Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụng

Mục lụcTrangMục lục 01Giới thiệuGiới thiệu đề tài 02Giới thiệu nhóm 03Nội dung đề tàiChương 1. Đại cương về tổ hợp 041.1 Sơ lược lịch sử 041.2 Bài toán tổ hợp 07Chương 2. Bài toán nguyên lý Dirichlet 092.1 Nguyên lý Dirichlet 092.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu 102.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 11Chương 3. Ứng dụng nguyên lí trong giải toán 123.1 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp 123.2 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực số học 133.3 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực hình học 173.4 Ứng dụng nguyên lí trong các bài toán khác 25Kết luận 29Tài liệu tham khảo 30Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet và ứng dụngGiới thiệuGiới thiệu về đề tàiNguyên lý Dirichlet còn goị là nguyên lý chim bồ câu (The PigeonholePrinciple) hay nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hay nguyên lý xếp đồ vật vàongăn kéo (The Drawer Principle)- đưa ra nguyên tắc về sự phân chia, sắp xếp cácphần tử vào các lớp.Nguyên lý Dirichlet được phát biểu vào năm 1834, do nhà toán học ngườiĐức - Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 - 1859) đề xuất.Nguyên lý Dirichlet là công cụ hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắctrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Trong nhiều trường hợp sử dụngnguyên lý này người ta chứng minh được sự tồn tại một cách dễ dàng và cụ thểmà không đưa ra được phương pháp tìm một vật cụ thể, đối với những bài toánchỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi.Nội dung của nguyên lý này rất đơn giản, dễ hiểu nhưng có tác dụng rất lớn,có nhiều ứng dụng trong lập luận giải toán.Nguyên lý Dirichlet có ứng dụng trong rất nhiều dạng bài tập của nhiều lĩnhvực khác nhau trong toán học, tuy nhiên trong phạm vi đề tài chúng em chỉ chútrọng khai thác “Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổ hợp,số học và hình học”.Ngoài phần giới thiệu, tiểu luận gồm ba chương và danh mục tài liệu thamkhảo.Chương 1. Giới thiệu đại cương về bộ môn lý thuyết tổ hợp.Chương 2. Các kiến thức cơ bản về nguyên lý Dirichlet dung để giải toántrong các chương sau.Chương 3. Trình bày các ứng dụng của nguyện lý Dirichlet trong việc giải bàitập.

Nội dung đề tài

2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 11

Chương 3 Ứng dụng nguyên lí trong giải toán 12

3.1 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp 12

Giới thiệu

Giới thiệu về đề tài

Nguyên lý Dirichlet còn goị là nguyên lý chim bồ câu (The Pigeonhole Principle) hay nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hay nguyên lý xếp đồ vật vào ngăn kéo (The Drawer Principle)- đưa ra nguyên tắc về sự phân chia, sắp xếp các phần tử vào các lớp

Nguyên lý Dirichlet được phát biểu vào năm 1834, do nhà toán học người Đức - Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 - 1859) đề xuất

Nguyên lý Dirichlet là công cụ hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Trong nhiều trường hợp sử dụng nguyên lý này người ta chứng minh được sự tồn tại một cách dễ dàng và cụ thể

mà không đưa ra được phương pháp tìm một vật cụ thể, đối với những bài toán chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi

Nội dung của nguyên lý này rất đơn giản, dễ hiểu nhưng có tác dụng rất lớn,

có nhiều ứng dụng trong lập luận giải toán

Nguyên lý Dirichlet có ứng dụng trong rất nhiều dạng bài tập của nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học, tuy nhiên trong phạm vi đề tài chúng em chỉ chú trọng khai thác “Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổ hợp,

số học và hình học”

Ngoài phần giới thiệu, tiểu luận gồm ba chương và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 Giới thiệu đại cương về bộ môn lý thuyết tổ hợp

Chương 2 Các kiến thức cơ bản về nguyên lý Dirichlet dung để giải toán trong các chương sau

Chương 3 Trình bày các ứng dụng của nguyện lý Dirichlet trong việc giải bài tập

Giới thiệu về nhóm

(theo mục lục)

Chữ ký

Nhận xét của giáo viên

Nguyên

Chương 1Chương 3

2 Nguyễn Thị Kim

Thoa

Chương 2Chương 3

Chương 3

Chương 3

Nội dung đề tài

Chương 1 Đại cương về tổ hợp.

