(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp xác định công thức tổng quát của về dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: “MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA VỀ DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Bối cảnh: Năm học 2013-2014 năm học tiếp tục thực vận động “ Học tập làm theo gương đạo đức Hồ Chí Minh”, vận động “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô giáo gương đạo đức, tự học sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng giáo dục " với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực " Nghị TW khóa VIII khẳng định " Đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho người học, bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào trình dạy học " Do q trình dạy học địi hỏi thầy giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao lực chuyên môn; đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh; bồi dưỡng khả tự học, sáng tạo; khả vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại say mê, hứng thú học tập cho em 1.2 Lý chọn đề tài: Các vấn đề liên quan tới dãy số phần quan trọng Đại số Giải tích tốn học Song khái niệm dãy số học sinh làm quen chương trình tốn lớp 11 phần mở đầu Giải tích tốn học Các dạng tốn liên quan tới nội dung thường khó với em Qua thực tế giảng dạy chương trình chun tốn lớp 11 năm qua, việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi cấp, nhận thấy dạng toán dãy số tốn tìm số hạng tổng qt Lý thuyết đại số toán dãy số đề cập hầu hết giáo trình giải tích tốn học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi gần toán đề cập tới Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác tốn thực khơng phải dễ với học sinh Xuất phát từ lí tơi chọn đề tài: “Một số phƣơng pháp xác định công thức tổng quát dãy số xây dựng toán dãy số ” Qua nội dung ví dụ đề tài nhằm giúp em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần đáp ứng việc học chuyên đề lớp 11 chuyên toán việc ôn thi học sinh giỏi cấp 1.3 Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài học sinh khối 11 qua năm giảng dạy từ trước đến lớp 11A1, 11A2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài “Chƣơng III: Dãy số Cấp số cộng cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 ban nâng cao 1.4 Mục đích nghiên cứu: Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung mơn Đại số Giải tích 11 nói riêng 1.5 Điểm kết nghiên cứu: Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt dập khn máy móc mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải toán lạ, tốn khó GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: a) Phƣơng pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số  u n  gọi dãy số tăng un  un1 , n  * Dãy số  u n  gọi dãy số giảm un  un1 , n  Vậy: Nếu un1  un  0, n  Nếu un1  un  0, n  * * * * suy  u n  dãy số tăng suy  u n  dãy số giảm * Nếu tồn số M cho un  M , n  * Nếu tồn số m cho un  m , n  * *  u n  bị chặn  u n  bị chặn * Nếu dãy số  u n  bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com * Dãy số  u n  cấp số cộng  un1  un  d với n  đổi gọi công sai cấp số cộng * , d số khơng * Nếu dãy số  u n  cấp số cộng un  u1   n  1 d * Nếu dãy số  u n  cấp số cộng tổng Sn  u1  u2   un  n u1  un  d) Cấp số nhân * Dãy số  u n  cấp số nhân  un1  un q với n  gọi công bội cấp số nhân * , q số khơng đổi * Nếu dãy số  u n  cấp số nhân un  u1.q n1 * Nếu dãy số  u n  cấp số nhân vơi q  1, q  tổng  qn Sn  u1  u2   un  u1 1 q e) Một số đinh lí giới hạn - Nếu q  lim q n  - Nếu q  