Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12

Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12 Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12Phương pháp giải toán tự luận hình học giải tích 12

Trang 2

Trần Thị Vđn Anh

Phương phâp giải toân

tự luận

Hinhhoe {9

Trang 3

LOI NOI DAU

De dap tmg nhu cau học tập của học sinh, tăi liệu tham khảo cho giâo viín, tâc giả dê mạnh đạn viết quyền sâch:

Phương phâp giải toân tự luận Hình học giải tích 12 Quyền sâch được phđn chia thănh 2 phan :

A Kiín thức cơ bản

B.Câo dang băi tập cơ bản

Trong phần năy, tâc giả đê phđn chia thănh 9 dạng băi tập cơ bản,bao gồm Dang 1: Câc phĩp toân vẻ vĩctơ

Dạng 2: Tích có hướng vă câc ứng dụng Dang 3: Phương trình mặt phẳng

Dạng 4: Phương trình đường thăng

Dang 5: Vị trí tương đối giữa đường thắng vă đường thẳng giữa đường thang vă mặt phăng giữa mặt phẳng mặt phẳng

Dạng 6: Khoảng câch vă góc

Dạng 7: Mat cau vă câc băi toân liín quan

Dang 8: Băi tập tổng hợp

Dang 9: Sw dung tọa độ vă vĩc tơ dĩ giải toân hình học

Ngoăi ra đề giúp ban đọc hình dung được yíu cầu vă mức độ của câc đề thi đại học, tâc giả đê đưa văo một số băi toân trong câc dĩ thi dai hoc những năm gần đđy để bạn đọc tham khảo Trong mỗi phần, sâch được cau trúc gồm 4 nội dung chính như sau: 1 Phương phâp chung 2 Câc ví dụ mình họa 3 Bai tập vận dụng 4 Hướng dẫn vă đâp số

Phần tóm tắt lý thuyết trong quyển sâch năy được trình băy ngắn gon nhung kha day đủ Với mỗi dạng băi tập cơ bản đều có phương phâp giải cụ thể vă ví dụ minh họa Ngoăi ra, câc băi tập đều có hướng dẫn \ giải chỉ tiết, dễ hiểu Nhiều ví dụ

có lời nhận xĩt để giúp học sinh trânh câc sai lầm cơ bản Câc băi tập được lựa chọn từ dĩ đến khó, có những băi tâc giả đê đưa ra nhiều phương phâp khâc nhau để bạn đọc tham khảo Mặc dù đê hết sức cố gắng, Song lời giải câc băi toân trong quyề sâch năy có khi chưa phải lă phương ân giải hay nhất vă cũng có thể còn thiếu sót Tuy vậy, tâc giả hi vọng rằng quyển sâch năy sẽ giúp ích cho câc bạn

trong quâ trình học tập vă giảng dạy, đặc biệt lă quâ trình tự học

Chúc câc em học sinh vă câc thđy cô giâo quan tđm đến quyền sâch năy thănh công trín mọi lĩnh vực Rất mong nhận được sự góp ý chđn thănh của câc em học sinh vă câc thầy cô giâo, tâc giả xin chđn thănh cảm ơn

Mọi ý kiến đóng gop xin liĩn hĩ:

Trung tđm sâch giâo dục Anpha, 225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp HCM ĐT: 08.62676463, 38547464

Trang 4

1

._ Hệ tọa độ trong không gian

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ tọa độ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi lă hệ

trục tọa độ vuông góc trong không gian

Nếu ta lấy 3 vecto đơn vị ï,j,k lần lượt nằm trín Ox, Oy, Oz thi: <2 +? c2

i =j =k =1; ij=jk=ki=0

Tọa độ của điểm vă vectơ

Trong không gian Oxyz:

Điểm M(x; y; z) = OM =xi+yj+zk

Vecto u =(x; y;z) > U=xi+yj+zk

Cho A(x,; 15 2%);B (Xp; Yas 22) = AB =(X2- X43 Yo - Yas 2 — %)-

Vectơ bằng nhau Tọa độ của veetơ tổng, hiệu Cho u= (KuYuZ.);V =(Xa:Ya#;) x, =X, 8 U=V€> 4ÿ =ỹa Z¡=; b utv= (Xi +X;;Y¡ +ÿa¿;2¡ +#a) c ku =(kx,;ky,;kz,) keR

d mu+nv =(mx, +nx,;my, +ny,;mz, +nz,),m,neĩ R Hai vectơ cùng phương

u,v cùng phương (u//v)( #0)©>k e R:v=ku tức lă:

X, =kx,

X, _¥2

Ya =ky, hay— er = = (xX, Yp% #0)

Ly om kz, 1 1 zy

Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước

Trang 5

6

Đặt biệt, nếu k =~—1 thì M lă trung điểm của đoạn AB vă

w:[5 +Xy Vị tYy Vị s2)

2 2 2

Tích vô hướng của hai vectơ

Cho vectơu = (Xị; Yị; Z4); V (X;; Yạ; Z¿)

a u.v= lh||t|eos(.v) =XIX; †VyY¿ † i2 b.[n|=ø" = x ty? +22 € A(XA;YA;ZA),B(Xa;Yn;Zp) 9$: AB = [AB| = xy ~ x4)" Wp - Ya) + Ĩp ~ Z4)? XiXp + YiV2 + ZZ d.cos(u, v) = shal + o,|v |zo x.+ynt?a\AJXa ty? e uLve©xx, + VY; +Z4Z¿ =0 Tích có hướng của 2 vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ u = (x,;¥,32,); V= (xp Yu; %)

Tích có hướng của hai vectơ u,v, kí hiệu [ u,v ] được xâc định bởi: mi; Tp ae Khi đó: "[ô#]+:(sz]+5: [S#]-RllienG9 * u,v cùng phương [ay v|=0 Vv ZX) |XC Ÿị Xo Yo 2g X¿ *u, v,w đồng phẳng œ [u Jw=0 Câc ứng dụng —_— #* Vip ABCD.A'BCD | AB.AD ].AA O - VehopABCD » =[ a8 AD Mat cau Mặt cầu tam I = (a; b; c) , bân kính R có phương trình: (x8) + (y~ bỶ'+ (ø~ e)Ÿ= RẺ,

Ngược lại, phương trình: x + y: +2 + 2ax + , 2by, + 2cz +d=0l

Trang 6

11

._ Vectơ phâp tuyến của mặt phẳng :

Khi đó I (—a; -b; -c) 1a tam mat cầu vă R = va? +b° +c?®—d lă bân kính mặt cđu

I (-a ; -b; -c)

Chú ý: Trong cuốn sâch năy, khi nói đến vectơ ï, j, k mă không nói gì

thím thì ta hiểu đó lần lượt lă câc vectơ đơn vị của câc truc Ox, Oy, Oz trong hệ trục tọa độ OxyZ

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

* Vecto n#0 được gọi lă vectơ phâp tuyến của mặt phẳng (œ) nếu nó

nằm trín đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (œ), viết tắt lă n 1 (œ)

* Nếu hai vectơ u = (Xị; y¡; Z4); v = (%;; y;; z„) không cùng phương vă

câc đường thẳng chứa chúng song song với (hoặc nằm trín) một mặt

phang (a) thì vectơ Sader mặt phẳng (0œ) ŸW\ Al, , lạ Xị , m Zo Xe] [Xe Ye Yo 2

) lă một vectơ phâp tuyến của

Phương trình tổng quât của mặt phẳng:

Mặt phẳng có phương trình tổng quât 1a Ax + By + Cz + D = 0 với

A’ +B?+C?#40 (1)

Ngược lại, mỗi phương trình có dạng trín đều lă phương trình của một

mặt phẳng Nếu mặt phẳng (œ) có phương trình (1) thì vectơ n= (A; B; C) la

vectơ phâp tuyến của mặt phẳng (œ)

+ Mặt phẳng qua điểm Mạ(X; yo; Zo) vă có vectơ phâp tuyến lă n= (A; B; C) sẽ có phương trình tổng quât lă:

A(x~ xo) + Bứy — yo) + C(Z— 2%) = 0 + Câc trường hợp đặc biệt:

Xĩt mặt phẳng (œ) có phương trình: Ax + By + Cz + D =0

Khi đó:

*D=0©mặt phẳng (a) di qua gốc tọa độ

Trang 7

3 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (œ): Ax + By + Cz + D = 0 vă mặt phẳng (œ):A'x+By+C'z+D'=0 A B_C_D (a! SG (œ) / (œ') ® AT *D e@jo 4.8 £_D FO) e TB ED

(a) cat (a!) <=> AB hose đ Â â hose & eA (a) 1 (a’) = AA’ + BB’.+ CC’ =0

Chú ý: Trong câch viết trín ta quy ước một “phđn số” năo đó có “mẫu số” bằng 0 thì “tử số” cũng bằng 0

4 Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng:

Mặt phẳng (œ) cắt trục Ox tại điểm (a; 0; 0), cắt trục Oy tại điểm (0; b; 0) cắt trục OZ tại điểm (0; 0; c) có phương trình: + Ẵ + : =1, abe#0,

Phương trình năy gọi lă phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng (œ) 7 Góc giữa hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng (œ) : Ax + By + Cz+ D =0 vă (0°): A'x + B'y + C!z+ D =0 Gọi ọ lă góc giữa hai mặt phẳng (ơ) vă (œ'), ta có : |AA' + BB' + CC| cos @ = VA? +B? +C).VA? +B? +0"

8 Khoảng câch từ một điểm tới một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (œ): Ax + By + Cz + D = 0 vă một điểm Mụ = (Xo; Yo: Zo),

khi đó d(M,.(œ)) = ĐT A?+B°+C?

