Nguyên lý dirichlet và ứng dụng trong số học

Luận văn tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cám ơn cô Phan Quang Như Anh người trực tiếp hướng dẫn em trình nghiên cứu đề tài Em xin chân thành cảm ơn thày cô giáo khoa tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cám ơn thư viện trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện thuận lợi cho em trình tìm kiếm tài liệu Em mong muốn tiếp tục nhận giúp đỡ cô Phan Quang Như Anh thày cô khoa trình học tập nghiên cứu sau Đà Nẵng, tháng năm 2012 Sinh viên thực Đinh Thanh Huyền Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học MỤC LỤC Trang bìa Trang Trang bìa phụ Lời cảm ơn Mục lục Trang mở đầu 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Bố cục luận văn Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Nguyên lý Dirichlet 1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng 1.3 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp 1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng Chương 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học Chương 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN SUY LUẬN 23 Chương 4: MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA NGUYÊN LÝ DIRICHLET 40 4.1 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet toán chữ số tận 40 4.2 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet toán tổng hiệu 42 4.3 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet toán số phương 45 4.4 Ứng dụng nguyên lý Dirichlet toán khác 49 NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET 58 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thực tế cho thấy toán số học nâng cao xuất ngày nhiều kì thi học sinh giỏi tốn quốc gia quốc tế Ta muốn giải tốt tốn số học nâng cao chương trình trung học sở trung học phổ thông phải biết thêm số kiến thức, chẳng hạn định lý phần dư Trung Quốc, định lý Wilsson, hàm số học…và kiến thức khơng thể thiếu nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet biết đến từ lâu Ngay chương trình phổ thơng làm quen với nguyên lý Theo số cơng trình nghiên cứu, ngun lý Dirichlet công cụ hiệu dùng để chứng minh nhiều kết sâu sắc toán học Nó đặc biệt áp dụng nhiều lĩnh vực khác tốn học Nhờ có ứng dụng nguyên lý mà hàng loạt toán thú vị giải Mặc dù nguyên lý Dirichlet có nhiều ứng dụng cơng trình nghiên cứu nguyên lý ứng dụng cịn chưa sâu vào ứng dụng ngành tốn học cụ thể Vì tơi chọn đề tài nghiên cứu “Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học”, với mục đích giới thiệu, phát biểu nguyên lý Dirichlet tất dạng đặc biệt sâu Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học nghiên cứu ứng dụng nguyên lý số học, từ hiểu rõ nguyên lý Dirichlet thấy rõ ứng dụng rộng rãi số học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nguyên lý Dirichlet với nhiều dạng phát biểu khác đưa ứng dụng số học Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cung cấp hệ thống lý thuyết ngun lý Dirichlet, hệ thống ví dụ có lời giải giải cách ứng dụng nguyên lý này, từ mức độ dễ tới khó, để từ thấy rõ ứng dụng sâu sắc rộng rãi nguyên lý Dirichlet số học Hi vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho thầy cô giáo em học sinh ham mê tìm tịi tốn học Bố cục luận văn Luận văn gồm 61 trang Phần mở đầu (2 trang), kết luận kiến nghị (2 trang), tài liệu tham khảo (1 trang) Nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức (5 trang) Chương 2: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet toán chia hết (15 trang) Chương 3: Ứng dụng nguyên lý Dirichlet toán suy luận (17 trang) Chương 4: Một số ứng dụng khác nguyên lý Dirichlet ( 19 trang) Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Nguyên lý lồng nhốt thỏ biết đến từ lâu Nguyên lý phát biểu nhà toán học Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 – 5/5/1859) Dirichlet nhà toán học người Đức cho người đưa định nghĩa đại hàm số Ferdinand Eisenstein, Leopold Kronecker, Rudolf Lipschitz học trị ơng Sau ơng qua đời, giảng Dirichlet kết khác ngành số học sưu tập, biên khảo xuất đồng nghiệp bạn ông nhà toán học Richard Dedekind tựa đề Vorlesungen über Zahlentheorie (Các giảng số học) Ngoài nguyên lý Dirichlet cịn có định lý mang tên ơng: Định lý Dirichlet cấp số cộng, định lý Dirichlet xấp xỉ Diophantine, định lý Dirichlet phần tử đơn vị Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 – 5/5/1859) 1.1 NGUYÊN LÝ DIRICHLET CƠ BẢN Nguyên lý Dirichlet hay gọi “Nguyên lý lồng nhốt thỏ” hay “Nguyên lý chuồng chim bồ câu” “Nguyên tắc ngăn kéo Dirichlet” phát biểu dạng toán sau đây: “Nếu nhốt n+1 thỏ vào n lồng có lồng chứa hai thỏ ’’ Hoặc Nguyên tắc ngăn kéo Dirichlet: “Nếu đem n+1 đồ vật xếp vào n ngăn kéo có ngăn kéo chứa từ hai vật trở lên” Chứng minh Giả sử khơng có lồng nhốt từ hai thỏ trở lên Thế cho dù lồng có nhiều thỏ, tổng số thỏ bị nhốt có n con, mà theo giả thiết có tất n+1 thỏ bị nhốt Từ suy điều mâu thuẫn, nên giả sử sai Vậy phải có lồng chứa hai thỏ Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học Tổng quát: “Nếu đem nk+1 vật xếp vào n ngăn kéo có ngăn kéo chứa từ k+1 vật trở lên” Chứng minh Giả sử ngăn kéo n ngăn kéo chứa k+1 đồ vật Khi đó, ngăn kéo chứa nhiều k vật, cho dù n ngăn kéo chứa k vật tổng số vật nk vật mà theo giả thiết ta có nk+1 vật Suy mâu thuẫn, giả sử sai, suy đpcm Ví dụ: Trong nhóm 27 từ tiếng Anh nào, có hai từ bắt đầu chữ tiếng Anh Vì bảng chữ tiếng Anh có 26 chữ 1.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET MỞ RỘNG Nguyên lý Dirichlet mở rộng: Nếu nhốt n thỏ vào m lồng tồn n+m-1 lồng có  m  thỏ, kí hiệu []   để phần nguyên  Chứng minh Ta có : n+m-1 n-1  n-1 +1 =   +1  =   m  m  m n+m-1 n-1 Giả sử chuồng thỏ khơng có đến  m  =  m  +1 con, số thỏ     n-1 lồng nhỏ  m   Đinh Thanh Huyền  Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học n-1 Từ suy tổng số thỏ không vượt quá: m. m   n-1 Điều   vô lý có n thỏ Vậy giả sử sai Nguyên Lý Dirichlet mở rộng chứng minh 100+12-1  12  = người tháng sinh  Ví dụ: Trong 100 người có  Ngun lý Dirichlet thực chất định lý tập hữu hạn Người ta phát biểu nguyên lý dạng sau đây: 1.3 NGUYÊN LÝ DIRICHLET DẠNG TẬP HỢP Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp: Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, mà số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B, tồn hai phần tử khác A mà chúng tương ứng với phần tử B Đinh Thanh Huyền Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4 a5 A B Hình 1.1 Với cách diễn đạt vậy, nguyên lý Dirichlet mở rộng có dạng sau đây: 1.4 NGUYÊN LÝ DIRICHLET DẠNG TẬP HỢP MỞ RỘNG Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng: Giả sử A, B hai tập hợp hữu hạn S(A), S(B) tương ứng kí hiệu số lượng phần tử A B Giả sử có số tự nhiên k mà S(A) > k.S(B) ta có quy tắc cho tương ứng phần tử A với phần tử B Khi tồn k+1 phần tử A mà chúng tương ứng với phần tử B Đinh Thanh Huyền 10 Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học Với 1+1, 2+2,…, n+n số chẵn, tích X.Y số phương Hay tích số (xi1.xi2 …xik).( x j1 , x j2 , , x jk ) số phương Nếu { i1, i2,…, ik } {j1, j2,…, jk} khơng có phần tử chung, tốn chứng minh Nếu { i1, i2,…, ik } {j1, j2,…, jk} có phần tử chung {s1, s2, …, sp} ta loại hết số xs1, xs2, …,xsp khỏi tích X.Y ta nhận tích vài số n+1 số ban đầu tích số phương Ví dụ 4.3.4 [3] Xét tập M gồm 2003 số nguyên dương phân biệt cho khơng có số chúng có ước ngun tố lớn 23 Chứng minh rằng: M chứa tập hợp gồm phần tử mà tích phần tử lũy thừa bậc bốn số ngun Lời giải: Vì có số ngun tố không lớn 23 là: p1= 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 =7, p5 = 11, p6 = 13, p7 = 17, p8 = 19, p9 = 23 Vì phần tử k tập hợp M có dạng: k1 k2 k9 k = p1 p2 …p9 ( 1) Ở ki số nguyên không âm với i = 1,9 Với phần tử k tập hợp M ta gắn tương ứng với dãy ( x1, x2,…, x9) xi = số mũ ki pi công thức (1) chẵn xi = số mũ ki pi lẻ Tập hợp dãy ( x1, x2,…, x9) gồm 29 phần tử Theo nguyên lý Dirichlet tập hợp chứa khơng 29+1 phần tử M chứa hai số nguyên phân biệt ( ta gọi chúng a1, b1), a1, b1 ứng với dãy (x1, x2,…, x9) đó, tức là: k1 k2 a1= p1 p2 …p9 Đinh Thanh Huyền 51 k9 Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học k’1 k’2 k’9 b1 = p1 p2 p9 Do a1, b1 ứng với dãy (x1, x2,…, x9) nên ki k’i có tính chẵn lẻ  i = 1,9 Từ ta có: k1 k2 k9 k’1 k’2 k’9 k1+k’1 a1b1 = (p1 p2 …p9 )(p1 p2 p9 ) = p1 p2 k2+k’2 … p9 k9+k’9 = c2 ( c số nguyên dương) Nói cách khác ta lấy cặp từ tập M, cịn lại 2003-2 > 29+1 Áp dụng lần nguyên lý Dirichlet tiếp tục lấy cặp Để ý 4(29+1) > 2003 > 3( 29+1), nên ta lấy (29+1) cặp vậy, lúc M 2003- 2(29+1) = 977 phần tử Xét (29+1) cặp lấy Ứng với cặp ( ai, bi) ta có ai.bi = ci2 , i = 1,29+1 Ta có ci = ai.bi , ai, bi chứa thừa số nguyên tố khác p1, p2, …, p9 nên ci chứa thừa số nguyên tố khác p1, p2, …, p9, số c biểu diễn dạng: k1 k2 k9 c = p1 p2 …p9 (2) Với số c ta gắn tương ứng với dãy ( x1, x2,…, x9) xi = số mũ ki pi công thức (2) chẵn xi = số mũ ki pi lẻ Tập hợp dãy ( x1, x2,…, x9) gồm 29 phần tử Mà có tất 29+1 số c Theo nguyên lý Dirichlet tồn cặp số (ci, cj) cho hai số gắn tương ướng với dãy ( x1, x2,…, x9) Chứng minh tương tự phần ta suy ci.cj = d2, với d số nguyên dương, suy d4 = ci2.cj2 = ai.bi.aj.bj Suy điều phải chứng minh Đinh Thanh Huyền 52 Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học 4.4 ỨNG DỤNG NGUN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TỐN KHÁC Ví dụ 4.4.1 [6] Chứng minh tồn số nguyên a, b, c, không đồng thời giá trị tuyệt đối số không 1000000, thỏa mãn: |a+b 2+c 3| < 10-11 Lời