lim q n   - Nếu dãy số an  bn  cn , n  * lim an  lim cn  L lim bn  L - Nếu dãy số  u n  tăng bị chặn  u n  có giới hạn Nếu dãy số  u n  giảm bị chặn  u n  có giới hạn 2.2 Nội dung nghiên cứu đề tài A PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT Phương trình sai phân tuyến tính cấp phương trình sai phân dạng : u1   , a.un1  b.un  f n , n  N * a,b,  số ,a # f n biểu thức n cho trước LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a.un1  b.un  (1.1) a, b,  cho trước n  N * Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  để tìm  Khi un  q n (q số ) , q xác định biết u1   Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, biết số hạng công bội Bài giải Ta có un1  un , u1  (1.2) Phương trình đặc trưng có nghiệm   Vậy un  c.2n Từ u1  suy c  un  2n1 Do Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , aun1  bun  f n , n  N * (2 1) f n đa thức theo n Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  ta tìm  Ta có un  un0  un* Trong un0 nghiệm phương trình (1.1) un* nghiệm riêng tuỳ ý phương trình khơng (2.1) Vậy un0  q. n q số xác định sau Ta xác định un* sau : 1) Nếu  #1 un* đa thức bậc với f n 2) Nếu  1 un*  n.gn với gn đa thức bậc với f n Thay un* vào phương trình, đồng hệ số ta tính hệ số un* Bài tốn 2: Tìm un thoả mãn điều kiện LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com u1  2; un1  un  2n, n  N * (2.2) Bài giải Phương trình đặc trưng    có nghiệm   Ta có un  un0  un* un0  c.1n  c, un*  n  an  b  Thay un* vào phương trình (2.2) ta  n  1 a  n  1  b   n  an  b   2n (2.3) thay n=1và n=2 vào (2.3) ta hệ phương trình sau 3a  b  a    5a  b  b  1 Do un  n  n  1 Ta có un  un0  un*  c  n  n  1 Vì u1  nên  c  11  1  c  Vậy un   n  n  1 , hay un  n  n  Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a.un1  bun  v.n , n  N * (3.1) f n đa thức theo n Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b  ta tìm  Ta có un  un0  un* Trong un0  c. n , c số chưa xác định , un* xác định sau : 1) Nếu  #  un*  A. n 2) Nếu    un*  A.n. n Thay un* vào phương trình (3.1) đồng hệ số ta tính hệ số un* Biết u1 , từ hệ thức un  un0  un* , tính c Bài tốn 3: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  1; un1  3.un  2n , n  N * (3.2) Bài giải Phương trình đặc trưng    có nghiệm   Ta có un  un0  un* un0  c.3n , un*  a.2n Thay un*  a.2n vào phương trình (3.2) , ta thu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a.2n1  3a.2n  2n  2a  3a   a  1 Suy un  2n Do un  c.3n  2n u1  nên c=1 Vậy un  3n  2n Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , a.un1  bun  f1n  f n , n  N * (4.1) Trong f1n đa thức theo n f n  v. n Phƣơng pháp giải Ta có un  un0  u1*n  u2*n Trong un0 nghiệm tổng quát phương trình aun1  bun  , un* nghiệm riêng phương trình khơng * nghiệm riêng phương trình khơng a.un1  b.un  f1n , u2n a.un1  b.un  f n Bài tốn 4: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  1; un1  2un  n2  3.2n , n  N * (4.2) Bài giải Phương trình đặc trưng    có nghiệm   Ta có un  un0  u1*n  u2*n un0  c.2n , un*  a.n2  b.n  c , u2*n  An.2n Thay un* vào phương trình un1  2.un  n2 , ta a  n  1  b  n  1  c  2an  2bn  2c  n 2 Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình  2a  c  a  1    b  2 a  b  c  2a  2b  c  9 c  3   Vậy u1*n  n2  2n  thay u2n* vào phương trình un1  2.un  3.2n Ta A n  1 2n1  An.2n  3.2n  A  n  1  An   A  Vậy u2*n  n.2n  3n.2n1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Do un  c.2n   n2  2n  3  3n.2n1 Ta có u1  nên  2c    c  Vậy un  3n.2n1  n2  2n  B PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai phương trình sai phân dạng u1   , u2   , a.un1  bun  c.un1  f n , n  N * a,b,c,  ,  số , a # f n biểu thức n cho trước (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ln có hai nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  0, n  N * (5.1) Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  tìm  Khi 1) Nếu 1 , 2 hai nghiệm thực khác un  A.1n  B.2n , A B xác định biết u1 , u2 2) Nếu 1 , 2 hai nghiệm kép 1  2   un   A  Bn   n , A B xác định biết u1 , u2 Bài tốn 5: Tìm un thoả mãn điều kiện sau u0  1, u1  16, un2  8.un1  16.un (5.1) Bài giải Phương trình đặc trưng   8  16  có nghiệm kép   Ta có un   A  B.n  4n (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu hệ phương trình  A 1 u0   A     u1  1  B .4  16  B  Vậy un  1  3n .4n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , a.un1  b.un  c.un1  f n , n  2, (6.1) a # 0, f n đa thức theo n cho trước Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  để tìm  Khi ta có un  un0  un* , un0 nghiệm tổng qt phương trình a.un1  b.un  c.un1  un* nghiệm tuỳ ý phương trình a.un1  b.un  c.un1  f n Theo dạng ta tìm un0 , hệ số A, B chưa xác định , un* xác định sau : 1) Nếu  #1 un* đa thức bậc với f n 2) Nếu   nghiệm đơn un*  n.gn , gn đa thức bậc với f n 3) Nếu   nghiệm kép un*  n.2 gn , gn đa thức bậc với f n , Thay un* vào phương trình , đồng hệ số, tính hệ số un* Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính A, B Bài tốn 6: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  1; u2  0, un1  2un  un1  n  1, n  (6.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm kép   Ta có un  un0  un* un0   A  B.n .1n  A  Bn, un*  n  a.n  b  Thay un* vào phương trình (6,2) , ta  n  1  a  n  1  b   2n  a.n  b    n  1  a  n  1  b   n  Cho n=1 , n=2 ta thu hệ phương trình  a   4  2a  b    a  b     9  3a  b    2a  b    a  b   b   LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com n 1 un*  n    6 2 Vậy Do n 1 un  un0  un*  A  Bn  n    6 2 Mặt khác 1  A  B   1 A      11 1    A  B       B  3 2  Vậy un   11 n 1 n  n2    6 2 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  d  n , n  (7.1) Phƣơng pháp giải Giải phương trình đặc trưng a.  b.  c  để tìm  Khi ta có un  un0  un* , un0 xác định dạng hệ số A B chưa xác định, un* xác định sau 1) Nếu  #  un*  k. n 2) Nếu    nghiệm đơn un*  k.n n 3) Nếu    nghiệm kép un*  k.n.2  n Thay un* vào phương trình , dùng phương pháp đồng thức hệ số tính hệ số k Biết u1 , u2 từ hệ thức un  un0  un* tính A,B Bài tốn 7: Tìm un thoả mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  un1  3.2n , n  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm kép   Ta có un  un0  u1*n un0   A  B.n .1n  A  Bn, un*  k 2n Thay un* vào phương trình , ta k.2n1  2k.2n  k.2n1  3.2n  k  Vậy un*  6.2n  3.2n1 Do un  un0  un*  A  bn  3.2n1 phương trình (1) ta thu (1) Thay u1  1, u2  vào 1  A  B  12 A    0  A  B  24  B  13 Vậy un   13n  3.2n1 Dạng Tìm un thoả mãn điều kiện u1   , u2   , aun1  bun  c.un1  f n  g n , n  (8.1) a # , f n đa thức theo n g n  v. n Phƣơng pháp giải Ta có un  un0  u1*n  u2*n un0 nghiệm tổng quát phương trình aun1  bun  c.un1  , u1n* nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng * nghiệm riêng tùy ý phương trình khơng aun1  bun  c.un1  f n u2n aun1  bun  c.un1  g n Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Tốn 11 Lần thứ VIII- 2002 ) Tìm un thoả mãn điều kiện u1  0; u2  0, un1  2un  3un1  n  2n , n  (8.2) Bài giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm 1  1, 2  Ta có un  un0  u1*n  u2*n un0  A 1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k 2n n Thay u1n* vào phương trình un1  2un  3un1  n , ta LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com a  n  1  b   an  b   a  n  1  b   n   4a  1 n   a  b   Vậy ab Do un*  1  n  1 Thay u2n* vào phương trình un1  2un  3un1  2n , ta k 2n1  2.k 2n  3.k.2n1  2n  k   Do u2*n   2n   2n1 3 Vậy un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n  n 1  n  1  2n1 (8.3) Ta thay u1  1, u2  vào (8.3) ta hệ phương trình 61    A  3B     A   48    A  9B     B  25   48 Vậy un   61 25 1 n  1  3n   n  1  2n1 48 48 C PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba phương trình sai phân dạng u1   , u2   , u3   , a.un2  bun1  c.un  d un1  f n , n  (a.1) a,b,c, d,  ,  ,  số , a # f n biểu thức n cho trước LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com (NX: Phương trình đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính cấp ba ln có ba nghiệm kể nghiệm phức, song nội dung đề tài dừng lại trường số thực , tức xét nghiệm thực ) Phƣơng pháp giải Nghiệm tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng un  un0  un* , un0 nghiệm tổng qt phương trình tuyến tính nhất, un* nghiệm riêng phương trình tuyến tính khơng Xét phương trình đặc trưng a  b  c  d  (a.2) 1) Xác định cơng thức nghiệm tổng qt phương trình sai phân tuyến tính cấp ba a) Nếu (a.2) có ba nghiệm thực 1 , 2 , 3 phân biệt un0  a1 1n  a2 2n  a3 3n b) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội nghiệm đơn (1  2 # 3 ) un0  (a1  a2 n)1n  a3 3n c) Nếu (a.2) có nghiệm thực bội (1  2  3 ) un0  (a1  a2 n  a3 n2 )1n 2) Xác định nghiệm riêng un* phương trình (a.1)  Xét f n đa thức n ta có a) Nếu  #1 un* đa thức bậc với f n b) Nếu   (nghiệm đơn ) un*  n.gn , gn đa thức bậc với f n c) Nếu   (bội ) un*  n2 gn gn đa thức bậc với f n d) Nếu   (bội 3) un*  n3 gn gn đa thức bậc với f n  Xét f n  v. n ta có a) Nếu  #  un*  k.n. n b) Nếu    (nghiệm đơn ) un*  k. n c) Nếu    (nghiệm bội s ) un*  k.ns  n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài tốn 9: Tìm dãy số (u n ) biết u1  0, u2  1, u3  3, un  7un1  11.un2  5.un3 , n  (9.1) Bài giải Xét phương trình đặc trưng   7  11   có nghiệm thực 1  2  1, 3  Vậy un  c1  c2n  c3 5n Cho n=1, n=2, n=3 giải hệ phương trình tạo thành, ta c1   , c2  , c3  16 16 Vậy un     n  1  n1 16 16 D BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài toán 10: Cho dãy số (an ) xác định theo công thức sau a1  0; a2  1, an1  2an  an1  1, n  (10.1) Chứng minh số A  4.an an2  số phương Bài giải Ta có an1  2an  an1  (10.2) Trong (9.2) ta thay n n-1, ta an  2an1  an2  (10.3) Trừ vế (10.1) cho (10.2) ta thu an1  3an  3an1  an2  (10.4) Phương trình đặc trưng (10.4)   3  3   có nghiệm   nghiệm bội bậc ba Vậy nghiệm tổng quát phương trình (10.4) an  (c1  c2 n  c3 n2 )1n LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Cho n=0, n=1, n=2 ta 0  c1 c1     1  c2  c2  c3 c  c  3  c  2c  4c  2  Ta thu an  n  n  1 từ ta có A  4an an2    n2  3n  1 Điều chứng tỏ A số phương Bài tốn 11: Cho dãy số ( xn ) xác định theo công thức sau x1  7; x2  50, xn1  xn  xn1  1975  n   (11.1) Chứng minh x1996 1997 Bài giải Xét dãy số ( yn ) với y1  7, y2  50 yn1  yn  yn1  22  n   (11.2) Dễ thấy yn  xn  mod1997  Do cần chứng minh y1996   mod1997  Đặt zn  yn  11 suy z1  39, z2  211 Nhận xét zn1  yn1  11  16 yn  20 yn1  99  zn  20 yn1  55 (11.3) Ta lại có zn1  yn1  11 suy 20 yn1  5zn1  55 (11.4) Thế (11.4) vào (11.3) ta zn1  zn  5zn1 