Tran Ba Ha n Tốn t de Recherche atiques
PHUONG PHAP GIAI
Trang 3Lời nĩi đầu
Nhằm ,giúp học sinh trang bị một số phương pháp giải các bài tập trắc
nghiệm về các vấn đề cơ bản của mơn hình học giải tích, chúng tơi biên
soạn tập sách: "Phương pháp giải tốn” trắc nghiệm Hi inh học giải Tích" Sách được trình bày theo từng vẫn đẻ mỗi van dé bao gồm:
Phần tĩm tắt lí thuyết Các dạng tốn cơ bản
- Bài tập tự luận (cĩ hướng dẫn giải) minh hoạ các dạng tốn cơ bản Bài tập trắc nghiệm (cĩ hướng dẫn giải)
Cuối mỗi chương cịn cĩ phần bai tap trac nghiệm tơng hợp (cĩ đáp án) dé học sinh tự rèn luyện
Nội dung cuồn sách gồm:
Chương I Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Van dé 1: Tọa độ điểm - Phep tinh vecto Van dé 2: Đường thăng
Van dé 3: Đường trịn Vắn-đề 4: Elip - Hyperbol
Van dé 5: Parabol - Các đường Conic Chuong II Phuong pháp tọa độ trong khơng gian
Van dé 1: Vecto - Phép tính vectơ trong khơng gian
Vấn dé 2: Phép tính vectơ theo tọa độ Van dé 3: Phương trình mặt phẳng
Vấn đề 4: Phương trình đường thăng
Vấn đề 5: Các vần đè về đường thằng và mặt phẳng
Van dé 6: Mặt cầu
-_ Các bài tập tự luận được chọn gồm phần kiểm tra kiến thức cơ bản và
bài tập nâng cao Phần trắc nghiệm bao gom các loại trắc nghiệm nhận biết,
thơng hiểu, vận dụng, Phần trắc nghiệm cuối chương (khơng sắp xếp theo thứ tự từng vẫn đề) đề học sinh kiểm tra cách lựa chọn chính xác của mình
Hy vọng rang tập sách nảy giúp ích cho học sinh ơn thi tốt nghiệp THPT và tuyên sinh Đại học - Cao đăng
Rất mong sự gĩp ý của độc giá và đồng nghiệp để lần xuất bản sau được
tốt hơn Chân thành cám ơn
Mọi gĩp ý xin gởi về:
- Trung tâm sách giáo đục Alpha - 225C Nguyễn Tri Phương, P.9 Q.5, TP
HCM ĐT: (08) 8107718 8547464
- Email: alphabookcenter@yahoo.com
Trang 4Chương I:
PHUONG PHAP TOA DO TRONG MAT PHANG
Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIỂM - PHÉP TÍNH VECTƠ
A Tom tắt lí thuyết
1 Hệ trục tọa đơ: Hệ trục tọa độ (O.ï j) bao gồm: © Hai dudng thẳng Ox và Oy vuơng gĩc nhau ˆ
e© ¡ làvectơđơn vị trên trục Ơx, j là vectơ đơn yj trén truc Oy
¢ Ola géc toa độ Ox là trục hoảnh Oy là trục tung
2 Toa dé vecto ~ Toa do dié:
¢ Dinh nghial: Déi vai hé truc toa d6 (O.Ï, j) nếu vectơ ä được viết dang: đ=xi+ yj thì cặp số (x,y) được gọi là toạ độ của vectơ ã kí hiệu ä = (xay) Số thứ nhật x gọi là hồnh độ, sơ thứ hai y gọi là tung
độ
e_ Định nghĩa 2: Trong mặt phăng Oxy, toạ độ của vectơ OM được gọi là toạ độ điểm M
Kíhiểu: M@.y) e OM=xÏ +yj
Trang 5a,b, +.a,b, (a, +a," )(b; +5,") - ~eˆ M chia đoạn AB theo tỉ sé k#-le> MA=kMB X, —kx —k Xy = ar B yy = cos(a.b) 2 Xa FXptXe v( _ YAtYptỳc ¢ Mlatrong tam AABC = x, = 3 +Yu = 5 B Các dạng tốn cơ bản
Dang ]: Xác định tọa độ một điểm thoả tính chất cho trước:
© Goi M(x,y) la diém can tim, dựa vào tính chất đã cho đề thiết lật
các phương trình, giải hệ đê xác đỉnh x, y
Dạng 2: Chứng mình các tính chất bằng phép tính vectơ:
° Ap dụng các tính chất liên quan khoảng cach, tinh song song, tint
vuơng gĩc dé xác định tính chất của các hình cần chứng minh
Dang 3: Tinh chất bất đẳng thức - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp toạ độ: © Áp dụng cơng thức về độ dải đoạn thăng kết hợp với các bat dang thức AB+AC>BC |AB-AC|<BC (đảng thức khi A,B,C thang hang) R-Rl=k~đ=l\+Pl
C Bai tap tự luận
Bai 1: Cho AABC với A(4,2); B(-3,2), C(2,-3)
a) Tim toa độ trực tâm H, trong tâm G va I 1a tam đường trịn ngoại tiết
AABC
b) Chimg minh: H, G, I thing hang
Trang 6xA4A+xB+xC x=———=Ì S 3 Vay Gil.) „_ 4+ yB+yC _1 3 a lá IB Gọi I(x.y) là tâm đường trịn ngoại tiếp taco: lá Ic 1 on a PHẾ, ki" Ae HT l1 -s| 3 3 1 „ vậy 1,2) *H i= SiG b) Tacĩ HN 3) or ro} 615
Hi cing phương với HG <> H,G,1 thang hàng
Bai 2: Cho AABC voi A(0,4), B(-3,0), C(10,4) Goi M,N 1a chân các
phân giác trong, phân giác ngồi gĩc A Xác định M.N
Hướng dân giải:
Theo tính chất đường phân giác ta cĩ: MB_ AB_ v25 _ _l mc AC V10 2 1 1 Xg#+~Xc Ygạ+~VYc ; đc 8 2 AS Xu 1 =37 Yue 1 gr al sk 3) l+~ lee NB_AB_I NG AC 2 1 1 Xe aXe Ys ~;Ýc Rye ge een ayy eae N(-16,~4) 1I-—~ {uc S2 2 2
Bai 3: Cho AABC voi A(5.6).B(-3.2) ,C(2,~3) Tìm điểm M thoả mãn:
12.BC.MA + V10.CA.MB + V5.AB.MC =Õ (*)
Hướng dẫn giải:
Ta cĩ: 4#=(-8-4) = 4B=4V5
Trang 7-TNHHGT-BC =(-5,-5) = -TNHHGT-BC =5/2 AC=(-3-9) = AC=3V10 Goi M(x y);(*) <2 MA +3MB + 2MC =0 pie cae bi ‘ 6-y+3(2-y)+2(-3- y)=0 y=l Vay M(0,1) Bai 4: Cho véi A(0,3V3); B(—3,0);C(3.0) Goi M.N xc định bởi len AM= 7 AB BN = 5 BC, goi lla điểm giao,ctia AN va CM Tính tọa độ điểm 1 Taco AN =AB+BN = SAB SẠC = (-1,-3) CM = CA + BM = CA + AB =(-4.2V3)
Goi I(x,y), I la giao diém cua AN va CM nén:
A, I, N thang hing <> Al=k.AN C, 1, M thang hàng = Ci =k'.CM
Bài 5: Cho tứ giác ABCD cĩ: A(0.1), B(-2.-1) C(-1.~4), D(1.0)
a) Chứng minh các A ABD và A BCD là những tam giác vuơng
b) Tính diện tích ABCD
c) TimM trên Oy dé dién tich AMBD va dién tich ACDB bang nhau
Trang 8-TNHHGT-Nướng dân giai
a) Tả cĩ: 4 =(-2,~2); 4/)=(1.—1)—> 48.12=0© AB.L 4Ð BD=(,1); BC =(I.-3) = BƯ.BẺ=0© BD L 4D
Vậy AABD vuơng tại A và AIBCL) v uơng tại B
b)di(ABCD) =dt(AABD) + dự ABDC)= S(ALAD + BD.BC) (22.2 +V10.Vi0) =7 nil c) Goi M(0.y)e Oy, áp dụng : dt A MBD) = 1 /MB* MD? ~(MB.MD)° 1 Sa và đi(ACBD)= Đ —VCB`.CD' ~(CB.CD)” Rc : , & wh ll giải phương trình ta cĩ y = 3 va y= - — 3 Vậy cĩ 2 điểm Me Oy là M,(03) và M0.)