Tổ hợp là một lĩnh vực của toán học rời rạc, là ngành khoa học xuất hiện khá sớm vào đầu thế kỷ 17 Hiện nay, lý thuyết tổ hợp được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, khoa học máy tính, hóa học…Tổ hợp đụng chạm đến nhiều vấn đề khác nhau của toán học nên khó có thể định nghĩa một cách tổng quan

Nội dung của lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu, phân bố các phần

tử vào các tập hợp Các phần tử này thường hữu hạn và việc phân bố phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào đó

Trong nhiều trường hợp, việc xác định sự tồn tại một cấu hình thỏa mãn tính chất nào đó có ý nghĩa quan trọng về mặc lý thuyết cũng như thực tế Vì vậy một bài toán tổ hợp là một bài toán: “Xét sự tồn tại các cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước”

Bài toán tồn tại nghiên cứu từ rất lâu và góp phần đáng kể thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết tổ hợp cũng như nhiều ngành toán học khác, các bài toan dưới đây phần nào cho ta thấy rõ hơn điều đó

1.1 Sơ lược lịch sử

Có thể nói tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm Vào thời nhà Chu – Trung Quốc người ta đã biết đến những hình vuông thần bí Thời cổ Hy Lạp – thế kỉ thứ 4 trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số có tính chất đặc biệt Ví dụ, 36 không những là tổng của 4 số chẵn và 4

số lẻ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên

Từ định lý Pitagor người ta cũng đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của 2 số khác Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất định Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỉ 17 bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz, …

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng

lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm) Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân, …phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, tin học,…

Chúng ta sẽ đi vào nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán nổi tiếng trong lịch sử

1.1.1 Bài toán tháp Hà Nội

Bài toán này do Edouard Lucas đưa ra vào cuối thế kỉ 19(ông cũng là người

đưa ra dãy Fibonacci) Bài toán phát biểu như sau: Có 3 cọc, cọc thứ nhất có n đĩa kích thước khác nhau, xếp chồng nhau, đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn Hãy chuyển các đĩa từ cọc thứ nhất sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai sao cho luôn đảm bảo đĩa nhỏ nằm trên đĩa lớn Hãy đếm số lần di chuyển đĩa Tìm phương án di chuyển tối ưu

Số lần di chuyển là

Khi n=64 ta có số lần di chuyển là 18 446 744 073 709 551 615

1.1.2 Bài toán xếp n cặp vợ chồng

Bài toán này cũng do Lucas đưa ra năm 1891 Bài toán phát biểu như sau: Có

n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn sao cho không có cặp nào ngồi gần nhau

Có bao nhiêu cách xếp như vậy?

Bài toán này dẫn đến việc ngiên cứu một khái niệm quan trọng là số phân bố

và mãi đến năm 1934 mới có lời giải

Số cách xếp là trong đó là số phân bố Bảng sau cho thấy sự bùng

nổ tổ hợp ghê gớm của số phân bố

439 792

4 890 741

1.1.3 Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ

Cho bàn cờ vua với kích thước 8 x 8 = 64 ô Tìm đường đi của quân ngựa qua tất cả các ô, mỗi ô chỉ 1 lần, và quay về ô xuất phát Người ta chứng minh tổng

quát được rằng: Trên bàn cờ vuông có số cạnh chẵn lớn hơn hoặc bằng 6 bao giờ cũng tồn tại đường đi.

Đường đi của Euler (1759) có tính chất: hiệu các ô đối xứng qua tâm bàn cờ bằng 32

Hình vuông la tinh cấp n là hình vuông gồm các số 1, 2, …, n – 1, n thỏa mãn

tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột đều bằng nhau và bằng

Hình vuông la tinh chuẩn cấp n là hình vuông la tinh cấp n có dòng đầu và cột đầu là 1, 2, …, n.