1II PHƯƠNG TRÌNH DUONG THANG

1 Phương trình tổng quât của đường thẳng có dạng:

Ax + By+Cz+D=0 Ax + By+Cz+D'=0

sd ảo B B C C A

với điều kign = # B hoặc PB z eœ hoặc Œœ sẻ xứ

Mỗi phương trình của hệ biểu thị một mặt phẳng, vă điều kiện trín chứng

tỏ hai mặt phẳng cắt nhau Như vậy hệ phương trình cho ta đường, thang giao tuyến của hai mặt phẳng Khi đó, vectơ chỉ phương của đường thăng

Trang 8

Đường thang đi qua diĩm Mo(xo; yo; Zo) ¢6 vectơ chỉ phương u =(a:b;c) có:

xZXạ t+ at

~ Phương trình tham số lă 4y = y„ + bt te R Z=2Z, +ct

Mỗi giâ trị t cho ta giâ trị x, y, Z tương ứng lă tọa độ của một điểm M thuộc đường thăng

„+

~ Phương trình chính tắc lă: =e Y~% 27% a b ic

Vị trí tương đối của đường thắng d (đi qua Mụ vă có vectơ chỉ phương u) với đường thắng d' (đi qua M; vă có vtep u')

với điều kiện abc + 0 + d vă đ' cùng nằm trong một mặt phẳng ° [u,u'].M.M, =0 „ [u,w].M,M, =0 + d vă đ' ct nhau â [zz] ô 6 [5.MM | 26 +ded’ o [ua] = [SMM] +6

+d, d° chĩo nhau es |u.u | MạM, z 0

Khi giải băi tập, nếu biết phương trình của 2 đường thằng d, d' ta cũng có thể xĩt vị trí tương đối giữa chúng bằng câch giải hệ phương trình dĩ tìm giao điểm

* Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d, d' cắt nhau

* Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d = đ'

* Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d, d` song song hoặc chĩo nhau, lúc đó xĩt thím veetơ chí phương của chúng, 2 đường thẳng chĩo nhau thì 2

vectơ đó khâc phương

VỊ trí tương đối của đường thẳng d đi qua điểm Mu(Xụ; yo; Zo) có

Trang 9

$S;

10

Aa + Bb + Cc =0

+ả ere eo aes

+d (a) © u, n, cing phuong © [un, | “sỹ

Cũng có thể xĩt vị trí tương đối của d vă (œ) bằng câch xĩt hệ phương

trình để tìm giao điểm _ l :

Góc giữa hai đường thăng , góc giữa đường thăng vă mặt phăng + Cho hai đường thẳng d, d' lần lượt có vectơ chỉ phương ủa; b; e) vă

ut = (a'; b); e) Góc ọ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:

lui |aa' +bb' + cc| COS@ = r~

Va? +b? +c? va” +b” +c?

+ Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u(a; b; e) vă mp (0) có vectơ phâp tuyến n(A; B; C) Goi ọ lă góc hợp bởi d vă (œ) thì được tính theo công thức: (0 < < 90°) [ual |Aa + Bb + Cd sing = 4) = u fu VA? +B? +0? va? +b? +07 Khoang cach :

+ Khoảng câch từ điểm Mi(xi; yị; Z¡) tới đường thẳng d (đi qua Mụ vă có vecto chỉ phương u(a; b; e))

Câch 1:

~ Viết phương trình mp(œ) qua Mạ vă vuông góc với đường thẳng d ~— Tìm tọa độ giao điểm H của d vă (a)

~ d(M), d) = MiH

ul

+ Khoảng câch giữa hai đường thang d (di qua Mo với vectơ chỉ phương

Trang 10

B PHAN DANG BAI TẬP CAC PHEP TOAN VE VEC TO

A Phương phâp chung

Đề giải quyết tốt câc băi toân ở dạng năy, trước hết chúng ta cần nắm

vững câc khâi niệm vă tính chất sau:

1 Hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được goi lă hệ trục

tọa độ vuông góc trong không gian Điểm O được gọi lă gốc tọa độ, Ox

gọi lă trục hoănh, Oy gọi lă trục tung, Oz gọi lă trục cao Câc mat phẳng chứa hai trong ba trục tọa độ gọi lă mặt phẳng tọa độ, ký hiệu lă

mp(Oxy), mp (Oyz) , mp (Ox2)

Nếu ta lấy 3 vectơ đơn vị ï,j,k lần lượt nằm trín Ox, Oy, Oz thi :

i =(1;0;0);}=(0;1;0);k =(0,0;1)va 7 =} =k =1; ij-jk=Ki=0

Tọa độ của điểm vă vectơ

Trong không gian Oxyz: Điểm M(x;y;z) ©œ OM =xi+yj+zk

nN

Vecto u= (X:y;Z) © u=xi+ yj+ zk

Cho A(x13y1521), B(x23y2322) > AB = (X¿ —Xi;Y¿ — V722 —21)- Vectơ bằng nhau Tọa độ của vectơ tổng, hiệu Cho u=(x1391521)3 V = (X25 ¥2522) X, =X, ~ b utV=(x, £x3Y, +932, £2) c ku =(kx,;ky,;kz,), ke R

d.mu+nv=(mx, +nx,;my, +ny,;mz,+nz,) ,m,neR 4 Hai vectơ cùng phương

u,v cùng phương (u//v)(u #0) >k e R TIẾN tức lă:

x, =kx,;y, =ky9;2, = kz,hay~! sleiteot 71: (xp #0;y, #032, #0)

Xy a

Điều kiện cần vă đủ để ba điểm ABC thẳng hăng

A, B, C thing hang<> AC=kAB (ke R.)

Trang 11

5 Chia doan thing theo tỉ số cho trước

a Điểm M chia đoạn thăng AB theo tỉ số k <> MA =kMB (k #1) Khi A(xi; y\; Z0); BGø; y2; Z2) ta có: x, —kx, oe y, —ky, =e z, -kz, TT (ca 1< lok b Đặt biệt, nếu k = —1 thì M lă trung điểm của đoạn AB vă v5 +H, Y, + 99.4 s2) Be See te Bree Xy = X, +Xp +X Xq = 3 c Nếu G lă trọng tđm của tam giâc ABC ta có: yọ =2 T1, ZA +Zn +Z, 2g =~ ` 0 XẠ +Xp + Xc +Xp Xạ=-^————— 4 d Nếu G lă trọng tđm của tứ diện ABCD ta có: Yq = OEEWE ZA +Zp †+2o †Zp NGHhhÌ:

6 Tích vơ hướng của hai vectơ

Cho u =(Xị;y¡;24); V = (X;; Va;Za)

a uv= |ul.|]-coscu.v) =XIX¿ + VIY¿, +Z42¿

b R|=ía =(x? +9 +22

c AB =|AB]= (xp —X¿)Ÿ +(ÿg —YA)” +(Zp —ZA)”

đ cos(uv) = Xi%2 + Vi¥2 +214 ; ful # 0,|y| #0 x7 ty, +27, /x*, ty", +27, ,

e u.Lvôâu.v=0<>XĂX; + ĂY +Z¡Z¿ =0

Câc dạng băi tập thường gặp ở trong phần năy lă :