lài 6: Cho A(sina,cosa); B(] + sina + cosa.sina + cosa): C(2sina.1)
Chứng minh: Va eR A B, C thăng hàng, tướng dân giải:
Tacĩ: AB=(I+cosa,sina): 24C = (sina.l— cosa)
a,b, ~a,b, = (1+cosa)(1—cosa) —sin?a =1—cos*a-sin’'a=0 VaeR do đĩ AB cùng phương với AC © A,B.C thẳng hàng Va eR
Trang 9Hướng dẫn giải:
xé a=(x,2); b=G,4); c=.) x y z Ap dung: fal + [6] +[e|> [a +b+¢, ta cĩ
feet pete eke rẽ () x y 2 yz Mặt khác: &+y34270+0 4114 Tỷ =gl@w3ý ý 2b+ Lá Ð~80(x+y+z) x ý: Min Ye >I8x+y+Z)CL+ 1+ goin sy +)? > 162— 80 = 82 (2) Koy hz : từ (1) va (2) = đpcm Bài 9: Chứng minh: ee, \Jx°+xy+y? +dx?+xz+z! >jy? Hướng dẫn giải: 6: yx? +xy ty? = obey Vx? 4+xz+z" (x+ ay +3 3 y3 z x3 xét a= One y),b=(-(x +3) 5 z) zB taco a+b= C-§.Š 0+2) từ R|+|Bl>là+ 4 => dpem
Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Trang 10y 2 MP 4MQ’> PQ =Ÿ20-q) =⁄/2(q~p)
Đăng thức xảy ra khi M trùng gốc O 88 đĩ miny = ⁄2(- Pp)
Ay 1 St
D Bai tap tw Kuyện
Bài II: Chớ A(+4.1): B(1.4)7 Tìm € để OACB là hình vuơng nhận AB làm một đường chéo
Bài 12: Cho A(-1,3); B(0,5): C(4.2); D(-2.1) Chimg minh ABCD là tứ giác
trực tâm (tứ giác cĩ một đinh là trực tâm của tam giác nơi 3 đỉnh cịn lại)
Bài 13: Cho M= vuơng can tai A Tim toạ độ ba đỉnh của tam giác biết
trọng tâm G2 3 0) va trung diém M của BC là M(1,-1)
Bài 14: Cho AABC cĩ A(-4.-5): B(1,-5): C(4.-1) Tìm toạ độ tâm đường trịn nội tiếp [ của A ABC
Bai 15: Cho A(1.0): B(0.2): C(1.2) Xét điệm D(m,2-2m)
a) Chimg minh: A.B.D thang hang Vm Đ b) Tìm M dé AOCM cĩ diện tích bằng 2 Bai 16: cho AABC cĩ A(5.4): B(-1.1); C(3,-2) M là điểm di động thoả mãn aMA +BMB = 0 (a? +? #0) TìmM để MA + MB| nhỏ nhất Bai 17: Chimg minh: Vx y # ta cĩ
\4c0s? xcos? y+sin’(x- y) + /4sin® xsin? y-+sin*(x- y) > 2 Bai 18: Chimg minh: va? +a+l+vla'~-a+l>2 VaeR
Bài 19: Chứng minh:
yx? +4xy? +6x +94, fe +4y'+1-2x-12y4+1025 Vx,yeR
Trang 11Bài 13: Đề ý: AG =3GM = A(0.2) AABC vuơng cân tại A <> ae gee |MA =MB= MC x-3y-4=0 T0a độ B.C l nghiện ela - (x=]) *+(y+l) =10 J2 ‘ Đáp số: B(4,0), C(-2,2) Bài 14: Tọa độ chân đường phân giác trong của B là pa-2), | chia BD theo k= _ =1(1.0) AD
Bai 15: a) Chimg minh: a,b, —a,b, =0 Vme R
b) Dé ýD là trung điểm chứng minh = M(2m-I.2-4m) ED =(l-m.2- 2m): FD= (m.2m)= ED//FD > dpem ` c) Dap sé: m= 0 va m= 1 Bai 16: Đáp số m = (3.0) Bài 17: Xét a= 2cosxcos y, sin(x~ y), ð = (2sỉn xsỉn y.sin(x— y)) fal +) 2h +b => dpem Bài 18: Xét A(a+l,-X3y pat 3) Dra Zio OA +OB2 AB => đpcm
Bài 19: Xét a=(x+3,2y) b=(I~x,3=2y) Bai 20; Chon M(x.0) A(p.|p|) B(q.~lq|)
MA + MB >AB = Jjx”~2px+2p” +4jx?~2qx+2q” > y2(p +q”) Đăng thức xây ra khi: M= ABf1OX
E Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1:,Cho A(-4.1), B(1.4), O là gốc tọa độ Để tứ giác OAMB là hình vuơng thì đình M là:
“A 3,5) B (-3.5) 6:63) D.(-5.3)
Câu 2: Cho tam giác ABC cĩ A(0,4), B(-3.0), C(10.4) Gọi M là chân đường
phân giác trong của gĩc A Tọa độ của M là:
Trang 12-TNHHGT-44 44 „(4 4 3.3 ‘A l3) == eS Er) (3-3] Cau 3: Cho 4 diém AQ, 1), BQ -1)-C(-2.-3), DC-2, -1) Xét cate ménh dé sau day: (1) ABCD 1a hinh thoi (1) ABCD là hình bình hành (Ill) AC cất BD tại I(0 -1) Hãy chọn câu đúng: >
A Chi cau (ID) đúng B Chi cau (IID ding
C Cau (II) va (I) ding D Câu (1) va (ID đúng ˆ
Câu 4: Cho tam giác ABC cĩ B(-3.1), C(1,5) và trọng tâm G di động trên
trục Ox Tập hợp các định A là:
A Đường thing cĩ phương trinh y = ~ 6 B Đường thăng cĩ phương trình x = - 6
C Đường thăng cĩ phương trình y = ~6 loại trừ điểm (~10,~6)
D Đường thẳng cĩ phương trình x = =6 loại trừ điểm (6,3)
Câu 5: Trong mặt phẳng cho A(5.4) B(3.~2) M là điểm di động trên Ox Giá
trị nhỏ nhất của [MA + MB là:
t2
A.2 B2 GS D.4~
Câu 6: Cho tam gide ABC c6 A(-1.1), B(3,3), C(1-1); tọa độ chân đường
cao H vẽ từ A của tam giác ABC là:
LẦN) 7 tp? I ll
A H]| =.= B HS =2] ` HỆ, B D.H== }
& 3} 5 5) 55 5 5
Câu 7: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC cĩ A(-l =D, B(3,1), C(6,0) So
đo của gĩc B của tam giác ABC là:
A 45° B 135" C 60°" D 120°
Câu 8: Trong mặt phẳng cho A(-1.1) B3.3), C(.-1) D(-3,-3) Tu gide
ABCD là hình gì?