Bảng sau đây là hình vuông la tinh chuẩn cấp 7

Coonh thức tính số hình vuông la tinh đến nay vẫn còn bỏ ngỏ Tuy nhiên, ta

có thể lập chương trình liệt kê tất cả hình vuông la tinh chuẩn Dưới đây là một

1.1.5 Hình lục giác thần bí

Năm 1910 Cifford Adams đưa ra bài toán hình lục giác thần bí sau: Trên 19

ô lục giác hãy điền các số từ 1 đến 19 sao cho tổng theo sáu hướng của lục giác bằng nhau (= 38)

Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối cùng ông cũng tìm ra lời giải Nhưng do sơ ý đánh mất bản thảo ông đã tốn thêm 5 năm nữa để khôi phục lời giải Năm 1962 Adams công bố lời giải Đây cũng là lời giải duy nhất

2 1

7

4 5

8 6 11

18

17

3 19

16 12 10 13

15 14

Mỗi cách phân bố sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp

1.2.1 Cấu hình tổ hợp

Cho các tập hợp Giả sử S là sơ đồ sắp xếp các phần tử của

, được mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và là các điều kiện ràng buộc lên

mỗi sắp xếp theo sơ đồ S Khi đó mỗi sắp xếp các phần tử của thỏa mãn các điều kiện gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập

Ví dụ: Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua Mỗi thế cờ có thể coi là một

cấu hình tổ hợp Ở đây ta có thể định nghĩa

A là tập hợp các quân cờ trắng

B là tập hợp các quân cờ đen

S là sơ đồ sắp xếp các quân cờ trên bàn cờ

R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua

Ví dụ:Bài toán tháp Hà Nội

A là tập hợp n đĩa

S là sơ đồ sắp xếp các đĩa trên 3 cọc

là điều kiện mỗi lần chuyển 1 đĩa từ một cọc sang cọc khác

là điều kiện đĩa nằm dưới lớn hơn đĩa nằm trên

Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các đĩa trên 3 cọc thỏa các điều kiện

và

Ví dụ: Bài toán đường đi quân ngựa trên bàn cờ

A là tập hợp các ô trên bàn cờ, có thể biểu diễn như sau

S là sơ đồ sắp xếp tất cả các ô của A thành một vòng khép kín

R là điều kiện từ mỗi ô trên vòng có thể đi đén các ô kề theo quy tắc đi của quân ngựa

1.2.2 Các dạng bài toán tổ hợp

Bài toán tồn tại

Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào đó

Có những bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng đã thúc đẩy sự phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học

Ví dụ: Cho n nguyên dương

A là tập hợp n x n điểm

S là tập hợp 2n điểm trong A

R là điều kiện không có 3 điểm trong S thẳng hàng

Với cấu hình tổ hợp tồn tại Nhưng bài toán chưa có lời giải với

Bài toán đếm

Nội dung bà toán đếm là trả lời câu hỏi: “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng đàn xét?” Phương pháp đếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý đếm và phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận dưới của nó Bài toán đếm được áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán

Ví dụ: Đếm số tập con của một tập hợp.

Hoặc đếm số nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 10

Bài toán liệt kê

các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp đã cho Nhiều vấn đề trong lĩnh vực khác nhau thường được đưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không

Ví dụ: Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử.

Bài toán tối ưu tổ hợp

Trong nhiều vấn đề, mỗi cấu hình tổ hợp được gán một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng, hay chi phí thực hiện) Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất)

Ví dụ: (Bài toán ba lô) Một nhà thám hiểm dùng một cái ba lô trọng lượng

không quá b để mang đồ vật Có n đồ vật 1, 2,…,n Đồ vật thứ j có trọng lượng

và giá trị sử dụng là j = 1, 2, …n Hỏi nhà thám hiểm cần mang theo

những đồ vật nào để tổng giá trị sử dụng là lớn nhất?

Chương II

Bài toán nguyên lý Dirichlet

2.1 Nguyên lý Dirichlet

2.1.1 Nguyên lý Dirichlet 1 (Nguyên lý chuồng và thỏ)

Nguyên lý Dirichlet khẳng định một sự kiên “hiển nhiên” rằng n+1 con thỏ không thể xếp vào n chuồng sao cho mỗi con thỏ ở riêng một chuồng Một cách tổng quát, nguyên lý này khẳng đinh rằng:

Nếu có m đối tượng xếp vào n hộp và thì tồn tại hộp chứa ít nhất 2 đối tượng

Chứng minh:

Nguyên lý này rất dễ kiểm tra:

Nếu không có hộp nào chứa ít nhất 2 đối tượng, thì số đối tượng không lớn hợn

n, mâu thuẫn với giả thuyết số đối tượng m lớn hơn số hộp n.

