Ở trường phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học. Đối với HS, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học Toán ở trường phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng phát triển tư duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Khối lượng bài tập Toán ở trường phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có thuật giải, nhưng phần lớn là những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải. Đứng trước những bài toán đó, GV gợi ý và hướng dẫn HS như thế nào để giúp họ tìm ra phương pháp giải là một vấn đề hết sức quan trọng. Kĩ năng giải Toán thường thể hiện ở khả năng lựa chọn một phương pháp giải thích hợp cho mỗi bài toán. Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ ràng, trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đã học, mà một điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn toán học khác nhau trong chương trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra. Bồi dưỡng năng lực phát hiện phương pháp giải Toán có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng tư duy của HS, để HS có khả năng thích ứng khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết, HS cũng thấy được mỗi lời giải bài toán như là một quá trình suy luận, tư duy của HS mà phương pháp giải không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân người giải. Mối liên hệ, dấu hiệu trong bài toán chỉ có thể được phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, so sánh... Ở trường tôi học sinh chủ yếu là học sinh yếu kém nên khi đứng trước một bài toán không biết bắt đầu từ đâu và giải như thế nào? Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài là: “Tìm tòi lời giải bài Toán theo hướng tích cực hoá hoạt động của học sinh”.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KỲ SƠN -o0o Tìm tòi lời giải Tốn theo hướng tích cực hố hoạt động học sinh Giáo viên : Bùi Tiến Dũng Dạy mơn: Tốn Tổ Chun mơn : Tốn Trường : THPT DTNT Kỳ Sơ Năm học 2017 - 2018 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Ở trường phổ thơng dạy Tốn dạy hoạt động Tốn học Đối với HS, xem việc giải Tốn hình thức chủ yếu hoạt động toán học Các toán trường phổ thơng phương tiện có hiệu việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải tập toán điều kiện để thực tốt mục đích dạy học Tốn trường phổ thơng Vì tổ chức có hiệu việc dạy giải tập tốn học có vai trò định chất lượng dạy học Toán Bài tập toán mang nhiều chức năng: Chức giáo dục, chức giáo dưỡng, chức phát triển tư chức kiểm tra đánh giá Khối lượng tập Toán trường phổ thơng phong phú, đa dạng Có lớp tốn có thuật giải, phần lớn tốn chưa có khơng có thuật giải Đứng trước tốn đó, GV gợi ý hướng dẫn HS để giúp họ tìm phương pháp giải vấn đề quan trọng Kĩ giải Toán thường thể khả lựa chọn phương pháp giải thích hợp cho toán Việc lựa chọn cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn rõ ràng, sáng, không dựa vào việc nắm vững kiến thức học, mà điều quan trọng hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ phân mơn tốn học khác chương trình học, biết áp dụng vào việc tìm tòi phương pháp giải tốt cho toán đặt Bồi dưỡng lực phát phương pháp giải Tốn có vai trò quan trọng việc phát triển khả tư HS, để HS có khả thích ứng đứng trước vấn đề cần giải quyết, HS thấy lời giải toán trình suy luận, tư HS mà phương pháp giải không phụ thuộc vào đặc điểm tốn mà phụ thuộc tố chất tâm lý thân người