A Hình vuơng B Hình chữ nhật € Hình thoi ‘ D Hinh thang
Cau 9: Trong mat phing cho A(1,2), B(3,1), C(2,-1) Dé |AB+mAd| đạt
giá trị nhỏ nhất thì giá trị của m là: `:
A.m== B.m==2 C.m=2 D m=-2
Trang 13Câu 10: Cho tam gidc ABC c6 A(4,3), B(-5,6), C(-4,~1) Toa độ trực tâm E
của tam giác là: d ‘
A H(3,-2) B H(2,3) C.H-32) D.H(-23)
Câu 11; Cho M(I.2), N(3.1) Hình vuơng MNPQ (theo thứ tự) cĩ tọa độ
đỉnh P là: |
A P(5,1) B P(2,3) C P(8,0) D P(6, 1)
Câu 12: Cho tam giae ABC c6 A(4,3), B(0.-5) C(-6.-2) Tâm I của đường
trịn ngoại tiếp tam giác ABC cĩ tọa độ là: 1 1 1 A (-45) B (3-1) Cc (1-4) D.K(-1,-1) Cau 13: Cho A(-1,1), B(1,3), C(-2,0) Diém A chia doan BC theo tỉ số nào? 1 1 i2 B.~ C.-~2 Da 2 2 Câu 14: Cho A(I.1) B(3.3) C(2,0) Tam giác ABC cĩ diện tích là: A.I B.2 C3 D.4
Câu 15: Trong mặt phẳng (Oxy) cho hai vectơ: Us ; Te Sĩ và
V =kĩ =4] (ï, j là các vectơ đơn vị trên trục) Để |u| = |¥| thì giá trị của k là: : nee = ĐC a ` ` Câu 16; Cho M(-1, -2), N(3.2) P(4, -1) và E(m.0) Đề [EM +EN+EP| nh nhất thì giá trị của m là: 1 1 A.m== Se C.m=2 D.m=6 Câu 17: Toạ độ điểm N đối xứng của điểm M@G,5) qua đường thẳng y - x = ! cĩ toạ độ là: A.(3.5) B (5, -3) C -5) D.(53)
Câu 18: Cho M và N chia đoạn thẳng AB thành 3 phần bằng nhau với A(1, -3), B(4,3) thi toa độ của M,N là:
A M(2, -1) va N(3,1) B M3, -1) và N(-2,1) C-M(, ~1) và N(-1.2) D M(1.3) và N(1,2)
Trang 14Câu 19: Cho a= (5.3) b = (4,2) ¿ = (2.0) Hãy chọn đăng thức đúng sau:
A c=2a+3b B c=3b+a
C.c=-2a+3b D ¢=-2a-3b
Câu 20: Cho A(-2, -1), B(3.4), Goi F(m,0) Dé FA? +FB? dat gia tri nho
nhat thi gia trị của m là A.m=-5 B.m=l C.m=2 D m= F Hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm OA =OB=VI7 Cau I: CS = =s tam giác OAB vuơng cân tại O OA.OB=0 1 2 Do đĩ để OAMB là hình vuơng thì chỉ cần OAMB là hình bình hành nghĩa là OA = BM ¢> M(-3.5) Chọn câu B Câu 2: M là chân phân giác trong của A ot ==——=-2 Nghĩa là ae M - MB AB chia đoạn BC theo tỉ sơ k= -2 Xc-kXxạ 4 Vc-kyg 4 „ Lẻ
XS loi hái điển a eee
Câu 3: Tacé AB =(0,-2), DC =(0,-2) > ABCD 1a hinh binh hanh
AC c&t BD tai trung điểm AC = (0, ~1) Chọn câu C
Câu 4: Gọi (m.0) e Ox dùng cơng thức trọng tâm suy ra: x, =3m+2, y, =-6
Giao diém cla duéng y = - 6 voi BC la (-10, -6) Vậy tập hợp các diém A là đường thăng y = - 6 loại trừ điêm (—10, =6) Chon edu C
Câu 5: Gọi †là trung điểm AB thì L (4.1)
|MA+MB| =|bMÏ| =2MI
M(m.0) e Ox, MI = V(m-4)° +1
MI nhỏ nhất <> MIL Ox 3 M(4,0) Chon câu A Câu 6: Gọi H(x,y) H là chân đường cao xuất phát từ A
tt 1BC L 2x—4y+2=0
cac nh =
BH cùng phương với BC —=4x+2y+6=0
Trang 15Giải hệ ta được H( =3) „ Chọn cấu B Cau 7: cosB = Lên => B=135° Chon cau 8
AD = BC =(-2.-4) © ABCD là hình thoi Chọn cau C
AB=BC = 20 `
Câu 8: Đề ý: |
Câu 9: AB+ mAC =(m+2,-3m~1) = |AB= mAC| = 10m? 4+10m+5
Giá trị nhỏ nhất của |AB+ mac| là khi m= 5 „ Chọn câu B
Câu 10: Gọi H(x.y), ta cĩ: AH.BC =0<+x~7y =—17 DU nHetkc đem eined9fY Chị cđiĨ BH.AC=0<2x+y=-4 Câu 11: Đề ý: AB= (2,3)= AD= (4.2) = D(4.4) Đ€= AB © C(6.1) Câu 12: Đề ý: BA =(4.8), BỞ =(-6,3) = BA.BC=0 AABC vuơng tại B nên tâm I là trung điểm AC <> (- 1 ‘ Chọn câu A Câu 13: Đề ý: AB=(2,2), AC =(-1,-1);ta cĩ AB=-2AC @œ k= -: Chọn câu C
Câu 14: AB=(22), AC =(1.—1) = AB.AC=0 © AB.L AC
dt AABC = 5 AB.AC = s82 = 2 (avdt) Chon cau B
ˆ Câu 18: Đề ý: ù “[š¬) và ¥=(k,-4)
bl=l|= 1+25<k +l6œk at, Chọn câu C
Câu 16: Gọi G là trọng tâm AMNP thì d(z-3)
Trang 16[EM +EN + EP| =3EG| = 366
E ở trên Ox, EG nhỏ nhất khi x, = x, =m=2 Chọn câu C`
Câu 17: ĐiểmM(x,.y,)cĩ điêm, đối xứng qua đường y = x là điểm
N(y,.x„) do đĩ N ‹Ä) là điểm đơi xứng của M(3,5) qua đường y = x
Chọn câu D
Câu l8: Đề ý giả thiết tương đương với M là trung điểm 'của AN và N là trung điểm của BM Kiênrtra bảng cơng thức trung điệm chọn