' Xâc định tọa độ của một vec tơ khi biết một điều kiện năo đó

4 Chứng minh hai vec tơ cùng phương với nhau

Xâc định tham số để hai vec tơ cùng phương với nhau 3 Chứng mình hai yec to vuông góc với nhau

Xâc định tham số đề hai vec tơ vuông sóc với nhau

4 Xâc định hình tính của một bộ ba hoặc bón điểm đồng phẳng 5 Tính góc giữa hai vec ta’

6 ` Chứng mình ba điểm thắng hăng Xâc định tham số để ba điểm thắng hăng

Trang 12

B Câc ví dụ mình họa

Lí dụ I: Cho hai vecto u=(1;1;-4) vă v=(9:-1;ra) Tính m để góc giữa hai vec tơ u vă v có số do bang 45° Giải: Âp dụng công thức tính cos(u,v}, ta có: ¬ 1-4m _ (1) 3V2.\m? +5 Gĩc pitta Ú sẽ: ý có số đo bằng 46? uiển cas(1,)=- @) PWD) se gay, 3/2.Vm°+5 V2 Ta có: ng =- eo 1- 4m =8 +5 3/9jm°+5 V2 = (1-4m)’ =9(m? +õ) với điều kiện 1~ 4m >0 1 m<— 1 4 m<— o 4 ©4Ìm=-2€©m=-2 7m” -8m~44 =0 92 mm

Vậy với m= -2 thì góc giữa hai vec tơ u vă v có số đo bing 45°

Vi du 2: Cho vec to u = (3;-5;6) ,biĩt tọa độ điểm đầu của vec tơ u lă

(0:6:2).Xâc định tọa độ điểm cuối của vec tơ u c Giải: Gọi tọa độ điểm cuôi lă (x;y;z) Ta có: x-0=3 x=3 (x~0;y—6;z~2) =(3;—5;6) =4y—6=-ð = 4y =1 z-2=6 z=8 Vậy tọa độ điểm cuối của vec tơ u lă 6;1;8)

Ví dụ 3: Đôi với hệ tọa độ (0; i; ik) „ cho vectơ tùy ý u z0 Tính giâ trị của biểu thức T'=eos? (6) +cos” (u,3) + cos” (uk) ý

Giải:

Đặt u=(a;b;c), ta có {ul = Va? +b? +?

Trang 13

° 1=(1;0;0) = cos(u j]= ih fl ° 3 = (0;1;0) = cos(u,}) “a lì il ° k= (101) = ene) =F owas: lll —=-\ a? +b?+c* Vậy cos? (u,i) + cos” (u,3) + cos* (u, k) = Fi u Vi du 4: Biĩt {al=2, {o]=5, gĩc gitta u va v bing = Tính k để veetơ =1 Pp=ku+17v vuông góc với vectơ q= 3u~ v oat Ta có p.q 7“ + ela =3ku -17V +(51 yas l|=a=v” =4 ; JJ=s=v” =25 wy =|l||l|eos(0,v)=2.5.eos 2x = 25, (- 3)" -5 Vay p.q=3ku ~17V +(51-k) v = 12k -17.25 + (51-k)(-5) = 17k — 680 Pq€p.q=0 ©17k ~680 =0 k = 40

Vậy với k = 40 thì vectơ p =ku+17v vuông góc với vectơ q = 3u - v

Trang 14

5 - ( 25 14)

$ m=-5 =B=| Trai “aie Vay voi m = = thi ||

3 la| =

Lí dụ 6: Cho bốn điểm A(6:0;-4), B(-1;9;~3), C(3:-3;0) vă D(10;-5;~1)

Chtmg minh rang ABCD lă hình bình hănh

Giải

Fa có: AB =(-7;2;1); AD = (4;-5:3); DC =(-7;2;1)

AB va AD khong cùng phương,

a AB = DG, AB.AD =-35 40

Vay ABCD 1a hinh binh hanh „

Chú ý: Trong ví dụ năy, tâc giả muon loại câc trường hợp ABCD lă hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi Thực ra trong toân học câc hình đó đều lă một dạng đặc biệt của hình bình hănh Người ta đê chứng mình được rang: Voi 4 điểm A, B, C, D không thăng hăng, ABCD lă hình bình hănh khi vă chỉ khi AB = DC 1í dụ 7: Cho tứ giâc ABCD với A(-1;3;4), B(3;1;8), C(—1;-3;10) vă D(-5;—1;6) Tứ giâc ABCD lă hình gì? Giải Ta có : AB =(4;~9;4);AD = (~4;~4;9); DC = (4;~3;4) > AB=DC; AB=AD=6; AB.AD=0

Suy ra ABCD lă hình vuông

Lí dụ 8: Cho tứ giâc ABCD với A(0;-3;1), B(3;2;-5), C(5;2;-4) va D(2:~2;2) Tứ giâc ABCD lă hình gì? Giải Ta có: AB =(3;4;~6);AD = (2;0;1); DC = (3; 4;-6) AB=DC > 4 AB = 61 4 AD= V5 Suy ra ABCD lă hình chữ nhật AB.AD =0 Ví dụ 9: Cho tứ giâc ABCD vĩi A(1;-2;3), B(3;0;-1), C(-1;-2;1) va D(-3;~4;5) Tứ giâc ABCD lă hình gì? Giải Ta có AB= (2;2;-4); AD = (-4;-2;2); DG= (2;2;-4)

-» AB=DC; AB=AD= 24; ABAD <0, suy ra AB va AD khong cùng phương Do đó ABCD lă hình thoi

Trang 15

Ví dụ 10: Tìm điểm M trín trục Oy, câch đều hai điểm A(-4:3;:2) vă B(-1;2;-3)

Giải

“e y;0) c Oy, ta có

=v16+(y- 3) P44; MB = J1+(y- a): +9

M câch dĩu hai diĩm A va B¢> MA = MB

©16+(y~8) +4=1+(y =B) +9 y= Vậy tọa độ điểm M thỏa điều kiện băi toân lă: MÍo si 0| %

Vi du 11: Cho hai điểm M(2;—1;4) vă 1(-3;2;5) Tìm điểm M` đối xứng

với M qua I

Giải

Câch 1: M'(x:y:z) đối xứng với M(2;~1;4) qua điểm le I(=8;2;5) lă

trung điểm của MM" X = 2x, -Xy x=-3.2-2 © 4y =2y,-yy hy =2.2+1 Vay M'(-8;5;6) Z= 22, -—Zy z=2.5-4 Câch 2: M'(x;y;z) đối xứng với M(2;~1;4) qua điểm I SH sen Z t P2 âMI+MTI=0ô>43+2-y=0 â4y=ừ 1+5-z=0 z=6 Vay M'(-8;5;6)

Ví dụ 12: Cho hai điểm 1(0;0;-2) va M(- 453; 1) Tim toa độ điểm M' lă ảnh của điểm M qua phĩp vị tự V tđm Ï tỉ số k =-9 Giải M'{x'!;y',2') lă ảnh của M(-4;3;1) qua phĩp vi ty Vi.) x'=Xị =~2(Xụ — Xị) IM'=kIM ©IM'=-2ÏM © y'—Y¡ =~2(Yw —Y¡) z'- 2 = -2(2y -2) <= M'(8;-6;-8)

Vi du 13: Cho tam giâc IJK voi 1(2;0;-5), J(-1;5;-4) K(4;2;-9) Tìm tọa

độ tđm đường tròn ngoại tiếp tam giâc IJK

Trang 16

Giải Câch I: Ta có TJ =(-3:5:1); JK =(5;-3;-5); KĨ =(-2;~9:4) = IJ.KÏ =0 = IJ 1 KI Vậy tam giâc LIK vuông ở I Do đó tđm đường tròn ngoại tiếp tam giâc f« «€ IJK 1a trung diĩm của JK, đó lă điểm có tọa độ (š5:-3) Vậy tọa độ ‘ : {3 7 138

tđm đường tròn ngoại tiệp tam giâc [IK lă |—:—:—— | đm đường tròn ngoại tiếp tam giâc Ass 3)

Câch 2: Câch giải năy có thí sự dụng cho câc băi tôn dạng năy nhưng khơng ở trường hợp đặc biệt như ví dụ trín

Goi M (x; y, z) lă tđm đường tròn ngoại tiếpAIJK khi đó ta có

IM = MU = MK Giải hệ phương trình năy ta có tọa độ của điểm M Ví dụ 14: Cho tam giâc ABC với A(2;0;-4), B(-1;0;-7), C(-2;-1;-3)

Trực tđm của tam giâc ABC có tọa đô lă bao nhiíu?