giải Mối liên hệ, dấu hiệu tốn phát thơng qua q trình phân tích, tổng hợp, khái qt hố, so sánh Ở trường học sinh chủ yếu học sinh yếu nên đứng trước tốn khơng giải nào? Vì lý đây, chúng tơi chọn đề tài là: “Tìm tòi lời giải Tốn theo hướng tích cực hố hoạt động học sinh” PHẦN II: NỘI DUNG I MỘT SỐ CƠ SỞ LÍ LUẬN Phương pháp giải Tốn Thuật ngữ Phương pháp đường, cách thức thực kiểu nhiệm vụ đó, nhằm đạt tới kết đạt mục đích đặt Phương pháp giải Tốn (hay phương pháp tìm lời giải tốn) cách thức ứng xử người làm toán đứng trước toán để gây nên hoạt động tư thân nhằm tìm lời giải tốn Những hoạt động tư bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, quy nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh… đặc biệt suy luận có lý Tiến trình giải tốn Theo G Polya “Giải tốn, phải lập lược đồ xác định mạch lạc thao tác (lơgic, tốn học hay thực tiễn) bắt đầu giả thiết kết thúc kết luận, dẫn dắt kết luận đến ẩn, từ đối tượng mà ta có tay đến đối tượng ta muốn đạt tới” Tiến trình giải tốn gồm bước sau: Bước1: Tiếp nhận tốn: Tạo tâm lý hứng thú, thu hút tâm trí vào việc giải tốn, khêu gợi trí tò mò, lòng ham thích, khát vọng, tâm giải tốn, tìm tòi tốn Tiếp cận với kế hoạch giải tốn: Hiểu phân tích tốn, làm rõ mối quan hệ giả thiết kết luận Phân tích gạt bỏ yếu tố không chất, giữ lại quan hệ Toán học Bước 2: Xây dựng kế hoạch giải toán Phát biểu mối quan hệ định tính định lượng thể kế hoạch giải toán Bước 3: Thực kế hoạch giải toán Kế hoạch giải thiết lập dạng ý nghĩ tổng qt, đòi hỏi học sinh phải đưa vào thực qua hệ thống hành động giải tốn hồn thiện chi tiết phù hợp với Bước 4: Kiểm tra tiến trình giải tốn Kiểm tra kết định tính định lượng, chân lý lời giải Phát xử lý sai lầm hình thức, lơgic hay khái niệm để tiến trình giải tốn mang tính tối ưu Bước 5: Thu nhận, phức hợp hố tốn Nghiên cứu lời giải tốn, tìm tòi tốn cách độc đáo lạ Nhìn tốn theo quan điểm tồn diện nhiều góc độ khác để tìm cách giải tốt nhất, tối ưu Phân tích tốn để tìm cách giải Cần trả lời câu hỏi: “Muốn giải tốn cho cần phải biết gì? phải sử dụng phép biến đổi nào? sở lí thuyết việc giải tốn? Trong biết? chưa biết? Muốn tìm chưa biết phải biết gì? ” Tiến trình giải tốn cụ thể có mức độ lực phát phương pháp giải Toán: + Mức độ 1: Tập trung vào đáp ứng yêu cầu mà toán đặt + Mức độ 2: Tập trung vào lựa chọn tri thức phương pháp giải Tốn thích hợp + Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu điều kiện làm nảy sinh vấn đề, tình vấn đề, nhu cầu khó khăn, mâu thuẫn cần giải toán việc "phán xét", cách tiếp cận, giải vấn đề tiến trình giải Tốn Kỹ đặt câu hỏi Sự thành công GV lên lớp đưa câu hỏi hợp lý, câu hỏi khiến HS cảm thấy nhu cầu cần giải đáp có khả giải đáp, sau cần lắng nghe câu trả lời Các câu hỏi mà GV đặt cho HS có nhiều nhóm: a) Nhóm câu hỏi “biết” nhằm kiểm tra trí nhớ HS kiện, số liệu, định nghĩa, định lý, quy tắc, khái niệm Nhóm câu hỏi giúp HS ơn lại biết mà điều quan trọng hơn, điều biết chỗ dựa cho điều chưa biết b) Nhóm câu hỏi “hiểu” nhằm kiểm tra HS cách liên hệ, kết nối kiện, số liệu, đặc điểm tiếp nhận thông tin Nhóm câu hỏi giúp HS có khả nêu vấn đề bản, biết cách so sánh yếu tố, kiện học c) Nhóm câu hỏi “áp dụng” nhằm kiểm tra khả áp dụng thông tin thu (các kiện, số liệu, đặc điểm ) vào tình Nhóm câu hỏi giúp HS hiểu nội dung kiến thức, khái niệm, định luật, biết cách lựa chọn nhiều phương pháp để giải vấn đề d) Nhóm câu hỏi “phân tích” nhằm