Suy zn1  zn  5zn1  (11.5) Phương trình đặc trưng (11.5)   4   có nghiệm 1  1, 2  Nghiệm tổng quát (11.1) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com zn   1   5n  n Ta có      z1    5  39    z2    25  211    25  Do ta nhận 25 n zn   1  5n 3 (11.6) Từ (11.6) ta suy z1996  25.51996  Ta cần chứng minh z1996  11 mod1997  Do 51996  1997  1996 5  Nên 51996  3.1997 Từ , ta có 51996  3n.1997  , 25  3n.1997  1 z1996    25.n.1997  11 3 Vậy z1996  11 mod 1997  E BÀI TẬP TƢƠNG TỰ Bài 1: Xác định công thức dãy số ( xn ) thoả mãn điều kiện sau 1) x1  11, xn1  10.xn   9n , n  N 2) x0  2, x1  8, xn2  8.xn1  xn 3) x0  1, x1  3, xn2  5xn1  xn  n2  2n  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 4) x0  0, x1  1, xn1  xn  xn1  n2  6n  5) x1  1, x2  2, xn2  5xn1  xn  Bài 2: Cho dãy số ( an ) thoả mãn điều kiện an  an1  2.an2  a1  a2  n N  n  3 Chứng minh an số lẻ Bài 3: Cho dãy số (bn ) xác định bn  2.bn1  bn2  b1  1, b2  n N  n  3 n Chứng minh bn    , n  N 2 Bài 4: Cho dãy số (u n ) thoả mãn điều kiện un  2.un1  un  n N  u  1, u    n  2 Chứng minh un số phương Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – Toán 11 Lần thứ VIII – 2002 NXB giáo dục ) Cho dãy số (u n ) thoả mãn sau un  Z  ,  N  u0  1, u1  u  10.u  u n  N , n  n 1 n2  n Chứng minh : k  N , k  1) uk2  uk21  10uk uk 1  8 2) 5.uk  uk 1 va 3.uk2  ( kí hiệu chia hết ) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài 6: Cho dãy số (u n ) thoả mãn điều kiện un2  2un1  2un  un1 , n  N * Chứng minh tồn số nguyên M cho số M  4.an1an số phương Bài 7: ( Báo Tốn Học Tuổi Trẻ số 356) Cho dãy số (ai ) ( i=1,2,3,4…)được xác định a1  1, a2  1, an  an1  2an2 , n  3,4, Tính giá trị biểu thức 2 A  2.a2006  a2006 a2007  a2007 Bài 8: Cho dãy số nguyên dương (u n ) thoả mãn điều kiện u0  20, u1  100, un2  4.un1  5.un  20, n  N * Tìm số nguyên dương h bé có tính chất anh  an 1998 , n  N F XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI Nhận xét : Nội dung đề tài giúp bạn đọc tìm cơng thức tổng qt lớp dãy số có tính chất truy hồi cách xác nhất, giúp Thầy kiểm tra kết tốn theo cách giải khác Bên cạnh ta tiến hành xây dựng thêm toán dãy số Dưới số ví dụ “ xây dựng thêm tốn dãy số có tính quy luật ” mang tính chất tham khảo Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu phát triển rộng tốn khác dãy số Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình    1        8   (12.1) phương trình (12.1) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số (un ) xác định theo công thức sau un2  8.un1  9.un  cho u0  2, u1  8 Ta phát biểu thành toán sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bài toán 1: Cho dãy số ( xn ) xác định sau  xn  8.xn1  9.xn    x0  2, x1  8 n N Xác định công thức xn Bài toán 2: Cho dãy số ( xn ) xác định sau  xn  8.xn1  9.xn    x0  2, x1  8 n N Tính giá trị biểu thức A  x2006  5.x2007  Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình    1     2   (12.2) phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số (un ) xác định theo công thức sau un2  2.un1  un  cho u0  1, u1  vận dụng thuật tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số xn   n  1 Ta phát biểu thành tốn sau Bài tốn 1: Xác định cơng thức dãy số ( xn ) thoả mãn điều kiện sau  xn  xn1  xn    x0  1, x1  n N Bài toán 2: Cho dãy số ( xn ) xác định sau  xn  xn1  xn    x0  1, x1  n N Chứng minh xn số phương Bài tốn 3: Cho dãy số ( xn ) xác định sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  xn  xn1  xn    x0  1, x1  n N Xác định số tự nhiên n cho xn1  xn  22685 2.