Một áp dụng của biểu thức truy hồi trong giải toán

Áp dụng biểu thức truy hồi

Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 M T ÁP D NG C A BI U TH C TRUY H I TRONG GI I TOÁN Biên so n: Trung Nguy n Trong vi t này, xin trình bày s l ph tv nh lí Viète ng trình b c hai, b c ba h th c truy h i, sau áp d ng vào gi i m t s toán quen thu c NH Lụ VIỆTE TRONG PH H TH C TRUY H I 1.1 nh lí Viète ph  N u ph NG TRỊNH B C HAI, B C BA VÀ ng trình b c hai ng trình b c hai ax2  bx  c   a   có hai nghi m x1 , x2 b  S x x     a  c  P  x x   a Ng c l i, n u hai s Q x1 , x2 th a x1  x2  S, x1.x2  P x1 , x2 nghi m c a ph ng trình x2  Sx  P   Cho ph ng trình b c hai ax2  bx  c   a   có hai nghi m x1 , x2 t Sn  x1n  x2n , n  * ta có aSn  bSn1  cSn  H th c (1) g i h th c truy h i N u x1.x2  , ta quy c S0  (1) v i m i n Th t v y, ta có Sn  x1n2  x2n2   x1n1  x2n1   x1  x2   x1 x2  x1n  x2n   b  c   x1n1  x2n1      x1n  x2n   a  a c b Sn1  Sn  a a Nhân hai v cho a chuy n v ta có (1) Trang: (1) Tr 1.2 ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho nh lí Viète ph  N u ph N m h c: 2015 ậ 2016 ng trình b c ba ng trình b c ba ax3  bx2  cx  d   a   có ba nghi m x1 , x2 , x3 b   x  x  x  a  c   x1 x2  x2 x3  x3 x1  a  d   x1 x2 x3   a   Cho ph ng trình b c ba ax3  bx2  cx  d   a   có ba nghi m x1 , x2 , x3 t Sn  x1n  x2n  x3n , n  * ta có aSn3  bSn  cSn1  dSn  (2) H th c (2) g i h th c truy h i N u x1.x2 x3  , ta quy c S0  (1) v i m i n NG D NG TRONG GI I TOÁN D ng TệNH GIÁ TR BI U TH C Ví d Cho x1 , x2 hai nghi m c a ph Không gi i ph ng trình x2  x   ng trình tính giá tr c a bi u th c A  1  7 x1 x2 Phân tích V i s h tr c a máy tính c m tay (ti p theo s vi t t t là: MTCT), vi c tính giá tr c a A đ n gi n Tuy nhiên, vi c tính toán cho khoa h c c ng nh cho l y th a cao h n toán s khó kh n h n nhi u Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 Trong d y h c, b n thân cho h c sinh tính đ n S4 đ n S5 không ph i em c ng th c hi n đ c b ng công c đ i s bình th ng (khai tri n l y th a) Vi c xây d ng h th c truy h i tính toán k t h p v i MTCT gi i quy t khéo léo nh t H ng d n t Sn  x1n  x2n , n  ta có Sn2  2Sn1  6Sn (3) Theo đ nh lý Viète ta có S0  2, S1  2, P  6 Theo (3) ta có S2  16, S3  44, S4  184, S5  632, S6  2368, S7  8528 (S d ng MTCT Casio 570VN Plus: 2=;2=;nh p 2Ans+6PreAns,=…) Khi A  S7 8528 533   P  67 17496 Ví d (Trích đ thi ch n H c sinh gi i L p 12, t nh Ti n Giang, n m h c 2014 – 2015, B ng A) Không gi i ph ng trình b c ba x3  3x   , tính t ng l y th a b c c a ba nghi m H ng d n Bài toán có nhi u h ng gi i Trong khuôn kh này, xin đ ngh hai cách gi i nh sau Cách S d ng h th c truy h i (2) t Sn  x1n  x2n  x3n , n  ta có Sn3  3Sn1  Sn Theo đ nh lí Viète ta có: S0  3; S1  0; S2   x1  x2  x2    x1x2  x2 x3  x3 x1   Trang: (4) Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho T ta tính đ N m h c: 2015 ậ 2016 c S3  3S1  S0  3; S4  3S2  S1  18; ; S8  186 Ho c phân tích : S8  3S6  S5  3(3S4  S3 )  (3S3  S2 )   28S2  27 S1  