Giải

Tacó AB=(-3;0;-3); BC=(-1;-1;4); CA =(4;1;-1)

= AB=BC =CA = V18, suy ra tam gidc ABC Ia tam giâc đều

Do đó trực tđm của tam giâc ABC trùng với trọng tđm G của nó, mă tọa

độ của điểm S(-š:-g:- 3): 3 3 3

di đ ù tâ 5 a( 1 1 14

Vậy trực tđm của tam giâc ABC có tọa as(-2:-4,-14),

“ 7

Vi du 15: Cho ba điểm A(7;5;1), B(4;5;~2), C(3;4;2).Tim tọa độ điểm M

thuộc mặt phẳng (Oxy) vă câch đều ba điểm A, B, C

Giải: Ta có M(x;y;0) mp(Oxy) , suy ra :

MA? =(x~7) +(y—5)” +1; MBÍ =(x-4)” +(y~—5)” +4

MŒ? =(x~3)” +(y ~4)” +1; M câch đều ba điểm A, B, C

MA? = MB? MB? = MC?

[(x-7)' +1=(x-4} +4 (1)

oe |(x-4}' +(y-B)°+4=(x-8+(y-4Ÿ'+4 @ 2 2 2 2

Giải hệ phương trình (1) vă (2) ta được x=5 ;y =3 Vậy tọa độ điểm M

thuộc mp(Oxy) vă câch đều ba điểm A, B, C lă M(5;3;0)

c> MA=MB=MEc: |

Trang 17

2 =i,

Ví du 16: Cho tam gidc ABC vĩi A(m?; m—5;-2), B(-2m; 3m’;

C(3m -2;2m? -1;6) Xâc định m để tam giâc ABC có trọng tđm G ở trín trục Oz Giải: Trọng tđm G của tam giâc ABC có tọa độ: m°+m-~2 5m? +m-6 8 7 3 , ©m=l =0 2 -2= GeOres{* Nh seine ail Yq =0 5m? +m-6=0

Suy ra trong tam G 6 trĩn trục Oz của tam giâc ABC lă G(0;0;1) Vậy với m=l thì tam giâc ABC có trọng tđm G ở trín trục Öz

Ví dụ 17: Cho vectơ v =(4;-3;2) vă O(0;0;0) lă gốc tọa độ Gọi M; lă ảnh của điểm M(-1;0;~3) qua phĩp tịnh tiến Ty vă M' lă ảnh của M, qua

phĩp đối xứng tđm Ð o: Tọa độ của M" lă bao nhiíu? Giải: M(-1;0;-3) se aay >My (x13915%1) 5005] M'(x;y';z') x, +1=4 x, =3 x'=-X, Ta có MM, =v (y,-0=-3@(y, =-3;M'{y'=-y, Z,+3=2 Z¿ =—Ì Z'=-2, Vậy M'(-3;3;1)

Ví dụ 18: Cho tam giâc ABC với A(-2;0;-3), B(-4;1;-1) va C(-4;-4;1)

AD lă phđn giâc trong tại A của tam giâc ABC(DeBC) Tìm tọa độ điểm D ê Giải: Theo tinh chat cung phđn giâc trong, ta có: DB AB v DB_1 —=— với AB=3;, AC=6ôe> âDC=2DB(I DC AC Ÿ DC 2 a

DC va DB lă hai vectơ ngược hướng nín từ (1) ta có: DC =-2DB

Trang 18

Vậy tọa độ điểm p{-4.-2,-4) 3 3 Vidu 19: Xac dinh m dĩ hai vecto a =(-1;4;-3) vă b=(m? -2; 2m~m”;~3m] cùng phương Giải: m? -2 _ 2m-m? -3m 1 64 -8 a vă b cùng phương = _, }3m* +2m-8 =0 ~ |3m? +6m =0 Lí dự 20: Tìm điểm M thuộc mặt phang (Oyz) dĩ ba diĩm M, N(2;1;-5) vă P (3;-2;-7) thang hang om=-2 Giải: Câch 1:M(0;y;z)€mp(Oyz); M, N, P thing hăng © MN va NP cùng phương: MN =(2;1-y;-5-z); NP =(1;-3;-2) Do NPz0 nín J ak Sj SEs y=7 MN vă NP cùng phương © A NAY Jett =1 1 -3 -2 z=-1 Vay M(0;7;-1) - Câch 2: Ta có hai vec tơ cùng phương khi vă chỉ khi v =ku, do đó M, N, P thăng hăng MN vă NP cùng phương MN =kNP 2=k k=2 <>41-y=-3k ©4y=7 Vậy M(0;7,—1) -5-z=-2 z=-l Vi du 21: Cho ba diĩm A(2;5;3),B(3;7;4),C(x;y;6) Tim x, y dĩ ba điểm Ạ,B,€ thắng hăng Giải: Ta có A(2;5;3), B(3;7;4),C(x; y;6) => AB =(1;2;1);AC =(x-2;y-5;3) x-2=k x=5 A, B, C thing hange> AC=kAB =>{y-5=2k=>jy=11 3=k k=3

Vậy giâ trị x,y để ba điểm A, B, C thang hang lax = 5; y = 11

Ví dụ 22: Cho hai điểm A(-1;6;6),B(3;-6;~9) Tìm M thuộc mặt phẳng

(Oxy) sao cho MA + MB có giâ trị nhỏ nhất

Trang 19

Giải:

Vi z, =6;z, =-2 > 2.23 <0= A, B ở hai phía của mặt phẳng (Oxy)

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi A, B, M thẳng hăng

Goi i Mx; y; Z) thuộc mặt phẳng (Oxy) => AM =(x+1;y -6;-6); AB = (4; —12; —8) > "i y-6 -6||-6 x+1| |x+1l y-6 :| AM,AB|= ; ; Ta có: [AM aa) ie 4 -8 414 “a = (-8y — 24; 8x — 16; -12x — 4y + 12) = 0 -8y -24=0 x=2 © -8x-16=0 ={ y=-3 -12x-—4y+12=0 Vậy M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho MA + MB có giâ trị nhỏ nhất lă M (2;-3; 0)

Trang 20

Giải: a/ Tacó: a =99+12 +(-2) =9 => |al- 3 b =0? +(-J} +(J2} =4 =|ll | | a,b, +a,b, + a,b, 9.0-1./9-32./2 v2 la |b} / 3.2 2° Do đó cos(a,b) = Vậy (a,b) = 135° bí Ta có: a.b= -3(v2); V LW& V.W =0 © (3a + 3mb](ma -b)=0 = 3V2m? - 2m -2V2 =0 m = ri + V3) ‘ Vậy giâ trị m dĩ hai vectơ V =9a + 3mb vă W =ma-—b vuông góc lă a ey, + V3) 6 Ví dụ 25: Cho ba vecto a= = 3:1), b=(1;-3;~1), c=(-2;4;3) Xâc định vecto đ biết rằng ad=3, bd=4 va cd=2 Giải: Gọi d= (x;y;Z) ta có: ad =3 ¢ 2x+3y+z=3 (1) b.d=4 œx-9y—z=4 (2) cd=2œ©~-2x+4y+3z=2 (3) Từ (1) vă (2), ta có: 3x + y =7 (4) Từ (2) vă (3), ta có: x—2y =14 (5)

Giải hệ phương trình (4) va (5), taco: x=4, y=-5 Thay x vă y văo (2), ta có: z=10.Vậy d= (4;-5;10)

Vi du 26: Cho hinh chop A.BCD voi A (3;1;-2), B(2;5;1), C(-1;8;4),

D(1;-2;6)

a/ Tính tọa độ chđn H của đường cao AH của hình chóp b/ Tính đường cao AH vă thí tích khôi chóp

c/ Tinh tọa độ trọng tđm hình chóp

Giải:

a“ Gọi x, y, z lă tọa độ của chđn H của đường cao AH trín mặt phăng

(BCD): AH +(BCD)

Trang 21

Ta có: AH=(x-3; y—1;z+2); DH =(x~ 1;y + 2;—6) DB =(1;7;-5); DC =(-2;10;-2).Vi AH 1 (BCD), nĩn: AH | DH (x-1)(x-3)+(y +2)(y—1)+(2-6)(z+2)=0 (1) AH LDB © 4(x-3)+7(y-1)-5(z+2)=0 (2) AH LDG (x-3)—5(y—1)+(z+2)=0 (3) Từ (2) vă (3), ta có: 2(y—1)=z+2©>z=2y- 4