M(2 =1), N(3,1) Chon cau A
Câu 19: Kiểm tra phép tỉnh vectơ: 2a = (10.6), 3b =(12,6)
Trang 17Van dé 2: DUONG THANG TRONG MAT PHANG A Tom tat li thuyét
I._ Các dạng phương trình đường thăng:
a) Phương trình tham số: Đường thắng A qua M(x,.y„ ) cĩ a=(ai,a,) lal 1 Ệ 3 xi [XS Xy Fa, vectơ chỉ phương thì phương trình tham số là: (1) f=yạ+ a, b) Phương trình chính tắc: Nếu a,.a, #0 thì từ (1) ta cĩ: 2
gọi là phương trình chính tắc của A
€) Phương trình tơng quát; Mọi đường thăng đều cĩ phương trình dạng:
Ax + By + C = 0, trong do n = (A,B) là 1 veetơ pháp tuyến và
a=(-B.A)là 1 veetơ chỉ phương
d) Phương trình đường thăng qua 2 điểm A(xu.y2).B(Xa.yp):
Tee oe Ya
Xe—XA Yn—YA
e) Phương trình đường thẳng theo hệ số gĩc:
Đường A qua M(x,.y„) cĩ hệ số gĩc k cĩ phương trình:
(đường AB khơng song song với các trục Ox.Oy),
Y¥-Yo=K(x—x,)
véi k="2 (a= (a,.a,) la vectơ chỉ phương)
a,
(A khơng song song với Oy)
IL Các vấn đề liên quan tiến đường thăng: a) Khoảng cách từ I điểm đến đường thang:
Trang 18-TNHHGT-Phương trình phân giác của gĩc tạo bởi 2 đường thẳng: Á,:Ájx+B,y+C, và A,:A;x+B;y+C;
là Aix+ By +€, TU bài B,y +C; yA; +B, VAS +B,’ b) Vị trí tương đối của hai đường thang:
Cho A,:A¡x+B,y+€, =0 và A;:/ ;x+B;y+C; =0 5 A, , Bi Aycat Ay = — #- : A, B A,_ B,_¢ A, /l A, <> —b=—#— (A,.B,,C, #0) ' : A, B, C; et adi A, =A, eo ee 7A, BC we Sel
c) Géc cua 2 duéng thang: *
Ai: Ax+B,y+C, =0 va A,: A,x+B,y+C, =0
gĩc nhọn tạo bởi A,.A; xác định bởi: AA, +B,B,| cos = = (A, +B, )(A,’ +B,°) Goi k,k’ là hệ số gĩc của A,và A, kik’ AMA, kk'=14 A, LA, B Các dạng tốn cơ bản
I Bài tập về phượng trình đường thăng
Bài 21: Viết phương trình các cạnh của- A ABC biết B(-4,-5) và 2 đường cà cĩ phương trình: 5x + 3y -4 = 0 và 3x + 8y + 13 =0 Tọa độ B khơng thoả các phương trình đường cao nên các đường cao đĩ là: AA’: 5x + 3y -4 =0 và CC”: 3x + 8y +13 =0 +) Phương trình đường thăng qua AB vuơng gĩc với CC) cĩ đạng: 8x-3y+C=0
Vị đường AB qua B nên: -32 + ]5 + C=0 2 C=17
Vậy phương trình đường thăng qua AB là: 8x -3y + 17 =0
Trang 19+) Phương trình đường thẳng qua BC vuơng gĩc với AA' cĩ dạng : 3x -5y + =0, qua B nên : C = -13 Do đĩ phương trình BC là: 3x -5y -13 = 0 +) Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình l =ACI13) 3x+8y+13=0 : = +) Tọa độ C là nghiệm của _ =(C(1.-2) x+3y-4=0 8x-3y+l17=0
Do đĩ phương trình cạnh AC là: Rt LYS 5x +2y-1=0
Bài 22: Viết trình các cạnh cúa tam giác ABC khi biết A(1.5) và hai
trung cĩ phương trình: 9x -4y -l 1 = 0 và 3x -5y = 0
‘ Toa độ A khơng nghiệm đúng các phương trình trung tuyến nên các trung tuyên đĩ phải là BM: 9x —4y -11 = 0 và CN; 3x -5y = 0
Trang 20-TNHHGT-+) Phương trình cạnh BC = 1) Ti Bài 23: Hình bình hành ABCD cĩ A(-2.3) và hai cạnh lần lượt cĩ phương trình: 2x + 3y -3 =O vax -4y-7=0 Hãy viết phương trình hai cạnh cịn lại, tính tọa độ giao diem I cia 2 đường chẻo
Hướng dân giải:
Tọa độ điểm A khơng thoả phương trình các cạnh trên nên phương trình của BC là: 2x + 3y -2 = 0 và phương trình của DC là: x - 4y -7 =0
+) Đường AD qua A và song song với BC nên phương trình cĩ dạng: 2x + 3y +C =0, qua A nên : -4 + y+C=0>C€=-5 Ề
Vậy phương trình cạnh AD là: 2x + 3y -5 =0
+) Đường AB qua A và song song với DC nên phương trình cĩ dạng:
x~4y+C=(0, qua A nên: -2 -12+ C=0 C=14 Vậy phương trình cạnh AB là: x - 4y + 14=0
y-11=0
2x+3y-2=0
+) Tọa 0a độ độ € là nghiệm cua 4 ~ ghiệ TS
= CC =ịa)đo đĩ tọa độ trung điểm I của AC là Lễ =
Bài 24: Trong mat phing, cho AABC cĩ trong tâm G(- oe -1) va eae canh AB, AC lân lượt cĩ phương trình:
AB: 4x+y + 15 =0, AC: 2x + 5y +3 =0
a) Tìm tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC
b) Tìm tọa độ đỉnh B và viết phương trình đường BC."