giải: Xét số thực r + s + t với r, s, t thuộc tập {0, 1, 2…, 106-1} Theo quy tắc nhân ta 1018 số thực khác Gọi S tập hợp 1018 số thực Đặt d =(1+ 2+ 3)106 Khi x S nằm khoảng  x < d Chia đoạn thành 1018-1 phần nhau, đoạn nhỏ có độ dài là: e= d 1018-1 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số 1018 số S nằm đoạn nhỏ Hiệu hai số kí hiệu a+b 2+c số a, b, c cần tìm |a+b 2+c 3| < e < 107 = 10-11 1018 Vậy tồn a, b, c không đồng thời thỏa mãn tốn Ví dụ 4.4.2 [3] Cho M tập gồm 10 số tự nhiên, số không lớn 100 Chứng minh tồn hai tập hợp M mà tổng phần tử chúng Đinh Thanh Huyền 53 Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học Lời giải: Gọi A tập hợp tập hợp khác rỗng M Số lượng phần tử A là: 210 -1 = 1023 Chúng ta xét tổng S phần tử tập hợp vậy, rõ ràng: S  91+92+…+100 < 10 100 = 1000 Như tồn không 1000 tổng khác Kí hiệu B tập tất tổng Do số lượng phần tử B nhỏ 1000 nhỏ số lượng A ( số lượng phần tử A 1023) Đặt tương ứng phần tử A với tổng phần tử nó, theo ngun lý Dirichlet có nhất: 1023+1000-1   = phần tử A có tổng giống Hay tồn 1000   hai tập có tổng Mặt khác ta chứng minh tồn hai tập có tổng phần tử giống nhau, t chon hai tập tính chất không giao Thật vậy, cho X, Y hai tập M có tổng phần tử Chúng ta kí hiệu X1 gồm phần tử X mà không thuộc Y Tương tự Y1 gồm phần tử Y mà không thuộc X Rõ ràng X1 Y1 có tổng phần tử mà không giao Vậy tồn hai tập hợp có tổng phần tử mà không giao Suy điều phải chứng minh Ví dụ 4.4.3 [6] Cho số thực Chứng minh chúng chọn hai số, chẳng hạn x y cho  x-y  1+xy Đinh Thanh Huyền 54 Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học Lời giải: Các số cho kí hiệu x1, x2, …, x7 Mục đích biểu diễn   số dạng xi = tan i, i số khoảng (- , ), i = 1,7 2 Chúng ta chia đoạn thành đoạn có độ dài nhau, nghĩa  Theo ngun lý Dirchlet ta có hai số 1, 2,…, 7 nằm đoạn Nếu kí hiệu số i j; i  j từ  suy ra: 0 i - j    Vì hàm số tăng khoảng (- , ) Suy ra: 2 xi  x j tan  i  tan  j  0 tan(i - j) = =  tan =  xi x j  tan  i tan  j Suy điều phải chứng minh Chú ý: Bằng cách giải tốn ta có tốn sau với lời giải tương tự cách giải khác khó mà thực Ví dụ 4.4.4 [6] Cho số dương Chứng minh có hai số số đó, chẳng hạn x y thỏa mãn phương trình sau: 0< x-y  1+x+y+2xy Lời giải: Gọi số cho x1, x2, x3, x4 Đặt yi = 1+ , i = 1, 2, 3, xi Đinh Thanh Huyền 55 Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học   Đặt yi = tani, i số khoảng (- , ), Chúng ta chia đoạn 2 thành đoạn đoạn  Suy tồn hai số i j thuộc đoạn ( theo nguyên lý Dirchlet)   i - j    < tan(i - j)  tan  = 3 tan  i  tan  j 0<   tan  i tan  j 0< yi-yj  1+yiyj 1 1  xi xj 0< 1   (1  )(1  ) xi xj 1 0< 0 < x j  xi  x j xi  (1  xi )(1  x j ) x j  xi   x j  xi  x j xi Suy điều phải chứng minh Ví dụ 4.4.5 [6] Chứng minh số 11 số thực khác khoảng [1, 1000] chọn hai số x y mà chúng thỏa mãn đẳng thức sau < x - y < 1+3 xy Lời giải: Ta xét bậc ba số số cho x1, x2, , x11 Đinh Thanh Huyền 56 Nguyên lý Dirichlet ứng dụng số học Từ điều kiện xi  [1, 1000] cho suy  xi  10 Ta chia đoạn [1, 1000] 10 phần Có tất 11 số: x1 , x2 , , x11 Theo nguyên lý Dirchlet suy có số 11 số nằm đoạn nhỏ Giả sử hai số xi , 0< x j ( i ≠ j) xi > xj