Trong tài liệu này giới thiệu về Bài toán tồn tại, bài toán đếm, bài toán liệt kê, nguyên lý Dirichlet và ứng dụng thú vị của nguyên lý Dirichlet, quy tắc tìm các số hạng từ các số hạng đi trước được gọi là các hệ thức truy hồi, trong đó có những ví dụ minh họa rõ ràng.
Đặt vấn đề CH1: Hãy cho ví dụ định nghĩa đệ quy? Định nghĩa giai thừa n: n! = n * (n-1)! Lũy thừa nguyên số: n n-1 a =a*a 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức Đặt vấn đề CH2: Đọc cho nhận xét dãy số? 1 12 20, ,n! a0 a1 a2 a3 a4 a5 an a0 = 1; a1=1 an = an-1 * n = (n-1)! * n 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức HỆ THỨC TRUY HỒI Định nghĩa Hệ thức truy hồi dãy số {an} công thức biểu diễn an qua hay nhiều số hạng trước dãy Dãy số gọi lời giải hay nghiệm hệ thức truy hồi số hạng thỏa mãn hệ thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức CÁC VÍ DỤ Ví dụ 6.1 (Lãi kép) Giả sử người gửi 10.000 la vào tài khoản ngân hàng với lãi suất kép 11% năm Hỏi sau 30 năm có tiền tài khoản mình? Sinh viên đọc thảo luận phút (Trang 29-30) 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức GIẢI Gọi Pn tổng số tiền có tài khoản sau n năm Vì số tiền có tài khoản sau n năm số có sau n − năm cộng lãi suất năm thứ n, nên ta thấy dãy {Pn} thoả mãn hệ thức truy hồi sau: Pn = Pn-1 + 0,11Pn-1 = (1,11)Pn-1 với điều kiện đầu P0 = 10.000 la Từ suy Pn = (1,11)n.10.000 Thay n = 30 cho ta P30 = 228922,97 đô la 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức VÍ DỤ Ví dụ 16b tài liệu Sinh viên đọc thảo luận phút (Trang 29) 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức VÍ DỤ Tìm hệ thức truy hồi cho điều kiện đầu để tính số xâu nhị phân độ dài n khơng có hai số liên tiếp Có xâu nhị phân có độ dài 5? Sinh viên đọc thảo luận phút (Trang 30) 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức GIẢI Gọi an số xâu nhị phân độ dài n hai số liên tiếp bn số xâu nhị phân kết thúc số cn số xâu nhị phân kết thúc số Ta có: an = bn + cn (1) 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức GIẢI Giả sử n ≥ * bn số xâu nhị phân thế, độ dài n − thêm số vào cuối chúng Hỏi có tất xâu? có tất an-1xâu Vậy bn = ? * cn số xâu nhị phân có bit thứ n − 1, khơng chúng có hai số hai bit cuối Hỏi có tất xâu ? có tất an-2 xâu Vậy cn = ? 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức GIẢI Vậy: an = an-1 + an-2 với n ≥ • n = ta có xâu: 0, Vậy: a1 = • n = 2, ta có xâu: ??? Vậy a2 = Khi a5 = a4 + a3 = a3 + a2 + a3 = 2(a2 + a1) + a2 = 13 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 10 Hệ thức truy hồi Giải hệ thức truy hồi Là tuyến tính vế phải tổng tích số hạng trước nhân với hệ số Là số hạng hệ số số Có bậc k ak biểu diễn qua k số hạng đứng trước 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 12 Hệ thức truy hồi Giải hệ thức truy hồi Pn = (1,11)Pn-1 tuyến tính bậc an = an-1+ an-2 tuyến tính bậc an = an-5 tuyến tính bậc Cho ví dụ hệ thức hệ thức truy hồi? a0 = 3; a1 = 10 an = an-1 + (an-4)2 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 13 an = rn, (r số) nghiệm Giải hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k hệ rn = c1rn-1 + c2rn-2 + + ckrn-k thức truy Hay rk − c1rk-1 − c2rk-2 −…− ck-1r – ck = hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 14 Phương trình: Giải rk - c1rk-1 - c2rk-2 - Ck-1r - ck = gọi phương trình đặc trưng hệ hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 thức truy hồi 25/08/2014 + + ckan-k, nghiệm gọi nghiệm đặc trưng hệ thức truy hồi GVC, ThS.Võ Minh Đức 15 Mệnh đề Cho c1, c2, , ck số thực Giả sử Giải hệ thức phương trình đặc trưng: rk - c1rk-1 - c2rk-2 - ck-1r - ck = có k nghiệm phân biệt r1, r2, , rk