Phương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tích

Phương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tích Phương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tíchPhương pháp giải toán trắc nghiệm hình học giải tích

Trang 3

Lời nói đầu

Nhằm giúp học sinh trang bị mot số phương pháp giải các bài tập trắc nghiệm về các vẫn đề cơ bàn của môn hình học giải tích, chúng tôi biên soạn tập sách: "Phương pháp giải toán trắc nghiệm Hình học giải tích" Sách được trình bày theo từng vẫn đề, mỗi vấn đẻ bao gồm:

Phần tóm tắt lí thuyết

Các dạng toán cơ bản

Bài tập tự luận (có hướng dẫn giải) minh hoạ các dạng toán cơ bản Bài tập trắc nghiệm (có hướng dẫn giải)

Cuối mỗi chương còn có phần bải tập trắc nghiệm tổng hợp (có đáp án) để

học sinh tự rèn luyện Nội dung cuốn sách gồm:

Chương Ị Phương pháp tọa đô trong mặt phẳng,

Van dé 1: Toa dé diém - Phcp tính vectơ

Van dé 2: Đường thắng Vấn đề 3: Đường tròn Vain dé 4: Elip - Hyperbol

'Vấn đề 5: Parabol - Các đường Conic Chương IỊ Phương pháp tọa độ trong không gian

Vain đề 1: Vectơ - Phép tính vectơ trong không gian Van dé 2: Phép tinh vecto theo tọa độ

Van dé 3; Phuong trinh mat phiing Van dé 4: Phương trình đường thắng

Vấn đề 5: Các vấn đẻ về đường thing và mặt phẳng

'Vấn đề 6: Mặt cầu

Các bài tập tự luận được chọn gôm phần kiểm tra kiến thức cơ bản và

bài tập nâng caọ Phần trắc.nghiệm bao gồm các loại trắc nghiệm nhận biết,

thông hiểu, vận dụng Phần trắc nghiệm cuối chương (không sắp xếp theọ

thứ tự từng vấn đề) để học sinh kiểm tra cách lựa chọn chính xác của mình Hy vọng rằng tập sách nảy giúp ích cho học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT va tuyén sinh Dai hoc - Cao đăng

Rất mong sự góp ý của độc giả và đồng nghiệp để lần xuất bản sau được tốt hơn Chân thành cám ơn

Mọi góp ý xin gởi về:

Trang 4

Chương I: : Pi si

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MAT PHANG

Vấn đề 1: TỌA ĐỘ ĐIÊM - PHÉP TÍNH VECTƠ Ạ Tóm tắt lí thuyết

1 Hệ trục tọa độ: Hệ trục tọa độ (Ọ ¡, j) bao gồm:

«ˆ Hai đường thẳng Ox và Oy vng góc nhaụ *

dạng xÏ +yj thì cập số (x.y) được gọi là toạ độ của vectơ ã kí

hiệu ä = (x,y) Số thứ nhất x gọi là hoành độ, sô thứ hai y gọi là tung độ

gọi là toạ độ điểm M,

Kíhiểu: M@.y) OM=xỉ +yj

Trang 5

=— Sổ +ánh, (ả +a;')(b; +6,") ++ Mchia doan AB theo ti sé k # -l<> MA=kMB x, —kx, y, —ky,

Xp = AASB y,, = Ae tape 1k

* Mlatrong tim A ABC <> nyo Zaha te

B Cac dang toan co ban

Dang |: Xác định tọa độ một điểm thoả tính chất cho trước:

« Gọi M(x,y) là cần tìm, dựa vào tính chất đã cho đề thiết lật

các phương trình, giải hệ đẻ xác đỉnh x, ỵ

Dang 2: Chứng minh các tính chất bằng phép tinh vecto:

s_ Áp dụng các tính chất liên quan khoảng cách tính song song, tint vuông góc để xác định tính chất của các hình cần chứng minh Dạng 3: Tính chất bắt đẳng thức - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằn: phương pháp toạ độ: ®_ Áp dụng công thức về độ dài đoạn thắng kết hợp với các bất đăng thức AB+AC>BC |AB-AC|<BC (đảng thức khi A,B,C thẳng hàng) B-R<š-il-l.Ñ C Bai tập tự luận

Bài I: Cho AABC với Ă4,2); B(-3.2), C(2,-3)

Trang 6

1 Vậy ay G(,2) j 1 + xŠ „0 |1:=18 Gọi I(xy) là tâm đường tròn ngoại tiếp, ta cổ: { ,_ „ ầ : pelea weg += 20 = (4) HN ay hy (x-4)`+(ỹ2 7 a2 2 y= b) Tacó nG-(-1.2) HỈ

Hi cing phuong voi HG <> H G.I thing hang

Bài 2: Cho AABC với Ă0.4) B(-3,0), C(10,4) Goi M,N là chân các

phân giác trong, phân giác ngoài góc Ạ Xác định M,N Hướng dẫn giải Theo tinh chat đường phân giác ta có: sửc ——3—=-4 NG16,~ 1 2

Bài 3: Cho AABC véi_ Ă5,6) ,B(-3,2) ,C(2,-3) Tim dim M thoa man:

Trang 7

-TNHHGT-BC=(-5.-5) =BC=5V2 AC ~ Vậy A/(0,) Bài 4: Cho với Ă0,3V3); B(-3,0); C(3,0) Goi M.N xác định bởi BC, goi I 1a diém giao,cta AN va CM Tinh tọa độ Ta có Ãš=ÄB+ BN =2 AB +1 A€ = 3)

CM =CA + BN =CA + RAB = (4243)

Gọi I(x,y), Là giao điểm của AN và CM nên: A,ỊN thẳng hàng © AI =k.AN C,1.M thẳng hàng e> CÍ =&'.CM KH: > odes 7 PIC Seẻ -3 12V3) -

