Phương pháp giải toán quỹ tích hình học lớp 11

Thöïc teá ñeå khi giaûi moät baøi toaùn quyõ tích baèng pheùp bieán hình ngöøôi hoïc gaëp raát nhieàu khoù khaên, ngöôøi daïy cuõng gaëp khoâng ít khoù khaên khi höôùng daãn HS giaûi , c[r]

G

I B

O

A C

SAÙNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM HỌC 2007-2008

Đơn vị : Trường THPT Vọng Thê Giáo Viên:PHẠM ANH DŨNG

ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOMETER’S SKETCHAD (GSP) VÀO DẠY HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH

CHƯƠNG I – HÌNH HỌC 11 NÂNG CAO

I-ĐẶT VẤN ĐỀ

Trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp năm 2000, “phép dời hình phép đồng dạng” chương cuối hình học 10, phần lớn giáo viên học sinh xem nhẹ chương , đầu tư sâu vào phép biến hình mà đặc biệt tốn quỹ tích

Trong sách giáo khoa ( cải cách năm 2007) , chương “ phép dời hình phép đồng dạng” lại đặt chương hình học 11 nâng cao, điều nói lên phần tầm quan trọng , đồng thời gợi cho giáo viên học sinh tính nghiêm túc cần thiết cao học chương

Thực tế để giải tốn quỹ tích phép biến hình ngừơi học gặp nhiều khó khăn, người dạy gặp khơng khó khăn hướng dẫn HS giải , khó khơng phải trình độ HS hay tay nghề, trình độ chun mơn giáo viên mà khó việc thể tính đắn toán cách trực quan mà kiểm chứng sở lý thuyết, từ thiếu tính thuyết phục người học, mặc khác HS gặp khó khăn dự đốn quỹ tích điểm M thoả mãn yêu cầu tốn

Một ví dụ cụ thể: bài tập 9- ôn tập chương I, trang 35, sách giáo khoa hình học 11 nâng cao:

“ Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định , dây cung BC thay đổi (O;R)có độ dài khơng đổi BC = m Tìm quỹ tích điểm G cho ⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0 ”

Hoạt động hướng dẫn giải sau: Gọi I trung điểm BC

Câu hỏi 1: Điểm thay đổi, điểm cố định ?

-Đến người dạy gặp khó khăn muốn biểu diễn trực quan tính thay đổi dây BC tính cố định độ dài cung dây BC = m, hình vẽ bảng hình chết, đồng thời người học tiếp thu cách bất tự nhiên biết giả thuyết toán

Câu hỏi : Hãy dự đốn quỹ tích điểm I

-Đây vấn đề quan trọng khó , với hình vẽ bảng kết hợp với giả thuyết từ tìm mối quan hệ yếu tố thay đổi yếu tố cố định , để làm việc HS có cách suy luận tưởng tượng, mà hai việc khó HS

Trả lời 2:Trong Δ ABC vng ta có OI=√OB2−IB2=√R2−(m

2)

2

=R ' (const) Suy quỹ tích I đường trịn (O; R’) Câu hỏi 3: Nếu m = 2R, tìm quỹ tích I

Trả lời 3: m = 2R quỹ tích I điểm O

-Để minh hoạ quỹ tích I m = 2R giáo viên kẻ BC đường kính (O; R) kẻ (O; OI) hình vẽ trở nên nhiều nét khó quan sát

Câu hỏi 4: Tìm mối quan hệ điểm I điểm G suy quỹ tích G Trả lời 4: ⃗GA+⃗GB+⃗GC=⃗0⇔⃗AG=2

3⃗AI

Tức phép vị tự V tâm I tỉ số 32 biến điểm I thành điểm G, quỹ tích G ảnh quỹ tích I qua phép vị tự V

-Khi suy luận chứng minh xong , giáo viên gặp kho ùkhăn vẽ xác quỹ tích G

Tóm lại: Giáo viên mô tả lời yếu tố động khó khăn việc vẽ quỹ tích Chỉ giài tốn quỹ tích theo hướng suy luận lý thuyết dựng quỹ tích, ta khơng cho HS giải theo chiều ngược lại, tức cho HS dự đoán , khám phá hình ảnh trực quan quỹ tích trước tìm lời giải, lời chứng minh sau

