Ứng dụng lí thuyết sai phân để giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— LÊ THỊ HỒNG NHUNG ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN ĐỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ————— LÊ THỊ HỒNG NHUNG ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT SAI PHÂN ĐỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Lê Thị Hồng Nhung MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính c p thi t c a đ tài M c tiêu nghiên c u Đ i t Ph ng ph m vi nghiên c u ng pháp nghiên c u B c c đ tài CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 KHÁI NI M VÀ M T S TÍNH CH T C A SAI PHÂN 1.1.1 Khái ni m sai phân 1.1.2 M t s tính ch t c a sai phân 1.2 PH NG TRÌNH SAI PHÂN VÀ PHÂN LO I 1.2.1 Ph ng trình sai phơn n tính 1.2.2 Ph ng trình sai phơn n tính c p 1.2.3 Ph ng trình sai phơn n tính không thu n nh t c p v i v ph i đ c thù 1.2.4 Ph ng trình sai phơn n tính c p 11 1.2.5 Ph ng trình sai phơn n tính khơng thu n nh t c p v i v ph i đ c thù 12 1.2.6 Ph ng trình sai phơn n tính c p 14 1.3 TUY N TÍNH HĨA 16 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN ĐỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 19 2.1 BÀI TOÁN TÌM S H NG T NG QUÁT C A DÃY 19 2.1.1 Tìm s h ng t ng quát bi t s h ng đ u tiên 19 2.1.2 Công th c truy h i biểu th c n tính 21 2.1.3 Công th c truy h i m t h th c n tính 23 2.1.4 Công th c truy h i biểu th c n tính v i h s bi n thiên 25 2.1.5 Công th c truy h i d ng phân n tính v i h s 26 2.2 BÀI TỐN TÍNH T NG 27 2.2.1 Bài toán 27 2.2.2 Bài toán 30 2.2.1 Bài toán 31 2.2.1 Bài toán 33 2.3 BÀI TỐN TÌM GI I H N C A DÃY S 35 2.4 M T S D NG TOÁN KHÁC 40 2.5 M T S VÍ D MINH HỌA 51 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI TOÁN SAI PHÂN 62 3.1 GI I THI U S L 3.2 M T S C V PH N M M MAPLE 62 HÀM THỰC HI N Đ C TR NG C A PH N M M MAPLE 63 3.2.1 M t s hƠm c b n 63 3.2.3 M t s l nh c b n 63 3.3 NG D NG PH N M M MAPLE TRONG GI I TOÁN SAI PHÂN 66 3.3.1 ng d ng ph n m m Maple gi i ph ng trình sai phơn 66 3.3.2 ng d ng ph n m m Maple gi i tốn tính t ng 75 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phương pháp sai phân phương trình sai phân ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng vào giải gần phương trình toán tử, đặc biệt sử dụng để giải gần phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh đó, lí thuyết sai phân phương trình sai phân cịn có nhiều ứng dụng khác giải tích, chẳng hạn : tìm số hạng tổng quát dãy số, tìm giới hạn dãy số, tốn tính tổng, Sai phân ứng dụng sai phân phương pháp quan trọng tốn sơ cấp Nó khơng góp phần giải tốn dãy số mà cịn giúp giải tốn khác : phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức, Với mong muốn mang lại thú vị công cụ phương thức lựa chọn cho đối tượng có quan tâm đến ứng dụng lí thuyết sai phân, gợi ý người hướng dẫn khoa học, thầy giáo – TS Lê Hải Trung, tơi chọn đề tài “ Ứng dụng lí thuyết sai phân để giải tốn trung học phổ thơng ” cho luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài nghiên cứu tính chất sai phân, xây dựng phương pháp giải tốn dựa tính chất đặc trưng chúng, đồng thời ứng dụng phần mềm Maple giải toán sai phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Các tính chất sai phân, phân loại phương trình sai phân ứng dụng sai phân để giải lớp tốn chương trình THPT toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Ứng dụng phần mềm Maple để giải toán nêu 3.2 