DẠY HỌC SINH LỚP 9 GIẢI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp họcsinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức,vận dụng những hiểu biết của mình vào trong th

PHẦN I: MỞ ĐẦU

Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quantrọng Với đặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp họcsinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức,vận dụng những hiểu biết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toánhọc còn là công cụ giúp các em học tốt các môn học khác và góp phần giúpcác em phát triển một cách toàn diện

Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say

mê toán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng caokiến thức cũng như kèm cặp, phụ đạo cho học sinh yếu kém môn toán làmột yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán nói chung Nhất là đất nước

ta đang trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa, rất cần những conngười năng động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng…

Chính vì vậy mà việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinhtrong giờ học và những giờ ngoại khóa là rất cần thiết và càng cần thiết hơnđối với học sinh lớp 9

Là giáo viên dạy toán trong các trường THCS tôi nhận thấy phầnđông các em yếu môn toán vì các lý do sau đây:

1 Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức

2 Lý do quan trọng hơn là các em chưa biết cách làm toán mà ta gọi

đó là phương pháp, nhất là các phương pháp đặc trưng cho từng dạng, chotừng loại toán Muốn chứng minh một đẳng thức, một bất đẳng thức thìphải làm sao? Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức hàm sồ thì taphải làm như thế nào? các em không nắm chắc

Trong chương trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNNchiếm một vị trí cực kỳ quan trọng Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạohàm nên phải bằng cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu vàphù hợp với trình độ kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toánnày Các bài toán này rất phong phú nó đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức,vận dụng một cách hợp lý, khá độc đáo và nhiều cách giải Vì vậy các bàitoán tìm GTLN, GTNN gọi chung là các bài toán cực trị thường xuyên xuấthiện trong SGK, sách nâng cao của các khối lớp Nó là các bài toán haygiúp học sinh phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng tư duy toán cao

Mặt khác, trong những năm gần đây, các kỳ thi học sinh giỏi bậcTHCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT đặc biệt là thi vào cáctrường THPT chuyên thường gặp những bài toán yêu cầu tìm GTNN,GTLN của một đại lượng nào đó Các bài toán cực trị rất phong phú và đa

dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng, để dầndần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một côngviệc nào đó trong cuộc sống sau này.

Xuất phát từ đó mà tôi luôn cố gắng tìm tòi, tham khảo tài liệu vớimục đích nâng cao chất lượng dạy toán cho học sinh Trong quá trình giảngdạy và nghiên cứu tôi rất chú trọng đến dạng toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức đại số Mặc dù trongchương trình toán THCS không có bài dạy lý thuyết về phương pháp tìmGTLN, GTNN nhưng trong hệ thống bài tập lại có đề cập đến Đặc biệt loạibài tập này có nhiều trong các sách bồi dưỡng nâng cao hay trong các đề thihọc sinh giỏi; thi vào trường chuyên, lớp chọn… Do đó cần thiết phải dạycho học sinh lớp 9 biết cách giải những bài toán cực trị trong những giờ

ngoại khoá, bồi dưỡng… Trên tinh thần đó tôi nghiên cứu đề tài “Dạy học

sinh lớp 9 giải toán cực tri đại số ”.

PHẦN II: NỘI DUNG

A MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1 Định nghĩa GTLN, GTNN của một biểu thức:

Định nghĩa 1: Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên miền D Ta nói M là

GTLN của f(x,y ) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

+ Tồn tại x0, y0 thuộc D mà f(x0, y0 ) = M

Khi đó ta kí hiệu: M = Max f(x,y ) với x,y thuộc D

Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y ) xác định trên miền D Ta nói m là

GTNN của f(x,y ) trên D nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x− 1) (2 + x− 3)2.

Giải: Ta có: (1)

(2)Suy ra không thể kết luận được Min A = 0 vì không xảy ra đồngthời hai bất đẳng thức (1) và (2)

Ta phải giải như sau :

A = x2 - 2x + 1 + x2 – 6x +9 = 2.( x2- 4x +5 ) = 2 (x-2)2 +2 ≥ 2 ∀x Vậy Min A = 2 đạt được ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x=2

+ Một biểu thức có thể có GTLN, GTNN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên.

