệm cận ngang là ∆2 :y = 1

Do đó giao điểm của ∆ và 1 ∆ là 2 I( )1 1;

Ta có

( )2

31

0 0 2

0 0

23

11

x

xx

IAx

=

− và IB =2x0− nên diện tích tam giác IAB là 1

0 0

+

=

Oy lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân

Giải

Ta có

( )2

42

d:

0 0 2

0 0

24

22

x

xx

4

12

 Với x0 = ta có tiếp tuyến 0 y = − − x 1

 Với x0 = ta có tiếp tuyến 4 y = − + x 7

Nếu d ⊥ ∆ thì 2

( )2 0

4

12x

−

=

−

Phương trình này vô nghiệm

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y = − − và x 1 y = − + x 7

Bài 20 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C của hàm số 3 2

đi qua điểm A(2;− 3)

Giải

Gọi dk là đường thẳng đi qua điểm A(2;− và có hệ số góc k thì 3) dk :y =k x( −2)− 3

2

( )( )

xx

+

=+

kk

( )Cm và d có 3 giao điểm ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt

⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

mm

y

1

2 -1

Dạng toán 5 Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

Do vậy ta vẽ ( )C1 như sau

là hàm chẵn nên đồ thị của nó đối xứng qua trục tung Do đó ta

vẽ đồ thị ( )C2 của nó như sau

Giữ lại phần đồ thị của ( )C không nằm bên trái trục hoành, ta

x y

-1

2 3

( )C

( )C1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

2 3

x

y

1 -1

-1

3

Dạng toán 6 Tìm các điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

1

xyx

+

=

− , ( )C Tìm điểm M thuộc ( )C sao cho

a M có tọa độ nguyên;

b M cách đều hai trục tọa độ;

c Tổng khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận là nhỏ nhất;

d M cách đều gốc tọa độ O và A(2+2 5 2; );

2 Giải

0 0

Vậy có 4 điểm trên ( )C có tọa độ nguyên là M1(−2 1; ); M2(0;− ; 1) M3( )2 5; và M4( )4 3;

0

1

xx

+

− và x0

0 0

1

x

xx

= nên ( )C có tiệm cận ngang là ∆2 : y= 2

Khoảng cách từ điểm M lần lượt tới các tiệm cận là d M( ,∆ =1) x0− và 1 ( 2)

0

31,

0 0

0 0 0

3 31

.,

Vậy có một điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là M11(0;− 1)

đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến ( )C

( )( )( )

Thay (2) vào (1) ta được

Từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với ( )C ⇔ ( )∗ có 3 nghiệm phân biệt

⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

aaa

 Tính đơn điệu của hàm số

1 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau

5 Cho hàm số

2

22

a Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn 1 0[− ; ]

b Tìm các giá trị của m để hàm số nghịch biến trên (−1 1; ) (m< −10)

3

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2

2m

a Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với m = 1

a Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số đã cho ứng với m = 2

7m

a Chứng minh rằng hàm số không thể đồng biến trên 

15 Tìm các giá trị của m để phương trình

d f x( )=sinx +2cosx trên đoạn [−π π; ]

20 Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

25 Cho hàm số 2 3 ( ) 2 ( 2 )

3

a Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x2; (− <5 m< − 1)

b Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm nằm bên phải trục tung; .(− <5 m< − 3)

c Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại x1 và x2 sao cho A= x x1 2−2(x1+x2) đạt giá trị

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

28 Cho hàm số

2 2

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

b Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0

b Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó (M M1 2 =4 2)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 1

b Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) của hàm số (1) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

b Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung (− <1 m<1)

2m

34 Cho hàm số 3 2

a Khảo sát hàm số (1) khi m= 1

b Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có hai điểm cực trị Khi đó xác định m để một trong hai

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 3

b Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng nối hai điểm cực trị của

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 1

b Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu Chứng minh rẳng đường thẳng nối các

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 1

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 1

b Tìm các giá trị của m để hàm số có đúng một điểm cực trị (m ≤ ∨0 m ≥1)

41 Với giá trị nào của m , gốc tọa độ thuộc đường thẳng nối các điểm cực trị của đồ thị hàm số

c ( )Cm đạt cực trị tại ,A B cách đều đường thẳng y = ; 5 (m=2)

d ( )Cm đạt cực trị tại ,A B nằm trên đường thẳng cách gốc tọa độ một khoảng bằng 1; (m∈ ∅ )

e ( )Cm có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với trục hoành một tam giác có diện tích bằng 1

