(SKKN mới NHẤT) phân dạng bài toán tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi giúp học sinh nhận dạng bài toán tốt hơn

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Đại số Giải tích lớp 11 có phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng giới hạn dãy số Đây nội dung em học sinh THPT Việc tiếp cận nội dung khiến nhiều em cảm thấy khó, đặc biệt tốn liên quan đến tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi Các em học sinh cảm thấy bỡ ngỡ đâu, giải toán tình hình diễn em đội tuyển học sinh giỏi mơn Tốn lớp 11 trường Do đó, hiệu học tập ôn thi em không cao Thực tế yêu cầu việc giảng dạy phải trang bị cho học sinh hệ thống phương pháp suy luận giải toán với phương pháp sở rõ ràng Với ý định đó, sáng kiến kinh nghiệm tơi muốn nêu cách định hướng việc tìm lời giải tốn Vì với trách nhiệm mình, tơi thấy cần phải xây dựng thành chun đề từ rèn luyện kĩ nhận dạng, nâng cao lực giải toán cho học sinh để em khơng cịn e ngại hay lúng túng gặp dạng tốn Qua q trình tích lũy tơi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phân dạng tốn tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi giúp học sinh nhận dạng toán tốt hơn” 1.2 Mục đich nghiên cứu Nhằm hệ thống cho học sinh số dạng tốn tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi góp phần giúp em giải tốt toán dạng Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn Từ cung cấp cho học sinh dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi, đặc biệt kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hố Kết hợp định tính định lượng nhằm giúp em hệ thống tốt kiến thức học giúp em hứng thú học toán Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tốn tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi - Một số đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh trường THPT địa bàn tỉnh Thanh Hoá - Một số đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp 11, lớp 12 tỉnh 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 - Đánh giá kết học tập, kết kì thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán học sinh lớp 11C1, 11C2 năm học 2018-2019 trường THPT Yên Định - Phân tích, đánh giá, tổng hợp dạng toán liên quan đến toán phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số cho công thức truy hồi Đặc biệt tốn, dạng tốn liên quan đến tìm giới hạn dãy số kì thi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm gần NỘI DUNG 2.1 Cơ sỏ lý luận a Một số kết thường dùng Tính chất cấp số nhân [1] Tính chất cấp số cộng [1] Các định lý giới hạn dãy số [1] Định lý dãy số bị chặn [1] Cho dãy số (un), (vn), (wn) thõa mãn điều kiện , limun = a [6] Định lí tính bị chặn dãy số [1] a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn hữu hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn hữu hạn” Nếu dãy số ( ) thõa mãn điều kiện ; dãy số ( Giả sử dãy số ( tồn giới hạn ) thõa mãn điều kiện tồn giới hạn [6] ) có giới hạn hữu hạn [6] Trên cở sở phân tích, nhìn nhận đánh tơi đưa số phương pháp tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi Dạng 1: Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi cách xác định công thức số hạng tổng quát Dạng 2: Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp Dạng 3: Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi cách sử dụng tính đơn điệu bị chặn dãy b Các ví dụ điển hình Dạng 1: Tính giới hạn dãy số cho cơng thức truy hồi cách xác định công thức số hạng tổng quát Phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi phong phú đa dạng, phạm vi viết tơi trình bày kĩ thuật tìm công thức tổng quát dãy chủ yếu sử dụng phương pháp đổi biến TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com để đưa dãy cho cấp số cộng cấp số nhân tổng hiệu cấp số cộng, cấp số nhân Ví dụ 1: Tính Cho dãy số xác định sau: (HSG lớp 11 - Vĩnh Phúc 2013) Lời giải Ta có suy lập thành cấp số cộng có cơng sai nên (1) Từ (1) ta Vậy Ví dụ 2: Cho dãy số có a Tìm số hạng tổng qt b Tính Thi HSG THPT Yên Định -2020 Lời giải a Ta có: (1) Đặt , ta có v1  16 Khi (1) trở thành : (2) Đặt , w1  15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (2) trở thành: wn1  15wn , suy  w n  cấp số nhân có Từ ta có: b Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định a CMR b CMR dãy (vn) với CSN Tính limun ( Bài tập ĐS GT 11NC, NXBGD 2007) Lời giải a Ta chứng minh quy nạp Khi n = ta có Giả sử , ta chứng minh Thật vậy, giả sử ngược lại , , trái với giả thiết quy nạp Vậy b Từ câu a suy xác định với Ta có Vậy (vn) cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q = Nên Suy Do Ví dụ 4: Cho dãy số (un) xác định TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xét dãy số (vn) với a Chứng minh dãy số (vn) cấp số cộng b Tính Lời giải Ta có thay vào hệ thức truy hồi ta có Hay Suy dãy số (vn) cấp số cộng có v = cơng sai d = Ta có = v1 + (n – 1)d = +3(n – 1) = 3n – Do Thử lại thấy dãy số thỏa mãn Vậy số hạng tổng quát dãy số (un) b Ví dụ 5: Cho dãy số: Tìm Lời giải Ta có Đặt TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ví dụ 6: Tìm số hạng tổng qt dãy Tính , biết HSG 11 – Tĩnh Gia – 2020 Lời giải Bằng phương pháp quy nạp suy Khi Đặt ta ta Đặt Do Ta có Suy Vì nên Ví dụ 7: Cho dãy số Tính Dễ thấy xác định Lời giải Từ giả thiết ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com * Với n   , đặt ta có Đặt Ta có dãy số cấp số cộng với cơng sai Do Vậy Ví dụ 8: Cho dãy số hạng tổng quát thỏa mãn tính Tìm số ? Lời giải Ta có Đặt Khi ta có dãy số Suy với cấp số nhân với Do Từ suy cơng bội suy Do Ví dụ 9: Cho dãy số thỏa mãn: Tính TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải Giả thiết Khi dãy với đầu cấp số cộng có cơng sai số hạng Do đó: Suy Như vậy, việc xác định cơng thức tổng qt dãy số có ý nghĩa quan trọng , việc xác định công thức số hạng tổng quát giúp cho tốn trở nên quen thuộc Vì việc tính giới hạn dãy số trở nên dễ dàng nhiều Dạng 2: Tính giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi cách sử dụng phương pháp đánh giá nguyên lí kẹp Ví dụ 1: Cho dãy số (un) xác định a CMR: b CMR: Tính limun Bài tập ĐS GT11 NC NXBGD 2007 Lời giải a Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh Với n = u1 = Thật vậy, ta có Giả sử Ta CM , ta chứng minh Do Vậy TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Từ câu a suy b Do ta có Mà lim =0, nên theo ngun lí kẹp limun = Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định Tính limun ( Các tốn dãy số - Phan Huy Khải) Lời giải Ta thấy với Giả sử (un) có giới hạn a -1