Ví dụ: Xét biểu thức A = x2 ta thấy x2≥0 ∀ x và x2= 0 khi x = 0, vậy biểuthức có GTNN bằng 0 khi x = 0 Biẻu thức này không có GTLN

B PHÂN DẠNG BÀI TẬP VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ

I- Đối với các đa thức nguyên

1 Phương pháp dựa vào lũy thừa bậc chẵn

x O x

- Nếu có thể hãy biến đổi biểu thức đã cho y=f(x) về

1.3 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa nhiều biến số:

Ví dụ 6: Tìm giá trị của m và p sao cho:

Vậy Min A=2 khi m=-3; p=1

Ví dụ 7: Tìm các giá trị của x, y, z sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ

nhất: P(x , z y, ) = 19x2 + 54y2 + 16z2 - 16xz - 24yz + 36xy + 5

Giải: Khi gặp một biểu thức chứa nhiều biến số, ta cấn biến đổi biểu thức

đã cho về tổng các biểu thức không âm

Biểu thức P(x , z y, )đạt giá trị nhỏ nhất khi các hạng tử (x+2y)2,

chúng phải có giá trị đồng thời bằng 0, nghĩa là hệ phương trình sau đây cónghiệm

x 2y 0

x 0 3y 2z 0

Ví dụ 9 : Tìm GTNN của biểu thức : F(x,y) = x2+2y2-2xy – 4y + 5

Giải: F(x,y) = x2+y2-2xy +y2 - 4y + 4 + 1

0

y

y x

= +

0 1 - z

0 1 - z y - x

0 1 - z y - x

hay x=y=z =1

Vậy G = 2004 khi x= y = z = 1

1.4 Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức :

a) H = x2 + 2y2 -2xy + 2x – 10 b) I = x2 +6y2 14z2 - 8yz + 6zx - 4xy

2 Phương pháp dùng kiến thức tam thức bậc hai

2.1 Đổi biến để đưa về tam thức bậc hai đối với biến mới.

Ví dụ 12: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A=x2 + y2

Biết rằng x2 (x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1

Giải: Từ x2(x2 + 2y2 -3) + (y2 -2)2 =1 => (x2 + y2)2 - 4(x2 + y2) +3=-x2 ≤0

Do đó: A2 - 4A + 3≤0 <=> (A-1)(A-3) ≤0 <=> 1≤A≤3

2.3 Đưa về phương trình bậc hai vận dụng hệ thức Vi-ét.

Ví dụ 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 -(2m -1)x+m –2=0

2

3

)2≥0 ∀m)Vậy Min(x12 + x22) =

4

11

khi m =

4 3

Ví dụ14: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Giải: Để phương trình đã cho có nghiệm thì:

2 + −

2

) 4 (

9 − m+ 2 ≤

2 9

*Bài tập:

Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + 2(m - 2)x -2m +7= 0

Tìm m để x12 +x22 có giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số)

3 Phương pháp tìm cực trị dựa theo tính chất của giá trị tuyệt đối

3.1 Cơ sơ lí thuyết:

B A B A

B A B A

Đẳng thức xảy ra khi A.B ≥ 0

Ví dụ 16 : Tìm GTNN của biểu thức A = x− 1 + x− 3

Giải: Ta có x− 1 + x− 3= x− 1 + 3 −x ≥ x− 1 + 3 −x = 2Từ đó suy ra A≥ 2 ∀x Vậy Min A = 2 ⇔(x-1 )( 3 – x ) ≥ 0 hay 1 ≤ x ≤ 3

D = a−1−4 a−1+4 − a−1−8 a−1+16

4 1 )

2 1 ( a− − − a− −

1

0

a a

2 2

( 2 )

1 1

x 2

x

2 2

2

4 4

x 2 2

=

− +

≥

− +

=

+

− +

x x

x x

x x

3 2 2 ) 3 (

2

2

Chẳng hạn:

B

1

lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0; C lớn nhất ⇔ C2 lớn nhấtvới C >0

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: C = 2

3 2

3 3

=

3 2

−

2 1

Khi đó A1 = 1 - 2t + 1989 t2 = 1989 (t2 - 2t

1989

1988 )

1989

1 1989

1

2 + +

( Đặt 1 =t(t ≠ 0 )

Hay A1 = 1989 (t

-1989

1988 1989

1988 )