Tuy rằng với nguyên lý này người ta chỉ chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể,nhưng trong thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi Ngày nay chúng ta đã có những tổng quát hóa rất mạnh của nguyên lý này trong các ứng dụng không tầm thường như các định lý kiểu Ramsey, phương pháp xác suất…

Mặc dù nguyên lý Dirichlet được phát biểu rất đơn giản nhưng cái khó của nó

là phải xác định được xem thỏ là gì, chuồng là gì

Nếu nhốt n con thỏ vào cái chuồng thì tồn tại một chuồng có ít nhất

con thỏ, ở đây kí hiệu để chỉ phần nguyên của số

Chứng minh:

Giả sử mọi chuồng thỏ đều không có đến

con, thì số thỏ trong mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng con

Suy ra tổng số con thỏ không vượt quá con.(Vô lý vì có n con thỏ) Vậy giả sử sai Nên nguyên lý được chứng minh.

Ví dụ minh họa:

Một trạm y tế có 150 bệnh nhân thì trong đó có ít nhất Vậy

có 6 người có tên bắt đầu bằng một chữ cái giống nhau

2.1.3 Nguyên lý Dirichlet mở rộng

Giả sử tập hữu hạn S có các tập con

a.Nếu mỗi phần tử của S chứa trong ít nhất r tập con , thì

vào vị trí i và kí hiệu là tập hợp các quả bóng ở vị trí , ở đây

được lấy theo modun 12, kí hiệu S là tập hợp tất cả các quả bóng,

.Khi đó mỗi quả bóng chứa đúng trong ba tập Theo nguyên lý Dirichlet

2.2.1 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu hữu hạn phần tử.

Cho tập hữu hạn và là các tập con của S sao cho

≥ Khi đó, tồn tại một phần tử x ∈S sao cho x là phần tử chung của k+1 tập (i = 1,2,…, n).

2.2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử.

a Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng

Kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng

Định lý 1: Cho A là một khoảng giới nội, là các khoảng sao cho (i = 1,2,…n) và Khi đó, có ít nhất hai khoảng trong số các khoảng trên có một điểm trong chung

b Tập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi đường cong phẳng khép kín

Kí hiệu S(A) là diện tích bề mặt A

Định lý 2:

Nếu A là một bề mặt được giới hạn bởi đường cong phẳng khép

kín, còn là các bề mặt sao cho (i = 1,2,…n) và

thì ít nhất có 2 bề mặt trong số các bề mặt trên có điểm trong chung

Chứng minh: Chứng minh tương tự định lý 1

2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet

Các bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet thường là bài toán chứng minh sự tồn tại của sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách tường minh sự vật, sự việc đó

Bài toán cơ thể xuất hiện sau khi biến đổi qua một số bược trung gian hay sau khi thành lập các dãy số mới

Kết hợp với các phương pháp chứng minh phản chứng để giải toán

Phải biến đổi để xuất hiện khái niệm “thỏ và lồng” trong bài toán và khái niệm nhốt thỏ vào lồng

Trong một bài toán có thể phải sử dụng nguyên lý Dirichlet 2 hay 3 lần mới giải được

Phải sử dụng ngôn ngữ thông thường để diễn đạt cho dễ hiểu

Chương 3

Ứng dụng của nguyên lý Dirichlet

trong giải toán

3.1 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp Bài toán 1.1 Để kỷ niệm 20 năm ngày giải phóng Miền Nam,tại một thành

phố người ta tổ chức buổi lễ gặp mặt những người 20 tuổi.Ngày 30 tháng 4 năm

đó có 400 thanh niên đến dự lễ Chứng minh rằng có ít nhất hai người trong số người tới dự cùng chung một ngày sinh