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để thực đề tài tơi tìm đọc nhiều tài liệu viết vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho dạng toán, lựa chọn tập phù hợp với nội dung để làm bật nội dung cần phân tích 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2013 – 2014 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 11A1, 11A2 làm kiểm tra 45 phút với đề tương tự phần khảo sát thực tiễn thay đổi mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết thu Trong lớp 11A1 lớp thực nghiệm trình triển khai đề tài cịn lớp 11A2 lớp đối chứng khơng tham gia việc triển khai đề tài Sau chấm kiểm tra thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh) Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh) Điểm Lớp 3 – 1 – 2,5 4,5 6,5 – – 8,59 9– 10 Lớp 11A1 0% 2% 18% 20% 60% Lớp 11A2 4% 28% 52% 14% 2% LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Căn vào kết kiểm tra Đối chiếu so sánh kết làm lớp thực nghiệm lớp cịn lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 11 có nhìn bao qt cách giải tốn dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng không chuyên giúp em tự tin đứng trước tốn dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú với mơn Tốn thường có phép tuyệt đẹp suy luận rất logic KẾT LUẬN 3.1 Những học kinh nghiệm: Như nêu trên, muốn cho học sinh học tốt mơn học người giáo viên phải có số kỹ sau: * Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề * Kỹ giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc * Kỹ trình bày lời giải 3.2 Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm: Ý nghĩa sáng kiến kinh nghiệm nhằm tạo động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy thân nói riêng kết giáo dục nhà trường nói chung 3.3 Khả ứng dụng, triển khai: Khả ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm nối bậc phương pháp giảng dạy phương pháp đặt vấn đề phận tích hướng dẫn học sinh giải vấn đề 3.4 Những kiến nghị, đề xuất: Nhằm giúp cho học sinh học tốt với môn học, thân có kiến nghị với phịng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung số tài liệu tham khảo thường xuyên tổ chức buổi thảo luận chuyên đề toán học nhằm giúp cho việc giảng dạy giáo viên thuận lợi Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014 Người Viết Đào Hữu Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004 2) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ V, Nhà xuất Giáo Dục 3) Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – Mơn Tốn Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất Giáo Dục 4) Tạp trí Tốn Học Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất Giáo Dục 5) Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn toán PTTH Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo Dục 6) Nguyễn Văn Mậu , Một số toán chọn lọc dãy số , Nhà xuất Giáo Dục 2003 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... thức tổng quát dãy số xn   n  1 Ta phát biểu thành toán sau Bài toán 1: Xác định công thức dãy số ( xn ) thoả mãn điều kiện sau  xn  xn1  xn    x0  1, x1  n N Bài toán 2: Cho dãy số. .. lí chọn đề tài: ? ?Một số phƣơng pháp xác định công thức tổng quát dãy số xây dựng toán dãy số ” Qua nội dung ví dụ đề tài nhằm giúp em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần đáp ứng việc học chuyên... (12.2) phương trình (12.2) coi phương trình đặc trưng dãy số có quy luật Chẳng hạn dãy số (un ) xác định theo công thức sau un2  2.un1  un  cho u0  1, u1  vận dụng thuật tốn xác định công thức