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có: Ă0,1), B(-2.-1), C(-1,-4), D0) a) Chứng minh các A ABD va ABCD là những tam giác vuông

b) Tinh dign tich ABCD

©) Tìm M trên Oy để diện tích AMBD và diện tích ACDB bảng nhaụ

Trang 8

-TNHHGT-Nướng dân giải a) Ta có; 4 1/2 =(1,—1) =» 48.19 ~t0 AB LAD BD = (3.1); BC =(1.-3) > ROBC = 02 BDL AD Vậy AABD vuông tai A, va ABCD vudng tại B b)d(ABCD) = dt(A ABD) + dt ABDC) 1 (ABAD + BD.BC) 2V2.V2 + Vi0.v10)=7 sim (MBMD)' ©) Gọi M(0.y)e Oy, áp dụng : dt( A MBD) = 1 MB MD vadt( A CBD) = 3VCB`CD 5 giải phương trình ta có y = 3 vay =

lài 6: Cho ĂSina,cosa); B(I + sina + cosạsina + cosa): C(2sina,1)

Chứng minh: Ya eR A, B,C thang hang tướng dẫn sí Ta có: AE a,by =a;b, =(I+cosa)(1 (1+cosạsina): AC = (sina,1— cosa)

a)~sin?a =1—cos'a-sin?a=0 VaeR

Trang 9

Hướng dẫn giải: xé a= (x4); b= (4) ¿=Œ) x y : Áp dụng: Bl+ll+El>is+B+e|,aeó ke + 61+ eee (x+y+z#/#(d+1+1y x y z “ e£ Mặt khác: 1 G+y#z#+ 442 1P =gWxxyvsƑf+C+ x yz xy '2 1v ÌÿƑ ~80x+y+z} >lBX+y +2) + 2 +2)~8MG +y +2) 2162-80=82- (2) từ (1) và (2) => dpem

Bài 9: Chứng minh: Yx,y,z c R,ta có:

\Ptyry tie rere ely retẹ ia ai ci : By tacd: yx +xytỷ = (+5) +¢ vx? +xz+z° = \(x+= ayes lias c&x+$ 2B yz V3 tac a+b= G 2 0+2) từ Rl+Bl>R+|= đpem

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của:

y =x? =2px + 2p? + yx? = 2qx +2q? voi p.qeR, va p<0, q>0 Tacé: y=\(x-p)'+p’ +y(x-q) +q°

xét M(x.0)e Ox , P(p,p), Q(q,q)

MP = (x= p)' +p" MO=JŒx~g) +4)

Trang 10

Y§MP zMQ@>?9 sŸ2—g)` =4/2(q~p) Đăng thức xây ra khi M trùng a An J © 0, do dé miny = ¥2(q- p) } D Bài tập tự luyện Bai 11: Ch Ă4.1); BUA) Tim C dé OACB là hình vuông nhận AB làm một đường chéọ

Bài 12: Cho Ă- (0.5): C(4.3); D(-2,1) Chứng mình ABCD là tứ giác ,

trực tâm (tứ giác có một đinh là trực tâm của tam giác nối 3 đỉnh còn lại)

Bài 13: Cho AABC vuông cân tại Ạ Tìm toạ độ ba đỉnh của tam giác biết 5 trong tam G( 5.0) va trung điểm M của BC là M(I,-})

‘ho AABC c6 Ă-4.-5); BUS); C.-1) Tìm toạ độ tâm đường tiếp I của A ABC:

Bai 15: Cho Ă1,0); B(0.2); C(1.2) Xét điểm D(m,2-2m)

a) Chimg minh: ẠB.D thang hang Yme R

b) Tìm M để AOCM cỏ diện tích bằng 2 ts

Bài 16: cho AABC có Ă5.4): B(- 1.1): C(3,-2) M là điểm di động thoả

min aMA+BMB=0 = (ả +f° #0)

Tim M dé [MA + MB) nho nhat,

Bai 17: Chimg minh: Vx, y € R.ta cọ

(4cos” xcos° y+sin”(x= y) + \J4sin” xsin” y + sin”(x— y) > 2

Bài 18: Chimg minh: Vả +a+1+Va°-a+122 VaeR

Trang 11

Bài 13: Đề ý: AG =2GM = Ă0.2) AM LBC MA = MB= MC x-3y-4=0 (x=UŸ+(y+Đ =10

A ABC vuông cân tại A “|

Toa độ B,C là nghiệm của | Đáp số: B(4,0), C(-2,2) Bài 14: Tọa độ chân đường phân giác trong của Blà Dú~Š) I chia BD AB theo k = — ni =1(1,0) 1,0)

Bai 15: a) Chimg minh: a,b, ~

b) Để ý D là trung diém, chimg minh = M(2m-1,2-4m) ED = (1—m,2-2m); FI) =(m,2m) > ED// FD = dpem ©) Đắp số: m=0 và m = Ị` Bài 16: Đáp số m = (3,0) Bài L7: Xét ä= 2cos xeos y, sin(x - y), ð = (2sin xsỉn y,sin(x = y)) l|+lBl>+B|= dpem 1 J tụ Bài 18: XéLĂa+—~,—”), sae 20 B(ã~, aha OA +OB2 AB =>dpem Bai 19: Xét a =(x+3,2y), b= (1-x,3-2y) Bài 20: Chọn M(x.0), Ăp.|p|), B(q.~lg|) MA + MB >AB = x? —2px+ 2p’ +x? —2qx+2q° > 2p’ +q°)

Đăng thức xây ra khi: M = ABNOX

Ẹ Câu hói trắc nghiệm

Câu ï: Cho Ă-4,1), B(1.4), O là gốc tọa độ Để tứ giác OAMB là hình vuông thì định M là:

ẠG.5) B.(-3,5) €.(53) D.(-53)