Thay z+2=2(y —1) văo (2), ta có: x=3y

Thay z vă x văo (1), ta có:(y —1)(14y -21) =0 <> y=1 hay y=5 Với y =l,ta có x=3 văz=-9—= điểm A(3;1;-2)

Với y=2,, thes t=! veges điểm 4(3.3;-1) 2 2 #9 2 2 9 3 2 14 b/ Taco: AH? =|=- aco: AH (3 3) 'Í =-1]| ) +(-1+2) +(-1+2)' =— P Vậy AH= `” Ta có BC = (-3;3;3) va BD = (—1;-7;5) Diện tích đây BCD lă: 2 2 2 3 SỨ |3 -38Ÿ la 8 — 4S8c =| Lạ 5 +f 24| #13 <a = 14.12? © Sgep = 6x14 (đvdt) Thẻ tích khối chóp: V = 5 Ovid KẾ =14 (đvt)) * Câch khâc: Ý = =[DA, DB].DC|=14 (Avis c/_ Tọa độ trọng tđm G cua hinh chop ABCD: x=7(342-141)=5 y=F(1+5+8-2)=3 =d(ŸaŸ), 2=1(-2+1+4+6)=° 4 4

Ví dụ 27: Cho ba điểm A(4;-3;2), B(-2;m;3), C(n;4;~2) Tính m v¿ n đí:

a/ Điểm G(2;-1;1) lă trọng tđm của tam giâc ABC

b/ Ba điểm A, B, C thẳng hăng _

Trang 22

Giải: a/ Tọa độ trọng tđm G của tam giâc ABC: Xo =(Xạ +Xp + Xc) 2=3(4~#+n) =A vo= sẮYA +Yg+Yyc)© 4-1 =a(-8+ m+4)< za = (ts + Zp +Ze) 1=3(2+3-2) bí Tacó AB=(—6;m+3;1); AC =(n-4;7;-4) Nếu mz -3 ta có A,B,C thăng hăng «+ AB vă AC cùng phương yne4_ 7-4 ees n=28 "6 m+3 1 m+3=-— m=—— = 4 4 Nếu m = ~3 suy ra vô lý Vậy để ba điểm A, B C thăng hăng thì n=28;m= a 4

Chú ý : Ở băi toân năy chúng ta có thí sử dụng câch khâc như sau:

A,B,C thăng hăng AC = -kAB (ke R.) Từ đó giải hệ ba phương trình ba ẩn số thì ta có kết quả cần tìm

c/ Cho E(x;0;z) Ta có: AG =(-2;9;~1) vă AE = (x -4;3;2—2) AE cùng phương với AG

Vi du 28: Cho tam giâc ABC có A(1;-2;6), B(9;5;1), C(-1;8;4)

a/ Tính tọa độ câc chđn E vă F của câc đường phđn giâc trong vă ngoăi của góc A của tam giâc ABC trín BC

Trang 23

Do đó: EB s 6(2-x)=5(T1~X) (x=17 FG 7g 6EB =5FŨ œ 6(5-y)=5(8-y) >Fyy=-10 6(1-z)=5(4-z) z=-14 * Câch khâc: F lă điềm chia đoạn BC theo tỷ số k = 2 Do đó ta có công thức của tọa độ F: 8 x=17 y =— = => 4y =-10 > F(17;-10;-14) 1= z=-14 Zp —kếc _ 6 1-k pe 6 fie 7 70.26 Tương tự, tọa độ của E| —;——;— | ene (z 11 7] Z= b/ Ta có: AF? =(17—1)” +(—10 +9) +(—14—6)” = 790 = AF =12/5 Am Tuong tu: AE = en

Ví dụ 29: Cho hình tứ diện ABCD, E va F lần lượt lă trung điểm của cạnh

AC va BD, O lă trung điểm của EF

1 Chứng minh OA +OB+O€+OD =0

2 G¡ lă trọng tđm của ABCD chứng minh AG¡ qua O, từ đó chứng minh 4 đoạn thăng nôi từ đỉnh của tứ diện với trọng tđm của câc mặt đôi

diện đồng quy tại O

3 Chứng minh 3 đoạn thẳng nối câc cặp trung điểm của câc cặp cạnh

đối của tứ diện cũng đồng quy tại O

4 Với M lă điểm bất kì hêy chứng minh MA + MB + MÔ + MŨ =4MO, từ đó hêy xâc dinh diĩm M sao cho MA + MB+ MC + MD =2AC

5 Với ABCD lă tứ diện đều cạnh a, tìm tập hợp câc điểm M sao cho:

|MA + MB + MG + MD| =av6

Trang 24

k9 ta Giải: Ta có OA+O06=20E:; OB+OD=20F Do dĩ OA +OB+0C+0D =20K+20F =2(OE+O0F)=2«0-=0 Vi G¡ lă trọng tđm của ABCD nín có G,B+G,C+G,D=0 va OB+0C+0D=30G, Ma OA+OB+0C+OD=0

nĩn c6 OA +30G, =0 hay OA =-30G, Suy ra A, O, G, thing hang

vă O la diĩm chia doan AG; voi ti số ne =g.Với Go, G3, G4 lan lượt lă trong tđm của câc mặt ACD, ABD: ABC, ta cũng chứng minh tương tự như trín, suy ra BGạ, CG3, DG, qua O Vay 4 đoạn thăng nói từ đỉnh của tứ điện với trọng tđm của câc mặt đối diện đồng quy tai O

Gọi 1 K lần lượt lă trung điểm của AB vă CD, ta chimg minh IK qua

0.Ta co: OA +OB=201; OC+OD =90K

Do dĩ OA +OB+OG+OD-=2(01+OK) mi OA +OB+0C+OD=0

nín có 2(O1 + OK) =0,suy ra O1+ OK =0

=O lă trung điểm của IK hay IK qua O Tương tự chứng minh đoạn thăng noi cặp trung điểm của BC vă AD cũng qua O.Vậy ba đoạn thăng nói câc cặp trung điểm của câc cặp cạnh dối của tứ diện cũng đồng quy tại O

Tacó MA+MB=32MÏ; MC+ MŨD =9MK

Do dĩ MÊ + MB + MÔ + MŨ = 2(MĨ + MK) = 2(2MO) =4MO M thoa man MA + MB + MG + MD = 2AG

@ 4MO = 2AG © MƠ - x = AB Vậy M lă đỉnh của hình Bình hănh

AEOM, dựng trong mặt phẳng (ACF)

Với ABCD lă tứ diện đíu cạnh a thì AG¡ còn lă đường cao của tứ diện

đều do đó:AG, < S5 vă 0A = ÝAG, nh =

Trang 25

Vậy tập hợp câc điểm M thỏa mên điều kiện băi toân lă mặt cầu tim O, bân kính R = “ „ ngoại tiếp tứ diện đều ABCD

Ví dụ 30: Cho hình chóp S.ABCD, đây lă tứ giâc M lă trung điểm cạnh AB,

N lă trung điểm của cạnh CD, G vă G¡ lần lượt lă trọng tđm của đây (*) vă mặt bín SCD

1 Xâc định một điểm I sao cho IÔ + IB + IC + IÖ + IS = 0

2 Chứng minh SG vă MG¡ qua I, từ đó chứng minh rằng đoạn thang nói từ đỉnh với trọng tđm của đây cùng với 4 đoạn thắng nói trung điểm của một cạnh đây với trọng tđm mặt đối diện thì đồng quy tại I

3 E lă trung điểm của SA, đường thắng EI cắt mặt phẳng đây tại F, chứng minh F lă trọng tđm của ABCD

Giải:

._ Vì M,N lă trung điểm của AB vă CD ta có:

IA+IB=3IM, IƠ+[ID=3ïÑ, IA+IB+I€+ID =2(TM+IN)

Do G lă trung điểm của MN nín IM +IN =32IG vă

GA +GB+GC+GD =9GM +9GN =0 nín G lă trọng tđm của tứ giâc

ABCD Do đó IÔ +TB + IỞ + ID =4IG

IA+IB+I€+IÐ+IS=0 © 41G +IS=0 Điều đó chứng tỏ I lă điểm

nằm trín đoạn SG vă Rel

2 G¡ lă trọng tđm ASCD nín có IỔ + ID + IS =31G, do đó:

26

Gia str F lă trọng tđm ABCD nín ta có

TA +IB+IC+ID+IS=2IM+3IG, =0 suy ra I la diĩm trín đoạn MG¡

3

va ‘i => Vay MG, qua I va SG qua I Tuong tu, ta cũng chứng minh được 3 đoạn thăng nói câc cặp trung điểm của BC, CD, AD với trong

tđm của ASAD; ASAB; ASBC đều qua I

IB+I€+1ID =3IE E lă trung điểm của SA suy ra IA + IS = 3IE Do đó

IA +IB +I€ + ID + TS =3IE + 3IE =0

IE 3

hay ay I lă điểm thuộc đoạn EF vi IF 2 I lă điểm thuộc đoạn EF vă — ==, EF qua I, va F lă giao điểm của EI với

Trang 26

ans 10." 12 13 14."