6S0  186 Cách Phơn tích l y th a Ta có x3  3x   x4  x  3x  1  x8  x2  3x  1  x  x3  x2  x      x8  x 9  3x  1  x2  x   x3    x8  6 x3  28 x2  x  6  3x  1  28 x2  x  x8  28 x2  27 x  Do x18  x28  x38  28  x12  x22  x32   27  x1  x2  x3   18  28S2  27 S1  18  186 V i cách gi i th 2, n i dung bi u th c truy h i không th y rõ, nh ng l i ph ng pháp t r t t t cho h c sinh Ví d Không s d ng máy tính, tính giá tr c a bi u th c    B 2  2 Phân tích Trang:  Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho Bài toán tho t nhìn, h c sinh s gi i theo h N m h c: 2015 ậ 2016 ng khai tri n l y th a t th p đ n cao, th c hi n tính toán gi y        Tuy nhiên, n u đ ý l i, ta th y     4;    ta có th xây d ng ph ng trình b c hai đ gi i quy t b ng bi u th c truy h i (1) H ng d n     t   x1,   x2 x1  x2  4, x1.x2  Do đó, x1 , x2 nghi m c a ph t Sn  x1n  x2n , n  Ta tính đ ng trình x2  x   ta có Sn  4Sn1  Sn c S0  2; S1  4; ; S9  140452 Do B  S9  140452 D ng ÁP D NG TRONG CÁC BÀI TOÁN S  Ví d Ch ng minh r ng Sn   2 H C   3  2  , n n n , s nguyên Sn không chia h t cho v i m i n Phân tích V i gi thi t này, có th ki m tra d dàng m t vài giá tr đ u S0 , S1 , S2 , s nguyên không chia h t cho Do đó, ta th y có th s d ng ph ng pháp ch ng minh quy n p đ gi i quy t toán V i ph ng pháp quy n p, ta l i c n liên h gi a Sk Sk 1 (trong gi thi t quy n p) Do đó, n y sinh ý t ng xây d ng công th c truy h i cho Sn Trang: Tr H ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 ng d n t x1   2 , x2   2 x1  x2  6, x1 x2  đó x1 , x2 hai nghi m c a ph ng trình x2  x   Khi theo h th c (1) ta có Sn  6Sn1  Sn Ta ch ng minh Sn nguyên b ng quy n p D th y, S0  2; S1  nguyên Gi s Sk ; Sk 1 nguyên ta có Sk   6Sk 1  Sk nên Sk  nguyên, m i k  Ta ch ng minh Sn không chia h t cho v i m i n T ng t trên, ta c ng có Sn2  6Sn1  Sn  35Sn  5Sn1  Sn1 Suy Sn2   Sn1 mod5 Suy Sn   Sn3  Sn6   Sn9  mod5 Do đó, áp d ng ph ng pháp quy n p, ta có S1  6, S2  34, S3  198 không chia h t Sn  n  không chia h t cho Ví d Tìm s nguyên l n nh t không v  t   11 Phân tích Khi s d ng MTCT đ b m tr c ti p k t qu tràn hình, s d ng k thu t MTCT đ x lý tràn hình ta v n thu đ c k t qu Tuy nhiên, rõ ràng không th áp d ng n u toán không cho phép s d ng MTCT H ng d n t x1   6, x2   x1  x2  10, x1 x2  Ta có x1 , x2 nghi m c a x2  10 x   Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho t Sn  x1n  x2n Sn  10Sn1  Sn Ta tính đ N m h c: 2015 ậ 2016 c S0  2; S1  10, S2  98, , S9  912.670.090, S10  9.034.502.498, S11  10 S10  S9  89.432.354.890  Mà  x111    11 1 11 Suy 89.432.354.889  x11  89.432.354.890  x1  89.432.354.890 V y: S nguyên l n nh t không v  t   Ví d Tìm ch s t n c a s   3   2015 ph n nguyên c a x – s nguyên l n nh t không v  11 89.432.354.889  (Ký hi u x , x    t x) Phân tích ý r ng bi u th c liên h p  3  x2   1;0  Do  Sn  x1n  Sn  H ng d n t x1   3, x2   3 Suy x1  x2  10, x1 x2  2 Do x1 , x2 nghi m c a x2  10 x   t Sn  x1n  x2n Sn2  10Sn1  2Sn Ta có: S0  2; S1  10; S2  96; S3  940; Ta