Câu 2: Cho tam giác ABC có Ă04), B(-3,0), C(10.4) Gọi M là chân đường phân giác trong của góc Ạ Tọa độ của M là:

Trang 12

-TNHHGT-af) 9 G34) e Ges) 2 Gd) Câu 3: Cho 4 điểm Ă2 1) BỌ —1)-C(-2.-3), DỊ-2, =1) Xét các mệnh đề sau (1) ABCD là hình thoi (1U) ABCD là hình bình hành (II) AC edt BD tai (0, -1) Hãy chọn câu đúng: :

Ạ Chỉ câu (II) đúng B Chi cau (Il) ding

C Câu (II) và (II) dang D Câu (1) và (II) đúng ˆ

Câu 4: Cho tam giác ABC có B(-3.1), C(1,5) và trọng tâm G đi động trên trục Ox Tập hợp các đỉnh A là:

Ạ Đường thẳng có phương trình y = - 6

B Đường thẳng có phương trình x = - 6

C Đường thẳng có phương trình y = ~6 loại trừ điểm (~10,~6) D Đường thẳng có phương trình x = -6 loại trừ điểm (~6,3)

Câu Š: Trong mặt phẳng cho ĂS.4) B(3,-2) M là điểm di động trên Ox Giá

trị nhỏ nhất của |MA + MB là

Ạ2 B3 Gs D.4ˆ

Câu 6: Cho tam giác ABC có Ă-l.L), B3), C(1,=1), tọa độ chân đường cao H vẽ từ A của tam giác ABC là

71 th l7 1

Hs, B.u(2-4} ‘i as oot

ands) ®Ms-;} ons) Beg)

Cau 7; Trong mặt phẳng cho tam giác ABC €6 Ă-1,-1), BG1), C(6,0) Số đo của góc B của tam giác ABC là: Ạ 48° B 135" C 60° D 120° Câu 8: Trong mặt phẳng cho Ă-Ị1) B(3.3), C(1.-1), D(-3,~3) Tứ giác ABCD là hình gì? Ạ Hình vuông B, Hình chữ nhật € Hình thoi © —_ Ð,Hình thang

Câu 9: Trong mặt phẳng cho Ă1,2), B(3,1), C(@,-1) Để |AB+mAd| đạt

Trang 13

Câu 10: Cho tam giác ABC có Ă4,3), B(-5,6), C(-4,~1) Tọa độ trực tâm

của tam giác là:

ẠHG,-2) B.H23) C.HC-32) D.HC23)

Câu 11; Cho M(1.2), N(3,1) Hình vuông MNPO (theo thứ tự) có tọa độ đình P là:

Ạ PGS,1) B P(2,3) C P(8,0) D P(6, 1)

Câu 12: Cho tam giác ABC có Ă4.3), B(0,-5), C(-6,-2) Tam I của đườn; tròn ngoại tiếp tam giác ABC có toa độ là:

A {-45) B (5-1) € (-;} Đ.IC1-D)

Câu 13: Cho Ẵ1,L), B(1,3) C(-2,0) Điểm A chia đoạn BC theo tỉ số nàỏ

A22 Boks 2 K23 eee 2

iu 14: Cho Ă1,1), BG.3), C2,0) Tam gide ABC 06 dign tich li: Al B2 G3 ‘Caw 15: Trong mat phiing (Oxy) cho hai vecto: Ww V =ki-4] (1, j lacde vecto don vj trén truc) Dé [t|=|v| thì giá trị của kiả: a kat $ B.k-‡XU 2 caẻ H D.k-+V27 2

Câu 16: Cho M(-1, 2), NG.2), PC, -1) và E(m,0), Dé [EM + EN +

nhất thì giá trị của m la:

Am=4 B.m=t Cm=2 D.m=6

Câu 17: Toạ độ điểm N đối xứng của điểm M(3.5) qua đường thẳng y - x = !

có toạ độ là:

Ạ(35) B.(5,-3) C.@.-5) `D.(53)

Câu 18: Cho M và N chia đoạn thẳng AB thinh 3 phần bằng nhau với Ă, -3), B(4,3) thi toạ độ của M.N là:

Ạ MQ, -1) vaNG,1) B MG, -1) va NC-2,1) C:MG, ~l) vàN(-12)— D.M(13)vàN(12)

Trang 14

Câu 19: Cho ä= (5,3) b = (4, 2) ¢ Câu 20: Cho Ă-2 ~L) B(3.4) Gọi F(m.0) Để FẢ +FBẺ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của m là Äim=~e 2 B.m=l - Cm=2 D.msi 2 F Hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm OA =OB=17 § : Câu I: — => tam giác OAB vuông cân tại O OAOB=0 * Đo đó đê OAMB là hình vuông thi chi cần OAMB là hình bình hành nghĩa là OA = BM œ M(-3.5) Chọn câu B

Câw 2: Mi là chắn phân giác trong của Â cò TC a2 Nghĩa là M

chia dogn BC theo ti s6 k= -2

mx

SEN RE G30 3

Câu 3: Ta có AB =(0,-2), DC =(0,-2) => ABCD là hình bình hành AC cắt BD tại trùng điểm AC =>1(0, -1) Chon edu C

Câu 4: Gọi (m.0) € Ox dùng công thức trọng tâm suy ra:

=3m+2, Y„

(its đ cla Ode y =~6 với BC là (-10, ~6) Vậy iip hợp các điểm A là đường thẳng y = ˆ 6 loại trừ điểm (~10, -6) Chọn cấu C

Câu 5: Gọi là trung điểm AB thì I (4.1) |MÃ+M8|=2Mi|=2Mi Mím.0) e Ox, MI = j(m~4)` +1