C Bai tap van dung

Cho vecto v - Ík11J, biết tọa độ điểm cuối của vec tơ v lă (214)

Xâ: định tọa độ điểm đầu của vec to v

Cho hai vec to a =(-1:3;5); b =(2m° +m +56;m? +2m;m!' + m* - 49) Tìm giâ trị m dĩ a=b

Cho hai vecto u = (3; -6; 2); v= (m? + m)i+ 2m) + (m? + 2m)k

Iìnm để u lv, biết v#Ö

Cho a=(m+ 5;2m;-m);b =(3;6;-2).Tim m dĩ la| =|)|

Ch› v=(2a —1;a”;a +8) Xâc định a để |v| bĩ nhất vă tìm min v

Ch› ba điểm A(9;~-1;1), B(3;-2;-1), C(1;3;4)

1.1im tọa độ giao điểm của đường thắng ` vă mặt phẳng (yOZ)

2.Jim điểm N trín x`Ox câch đều A vă B

3.1ìm điểm E trín mặt phẳng (xOy) câch đều A, B vă C

Cho A ABC có A (1; =3; 0), B (1; -6; 4), C (13; =3; 0) Tìm bân kính

đường tròn nội tiếp A ABC

Ch›u =(m? -4;3m +1;m? + 1) va v = (-2;-4;-4) Tinh m dĩ v= -2u Cho ba vecto a= (-3;1;-2), b= (-6;-3;3) va c= (-4:3;-5) Có thể

phin tich e theo a vă b được không?

Trong (Oxyz) cho M(-1; 3; 2), N(3; 4; 0) vă P(0; —1; 3) Tìm toạ độ của điềm Q sao cho MNPQ lă hình bình hănh

C†lo hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Biĩt A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), DG; -1; 0,

€4; 5; =5) Tìm toạ độ câc đỉnh còn lại

Cho hình hộp ABCD.A'B'C}D' có A(x;; y¡; 2), BE; yz; 22), Cx; Y3; Zs) Va D%x,; yy, z,) Tim toa d6 cae dinh con lai

Cto a =(2;-5;3),b = (0;2;-1),c = (1;7;2)

a.7inh toạ độ cla v = 4a — b+ 3e

b.“ính toạ độ của x thoả: a+x=b+e

Trang 27

16 17 18 19 20 21 2 28 Tính góc tạo bởi câc cặp cạnh đối trong tứ diện ABCD voi A(1; 0: 0), B(O; 1; 0), C(0; 0 ; 1), D2; 1; =1) Cho a= (3; ~2; 4), b =(5; 1; 6), ¢ =(-3; 0; 2) Tìm xbiết: a.x=4, b.x=35 vă c.x= 0 Chứng minh rằng câc điểm sau day A(1;1;1),B(2;3;4), C(6;5;2), D(7: 7;5) lă bốn đỉnh của một hình bình hănh Tính diện tích hình bình hănh đó Cho hai điểm A(2;-1;7),B(4;5;-2) Đường thăng AB cắt mặt phăng

(Oyz) tại điểm M Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số năo Từ đó suy ra tọa độ diĩm M Phan tich vecto V = (4;3;-5) theo ba vectơ không đồng phẳng: =(3-L1), b =(1;-3;2), c= (-3;2;-2) Cho ba điểm A(3;1;0), B(2;1;-1), C(x;y;-1) 1 Tính x vă y để A, B, C thăng hăng

2 Tính x vă y để (2-1-2) lă trọng tđm của tam giâc ABC

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', E vă F lần lượt lă trọng tđm ABDA' vă

ACB’D’

1 Chứng minh rằng a đường chĩo của hình hộp đồng quy tại O va O lă

trung điểm của mỗi đường

2 Chứng minh rằng E vă F đối xứng nhau qua O

3 Chứng minh rằng E vă F lă giao điểm của đường chĩo AC' với mặt

phăng (BDA') vă mặt phẳng (CB'D') , AE = EF = FC’

4 Nếu ABCD.A'B`C'D' lă hình lập phương cạnh a, với M lă điểm di

động trong không gian sao cho:

'MA+MB+MC+MD+MA'+MB'+ MC'+MD' =k

Hêy xâc định k để tập hợp của M lă mặt cầu tđm O tiếp xúc với câc

cạnh của hình lập phương

5 Nếu ABCD.A"B`C'D' lă hình hộp chữ nhật đường chĩo lă 6d, tìm tập

hợp câc điểm N sao cho:

NB? +NCŒ? +ND? +NA ?+NB + NGC?+ ND'®~7NA? = 72d?

D Hướng dẫn vă đâp số

.- Tọa độ điểm đầu của vec to v la : (1;0;3)

Ta có: a= (x;y:z):b= (xyz); Khi đó a=b«e€>x=x' SyY=y'z=z' 2m* +m +56=-1

Do đó ta có hệ phương trình: 4m” + 2m =3

Trang 28

te t9 Giải hệ phương trình ta cóm =— 3 Vậy a=be>m=- 3 Ta có v =(m? +m)i+ 2mj+(m? +2m)k v=(m? +m;2m;m? + 2m) Do dĩ uly < 0v =0 hay 3(m? +m)—6(2m) + 2(m” + 9m) =0 © 3m” + 3m -19m + 2m” + 4m =0 © 5m” 5m =0 On " Khi m= 0 ta có v=0 (loại) Khi m= I ta có v=(2;9;3) z0 Vậy với m = I thì u | v =\j(m +5)” + 4m” + m” = 6m” +10m + 95 \b| = V9+36+4 =7 Vậy {al =[b] af Ta có: la Hay 6m” + 10m + 25 =49© 6m? + 10m -24 =0 m=-3 <> 3m” +5m-12=0 © 4 Vậy với m=— 3 hoặc m= _ thì | =|} 3

Tacĩ v=(2a-1)? +a? +(a +8)? = \j6(a +1)? +59 >59

Goi M(0;y;z) 1a giao diĩm của đường thăng AB vă mặt phẳng (yOZ)

Ta có AM= (-2:y +1;2-1) va AB =(1;-1;-2) cùng phương =.= -—_= = x=0; y=1; 2=5 > M(0;1;5) Goi N(x;0;0) trín x’Ox Ta cĩ AN? = BN? e (x2) +(1) +(-1)’ =(x-8)’ +(2)’ + (1) @ x=4 => N(4;0;0) Gọi E(x;y;0) trĩn mặt phẳng (xOy) Ta cĩ EA = EB = EC nín (

BE? of +(y+1JŸ +(-1Ÿ =(x-3} +(y+9) +(1)

Trang 29

7 Tacó AB =(0;-3;4)= AB=5; BC =(12;3;-4)—= BC =13 CA =(-19;0;0)—= CA = 12 Mặt khâc AB.CA =0.(—12) + (—3).0 + 4.0 =0 Suy ra AB L CA hay tam giâc ABC vuông ở A Diện tích A ABC lă : S=1AB.AC =1.5.12=30 2 2 Nửa chủ vi của tam giâc ABC lă : P= 2® 12*|Í 15 suy ban kính ý : a S8 _30 đây đường tròn nội tiệp tam giâc ABC lă: r = BC 3 2/2 -2=-2(m? -4 gim'-4) 1) 8 v=-uâ ~4=~2 (8m +1) đ) 2 2 a= (m +1) (3)

(2) 4 m =3 =9(1) va (3) dung Vay v= -2u @&xims58

9 c phđn tích theo a vă b <> Tòn tại duy nhất cặp số thực (x;y) sao ciho:

-§ =-2x+3y (3)

Giải hệ phương trinh®2), (3) ta duge x=2 va y = -+ ¡ x=9 Vă

Trang 30

Vậy C(2; 0; 2); CC'= (2; 5; -7), do (2) suy ra: A'(3; 5; =6), B'(4; 6; ~5)

văD (3; 4; =6)