kiểm tra khả phân tích nội dung vấn đề, từ tìm mối liên hệ, chứng minh luận điểm, đến kết luận Nhóm câu hỏi giúp HS suy nghĩ, tìm mối quan hệ tượng, kiện, tự diễn giải đưa kết luận riêng e) Nhóm câu hỏi “tổng hợp” nhằm kiểm tra khả HS đưa dự đoán, cách giải vấn đề, câu trả lời đề xuất có tính sáng tạo Nhóm câu hỏi kích thích sáng tạo HS, hướng em tìm nhân tố f) Nhóm câu hỏi “đánh giá” nhằm kiểm tra khả đóng góp ý kiến, phán đốn HS việc nhận định, đánh giá ý tưởng, kiện, tượng dựa tiêu chí đưa Nhóm câu hỏi thúc đẩy tìm tòi tri thức, xác định giá trị HS Kỹ giải thích Giải thích phương pháp mà GV dùng lời phương tiện phi ngôn ngữ khác để làm sáng tỏ vấn đề đó, tạo liên kết vấn đề với kinh nghiệm có người học, qua giúp người học lĩnh hội Để việc giải thích vấn đề có hiệu GV cần đáp ứng yêu cầu sau: a) Việc giải thích cần dựa tri thức hay kinh nghiệm vốn có người học Việc giải thích có ý nghĩa người học từ chỗ chưa hiểu đến chỗ thông hiểu vấn đề b) Việc giải thích cần làm bật nội dung trọng tâm hay ý vấn đề c) Việc giải thích phải hướng đến làm cho vấn đề ngày trở nên đơn giản d) Việc giải thích phải phù hợp với đối tượng người học II NỘI DUNG 2 Ví dụ Cho đường tròn C : x a y b R điểm M xM , yM nằm ngồi đường tròn Viết phương trình tiếp tuyến C kẻ từ M GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi: GV: Khi đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C ? HS: Câu trả lời mong đợi d I ; R, I tâm đường tròn GV: Hãy nêu cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng? HS: Khoảng cách từ điểm I a, b đến : Ax By C d I; Aa Bb C A2 B GV: Từ ta thiết lập biểu thức gì? HS: Ta có Aa Bb C A2 B R GV: Phương trình có tới ẩn A, B, C Có cách để giảm bớt số ẩn khơng? Ta sử dụng hết giả thiết toán chưa? HS: Ta chưa sử dụng giả thiết đường thẳng qua M Lúc ta có : A x xM B y yM Như ta bớt ẩn C GV: Nhưng cuối ta có phương trình mà có tới ẩn Liệu có giải khơng? HS: Tuy có phương trình A x xM B y yM A2 B R khơng bắt buộc tìm giá trị cụ thể A B mà cần tìm mối liên hệ A kB B kA mà thơi, nghĩa cần tìm ẩn k mà thơi Từ phương trình nói ta dễ dàng đưa phương trình bậc k Cuối cùng, GV yêu cầu HS giải toán cụ thể để cố phương pháp vừa tìm, chẳng hạn: Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn C : x y x y biết tiếp tuyến qua A 3; 2 Viết phương 2 trình tiếp tuyến đường tròn C : x 3 y 1 kẻ từ A 1;3 Ví dụ Sau HS học định lí Cơsi với hai số bốn số khơng âm Ta tổ chức cho HS tìm đốn cách chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp ba số không âm sau: GV: HS: Phát biểu lại bất đẳng thức Côsi cho hai số bốn số? a1 a2 � a1a2 , a1 , a2 �0 (1) a1 a2 a3 a4 � a1a2 a3a4 , a1 , a2 , a3 , a4 �0 GV: Ta phải chứng minh điều gì? a1 a2 a3 � a1a2 a3 , a1 , a2 , a3 �0 GV: (2) (3) Hãy xét chứng minh bất đẳng thức (2) xem áp dụng cách để chứng minh (3) không? (trường hợp khơng sử dụng (1) số số hạng bị "lẻ") Vậy ta cách sử dụng (2) Muốn phải có số khơng âm mà vế trái (3) có số hạng khơng âm Do ta phải thêm vào số hạng thứ tư, gọi x cho x phải không âm khơng làm thay đổi (3)! GV: Tìm x? HS: Ta giải phương trình a1 a2 a3 x a1 a2 a3 a a a � x �0 3 GV: Hãy áp dụng (2) với số a1, a2, a3, x không âm? a1 a2 a3 x � a1a2 a3 x a a a a1 a2 a3 3 ۳ a a a ۳ 3 a1a2 a3 GV: GV: a1a2 a3 a1 a2 a3 Có cách chứng minh khác khơng? Lựa chọn cách đặt ẩn phụ thích hợp để bất đẳng thức cần chứng minh khơng chứa thức? HS: GV: Đặt x a �0, y b �0, z c �0 Khi ta cần chứng