MI nhỏ nhất œ MIL Ox <> M(4.0) Chon edu A

Câu 6: Gọi H(x.y) H là chân đường cao xuất phát tit A

AH LBC ° tae

BH cùng phương với BC ~4x+2y+6=0

Trang 15

5

Giải hệ ta được HỆ 3 „ Chọn cấu B

Câu 7: cosB = 4 B=135° Chon cau 8

AD = BC = (-2,-4) ABCD la hinh thoị Chon edu C

AB=BC= v20 :

Câu 8: Đề ý: |

Câu 9: AB+mÄ€ =(m+2,-3m ~I)=s|AB= mAC|= vI0m` +l0m+§

Giáị nhỏ nhất của [RB+mAc| là kh mee ị - Chọn câu B Câu 10; Goi H(x.), ta có: Ha CS BHAC =0<2x+y=~4 >-17 + H(-3.2) Chọn cấu C Câu 11: Đề ý: AB= (2,3) = AD= (3.2) = D(44) Để = AB © C(64) Câu 12: Đề ý: BÀ = (48), BC =(-6,3) = BABC=0 AABC vuông tại B nên tâm | la trung diém AC <> (-+;) Chọn câu 4 Câu 13: Để ý: AB= (2,2), AC =(-1,-1);1a có AB=-2AC œ k= - Chon câu C-

Câu 14: AB=(2,2), AC =(1—1) = ABAC =0 AB LAC

SL AABC = 5 AB.AC = 383 = 2 (Au) Chon B : ˆ Cam 15: Đề ý: š-(s-3) và v=(k,=4)

R=l[=1+25=k'+I6esk=+Ê”, các

Câu 16: Gọi G là trọng tâm AMNP thì s(z-3)

Trang 16

=ä3EG

E ở trên Ox, EG nhỏ nhất khi x„ = x, e>m.=2 Chọn câu C

Câu 17 ĐiếmM(x,.y,)cõ điểm đối xứng qua đường y = x là điểm N(y,.x,) đo đồ N(S.3) là điểm đối xứng của M(3,5) qua đường y = x Chọn câu D

Câu 18: Đề ý giả thiết tương đương với M là trung điểm của AN và N là

trung điểm của BM Kiênrtra băng công thức trung điểm chọn

MÔ ~1), N(3,1) Chọn câu Ạ _

Câu 19: Kiểm tra phép tỉnh vecto: 2a = (10.6), 36 = (12,6)

Trang 17

Van dé2: DUONG THANG TRONG MAT PHANG Ạ Tom tat li thuyét

1._ Các dang phương trình đường thẳng:

a) Phương trình tham số: Đường thẳng A qua M(x,.y, ) có a =(a,.a,) là 1

Xe tạ,

()

vectơ chỉ phương thi phương trình tham số là: |

y=yạ+a;

b) Phương trình chính tắc: Nếu gọi là phương trình chính tắc của Ạ » #0 thi tir (1) tacé:

©) Phương trình tổng quát: Mọi đường thẳng đều có phương trình dạng: Ax+By+C=

8=(-B,A) là 1 veetơ chỉ phương

, trong đó n = (A,B) là 1 vectơ pháp tuyển và

đ) Phương trình đường thẳng qua 2 điểm 4(x,.,) Ö(x, „):

li Pear

Xg—X Yo-Yo

©) Phương trình đường thẳng theo

Đường A qua M(x,,y„) có hệ

(đường AB không song song với các trục Ox.O)

ố góc:

góc k có phương trình:

ỸYo =K(X-x,)

a (@=(a,,a,)la vecto chi phuong) :

Trang 18

-TNHHGT-Phương trình phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng: A,:Ax+Buy+C, và A,:A,x+Byy+C; Aix+Buy+C, Ax+B,y+C; yA; +B, {ar +B?

b) Vị trí tương đổi của hai đường thẳng:

Cho A,:A,x+B,y+C, =0 và A,:A;x+B;y+C; =0

e) Góc của 2 đường thẳng

A AX+By+C, =0 va Ay: Ạx+B,y+C, =0 góc nhọn tạo bởi A,,A, xác định bởi: |A,A, +B,B,| YAP +B? MA; +B, Gợi k.k là hệ số góc của A, và A, kik’ 2 B,/IA, €0S@ = B Các dạng toán cơ bản

1 Bai tap về phượng trình đường thing

Trang 19

+) Phương trình đường thẳng qua BC vuông góc với AÁ có dạng 3x Sy +C = 0, qua B nén: C = -13 Do đồ phương trình BC là: 3x ~5y -13 = 0 +) Tọa độ A là nghiệm của hệ phương trình { = A-13) 2) Tee Ci git cin | Sx+3y-4=0 8x —3y +17=0 3x+8y+13=0 1,2 00 Do đồ phương trình cạnh AC là: Heẻ

REELS oss tb ts cpa cs ile ABC Ab t Ă1.5) và hai

trung tuyển có phương trình: 9x ~4y -11 = 0 và 3x ~5y = 0

Hướng dẫn giái: :

Tọa độ A không nghiệm đúng các phương trình trung tuyén nén các

trung tuyến đó phải là BM: 9x ~4y -11 = 0 va CN: 3x -Sy = 0 +) Các điểm B và M 6 trén : 9x ~4y -11 = 0 nén oe 9 rs Ye js eee liso see ORS 0) 160 (ox, —4y, = 5s-,=u l9x,„~4y, =33 “Tương sự C và N ở trên đường 3x ~5y = 0 nên fi =4y, =H To 8 AC là ngiệm ca | 3x, ~5y, =22 = B(I, -5) và | bo Oa vee 28) ˆ<~5Ỵ= ` do đồ :

+) Phương tính cạnh AC: X—Í 2 YS 4 -2 2 x 42y-11-0

3)Phương tỉnh cạnh AB: =" = ¥—5 <> sy—y=0

Trang 20

-TNHHGT-+1 +5 +) Phương trình cạnh BC x = 2? eo x-3y-11=0 Bai 23: Hinh binh hành ABCD có Ă-2.3) và hai cạnh lẫn lượt có phương trình: 2x + 3y ~ 3 =0 và x~ đy -7=0 phương trình hai cạnh còn lại, tính tọa độ giao điểm I cia 2