Những khó khăn, yếu gặp phải ví dụ phần nhiều trở ngại hướng dẫn HS ứng dụng phép biến hình thực số hoạt động tập quỹ tích chương mà hậu phần lớn giáo viên lơ đãng , bỏ qua mà dạy tốn quỹ tích hướng dẫn qua loa phần đơng học sinh trung bình yếu, hậu đa số HS mơ hồ mang nặng tâm trạng ngán ngại học toán mà cụ thể chương “phép dời hình phép đồng dạng” nói chung , tốn quỹ tích nói riêng -Trước đây, tốn quỹ tích , giáo viên thường giải toán mẫu cho HS làm tập tương tự Giải pháp khơng mang lại hiệu cao, gặp toán dạng khác HS gặp lúng túng việc phân tích đề dự đốn quỹ tích, mặc khác giáo viên nhiều thời gian lớp hướng dẫn đường dạng tốn khơng hay

Nhìn chung , nguyên nhân gây khó khăn lớn trước việc ứng dụng công nghệ thông tin nhà trường hạn chế, tư tưởng người thầy bị ảnh hưởng nặng nề lối dạy truyền thống, trình độ tin học yếu giáo viên lớn tuổi Có tiết dạy mẫu Powerpoint, mang tính chất thuyết trình, khơng sâu khai thác phần mềm chuyên môn GSP, G3W, Cabri II, Cabri 3D…

II-GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 sở lý luận

Theo quan điểm công nghệ thông tin (CNTT) , học q trình thu nhận thơng tin có định hướng, có tái tạo phát triển thông tin; dạy phát thông tin giúp người học thực q trình cách có hiệu

Nếu nội dung học truyền tới người học dạng văn người học hứng thú, có truyền tin theo chiều khơng có hỏi đáp thơng tin thu học phiến diện, khơng đầy đủ bị biến dạng , có dẫn đến hiểu sai nội dung

Nói riêng tinh thần thay sách giáo khoa mới, chương trình tốn thực theo phươnh châm “Sát thực –trực quan- nhẹ nhàng – đổi mới”, việc ứng dụng CNTT trở nên cấp thíêt phù hợp, góp phần giảm nhẹ lý thuyết, tăng tính trực quan,dễ tiếp thu

Giả thuyết

Trong hè năm 2007 , trường THPT tỉnh ta có cử giáo viên học tập huấn ứng dụng CNTT vào dạy học mơn tốn, có phầm mềm dạy học GSP, ngồi giáo viên mơn tốn cịn có dip tiếp cận chứng kiến hiệu phần mềm GSP khố học thay sách Theo tơi nghĩ giáo viên toán tiếp cận nghiêng cứu GSP khỗng tháng sử dụng thành thạo phần mềm dạy học Hiện trường THPT có máy tính , máy projector, nên hồn tồn sử dụng GSP vào dạy học

- Khi dạy tốn quỹ tích theo cách dạy truyền thống ta thực theo đường: Vận dụng lý thuyết  suy luận kết luận quỹ tích  vẽ quỹ tích

-Tại ta không dạy theo hướng ngược lại :

Xem quỹ tích kết luận quỹ tích suy luận kết hợp lý thuyết  kiểm chứng

Khi , q trình giải tốn quỹ tích trình khám phá, mà HS chủ thể, từ người học chiếm lĩnh tri thức cách hiệu qủa

3 Quy trình thực hiện

a) Chuẩn bị thiết bị phục vụ cho tiết dạy - Nắm lịch cúp điện

- Liên hệ phịng thiết bị vào buổi trước mượn máy tính ( máy tính xách tay tốt), máy chiếu projector, ảnh chiếu

- Dặn dò HS tiết trước để HS chuẩn bị sẵn móc treo bảng chiếu, trước tiết dạy khoảng phút HS lên phòng thiết bị mang dụng cụ theo hướng dẫn GV nhằm tránh thời gian lắp ráp thiết bị

b) Chuaån bị nội dung dạy:

A-DI CHUYEN

H ?

chung minh

tinh tien

Q Tích

Bài tốn 1/ trang -SGK hình 11 nâng cao: giải phép tịnh tiến

Trường hợp BC qua O Trường hợp BC không qua O

Hãy rê điểm C đến trùng với B' (BC trường kính (O; R)).Nhận xét quỹ tích màu đỏ của H

Mà A thay đổi ttên (O;R) nên trực tâm H nằm đường tròn cố định ( màu đỏ) ảnh (O; R) qua phép tịnh tiến nói

Tứ giác ABCD hình bình hành

Suy : AH = B'C <=>

Sử dụng phép tịnh tiến để chứng minh quỹ tích H đường trịn màu đỏ

Quan sát vết H,nhận xét tính chất hình dạng vết Quan sát chuyển động điểm H, dự đốn quỹ đao di chuyển

Q Tích

Tinh tien chung minh

H ? H ? H ? A-DI CHUYEN

H

H O

B'

B

A

C

-Hướng 2: Chỉ có hiệu ứng minh hoạ, hổ trợ soạn mơi trường GSP, cịn nội dung lý thuyết thể viết bảng (hướng tốn thời gian soạn hướng 1)

c)Tiến hành tiết dạy

Ghi chuù:

- Aán vào nút để HS quan sát điểm A di chuyển (O; R) -Aán vào nút để câu hỏi ẩn câu hỏi

- GV click chọn điểm H , bấm Ctrl + T để tạo vết cho H -Aán vào nút để xem quỹ tích

"Cho đường trịn (O) hai điểm A,B Một điểm M thay đổi (O), Tìm quỹ tích điểm M' cho MM' +MA =MB "

BÀI /Bài tập 4/ trang -SGK hình 11 nâng cao

Ta có MM' + MA =MB <=>MM' =MB -MA =AB <=>T

A B (M) = M'

Maø M chạy trêm (O) nên quỹ tích M' (O') ảnh (O)

TA B

Nhận xét tính chất quỹ tích M' Quan sát M' ? dự đốn qũy tích M'

Tinh tien Quy tich Vet

chung minh H? H ? Di chuyen M

O

B

A M

M'

Di chuyen M

H ?

Vet

Quy tich

chung minh

Tinh tien

Nhận xét quỹ tích màu đỏ H (O;R)

Quan sát chuyển động điểm H dự đoán quỹ đao di chuyển H Quan sát vết H,nhận xét tính chất hình dạng vết

Sử dụng phép đối xứng trục để chứng minh quỹ tích H đường trịn màu đỏ

Trường hợp BC không qua O

Trường hợp BC qua O

Bài tập 10 /trang 13-SGK hinh 11 nâng cao: giải phép đối xứng trục

chung minh

Q Tích

BC qua O A-DI CHUYEN

H? H ? H ? H ?

H

O

B

A

C Ghi chuù :

-Aán vào nút HS quan sát M chạy đường tròn (O; R) -Aán nút để ẩn câu hỏi

-Aán vào nút để vết M’ sau dự đốn - n nút để quỹ tích M’

BC qua O

Bài tốn 2/ trang 28-SGK hình 11 nâng cao : giải phép vị tự

Tam giác A BC có hai đỉnh B, C cố định cịn đỉnh A chạy đường tròn (O ; R) cố định khơng có điểm chung với BC Tìm quỹ tích trọng tâm G tam giác A BC

Goïi I trung điểm BC, I cố định G trọng tâm ABC<=>IG = 1

3 IA

Vậy có phép vị tự V tâm I tỉ số

3 biến A thành G

Mà A chạy (O; R) nên quỹ tích G (O';R') ảnh (O;R) là phép vị tự V ,với IO' = 1

3IO R' = 1 3 R Dự đoán tâm phép vị tự biến đường tròn màu xanh thành đường tròn đỏ ? chứng minh dự đốn ?

Dự đốn mối quan hệ đường trịn màu xanh đường tròn đỏ ?