có: 1  x2  Suy  Sn  x1n  Sn  x2n  Sn  Do đó:  x1n   Sn B ng quy n p ta ch ng minh đ c Sn  0mod10 n u n l Suy S2015  0mod10 Trang: Tr  ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho V y:   3   2015 N m h c: 2015 ậ 2016    x2015   S  0mod10 , ngh a ch s t n 2015    Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 Ví d Tìm đa th c b c có h s nguyên nh n m  99 làm  nghi m H ng d n t x1  c a ph , x2  Suy x1  x2  m, x1.x2  Do x1 , x2 nghi m ng trình x2  mx   t Sn  x1n  x2n Sn2  mSn1  Sn Ta tính đ c S0  2; S1  m; S2  m2  2; S3  mS2  S1  m m2     m  m3  3m S9  m9  9m7  27m5  30m3  5m Ta l i có S9  x19  x29  97   36 Suy S9  m9  9m7  27m5  30m3  5m  97 36 Hay 36m9  324m7  972m5  1080m3  108m  97  Suy m nghi m c a ph ng trình h s nguyên 36 x9  324 x7  972 x5  1080 x3  108x  97  V y: P  x  36 x9  324 x7  972 x5  1080 x3  108x  97 đa th c c n tìm Trang: Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 D ng ÁP D NG VÀO DÃY S un  Ví d Cho dãy s xác đ nh nh sau u1  6, u2  40, un  6un1  2un , n  a) Xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s b) Ch ng minh u2k chia h t cho 2k1 v i m i k c) Ch ng minh r ng v i m i k * * u2 k 1 chia h t cho k không chia h t cho 2k1 Phân tích Vi c xác đ nh s h ng t ng quát c a dãy s cho b i bi u th c truy h i n tính đ n gi n S d ng ph ng trình đ c tr ng công th c nghi m ta có k t qu H ng d n a) Xét ph ng trình đ c tr ng x2  x   có hai nghi m x1,2     n  n nên un  a  11  b  11 T u1  6; u2  40 suy a=b=1     n n V y un   11   11 b) V i m i k  * , ta có   3  11   20  11   20  11   10  11   10  11     u2 k   11 k 2k 2k k k k Trang: 10 k 11 Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho Suy u2k chia h t cho k    k Sk  10  11  10  11  N m h c: 2015 ậ 2016 k t thúc toán ta c n ch ng minh k chia h t cho Th t v y, 10  11, 10  11 hai nghi m c a x2  20 x   nên ta có Sk 2  20Sk 1  Sk V i S1  20; S2  398 s d ng ph ng pháp quy n p ta suy Sk chia h t cho v i m i k V y: u2 k 2k1 Chú ý r ng t đơy ta có kh ng đ nh u2k  2k1 A, A c) S d ng ph ng pháp quy n p toán h c D th y, k=1 u1  chia h t cho 21 nh ng không chia h t cho 211  Gi s kh ng đ nh v i k=m>1, ngh a u2m1  2m.B v i B nguyên không chia h t cho (B nguyên, l ) Ta s ch ng minh kh ng đ nh v i k=m+1 Th t v y, u2( m1)1  u2 m1  6u2 m  2u2 m1   2m1 A   2m.B  2m1  A  B Mà 6A B nguyên, l nên u2 m1 chia h t cho 2m1 mà không chia h t cho 2m V y có u c n ch ng minh Trang: 11 Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 Ví d (Trích đ thi ch n h c sinh gi i L p 12, t nh Ti n Giang, n m h c 2014 – 2015, B ng A)  Tìm lim un v i un    (kí hi u x  x   x ph n l c a x) n Phân tích Bài toán hay vi c áp d ng Viète h u nh không t ví d nêu ph n tr ng minh nh c Tuy nhiên đ ý l i bi u th c liên h p  g i ý ta s d ng đánh giá nh Ví d t có th tính đ c gi i h n c a dãy H ng d n t x1   , x2   x1 , x2 nghi m c a x2  x   t Sn  x1n  x2n Sn2  4Sn1  2Sn , n * Ta có S1  4, S2  12 s nguyên nên b ng quy n p ta ch ng minh đ Sn nguyên v i m i n  Ta có  x1      