A không thoa phương trình các cạnh trên nên phương trình của BC la: 2x + 3y ~2 = 0 và phương trình của DC là: x ~ 4y ~7 = 0

+) Đường AD qua A và song song với BC nên phương trình có dạng:

2x + 3y +C =0, qua A nên : -4 + y+C =0C =~5 re Vậy phương trình cạnh AD lả: 2x + 3y ~5 =0 +) Đường AB qua A và song song với DC nên phương trình có dạng: x~ 4y +C =0, qua A nên: -2 ~12+C=0 =C=14 Vậy phương trình cạnh AB lả: x - 4y + 14 =0 3x+3y-2=

+) Tọa độ C là nghiệm của cà ea

= Ÿ ie đó tọa độ trung điểm I cia AC 1a 2)

Bai 24: Trong mat phing, cho 4 ABC co trong tim G(-2, -1) vit ee canh AB, AC lần lượt có phương trình: AB: 4 ty + T§ = 0, AC; 2x + 5y +30

a) Tim tọa độ đỉnh A và trung điểm M của BC

b) Tìm tọa độ định B và viết phương nh đường BC.” Hướng dẫn giải:

: _ [4x+y+15=0 a) Toa độ A là nghiệm của hệ peed

Trang 21

Vay M(-1, -2) b)M là trung diém BC <> Mat khée ta c6: BEAB => 4x, +y„ +15=0 (3) CEAC > 2x¢ +5yc+3=0 (4) Giải hệ (1),(2),(3).(4) ta được B(-3.-3) C(1,~1) Do @6 phuong trin Bc 1a: X73 = ¥ +3 li cÍ ©x+2y+3=0

Bài 25: Trong mặt phẳng viết phương trình đường thẳng A qua M(1,2) va

Trang 22

-TNHHGT-Hướng dẫn giải (Ð) có hệ số góc k a * là tek oh Goi A là đương thăng qua A hop với D góc T và k là hệ số góc của A, tacé: tan(A,D) = k Phương trình của A li: y -1 = -S(x -2)e9 Sx+y-11=0 Re 1+ kk Sint 2

+) Phương trình cita A li: y -1 = so ~2)e» x -5y +30

Vậy có 2 đường thẳng A qua A hợp với (D) góc - lần lượt có phương

trình là:

5x#ỹ11 =0 hay x -Šy + Ÿ= 0, Bài 27: Cho hai đường thẳng: — ˆ

* A: 2x-y+5=Ova A’: 3x+6y-1=0

Hãy viết phương trình đường thẳng (d) qua P(2,-1) va cit A,A" tạo

thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của A vả A"

Để thoả mãn điều kiện của bài toán thì (đ) phải là đường thẳng qua P và (4) vuông góc với các phân giác của góc tạo bởi A và A"

Trang 23

Bài 28: Hãy viết phương trình của đường thăng ^ đi qua

đường thẳng: x - y + 4 = 0 (D`) và 2x - y + 6 = 0(D’), biết rằng cắt Ox,

Oy tai A và B mà diện tích tam giác OAB = !

Hướng dân giái:

Phương trình đường thẳng A có dạng: x y+4+2.(2x= y +6) =0 © (2⁄+1)x—(.+1)y +6k+4=0 6+4 Mại ht a, reams Giao điểm của A với Ox là AG, 30) Giao điểm của A với Oy là B(0, Tacd Saye = 30AOB = 2 lxallzal ois ele 2A+1||2A+l * in vi § 4 : 2x+y+2=0 - Vậy có 2 đường thẳng 4 18} 5,9 9

Bài 29: Cho hình vuông ABCD có đỉnh Ă5, -4) và phương trình của một đường chéo là: x - 7y - 7 = 0 Viết phương trình các cạnh và đường chéo

còn lại

Hướng dẫn giải: _,

Vi tọa độ A không thoả phương trình: x - 7y - 8.= 0 nên phương trình này

là phương trình đường chéo BD, các cạnh AB và AD hợp với đường

Trang 24

-TNHHGT-+y+4 Phương trình đường chéo AC là : y + 4= -7(x -5) © Ixt+y31=0 Tọa độ tâm I của hình vuông là nghiệm của hệ phương trình : x-Ty-8=0 9

{fr +y-31=0 } do đó tọa độ của C là : C(4.3)

Hai cạnh còn lại qua C lần lượt song song với AB và AD nên phương trình là: * 4x -3y+C=0,quaC > 16-9+C=0 =c=+ và 3x + 4y + C' =0, qua C! © 12+ 12+C' =0 SC! =-24 'Vậy phương trình hai cạnh này là 4x -3y-7=0;3x + dy -24 =0

3ài 30 : Cho AABC có AQ, -3), B(3, -2) và diện tích A ABC = 3, trong

Trang 25

Vậy tọa độ C là nghiệm của: |

Giải hệ ta duge: C,(1,-1) va C Đường AB có hệ số góc

+) Nếu C,(1,~1) thì đường cao CH có phương trình la: x + y = 0 va trur tuyến CD có phương trình là: x + y = 0