minh điều gì? x3 y z �xyz , x, y, z �0 HS: Chứng minh GV: Hãy liên tưởng đến đẳng thức quen thuộc có liên quan đến x y z 3xyz HS: Ta có: x y z 3xyz x y z x y z xy yz zx x y z x y y z z x 2 Từ đó, bất đẳng thức Cơsi cho số chứng minh Ví dụ Giải phương trình: a sin x cos x b sin x cos x c Để giúp em phát thuật tốn giải tốn vừa nêu, sử dụng phương pháp đàm thoại giải vấn đề sau: GV: Em nhận xét mối liên hệ biểu thức sin x, cos x sin x cos x, sin x.cos x HS: GV: Như vậy, biểu thức phương trình ban đầu biểu thị qua biểu thức ? HS: Tất nhiên biểu thị qua sin x cos x GV: Điều có ý nghĩa khơng? HS: Ta cần đặt t sin x cos x đưa phương trình ban đầu phương trình bậc hai t biết cách giải Ví dụ Cho hình chóp SABC có SA vng góc với mặt phẳng ABC , đáy ABC tam giác vuông B Gọi M trung điểm AC Dựng đường vng góc chung SM BC GV: Bài toán thuộc kiểu gì? HS: Dựng đường vng góc chung hai đường thẳng chéo GV: Có quy trình để giải loại toán này? HS: Em học ba quy trình GV: Em dựa vào đặc điểm tốn để lựa chọn quy trình phù hợp HS: Ta thấy hai đường thẳng SM BC khơng vng góc với nhau, chúng vng góc mà BC SA BC SAC nên BC AC , mâu thuẫn Vì ta khơng thể áp dụng quy trình thứ ba Ta thử áp dụng quy trình thứ Quy trình thứ yêu cầu dựng mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng GV: Ta nên dựng mặt phẳng chứa SM song song với BC hay ngược lại? Từ S M dựng đường thẳng song song với BC dễ hay từ B C dựng đường thẳng song song với SM dễ hơn? HS: Chắc chắn từ M kẻ đường thẳng song song với BC rồi, đường trung bình MN tam giác ABC GV: Bước thứ hai quy trình yêu cầu điều gì? HS: Dựng hình chiếu điểm (hợp lí) BC xuống mặt phẳng SMN Có lẽ ta chọn điểm B C có tính chất đặc biệt Nhưng dựng nào? GV: Ta dựng hình chiếu điểm lên cạnh SN , MN , SM Nếu may mắn, điểm cần tìm (dự đốn, thất bại) HS: Gọi H hình chiếu B lên SN Khi ta có BH SN Dễ thấy BH NM (vì NM // BC , BC SAB � NM SAB ) Từ suy H hình chiếu B lên SNM GV: Các bước quy trình yêu cầu điều gì? HS: Từ H kẻ đường thẳng song song với MN , cắt SM E Từ E kẻ đường thẳng song song với HB cắt BC F Khi EF đường vng góc chung cần dựng GV: Hãy lựa chọn quy trình thứ hai để giải toán? HS: GV: Với x < log2(x – 5) log2(x – 3) khơng tồn Như phép biến đổi làm thay đổi điều kiện xác định phương trình Hãy xem xét lại phép biến đổi? log2 HS: log2 x log2(x 5) log2(x 3) x3 x log2(x 5) log2(x 3) x - > x – > x GV: Ở đảm bảo điều chưa? Hãy xem xét! HS: Với x < x - < x - < GV: Hãy thực phép biến đổi log2 HS: log2 x ? x x 5 x log2 log2(5 x) log2(3 x) x3 3 x GV: Tiếp tục giải phương trình HS: (1) log2(5 – x) – log2(3 – x) + log2 (3 - x) = m log2(5 – x) = m – x = 2m x = – 2m GV: Đây có phải nghiện phương trình hay khơng? HS: Chưa, nghiệm phương trình phải thỏa mãn điều kiện: x < GV: Hãy biện luận theo m nghiệm phương trình? HS: x = – 2m < 2m > m>1 Kết luận: Với m > phương trình có nghiệm là: x = – 2m Với m phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 10 Các số a, b, c, d liên hệ hệ thức: a c 1 d ; b d 1 c2 Chứng minh rằng: a b �1 (1) Phân tích tốn tìm lời giải: Đây tốn khó chứng minh bất đẳng thức, để chứng minh 2 (1), ta phải chứng minh bất đẳng thức c d d c �1 Như vậy, học sinh chưa có thêm kiến thức khác ngồi kiến thức bất đẳng thức (định nghĩa, tính chất, số bất đẳng thức thơng dụng) dạy học sinh giải tốn điều khó khăn Nếu học sinh học phép biến đổi lượng giác, trước hết GV gợi ý điều kiện để c �1; d �1 có nghĩa gì? Có thể nêu cho học sinh câu hỏi c �1, d �1 gợi cho em liên tưởng gì? Một quen thuộc phần hàm số lượng giác Hãy để ý biểu diễn a , b theo c , d ? Chúng ta mong đợi học sinh trả lời rằng: a c 1 d b d 1 c Từ đó, học sinh có lựa chọn để giải, chẳng hạn: Đặt d cos c cos ; � , � Khi đó: a cos sin b cos sin Do vậy: a b cos sin sin cos sin �1 Vậy bất đẳng thức chứng minh Từ HS trình bày lời giải tốn Ví dụ 11 Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có góc vng cos2A + cos2B + cos2C = -1 Phân tích tốn tìm lời giải: Ta nhận thấy rằng, tốn có đề cập đến mối quan hệ góc tam giác, ta huy động định lý, tính chất biết quan hệ góc tam giác: Với tam giác ABC vuông A, ta có: A= B+ C = (1) a b2 c2 (2) b = a.sinB = a.cosC (3) c = a.sinC = a.cosB (4) b = c.tanB = c.cotC (5) c = b.tanC = b.cotB (6) Do góc A, B, C có vai trò bình đẳng, khơng tính tổng qt, ta giả sử góc Aˆ vng Khi đó: cos A cos 1 Do đó, ta phải chứng minh: cos2B + cos2C = Để chọn lọc kiến thức thích hợp, trước hết ta loại (5) (6) chúng đề cập đến “tan” “cot” hàm số “cos” điều phải chứng minh Hãy quan sát (3) (4), có chứa cosB cosC Để xuất cos2B, cos2C, ta lại phải sử dụng công thức nhân đôi Khi đó: cos B cos 2C 2cos2 B 1 2cos2 C 1 b2 c2 c2 b2 2 2 2 a2 a2 a Đến đây, ta sử dụng (2) suy điều cần chứng minh Nếu sử dụng (1), ta có: BC Để xuất góc 2B, 2C, ta nhân vế đẳng thức với 2, ta có: B 2C � B 2C Đến đây, để xuất cos2B, ta lấy cosin vế, ta được: cos 2B cos 2C cos 2C cos 2C � cos 2B cos 2C Do đó, ta có điều cần chứng minh Qua GV hướng dẫn HS tìm tòi lời giải tốn theo hướng tích cực, chủ động sáng tạo Ví dụ 12 Chứng minh rằng, tam giác ABC cân điều kiện sau thoả mãn: 2sin A sin B C cot sin C (1) GV: u cầu tốn gì? HS: Chứng minh tam giác cân GV: Để chứng minh tam giác cân ta cần chứng minh điều gì? HS: Ta chứng minh tam giác có hai cạnh hai góc GV: Vấn đề chứng minh hai cạnh hay hai góc nhau? HS: Ở đây, giả thiết toán cho ta hệ thức góc thơng qua hàm số lượng giác chúng Do vậy, để chứng minh tam giác ABC cân, toán ta chứng minh hai góc GV: Ta chứng minh hai góc nhau? HS: Do biểu thức cho giả thiết có tính đối xứng sinA sinB Từ đó, ta chứng minh A = B hay A – B = GV: Để chứng minh A - B = 0, ta biết cách nào? HS: Chứng minh sin(A - B) = (2) cos(A - B) = GV: Ta chọn cách hai cách đó? HS: Chứng minh cos(A - B) = Vì sinA.sinB = [cos(A - B) - cos(A + B)] GV: Hãy trình bày cách giải tốn HS: (1) cos(A - B) - cos(A + B) = cos(A - B) - cos(A + B) = + CosC cos(A - B) = Suy điều phải chứng minh (3) sin x cos x cos 4 x Ví dụ 13 Giải phương trình: tg( x ) tg( x ) 4 (1) GV: Điều kiện để phương trình có nghĩa? HS: tan( x).tan( x) �0 x � k ; k �Z 4 GV: Nhận xét hai góc: x x 4 HS: Hai góc phụ GV: Nhận xét tích tan( x).tan( x) ? HS: tan( x).tan( x) 4 GV: Khi đó, phương trình (1) tương đương với phương trình nào? HS: (1) sin 2x cos 2x cos 4x (2) GV: Hãy tiếp tục biến đổi phương trình (2) dạng quen thuộc? HS: (2) 1 sin x cos 4 x 1 (1 cos 4x ) cos 4x 2 cos 4 x cos x 0 (3) GV: Trình bày cách giải phương trình (3) kết luận nghiệm Ví dụ 14 Giải phương trình: x = – x Xây dựng lời giải: - Giáo viên yêu cầu học sinh xác định phương pháp giải toán - Học sinh đứng trước tình tốn khơng giải đại số y - Giáo viên hướng học sinh thử đưa việc giải phương trình hệ: y = 2x y = 2x A y=3-x x y = 3-x dựng đồ thị, hàm số y = 2x y = - x hệ trục tọa độ - Từ mơ hình trực quan học sinh phát đồ thị có điểm chung khơng điểm