Khi dãy {an} nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k truy an = α1r1n + α2r2n + + αkrkn, với n = 1, 2, hồi α1, α2, , αk số 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 16 Ví dụ Tìm cơng thức hiển số Fibonacci Dãy số Fibonacci thỏa mãn hệ thức: Giải an = an-1 + an-2 (với đk đầu a0 = 0, a1 = 1) k = 2, c1 = 1, c2 = hệ Phương trình đặc trưng1 +là: 5r2 – r – 11− = 50 r1 = r2 = thức Có nghiệm : truy Do số Fibonacci cho công hồi thức: 25/08/2014 2 1+ n 1− n an = α1 ( ) +α2 ( ) 2 GVC, ThS.Võ Minh Đức 17 Ví dụ Tìm cơng thức hiển số Fibonacci 1+ n 1− n a n = α1 ( ) + α2 ( ) (1) 2 Giải Với điều kiện đầu: a0 = a1 = hệ thức Từ (1) Ta có: α1+ α2 = = a0 1+ 1− a1 = = α1 ( ) +α2 ( ) 2 truy Từ phương trình trên, ta được: hồi 25/08/2014 − α1 = ,α = 5 GVC, ThS.Võ Minh Đức 18 Ví dụ Tìm cơng thức hiển số Fibonacci Giải Do số Fibonacci cho công thức hiển sau: hệ 1+ n 1− n an = ( ) − ( ) 5 thức truy hồi 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 19 Hãy tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 11an-2 + 6an-3 với điều kiện ban đầu a0 = 2, a1 = a2 = 15 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 20 QUAN HỆ CHIA ĐỂ TRỊ Nhiều thuật toán chia toán với thông tin vào cho thành hay nhiều toán nhỏ Sự phân chia áp dụng liên tiếp tìm lời giải toán nhỏ cách dễ dàng Chẳng hạn: BÀI TỐN tìm kiếm nhị phân -> thuật tốn BÀI TỐN nhân hai số ngun -> thuật tốn Các thuật toán gọi thuật toán chia để trị 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 21 QUAN HỆ CHIA ĐỂ TRỊ Nhiều thuật toán chia toán với thông tin vào cho thành hay nhiều toán nhỏ Sự phân chia áp dụng liên tiếp tìm lời giải toán nhỏ cách dễ dàng Chẳng hạn: BÀI TỐN tìm kiếm nhị phân -> thuật tốn BÀI TỐN nhân hai số ngun -> thuật tốn Các thuật toán gọi thuật toán chia để trị 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 22 HỆ THỨC TRUY HỒI CHIA ĐỂ TRỊ Giả sử thuật toán phân chia toán cỡ n thành a tốn nhỏ, tốn nhỏ có cỡ n/b Giả sử tổng phép Quan hệ toán thêm vào thực phân chia tốn cỡ n thành tốn có cỡ nhỏ g(n) Khi đó, f(n) số phép toán cần thiết để giải toán cho f thỏa mãn hệ thức truy hồi sau: f(n) = af(n/b) + g(n) Hệ thức có tên hệ thức truy hồi chia để trị chia để trị 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 23 VÍ DỤ 7.1 Thuật tốn tìm kiếm nhị phân đưa tốn tìm kiếm cỡ n tốn tìm kiếm phần tử dãy tìm kiếm cỡ n/2, n Quan chẵn Khi thực việc rút gọn cần hai phép so sánh Vì thế, f(n) số phép so sánh cần phải làm tìm kiếm phần tử danh sách tìm kiếm cỡ n ta có f(n) = f(n/2) + 2, n số chẵn hệ chia để trị 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 24 Mệnh đề Giả sử f hàm tăng thỏa mãn hệ thức truy hồi f(n)= af(n/b)+c, với n chia hết cho b với a, b số nguyên a>=1, b>1, c số thực dương Khi đó: Quan hệ O(n logb a ), a > O(log n), a = chia để trị 25/08/2014 f(n) = O(n logb a ), a > O(log n), a = GVC, ThS.Võ Minh Đức 25 Đọc tài liệu trang 31-32 Quan hệ O(n logb a ), a > O(log n), a = chia để trị 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 26 ... HỆ THỨC TRUY HỒI Định nghĩa Hệ thức truy hồi dãy số {an} công thức biểu diễn an qua hay nhiều số hạng trước dãy Dãy số gọi lời giải hay nghiệm hệ thức truy hồi số hạng thỏa mãn hệ thức truy hồi... thức truy hồi Định nghĩa 2: Một hệ thức truy hồi tuyến tính bậc k hệ thức truy hồi có dạng: an = c1an-1 + c2an-2 + + ckan-k c1, c2, , ck số thực ck ≠ 25/08/2014 GVC, ThS.Võ Minh Đức 11 Hệ thức truy. .. ck = gọi phương trình đặc trưng hệ hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 thức truy hồi 25/08/2014 + + ckan-k, nghiệm gọi nghiệm đặc trưng hệ thức truy hồi GVC, ThS.Võ Minh Đức 15 Mệnh đề Cho