+) Nếu C,(~2,~10) thì đường cao CH có phương trình là: x + y + 12 =

và trung tuyến CD có phương trình là: 5x - 3y - 20 = 0

2 Bài tập về các vấn để liên quan với đường thắng

_ Bai 3l: Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm Ăm.0), B(Ị1)

a) Viết phương trình đường thẳng vuông góc với AB tại A khi m thi đôi, các đường thẳng tạo thành họ đường thẳng(d,„ ) Chứng minh khô:

có 3 đường nảo của ( d„) đồng quị

b)Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho có đúng 1 đường c! (d,,) di quạ — m+ v2 “m+ 2 cách từ C đến OB bằng khoảng cách tử C đến Ox 4) Tìm tọa độ diém D sao cho (ABCD) = -1 Hướng dẫn giải a) Ta có phương trình đường thẳng AB là: Red Ses sn ljy=m =O + (2+)m m e) Chứng tỏ điểm C( ) thắng hàng với AB và khoái mn (d,,) L AB tai A nén phuongtrinh (d,,) 1a (1 -m) (x =m) + l(y -0) = 0 © (l-m)x+y-m(l-m)=0 Goi M(a,B) là điểm ma (d,,)di qua, ta cú (m)ứ + ~ m(~ m) =0 ôâ mÌ-(œ+l)m+j)=0 (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số đường thẳng của (đ,„) đi qua M

(*) là phương trình bậc 2 nên khong thể có 3 nghiệm do đó không có

đường nào của (đ„) đồng qui

b) Để chỉ có 1 đường của (d,„ )đi qua thì phương trình (*) chỉ có 1 nghiệ

©A=0

Trang 26

<= (œ+1)—4.=0

LÊ =1 +tÿ =B= 4

Vậy các điểm M ở trén parabol y = hex +)'lä điểm chỉ có 1 đường

thắng của họ (d,„) đi qua

©) Thay đổi tọa độ của C vào phương trình AB ta có:

G2 +Ðm ,(m— 1) m

m+⁄2 m+v

©(2+1)m+mẺ ~m~ m` ~2m =0

©0.m= 0 đúng YmeR

Vậy C ở trên đường thẳng qua AB Phương trình của đường OB là x -y = 0 -m=0 ì v2 m khoảng cách từ C để opi de] = TẢ" tư lẽ = khoảng cách từ C đến Ox là d'= | Vậy C cách đều Ox và OB d) (ABCD) ==-1 > 2(X Xp + XeXp) = (Xp + XpMNe + Xp) 5 "m—2

Bài 32: Trong mặt phẳng cho tập hợp X xác định bởi:

X = [M(x y)lmx? -2ỷ + 2m—Dxy—m?x + my =0 }

a) Chimg minh rang X gồm 2 dudng thing

Trang 27

b) Tọa độ giao điểm I của 2 đường thẳng trên là nghiệm của

gh y=0 mm,

x+2y=m © '2m+l2m+l

khử m giữa x và y ta có: _ y,=

„ Vậy quỹ tích của I là đường cong: y=

Bai 33: Cho đường thẳng: -5x + 2y - Ï =0(A)

a) Tính khoảng cách từ Ẵ3, 1) đến (A) Viết phương trình đường

thẳng( Á) song song với (A) và cách ( A) một khoảng bằng 5 b) Tính khoảng cách giữa (A ) và đường thẳng (d) có phương trình: 10x -4y+1=0 Hướng dân giải: 4) Ta có d(4,A)= -5(-3)+2-l| _ 16/29 29 29

Trang 28

(m=3)x+(m+5)y=v4m ` +8m+68 luôn luôn tiếp xúc một đường tròn cổ định Hướng dàn giải 4) Ta có: đ(0.4,)= == +âm + 34 dị (Im? +4m+434), csm =—] b) Goi M(xp,yq) ld diém trong mặt phẳng mà mọi để thị (d„ ) đều không đi qua thì: i m(X, +y,)~3x, +Šy, ~l=0 vô nghiệm Yme R Je= | X# —N, aM 8 Do đó các điểm cần tìm ở trên đường y = -x loại trừ các điểm ©) Xét họ đường thắng: (A,„)

Do đó: A, luôn luôn tiếp xúc đường tròn tâm O bán kính # = V2 3ài 35: Cho hai đường thắng (D, ): kx -y + k =0 và

(Ð,):(—k?)x+2ky ~(1+kÌ)=0

+) Chứng minh khi k thay đổi (D,) luôn luôn qua một điểm cổ định

b) Tìm giao điểm của (D,) và (D,) suy ra quỹ tích giao điểm này khi k

thay đổị 1ướng dân giải:

a) Ta có phương trình (D,) có thể viết: k(x + 1)- y = 0 Tọa độ điểm cố

định mà (D,) luôn đi qua là nghiệm của ie =x=-l,y=0

Vậy (D,) luôn qua điểm Ă-1,0) khi k thay đổị

Trang 29

b) Tọa độ giao điểm của (D,) và (D;) là nghiệm của hệ phương trình kx-y=-k š „ giải hệ ta được x = k? 2k

Ta :

'Vậy giao điểm của (D,) và (D,) là Mr |

l2 21 EekÐ)? (

dby x? +y “[EE) i

Do đồ quỹ tích của M là đường tròn tâm O ban kinh R = 1 Bài 36: Cho họ đường thẳng có phương trình: _ ˆ (x-Deosa +(y-1sina-4=0 a) Tìm các điểm trong mặt phẳng mà mọi đường thẳng của họ đều khôn đi quạ b) Chứng minh mọi đường thẳng của họ luôn tiếp xúc đường tròn c định

tướng dân giải:

a) Gọi M(x,.y„) là điểm mà mọi đỏ thị của họ đường thẳng trên đều khôn đi qua, ta phải có:

„ @¿—1) +, ~l

'Vậy tập hợp các điểm M mà mọi đường thẳng của họ đều không đi qua

trong đường trờn tâm I(1,1) bán kính R =

b) Khoảng cách từ ï đến họ đường thẳng:

a-|d=Deosz +d~Dsnz-4|_ v ạ cosa’ + sin

Các đường thằng của họ trên di động luôn luôn cách I một đoạn bằng nên chúng luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R = 4