12 Gd II lần lượt lă trung điểm của AC, B`D' vă K lă trung điểm của II"

Trang 31

a.b=-4+6+3 =5 Nín cos(a Ð)~ TN" T8 " Nhi 2x 5 Suy ra: (a,b )= arccos yr: (2b) arecos| b) a=(2;5;4), b= (6; 0; -3) |al = V4 + 25 +16 = 45 = 3v5;|b| = /36+0+9 = V45 = 3V5 a.b=12+0-12=0 nĩn (a,b) = 90° 16 AB =(-1;1;0),CD = (-2;1;-2) TỶ |ABCT| - 2+14+0 3 | a, Ì- |AB||CP| cD] Valo 3/2 cos(AB,CD) = leos( nín(AB,CD) = 45°; AG = (-1;0;1), BD = (-2;0;—1) — JACBD| BD| - |2+0-1|-

cos(AC, BD) = |cos(AC, BD) | (ac) BD” a “g8

Trang 32

Giải lệ phương trình trín ta có: x, =2; Xạ = 7 vă xạ = 3 Vay x= (2; 3; 7) 18 Ta goi AC; 1; 1); B(2; 3; 4); C(7; 7; 5); D(6; 5; 2) Khi ds AB = DC = (1;2;3) Vay ABCD lă hình bình hănh Sapien = [AM.AB]; AB =(1;2;3); AD =(6;6;4) = [AM, AB] J-Ệ th se đ)zc1014-8 4 6| => Sygcp = V(-10)? +14? + (-6)? 19 Duong thang AB cat mặt phang (Oyz) tai M => M(0:y;Z) => MA'=(2;-1-y;7-z), MB =(4;5-y;-2-z) Tir MA =kMB taco hệ phương trình : 2=k.4 o>4-l-y =k(5- y(k iy=-Tia=16] | ï7—z= k(-2z) os, 2 20 3m, n, peR:ma+nb+ pe= V 2m+n-ôp=4 (1) <>4-m-8n+2p=3 (2): (2)+(3)=n=2 ( m + 2n -2p =-ð 3) 2m-8p =2 (1) m=3l > Ầ° -m+2p=9 (2) p=20 =» V =31a + 2b + 20c

211.A.B,C thăng hăng «s AB cùng phương AC

a,b, -a,b,=0 [-1(y-1)-0(x-3)=0

Trang 33

22

34

1 Goi O lă trung điểm của AC", chứng minh B`D qua O

Vì O lă trung điím của AC" nín có: B'A+B'C'=2B'0—=B' B'G- 2(B'Ô+B =0B' =2 (BB' + AB + Ô'B' Ta có: BB' = AA'=CC'=DD' =z AB=DC=A'B'=D'C'=x; C'B'=CB=DA =D'A'=y B=2(x+y +2) (1) | Mặt khâc ta lại có: DA + DC' = 206 = OD = 5 (AD + C5) ØB= 2 (AD+'D'+ D'D B)= s(x x-y-z) (2) Từ (1) vă (2) = OB' +OD =0 =B`D qua O vă O lă trung điểm của

B'D Tương tự, ta cũng chứng minh được BD’ va A’C qua O Qua chứng minh trín ta có

OB' + OD =0;0A + 0C'=0;0B + OD' =0;0C + OA*=0

E, F lă trọng tđm ABDA' vă ACB'D' nín OB+OD+OA"=3OE_ (3) OD‘ +OB'+0G =30F (4) suy ra OE+OF =0=E, F đối xứng qua O Chứng minh O, E, A thăng hăng Ta có Ể=>AC'=>(AB + AD + AA’) 5 2 (5) Vì E lă trọng tđm AA'BD, nín ta có AB+AD+AA'=3AE = AB 3 (AB +AD+AA\) (6)

Từ (5), (6) tacĩ AB -=0 >E, A, O thing hang vi AE=" AO = BAC

Tuong tu chimg minh O, F, C’ thang hang va C'F = FAC! 8

Trang 34

4 Vị O lă trung điểm câc đường chĩo AC’, B’D, A'C,BD' nín có

OA+O0C'=0; OB'+OD=0;0A'+OCG=0; OB+OD'=0 Do do OA + OB+ OC + OD + OA'+ OB" + OC'+ OD' = 0

Tacĩ MA =MO+0OA;MB = MO + OB; +ÖD; MA'= MO + OA', 5 MC = MO+OC; MB' = MO + OB'.MC' = MO + OC’; MD' = MO + OD' Vậy MA + MB+ MC + MD + MA'+ MB' + MC'+ MD" ~ 8MO +(OA +OB+ OC +OD+0A'+OB'+0C'+ OD") =8M0+0=8MO

MA + MB + MC+ MD + MA‘ + MB! + MC' + MD’ =8|MO =k =|MO|=—

Hình cầu tđm O tiếp xúc với câc cạnh của hình lập phương khi bân kính

=

r==—`“ Do đó tập hợp của M lă hình cầu tđm O, tiếp xúc với câc cạnh của lập phương khi ave ok =4av2

5 Tacĩ NA=NO+0A > NA? = NO + OA? + 2NO.0A

NB* = NO? + OB’ +2NO.0B; NC? = NO? + OC? + 2NO.0C ND* = NO* + OD? +2NO.0D; NA*=NO? +0A"+2N0.0A‘ NB® =NO* +OB"+2NO.0B'; NC” = NO? +0C"+2N0.0C'

ND” =NO? + OD"+2NO.0D" Tir do suy ra:

NA’ + NB? + NC? + ND? + NA?+NB"”+NC?+ ND”?

= 8NO? + 80A? = 8NO? + 8(3d)’ = 8NO? + 82d?

Ta thay NB? + NC? + ND? + NA+ NB"+ NC?+ND®-7NA? = 72d?

<> NA? + NB? + NC? + ND? + NA+ NB"+ NC'?+ ND”?- 8NA? = 72d?

Vậy tập hợp câc diĩm N lă mặt phẳng trung trực của đoạn OA

Trang 35

2 TICH CO HUONG VA VECTO DONG PHANG

A Phương phâp chung :

Để giải quyết tốt câc băi tập ở dạng năy trước hết chúng ta phải nắm vững một số kiến thức sau :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ

u=(x,3y15z1);¥ =(x13y1321) Tich có hướng của hai vectơ u,v, kí hiệu

[u,v] duge xâc định bởi:

a, [5»!-[ÍƑ 2

= (Yi TZIŸ¿;24X¿ — XiZa;XIY¿ — Y\22)-

b Khi đó : [g,v|Lu; [g,v |Lv; [u,v |=[l||s|sinúa, v) c Ta có: Zz, x) |x, vị ; X2 Yeo 2g Xe u,v cùng phuonges| u,v] =0 <> 2b = b= (x, # Oy, #0;2, #0) 2 2 2 d u,v,w đồng phẳng © [uy w=0 e Đối với hệ tọa độ (0;ï,j:k)ta có :[ï j]=[.K]=š[K,.ï]=š 2 Câc ứng dụng: 36

a Diện tích tam giâc ABC : Sanc = 2[^52e] l

b Diện tích hình bình hanh ABCD : Sanco = | AB.AC

e Thể tích khốihộp — Vụpancpawcp= [AB.AD].AA Ï

d Thể tích khối lăng trụ tam giâc VAncAwc-= 2[ABAB]AA]

e Thể tích khối tứ điện : Vạpcp= = [ABC] AD|

Từ đó ta thấy rằng câc dạng băi tập thường gặp ở đđy lă : 1 Tinh tích có hướng của hai vectơ

2 Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng, chứng minh bồn điểm đồng phẳng

Trang 36

B Câc ví dụ mình họa:

Lí dụ 1: Cho bốn điểm A(0;3;-2), B(-3;1;-1), C(4;3;0) va D(2;1;-2)

Chứng minh ABCD lă một tứ diện vă tìm tọa độ trọng tđm của tứ diện ABCD

Giải

Tacĩ AB=(-3;-1;1); AC=(4;1;2); AD =(2;-1;0)

Ta thay AB va AC khong cùng phương Giả sử AB, AC, AD đồng phăng => Tôn tại hai số thực m van sao cho mAB+nAC = AD

~3m + 4n =2

>4m+n=-l laxluen

Hệ phương trình năy vô nghiệm, suy ra AB, AC, AD không đồng phăng nín ABCD lă một tứ diện, ta có điíu phải chứng minh