3(− <m< )

3(− <m< )

 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

53 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

=+ trên nửa khoảng (−2 4; ];

21

xy

xy

xyx

+

=

+ trên đoạn 1 2[− ; ]

− +

=

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

thẳng d qua E và cắt ( )C thì số giao điểm là 2 và hai giao điểm đối xứng nhau qua E Từ đó suy ra E là tâm đối xứng của ( )C

56 Cho hàm số

2

11

+

=

− , ( )C

a Tìm trên ( )C những điểm có tọa độ nguyên

b Tìm trên ( )C những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

−

=

trên ( )C đến hai đường tiệm cận của ( )C là một hằng số

1

xyx

+

=

− , ( )C Tìm tất cả các điểm M ∈( )C sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C là ngắn nhất (M1(1+ 2 1; + 2),M2(1− 2 1; − 2))

60 Tìm trên hai nhánh khác nhau của 4 9

a Chứng minh rằng đồ thị ( )P của hàm số f và đồ thị ( )C của hàm số g tiếp xúc nhau tại điểm

A có hoành độ x = 1

b Viết phương trình tiếp tuyến chung ( )d của ( )P và ( )C tại điểm A

c Chứng minh rằng ( )P nằm phía trên đường thẳng ( )d và ( )C nằm phía trên đường thẳng ( )d

a Hoành độ tiếp điểm là x1 = − , 1 x2 = 2

b Tung độ tiếp điểm là y =5,y = 3

65 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số 3 2

y = x − x + − ( )x C Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến

60 ;

2:

30 ; f Qua điểm A(0;− 4)

y =x − x+ ( )C Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến:

a Có hệ số góc bằng với hệ số góc của đường thẳng 12x−2y+ = ; 1 0

9

y = − x + ;

45 ;

f Tạo với đường thẳng y =2x+ một góc 3 0

45 ; g Qua điểm A(−1 9; )

70 Viết phương trình tiếp tuyến với 3 2

xy

x

−

=

− + ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến:

2

c Tạo với đường thẳng y = −2x một góc 0

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b Xác định các giáo điểm của ( )C với trục hoành và chứng minh ( )C tiếp xúc với trục hoành tại một trong các giao điểm đó

1

xyx

−

=

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)

b Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C Tìm điểm M ∈( )C sao cho tiếp tuyến của

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2

b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng 1− Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại M song

nào của ( )C qua I

79 Cho hàm số

2

12

yx

+

=

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)

b Xác định m để đường thẳng d :y =2x+m cắt ( )C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho các

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m= 1

b Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho các tiếp

1

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1) khi m = 1

b Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó qua điểm A( ; )0 2

a CMR không tồn tại hai điểm nào trên ( )C để các tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau

b Tìm k để trên ( )C luôn tồn tại ít nhất một điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b Chứng minh rằng qua điểm A(1;− có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt của ( )4) C

b Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = , có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến của ( )2 C

1

xyx

−

=

− ( )C và điểm M ∈( )C Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B

a Chứng minh rằng M là trung điểm của AB

b Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB là một hằng số

3

y = x − x +

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b Tìm các điểm thuộc ( )C sao cho tại đó, tiếp tuyến của ( )C có ba điểm chung phân biệt với

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho ứng với m = 4

4m

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số ứng với m = 1

c Biện luận theo k số giao điểm của ( )C với đường thẳng y = k

a Khảo sát và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi m= 1

15S

a Khảo sát và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi m= 2

b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập

a Khảo sát và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi m= 1

b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập

a Khảo sát và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi m= 1

b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập

2

a Khảo sát và vẽ đồ thị( )C của hàm số khi m= 3

b Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm (m> − 3)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Tìm m để đường thẳng y =mx + −2 2m cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt (m>1)

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)

b Gọi dk là đường thẳng qua M( ;0− và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng 1) dk cắt

8(k > − và k ≠0)

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

tam giác có diện tích không đổi

1

xyx

−

=

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đường thẳng d:2x + +y m = luôn cắt 0 ( )C tại hai điểm phân biệt Xác định m để khoảng cách giữa hai giao điểm này nhỏ nhất

a Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)