đài 37: Trong mặt phẳng cho Ăạ0) B(0,h) (ạb>0) Đường trung trực củ

đoạn AB cắt các đường phân giác y = +x tại H và K 4) Chứng minh AHBK là hình vuông

Trang 30

Hieing din gidị

Goi ie là trong điểm AB hệ số góc của đường AB l3 k~~Š đo a

đó hệ số góc của trung trực đoạn AB là k'= = Phương trình trung trực của AB là: )= AH = KB (1) a\(b= *ì: -(*2\(*st) 0 > 2 2 => AK LAH (2) mặt khác AB 1 HK (3)

Do do tir (1),(2),(3) ta c6 AHIK là hình vuông

b) Khi a + b = ¢ (khong doi) thi us < } cố định và

a-b b

see se ae

Vậy tập hợp các điểm K là đường phân giác y=-

Bài 38: Trong mật Oxy cho Ă1.1) va B(-1,3) acts xty+4= =0

(L)

a) Tim trên (L) diém C cach déu A và B

Trang 31

b) ABCD là hình bình hành AB = CD

° ety Poet andes)

Ya-Ya=Y¥o7Yo

Goi [1a trung diém cia AB => 1(0, 2)

ACAB cân tại C = CI là đường cao ACAB CI=v3?+3` =3/2

AB=.J(-2)?+2 =2V2 °

Sen = ABCI = 12 dvd

Bài 39: Cho đường thẳng (đ) có phương trình: 2x + y - 4 = 0 và hai diér M(3.3ƒ,N(-5,19), vẽ AMK 1 (đ) Gọi D là điểm đối xứng của M qua (d) a) Tim toa độ của K và D :

b) Tìm điểm 4€(2) sao cho AM # AN đạt giá trị nhỏ nhất và tinh gi trị nhỏ nhất đó

Hướng dân giải:

a) Goi A là đường thẳng vuông góc với (d), Phương trình A có dang: x-2y+C=0

Me(A)=C=3

Vay: (A) có phương trình là x -2y + 3 = 0, K là giao điểm của (D) v

Trang 32

` 9w+3y+7=0

Tọa độ A là nghiệm của hệ 2x+y-4=0 ` = Ă-3,10) Khi đó (4M + 4A)„„ = v340

Bài 40: Cho (L) có phương trình: l6x` ~9yÌ =24x +18y =0

a) Chứng minh (L) là hợp cua 2 đường thăng I, và l; Tìm phương trình của 1,1, va phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi l, va l; b) Gọi A là giao điểm của I, l, và đường (d) có phương trình 3x + 4y + m = 0; (4) cát l,,1, tại B và C Xác định m dé bán kính đường tròn nội tiếp AABC bằng Ì Hướng dẫn giảị a) Để ý: (L) <> (16x? - 24x +9) -(9ỷ -18y +9) =0 0.9 (4x—-3y(4x4+3y-6) =0 = (4x-3)' -Gy-3) 4x-3y=0 (I) 2 4x +3y-6=0 (2)

Vay (L) la hop eita: 1): 4x -3

Phuong trình các đường phân giác của 1,1, là: =0 và |„: 4x + 3y -6 =0 4x-3y_ 4439-6 5 5 4x-3y_ 4xtây-6 | 3 : * 5 5 4

để ý: (d).LI, nên x-i là phân giác trong của góc Ạ Tọa độ tâm

Trang 33

bị LUỆUC S3 lê 3 5s +4C2)+m + Voi I, tacd: =1> Vậy khi m= 28 hay m= 1 thì bán kính đường tròn nội tiếp AABC bằng 1 = IIL Bai tip về tổng hợp đường thẳng Bài 41: Cho (D,): 3x + 4y = 6 =0, (D,): 4x + 3y ~ 1 =0, (D,): y =0 Goi A=D,99,; B=D,ND; C=D,ND, a) Viết phương trình phân giác trong của góc A trong AABC và tính diện tích AABC

b) Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp A ABC Bài 42: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng:

=xtm afrrnre

tnt yay, tat

Tim điều kiện cần và đủ (theo m.n,p,q) để hai đường thẳng ấy:

a) Cắt nhau b) Song song nhau e) Trùng nhau 4) Vuông góc nhaụ

Bài 43: Cho D, „ TT VD, tổ te y=3t y = 6043

a) Xác định giao điểm của D, va D, b) Tính cosin của góc tạo bởi D, và D,

Bài 44: Cho đường thẳng (4) có phương trình: x - 2y + 2 = 0

Trang 34

-TNHHGT-Bài 45: Cho đường thàng (4) có phương trình : 2x ~ y ~ 1 = 0 Tìm điểm M sao cho khoảng cách từ M đến Ă1.6) va B(-3, -4) làahỏ nhất

Bài 46: Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình:

():2mx~(m+1)y+1~ 3m =0 và (Í,):(Am+1)x +(m=1)ỹ6m+2=0 a) Chứng minh (/,),(/,) luôn luôn cắt nhau tại 1 điểm M

b) Suy ra quỹ tích của M

Bài 47: Viết phương trình đường thẳng (1) song song với 2 đường (/,).(1,)

và cách đều cả 2 đường nàỵ Cho biế

I:3x~2ỹ 1, =3x-2y-13=0

Bài 48: Chứng minh họ đường thăng xác định bởi phương trình tham số:

x=2~m+(m-l)t ‘i :

See ung (te R) luôn qua một điểm cố định Bài 49: Cho hai đường thăng : d,: 24x + 32y 768 = 0 va

;:24x -7y + 168 = 0 cất nhau tại A và chúng cắt Ox lần lượt tại B và C Chứng minh A ABC cỏ: 2B

"ho A ABC cân cỏ phương trình canh day la 3x -y + $ = 0 và cạnh

bén la: x + 2y -1 = 0 Viét phuong trình cạnh bên còn lại biết rằng nó đi

qua E(1.-3)