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sai phân hàm số biến thực Trong nội dung luận văn giá trị biến ta lấy tập số thực R tập số tự nhiên N Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn, kiến thức sử dụng nằm lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số, Lí thuyết sai phân, Bố cục đề tài Luận văn có cấu trúc sau: Mở đầu Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Ứng dụng tính chất sai phân để giải số toán Chương 3: Ứng dụng phần mềm Maple giải toán sai phân Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, tác giả trình bày số kiến thức khái niệm sai phân, số tính chất sai phân, loại phương trình sai phân, tuyến tính hóa phương trình sai phân Nội dung xem thêm tài liệu [7], [8],[9],[10] 1.1 KHÁI NIỆM VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN 1.1.1 Khái niệm sai phân Giả sử f : R → R hàm số cho trước h = const Ta gọi sai phân cấp hàm f x đại lượng ∆f (x) = f (x + h) − f (x) Sai phân cấp n f (x) đại lượng ∆n f (x) = ∆ ∆n−1 f (x) , (n ≥ 1) kí hiệu ∆0 f (x) = f (x) 1.1.2 Một số tính chất sai phân Tính chất 1.1.1 ∆ tốn tử tuyến tính, nghĩa ∀α, β ∈ R; ∀f, g ∆(αf + βg) = α∆f + β∆g Chứng minh ∀α, β ∈ R; ∀f, g ∆(αf + βg) = αf (x + h) + β.g(x + h) − αf (x) − βg(x) = α [f (x + h) − f (x)] + β [g(x + h) − g(x)] = α∆f + β∆g Vậy ∆(αf + βg) = α∆f + β∆g Tính chất 1.1.2 Nếu c = const ∆c = Chứng minh c = const suy ∆c = c − c = Tính chất 1.1.3 ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = (m > n) Chứng minh ∆ (xn ) = (x + h)n − xn = nh.xn−1 + ∆2 (xn ) = ∆ nxn−1 h + = n.h∆ (xn − 1) + = n (n − 1) h2 xn−2 + ∆n (xn ) = n!hn Từ tính chất (1.1.2) suy ∆m (xn ) = ∀m > n Tính chất 1.1.4 Nếu P (x) đa thức bậc n ta có:1 n ∆P = P (x + h) − P (x) = i=1 hi (i) · p (x) i! Tính chất 1.1.5 n Cni ∆i f (x) f (x + nh) = i=0 Chứng minh f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x) Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được: f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h) = (1 + ∆)2 f (x + (n − 2)h) = n Cni ∆i f (x) n = (1 + ∆) f (x) = i=0 Nội dung trích dẫn từ tài liệu tham khảo [7] Tính chất 1.1.6 n n ∆ f (x) = i=0 (−1)i Cni f (x + (n − i)h) Chứng minh ∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x) n (−1)i Cni (1 + ∆)n−i f (x) = i=0 n = i=0 (−1)i Cni f (x + (n − i)h) Tính chất 1.1.7 Giả sử f ∈ C n [a; b] (x, x + nh) ⊂ θ(0; 1), đó: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1) n h Chứng minh Với n = 1, ta có cơng thức số gia hữu hạn: f (x + h) − f (x) = f ′ (x + θh) h Giả sử công thức với k = n , tức là: ∆n f (x) = f (n) (x + θnh) n h Ta chứng minh công thức với k = n + Thật vậy, ta có: ∆n+1 f (x) = ∆ [∆n f (x)] = ∆ hn f (n) (x + θ′ nh) , θ′ ∈ (0; 1) Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f (n) (x + θ′ nh) ∆n+1 f (x) = hn ∆(n) (x + θ′ nh) = hn f (n) (x + θ′ nh + h) − f (n) (x + θ′ nh) = hn+1 f (n+1) (x + θ′ nh + θ′′ h); (θ′ n + θ′′ ) ∈ (0; 1) ta Kí hiệu θ = n+1 ∆n+1 f (x) = f (n+1) (x + θ(n + 1)h) (θ′ , θ′′ ∈ (0; 1)) 67 Lời giải Giải phương trình đặc trưng, ta dùng lệnh: Phương trình đặc trưng có ba nghiệm,trong có nghiệm λ = Vì Pm (n) đa thức bậc nên tìm nghiệm riêng x∗n = xn = n.a.3n Thay xn vào phương trình sai phân rút gọn, dùng lệnh: Vậy nghiệm riêng phương trình x∗n = n · 3n = n.3n−1 Ví dụ 3.3.3 Tìm nghiệm riêng phương trình: xn+3 − 3xn+1 + 2xn = −2n + 26 Lời giải Giải phương trình đặc trưng, ta dùng lệnh: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm {λ = −2} ; {λ = 1} (kép) Do fn = −2n + 26 đa thức bậc nên ta tìm nghiệm riêng x∗n = xn = n2 (an + b) Thay x∗n vào phương trình sai phân, dùng lệnh: 68 Đồng thức hệ số hai vế phương trình trên, dùng lệnh Vậy nghiệm riêng phương trình x∗n = n2 43 − n 9 Ví dụ 3.3.4 Tìm nghiệm riêng phương trình: xn+2 + xn+1 − 6xn = −4 + 4(5n + 7)2n + 4.3n+1 Lời giải Đặt fn1 = −4; fn2 = 4(5n + 7)2n ; fn3 = 4.3n+1 Tìm nghiệm phương trình đặc trưng, dùng lệnh: Với fn1 = −4 đa thức bậc 0, phương trình đặc trưng khơng có nghiệm λ = 1, nên nghiệm riêng dạng x∗n1 = a Thay vào phương trình sai phân xn+2 + xn+1 − 6xn = −4 giải phương trình thu tìm a, dùng lệnh: Vậy x∗n1 = 69 Với fn2 = 4(5n + 7)2n có P (n) = 20n + 28 đa thức bậc n, phương trình đặc trưng có nghiệm λ = = β , nên ta tìm nghiệm riêng x∗n2 = n(an + b).2n Thay vào phương trình sai phân xn+2 + xn+1 − 6xn = (5n + 7)2n+2 ta dùng lệnh: Đồng thức hệ số hai vế phương trình theo ẩn n, ta dùng lệnh: 14 2n có β = 3, phương trình đặc trưng khơng có nghiệm Vậy x∗n2 = n 2n + Với fn3 = 4.3n+1 λ = 3, nên ta tìm nghiệm riêng x∗n3 = a.3n Thay vào phương trình sai phân xn+2 + xn+1 − 6xn = 12.3n Giải phương trình thu tìm a, dùng lệnh: 70 Vậy x∗n3 = 2.3n Ta tìm nghiệm riêng phương trình cho x∗n = x∗n1 + x∗n2 + x∗n3 = + n 2n + 14 2n + 2.3n Ví dụ 3.3.5 Giải phương trình sai phân: 1 xn+2 = xn+1 + xn + 3n + + 2 n + 2n ; x0 = 2, x1 = 2 Lời giải Tìm nghiệm phương trình đặc trưng, dùng lệnh: Suy xn = A − n + B Đặt fn1 = 3n + , fn2 = n + 2n Với fn1 = 3n + , suy x∗n1 = n(an + b) Thay vào phương trình sai phân: xn+2 = xn+1 + xn + 3n + , 2 71 ta dùng lệnh: Chọn n = 0, n = −1 giải hệ phương trình thu tìm a, b dùng lệnh: Vậy x∗n1 = n2 Với fn2 = n + 2n , suy x∗n2 = (an + b).2n Thay vào phương trình sai phân: 1 xn+2 = xn+1 + xn + n + 2n , ta dùng lệnh: 2 Chọn n = ta 8a + 4b = a + b + Chọn n = −1 ta 2a + 2b = b − a + 4 Giải hệ phương trình tìm a, b ta dùng lệnh: 72 Vậy x∗n2 = n.2n Ta tìm nghiệm riêng phương trình cho là: x∗n = x∗n1 + x∗n2 = n2 + n.2n Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là: xn = A − n + B + n2 + n.2n Từ điều kiện ban đầu x0 = 2, x1 = suy A + B = − A + B + = 2 Giải hệ phương trình trên, ta dùng lệnh: Vậy nghiệm phương trình sai phân: xn = − n + + n2 + n.2n Ví dụ 3.3.6 Giải phương trình sai phân: xn+2 = 9xn+1 − 20xn + 12n2 − 14n − + 9.2n+1 − 4n+1 ; x0 = 4; x1 = 15 Lời giải Ta sử dụng lệnh giải phương trình sai phân theo cấu trúc lệnh [>rsolve({x(n+2)−9x(n+1)+20x(n)−12n2 +14n+5−9.2n+1 +4n+1 = 0, x(0) = 4, x(1) = 15},{x(n)}); Kết hiển thị hình Maple sau: 73 Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: xn = 3.2n + n2 + (n + 1)4n Ví dụ 3.3.7 Giải hệ phương trình sai phân:    xn+1 = 3xn + yn       yn+1 = 2xn + 2yn   x0 =       y = −1 Lời giải Ta sử dụng lệnh giải hệ phương trình sai phân theo cấu trúc lệnh [>rsolve({x(n + 1) − 3x(n) − y(n) = 0, y(n + 1) − 2x(n) − 2y(n) = 0, x(0) = 2, y(0) = −1},{x(n),y(n)}); Kết hiển thị hình Maple sau: Vậy nghiệm hệ phương trình   xn = + n  y = −2 + 4n n Ví dụ 3.3.8 Tìm cơng thức tổng qt dãy số xn thỏa mãn − 4xn xn+1 = ; x0 = 1 − 6xn 74 Lời giải Ta xét hệ phương trình sau:    y0 = 1; z0 =    yn+1 = −4yn + zn      zn+1 = −6yn + zn Tương tự thực cấu trúc lệnh tập (3.3.7), ta thu kết quả: yn zn Ta thực cấu trúc lệnh để tính xn sau: Theo bổ đề (2.1.1) xn = Ví dụ 3.3.9 Tìm cơng thức tổng qt dãy số xn thỏa mãn xn+1 = n (xn + 1); x1 = n+1 Lời giải Để tìm xn ta thực cấu trúc