Trọng tđm của tứ diện ABCD lă G ta có : XG = F(x, + Xp † Xc + x)=2 4 1 7 3 3.7 5 ỨC =— + =—_ Vậy G|—;—;—— | Yo TA *Yn *ức Yp) 4 By lâ :) 1 5 2G =7 (2s +2, +Eo+Zp) “TT Lí dụ 2: Cho bốn điểm A(-9;-4;3), B(0;0;2), C(1;3;2) vă D(3a;5;0) Xâc định a dĩ A, B, C, D cùng ở trín một mặt phẳng Giải

Ta có AB= (2;4;-1); AC =(3;7;-1); AD= (3a + 2;9;-3) Ta thay AB va AC không cùng phương

29m +3n =3a+2 q)

«» 3m,neR: mAB+nAC = AD œ 4m +7n =9 (2) —-m-n=-3 (3) * Giai hĩ (2) va (3) taduge m=4 va n=-1

* Thay m=4 vă n=-1 văo (]), ta có 8-3=3a+2c>a=1 Vậy giâ trị a đí A, B, C, D cùng ở trín một mặt phẳng lă a= 1

Ví dụ 3: Cho ba vectơ u=(x?;x;x?-5), v =(-4;2;1), w=(0;-2;3) Tinh x để u, v, w đồng phẳng

Trang 37

Giải

a(x ex" 5); v= (-3;2;1);w =(0;-2;3) =>[v,w |= (8:12:8)

=[v,w w]u= 8x? +12x + 8Íx” ~B)= 16x? + 12x - 40

u,v,w đồng phẳng c>| v,w ].u=0 &>16x?+12x-40=0

Vậy giâ trị x để u, v, w đồng phăng lă x = -2; x=

Vi du 4: Cho mặt phẳng (œ) qua ba diĩm A(0;-2;0), B(1;~4:3), C(2:~2:~3)

Tìm một vectơ vuông góc với mặt phẳng (a)

Giai

Ta biết rằng một vec tơ vuông góc với một mặt phẳng khi vă chỉ khi giâ của vec tơ đó vuông góc với hai đường thăng cắt nhau trong mặt phăng

Ta 6 : AB =(1;-2;3) ; AC =(2;0;-3) = [ AB,AC] = (6;9;4)

Ma[AB,AG]1 AB; [AB,AC]1 AG nĩn [AB,AC |= w = (6:9;4) thì

w LAB; w1AC Suy ra wi mp(a)

Vay vectơ vuông góc với mặt phẳng (œ) lă w = (6;9;4)

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tứ giâc ABCD.A'B'C'D' (AA’, BB’, CC’, DD’ 1a câc cạnh bín): A (0;-3;1), B(-2;-2;1), C(—4;-6;2), D(-2-7;2), A'(1;-1;11) Tính thẻ tích khối lăng trụ tứ giâc Giải (210) ís AB=DC )=(-3; 1) » ABAD=0=ABLAD * DC =(-2;1;0) » ABAAA'=0=AA'LAB © AA'=(I9,10) - |» AÔ.AD=0SAA'LAD Vậy ABCD.A'B`C'D' lă hình hộp chữ nhật Thẻ tích của hình hộp chữ nhật lă: _V = AB.AD.AA' = v5 20.105 = 10/105 (đvtt) Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ tam giâc ABC.A'B`C' (câc cạnh bín lă AA’, BB’, CC’): A(1;-2;-2), B(0;0;-3), C(-1;0;6), A'(2;3;-1) Tính độ dăi đường cao của hình lăng trụ nói trín ; Giải

Trang 38

[A,AO]=(18/10;3) = [AB,AC |.AA' = 18 +50 +2 =70 ` [AB.AG].AA]|=35 (dvtt)

Vay Vane ane:

Độ dăi đường cao của hình lăng trụ ABC.A'B°C' lă:

h= x voi V =3 vă diện tích tam giâc ABC lă :

wm)

ABC

Swane = AC] = 5 vis? + 107 +2? =/10?

Vậy độ dăi đường cao của hình lăng trụ lă h = Ee ‘ V107

Ví dụ 7: Cho tứ dign ABCD: A(-1,0;-2), B(-3;2:~1), C(0;1;~4) D(-2-1.3)

Xâc định khoảng câch từ D đến mặt phăng (ABC)

Giải

Dĩ tính khoảng câch từ D đến mặt phăng (ABC), trước hết ta tính thĩ

tích khói tứ diện ABCD Ta có : V„y¿p = al^5 AG].AP| mă AB =(-2;2;1 es AB-(351) | ( [gg AC=(11,-3) ‡> AD =(-1;-1;5) AC] =(-5;-3;-4) [AB,AC].AD =5+3-20=-12

Vậy Viscn = =[ AB AC] AD|= =) =2 (dvtt)

Khoảng câch từ D dĩn mp(ABC) la:h = d(D,mp(ABC)) = awe

AABC

sỹ : 1'>s==i_.55 3.2 6/2

Vi Vancp =2; Saanc = 5[AB.AC} =" ah= “a 6

1 sẽ

Vậy khoảng câch từ D đến mặt phẳng (ABC) lă = h = Ặ

Lí dụ 8: du ổ: Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz), cho a= (2; _ 1) b = (5; 7.0), c= (3; 2; -4)

a Chứng minh rằng ba vec tơ a,b,¢ khong đồng phẳng

Trang 39

b Phđn tích vec to d= (4, 12, —3) theo ba vec tơ a,b,c :

Giả sử đê phđn tích vec tơ d theo ba vec to a,b,c ,khi đó tổn tai ba sĩ x, 4=2x+5y+3z (1) y, z sao cho d= xa+yb+ze 12=3x+7y+2z (2) -3 =x-4z (3) Thế (3) x= 4z -3 văo (1), (2),ta có hệ phương trình: Sk beara are 3(4z—3) + 7y + 2z =12 7y+14z=21 SH Ty an =| =-7 ðy +102 = lỗ z=5

Tir do suy ra:x =17 Vay d = 17a-7b+5c

Ví dụ 9: Cho ba vec tơ u =(9;—11),v =(m;3;-1),w =(1;2;1) Tim gid trị m

dĩ ba vec tơ đê cho đồng phẳng Giải: 7 Í- ø||2 -1 Ta có : [5z]-|| if a | g) emt aims © - _ mị |m [u,v].w= -2+2m +4+m+6=3m+8

Xv, w ding phing < [u,v].w =6.<23m+8=0 =m = -5,

Vậy giâ trị m dĩ ba vec tơ đê cho đồng phang lă: m = 4 ;

Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD có A(3;1;—1),B(3;0;1), C(2;—1;3) va De Oy

Biết rằng thẻ tích của khối tứ diện ABCD bằng 5 Tìm tọa độ điểm D

Giải:

Do điểm D thuộc trục Oy nín tọa độ điểm D có dạng (0;y;0) Theo giả

thiết ta có : A(2;1;-1),B(3;0;1), C(2;—1;3) nín :

AB = (1;-1;2), AD = (-2; y -1;1), AC = (0;-2;4)

=| AB, AC] = (0;~4;-2) va [AB,AC]AD =-4(y-1)-2=-4y +2

Trang 40

Ví dụ TT: Trong không gian Oxyz, cho tam giâc ABC có tọa độ câc đỉnh lă:

A(1;2;-1),B(2;-1;3), C(-4;7;5)

1 Tính độ dăi đường cao kẻ từ A của tam giâc ABC

2 Tính độ dăi đường phđn giâc trong của tam giâc ABC kẻ từ B Giải: 1 Tacĩ AB =(1;-3;4), AC = (-5;5;6), BC = (-6;8;2) Suy ra [ AB.AC] = (-38;-26;-10) Vay Sioa s38” +96” +10? = V554 (đvdt) 2Sanc _ 2554 _ V277 “BC V104 V13 ` 2 Gọi D lă chđn đường phđn giâc kẻ từ B: D = (x; y; Z) ¿DA _ BA _ V26 _1 one BC “a3 =— Vi D nim giita A, C (phđn giâc trong) nín Do đó hạ = Tac 241-x)=x+4 Dê = „D6 hay DG=2DA <> {2(2-y)=y-7 2-1-2) =2-5

°[x=-g: peas i} Vay D|-Š:y: )> pp = 24 3 3 89

Ví dụ 12: Cho bốn điểm A(4;9;3), B(-2;1;-1), C(3;8;7), D(-6;2;z)

a/ Chứng minh rằng ABC lă tam giâc cđn

b/ Định D để ABD lă tam giâc cđn tại B

c/ Tính tọa độ trọng tđm G của tam giâc ABD

Định dạng
Số trang	319
Dung lượng	41,52 MB