chung khác; hồnh độ điểm A x = 1, nghĩa phương trình x = - x có nghiệm x = Ví dụ 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, SA=SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Theo tốn ta chia thành tình có vấn đề sau: Hoạt động học sinh Giáo viên nêu tình - Học sinh huy động kiến thức: Hai mặt - Hãy xác định đường cao phẳng vng góc, nhìn tam giác hình chóp ? SAB tam giác - Kẻ SH AB => SH (ABCD) - Học sinh nắm kiến thức góc tạo - Xác định góc SC mặt đường thẳng mặt phẳng, độ lớn phẳng đáy ? chúng - Góc đường thẳng mặt - HC hình chiếu SC lên (ABCD), phẳng có độ lớn ? từ ta có : � �, HC = SHC ,( ABCD)) = ( SC ( SC ) � = 45 - Học sinh phải nhớ cơng thức tính thể - Hãy tính thể tích hình chóp ? tích, biết cần phải huy động kiến thức để tính để tính thể tích ? - Tính thể tích SABCD HC HB BC + Cần phải tính yếu tố + Nêu bước tính ? a SH HC.tan 450 a Thể tích khối chóp là: 1 a a3 V SH S ABCD a 3 Các câu hỏi tình có vấn đề định hướng cho HS khám phá kiến thức Ví dụ 16 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a (P) mặt phẳng qua tâm O mặt ABCD song song với B'D BC' Xác định thiết diện hình lập phương với mặt phẳng (P) tính diện tích thiết diện Giáo viên đặt câu hỏi để học sinh khám phá tìm tòi cách giải: K' GV: Để dựng thiết diện cần phải xác định gì? có cách nào, vận dụng định phẳng ? Khi HS liên tưởng tới kiến thức M B' I D' A' F N C để xác định giao tuyến: Các hoạt động khám phá: C' K lý nào, để xác định giao tuyến hai mặt D O B Q A - Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung cần xác định thêm điểm chung - Hai mặt phẳng // với đường thẳng có điểm chung có giao tuyến // với đường thẳng d �( P ) � � a / /d -� � � Q / / d ,( P) �(Q) = a � Từ hoạt động HS phải tiếp tục suy nghĩ, hành động chọn cách xác định giao tuyến cho phù hợp để xác định thiết diện Đó q trình tự khám phá HS Đồng thời xây dựng quy trình xác định thiết diện Khi chẳng hạn HS xác định hướng dựng thiết diện sau: Mặt phẳng chứa O B'D (BB'D) => (P) �(BB'D) = OI ; (P) �(BB'C'C) = IK , kéo dài IK cắt CC' K'; (BDC') �(P) = OF , K'F cắt CD N cắt C'D' M; NO cắt AB Q, nối QI, nối KM Thiết diện hình KMNQIK Phần tốn HS có em nhìn nhận cách giải cách tính diện tích thơng qua cách xác định thiết diện, song có em cần phải có hướng dẫn GV giúp HS khám phá, định hướng cách huy động kiến thức từ khám phá vận dụng vào tốn GV: Có những phương pháp để tính diện tích thiết diện ? GV: Xem thiết diện mặt đa diện, tính diện tích mặt đa diện Các hoạt động khám phá: HS: Hiệu diện tích đa giác lớn diện tích đa giác nhỏ (1) HS: Tổng diện tích đa giác HS: Diện tích mặt đáy khối chóp (2) 3V h HS: Diện tích hình chiếu S=S'cosα (3) (4) Qua cách huy động kiến thức (những ý tưởng trên),kết hợp cách xác định thiết diện đưa đến cho HS cách chọn kiến thức cần thiết cho việc xác định cách tính diện tích thiết diện, phương pháp tính diện tích thiết diện Học sinh đưa cách tích diện tích thiết diện sau: Ba mặt phẳng (P), (ABCD),(BB'C'C) cắt theo giao tuyến đồng quy E; Trong BB'D có OI đường trung bình nên I trung điểm BB', K trung điểm B'C' => EC= K'C=3/2CC'=3a/2; CN= 3a/4; khoảng cách từ điểm C đến (P) h : 1 1 3a = + + 2 2 => h = h CE CN CK 12 Thể tích khối chóp K'CBE : V = 9a 9a Diện tích K'EN S = Mặt 32 16 7a khác SKK'M = SEQI = S/9 Diện tích thiết diện STD = S - S = S = 9 16 Cách tính diện tích thiết diện xuất phát từ ý tưởng (1) (3) Song ta sử dụng ý tưởng (2) ta đến