Hướng dân giải:
2 a 4x+y+l5=0
a) Tọa độ A là nghiệm của hệ 36% 5y xÃs0
Giải hệ ta được: A(-4 1)
G là trọng tâm AABC = CỔ ~-2
Trang 21Vay M(-1, -2) ` _ Xã †Xc M =-2 b)M là trung điểm BC > ¬ In ng Yp+yc =-4 (2) _ Mặt khác ta cĩ: Be AB = 4x, +y,+15=0 (3) CeAC = 2xc+§5y,+3=0 (4) Giải hệ (1).(2).(3).(4) ta được B(-3.-3) C(1,—1) Do đĩ phương trình BC là: 1+3 So va -l+3 © x†+2y+3=0
Bài 25: Trong mặt phẳng viết phương trình đường thing A qua M(1,2) và
chắn trên nửa trục đương Ox, Ưy tai A và B sao cho: OA + OB nhỏ nhất Hướng dẫn giải: Phương trình A: cĩ dạng: = a =1 (a,b>0) a <> bx + ay =ab
Me A & b+2a= ab cb= Ễ >0 a3] a-
Trang 22-TNHHGT-Hướng dân giải: (Ð) cĩ hệ số gĩc k sa [t9 Gọi A là đương thăng qua A hợp với D gĩc v và k` là hệ số gĩc của A ta CƠ: » tan(A,D)= —— = +1 PHÉP) = 1k k-k' K*Ế _]7kP=-5 1+kk! Phương trình của A là: y -] = -Š5(x 2)© Šx+ y—11=0 k+k 8, gyre L 1+kk' 2 +) Phương trình của A là: y -1 = 1(~2)e©x-5y+3=0 5 Vậy cĩ 2 đường thăng A qua A hợp với (D) gĩc e lần lượt cĩ phương trình là : 5x+y-l1=0hay x-5y +3= 0 Bai 27: Cho hai đường thang:
A: 2x-y+5=0va A’: 3x+6y-1=0
Hãy viết phương trình đường thẳng (d) qua P(2,-1) va cat A.A’ tao thành tam giác cân cĩ định là giao điêm của A va A’
Hướng dân giải: 1
Để thoả mãn điều kiện của bài tốn thì (đ) phải là đường thẳng qua P và (đ) vuơng gĩc với các phân giác của gĩc tạo bởi A và A’
Trang 23Bài 28: Hãy viết phương trình của đường thing 4 di qua giao điểm của
đường thẳng: x - y + 4 = 0 (D`) và 2x - y + 6 = 0(D)), biết rằng cắt Ox,
Oy tai A và B mà diện tích tam giác OAB = I Hướng dẫn giải: Phương trình đường thăng A cĩ dạng: x= y+4+2(2x~ y+6) =0 © (22+l)x-(2+l)y+6^+4=0 6ì +4 9) 2h4+1 Giao điểm của A với Oy là B(0, on Giao điểm của A với Ox là A( Tac Sige = 50M OB= sha yal =;L§ vn 2A+1 ere va A= 5 4}/62.+ 4) _ [2A+I|— : 2x+y+2=0 =
Vậy cĩ 2 đường thang 4 lac) , 4,9
Bai 29: Cho hinh vuơng ABCD cĩ đỉnh A(Š -4) và phương trình của một
đường chéo là: x - 7y - 7 = 0 Viết phương trình các cạnh và đường chéo
cịn lại
Hướng dẫn giải: _, :
Vi tọa độ A khơng thoả phương trình: x - 7y - 8 = 0 nén phuong trinh nay
là phương trình đường chéo BD các cạnh AB và AD hợp với đường
shee BD một gĩc 45°, goi m là hệ số gĩc của đường thẳng AB, AD ta
Do đĩ phương trình các cạnh AB, AD là:
*)0y+4=S@~8) © 4x-3y-32=0 `
Trang 24-TNHHGT-90y+4#= =8) = 3x+4y+1=0 Phương trình đường chéo AC là : y + 4= -7{x -5) âđ 7xty-31=0 Ta tõm I của hình vuơng là nghiệm của hệ phương trình : x-7y-8=0 9 -|
7xey-31=b =5-3) đo đĩ tọa độ của C là : C(4,3)
Hai cạnh cịn lại qua C lần lượt song song với AB và AD nên phương trình là: : * 4x -3y+C=0,quaC > 16-9+C=0 =>C=-7 và 3x + 4y + C' =0, qua C! © 12+ 12+C'=0 ©C'=-24 Vậy phương trình hai cạnh này là: 4x -3y -7 = 0; 3x + 4y-24=0
lài 30 : Cho AABC cĩ A(2, -3), B(3, -2) va dién tích A ABC = > rong tâm G của tam giác ABC ở trên đường (A): 3x - y~ 8=0 Viết phương
trình đường cao CH và trung tuyên CD của tam giác lướng dẫn giải: (xạ.yp)=CA =(~xụ.~3~Yg) CB=(—x¿,~2—ÿs) Sige = 2CACBkửu(CA, CB) 1 3 =2h0-x 1K ays y aS ; ar ea o-xt+y,+5=43 & Xạ—Yạ =8 Gọi G là trọng tâm A ABC, ta cĩ;
x a XatXptXe _X +5, s -YatYat yew Ciera
: a Se, See 3
vì Ge(A)=> 3⁄26+X/)= 35+ y,)~8=0
©3x,-y,=4
Trang 25X,-Y, =2 tùy [Xo -y 3x,-y, =4 |3x,-Yo = Giải hệ ta duge: C,(1,-1) va C,(-2,-10) Dudng AB c6 hé so goe k = 1 +) Néu C,(1,-1) thì đường cao CH cĩ phương trình là: x + y = 0 va trur tuyên CD cĩ phương trình là: x + y =0
+) Nếu C;(-2,—10) thì đường cao CH cĩ phương trình là: x + y + 12)=
và trung tuyến CD cĩ phương trình là: 5x - 3y - 20 =0
Vậy tọa độ C là nghiệm của: |
2 Bài tập về các vấn đề liên quan với đường thắng
_ Bai 31: Trong mat phẳng tọa độ xOy cho hai diem A(m,0), B(1,1)
a) Viết phương trình đường thăng vuơng gĩc với AB tại A khi m th: đổi, các đường thăng tạo thành họ đường thẳng( d,„) Chứng minh khơ:
cĩ 3 đường nao ctia (d,,) đồng qui
b) Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao chĩ cĩ đúng 1 đường cr (d,,) di qua ‘ 2 3 c) Ching tỏ điểm C( a ste z TP) thang hang voi AB và khối cách từ C đến OB bằng khoảng cách từ C đến Ox đ)Tìm tọa độ điểm D sao cho (ABCD) = -1 Hướng dẫn giải:
a) Ta cĩ phương trình đường thang AB 1a:
ch SAGs aii oma : m-I -l (đ„).L AB tại A nên phương trình (d © (\l-m)x+y-m(] - m) = 0 Gọi M(ơ.) là điểm mà (d„) đi qua, ta cĩ (l~m)ơ +j'- m(l~m) =0 ) là(1 =m) (x =m) + l(y -0) = 0 m © m°-(œ+l)m+j=0 (*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số đường thắng của (d,„) đi qua M
(*) là phương trình bậc 2 nên khơng thể cĩ 3 nghiệm đo đĩ khơng cĩ
đường nảo của (d„) đơng qui
b) Để chỉ cĩ I đường của (d,„) đi qua thì phương trình (*) chỉ cĩ 1 nghiệ
© A=0
Trang 26> (a+1) —4B=0
1 2
©B=-(ơ+l) B=;
Viy cic diém!M ở trên parabol y.= ;0x+) là điểm chỉ cĩ 1 đường
thắng của họ (d,„) đi qua
€) Thay đổi tọa độ của C vào phương trình AB ta cĩ: (2 +1)m , (m-1).—" —~-m=0
m+ 2 m+ 2
(V2 +1)m+m? —m-—m —V/2m=0 = 0.m=0 ding YVmeR
Vay C 6 trên đường thăng qua AB
Phương trình của đường OB là x -y = 0 khoảng cách từ C đến Ol3 là: d = desi m+x2 khoảng cách từ C đến Ox là đ'= |y,|=
Vậy C cach déu Ox va OB
d) (ABCD) = =1 € 2(x,%4 #XeXp) =(X, + XgM(Xe + Xp)
Spee) m(1- V2) m %
“m-V2 =2
Bài 32: Trong mặt phẳng, cho tập hợp X xác định bởi:
Kes |M@&.y)|mx' ~2y” +(2m~l)xy= mÊx + my =0 } a) Chứng minh rằng X gồm 2 đường thăng
Trang 27b) Tọa độ giao điểm I của 2 đường thẳng trên là nghiệm của: -y= 2 mx-y=0 + j mm x+2y=m , 2m+l 2m+l khử m giữa x và ÿ ta cĩ: y= „ Vậy quỹ tích của I là đường cong: y= ae
Bai 33: Cho dutmg thing: -5x + 2y - 1 =0(A)
a) Tinh khoảng cách từ A(-3, 1) dén (A) Viet phuong trinh đường thẳng( A ') song song với (A) va cach ( A) mét khoang bang 5 b) Tính khoảng cách giữa (A ) và đường thẳng (đ) cĩ phương trình:
10x-4y+1=0 Hướng dẫn giải:
8) Tá cĩ đ(4,A)<= CơC?)+2~]| _ 1629 29 29
A1⁄A nên phương trình cĩ dạng: -5x + 2y + k = 0 Khoảng cách giữa A va A là khoảng cách giữa điểm tuỳ ý trên A đến A' Chọn B(13)eA đo đĩ —5+6+k| |k+I| d(A,A') =d(B, A’ -Ì = TM TC 29 42 : đ(A,A)=§ @ |k+l|=5⁄29 Ái 36? =5y29-1 k, =-5V29 -1 =5x +2y +5V29-1=0 -5x+2y-5/29 -1=0 b) Dé y: d: 10x -4y +1 =0//A |I0-12+1|_ /29 vI16 va - Bài 34: Cho họ đường thẳng: (m ~ 3)x + (m + 5) y = 1 (d„) a) Tìm m để (d,) cách gốc O một khoảng lớn nhất b) Tìm các điểm trong mặt phẳng toạ độ sao cho khơng cĩ đường nào của (d„) đi qua
e) Chứng minh mọi đường thẳng của họ:
đo đĩ cĩ 2 đường vai
nên đ(đ,A)= đ(B.d)=
Trang 28-TNHHGT-(m—3)x+(m+5)y =y4m°+8m+68 luơn luơn tiếp xúc một đường trỏn cơ định Hưởng dân giải a) Ta co: d(0,d,,)= 2m + 4m + 34
diy €e (2m) +4m +34), c» m=—I
b) Goi M(x,,y„) là điểm trong mặt phăng mà mọi đồ thị (d„) đều khơng đi qua thì: m(X) +¥,)—3x, +5y, T—l=0 vơ nghiệm Vme R ho) [Xo =X 3 = 1 3x, —Sy, +140 = | § =>
Do đĩ các diém cần tìm ở trên đường y = -x loại trừ các điểm (-š3)
c) Xét họ đường thăng: (A,,)
3
(m ~3)x +(m +Š5)y - V4‡mˆ +8m +68 =0 VmeR
4m” +§m +68 =3 ‘
V2m? +4m+34 `
Do đĩ: A„ luơn luơn tiếp xúc đường trịn tâm O ban kinh R= a 3ai 35: Cho hai duong thang (D,): kx -y +k =0 va
(D,):(1-k?)x + 2ky -(1+k*) =0
a) Chimg minh khi k thay doi (D,) luén lu6n qua một điểm cố định
b) Tìm giao điểm của (D,) và (D,) suy ra quỹ tích giao điểm này khi k thay đổi
1ướng dán giải:
a) Ta cĩ phương trình (D,) cĩ thể viết: k(x + 1) - y = 0 Tọa độ điểm cĩ định mà (D,) luơn di qua là nghiệm của J ky Ÿ =>x=-l,y=0
Vậy (D,) luơn qua điểm A(-1,0) khi k thay đổi ta cĩ: d(0,A„)=
Trang 29b) Tọa độ giao điểm của (D,) và (D,) là nghiệm của hệ phương trình kx -y =-k 1-k? 2k „ giải hệ ta được x = ——~ y= n =k) )+2ky =l+kˆ 1+k? © 1+kˆ va ay giao diém cua ( did a (D,) va (D,) 1a M ee lake ee a Pee ee (2k) để ý x'+yˆ= : E] + ‘| =1 1+k“ I+kf
Do đĩ quỹ tích của M là đường trịn tâm O bán kính R = 1 Bài 36: Cho họ đường thăng cĩ phương trình:
(x~])cosơ +(y —])sin œ - 4 = 0
a) Tìm các điểm trong mặt phảng mà mọi đường thing của họ đều khơn
đi qua
b) Chứng minh mọi đường thăng của họ luơn tiếp xúc 1 đường trịn c
định
Hướng dẫn giải:
a) Gọi M(x,.y„) là điểm mã mọi đồ thị của họ đường thẳng trên đều khơn
đi qua, ta phải cĩ:
2 (X) -IP Hy “1 <4?