1 2

2

1 4

9 ⇔ y= ⇔ −x= ⇔x=

4.4 Khi giải phương trình ta có thể sử dụng phương pháp tìm GTLN, GTNN

Ví dụ: Giải phương trình: 4 −x+ x− 2 = x2- 6x + 11

Giải: Điều kiện: 2 ≤ x ≤ 4; Đặt A = 4 −x+ x− 2

Do Max A = Min B (với ∀ 2 ≤ x ≤4)

= +

−

=

=

) 1 ( 4 2

) 2 ( 2 2 ) 3 (

2

x x

x

A B

Hệ (1), (2) có nghiệm duy nhất x = 3

x = 3 cũng là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

II- Đối với các biểu thức phân

1 Đối với các biểu thức phân có TXĐ D ⊂ R

thường sử dụng các phương pháp đã nêu ở các biểu thức nguyên như ápdụng bất đẳng thức Cauchy, tính chất lũy thừa bậc chẵn

Ví dụ 1 Tìm GTNN của hàm số; y =

x x

1 1

2 +

Giải: Ta có y =

x x

1 1

2 +

x x x

y = 3+

x

x x

x + −

−

1 1

2

≥ 3 +

x

x x

−

1 1

2

hay x =

3 3

Ví dụ 2 : Cho a>0 , b > 0 Tìm GTNN của biểu thức A =

x

b x a

bx ab ax

x

ab x.

5 ) 2 ( 4 ) 4 4 ( 2

− + + +

= +

+ +

− +

x

x x

x x

2

5 ).

2 Đưa về phương trình bậc hai và sử dụng điều kiện ∆ ≥0

(Phương pháp miền giá trị hàm số)

Sử dụng phương pháp này có thể tìm một lúc được cả GTLN,GTNN của một biểu thức nếu biểu thức có cả hai giá trị này

Giải: Biểu thức A nhận giá trị a khi và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây có

51

)

1)

44)

2 2

−+

=+

−

=

−

=+

+

=

x

x D d x

x x A

a

⇔ (a-1)x2 + (a+1)x + a – 1 = 0 (2)

Trường hợp 1: Nếu a=1 thì (2) có nghiệm x=0

2

+

+ +

x

x x

2

+

+ +

x

x x

Ví dụ3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức D = ( 1 )

1

) 1 (

2 2

2

+

+ +

x

x x

Ta có x2 + 1 > 0 ∀x ∈R ⇒ (1) luôn xảy ra.

1 4

1 2

2

+ +

+ +

=

x x

x x

1

5 3

2 − +

−

=

x x

x C

III Phương pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức Cauchy:

a a

2

Hệ quả: Cho ta hai mệnh đề cho ta giá trị lớn nhất của tích và giá trị nhỏ

nhất của tổng sau đây:

6 ) 3

25 3

( 6 3

25 3

9 3

25

9

+

+ +

−

≥ + + + +

−

= +

+ +

x x

x

x x

Ví dụ 2: Cho x, y là các số thay đổi sao cho 0 ≤ x ≤3 ; 0 ≤ y ≤ 4

Giải: Ta có B = (3-x)(4-y)(2x+3y)

6

1 3 2 4 3 3 2 6

3y) (2x 3y) - 12 ( 2x) -



⇒ B ≤ 6 3

6

1

Ví dụ 3: Cho a, b là hai số dương, các số dương x, y thay đổi sao cho

a

⇒ C = ( + ) + y

b x

a y

bx x ay

Ta có:

) 0 , , , ( ab 2

) 0 , , , ( .

ay b

a y x y

bx x

ay y

x y

bx x

ay

Ví dụ 4: Cho a,b là hai số thỏa mãn 3a +5b =12

Tìm GTNN của biểu thức: D =ab

Giải: Vì a, b là hai số dương ⇒3a, 5b là các số dương Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

5 12

Ví dụ 5: Cho a ,b là hai số dương thỏa mãn ab = 216

Tìm GTNN của biểu thức : F = 6a +4b

Giải: vì a ,b là hai số dương ⇒ 6a ≥0 , 4b ≥ 0

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 6a+ 4b≥ 2 6a 4b ⇔ F ≥ 2 4 6 216

3 Khi tìm cực trị cần lưu ý một số trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy:

Vậy Max E1 = 121 khi x = 5 hoặc x = -2

2 1

1

1+ = ⇔ x =

4 Bài tập áp dụng

Bài 1 Tìm GTLN của biểu thức sau: H = x + 1 x− 2

Bài 2 Tìm GTNN của biểu thức sau: G =

Bài 3: Cho hai số dương thỏa mãn x + y = xy.