tính diện tích hình thang cân IKMQ diện tích tam giác cân NMQ Nhưng ta sử dụng ý tưởng (4) ta cần tìm hình chiếu thiết diện hình chiếu CC'KIB Ví dụ 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC, A1, B1, C1 Gọi O giao điểm AC BD Gọi I giao điểm A 1C1 SO Chứng minh SA SC SB SD SA1 SC1 SB1 SD1 Các hoạt động khám phá S GV: Theo em tốn có hướng giải nào, vận dụng kiến thức liên D1 quan đến tỷ số cạnh A1 HS: Ứng dụng tỷ số cạnh thông qua định lý Talet, theo tỷ số diện tích C1 I D B1 O A HS: Ứng dụng tỷ số thể tích C B * Theo hướng Đối với tốn nhận thấy tam giác SAC SBD có đối tượng có tính chất hình hồn tồn tương tự, ta nhận thấy rẳng việc tìm tòi khám phá tốn khơng gian chuyển sang giải toán mặt phẳng Ta xét toán phụ: " Cho tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Một đường thẳng d cắt cạnh AB,AC AM B’, C’ M’.Chứng minh rằng: AB AC AM + =2 " AB' AC' AM' Một số cách giải toán phụ sau: Cách 1: Hãy tìm cách kẻ thêm đoạn thẳng để tạo thành tam giác đồng dạng ? - Kẻ Bx, Cy // AM cắt d I,F A - Tứ giác IFCB có BI + CF = 2MM’ (1) - AB’M’ đồng dạng BB’I: => BB ' BI AB AG BI � AB ' AG AB ' AG - AC’M’ đồng 2 dạng CC’F CC ' CF AC AG CF � AC ' AM ' AC ' AM ' - Từ (1),(2) (3) ta có: M' B' I C' F C B M => 3 AB AC AM 2 AB ' AC ' AM ' Cách Tìm cách vẽ hinh khác để tạo A thành tam giác đồng dạng +) Kẻ BE CF// B’C’ => BE=CF, C' B' ME=MF M' E Theo Talet : C AB AE AC AF ; (1) AB ' AM ' AC ' AM ' B M F Mặt khác: AM AM ME AM MF AM AE AF � AM ' AM ' AM ' AM ' AM ' Cách Áp dụng cơng thức tính diện tích ta có: SA ' B ' C ' AB ' AC ' S ABC AB AC Mặt khác: (1) SAB 'C ' SAB ' M ' S AC ' M ' �AB ' AM ' AC ' AM ' � � �(2) SABC SABM SACM �AB AM AC AM � Từ (1) (2) ta có: AM ' �AB ' AC ' � AB ' AC ' � � AM �AB AC � AB AC A AB AC AM � (ĐPCM) AB ' AC ' AM ' Cách 4: Áp dụng định lý Menegauyt +) Đặt AM ' k ,(k 0) Gọi d cắt M 'M B' C' M' J B M C BC kéo dài J +) Với điểm J,M’,C’ thẳng hàng ta JM C ' C AM ' JM C ' C 1 � JC C ' A AM JC C ' A k có: � C 'C JC AC k JM JC � (1) C ' A k JM AC ' k JM +) Với điểm J,B’, M’ thẳng hàng: JB M ' M B ' A B ' A k JM AB k JM JB (2) 1 � � JM M ' A B ' B B'B JB AB ' k JM +) Từ (1) (2) ta suy ra: AB AC JB JC 2k JM 2.JM k 1 AB ' AC ' k JM k JM AB AC AM 2(k 1) (ĐPCM) � 2 k AB ' AC ' AM ' Vận dụng "bài tốn phụ" ta vận dụng để chứng minh toán nêu SA SC SO -Tam giác SAC: SA SC 2 SI 1 - Tam giác SBD: - Từ => SB SD SO 2 SB1 SD1 SI SA SC SB SD (ĐPCM) SA1 SC1 SB1 SD1 * Theo hướng 2: Hãy tìm cách áp dụng cơng thức tỷ số thể tích tốn ? VS A1B1C1D1 VS ABCD Mặt khác: = VS A1B1C1 2.VS ABC VS A1B1C1D1 VS ABCD = + VS A1C1D1 2.VS ACD VS A1B1D1 2.VS ABD SA + SC = � SA1 SC1 � SB1 SD1 � � + � � �SB � 2.SA SC � SD � VS C1B1D1 2.VS CBD SB = (2) � SB1 SD1 � SA1 SC1 � � + � � �SA SC � � 2.SB SD � (3) SD Từ (2) (3) => SA SC SB SD (ĐPCM) 1 1 Ví dụ 18 Cho hình chóp SABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC, SG A', B', C', G' Chứng minh SA SB SC SG 3 SA ' SB ' SC ' SG ' Hoạt động khám phá tìm lời giải S Định hướng lời giải cách Nhờ khả liên tưởng thơng qua A' hình vẽ, thơng qua vai trò tương tự tính C' G' M' chất trọng tâm ba điểm không gian B' C tính chất trung điểm đoạn thẳng mặt phẳng A G Để giải toán ta đến tốn phụ M B nêu (ở ví dụ 17), ta vận dụng toán S để giải tốn gốc Ta có minh: SB SC SM 2 , nên cần chứng SB ' SC ' SM ' A' SA SM SG 2 3 Tiếp tục vận tục vận SA ' SM ' SG ' dụng cách dựng hình: lấy I' đối xứng với qua M từ =>ĐPCM Định