Vậy tập hợp các điểm M mà mọi đường thăng của họ đều khơng đi qua trong đường trờn tâm I(1,1) bán kính R = 4
b) Khoảng cách từ I đến họ đường thang: |(I~1)cosz +(1—1)sin z -4|
= = =4 VaeR
veosa? +sina”
Các đường thăng của họ trên đi động luơn luơn cách I một đoạn bằng
nên chúng luơn luơn tiếp xúc với đường trịn tâm I bán kính R = 4
Bài 37: Trong mặt phẳng cho A(a.0) B(0,b) (a.b>0) Đường trung trực củ đoạn AB cắt các đường phân giác y = #x tại H và K
a) Chứng minh AHBK là hinh vuơng
b) Cho biết a + b = c khơng đơi Chứng mirth H cơ định và tìm quỹ tíc
các điểm K
d=
Trang 30-TNHHGT-Hướng din giải i = a Oe : ¬ , 5 b Gọi I(—.—) là trung diém AB hệ số gĩc của duéng AB 1a k =-— do 2 2 a ~ i * ^ ' a $ đỏ hệ sơ gĩc của trung trực đoạn AB là k'= KẾ Phương trình trung trực của AB là: b_a( aÌ a b` =a` Y===-|X=š |3 y=_—x+ — 2 ON, ey b 2b Tọa độ của H và K là: HC, att): KÍ a=b b-a) ) — (b-¿ + — = — = Ai=| S37"): k§-(*=3 at) AHi=KB a) —=—- b-a = 4 AKAH =-| 2° | *).(Pray(Pea)g => AK 1 AH (2) mật khác AB 1 HK (3) Do đĩ từ (1).(2)(3) ta cĩ AHBE là hình vuơng b) Khi a + b = c (khơng đồi) thì af 5| cỗ định và a-b a-b |
“Ke ape )=>y=-x Ỉ `
Vậy tập hợp các điểm K là dường phân giác y=-x :
Bài 38: Trong mặt Oxy cho S0: 1) và B(-1,3) vả đường thắng: x + y + 4= 0
(L)
a) Tìm trên (L) điểm C cách đều A và B
b) Với điểm C tìm được hãy tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình
hành Tỉnh điện tích hình bình hành ây
Huong dan giai:
a) Goi C(Xo,yo) la điểm cach déu A va B tacé Ce (L) > xo + yy +4 =0
và CA =CB @ (x, =1)' +() -1) = (4 +1? +0 =3)
= Xo -yo + 2=0
Giai hé | ‘ 6 ta duge C(-1, -3)
Trang 31b) ABCD 1a hinh binh hanh <> AB =CD
= PP 5ˆ ng 3)
Ya —Ya =Yc ~Yp
Gọi I là trung điểm của AB = 1(0, 2)
ACAB cân tại C Cl là đường cao ACAB CI=x3?+3” =3 2
AB = (-2)? +2? =2V2
Siep = ABC] = 12 dvdt :
Bài 39: Cho đường thẳng (d) cĩ phương trình: 2x + y —4 = 0 và hai diér
M(3,35 N(-5,19), vé MK 1 (d) Goi D 1a diém déi xtmg cia M qua (d)
a) Tim toa d6 cla K va D :
b) Tìm điểm 4e(đ) sao cho AM # AN đạt giá trị nhỏ nhất và tính gi
trị nhỏ nhất đĩ
Hướng dân giải:
a) Goi A là đường thăng vuơng gĩc với (d) Phương trình A cĩ dạng:
x-2y+C=0
Me(A)=> C=3
Vậy: (A) cĩ phương trình là x -2y + 3 = 0, K 1a giao điểm của (D) v =4=
(A]s8ioa.48X là nghiậm của Hệ J7 TỰ x-2y+3=0 TU ®
. Giải hệ ta được K(I.2)
Trang 32-TNHHGT-[Ox +2y+7=0
b 2x+y mm =
Tọa độ A là nghiệm của hệ
Khi đĩ (4A + 4A'),„ = v40
Bài 40: Cho (L) cĩ phương trình: 16x` -9y? =24x +l8y =0
a) Ching minh (L) là hop cua 2 đường thăng I, và l; Tìm phương trình
của l,.l, và phương trình các đường phân giác của gĩc tao boi |, va 1 b) Goi A là giao điểm của I,.l; và đường (đ) cĩ phương trình:
3x + 4y + m= 0; (d) cat 1.1, tai B va C Xác định m dé ban kính đường trịn nội tiếp A ABC băng I
Hướng dân giải:
a) Dé y: (L) > (16x? — 24x + 9)-(9y? -18y +9) =0
œ (4v-3)°~(3y~3)) =0 (4x~3y)(4x+3y—6)=0
4x-3y=0 (l)
bại Pratik (2)
Vậy (L) la hgp cua: |,: 4x —3y = 0 va 1,: 4x + 3y -6=0 Phương trình các đường phân giác của |, ,1, 1a: 4x-3v_4x+3y-6 „=l 5 5 4x-3y_— =———cY=— 4x+3y-6 a * 5 5 4
dé y: (d) 11, nén x -; là phân giác trong của gĩc A Toa độ tâm
Trang 335 aoe Với l, ta cĩ: eels 2 + VGi I, ta cĩ: = — 2l§ x1 Fane mea oe Với I, taco: -4 a] Suet + 2 - 5 _ $5 s12
ie đl5 0 at 650) ol rele, pee 0 teers 4
Vậy khim= hay màn TH bán kính đường trịn nội tiệp A ABC bằng 1
II Bài tập về tổng hợp đường thắn
Bai 41: Cho (D,): 3x + 4y -6=0, (D,): 4x +3y—1=0, (Dị):y =0 Gọi 4=D,fẦD,; B=D,ND,; C=D,ND,
a) Viết phương trình phân giác trong của gĩc A trong AABC và tính
điện tích A ABC
b) Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp A ABC Bài 42: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng:
= mt =x,+pt'
a:f* xt va aft * PY véi X,.X;„Y,„y; cho trước
y=y,+nt y=y;+qt
Tìm điều kiện cần và đủ (theo m.n,p,q) đẻ hai đường thang ấy:
a) Cắt nhau b) Song song nhau
€) Trùng nhau đ) Vuơng gĩc nhau
x=2t x=3t+l
y=3t y = 6t'+3
a) Xác định giao điểm của D, và D,
b) Tính cosin của gĩc tạo bởi D, và D,
Bai 44: Cho đường thẳng (d) cĩ phương trình: x - 2y + 2= 0
Trang 34-TNHHGT-Bài 45: Cho đường thăng (d) co phương trình : 2x - y - 1 =0 Tìm điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A(1.6) và B(-3, -4) làahỏ nhất
Bài 46: Cho 2 đường thang lần lượt cĩ phương trình:
(Đ):2mx—(m+1)y+1—3m =0 và (l;):(3m+1)x +(m—1)y—~6m+2 =0
a) Chứng minh (,).(/,) luơn luơn cắt nhau tại 1 điểm M
b) Suy ra quỹ tích của M
Bài 47: Viết phương trình đường thang (1) song song với 2 dudng (/,),(/,)
và cách đều cả 2 đường này Cho biết:
1):3x-2y-1=0; 1, =3x-2y-13=0
Bai 48: Chimg minh họ đường thăng xác định bởi phương trình tham số:
, =2-m+(m-l)t ¬ (teR) luơn qua một điêm x Re ek eed ae cơ định
Bài 49: Cho hai đường thăng : d,: 24x + 32y “768 = 0 và