lệnh : 75 Vậy xn = (n − 1) Ví dụ 3.3.10 Tìm cơng thức tổng quát dãy số xn thỏa mãn x2n−1 + ; x1 = 1; x2 = (n ≥ 3) xn = xn−2 Lời giải Theo Ví dụ (1.3.1) xn+1 = 4xn − xn−1 Để tìm xn ta thực cấu trúc lệnh : 3.3.2 Ứng dụng phần mềm Maple giải tốn tính tổng Ví dụ 3.3.11 Tính tổng: 1 + + + = S= 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) n k=1 (3.1) k(k + 1)(k + 2) Lời giải Để tính tổng (3.1), ta thực lệnh: Vậy S = n(n + 3) · (n + 1)(n + 2) Ví dụ (1.3.1) trang 17 76 Ví dụ 3.3.12 Tính tổng: S = (13 +2.12 +3.1+1).1!+(23 +2.22 +3.2+1).2!+ +(n3 +2.n2 +3.n+1).n! Lời giải n (k + 2.k + 3.k + 1).k! S= (3.2) k=1 Để tính tổng (3.2), ta thực lệnh: Vậy S = (n + 1)2 (n + 1)! − Ví dụ 3.3.13 Tính tổng:2 n S = 1.1! + 2.2! + + n.n! = k.k! k=1 Lời giải Để tính tổng (3.3), ta thực lệnh: [> sum(k.k!, k = n); Kết hiển thị hình Maple sau: Vậy S = (n + 1)! − Ví dụ (2.2.4) trang 30 (3.3) 77 Ví dụ 3.3.14 Tính tổng: n cos kx S = cos x + cos 2x + + cos nx = (3.4) k=1 Lời giải Để tính tổng (3.4), ta thực lệnh: [> sum(cos(k.x), k = n); Kết hiển thị hình Maple sau: Ví dụ 3.3.15 Chứng minh với số nguyên dương n ta có: 1 + + + < 1.2 2.3 n.(n + 1) Lời giải Đặt 1 S= + + + = 1.2 2.3 n.(n + 1) n k=1 Để tính S ta thực lệnh [> sum( , k = n); k.(k + 1) Kết hiển thị hình Maple sau: k.(k + 1) 78 < n+1 Suy điều phải chứng minh Rõ ràng ta thấy S = − 79 KẾT LUẬN Luận văn giải số vấn đề sau: Hệ thống hóa lại kiến thức sai phân tính chất sai phân, phương trình sai phân Xây dựng số phương pháp giải tốn tìm số hạng tổng qt dãy, tính tổng dãy tìm giới hạn dãy cách áp dụng tính chất sai phân ứng dụng phương trình sai phân để giải toán Ứng dụng phần mềm Maple vào việc giải phương trình sai phân nhằm mang lại tiện dụng, hiệu việc giải toán Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh giáo viên giảng dạy mơn Tốn cấp THPT Tuy nhiên, kiến thức thời gian có hạn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhận xét ý kiến đóng góp từ q thầy độc giả để đề tài hoàn thiện 80 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên) (2002), Giải tích số, NXB Giáo dục [3] Lê Đình Định (2011), Bài tập phương pháp sai phân, NXB Giáo dục [4] Phạm Minh Hồng (2008), Maple tốn ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật [5] Phan Huy Khải (2007), Các toán dãy số, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh (2004), Phương pháp sai phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [8] Ronald E Mickens (2015), Difference Equations: Theory and Applications, Taylor & Francis Publisher, France [9] Saber Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, Springer Publisher, New York [10] Sharkovsky (1993), Difference Equations and Their Applications, Springer Publisher, New York 81 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) ... tính chất sai phân, phân loại phương trình sai phân ứng dụng sai phân để giải lớp toán chương trình THPT tốn thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Ứng dụng phần mềm Maple để giải toán nêu 3.2... (∀n ≥ 3) 19 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SAI PHÂN ĐỂ GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Trong chương này, tác giả trình bày số ứng dụng tính chất sai phân để giải tốn trung học phổ thơng tốn tìm số... pháp sai phân phương trình sai phân ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng vào giải gần phương trình tốn tử, đặc biệt sử dụng để giải gần phương trình vi phân phương