Quan sát chuyển động điểm A dự đoán quỹ đao di chuyển trọng tâm G

Chung minh H?

H? Quy tich

An d trung tuyen H?

O' G I

O

C

B A

An d trung tuyen

Ghi chuù:

-Trước yêu cầu HS quan sát vết H , GV chọn H ấn Ctrl+T để tạo vết cho H -Aán nút để HS quan sát trường hợp BC qua tâm O, điểm C di chuyển đến vị trí cho BC qua O

Ghi chú:

- Aán nút muốn ẩn đường trung tuyến -Để xuất O’ ta thực phép vị tự V tâm I tỉ số 1/3:

+ Chọn tâm I, vào menu transform / mark center

BC thay doi

Quan sát quỹ tích I G m = 2R

Bài tập 9- trang 35-SGK 11 nâng cao Giải phép vị tự

Hãy dự đoán qũy tích trung điểm I

Khi I thay đổi , dự đốn quỹ tích G Tìm mối quan hệ I G

GA +GB + GC =0 <=>AG= 3AI Tức phép vị tự V tâm A tỉ số

3 biến điểm I thành điểm G, quỹ tích G ảnh quỹ tích I qua phép vị tự V

Reset m= 2R

Quy tich G

H? Chung minh H?

H?

Quy tich I

H?

BC thay doi

C B

O'

G I

B

A O C

C

m= 2R

Ghi chuù:

- Aán nút để quan sát thay đổi dây BC với độ dài không đổi

-Aán nút để BC trở thành đường kính (O;R), nhằm giúp HS quan sát thay đổi quỹ tích I quỹ tích G

4/ Hiệu Ý nghĩa SKKG

-Nếu tiết dạy tốn quỹ tích chương I dạy có lợi ích thiết thực như: thời vẽ hình, giải thích nhằm mơ tả quỹ tích, độ xác tốn học hình cao HS tiếp thu kiến thức tự nhiên trực quan hứng thú, khắc phục khó trước chưa áp dụng SKKG tính động hình ảnh kiểm chứng cho HS thấy độ xác tốn học

- Khi thực SKKG hầu hết GV tỏ hài lòng , HS tiếp thu nhanh

- Khi GV thành thạo việc sử dụng phần mềm GSP thiết kế cho khác, mơn khác

Tóm lại : Việc giải tốn quỹ tích phần mềm SGP phần phương pháp đổi giáo dục, bước đầu đưa tin học giảng dạy , nghĩa giáo án điện tử

- Tuy nhiên có nhữ hạn chế : địi hỏi người GV đầu tư nhiều thời gian công sức thiết kế phụ thuộc vào trình độ tin học GV trang thiết bị nhà trường Khơng phải HS tự sử dụng máy tính để khám phá giải tốn quỹ tích nhà lớp

-Một lần tơi xin nhắc lại mục đích SKKN vận dụng phần mềm GSP vào dạy toán quỹ tích chương I hình học 11 nâng cao, giúp người đọc thấy hay hiệu phần mềm GSP Các GV tự thiết kế theo ý đồ người, sử dụng thiết kế có sẵn đĩa kèm theo thư mục “tien hanh tiet day” viết

- Nếu người đọc muốn sử dụng SKKN cần làm cơng việc sau:

+ Máy tính phải có phần mềm Geometer’s Sketchpad , bạn tải trang wed giáo dục , tải giải nén copy vào máy sử dụng

+ Đọc SKKN phải kết hợp với nội dung đĩa kèm theo + Phải có kĩ sử dụng phần mềm GSP

- Tuy nhiên , để nâng cao hiệu hơn, tổ toán trường cần phải tổ chức buổi tập huấn, để GV thành thạo phần mềm GSP hướng dẫn cho GV khác Khi thành thạo, GV cần khơng ngừng nghiêng cứu, khám phá phần mềm GSP, phong phú đa dạng Để làm điều , nhà trường cần hổ trợ máy tính cho GV

Óc Eo, ngày 17 tháng năm 20008 Người viết

Phạm Anh Dũng