d,: 24x -7y + 168 = 0 cắt nhau tại A va ching cắt Ox lần lượt tại B và
C Chứng minh A ABC cĩ: C =28
Bài 50: Cho A ABC cân cĩ phương trình cạnh đáy là 3x -y + 5 = 0 và cạnh bên là: x + a -1 = 0 Viết phương trình cạnh bên cịn lại biết rằng nĩ đi
qua E(1-
Bai $1: Cho or thăng (d) cĩ phương trình: y = x - 1; từ A(0,2) vẽ đường thăng (P) vuơng gĩc với(d)
a) Tìm phương trình của (P)
b) Tìm chu vi của tam giác tạo bởi (d) (P) va Oy
e) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác đĩ
Bài 52: Cho hai đường thăng: (D) : 3x + y -12 = 0 va (D’): x - 3y + 6 = 0
Xét điểm A(m.m) đường thằng qua A song ‘song v6i Ox cắt (D) tại N, đường thing qua A va song song với Oy cat (D’) tại M Tìm tập hợp
điểm P là đình thứ tư của hình chữ nhật AMPN
Bài 53: Cho A(a,0) B(b,0) với 0<a<b, Gọi M là điểm di động trên Oy cĩ tọa
độ (0.m) m>0
a) Đường vuơng gĩc với MA tại A và vuơng gĩc với MB tại B cắt nhau
tại P Tính tọa độ điêm P và suy ra quỹ tích của P
b) Xét đường thắng (1) cĩ hệ số gĩc k qua A Tính k theo m sao cho (1) va truc Ox đổi xứng nhau qua MA Viết phương trình của (l) trong trường hợp này
Trang 35¢) Viết phương trình của (I,) đối xứng của Ox qua MB Gọi Q 1a giao
điểm của (1) và \I,) Tính tọa độ Q
d) Chứng minh M,P,Q thẳng hàng
Bài 54:.cho các đường thẳng (1,): x + 3y - 12 = 0, (1,): x —3y + 6 = 0 Goi A la diem trén dudng y = x voi x, =m, M là điểm trén (1,) cùng hồnh
độ với A,N là điểm trên (1,) cing tung do voi A, P là đình thứ 4 của
hình chữ nhật AMPN
a) Tính tọa độ của P theo m
b) Tìm quỹ tích của P khi m thay đồi
€) Tính diện tích S của hình chữ nhật AMPN
Bài 55: Cho đường trịn tâm O bán kính R = I và đường thăng (D): xcosz + ysinz—l=0
a) Chứng minh (D) tiếp xúc với (O), Vø
b) Gọi T là tiếp điểm, A là giao điểm của (D) với Ox Đường thắng qua
A và song song với Oy gặp OT tại M Tìm phương trình tham số, phương
trình tơng quát của tập hợp các điểm M
Hướng dẫn giải:
Đài 41:
a) Giải hệ ta được 4(-2,3), BC,,0 C(2,0).Gọi M(x.y) là điểm trên
Trang 36-TNHHGT-a) d cắt d` c> mq z np ˆ b)đ⁄4'` <> mq = np mq - np =0 c) d=d © | nee my, -y¥,)=Nn(x, =x.) Bai 43: 1 f-2t=3r+1 xử
a) Giải hệ |-3t = 61's3 => giao điệm M(-2, -3)
b) D, cĩ vectơ chỉ phương là n, =(-2.-3) D, cĩ vectơ chỉ phương là
n, = (3.6)
Bai 44: a) Chon P(-2.0) © (d) thì Q(-1, -1) là điểm đối xứng của P qua
(Ly) '
d, thuộc chùm đường thăng tạo bởi (đ) và (L,) nên phương trình cĩ
dang x—2y+2+A(x—y+l)=0 (1+A)x-(2+A)y+2+A=0
Qed, > A=-3
Vậy phuong trinh d, la: 2x -y + 1 =0
b) Dé y: L,//d nén phuong trinh (d)) c6 dang: pote
2
Để ý: d cắt Oy tại (0,3) => b= 3 do đĩ y a5x43 là phương trình của
(d,)
Bai 45: Đề ý A và B cùng phía đối với (d ) Gọi M là đối xứng của B qua
(d) Taco YM e (d) MA +MB = MA +MD > DA, đăng thức xảy ra khi M là giao của DA với (d)
Ta cĩ: D-3.- 2, phương trình của AD: 7x -y -l =0
Toa độ M là nghiệm của hệ | =M(0,-l) x=x=l
Trang 37Bai 46:
2m—(m+]
a) Để ý [2x m-] | = 5m” +2m+l#0Vm e R do đĩ I, luơn luơn cắt l,
b) Đề ý |, và I; lần lượt qua 2 điểm cĩ định A(2.1) và B(1.3) và
cosg= i= 4 (cos là gĩc của Ì,-và 1, ), ta c6: việt 5m +2m +Ì a? ges ke
V2(5m? +2m+1) 2 4
Do đĩ quỹ tích là 2 cung chứa gĩc ø = ` đặt trên AB Bài 47: Đề ý I song song với I,,l; nên cĩ hệ số gĩc k =
wes
Giao điểm của ( 1,) voi Oy la A02) và giao điểm của (I;) với Oy là A;0), 1 cách đều I,,l, nên phải đi qua trung điểm của A,.A; do đĩ
tung độ gốc là b= 2b +3) E ; do dé phuong trinh cua | 1a: W1 7 ==x-— > 3x-2y-7=0 ' yaar 5 y Bài 48: Phương trình chính tắc ciia (d) : * -=2+m y-l+3m m-1 3m—2 = (3x-y-4)m=2x-y-3 ; 3x-y-4=0
Toa d6 dim cé dinh la nghiém cia |"? 2x-y-3=0 = A(l.-1),
Trang 38-TNHHGT-1 5 m=-~ m-3 2 B=C = tan(BC.A)=7 s =7ôâ = 1+3m 2 m=- II +)Khi m= 2 thị A =y+3==2(x~l)@x+2y+§=0 loại vì A 2
Trang 40-TNHHGT-Bai 55: a) d(0,(D))=—— =| Ya do dé (D) ludn luơn tiếp xúc đường sin” œ +cos” ứ tron tam O ban kinh R = | Lo ae i 1 b) Tọa đơ: al —— 9) => phươï trinh của A: x= \ cosa cosa phương trình của OT: y = tana.x => M „tan ax| cosa phương trình tham số cua tập hợp điêm M là: 1 sing x=- y=— cosa cos’ & 1 Ỹ Phương trình tơng quát: x =——— =l+tan" ø cos a@
y extant a sy axe -le x' ~x? —y) =0,
C Cau hot trắc nghiệm [ /
Céu 1: Diéu kign can va du de diém N(x.y) nam trén dudng thang (A) di qua
M(x,.¥,)/c6 vecto phap tuyén n= (A,B) 1a:
A B(x—x,)+A(y—ya,)=0 B A(x, -x)=B(y-Y¢)
C A(x +x,)+Bly+y,)=0 D A(x-x,)= B(y- yy)
x=-3+3t
Câu 2: Cho đường thăng ( A ) cĩ phương trình tham “| ae y=
Phương trình tơng quát của (A) là: A 5x - 3y + 15=0 B 5x + 3y +15=0 C.- 5x -3y +15=0 D.3x + Sy - 15=0 Câu 3: Cho A(1,1), B(5.1) C(3.1), D(3.-2) và đường thăng (đ) cĩ phương 1 x=l+2t trình : y=-5+3t
Hay chon cau dung:
A Ca4 diém déu 6 trén (d)
B Cĩ 3 điểm ở trên (d)
C Các điểm B và D ở trên (d) con A va C khơng ở trên (đ) D Chỉ cĩ B ở trên d