hướng lời giải cách A G' I' M' G M I Đẳng thức cần chứng minh liên quan đến tỷ số độ dài Điều giúp suy nghĩ tới sử dụng tỷ số thể tích để chứng minh tốn Gọi V1, V2, V3 thể tích khối chóp S.A'B'G', S.B'C'G', S.C'A'G ' G trọng tâm tam giác ABC nên ta có V S.ABG = VS.BCG = VS.CAG = V, V thể tích hình chóp S.ABC V V V V' ( V' thể tích Áp dụng vào tốn : V VSBCG VSCAG V SABG S.A'B'C') Từ đẳng thức biến đổi ta => ( ĐPCM) Định hướng lời giải cách Giả thiết kết luận toán chứa đựng bất biến phép chiếu song song; trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng, tỷ số đoạn thẳng phương, thẳng hàng Điều giúp ta suy nghĩ tới phép chiếu song song để chứng minh Ta xét phép chiếu // theo phương A'M' lên mặt phẳng (SBC), ảnh S, B, C, B', C', M' nó, ảnh A', G', M', ảnh A,G A1, G1 Theo tính chất phép chiếu song song ta S có: A1, G1 thuộc SM, G1 thuộc A1M SA1 SG SG1 A1G1 AG SA , , SA ' SM ' SG ' SM ' G1M GM B' C' M' Bài toán cho quy toán A1 phẳng sau: Cho tam giác SBC B', C' hai điểm thuộc SB, SC; M trung điểm BC, M' giao điểm SM B'C' A1, B1 thuộc SM cho G1 nằm A1M A1G = 2G1M Chứng minh rằng: SB SC SA SG 3 SB ' SC ' SM ' SM ' Theo kết biết: SB SC SM 2 SB ' SC ' SM ' G1 B M C S Bài toán quy chứng minh: A C M Ta có: N H SA SG SM 3 SM ' SM ' SM ' SA 2SG1 2G1M SG1 A1G SG SM = (do A1M = 2G1M) SM ' SM ' SM ' SM ' Ta phát triển tốn theo hướng sau: B GV cho HS nhận biết SA SB SC 3.SG số số SA ' SB ' SC ' SG ' => G' cố định Với cách khám phá ta đến tốn sau: Bài Cho hình chóp SABC, mặt phẳng (P) cắt cạnh SA, SB, SC A', B', C', thỏa mãn đẳng thức SA SB SC Chứng minh SA ' SB ' SC ' (P) qua điểm cố định Nếu mặt phẳng mà có đối tượng hình giống toán phụ, chẳng hạn thay đổi hệ số số hạng biểu thức SA SB SC SA SB SC + + + + thành ta có toán SA' SB' SC' SA' SB' SC' Bài Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (P) di động cắt cạnh SA,SB,SC A’, B’, C’ cho SA SB SC + + =8 (1) Chứng minh SA' SB' SC' (P) luôn qua điểm cố định PHẦN III: KẾT LUẬN Trên khai thác mà đúc rút trình giảng dạy nhiều đối tượng học sinh khác trường THPT Huyện Kỳ Sơn Đề tài kiểm nghiệm năm học, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả tìm tòi lời giải tốn Các em hứng thú học tập hơn, tích cực chủ động sáng tạo, có kỹ giải tập, học sinh biết áp dụng vào giải toán tương tự, em bước đầu biết tạo toán để tự giải trao đổi với bạn đặc biệt em biết cách tìm tòi lời giải tốn Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp, nhằm bổ sung góp ý để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! Từ lúc bắt đầu đến lúc hồn thiện tơi giúp đỡ tận tình bạn bè đồng nghiệp, Ban giám hiệu tổ toán Trường THPT Huyện Kỳ Sơn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến người ủng hộ, góp ý giúp tơi hồn thiện đề tài Kỳ Sơn, Ngày 10 tháng năm 2017 Người viết Bùi Tiến Dũng ... hố, so sánh Ở trường học sinh chủ yếu học sinh yếu nên đứng trước tốn khơng giải nào? Vì lý đây, chọn đề tài là: Tìm tòi lời giải Tốn theo hướng tích cực hoá hoạt động học sinh PHẦN II: NỘI DUNG... lời giải tốn, tìm tòi tốn cách độc đáo lạ Nhìn tốn theo quan điểm tồn diện nhiều góc độ khác để tìm cách giải tốt nhất, tối ưu Phân tích tốn để tìm cách giải Cần trả lời câu hỏi: “Muốn giải toán. .. xử người làm toán đứng trước toán để gây nên hoạt động tư thân nhằm tìm lời giải tốn Những hoạt động tư bao gồm: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, quy nạp, phân tích, tổng hợp, so sánh… đặc