Tìm GTNN của biểu thức sau L = x+y

III- Phương pháp tìm cực trị theo bất đẳng thức Bunhiacốpski

2 1 2 2

3

2 2

2 1

2 n 3

3 2 2 1

a b

a b

2 1 1

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: cho x.y thỏa mãn x2+ y2 = 25.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức M

= x + 2y

Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki ta có (x + 2y)2 ≤ (x2 + y2 )( 12 + 12 ) = 50

2 5

y x

2 5

y x

Ví dụ 2 : Cho x , y là hai số thực thỏa mãn x2 + y2 = 1

Từ (1) và (2) ta có: 3(x4 + y4 +z4) ≥ 16 ⇔ x4 + y4 +z4 ≥

3 16

Ví dụ 4 : Cho hai số dương a , b hai số dương x, y thay đổi sao cho

a

≥

2

a x

b

a +

Đẳng thức xảy ra ⇔

( a b) y b( a b)

a x

b a b a

y x b

y a x

+

= +

=

⇒

+

= +

Ví dụ 5 : Cho x,y,z,t ≥0 thỏa mãn

2

1 4

1 4

1 4

1 4

⇔ S2 - S – 2 =0 ⇔ -1 ≤ S ≤ 2

2 1

3 Bài tập áp dụng :

Bài 1: Cho hai số dương thỏa mãn x + 2y =3 Tìm GTNN của R = x2 + 2y2

Bài 2: Tìm GTLN của biểu thức Q = 2x + 4y + 5z cho biết x,y,z là các biến số thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 169

Bài 3: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức

W = x+ 1 + y+ 1biết x,y ≥ 1 và x + y = 2

Bài 4: Cho a, b là hai số thỏa mãn a≥ 3 , a + b ≥ 5.Tìm GTNN của biểu

thức Q = a2 + b2

PHẦN III: KẾT LUẬN

Trên đây là một số phương pháp cơ bản mà trong quá trình giảng dạythực tế hay được sử dụng để giải các bài toán cực trị đại số Với phươngpháp hướng dẫn học sinh từ các bài tập cụ thể khái quát thành dạng tổngquát, từ đó học sinh vận dụng để giải các bài tập

Qua quá trình hướng dẫn một cách cụ thể như vậy, học sinh đã biếtvận dụng một cách linh hoạt các phương pháp giải bài toán vào giải các bàitập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp Đối với học sinh giỏi các em đã biết sửdụng kết hợp các phương pháp để giải được các bài toán cực trị đại số ởdạng khó hơn Qua đó giúp học sinh hứng thú khi gặp loại bài toán này nóiriêng và học môn toán nói chung

Việc tìm hiểu nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi nắm vững hơn

cơ sở lý luận của việc giải toán, năm vững các dạng bài tập thông dụng vớiphương pháp giải phù hợp biết những sai lầm mà học sinh có thể mắcphải điều này rất cần thiết cho bản thân tôi trong quá trình giảng dạy

Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm GTLN, GTNN của mộtbiểu thức đại số kết quả thu được như sau:

- Mặc dù dạng toán tìm GTLN, GTNN là một trong những dạng toántương đối khó, tuy nhiên đa số học sinh đã nắm được các phương pháp tìmGTLN, GTNN

- Khi làm bài tập về tìm GTLN, GTNN học sinh đã có ý thức quansát các biểu thức đại số để vận dụng các trường hợp đặc biệt Đồng thời họcsinh cũng đã biết vận dụng cách tìm GTLN, GTNN một cách linh hoạt đểgiải phương trình

- Ý thức tự giác và hứng thú học tập của các em đối với môn toánngày một nâng cao Đa số các em có nhu cầu mở rộng, đào sâu, nâng caokiến thức

- Số học sinh khá, giỏi ngày càng tăng lên thể hiện qua các năm học

- Từ bài toán tìm GTLN, GTNN, học sinh đã biết tìm tòi, tham khảo

tài liệu để giải các dạng toán khác Đồng thời kỹ năng trình bày lời giải củacác em ngày càng tốt hơn

- Học sinh đã ý thức được việc học của mình và có nhu cầu nâng cao,

mở rộng kiến thức Học sinh khá, giỏi có điều kiện phát huy năng lực vốn

Xin chân thành cảm ơn!