Bài toán 1.2 Ba mươi học sinh làm bài viết chính tả.Một trong số học sinh đó

bị 14 lỗi,còn các học sinh khác mắc số lỗi ít hơn.Chứng minh rằng có ít nhất ba người mắc số lỗi bằng nhau

Lời giải:

Chúng ta xét 15 chuồng thỏ được đánh số từ 0 đến 14.Chúng ta đặt mỗi con thỏ (học sinh) vào một chuồng mang số đúng bằng số lỗi mà học sinh đó mắc.Nếu không có ba học sinh nào có số lỗi bằng nhau thì trong mỗi chuồng mang số từ 0,…,13 sẽ có nhiều nhất hai học sinh.Khi đó số lượng của những học sinh này nhiều nhất là 28 cộng với học sinh mắc 14 lỗi trong chuồng số 14 chúng

ta sẽ nhận được nhiều nhất là 29 học sinh viết chính tả,điều này dẫn đến sự mâu thuẫn với giả thiết có 30 học sinh của bài toán

Bài toán 1.3 Chứng minh rằng trong mỗi nhóm bạn 5 người có ít nhất hai

người có cùng số lượng người quen giữa những người trong nhóm đó

Lời giải:

Chúng ta xét năm chuồng được đánh số từ 0 đến 4, mỗi người trong nhóm được đặt vào một chuồng mang số trùng với số người trong nhóm mà người đó quen.Ta xét hai trường hợp sau:

a Nếu có một người không quen ai trong số những người còn lại thì chuồng

số 4 trống (vì ngược lại thì cả ngăn 0 và 4 đều không trống,dẫn đến vô lí).Như vậy,mỗi người trong số 5 người được đặt vào các chuồng mang số 0,1,2,3 với

số lượng 4 chuồng.Từ nguyên lý Đirichlê suy ra ít nhất có hai người ở cùng một chuồng.Hay là họ có chung số lượng người quen

b Nếu mọi người ai cũng có người quen,mỗi người sẽ được đặt vào các chuồng mang số 1,2,3,4 với số lượng 4 chuồng Từ nguyên lý Đirichlê suy ra ít nhất có hai người ở cùng một chuồng.Hay là họ có chung số lượng người quen.

Bài toán 1.4 Trong một khu tập thể sống 123 người Tổng số tuổi của họ là

3813 chứng minh rằng có thể chọn 100 người sống ở khu tập thể này mà tổng số tuổi của họ không nhỏ hơn 3100

Lời giải:

Chúng ta hãy chọn 100 người nhiều tuổi nhất và giả sử tổng số tuổi của họ nhỏ hơn 3100.Khi đó người trẻ nhất trong số người được chọn là 3100:100=31 tuổi.Mặt khác người này không trẻ hơn 23 người còn lại theo cách chọn.Khi đó tổng số tuổi của 23 người này không lớn hơn 23.31=713.Suy ra tổng số tuổi của tất cả mọi người sống trong khu tập thể nhỏ hơn 3100+713=3813 dẫn đến vô lí

Bài toán 1.5 Năm cặp vợ chồng tổ chức một buổi gặp mặt Khi gặp nhau họ

bắt tay nhau, nhưng không ai tự bắt tay người trong gia đình và người mà vợ hoặc chồng mình đã bắt tay rồi Cũng không ai bắt tay cùng một người nhiều hơn một lần Sau cuộc gặp chúc mừng ban đầu,một người đàn ông tên Hùng hỏi tất

cả những người có mặt,kể cả vợ mình, là họ đã bắt tay được bao nhiêu lần Họ nhận thấy rằng 9 người được hỏi đều trả lời những con số khác nhau.Như vậy vợ của Hùng đã bắt tay bao nhiêu lần?