Bài 5J: Cho đường thẳng (d) cỏ phương trình: y = x ~ 1; từ Ă0.2) vẽ đường thẳng (P) vuông góc với(đ)

a) Tìm phương trình của (P)

b) Tìm chu vi của tam giác tạo bởi (d) (P) và Oỵ

Bài 52: Cho hai đường thẳng: (D) : 3x + y -12 = 0 và (Ð') : x - 3y + 6 = 0 Xét điểm Ăm.m) đường thẳng qua A song song với Ox cắt (D) tại N, đường thẳng qua A và song song với Oy cắt (D') tại M Tìm tập hợp điểm P là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật AMPN

Bài $3: Cho Ăa,0), B(b,0) véi 0<a<b Goi M là điểm di động trên Oy có tọa độ (0.m), m>0

a) Duong vuông góc với MA tại A và vuông góc với MB tại B cắt nhaụ tại P Tỉnh tọa độ điểm P và suy ra quỹ tích của P,

Trang 35

€) Viết phương trình của (I,) đối xứng của Ox qua MB Gọi Q là giao

điểm của (1) và 1, ) Tính tọa độ Q

đ) Chứng minh M,P,Q thẳng hàng

Bài 54:.cho các đường thẳng (l,): x + 3y - 12 = 0 (l,): x - 3y + 6 = 0 Gọi

A là điểm trên đường y = x voi x„ =m., M là điểm trên (I,) cùng hoành độ với A,N là trên (l,) cùng tung độ với A, P là đỉnh thứ 4 của

hình chữ nhật AMPN

a) Tính tọa độ của P theo m

b) Tìm quỹ tích của P khi m thay đổị

Bài 55: Cho đường tròn tâm O bán kính R = I và đường thẳng

(Đ): xeosz+ ysina-1=0

a) Chứng minh (D) tiếp xúc với (0), Vạ

b) Gọi T là tiếp điểm, A là giao điểm của (D) với Ox Đường thẳng qua

Trang 36

-TNHHGT-a) dcấtd` © mq #np ˆ b)d//d’ e>mq= np et ie m(y, — ys) =n(x, -x,) Bai 43: 0 2 h2) — gi dbn MCS 2) (-3t=6t+3 b) D, có vectơ chỉ phương là n, = (-2,-3) D, có veetơ chỉ phương là n, =(36) tra cosa = h Bài 44: a) Chọn P(-2.0) © (d) thì Q(-1, -1) là điểm đối xứng của P qua (Ly) ỳ d, thuộc chùm đường thẳng tạo bởi (d) và (L,) nên phương trình có dạng x-2y+2+Ăx~y+l)=0 49 (1+A)x-(2+A)y+24+2=0 Qed > A=-3 Vậy phương trình d, là: 2x -y + Ì =0 b) Để ý: L.,//d nên phương trình (d;) có dạng: Để ý: đ cắt Oy tại (0,3) => b= 3 do đó yngx+3 là phương trình của (ả;)

Trang 37

Bai 46:

Bm~(m+1

4) Để ý 2x m-1 | = Sm? +2m+1#0Vme R do dé |, luôn luôn cất Ì,

b) Để ý 1, va 1, lan lugt qua 2 diém cé dinh Ă2.1) và B(1.3) và se (cos@ là géc ciia | và 1,), ta c6: Sm? +2m+1 V2 cosø= V2Gm? +2m+1) 2 =*“°=ø=7+kx 4 Do đó quỹ tích là 2 cung chứa góc ø = = đặt trên AB

Bai 47: Để ý | song song với I,,l, nên có hệ số góc k =

Giao điểm của (1,) với Oy la A02) và giao điểm của (I;) với Oy là l3 ’ id 5 A, (0,5), Lech đều 1,,1, nén phai di qua trung điểm của A,.A; do đó Theis ate ; : tung độ gốc là Đo Bass đo đó phương trình của l là: yo$x-Leo3n-2y-7=0 ' Bai 48: Phương trình chính tắc của (d) : *—' m âđ@x-y-4)m=2x~3 : + fe 3x-y-4=0

Trang 38

+) Khi m +) Khi m=—— › đÊTD©2x+1ly+31=0 Vậy phương trình A là: 2x+l1y+31=0, Bai SI: a) Phuong trinh của (P) : x + y b) (P) cắt (đ) tại 3 +] 22 (d) cắt Oy tại B(0.—1) Ta có: AB = 3, pon? cq = 2

Chu vi của tam giác la: 2p = 3(1+ V2)

Trang 39

Bài 53:

a) Hệ số góc của MA: k, =~”"

Hệ số góc của MB: k, =~ c8

®

Phương trình của PA: y = “(x a) (1) m a

Phương trình của PB: y=2(x-b) Q)

Giải hệ (1), (2) ta có ae)

Quỹ tích của P là đường thẳng x = a + b `

b) Phương trinh cia (1) : y =K(x=a) = 24 (xa)

Trang 40

-TNHHGT-Bai 55: 1 in? +eOS" cL a) d(0,(D))= =1 ‹ đo đỏ (D) luôn luôn tiếp xúc đường Ỷ tron tim O ban kinh R - 1 1 b) Toa đ: Al - phương trinh eta Az x =— cosa, phương trình của OT: y = tan z.v => M „tan #.v cosa cos” Phương trình tổng quát : v` = =x'tanz=y°=x'(x

C Câu hởi trắc nghiệm

Câu 1: Diều kiện cần và du đê điêm N(x.y) nằm trên đường thăng ( A ) đi qua

M(x,.y,)' có vectơ pháp tuyển n =(A,B) là:

A, B(x =x_)+Aly-y 0 B Ăx, -x)=Bly-yo)

x=-3+3t

Câu 2: Cho đường thẳng ( A ) có phương trình tham xf cá ys

Định dạng
Số trang	279
Dung lượng	20,61 MB