x1n    n  nên x2n  Sn  x1n  x2n  x2n  T suy Sn   x2n  Sn  x2n   Sn  (vì Sn nguyên) Do đó:  x2n   x2n   x2n   x2n   Sn  1   x2n  Sn     x1n   T lim x1n  lim   n   ta suy lim  Trang: 12    limx   n n c Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 H TH NG BÀI T P RỆN LUY N Bài Cho x1 , x2 hai nghi m c a x2   m2  1 x   Ch ng minh Sn  x1n  x2n , n  s nguyên Tìm s d khia chia S2015 cho Bài Cho ph ng trình x3  ax2  bx   0, a , b  Ch ng minh a  5, b  c p s h u t nh t làm cho ph có ba nghi m m t nghi m  ng trình Tìm s d chia x12015  x22015  x32015 cho 4, v i x1 , x2 , x3 ba nghi m c a ph ng trình n Bài Cho dãy s un  n 3   3  v i un      2     Ch ng minh r ng u n s t nhiên Tìm giá tr c a n đ u n s ph ng  Bài Tìm hai ch s t n c a ph n nguyên c a s Bài Tìm hai ch s bên trái bên ph i d u ph y c a s  Bài Cho dãy s có un     n  29  21   3 2002  2002 n   Ch ng minh r ng u n nguyên không chia h t cho 13 v i m i n Bài Cho x1 , x2 hai nghi m c a ph ng trình x2  ax    a   Ch ng minh x15  x25 nguyên Tìm giá tr nh nh t c a a đ x15  x25 chia h t cho 25 Bài Tìm đa th c b c 6, h s nguyên nh n m   256  làm nghi m  n Bài Ch ng minh r ng ph n th p phân c a  26 , n  ch s gi ng Trang: 13 * b t đ u b ng n Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 TÀI LI U THAM KH O Võ i Mau, Toán nâng cao Tr n V n K , Phân lo i ph i s 10, Nhà xu t b n Tr , 1996 ng pháp gi i toán b n Tr , 1999 T p chí Toán h c Tu i tr , 2004 thi h c sinh gi i t nh Trang: 14 i s 10, Nhà xu t [...]... 11  N m h c: 2015 ậ 2016 k t thúc bài toán ta c n ch ng minh k chia h t cho 2 Th t v y, 10  3 11, 10  3 11 là hai nghi m c a x2  20 x  1  0 nên ta có Sk 2  20Sk 1  Sk V i S1  20; S2  398 s d ng ph ng pháp quy n p ta suy ra Sk chia h t cho 2 v i m i k V y: u2 k 2k1 Chú ý r ng t đơy ta có kh ng đ nh u2k  2k1 A, A c) S d ng ph ng pháp quy n p toán h c D th y, k=1 thì u1  6 chia h t...  26 , n  ch s gi ng nhau Trang: 13 * b t đ u b ng n Tr ng THPT Nguy n ình Chi u ậ M Tho N m h c: 2015 ậ 2016 TÀI LI U THAM KH O 1 Võ i Mau, Toán nâng cao 2 Tr n V n K , Phân lo i và ph i s 10, Nhà xu t b n Tr , 1996 ng pháp gi i toán b n Tr , 1999 3 T p chí Toán h c và Tu i tr , 2004 4 thi h c sinh gi i các t nh Trang: 14 i s 10, Nhà xu t ... Giang, n m h c 2014 – 2015, B ng A)  Tìm lim un v i un  2  2  (kí hi u x  x   x là ph n l c a x) n Phân tích Bài toán này khá hay và vi c áp d ng Viète h u nh không t các ví d đã nêu ph n tr ng minh nh c Tuy nhiên đ ý l i bi u th c liên h p 2  2 g i ý ta s d ng đánh giá nh trong Ví d 6 và t đó có th tính đ c gi i h n c a dãy H ng d n t x1  2  2 , x2  2  2 thì x1 , x2 là nghi m c a x2  4... minh Sn  x1n  x2n , n  là s nguyên 2 Tìm s d khia chia S2015 cho 5 Bài 2 Cho ph ng trình x3  ax2  bx  1  0, a , b  1 Ch ng minh a  5, b  3 là c p s h u t duy nh t làm cho ph trên có ba nghi m trong đó m t nghi m là 2  5 ng trình 2 Tìm s d khi chia x12015  x22015  x32015 cho 4, v i x1 , x2 , x3 là ba nghi m c a ph ng trình n Bài 3 Cho dãy s un  n 3 5   3 5  v i un      2 2