Lời giải:

Mỗi một người khách bắt tay không quá 8 lần.Vì câu trả lời của 9 người là 9

số khác nhau nên các số đó phải là 0,1,2,3,4,5,6,7 và 8 Người bắt tay 8 lần phải

là vợ hoặc chồng của người không bắt tay lần nào(Vì nếu ngược lại thì người đó chỉ bắt tay nhiều nhất là 7 lần mà thôi) Tương tự như vậy người bắt tay 7 lần có

vợ hoặc chồng bắt tay 1 lần, người bắt tay 6 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 2 lần, người bắt tay 5 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 3 lần.Chỉ còn lại một người bắt tay 4 lần, đó chính là vợ của Hùng

Bài toán 1.6 Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 4 học

sinh có tháng sinh giống nhau

Lời giải:

Một năm có 12 tháng (chuồng)

Chia 40 học sinh (con thỏ) vào 12 tháng Nếu mỗi tháng không quá 3 học sinh được sinh ra thì số học sinh trong lớp không vượt quá 3.12 = 36 học sinh

Mà 36 < 40 vô lý.Vậy tồn tại tháng có ít nhất 4 học sinh được sinh ra

Bài toán 7 Một rừng thông có 800000 cây, mỗi cây có không quá 500000 lá

Chứng minh rằng tồn tại 2 cây có số lá bằng nhau

3.2 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong lĩnh vực số học.

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng trong n+1 số thuộc {1,2,…,2n} luôn chọn

được 2 số mà số này là bội của số kia

Lời giải:

Viết n+1 số đã cho dưới dạng

Trong đó là các số lẻ

là số nguyên không âm

Mà 1≤ ≤ 2n (i= 1,2,…n+1) và trong đoạn [1,2n] chỉ có n số lẻ nên tồn tại hai

Khi đó, trong 2 số có một số là bội của số kia

Bài toán 2.2 Biết rằng 3 số a, a + k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3

Chứngminh rằng khi đó k chia hết cho 6

Lời giải:

Do a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, nên chúng đều là các số lẻ

và không chia hết cho 3

Do a và a + k cùng lẻ nên k = (a + k) − a sẽ chia hết cho 2 (1)

Do a, a + k, a + 2k đều không chia hết cho 3, nên khi chia cho 3 ít nhất hai số

có cùng số dư (theo nguyên Dirichlet) Xảy ra các khả năng sau:

a Nếu a + k a(mod3) thì (a + k) − a 0(mod3), suy ra k 3

b Nếu a + 2k a + k(mod3) thì (a + 2k) − (a + k) 0(mod3), suy ra k 3

c Nếu a + 2k a(mod3) thì (a + 2k) − a 0(mod3), suy ra 2k 3

Tương tự ta xét 4 số lại có hai số có hiệu chia hết cho 3, như vậy trong P có ít nhất hai hiệu khác nhau cùng 3

Do đó P .(1)

Mặc khác, theo nguyên lí Dirichlet trong 5 số đã cho có ít nhất ba số có cùng tính chẵn, lẻ Có hai trường hợp xảy ra:

a Nếu ít nhất có 4 số có cùng tính chẵn lẻ, thì từ 4 số này có thể lập nên 6

hiệu khác nhau cùng chia hết cho 2, do đó tích của chúng chia hết cho hay

P

b Nếu có đúng 3 số có cùng tính chẵn lẻ Không giảm tính tổng quát, có thể cho đó là Khi đó hai số còn lại cũng có tính chẵn lẻ giống nhau nhưng khác với tính chẵn lẻ của Vậy bốn hiệu

cũng chia hết cho 2

Mặt khác, trong 5 số đã cho có ít nhất hai hiệu chia hết cho 4, vì thế trong

bốn số có ít nhất một hiệu chia hết cho 4 Do đó:

.Tức là P Tóm lại trong mọi trường hợp ta luôn có P (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra P 288

Bài toán 2.4 Chứng minh rằng trong 12 số nguyên tố phân biệt luôn luôn

Lời giải:

Vì ba số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, do đó trong 12 số nguyên tố phân biệt

đã cho luôn có ít nhất 9 số lớn hơn 5 Vì là số nguyên tố lớn hơn 5 nên:

a Chín số trên khi chia cho 3 có dư 1 hoặc 2 Theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ít nhất 5 số đồng dư với nhau theo mod 3 Năm số này lại không chia hết cho 5 Vì thế trong năm số ấy lại có ít nhất hai số mà ta có thể giả sử là sao cho ( mod 5) Ngoài ra ta có ( mod 3) Từ đó ta có 15

ii Nếu 4 số này khi chia cho 5 các số dư khác nhau là {1, 2, 3, 4}

Giả sử 1(mod5), 4(mod5) thì ta có: